CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR: HD: Từ H kẻ Khi đó: (1) Tương tự: (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta được: Bài 2: Cho BHC có tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D CMR: HD: Kẻ: => (1) Tương tự ta có: => (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta được: VT Bài 3: Cho ABC có góc A bằng 1200, AD là đường phân giác CMR: HD: Kẻ là tam giác đều có : (đpcm) Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trên các cạnh BC, AC, AB của ABC, biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, CMR: HD: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đó: có (1) có (2) Từ (2) và (2) ta có: () Chứng minh tương tự ta cũng có: có (3) có: Từ (3) và (4) ta có: () Từ () và () => (đpcm) Bài 6: Cho ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắc các cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’, CMR: HD: Từ A, M vẽ có: Mặt khác: Chứng minh tương tự: Cộng theo vế ta được đpcm
CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho ∆ ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H, CMR: BH BD + CH CE = BC HD: Từ H kẻ Khi đó: HK ⊥ BC ∆CKH : ∆CEB ( g g ) => CH CK = => CH CE = CK CB CB CE (1) Tương tự: ∆BKH : ∆BDC ( g g ) => BH BK = => BH BD = BK BC BC BD (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: VT = CK BC + BK BC = BC ( BK + KC ) = BC Bài 2: Cho CMR: ∆ BHC có · BHC tù, Vẽ BE vng góc với CH E CD vng góc với BH D BH BD + CH CE = BC HD: HG ⊥ BC => ∆CGH : ∆CEB ( g g ) Kẻ: CH CG = => CH CE = BC.CG CB CE => (1) ∆BGH : ∆BDC ( g g ) Tương tự ta có: BH BG = => BH BD = BC.BG BC BD => (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: = BC.CG + BC BG = BC ( CG + GB ) = BC VT ∆ Bài 3: Cho ABC có góc A 1200, AD đường phân giác 1 + = AB AC AD CMR: HD: GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 DE / / AB ( E ∈ AC ) => ∆ADE Kẻ ∆ABC tam giác có : DE / / AB => => DE CE AD AC − AE AE AD = => = = 1− = 1− AB CA AB AC AC AC AD AD 1 + = => + = AB AC AB AC AD (đpcm) GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm cạnh BC, AC, AB biết AA’, BB’, CC’ đồng quy M, CMR: ∆ ABC, AM AB ' AC ' = + A ' M CB ' BC ' HD: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BB’ D cắt CC’ E, Khi đó: AM AE AE / / A ' C => = A ' M A 'C ∆AME có AM AD AD / / A ' B => = A 'M A ' B ∆AMD có Từ (2) (2) ta có: AM AE AD AD + AE DE = = = = A ' M A ' C A ' B A ' C + A ' B BC (1) (2) (*) Chứng minh tương tự ta có: AB ' AD AD / / BC => = B ' C BC ∆AB 'D có (3) AC ' AE AE / / BC => = ∆AC ' E C ' B BC có: AB ' AC ' AD AE DE + = + = B 'C BC ' BC BC BC Từ (3) (4) ta có: AM DE AB ' AC ' = = + A ' M BC B ' C BC ' Từ (*) (**) => (đpcm) (**) ∆ Bài 6: Cho ABC, M điểm tùy ý nằm tam giác đường thẳng AM, BM, CM cắc cạnh BC, AC, AB A’, B’, C’, CMR: AM BM CM + + =2 AA ' BB ' CC ' HD: AH , MK ⊥ BC => AH / / MK Từ A, M vẽ ∆A ' AH A ' M MK MK BC S MBC = = = A ' A AH AH BC S ABC có: Mặt khác: A ' M AA '− AM AM S MBC = = 1− = A' A AA ' A ' A S ABC GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 => S AM = − MBC A' A S ABC S S BM CM = − MAC , = − MAB BB ' S ABC CC ' S ABC Chứng minh tương tự: Cộng theo vế ta đpcm GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Bài 7: Cho ∆ ABC, M điểm tùy ý nằm tam giác, đường thẳng qua M trọng tâm G MA ' MB ' MC ' + + =3 GA ' GB ' GC ' tam giác cắt BC, CA, AB A’, B’, C’, CMR : HD: Gọi AM cắt BC A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC D, với I trung điểm BC A ' M MD MD / / GI => = ∆A 'GI A 'G GI có: (1) A1M MD MD MD / /GI => = = ( AI = 3GI ) A1A AI 3GI ∆A1AI có (2) A ' M A1M = A'G A1A Từ (1) (2) ta có: Chứng minh tương tự ta có: MB ' 3.B1M MC ' 3.C1M A1M B1M C1M = , = => VT = + + ÷ GB ' B1B GC ' C1C A1A B1B C1C mà ta có: từ => A1M B1M C1M + + = => VT = A1A B1B C1C ∆ Bài 8: Cho ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H ∆ ∆ a, CMR: AEF đồng dạng ABC ∆ b, H giao đường phân giác DEF c, BH BE + CH CF = BC HD: ∆AEB : ∆CFC ( g g ) => AE AB AE AF = => = AF AC AB AC a, Ta có: ∆AEF : ∆ABC ( c.g c ) => b, Chứng minh tương tự ta có: ∆CED : ∆CBA, (c.g.c) ∆BFD : ∆BCA (c.g.c) GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 · · ∆AEF : ∆ABC => ·AEF = ABC = CED => Do · · · · · BEF + ·AEF = BED + CED = BEF ( = 900 ) => BED Mà: => HE phân giác góc E Chứng minh tương tự FH phân giác góc F, HD phân giác góc D ∆BHD : ∆BCE ( g.g ) => c, BH BD = => BH BE = BD.BC BC BE CH CD ∆CDH : ∆CFB ( g.g ) => = => CH CF = CD.CB CB CF Cộng (1) (2) theo vế ta đpcm (1) (2) GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Bài 9: Cho ∆ ABC, AD đường phân giác tam giác, CMR : AD = AB AC − BD.DC HD: Trên AD lấy điểm E cho: ·AEB = ·ACB => ∆ABE : ∆ADC ( g g ) => BE AB AE = = => AB AC = AD AE DC AD AC (1) lại có: ∆BDE : ∆ADC ( g g ) => BD DE = => BD.DC = AD.DE AD DC (2) AB AC − BD.DC = AD ( AE − DE ) = AD Lấy (1) - (2) theo vế ta được: ·ABC = ·ADC , ·ABC + BCD · < 1800 Bài 10: Cho tứ giác ABCD, đó: , Gọi E giao điểm AB AC = CD.CE − AB AE CD, CMR: HD: Trên nửa mặt phẳng bờ BE, không chứa C vẽ tia Ex cho: => Ex cắt AC N => · BEx = ·ACB µ =B µ =D µ N Ta có : ∆ABC : ∆ANE ( g g ) => AB AC = => AB AE = AC AN AN AE (1) CD CA ∆CAD : ∆CEN ( g.g ) => = => CD.CE = CA.CN CN CE Tương tự : Lấy (2) - (1) theo vế ta đpcm (2) Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD CMR: Hệ thức: AB AE + AD AF = AC HD: Vì AC đường chéo lớn => DH ⊥ AC Kẻ µ > 900 => H ∈ AC D , GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ∆AHD : ∆AFC ( g g ) => => AD AH = => AD AF = AC AH AC AF (1) BK ⊥ AC => ∆AKB : ∆AEC ( g g ) Tương tự kẻ => AB AK = => AB AE = AC AK AC AE (2) AD AF + AB AE = AC ( AH + AK ) = AC AC = AC Cộng (1) (2) theo vế ta được: ∆ABK = ∆CDH Vì ( cạnh huyền - góc nhọn) => AK=HC ∆ Bài 12: Cho ABC điểm O thuộc miền tam giác, đường thẳng qua O // với AB cắt BC D cắt AC G, đường thẳng qua O //BC cắt AB K AC F, đường thẳng đia qua O //AC cắt AB H BC E DG KF EH KH DE GF + + =1 + + =2 AB BC AC AB BC AC a, CMR: b, CMR: HD: ∆HKO : ∆ABC ( g.g ) => a, ∆GOF : ∆ABC ( g.g ) => KH KO = AB BC GF OF = AC BC KH DE GF KO DE OF + + = + + =1 AB BC AC BC BC BC Nên b, Ta có: DG DC = AB BC EH BE = AC BC , Khi đó: DG KF EH DC KF BE DE + EC + BD + EC + DB + DE 2BC + + = + + = = =2 AB BC AC BC BC BC BC BC Bài 13: Cho HD: ∆ Vẽ DE / / BM ( ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD N, CMR : E ∈ AC NC AC − =1 ND BC ) GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 NC MC = ND ME NM / / DE => ∆QDE có (*) AD AC = DB BC ∆ABC có DC tia phân giác nên: (1) AD AE => = DB EM ∆ABM có DE//BM (2) AC AE = BC ME Từ (1) (2) ta có : (**) NC AC MC AE ME − = − = =1 ND BC ME ME ME Lấy (*) - (**), ta có : Bài 14: Cho ∆ ABC có đường phân giác AD, BE, CF, CMR: DB EC FA =1 DC EA FB HD: ∆ABC => có AD tia phân giác nên: EC BC FA AC = , = EA AB FB BC Tương tự: DB AB = DC AC , , Nhân theo vế ta đpcm Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC E, K, G CMR: a, b, AE = EK EG 1 = + AE AK AG c, Khi a thay đổi tích BK DG có giá trị không đổi? HD: a, ∆ABE ∆ADE AM / / DG => có AD / / BK => có AE EB = EG ED EB EK = ED EA (1) (2) GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Từ (1) (2) ta có: AE EK = => AE = EK EG EG EA 1 AE AE = + => + =1 AE AK AG AK AG b, Từ: ∆ADE AD / / BC => có Tương tự: Khi đó: c, ta có: ∆AEB AE ED AE ED AE ED = => = => = EK EB AE + EK ED + EB AK DB AB / / DG => có AE AE ED BE + = + =1 AK AG BD BD AE BE AE BE AE BE = => = => = EG ED AE + EG BE + ED AG BD Bài 16: Cho HD: ∆ KC CG AD.CG = => DG = AD DG KC => BK DG = AB AD không đổi ABC nhọn, H trực tâm, CMR : ∆BC 'H : ∆BB ' A ( g g ) => Ta có: BH CH BC '.CH S HBC => = = AB AC BB ' AC S ABC (4) =>đpcm BK AB KC AB = => BK = KC CG CG Nhân theo vế ta (3) BH CH CH AH AH BH + + =1 AB AC BC.BA CA.CB BH BC ' = AB BB ' (1) CH CA ' ∆CA ' H : ∆CC ' B ( g.g ) => = BC CC ' Tương tự: CH AH CA ' AH S AHC => = = BC.BA CC ' BA S ABC (2) AH AB ' AB.BH AB '.BH S HAB ∆AHB ' : ∆ACA ' ( g g ) => = => = = AC AA ' CA.CB AA '.CB S ABC (3) Cộng (1), (2) (3) theo vế ta được: đpcm 10 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Mặt khác: ∆ABH : ∆CAH ( g g ) => AB BH = AC AH (2) Từ (1) (2) => c, HE AB = HF AC µA = H µ = 900 => ∆HEF : ∆ABC ( c.g c ) => HE = FE => HE.BC = FE AB AB BC 1 S abc = AB AC = 6.8 = 24cm 2 2 S HEF EF EF = = => = ÷ = S ABC BC 24 BC mặt khác: EF = => HE = 3, HF = Mà BC=10=> 31 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Bài 48: Cho EA FD = EC FA ∆ ABC vuông A, đường cao AD, đường phân giác BE, giả sử AD cắt BE F, CMR: HD: ∆ABD có BF tia phân giác FD BD = FA BA => (1) ∆ ABC có BE phân giác : EA AB => = EC BC (2) ∆ : ∆ Mà ADB CAB ( g g ) AB BD = BC AB => (3) EA FD = EC FA Từ (1), (2) (3) ta có: Bài 49: Cho M, N trung điểm cạnh AD BC hình chữ nhật, E điểm tia DC, K giao EM AC, CMR: MN tia phân giác · KNE HD: Gọi H giao KN với DC O giao MN với AC Khi MO=ON MO ON KO = = ÷ EC CH OC => EC = CH => ∆ => mà µ =H µ E NEH cân N => · µ KNE = 2H Bài 50: Cho ¶ => N ¶ =N ¶ => 2.N 1 ( Góc ngồi) = đpcm ∆ ABC vng A, AH đường cao, D, E trung điểm đoạn thẳng ∆ AB, AH, đường thẳng vng góc AB D cắt CE F, CMR BCF vuông HD: 32 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Lấy M giao DE với AC => M trung điểm AC ta có : DE = BH DE BH => = EM HC EM = HC (1) Mặt khác : FD// AC ( vng góc với AB) DE FE = EM EC => (2) Từ (1) (2) ta có : BH EH = => EH / / BF EH ⊥ BC => BF ⊥ BC => ∆BCF HC EC , Mà vuông Bài 51: Cho tam giác ABC (AB ∆ tương tự ta có: ABC có EF // AB FE CE AB FE FE = => = = AB CA AC CE BD => Từ (1) (2) => đpcm (1) (2) ∆ Bài 52: Cho ABC nhọn, AD đường cao, H điểm đoạn AD, Gọi E giao điểm BH AC, F giao điểm CH AB, · EDF CMR: DA tia phân giác 33 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Qua H vẽ đường thẳng // BC cắt AB M, Cắt DF N, DE I, AC K => NI //BC, AD ⊥ BC => DH ⊥ NI ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Xét FDC, FBC, EBC, EBD, ABD, ADC, ABC ta có : NH FH MH FH NH MH HI EH HK EH = = = = = DC FC BC FC DC BC BD EB BC EB , , , , HI HK = BD BC => , MH AH = BD AD , HK AH = DC AD , MK AH = BC AD MH HK MK NH HK MH MH HI HK = = => = BD DC BC CD BC BD BC BD DC => NH = HI => ∆NDI ∆ có HD vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên=> NDI cân Vậy DH tia phân giác ∆ Bài 53 : Cho ABC có AD đường trung tuyến, Trọng tậm điểm G, đường thẳng qua G BE CF + =1 AE AF cắt cạnh AB, AC điểm E, F, CMR : HD : Kẻ BM// EF, CN//EF Khi ta có : BE GN CF GN BE CF GM + GN = ; = => + = AE AG AF AG AE AF AG = GD + DN + GD − MD 2GD AG = = =1 AG AG AG Bài 54 : Cho hình thang ABCD, đáy lớn CD O giao điểm hai đường chéo, đường thẳng qua B //AD cắt AC E, đường thẳng qua C //AD cắt BD F, CMR : 34 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 a, b, OA2 = OC.OE OD = OB.OF HD : OA B = OC OD a, Ta có : AB//CD => OE OB BE / / AD => = OA OD Từ (1), (2) => (2) OA OE = => OA2 = OE.OC OC OA AD / / FC => b, (1) OD OA = OF OC (3) OB OD = => OD = OB.OF OD OF 35 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Bài 55 : Cho ∆ ABC, Lấy E BC cho EC=2.BE, Lấy điểm F AB cho AF=2BF a, CMR : EF//AC EF = AC IE IF = = AE CF b, Gọi I giao điểm AE CF, CMR: c, Thay điều kiện EC=2BE AF=2.BF điều kiện AE, CF thứ tự hai tia phân giác ∆ ∆ góc A C ABC ABC cần có điều kiện để EF //BC HD: EB FB = = => EF / / AC EC FA a, Ta có: EF BE 1 = = => EF = AC AC BC 3 EF / / AC => b, Vì c, EF / / AC Khi , Do đó: IE IF EF IE IF = = = => = = IA IC AC AE CF EC FA = EB FB Mà AE tia phân giác góc A => (1) EC AC => = EB AB (2) FA AC = FB BC CF tia phân giác góc C (3) AC AC = => AB = BC AB BC ∆ Từ (1), (2) (3)=> => ABC cân B ∆ Bài 56 : Cho ABC, kẻ tia phân giác AD, tia đối tia BA, lấy điểm E cho BE=BD tia đối tia CA, lấy điểm F cho CF=CD a, CMR : EF //BC · · CFE BEF b, CMR : ED tia phân giác góc , FD tia phân giác góc HD : BD AB = DC AC a, Vì AD tia phân giác góc A nên: Theo gt ta lại có: BD=BE, DC= CF BE AB BE CF = => = => EF / / BC CF AC AB AC => 36 GV: Nguyễn Văn Tun_THCS c Tớn_ 0981891713 b, BDE =D ả E 1 cân => , ¶D = E ¶ ( sole ) => E =E ả 2 mà · BEF ED tia phân giác góc Chứng minh tương tự cho FD tia phân giác góc · CFE 37 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ∆ Bài 57 : Cho ABC vng A, kẻ đường cao AH, Gọi D E theo thứ tự điểm đối xứng với H qua AB AC a, CMR : Tứ giác BCED hình thang DE BD.CE = ÷ b, CMR: ∆ c, Cho AB =3cm, AC= 4cm, Tính DE Diện tích DHE HD: a, Dễ dàng chứng minh điểm D, A, E thẳng hàng BD ⊥ DE , CE ⊥ DE => BD EC Vậy BCED hình thang DB AE ∆ADB : ∆CEA => = => AD AE = DB.CE AD CE b, A trung điểm DE DE AD = AE = DE => DB.CE = ÷ nên c, Theo định lý Pi ta go : BC = AB + AC = 32 + 42 = 25 => BC = 1 => S ABC = AB AC = BC AH 2 => AH = AB AC = 2, BC Vì DE=2.AH=> DE=4,8 DE 4,8 S HDE 4,8 => = => = ÷ BC S ABC ∆ S ABC = 3.4 = => S HDE : ∆ ABC HDE , Mà Bài 58: Cho HCN ABCD, Trên tia đối tia AD lấy điểm F cho AF =AB, Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE=AD, Gọi N giao điểm FC với AB M giao điểm EC AD CMR: MD=BN HD: ta có: ∆NBC : ∆CDF => => NB BC = CD DF NB CD DC.BC = => NB = BC DF AB + AD ∆MDC : ∆CBE => => MD = (1) MD DC = CB BE DC.BC AB + AD (2) 38 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Từ (1) (2) => NB= MD 39 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ∆ Bài 59: Cho ABC vng A, đường cao AH, I trung điểm AC, F hình chiếu I BC, Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng chứa AC vẽ tia Cx vuông góc AC cắt IF E, Gọi giao điểm AH, AE với BI theo thứ tự G, K, CMR: : ∆ ∆ a, IHE BHA : ∆ ∆ b, BHI AHE c, AE vng góc với BI HD: ∆IHE : ∆BHA a, Chứng minh HI = IC = AC IF ⊥ HC Ta có: =>IF trung trực HC E ∈ IF => EC = EH => ∆IHE = ∆ICE ( c.c.c ) · · => IHE = ICE = 900 (1) · BHA = ·ACH ta lại có : · · BAH = IEH => ( Cùng phụ góc A ) (2) ∆IHE : ∆BHA ( g g ) Từ (1) (2) => ∆IHE : ∆BHA => b, Từ câu a, Mà IH EH IH BH = => = BH AH EH AH · · · · · IHE = BHA = 900 => IHE + ·AHI = BHA + ·AHI => ·AHE = BHI c, Vì · · · · ∆BHI : ∆AHE => IBH = EAH => GBH = GAK ∆AKG , ∆BHG Xét có · · GBH = GAK (cmt ) · => ·AKG = BHG = 900 · (cmt ) ·AGK = BGH Bài 60 : Cho HCN ABCD (AB => AK ⊥ GK K => AE ⊥ BI , Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, ∆ d, Khi ABCD hình vng xác định hình dạng MND e, Tính diện tích HCN ABCD biết đường chéo 4cm góc nhọn tạo hai đường 300 HD: 40 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 a, Ta có: MNPC hình bình hành NP // MC ( // AD) 1 NP = MC = BC = AD 2 b, Gọi F trung điểm AD NF / / ED => NF đường trung bình => ⊥ AC => NF ⊥ AC Mà DE ∆ => NFC vng có I trung tuyến 1 NI = CF = MD => ∆MND 2 => vuông N MN ⊥ ND => AN ND ∆AND : ∆DPC ( g g ) => = => AN CP = ND.PD DP CP c, ∆ d, ABCD hình vng NMD vng cân N e, Diện tích ABCD 4cm Bài 61 : Cho hình vng ABCD có cạnh a, Gọi I trung điểm AB, Trên tia đối tia CD đặt điểm M cho CM=a, Trên tia đối tia CB đặt điểm N cho CN =2a, tia đối tia DC đặt điểm P cho DP =2a, tia đối tia AD đặt Q cho AQ=3a, Gọi E,F, R trung điểm PN, QM, PQ, Gọi S giao điểm QM PN ∆AID : ∆DPQ a, CMR : ∆ b, MPQ tam giác ? Tứ giác MNPQ tứ giác ? c, CMR : điểm E, D, I, F thẳng hàng d, CMR: I trung điểm NQ e, CMR: đường thẳng SR, QN, CD đồng quy HD: ∆AID : ∆DPQ ( c.g c ) a, ∆MPQ b, cân Q ( QD vừa đường cao, vừa đường trung tuyến) => Tứ giác MNPQ hình thang · ∆AID : ∆DPQ => ·ADI = DQP => DI / / PQ c, (1) EF đường trung bình hình thang MNPQ => EF//PQ (2) ∆ DF đường trung bình MPQ => DF// PQ (3) Từ (1), (2) (3) => E, D, I, F thẳng hàng d, Do AQ =BN AQ // BN Nên AQBN hình bình hành, 41 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 => AB QN cắt trung điểm đường mà I trung điểm AB => I trung điểm QN e, Theo cmt ta có: MNPQ hình thang, Gọi O giao điểm MP NQ Ta lại có NP giao MQ S => S, O, R thẳng hàng => SR, Qn, CD đồng quy O Bài 62: Cho HBH ABCD, đường thẳng d quay quanh A, cắt BC, CD E F, CMR: tích BE.DF khơng đổi HD: Từ F vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB I ∆ABE IF / / BE => có AI IF = AB BE => AI BE = AB IF => DF BE = AB AD ( không đổi) 42 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Bài 63: Cho ∆ ABC (AB , BE = FC AB = CD Mà CF CE CF CD => = => = => DF / / AE DC AC CE CA => ADFE hình thang có MN đường trung bình => · · CMN = µA1 = BAC S ABC OB = S ACD OD Bài 64 : Cho Tứ giác ABCD, O giao điểm AC BD, CMR : HD : BH ⊥ AC => BH / / DK DK ⊥ AC Vẽ ta có : S ABC BH AC BH = = S ACD DK AC DK (1) ∆OBH : ∆ODK ( g g ) => Mặt khác Từ (1) (2) => đpcm BH OB = DK OD (2) Bài 65 : Cho hình thang ABCD (AB//CD), Có AB=a, CD= b, M, N cạnh AD BC cho MA a + m.b =M MN = MD m +1 MN//CD , cmr : HD : Qua M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD N I Khi MNCI hình bình hành => DI= b - MN 43 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Tương tự : NA = MN - a DI / / AN ∆ MDI có Xét MA AN MN − a => = => M = MD DI b − MN => mb − m.MN = MN − a => MN + m.MN = mb + a => MN = a + mb m +1 Bài 66 : Cho đpcm ∆ ABC nhọn, đường cao AD, BE cắt H, đường thẳng vng góc với AB ∆EAK : ∆ECH A cắt BE K, CMR : HD : Vì AD cắt BE H=> H trực tâm => CH ⊥ AB => CH / / AK µ µ => ∆EAK : ∆ECH ( g g ) A1 = C ∆ Bài 67: Chứng minh ABC vuông đường phân giác BD CE cắt I thỏa BI CI = BD CE mãn: HD: Nối AI=> AI tia phân giác góc A ∆ABD có AI tia phân giác BI AB BI AB BI = => = = ID AD ID + BI AB + AD BD => (1) AD AB AD AB = => = DC BC AD + DC AB + BC Mặt khác : AD AB AB AC => = => AD = AC AB + BC AB + BC Thay vào (1) ta : 44 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 BI AB AB + BC = = BD AB + AB AC AB + BC + CA AB + BC CI AC + BC = CE AB + BC + CA BI CI = BD CE Tương tự : Với gt 2 ( AB + BC ) ( AC + BC ) = ( AB + BC + CA ) => AB + AC = BC => ∆ Vậy ABC vuông A Bài 68 : Cho hình thoi ABCD có thẳng AD CP AB = BP.DN a, CMR : µA = 600 , P điểm thuộc cạnh AB, N giao điểm hai đường b, Gọi M giao điểm Bn DP, Tính PA.PB = PD.PM c, CMR : · BMD =? HD : a, Ta có ∆PBC : ∆CDN => CD.BC = BP.DN Do AB =BC=CD=> AB = BP.DN · BMD = 600 b, Ta chứng minh PA PM ∆PAD : ∆PMB => = PD PB c, => PA PB = PD PM đpcm 45 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ... KC = 90 => KAC +C mà 18 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0 981 891713 ∆ Bài 30: Cho ABC cân A, H trung điểm BC, I hình chiếu H AC O trung điểm HI ∆ ∆ a, CMR: BIC AOH đồng dạng b, AO vuụng gúc vi... Cx vng góc với AC cắt IF E, Gọi giao AH, AE với BI theo thứ tự G K ∆ ∆ a/ IHE BHA đồng dạng ∆ ∆ b, BHI AHE đồng dạng c, AE vng góc với BI HD: a, Ta có: ∆ AHC vng cân H, có I trung điểm AC => HI... 28: Cho HCN ABCD, nối AC, kẻ DE vng góc với AC, gọi M, N, P trung điểm BC, AE, DE, nối MN, ND, CP, CMR: ∆ ∆ a, AND DPC đồng dạng b, ND MN vng góc với HD: 17 GV: Nguyễn Văn Tun_THCS c Tớn_ 0 981 891713