1. Trang chủ
  2. » Trung học cơ sở - phổ thông

Chuyên đề Bất Đẳng Thức lớp 12

42 1,3K 13

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 42
Dung lượng 2,17 MB

Nội dung

Chuyên đề Bất Đẳng Thức lớp 12

Trang 2

Bất đẳng thức

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0+ + + ≥ ≥

2. Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 02 ≥ ≥

3. Chứng minh: (1 a 1 b 1 c+ ) ( + ) ( + )≥ +(1 3abc với a , b , c )3 ≥ 0

Trang 3

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ≥ 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số)

b. a b c 3 abc + + ≥ 3 với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số )

xy

x 2 Định x để y đạt GTLN

Trang 4

Bất đẳng thức

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)2≤ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

2. Chứng minh: sinx cosx+ ≤ 2

Trang 7

2. Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 02 ≥ ≥

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

Trang 11

Bất đẳng thức

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ≥ 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số)

Trang 12

2Vậy: Khi x= 30 1+

2 thì y đạt GTNN bằng

+

30 13

Trang 15

3 2

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)2≤ (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki

() ⇔ a b2 2+2abcd c d+ 2 2≤a b2 2+a d2 2+c b2 2+c d2 2

⇔ a d2 2+c b2 2−2abcd 0 ≥ ⇔ (ad cb− )2≥0

2. Chứng minh: sinx cosx+ ≤ 2

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

° sinx cosx+ = 1 sinx 1 cosx+ ≤ (1 1 sin x cos x2+ 2) 2 + 2 ) = 2

Trang 17

Bất đẳng thức

PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1. (CĐGT II 2003 dự bị)

Cho 3 số bất kì x, y, z CMR: x2+xy y+ 2 + x2+xz+z2 ≥ y2+yz+z2

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3≥ x + y + z

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz

Trang 18

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c 1>

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi α > 1 ta luôn có: xα + α – 1 ≥ αx

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

Trang 19

Bất đẳng thức

Cho 3 số a, b, c bất kì Chứng minh các BĐT:

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì

Trang 20

37 (Đại học 2002 dự bị 5)

Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.Chứng minh bất đẳng thức: a c b+ ≥ 2+ +b 50

b d 50b và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = a cb d+

38 (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:

Trang 21

48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y y x− ≤ 1

4.Đẳng thức xảy ra khi nào?

Trang 22

z3 + 1 + 1 ≥ 33 3z ⇒ z3 + 2 ≥ 3z (3)Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

Trang 23

3(t 1)

t < 0, ∀t ∈  

10;

3Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ≥ 10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

3Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

3.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

1 4y4y5

x y4x,y 0

Trang 24

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10).

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z ≥ 33xyz ⇔ xyz ≥ 33xyz ⇔ (xyz)2≥ 27 ⇔ xyz ≥ 3 3Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 3

Trang 25

Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt  + =

Trang 26

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có:

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 1 12, 2

x y ta có:

Trang 27

Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c Ta được:

VT= logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c log≥ a b+ a log+ a b+ b log+ a b+ c log= a b+ abc

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

b 1 3 b.

c 2 2 c;   + ≥ ÷

 

3 2

c 1 3 c.

Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có:

Trang 28

⇒ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

⇔ 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13Đẳng thức xảy ra ⇔ 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c ⇔ a = b = c = 1

Trang 29

3Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1

⇔ (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0

⇔ (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0

BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng

b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Trang 30

a, b, c > 0 abc = 1 ⇔  >

x,y,z 0xyz=1 và P = + +

y z z x x yTheo BĐT Bunhiacopxki ta có:

63( 2 3)y

6Vậy min(x + y) = 5 2 6+

6

Trang 31

Bất đẳng thức

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Giả sử a ≥ b ≥ 0 ⇒ ac(a – b) ≥ bc(a – b) ⇒ ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:

n = ∑=n k

n k

k 0

1C

Trang 33

y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4)Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Vậy (1) đúng ⇒ (*) đúng

2RDấu “=” xảy ra ⇔  = =a b cx y z= = ⇔ ∆ ∆

x y4

Trang 34

0 x

4

⇔ x = 1Lập bảng xét dấu f′(x), suy ra minS = 5

x y4

x y4

1 b 1

b 50 = b2+ +b 50

50bVậy BĐT của đề ra đã được chứng minh

Trang 35

xyz = 9t+9

tvới t = ( xyz) 3 2 ⇒ 0 < t ≤  + +  ≤÷

2

Trang 36

9 ⇒Q(t) giảm trên  

10;9

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1

3.

40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

• Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin4x + 3 cosx (1)

Ta chứng minh: sin4x + 3 cosx ≤ 3 , ∀x ∈ R (2)

⇔ 3 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0 ⇔ 3 (1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0

⇔ (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2] ≥ 0 (3)Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

• Tìm min: Ta có y = sin5x + 3 cosx ≥ – sin4x + 3 cosx

Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = π + k2π

Trang 38

Bất đẳng thức

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm

Trang 42

Bất đẳng thức

S2 – 4P ≥ 0 ⇔ S2 – 4S2−SP

3 ≥ 0 ⇔ − −

P1S

1 4

3 ≥ 0 ⇔ P 1≥

S 4 (chia cho S2)Nên: A =

2 2

Ngày đăng: 21/05/2014, 10:53

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w