CHƯƠNG 2 GT DẠNG 10 các bài TOÁN tìm MIN MAX của BIỂU THỨC

CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Câu Cho < a < < b , ab > Tìm giá trị lớn biểu thức P = loga ab + (1 − log b ).log a A P = a b ab B P = C P = D P = −4 Lời giải Chọn D Do < a < < b , ab > nên suy loga b < Mặt khác ta có logb ab > ⇔ logb a + > ⇔ Ta có P = loga ab + (1 − log b ).log a = + loga b + a b ab + loga b loga b = + loga b +  loga b  +  1 − loga b − loga b  (1 − loga b ) > ⇒ loga b + < (1 − loga b )(logab = + loga b + Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có : −P = (−1 − loga b ) + −1 a + logab−1 b ) + loga b ≥ −1 − loga b Suy P ≤ −4 Đẳng thức xẩy ⇔ + loga b = −2 ⇔ loga b = −3 ⇔ a 3b = Câu 9x Tính tổng 9x +        2016   + f   + f   + + f  S = f      + f (1)  2017   2017   2017   2017  Cho hàm số f (x ) = A S = 4035 B S = 8067 C S = 1008 D S = 8071 Lời giải Chọn A Xét f (x ) + f (1 − x ) = 9x 91−x 9x 9x + = + = + x x 1−x x x x + + + + 3.9 +3 +3 9x + = 9x +     2016      2015   + f   +  f   + f   Khi S =  f   2017   2017    2017   2017  +     = Trang   1008   1009  4035  + f   + f (1) = + + + + f (1) = 1008 + = 1008 + = +  f     9+3 4  2017  1008 soá   2017  Câu Cho m = loga ( ab ) , với a > 1, b > P = log b + 16 log a Tìm m cho P đạt giá a b trị nhỏ A m = B m = C m = D m = Lời giải Chọn A  m = (1 + log b ) a Vì a > 1,b > , ta có:   log b3>  a Đặt t = loga b , (t > 0) ⇒ P = (loga b ) + 16 8 16 8 = t2 + = t + + ≥ 3 t loga b t t t t t = 12 Dấu “ = ” xảy t = ⇔ t3 = ⇔ t = t Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = 12 loga b = Suy m = Câu ( Giá trị nhỏ P = loga b mãn 2 )   + log b  a (1 + 2) = b   với a , b số thực thay đổi thỏa a  b > a > A 30 B 40 C 18 D 60 Lời giải Chọn C (log b ) a   + log b  a 2    2  b  b    = log b + log a = log b + + log a   ( (   a ) a )  b b   a a  a   a 2 = (loga b )         1    + 1 +  = (loga b ) + 1 +     log b −  b  a  log a   a  2   t −   t −   2     = 4t +   ≥ 4t   Theo BĐT Đặt t = loga b ⇒ P = 4t + 1 +  t −  t −  t −  Cosy ⇒ Pmin  t − 2  Dấu xảy khi: = 4t  t −  Trang    2t =  t −   t −   t −   ⇔  4t =     t −  2t = −  t −   t −    t    2t (t − 2) = 6(t − 1) 2t − (4 + 6)t + = t    ⇔ ⇔ ⇔ 2t − (4 − 6)t − = 2t (t − 2) = − 6(t − 1)    t   t   Câu 4+ 6− 4+ + = 4− − = 4+ + = = 22 22 22 22 Cho m n số nguyên dương khác Gọi P tích nghiệm phương trình (logm x )(logn x ) − logm x − logn x − 2017 = Khi P số nguyên, tìm tổng m + n để P nhận giá trị nhỏ nhất? A m + n = 20 B m + n = 48 C m + n = 12 D m + n = 24 Lời giải Chọn C Đặt t = logm x , lúc x = m t Phương trình trở thành ( ) 8t logn m t − 7t − logn m t − 2017 = ⇔ 8t logn m − 7t − 6t logn m − 2017 = ⇔ (logn m )t − (7 + logn m )t − 2017 = Ta có ∆ = (7 + logn m ) + 4.2017.8 logn m t t Lúc x = m ; x = m 7+6 logn m x 1.x = m t1 +t2 =m logn m = P nguyên Lần lượt thử đáp án ta chọn đáp án C Câu Cho hai số thực a, b thỏa mãn ≤ b < a Biểu thức  b P = 1 + loga  + − loga2 b a   ( A 67 B 31455 512 ) + có giá trị lớn C 27 D 455 Lời giải Chọn A ≤ b < a ⇔ loga ≤ loga b ≤ ⇔ ≤ loga b ≤ Trang 3  b P = 1 + loga  + − loga2 b  a  ( )   + = log b + 4 − loga2 b  +   a Đặt x = loga b   Xét P = 2x + 4 − x  + với ≤ x ≤     P ' = 6x − 3x 4 − x    2   6x − 3x 4 − x  = ⇔    x =       − − = (VN ) x x      Lập bảng biến thiên ta có P (0) = 67 Câu 16x Tính tổng 16x +        2017   + f   + f   + + f   S = f   2017   2017   2017   2017  Cho hàm số f (x ) = A S = 5044 B S = 10084 C S = 1008 D S = 10089 Lời giải Chọn A Nhận xét: Cho x + y = 16x 16y 16 + 4.16x + 16 + 4.16y + = =1 16x + 16y + 16 + 4.16x + 4.16y + 16    2016     2015   1008   1009   2017   + f   + f   + f   + + f   + f   + f   S = f   2017   2017   2017   2017   2017   2017   2017  Ta có f (x ) + f (y ) = = + + + + 1008 so hang Câu 16 5044 = 1008 + = 16 + 5 Cho số dương a b thỏa mãn log (a + 1) + log2 (b + 1) ≥ Giá trị nhỏ S = a + b A S = 12 B S = 14 C S = D S = 16 Lời giải Chọn B Ta có log (a + 1) + log (b + 1) ≥ ⇔ log2 (a + 1)(b + 1) ≥ ⇔ (a + 1)(b + 1) ≥ 64 Trang a + b +   ⇔ (a + b ) + (a + b ) − 252 ≥ Mà 64 ≤ (a + 1)(b + 1) ≤    a + b ≥ 14 ⇔  a + b ≤ −18 (L ) Nên S = 14 Câu 4x Tính tổng 4x +        2017   + f   + f   + + f   S = f     2018   2018   2018   2018  Cho hàm số f (x ) = A S = 2017 B S = 2018 C S = 2019 D S = 2017 Lời giải Chọn A 41−x = = ⇒ f (1) + f (1 − x ) = x 1−x + + 2.4 + 4x    2017     2016   1008   1010   + f   = 1, f   + f   = 1, , f   + f  Do đó: f        =  2018   2018   2018   2018   2018   2018  Ta có: f (1 − x ) = ⇒ S = 1008 + 1009 2017 = 2018 9x − Tính giá trị biểu thức 9x +      2016   2017   + f   + + f   + f   P = f   2017   2017   2017   2017  Câu 10 Cho hàm số f (x ) = A 336 B 1008 Chọn 4039 12 Lời giải C D 8071 12 C Xét: f (x ) + f (1 − x ) = 9x − 91−x − + 1−x = x +3 +3 Vậy ta có:      2016   2017  1008   k    2017  k   + f   + + f   + f   = ∑  f   + f 1 −  + f   P = f     2017   2017   2017   2017   2017    2017    2017  1008 ⇔P =∑ Câu 11 4039 + f (1) = 336 + = 12 12 Cho x , y số thực thỏa mãn log (x + y ) + log (x − y ) ≥ Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = 2x − y Trang A Pmin = B Pmin = −4 C Pmin = D Pmin = 10 Lời giải Đáp án C x − y > Điều kiện:   x + y >  Từ điều kiện ta có: 2x > ⇔ x > ( ) Ta có: log (x + y ) + log (x − y ) ≥ ⇔ log x − y ≥ ⇔ x − y ≥ Vì x − y ≥ x > ta có: x ≥ y + P = 2x − y = y + − y Xét: f (y ) = y + − y ⇒ f '(y ) = 2y − ⇒ f '(y ) = ⇔ y = y +4 Bảng biến thiên x −∞ +∞ y' y Từ bảng biến thiên ta có: Pmin = Câu 12 Cho n số nguyên dương, tìm n cho loga 2019 + 22 log a 2019 + 32 log a 2019 + + n logn a 2019 = 10082 × 20172 loga 2019 A 2017 B 2019 C 2016 D 2018 Lời giải Chọn C loga 2019 + 22 log a 2019 + 32 log a 2019 + + n logn a 2019 = 10082 × 20172 loga 2019 (*) Ta có n logn a 2019 = n n.loga 2019 = n loga 2019 Suy  n(n + 1)   log 2019 VT (*) = + + + n loga 2019 =  a     ( 3 ) VP (*) = 10082 × 2017 loga 2019 Khi (*) được: n (n + 1)2 = 22.10082.2017 = 20162.2017 ⇒ n = 2016 25x 25x +          2017   + f   + f   + f   + + f   Tính tổng S = f   2017   2017   2017   2017   2017  Câu 13 Cho hàm số f (x ) = Trang A S = 6053 B S = 12101 C S = 1008 D S = 12107 Lời giải Chọn C Sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng ta tính kết quả: S = 1008 Câu 14 Cho f (x ) = 2016x Tính giá trị biểu thức 2016x + 2016      2016   + f   + … + f   S = f   2017   2017   2017  A S = 2016 B S = 2017 C S = 1008 D S = 2016 Lời giải Chọn C 2016 Ta có: f (1 − x ) = → f (x ) + f (1 − x ) = 2016x + 2016      2016     2016     + f   +… + f   = f   + f   + f   Suy S = f   2017   2017   2017   2017   2017   2017   2015   1008   1009   + + f   + f   = 1008 + f   2017   2017   2017  ( ) Câu 15 Giá trị nhỏ hàm số y = 20x + 20x − 1283 e 40x tập hợp số tự nhiên A − 1283 B −163.e 280 C 157.e 320 D −8.e 300 Lời giải Chọn B ( ) ( ) y ′ = (40x + 20)e 40x + 20x + 20x − 1283 40e 40x = 800x + 840x − 51300 e 40x 342 300 ;x = 40 40 Bảng xét dấu đạo hàm y′ = ⇒ x = − x −∞ y′ + − 342 40 − 300 = 7, 40 +∞ + y (7 ) = −163.e 280 ; y (8 ) = 157.e 320 Vậy y = −163.e 280 Câu 16 Cho hàm số f (x ) = 9x 9x + Trang        + f     Tính tổng S = f    2007  + f  2007  + + f (1)?  2007  B S = 1008 A S = 2016 C S = 4015 D S = 4035 Lời giải Chọn C 9 x 91−x 9x f (1 − x ) = 1−x = = = x 9 +3 + 3.9 + 3.9x +3 9x 9x ⇒ f (x ) + f (1 − x ) = 9x 9x.(9 + 3.9x ) + 9.(9x + 3) 9x +1 + 3.92x + 9x +1 + 27 + = = x +1 = 9x + + 3.9x (9x + 3)(9 + 3.9x ) + 3.92x + 9x +1 + 27    2006     2005   1003   1004   + f   = 1; f   + f   = 1; ; f   + f   = ⇒ f   2007   2007   2007   2007   2007   2007  Vậy       4015  + f   + f   + + f (1) = + + + + = 1003 + = S = f     9+3 4  2007   2007   2007  Câu 17 Cho x , y số dương thỏa mãn xy ≤ 4y − Giá trị nhỏ P= (2x + y ) A 45 x + ln x + 2y a + ln b Giá trị tích ab y B 81 C 108 D 115 Lời giải: Chọn B - Ta có: x , y > 1  1  x x chia ve        choy2 → < − + = −  − 2.2 + 4 + = −  − 2 + ≤ ⇒ ≤    xy ≤ 4y −   y y y y y y  y   - Đặt t = x ⇒ < t ≤ → D = (0; 4 y - Biến đổi biểu thức P dạng:   t − 6t − 12 1 x = − 21 ∉ D P = 2 +  + ln (t + 2) ⇒ P ' (t ) = − + = =0⇔  t  t +2 t t (t + 2) x = + 21 ∉ D  Lập bảng biến thiên, từ ta thấy rằng, khoảng (0;  hàm P(t) nghịch biến  Trang  a = 27 27 nên P (t ) = P (4) = + ln ⇒  ⇒ a.b = 81 → Đáp án b = 62  Câu 18 Cho f (x ) = B      2016   + f   + + f   Tính giá trị biểu thức S = f   2017   2017   2017  2016x + 2016 2016x A S = 2016 B S = 2017 C S = 1008 D S = 2016 Lời giải Chọn C Ta có f (x ) = + 2016 −x Với a + b = ⇒ f (a ) + f (b ) =      2016   + f   + + f   = 1.1008 = 1008 Do đó, S = f   2017   2017   2017  Vậy S = 1008 Câu 19 Xét số thực a,b thỏa mãn a > b > Tìm giá trị lớn PMax biểu thức P= b  −1 + loga   + a  logb a A PMax = B PMax = C PMax = D PMax = Lời giải Chọn B b   1 −1 + loga   + = − loga2 b + loga b + = − loga b −  + ≤ P= a  4  logb a  ⇒ PMax = Trang ... 22 log a 20 19 + 32 log a 20 19 + + n logn a 20 19 = 100 82 × 20 1 72 loga 20 19 A 20 17 B 20 19 C 20 16 D 20 18 Lời giải Chọn C loga 20 19 + 22 log a 20 19 + 32 log a 20 19 + + n logn a 20 19 = 100 82. .. 1 )2 = 22 .100 82. 2017 = 20 1 62. 2017 ⇒ n = 20 16 25 x 25 x +          20 17   + f   + f   + f   + + f   Tính tổng S = f   20 17   20 17   20 17   20 17... Tính giá trị biểu thức 20 16x + 20 16      20 16   + f   + … + f   S = f   20 17   20 17   20 17  A S = 20 16 B S = 20 17 C S = 100 8 D S = 20 16 Lời giải Chọn C 20 16 Ta có: