Tài liệu thuộc bộ chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 8 siêu hay luôn nhé. Ngoài ra còn các chuyên đề khác để tham khảo. Còn có bài toán cực trị, chia hết, nghiệm nguyên ... CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU AB >0, CHÚ Ý BĐT
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT A2 ≥ x + y + z ≥ xy + yz + zx Bài 1: CMR : với x,y,z HD: Xét hiệu ta có: 2 2 x + y + z − xy − yz − zx ≥ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ ( ) Dấu xảy x = y = z x + y + z ≥ xy + yz − zx Bài 2: CMR : với x,y,z HD: Xét hiệu ta có: x + y + z − xy − yz + zx ≥ ( x − y + z ) ≥ Dấu xảy x+z=y x2 + y + z + ≥ ( x + y + z ) Bài 3: CMR : với x,y,z HD: Xét hiệu ta có: 2 ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ Dấu x=y=z=1 Bài 4: CMR : với a,b ta có : HD : Xét hiệu ta có : a + b a + 2ab + b − ≥0 a + b2 a + b ≥ ÷ 2a + 2b − ( a − 2ab + b ) ≥ a + 2ab + b ≥ ( a + b ) ≥ 2 Dấu a=b a2 + b2 + c2 a + b + c ≥ ÷ 3 Bài 5: CMR : với a,b,c ta có : HD: Ta có: a + b2 + c a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 3a + 3b + 3c − ( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac ) ≥ 2a + 2b2 + 2c − ab − 2bc − ac ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 , Dấu a=b=c a + b2 + c ≥ ( a + b + c) Bài 6: CMR : HD: Ta có: 3a + 3b + 3c ≥ a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca 2a + 2b2 + 2c − ab − 2bc − ac ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 , Dấu a=b=c a +b 2 ( a + b) ≥ Bài 7: CMR : HD: a +b 2 ≥ 2ab ( a + b) ≥ 2 Ta chứng minh: 2a + 2b ≥ a + 2ab + b a + b − 2ab ≥ ( a − b ) ≥ Dấu a=b ( a + b ) ≥ 2ab Ta chứng minh a + 2ab + b ≥ 4ab ( a − b ) ≥ Dấu a=b a2 + Bài 8: Cho a,b,c số thực, CMR: HD: Ta có: 4a + b − 4ab ( 2a − b ) ≥ b2 ≥ ab Dấu b=2a Bài 9: Cho a,b,c số thực, CMR : HD: Ta có: a + b + − ab − a − b ≥ a + b + ≥ ab + a + b 2a + 2b2 + − 2ab − a − 2b ≥ ( a − 2ab + b ) + ( a − 2a + 1) + ( b − 2b + 1) ≥ ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ 2 Dấu a=b=1 a + b + c + d + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) Bài 10: Cho a,b,c,d số thực : CMR : HD: Ta có: a + b + c + d + e − ab − ac − ad − ae ≥ 4a + 4b2 + 4c + 4d + 4e − 4ab − 4ac − 4ad − 4ae ≥ (a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + ( a − 4ae + 4e ) ≥ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e ) ≥ 2 2 Dấu xảy a=2b=2c=2d=2e 1 + ÷1 + ÷ ≥ a b Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR: HD: b a a + b a + b a b = 1 + ÷1 + ÷ = + ÷ + ÷ = + + ÷+ a b a b b a ta có: VT a b = + + ÷ ≥ + 2.2 = b a Dấu a b = => a + b a = b = b a 2 x+ y x, y ≥ 0, CMR : ÷ ≥ xy Bài 12: Cho HD: Ta có: x + y + xy ≥ xy x − xy + y ≥ ( x − y ) ≥ Dấu x=y a + b3 ≥ a 2b + ab Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR: HD: Ta có: ( a3 − a 2b ) + ( b3 − ab2 ) ≥ a ( a − b ) − b2 ( a − b ) ≥ a − b ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) ( a + b ) ≥ ( Dấu a=b a ≥ b ≥ 1, Bài 14: Cho HD: CMR: 1 + ≥ 2 + a + b + ab Xét hiệu: 1 − − ÷+ ÷≥ 2 + a + ab + b + ab a ( b − a) b ( a − b) + ( + a ) ( + ab ) ( + b ) ( + ab ) 2 ( b − a ) ( ab − 1) + ab ) ( a + 1) ( b + 1) ( ≥0 ≥0 Dấu a=b a=b=1 x2 + y + z + t ≥ x ( y + z + t ) Bài 15: CMR : với số thực x,y,z,t ta ln có : HD: Ta có: x + y + z + t − xy − xz − xt ≥ 2 2 x + y + z + 4t − xy − xz − xt ≥ (x − xy + y ) + ( x − xz + z ) + ( x − xt + 4t ) + x ≥ Dấu x= 2y=2z=2t=0 a2 + b + c ≥ ab − ac + 2bc Bài 17: CMR : HD: Ta có: a + 4b + 4c − 4ab + 4ac − 8bc ≥ a − 4a ( b − c ) + ( b + c − 2bc ) ≥ a − 4a ( b − c ) + ( b − c ) ≥ ( a − 2a + 2c ) ≥ x + y + z ≥ xy − zx + yz Bài 19: CMR : HD: Ta có: x + y + z − xy − yz + zx ≥ x − x ( y − z ) + y − yz + z ≥ x − x ( y − z ) + ( y − z ) ≥ ( x − y + z ) ≥ 2 x + y + z + ≥ x ( xy − x − z + 1) Bài 20: CMR : HD: Ta có: x + y + z + − x y + x − xz − x ≥ (x + y − x y ) + ( x − xz + z ) + ( x − x + 1) ≥ (x − y ) + ( x − z ) + ( x − 1) ≥ 2 ±1 Dấu x=z=1, y= a + b + c ≥ ab + bc + ca Bài 21: CMR : HD : ta có : a + b + c − ab − bc − ca ≥ 2a + 2b2 + 2c − ab − 2bc − 2ca ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 a + b ≥ ab Bài 22: CMR : HD: ta có: a + b − ab ≥ b b 3b2 b 3b a − 2a + + ≥ a − ÷ + ≥0 4 2 x + xy + y ≥ Bài 23: CMR : HD: Ta có: y y2 3y2 y y2 x + x + + ≥ x + ÷ + ≥0 4 2 a ( a + b ) ( a + c ) ( a + b + c ) + b 2c ≥ Bài 24: CMR : HD: a ( a + b + c ) ( a + b ) ( a + c ) + b 2c ≥ Đặt (a + ab + ac ) ( a + ab + ac + bc ) + b 2c ≥ a + ab + ac = x bc = y x ( x + y ) + y ≥ x + xy + y ≥ Khi ta có: (a + b ) ( a + b ) ≥ ( a + b3 ) Bài 25: CMR : HD: Ta có: a + a 2b + a 4b + b ≥ a + 2a 3b3 + b ( a 4b − a3b ) + ( a 2b − a 3b3 ) ≥ 2 a b ( a − b ) + a b ( b − a ) ≥ a − b ) ( a 3b − a 2b3 ) ≥ a 2b ( a − b ) ( ≥0 ( a + b ) ( a + b3 ) ≤ ( a + b ) Bài 26: CMR : HD: Ta có: a + ab3 + a 3b + b ≤ 2a + 2b a − ab3 + b − a 3b ≥ ( 3 a3 − b3 a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) ( a 2 + ab + b ) ≥ ( a + b3 ) ≥ ( a + b ) ( a + b ) Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : HD: Ta có: 2a + 2b3 ≥ a + ab + a 2b + b3 3 a − a b + b − ab ≥ a ( a − b ) + b2 ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a + b) ≥ ( a + b3 ) ≥ ( a + b ) Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: HD: Ta có: 4a + 4b3 ≥ a + 3a 2b + 3ab + b3 3 3a − 3a b + 3b − 3ab ≥ 3a ( a − b ) + 3b ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) ( a + b) ≥ a + b3 + abc ≥ ab ( a + b + c ) Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: HD: Ta có: a + b3 + abc ≥ a 2b + ab + abc 3 a − a b + b − ab ≥ a ( a − b ) + b2 ( b − a ) ≥ ( a − b ) (a 2 ( a + b) ≥ + b ) ≥ ab ( a + b ) 2 Bài 30: CMR: HD: Ta có: a + 2a 2b + b ≥ ab ( a + 2ab + b ) = a 3b + 2a 2b + ab (a − a 3b ) + ( b − ab3 ) ≥ 3 a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ (a − b3 ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) (a + ab + b ) ≥ a2 + b2 + c2 ≥ a ( b + c ) Bài 31: CMR: HD: ta có: a + b + c − ab − ac ≥ 2 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac ≥ (a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + 2a ≥ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + 2a ≥ 2 a + b2 + c + d ≥ a ( b + c + d ) Bài 32: CMR: HD: a + b + c + d − ab − ac − ad ≥ 2 2 4a + 4b + 4c + 4d − 4ab − 4ac − 4ad ≥ ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + a ≥ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + a ≥ a2 + b2 + c2 + Bài 33: CMR: HD: Ta có: (a 2 ≥ ( a + b + c) − a ) + ( b2 − b ) + ( c − c ) + ≥0 1 1 1 a − a + ÷+ b − b + ÷ + c − c + ÷ ≥ 4 4 4 2 1 1 1 a − ÷ + b − ÷ + c − ÷ ≥ 2 2 2 a + b + ≥ ab Bài 34: CMR: HD: ta có: a + b − 4ab + ≥ 4 2 2 a + b − 2a b + 2a b − 4ab + ≥ a ( (a − b ) + ( a 2b − 2ab + 1) ≥ − b ) + ( ab − 1) ≥ 2 x4 − x + > Bài 35: CMR: HD: ta có: ( x − x + ) + ( x2 − x + 1) > x ( − ) + ( x − 1) > 2 Không xảy dấu x4 − x + > Bài 36: CMR: HD: Ta có: 1 1 x − x + ÷+ x − x + ÷ ≥ 4 4 2 1 1 x − ÷ +x− ÷ ≥ 2 2 x + x + > x ( x > 0) Bài 37: CMR: HD: x3 − 3x + x + > ta có: x x2 − x + 4) + x2 + > ( x ( x − ) + x + > , Vì x > x − x − x − ( )( ) ( 3) ( x − ) ≥ −1 Bài 39: CMR: HD: ( x − 1) ( x − ) ( x − ) ( x − 3) + ≥ ( Đặt x2 − 5x + 4) ( x − 5x + ) + ≥ x2 − 5x + = t ( t − 1) ( t + 1) + ≥ Khi ta có: t ≥ , Dấu t=0 Bài 40: CMR: HD: x + x3 + x + x + > x3 ( x + 1) + ( x + 1) + x > Ta có : x + 1) ( x3 + 1) + x > ( ( x + 1) ( x x − x +1 + x > ) 2 ( ĐPCM) a + 4b + 4c ≥ 4ab + 8bc − 4ac 2 Bài 41: CMR : HD: Ta có: a + 4b + 4c − 4ab − 8bc + 4ac ≥ a + ( 2b ) + ( 2c ) − 2.a.2b − 2.2b.2c + 2.a.2c ≥ 2 ( a − b + c ) ≥ ( a3 + b3 + c ) ≥ ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) 3 Bài 42: CMR : với a, b, c >0 HD: Ta có: 8a + 8b3 + 8c ≥ 2a3 + 2b3 + 2c + 3a 2b + 3ab + 3b c + 3bc + 3a 2c + 3ac 3 2 2 2 6a + 6b + 6c − 3a b − 3ab − 3b c − 3bc − 3a c − 3ac ≥ ( 3a − 3a 2b ) + ( 3a − 3a c ) + ( 3b3 − 3b a ) + ( 3b3 − 3b 2c ) + ( 3c − 3bc ) + ( 3c − 3ac3 ) ≥ 3a ( a − b ) + 3a ( a − c ) + 3b ( b − a ) + 3b ( b − c ) + 3c ( c − b ) + 3c ( c − a ) ≥ ( a − b ) ( a − b2 ) + ( a − c ) ( a − c ) + ( b − c ) ( b2 − c2 ) ≥ ( a − b ) ( a + b) + 3( a − c) ( a + c ) + 3( b − c ) ( b + c ) ≥ ( a + b + c) ≥ a3 + b3 + c3 + 24abc Bài 43: CMR: với a,b,c>0 HD: Ta có: a + b3 + c3 + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ a + b3 + c + 24abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 24abc Vì a + b ≥ ab b + c ≥ bc c + a ≥ ca , Nhân theo vế ta ĐPCM x y x2 y + + ≥ 3 + ÷ y x y x Bài 44: CMR: Với x, y # ta có: HD: Ta có: x + y + x y ≥ xy ( x + y ) x ( ( + y ) − xy ( x + y ) + x y − xy ( x + y ) ≥ x + y ) ( x + y − xy ) + xy ( xy − x − y ) ≥ (x + y − xy ) ( x + y − xy ) ≥ x − y) ( (x − xy + y ) ≥ a + b3 ≥ a + b ≥1 Bài 45: CMR : Nếu , HD: Ta có: b ≥ − a => b3 ≥ − 3a + 3a − a 1 1 a + b ≥ 3a − 3a + = a − ÷ + ≥ 2 4 3 ab + bc + ca ≤ a + b + c Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : HD: Ta có: a + b + c − ab − bc − ca ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ Bài 47: CMR : HD: Ta có: 2 a2 + a + >0 a2 − a + 1 a + a + = a + a + ÷+ > 0, ∀a 4 10 8.3 10 a 8a S = + ÷+ ≥ + = + = 3 9 a 9 S= Vậy Min 10 ≥ Bài 5: Cho x 1, Tìm Min của: HD : A = 3x + x = => 2x 1 = = k => k = 2x Ta có : Dấu 5.1 3x x A = + ÷+ ≥ + = 1+ = 2 2x Khi : ≥ Bài 6: Cho x,y sớ thực dương thỏa mãn: x+y 6, 10 P = 5x + y + + x y Tìm Min của: HD : Ta có : x≠ y Dấu , Dự đốn có cặp (x ; y) (1 ;5),(2 ;4) , (5 ;1) (4 ;2) nhận thấy cắp (2 ;4) P có giá trị nhỏ Khi ta có : 10 x = => = = k 5.2 => k = ,, = = 3.4.h => h = x => 10 x y x y P = + ÷+ + ÷+ + ≥ 2.5 + 2.2 + = 29 2 x y ≥ Bài 7: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn : a+2b+3c 20, P = a+b+c+ + + a 2b c Tìm Min của: HD : Ta có : Dấu a=2, b=3, c=4 3a b c a b 3c P = + ÷+ + ÷+ + ÷+ + + a 2b c 4 Khi : 1 P ≥ + + + ( a + 2b + 3c ) ≥ + 20 4 ≥ Bài 8: Cho a 2, Tìm Min của: HD : Ta có : S =a+ a2 46 1 = = h.2 => h = a Dấu a=2=> , Khi ta có : 3.2 a a 3a S = + + ÷+ ≥ 33 + = + = 64 4 4 8 a 0 = = k => k = a Dấu S = + 8a + 8a ÷− 14a ≥ 3 64 − 14a a , mà , Khi ta có : a ≤ => −14a ≥ −7 => S ≥ 3.4 − = A=a+ 1 +b+ +c+ a b c ≥ ≥ ≥ Bài 10: Cho a 10, b 100, c 1000, Tìm Min của: HD : 1 a = 10 => = = k 10 => k = a 10 100 Dấu , Tương tự với b c, Khi ta có : a 99a 99.10 101 1 B= + ≥ + = ÷+ 10 100 100 a 100 100 Tương tự với b c a + b + c ≤1 Bài 11: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: , 1 P = a +b+c+ + + a b c Tìm Min của: HD : 1 1 1 P = + 9a ÷+ + 9b ÷+ + 9c ÷− ( a + b + c ) a=b=c= a b c Dấu , Khi a + b + c ≤ => −8 ( a + b + c ) ≥ −8 P ≥ + + − 8( a + b + c) Mà P ≥ + + − = 10 Vậy P = ab + bc + ca Bài 12: Cho a,b,c ba số thực thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của: HD : a+b+ 1 a = b = c = => ab = 3 a.b ≤ 3 3 Ta có : Dấu 47 bc ≤ 3 Tương tự ta có : Cộng theo vế ta : 1 c+a+ , ca ≤ 3 3 b+c+ 2a + 2b + 2c P ≤ 3 + ÷= 3 3 a+b+c ≤ Bài 13: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: , 1 P = a +b+c+ + + a b c Tìm Min của: HD : 1 1 1 a = b = c = => P = + 4a ÷+ + 4b ÷+ + 4c ÷− ( a + b + c ) a b c Dấu 15 P ≥ + + − = 2 a +b + c ≤1 Bài 14: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: , 1 1 P = a + b + c + 2 + + ÷ a b c Tìm Min của: HD : 2 2 2 a = b = c = => P = 18a + ÷+ 18b + ÷+ 18c + ÷− 17 ( a + b + c ) a b c Dấu => P ≥ 19 Bài 15: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a3 b3 c3 A= + + 2 ( − a ) ( − b ) ( − c2 ) a +b + c =1 , , Tìm Min của: HD : a=b=c= Dấu Khi : a 1− a 1− a + + ≥ a 8 (1− a) b3 ( 1− b) + 1− b 1− b + ≥ b 8 , Tương tự ta có : c (1− c) + 1− c 1− c + ≥ c 8 A≥ Cộng theo vế ta : ( a + b + c) = 4 48 a +b ≤1 Bài 16: Cho a,b số thực dương thỏa mãn: HD : 1 a = b = => = = 16ab ab Ta có : Dấu Khi ta có : S = 16ab + ÷− 15ab ≥ 16 − 15ab ab a + b ≥ ab => ≥ ab => ab ≤ mà S ≥ 2.4 − Vậy S = ab + , Tìm của: ab −15 => −15ab ≥ 4 15 15 17 =8− = 4 A= a+b+ a +b ≤1 1 + a2 b2 Bài 17: Cho a,b số thực thỏa mãn: , Tìm HD : 1 a = b = => A = 8a + 8a + ÷+ 8b + 9b + ÷− 15 ( a + b ) a b Dấu => S ≥ 3.4 + 3.4 − 15.1 = a+b+c ≤ Bài 18: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: , 1 P = a+b+c+ + + a b c Tìm Min HD : a=b=c= Dấu 1 1 P = 8a + 8a + ÷+ 8b + 8b + ÷+ 8c + 8c + ÷− 15 ( a + b + c ) a b c Khi đoa : 45 27 P ≥ 3.4 + 3.4 + 3.4 − 15 = 36 − = 2 a+b+c ≤ Bài 19: Cho a,b,c sơ thực dương thỏa mãn: 1 A = a + b2 + c + + + a b c Tìm Min: HD : a=b=c= Dấu : , 49 1 1 1 31 1 => P = a + + ÷+ b + + ÷+ c + + ÷+ + + ÷ 8a 8a 8b 8b 8c 8c a b c P≥ 3 3 27 + + + ÷= 4 4 a +b +c x + y ≤1 Bài 20: Cho x,y số thực dương thỏa mãn: A = 1 − ÷ − ÷ y x Tìm Min của: HD : x = y = => A = A≥9 Dấu : , Ta cần chứng minh 2 2 1 − ÷1 − ÷ ≥ ( x − 1) ( y − 1) ≥ x y x y Xét ≥ ( x + y) => ≥ x + y + x y , , Nên ta cần chứng minh : 2 2 ( x + y ) ≥ x + y + x y xy ( − xy ) ≥ ( x + y) < xy ≤ BĐT do: P= ≤ => Min A = x= y= a+b ab + ab a + b Bài 21: Cho a,b>0 Tìm Min của: HD : a+b ab = m ab a + b => m = a = b Dấu : Khi ta có : a+b ab a + b 3.2 ab 3.2 P= + + ≥2 + = 1+ = 4 ab 4 ab a + b ab Bài 22: Cho HD : a +b ≤1 P= a,b>0, Tìm của: a =b= 1 + a +b ab 2 Dấu P= 2 + ≥ + ÷+ 2ab a + b 2ab 2ab ( a + b ) Khi : 50 P≥ ( a + b) 2 ≥ + = ≥6 2 4ab ( a + b ) ( a + b) ( a + b) + Bài 23: Cho a,b>0 HD : a +b ≤1 a =b= P= , Tìm Min của: 1+ a + b 2 + 2ab Dấu : 1 = 2 1+ a + b 3.2ab Khi : 1 => P = + ≥ 2 + ÷+ 2 + a + b 6ab 3ab ( a + b + 6ab + 1) 3ab P≥ ( a + b ) + 4ab + 3ab + a + b ≥ ab => ab ≤ mặt khác : Dấu Bài 24: Cho a,b>0, HD : => P ≥ + = + 3 1 + a + b = 6ab => a = b = a = b a + b = a +b ≤1 a =b= P= , Tìm Min của: 1 + + ab a +b ab 2 Dấu Khi : P= 2 + + 4ab ÷ ≥ + 4ab + ÷+ ÷+ 4ab 4ab a + b 2ab 2ab ( a + b) P≥ ( a + b) + 4ab + ≥7 4ab 4 51 Dấu a + b2 = 2ab 2 => a = b = a b = 16 a + b = Bài 25: Cho a,b>0 HD : a +b ≤1 a =b = S= , Tìm Min của: 1 + + a + b a b ab a + b3 + 3a 2b + 3ab = ( a + b ) Dấu 1 = = 3 a +b 2a b 2ab Khi : 1 1 25 S= 3+ + + + ≥ 2 a + b 2a b 2ab 2a b 2ab ( a + b ) + ab ( a + b ) 25 S≥ ( a + b) => S ≥ 20 ( a + b) + 4ab ≤ ( a + b ) , Dấu a +b + c =1 2 a=b=c= Dấu ( a + b) => ab ≤ , Vì a=b= Bài 26: Cho a,b,c>0 HD : Ta có : 2 P = a+b+c+ , Tìm Min của: abc 1 = 3, a = abc , Khi : 1 = a = b = c => m = m.abc Tìm m cho : abc P = a +b+ c + ≥ 44 + ÷+ 9abc 9abc 9abc 9abc P≥ + 9abc , a + b + c ≥ 3 ( abc ) ≥ 3 ( abc ) => a 2b c ≤ Ta lại có : => 9abc ≤ 3 = 27 3 12 => ≥ = => P ≥ + = =4 9abc 3 3 3 52 1 + + =4 x y z Bài 27: Cho x,y,z>0 , 1 P= + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Tìm Max : HD : x= y=z= 1 1 => x = y + z => = + + + 2x + y + z x y z x Dấu xảy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ≤ + + + ÷+ + + + ÷+ + + + ÷ 16 x x y z 16 x y y z 16 x y z z Nên : 4 4 ≤ + + ÷= 16 x y z a + b + c =1 Bài 28 : Cho a,b,c số thực dương , a+b + b+c + c+a ≤ CMR: HD : a = b = c = => a + b = b + c = c + a = 3 Dấu : Khi ta có : 2 ( a + b) + ( b + c) + ( c + a ) ≤ 3 +a+b ( a + b) ≤ 3 => 2 +a+b +b+c +c+a 3 VT ≤ + + =2 2 , Tương tự ta có : Bài 29: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=1, A= a+b + b+c + c+a Tìm Max HD : a = b = c = => a + b = b + c = c + a = 3 Dấu : 2 a+b+ + 2 3 a + b = 3 ( a + b) ≤ 3 3 Nên : Tương tự ta có : 2 2 b+c+ + a+c+ + 9 3 3 3 b+c ≤ c+a ≤ 4 Cộng theo vế ta : 53 P≤ 2( a + b + c) + = 18 x2 y2 z2 + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x Bài 30: Cho x,y,z>0 xyz=1, CMR: HD : x = y = z = => x2 1+ y = = => α = 1+ y α Ta có Dấu x2 + y y2 1+ z z2 1+ x + ≥x + ≥y + ≥z 1+ y 1+ z 1+ x Khi : , tương tự ta có : 3 P ≥ ( x + y + z) − ( x + y + z) − = ( x + y + z) − = 4 4 Cộng theo vế ta : xy + yz + zx = Bài 32 : Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn : , 2 P = 3x + y + z Tìm Min : HD : x + y ≥ xy 2 2 x + z ≥ xz 2 2 y + z ≥ yz Ta có : P ≥ ( xy + yz + zx ) = 10 Cộng theo vế ta : Dấu x=y=1, z=2 x + y + xy = Bài 33 : Cho x,y số thực dương thỏa mãn : , 2 P=x +y Tìm Min : HD : x + y) ( t2 = x + y + xy ≤ x + y + + t ≥ => t ≤ −8 t≥4 4 Ta có : x + y) ( 2 =8 ( x + y ) ≥ 16 => P = x + y ≥ Hay x + y = => x = y = x = y x + y + xy = Dấu ≤ a ≤ 3,8 ≤ b ≤ 11 Bài 34 : Cho a,b số thực thỏa mãn : a+b=11, P = ab Tìm Max : 54 HD : a = 3, b = => 8a = 3b Dấu Khi : ( 33 + 5.3) = 24 1 ( 8a + 3b ) 1 P = ( 8a.3b ) ≤ = 3 ( a + b ) + 5a ≤ ( 3.11 + 5a ) ≤ 24 24 96 96 96 2 x + y ≥ 6, CMR : A = x ( x − 1) + y ( y − 1) ≥ 12 Bài 35: Cho x,y > 0, HD : x= y =3 Dấu A = ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + ) + ( y + ) − ( x + y ) − 18 Khi : A ≥ 2.3 x + 2.3 y − ( x + y ) − 18 A ≥ ( x + y ) − ( x + y ) − 18 = ( x + y ) − 18 ≥ 30 − 18 = 12 a + b + c = 1, CMR : S = a + b + b + c + c + a ≤ 16 Bài 36: Cho a,b,c > 0, Thỏa mãn : HD : a = b = c = => a + b = b + c = c + a = 3 Dấu Co si ngược ta có : 2 +a+b +b+c +c+a 2 , ( a + b) ≤ ( b + c) ≤ ( c + a) ≤ 3 3 , Tương tự ta có : Cộng theo vế ta : 2( a + b + c) S ≤ + = => S ≤ = 2 a b − + b a − ≤ ab Bài 37: Cho a,b > 1, CMR: HD : b − = a − = => a = b = Dấu : Co si ngược ta có : ( b − 1) + = ab a ( b − 1) ≤ a 2 b ( a − 1) ≤ b a − + ab = 2 Cộng theo vế ta : a ( b − 1) + b ( a − 1) ≤ ab ab + = ab 2 55 x2 y2 z2 P= + + y+z x+z x+ y Bài 38: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: HD : x=y=z= Dáu Khi : x2 y+z = = => k = y+z k x2 y+z + ≥x y+z nên : , Tương tự ta có : x+ y+z x+ y+z P+ ≥ x + y + z => P ≥ =1 2 x2 y2 + ≥8 y −1 x −1 Bài 39: Cho x,y > 1, CMR : HD : x= y Dấu , Thay vào ta : 2 x x + = => x = y = x −1 x −1 x2 + ( y − 1) ≥ x y −1 y2 + ( x − 1) ≥ y x −1 Khi : VT ≥ ( x + y ) − ( y − 1) − ( x − 1) = a +b + c =1 Bài 40: Cho a,b,c > 0, thỏa mãn: HD : a=b=c= Dấu 2 a b c 3 + 2+ ≥ 2 b +c a +c a +b 2 , CMR: a2 a 2a 2a 27 a a 3 a = = ≥ = ≥ 2÷ b + c ( − a2 ) ( − a ) ( − a2 ) 2a 27 Khi : Tương tự ta có : 3 3 3 3 3 VT ≥ a + b2 +c = a + b2 + c ) = ( 2 2 56 BẤT ĐẲNG THỨC CHƯA SOẠN ab + a +b + ÷ ≥2 a+b 2 a+b ≠ Bài 1: Cho hai số a, b thỏa mãn: , CMR: HD: 2 2 ab + 2 2 a +b + ÷ ≥ => ( a + b ) ( a + b ) + ( ab + 1) ≥ ( a + b ) a+b Ta có: 2 2 ( a + b ) ( a + b ) − 2ab − ( a + b ) + ( ab + 1) ≥ => 2 ( a + b ) − 2ab ( a + b ) − ( a + b ) + ( ab + 1) ≥ => 2 ( a + b ) − ( a + b ) ( ab + 1) + ( ab + 1) ≥ => => ( a + b ) − ab − 1 ≥ 2011 (ĐPCM) + y 2011 ≤ x 2012 + y 2012 x Bài : Cho x+y=2, CMR: HD : ( x 2012 + y 2012 ) − ( x 2011 + y 2011 ) = x2011 ( x − 1) + y 2011 ( y − 1) x2011 ( − y ) + y 2011 ( y − 1) Xét = Do x-1=1-y ( x 2012 + y 2012 ) − ( x2011 + y 2011 ) = ( − y ) ( x 2011 − y 2011 ) Vậy ( − y ) ( x 2011 − y 2011 ) ≥ ( dpcm ) x1 ≥ ≥ y x ≥ y => x 2011 ≥ y 2011 Giả sử : : ( − y ) ( x 2011 − y 2011 ) ≥ ( dpcm ) y ≥ x => y 2011 ≥ x 2011 y ≥1≥ x Tương tự lấy đo dấu = x=y=1 a b c A= + + ≥3 b+c −a a +c −b a +b−c Bài 3: CMR: HD: b + c − a = x > 0, c + a − b = y > 0, a + b − c = z > Đặt , từ đó: y−z x+ z x+ y a= ,b = ,c = 2 thay vào A ta y + z x + z x + y y x x z y z A= + + = + ÷+ + ÷+ + ÷ ≥ ( + + ) ≥ 2x 2y 2z x y z x z y Bài 4: CMR: a, b, c độ dài cạnh tam giác A 57 b+c+a >0 b−c−a < b−c +a > Vậy A 0, Chứng tỏ rằng: nguyên a b c d + + + a+b+c b+c+d c+ d + a d +a+b có giá trị khơng x + y + z ≤ xy + y + z − Bài 6: Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn: HD: 2 y y x − + − ÷ ÷ + ( z − 1) ≤ 2 2 Ta có gt=> => 1 + + ≥9 a , b, c > a +b + c ≤1 a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 7: Cho , CMR: HD: x = a + 2bc, y = b + 2ac, z = c + 2ab Đặt 1 + + ≥9 a + b + c ≤ ( ) x + y + z ≤1 x y z Khi x+y+z= với 1 1 + + ≥ 33 x + y + z ≥ xyz x y z xyz Áp dụng Co si cho số : ta 1 1 1 1 ( x + y + z ) + + ÷≥ + + ≥9 x y z x + y + z ≤ x y z => mà => đảng thức xảy x=y=z= a + b2 + c2 ≤ Bài 8: Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn: a+b+c=3 CMR: HD: ( − x ) ( − b ) ( − c ) ≥ + ( ab + bc + ca ) − ( a + b + c ) − abc ≥ Theo giả thiết ta có: a + b2 + c2 Cộng hai vế với sau thu gọn ta được: 2 2 ( a + b + c ) ≥ a + b + c + abc + a + b2 + c + abc ≤ abc ≥ => a + b + c ≤ , Mà Đẳng thức xảy ba số a,b,c có số 0, số số x + y ≥ x3 + y x3 + y3 ≤ Bài 9: Cho x,y >0 thỏa mãn: , CMR : , dấu xảy ? HD: x + x3 ≥ x , y + y ≥ y Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có: 2 3 x + x + y + y ≤ x + y => x + y ≥ ( x + y − x − y ) ≥ x + y 58 x + y ≥ x3 + y x + ≥ x, y + ≥ y Do Mà Nên 2 3 + x + + y ≥ x + y ≥ 2x + y ≥ x + y + x + y4 x3 + y ≤ dấu x=y=1 x + y − xy ≥ x + y − 2 Bài 10: CM: HD: x + y − xy ≥ x + y − => ( x + y − xy ) ≥ ( x + y − 1) x + y − xy ≥ x + y − => ( x − y) + ( x − 1) + ( y − 1) ≥ 2 => đúng, dấu x=y=1 −4 −5 > x − 2x + Bài 11: CMR khơng có giá trị x thỏa mãn: HD: −4 −4 −5 < 0, −5 < 2 ( x − 1) + ( x − 1) + Ta có: mà => đpcm 3 a + b = a + b5 a + b ≤ + ab Bài 12: Cho a, b số dương thỏa mãn: , CMR: HD: a + b ≤ + ab => a + b − ab ≤ => ( a + b ) ( a + b − ab ) ≤ a + b => a + b3 ≤ a + b Ta có: ( a3 + b3 ) ( a3 + b3 ) ≤ ( a + b ) ( a5 + b5 ) => 2a3b3 ≤ ab5 + a5b => => ab ( a − 2a 2b + b ) ≥ => ab ( a − b ) ≥ ∈ [ 0;1] a, b dương a + b + c − ab − bc − ca ≤ Bài 13: Cho số a, b, c , CMR: HD: ∈ [ 0;1] ( − a ) ( − b ) ( − c ) ≥ => − a − b − c + ab + bc + ca − abc ≥ Do a,b,c Nên ∈ [ 0;1] b ≤ b, c ≤ c a + b + c − ab − bc − ca ≤ − abc ≤ => , Do a,b,c nên , từ ta có: a + b + c − ab − bc − ca ≤ a + b + c − ab − bc − ca ≤ 1 + ≥ a +1 b +1 Bài 14: Cho a>0, b>0 a+b=1, CMR: HD: 1 + ≥ => ( a + + b + 1) ≥ ( a + 1) ( b + 1) a +1 b +1 => ( a − b) ≥ ≥ 4ab + => ≥ 4ab => ( a + b ) ≥ 4ab => Bài 15: Cho a, b, c ba số dương => 1 + = a c b ≥ ( ab + a + b + 1) , CMR : a+b=1 với a, b a+b c+b + ≥4 2a − b 2c − b 59 HD: 1 ab + = => 2a − b = a c b c 2c − b = bc a a+b c+b a+b c+b c c a a ac + = + = + + + ≥ 44 ≥ ab bc a − b 2c + b b a b c b c a => Áp dụng BĐT Cô si cho số a, b, c dương , dấu a=b=c < a < b, ax + bx + c = Bài 16: Cho a,b,c số thỏa mãn hai điều kiện sau: vô nghiệm, a +b+c =3 b−a CMR: HD: a+b+c > => a + b + x > ( b − a ) => 4a + c > 2b 0 b2 b2 b2 => 4a + c > 4a + ≥ 4a = 2b 4a 4a 4a a+b+c >3 b−a từ suy ra: (*) hay a + b3 = a − b a + b + ab < Bài 17: Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn : , CMR : 2 A = 4x y − ( x + y2 + z ) > Bài 18: Cho x,y,z ba cạnh tam giác: CMR: x + 2012 x − 2011x + 2012 > Bài 19: CMR : với x −2 ≤ a, b, c, d ≤ a + 2b + 3c + 5d = 10 Bài 20: Cho a, b, c, d thỏa mãn: CMR: a + 2b + 3c + 5d ≤ 140 60 ... a − 36abc − b − c + ÷ 12a a > 36 => , Do a − 36abc >0 12a ĐPCM 20 DẠNG : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ hay dùng : a + b) ( 2 a +b ≥ ( x + y ) ≥ xy a + b4 > x y + ≥2 y x Bài... c + ≥ (2) abc + ( ab + bc + ca + a + b + c + 1) ≥ Cộng (1) (2) theo vế ta được: 27 DẠNG 3: BẤT ĐẲNG THỨC COSI VÀ SCHAWRZ BĐT Cô Si: Với hai số a,b khơng âm ta có: a + b + c ≥ 3 abc Mở rộng ta... dương, CMR: HD : a b c + + ≥ b+c c+a a+b 1 1 + + ÷≥ x y z ( x + y + z) Ta có : Áp dụng bất đẳng thức : x = a + b 1 + + y = b + c => ( a + b + c ) ÷≥ a +b b+c c+a z = c + a