CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ Định lý Bơzu: ”Dư của phép chia f(x) cho nhịn thức bậc nhất xa là 1 hằng số có giá trị là f(a) ” Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, có chia hết cho x2 không, có chia hết cho x+2 không? HD: Theo định lý Bơ zu thì dư của khi chia cho nhị thức bậc nhất x2 có giá trị là: Vậy Tương tự: Số dư của khi chia cho x+2 có giá trị là: Vậy Bài 2: Tìm số a để HD: Theo định lý Bơ zu thì dư của khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2, có giá trị là: Để f(x) chia hết cho x+2 thì a22=0 hay a=22 Bài 3: Tìm hế số a để: HD: Theo định lý Bơ zu thì dư của khi chia cho nhị thức bậc nhất x 3, có giá trị là: Để f(x) chia hết cho x 3 thì a+ 18 = 0 hay a = 18 Bài 4: Tìm hế số a để: HD: Theo định lý Bơ zu thì dư của khi chia cho nhị thức bậc nhất x + 3, có giá trị là: Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a+ 15 = 0 hay a = 15 Bài 5: Tìm hế số a để: HD: Hạ phép chia ta có: Để Bài 6: Tìm hế số a để: dư 4 HD : Theo định lý Bơ Zu ta có : Dư của , khi chia cho x3 là Để có số dư là 4 thì Bài 7: Tìm hế số a để: HD : Theo định lý Bơ Zu ta có : Dư của , khi chia cho x 1 là Để có phép chia hết thì Bài 8: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có: Để Bài 9: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có: Để phép chia là phép chia hết thì a 5 = 0 hay a = 5 Bài 10: Tìm hế số a, b để: HD : Hạ phép chia ta có: Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b2 =0 hay a=3 và b=2 Bài 11: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : Để được phép chia hết thì 124a=0 hay a=3 Bài 12: Tìm hế số a để: HD : Để thì Áp dụng định Bơ Zu ta có: Và: Giải hệ ta được a=0 và b=16 Bài 13: Tìm hế số a để: HD : Để thì Áp dụng định Bơ Zu ta có: Và: Giải hệ ta được a tùy ý và b= a Bài 14: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b4=0=> b=4 và a=4 Bài 15: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : Để là phép chia hết thì a1=0 và ab=0=> a=b=1 Bài 16: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a10b+50=0 Bài 17: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có :
CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ Định lý Bơ-zu: ”Dư phép chia f(x) cho nhịn thức bậc x-a số có giá trị f(a) ” f ( x ) = x3 − x − x + Bài 1: Không thực phép chia, xét xem, có chia hết cho x-2 khơng, có chia hết cho x+2 khơng? HD: f ( x ) = x3 − x − x + Theo định lý Bơ- zu dư chia cho nhị thức bậc x-2 có giá f ( ) = 2.2 − 2.2 − 9.2 + = trị là: f ( x ) M( x − ) Vậy Tương tự: f ( x ) = x3 − x − x + Số dư chia cho x+2 có giá trị là: f ( −2 ) = ( −2 ) − ( −2 ) − ( −2 ) + = −4 / ( x + 2) f ( x) M Vậy Bài 2: Tìm số a để HD: x − x + x + a Mx + f ( x ) = x3 − x + x + a Theo định lý Bơ- zu dư chia cho nhị thức bậc x+2, có f ( −2 ) = ( −8 ) − 3.4 − + a = a − 22 giá trị là: Để f(x) chia hết cho x+2 a-22=0 hay a=22 x − x + a Mx − Bài 3: Tìm hế số a để: HD: f ( x ) = 4x2 − 6x + a Theo định lý Bơ- zu dư chia cho nhị thức bậc x - 3, có giá trị f ( 3) = 4.9 − 6.3 + a = a + 18 là: Để f(x) chia hết cho x - a+ 18 = hay a = -18 x + x + a Mx + Bài 4: Tìm hế số a để: HD: f ( x ) = 2x2 + x + a Theo định lý Bơ- zu dư chia cho nhị thức bậc x + 3, có giá trị f ( −3) = 2.9 − + a = a + 15 là: Để f(x) chia hết cho x + a+ 15 = hay a = -15 10 x − x + a M2 x − Bài 5: Tìm hế số a để: HD: GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Hạ phép chia ta có: 10 x − x + a = ( x − 3) ( x + ) + ( a + 12 ) Để 10 x − x + a M2 x − => a + 12 = => a = −12 x + ax + 1: x − Bài 6: Tìm hế số a để: dư HD : Theo định lý Bơ- Zu ta có : f ( x ) = x + ax + f ( 3) = 2.9 + 3a + = 3a + 19 Dư , chia cho x-3 3a + 19 = => 3a = −15 => a = −5 Để có số dư ax5 + x − 9Mx − Bài 7: Tìm hế số a để: HD : Theo định lý Bơ- Zu ta có : f ( x ) = ax + x − f ( 1) = a + − = a − Dư , chia cho x - a − = => a = Để có phép chia hết x − 26 x + a M2 x − Bài 8: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có: x − 26 x + a = ( x − 3) ( x − ) + a − 21 Để x − 26 x + a M2 x − => a − 21 = => a = 21 x − x + x − x + a Mx − x + Bài 9: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia đồng nhất, ta có: x − x3 + x − x + a = ( x − x + ) ( x + 1) + a − Để phép chia phép chia hết a - = hay a = x + ax + b Mx + x − Bài 10: Tìm hế số a, b để: HD : Hạ phép chia ta có: x + ax + b = ( x + x − ) ( x − 1) + ( a + ) x + b − Để phép chia hết a + 3=0 b-2 =0 hay a=-3 b=2 x + ax − 4Mx + x + Bài 11: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : x + ax − = ( x + x + ) ( x + a − ) + ( 12 − 4a ) x + 12 − 4a Để phép chia hết 12-4a=0 hay a=3 x + ax + bMx − Bài 12: Tìm hế số a để: GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 HD : x + ax + b Mx − x + ax + b Mx − x + ax + b Mx + Để Áp dụng định Bơ- Zu ta có: f ( x ) = x + ax + b => f ( ) = 16 + 2a + b = f ( −2 ) = 16 − 2a + b = Và: Giải hệ ta a=0 b=-16 x + ax + bx − 1Mx − Bài 13: Tìm hế số a để: HD : x + ax + bx − 1Mx − x + ax + bx − 1Mx + x + ax + bx − 1Mx − Để Áp dụng định Bơ- Zu ta có: f ( x ) = x + ax + bx − => f ( 1) = + a + b − = f ( −1) = − a + b − = Và: Giải hệ ta a tùy ý b= - a x3 + ax + b Mx + x − Bài 14: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : x + ax + b = ( x + x − ) ( x − ) + ( a + b ) x + b − Để phép chia phép chia hết : a+b=0 b-4=0=> b=4 a=-4 x + ax + b Mx − x + Bài 15: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : x + ax + b = ( x − x + 1) ( x + x + a ) + ( a − 1) x + a − b Để phép chia hết a-1=0 a-b=0=> a=b=1 ax + bx + x + 50Mx + 3x − 10 Bài 16: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : ax + bx + x + 50 = ( x + 3x − 10 ) ( ax + 3a − b ) + ( a + 3b + ) x + ( 30a − 10b + 50 ) Để phép chia hết a+3b+5=0 30a-10b+50=0 ax + bx3 + 1M( x − 1) Bài 17: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : ax + bx + = ( x − x + 1) a.x + ( 2a + b ) x + ( 3a + 2b ) + ( 8a + 5b ) x − ( 3a + 2b − 1) GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Để phép chia hết : 8a+5b=0 3a+2b-1=0 x + 4M ( x2 + ax + b ) Bài 18: Tìm hế số a để: HD : Tách: x4 + = ( x2 + x + 2) ( x2 − x + 2) Vậy b=2 a=2 a=-2 x − 3x + x − x + m Mx − x + Bài 19: Tìm hế số m để: HD : Ta có: x − x3 + x − x + m = ( x − x + 1) ( x − x + 3) + m − Để phép chia hết m- 3=0=> m=3 10 x − x + a M2 x − Bài 20: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có: 10 x − x + a = ( x − 3) ( x + ) + a + 12 Để phép chia hết a+12=0 hay a=-12 x + ax − 4Mx + Bài 21: Tìm hế số a để: HD : f ( x ) = x + a.x − Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư chia cho x+4 là: f ( −4 ) = 2.16 − 4a − = 28 − 4a Để phép chia hết 28-4a=0=>a=7 x − ax + x + 3Mx + x + Bài 22: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có: x − a.x + x + = ( x + x + 3) x − ( a + ) + ( 2a + ) x − 3a − Để phép chia hết -3a-3 =0=>a=-1 x − ax − 5a − Mx + 2a Bài 23: Tìm hế số a để: HD : f ( x ) = x − a.x − 5a − Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư 1 f ( −2a ) = 4a + 2a − 5a − = a − 4 a2 − Để phép chia hết chia cho x+2a là: 1 = => a = ± 4 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 x + x + x + x 27 + x 81 Bài 24: Tìm số dư chia cho x-1 HD : Ta có : P ( x ) = ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) + ( x 27 − 1) + ( x81 − 1) + nên số dư Hoặc sử dụng định lý Bơ- Zu x + x + x + x 27 + x81 x2 −1 Bài 25: Tìm số dư : chia cho HD : Ta có : P ( x ) = ( x − x ) + ( x − x ) + ( x 27 − x ) + ( x 81 − 1) + x => Dư 5x 25 49 81 P ( x ) = 1+ x + x + x + x + x x3 − x Bài 26: Xác định dư của: chia cho HD : P ( x ) = ( x − x ) + ( x 25 − x ) + ( x 49 − x ) + ( x 81 − x ) + x + x ( x8 − 1) + x ( x 24 − 1) + x ( x 48 − 1) + x ( x80 − 1) + x − = số dư : 5x - 3n3 + 10n − 5M3n + Bài 27: Tìm n nguyên để: HD : Hạ phép chia ta có : 3n3 + 10n − = ( 3n + 1) ( n2 + 3n − 1) − 3n3 + 10n − 5M3n + => 4M3n − => 3n − 1∈ U ( ) = { ±1; ±2; ±4} Để 2n − n + 2M2n + Bài 28: Tìm n nguyên để HD : Hạ phép chia ta có : 2n − n + = ( 2n + 1) ( n − 1) + 2n − n + 2M2n + => 3M2n + => 2n + 1∈ U ( 3) = { ±1; ±3} Để : x − x + x M2 x − Bài 29: Tìm số x nguyên để HD : Hạ phép chia ta có : x − x + x = ( x − 1) ( x − x + ) + x − x + x M2 x − => 3M2 x − => x − ∈ U ( 3) = { ±1; ±3} Để Bài 30: Tìm số x nguyên để: HD : x − 3x + x − 83Mx − GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 f ( x ) = x3 − 3x + x − 83 Theo định Bơ zụ dư f ( 3) = 4.27 − 3.9 + 2.3 − 83 = , chia cho x-3 : x − 3x + x − 83Mx − => x − ∈ U ( ) = { ±1; ±2; ±4} Để 4n3 − 4n − n + 4M2n + Bài 31: Tìm số x nguyên để: HD : Hạ phép chia ta có : 4n3 − 4n − n + = ( 2n + 1) ( 2n − 3n + 1) + 4n3 − 4n − n + 4M2n + => 3M2n + => 2n + 1∈ U ( ) = { ±1; ±3} Để 8n − 4n + 1M2n + Bài 32: Tìm số x nguyên để: HD : Hạ phép chia ta có : 8n − 4n + = ( 2n + 1) ( 4n − ) + 8n − 4n + 1M2n − => 5M2n − => 2n − 1∈ U ( ) = { ±1; ±5} Để 3n3 + 8n − 15n + 6M 3n − Bài 33: Tìm số x nguyên để: HD : Hạ phép chia ta có : 3n3 + 8n − 15n + = ( 3n − 1) ( n + 3n − ) + 3n3 + 8n − 15n + 6M3n − => 2M3n − => 3n − ∈ U ( ) = { ±1; ±2} Để 4n3 − 2n − 6n + 5M2n − Bài 34: Tìm số x nguyên để: HD : Hạ phép chia ta có : 4n3 − 2n − 6n + = ( 2n − 1) ( 2n − ) + 4n3 − 2n − 6n + 5M2n − => M2n − => 2n − ∈U ( ) = { ±1; ±2} Để GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 DẠNG 2: TÌM ĐA THỨC f ( x ) = x + ax + b Bài 1: Tìm a,b cho , chia cho x+1 dư 7, chia cho x-3 dư -5 HD : f ( x ) = ( x + 1) A ( x ) + a − b = −8 f ( x ) = ( x − 3) B ( x ) − 3a + b = −32 Theo ta có: , Cho x=-1, x=3=> ax + bx + c x2 −1 Bài 2: Tìm số a,b,c cho: chia hết cho x+2, chia cho dư HD : x − = ( x − 1) ( x + 1) Theo ta có: Khi dó ta có : f ( x ) = a.x3 + bx + c = ( x + ) A ( x ) f ( x ) = ( x − 1) ( x + 1) B ( x ) + Cho x= - ta có : - 8a + 4b + c = Cho x=1=> a + b + c = Cho x=-1 => - a + b + c = −8a + 4b + c = a + b + c = −a + b + c = Khi ta có hệ: 2x + ax + b Bài 3: Xác định a, b biết: chia cho x+1 dư -6, chia cho x-2 dư 21 HD : Theo ta có : f ( x ) = x + a.x + b = ( x + 1) A ( x ) − f ( x ) = 2.x + a.x + b = ( x − ) B ( x ) + 21 Cho Cho x = −1 => −2 − a + b = −6 x = => 16 + 2a + b = 21 Khi ta có hệ : −2 − a + b = −6 16 + 2a + b = 21 x − x − x + ax + b Bài 4: Tìm hệ số a,b cho: HD : Theo ta có : x − x − = ( x − ) ( x + 1) chia cho x2 − x − dư 2x-3 Nên ta có : f ( x ) = x − x − 3x + a.x + b = ( x − ) ( x + 1) + x − GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Cho Cho x = => 16 − − 12 + 2a + b = x = −1 => + − − a + b = −6 2a + b = − a + b = −5 Khi ta có hệ P( x) = x + x − x + ax + b, Q ( x ) = x + x − P ( x ) MQ ( x ) Bài 5: Cho , Xác định a,b để HD : Đặt phép chia ta có : P ( x ) = x + x3 − x + a.x + b = ( x + x − ) A ( x ) + ( a − 1) x + b + Để a − = a = P ( x ) MQ ( x ) => => b + = b = −2 2x + ax + bx + c Bài 6: Xác định số hữu tỉ a,b,c cho: x2 −1 chia cho dư 2x HD : Theo ta có : f ( x ) = x + a.x + bx + c = ( x − ) A ( x ) chia hết cho x-2, f ( x ) = x + a.x + bx + c = ( x − 1) ( x + 1) B ( x ) + x Và Cho Cho Cho x = => 32 + 4a + 2b + c = x = => + a + b + c = x = −1 => + a − b + c = −2 Khi ta có hệ : 4a + 2b + c = −32 a + b + c = a − b + c = −4 P ( x ) = ax + bx + 1MQ ( x ) = ( x − 1) Bài 7: Xác định a,b cho: HD : Đặt phép chia P ( x ) = a.x + bx + = ( x − 1) A ( x ) + ( 4a + 3b ) x + − 3a − 2b Để 4a + 3b = P ( x ) MQ ( x ) => 1 − 3a − 2b = GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 x − x3 + ax + x + 2Mx − x + b Bài 8: Xác định a,b cho: HD : Đặt phép chia x − x + a.x + x + = ( x − x + b ) A ( x ) + ( a − 5b + ) x + ( 6b − ab + b + ) Để phép chia hết a − 5b + = 6b − ab + b + = (x − 4x + 4) Bài 9: Tìm tổng hệ số đa thứ sau khai triển: HD : Tổng hệ số cảu đa thức sau triển khai giá trị cảu đa thức x=1 Thay x=1 vào ta được: ( − + 4) = Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+4 dư 9, f(x) chia cho x-3 dư 2, f ( x ) : x + x − 12 x2 + có thương cịn dư HD : f ( x ) = ( x + x − 12 ) ( x + ) + ax + b = ( x − 3) ( x + ) ( x + 3) + ax + b Cho f ( x ) = −4a + b = x = −4, x = => f ( x ) = 3a + b = Khi ta có hệ : −4a + b = 3a + b = 10 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 A ( x ) = ax3 + bx + c Bài 11: Xác định đa thức 3x+2 HD : x + x − = ( x − 1) ( x + ) Ta có : Khi ta có : A ( x ) = a.x + bx + c = ( x − ) B ( x ) A ( x ) : x2 + x − , biết: A(x) chia hết cho x-2 dư A ( x ) = a.x + bx + c = ( x − 1) ( x + ) C ( x ) + 3x + Và Cho Cho x = => 8a + 4b + c = x = => a + b + c = x = −2 => −8a + 4b + c = −4 Cho Khi ta có hệ : 8a + 4b + c = −8a + 4b + c = −4 a + b + c = f ( x ) : x + x − 12 Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x-3 dư 2, f(x) chia cho x+4 dư 9, x2 + thương dư HD : x + x − 12 = ( x − 3) ( x + ) x2 + Do f(x) chia cho thương cịn dư nên ta có : f ( x ) = ( x + ) ( x − 3) ( x + ) + a.x + b x = −4 => f ( x ) = −4a + b = Cho x = => f ( x ) = 3a + b = Cho −4a + b = 3a + b = Khi ta có hệ: Bài 13: Tìm đa thức bậc P(x) biết, P(x) chia cho đa thức (x-1), (x-2), (x-3) dư 6, P(-1)=-18 HD : P ( x ) = ( x − 1) A ( x ) + P ( x ) = ( x − ) B ( x ) + P ( x ) = ( x − 3) C ( x ) + P ( 1) = P ( ) = P ( 3) = Từ gt ta có : nên P( x) = d + c ( x − 1) + b ( x − 1) ( x − ) + a ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) Đặt : Chọn x=1=>d=6, x=2=>c=0, x=3=>b=0, x=-1=>a=1 11 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 p ( x ) = ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) + Vậy đa thức cần tìm là: P( −1) = 0, P ( x ) − P ( x − 1) = x ( x + 1) ( x + 1) Bài 14: Tìm đa thức bậc biết: HD : P ( ) − P ( −1) = Cho x=0=> mà P(-1)=0=>P(0)=0 Lần lượt cho x=-2,1,2 ta có: P(-2)=0,P(1)=6, P(2)=36 P ( x ) = e + d ( x + ) + c ( x + ) ( x + 1) + b ( x + ) ( x + 1) x + a ( x + ) ( x + 1) x ( x − 1) Đặt Chọn x=-2=>e=0 x=-1=>d=0 x=0=>c=0 x=1=>b=1 x=2=>a=1/2 P ( x ) = ( x + ) ( x + 1) x ( x − 1) + ( x + ) ( x + 1) Vậy đa thức cần tìm là: 12 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x+3 dư 1, P(x) chia cho x- dư 8, chia cho (x+3)(x-4) thương 3x, dư HD : Vì P(x) chia cho (x+3)(x-4) thwuong 3x cịn dư nên ta có: P ( x ) = ( x + 3) ( x + ) x + ax + b P ( x ) = ( x + 3) A ( x ) + Và P ( x ) = ( x − 4) B ( x ) + Và Cho x = −3 => P ( x ) = = −3a + b x = => P ( x ) = = 8a + b Cho Khi ta có hệ: −3a + b = 8a + b = Bài 16: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) =19, P(1)=5, P(2)=1995 HD : P ( x ) = c + b ( x − ) + a ( x − ) ( x − 1) Đặt: Cho x=0=>c=19 x=1=>b=-14 x=2=>a=1002 P ( x ) = 1002 x ( x − 1) − 14 x + 19 Vậy đa thức cần tìm là: Bài 17: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết: P(0)=10, P(1)=12, P(2)=4, P(3)=1 HD : P ( x ) = d + cx + bx ( x − 1) + ax ( x − 1) ( x − ) Đặt Cho Cho x = => P ( ) = 10 = d x = => P ( 1) = 12 = c + d => c = x = => P ( ) = = d + 2c + 2b => b = −5 Cho x = => P ( 3) = = d + 3c + 6b + 6a => a = Cho P ( x) = 5 x ( x − 1) ( x − ) − x ( x − 1) + x + 10 Vậy đa thức cần tìm là: Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0)=19, P(1)=85, P(2)=1985 HD : P ( x ) = a.x ( x − 1) + bx + c Đặt x = => P ( ) = 19 = c => c = 19 Cho 13 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 x = => P ( 1) = 85 = b + c => b = 66 Cho x = => P ( ) = 1985 = 2a + 2b + c => a = 917 Cho P ( x ) = 917 x ( x − 1) + 66 x + 19 Vậy đa thức bậc hai cần tìm là: P ( x ) = x + ax + Q ( x ) = x3 + ax + Bài 19: Cho đa thức: , xác định a để P(x) Q(x) có nghiệm chung HD : Giả sử nghiệm chung c P ( x ) − xQ ( x ) = x − => P ( c ) − cQ ( c ) = c − => x = c nghiệm P ( c ) = Q ( c ) = => c − = => c = Nên , Khi c=1=>P(1)=Q(1)=a+2=0= >a= - Vậy a= - P(x) Q(x) có nghiệm chung DẠNG 3: TỔNG HỢP 5n + + 26.5n + 82 n+1 M59 Bài 1: CMR với số tự nhiên n ta có : HD : n n n n n n n 5n + + 26.5n + 82 n+1 M 59 51.5 + 8.64 = ( 59 − ) + 8.64 = 59.5 + ( 64 − ) Ta có: = n ( 64 − ) M( 64 − 5) Vì nên ta có đpcm Bài 2: CMR: HD : n − n3 − n + n chia hết cho 24 với n ∈Z n − 2n3 − n + 2n = n n ( n − ) − ( n − ) = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − ) Ta có: tích số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết chia hết cho chia hết cho ab − a − b + Bài 3: Cho a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: chia hết cho 48 ab − a − b + = ( a − 1) ( b − 1) ta có: , HD : Vì a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên: 2 a = ( 2n + 1) ; b = ( 2n + 3) ∈Z với n 2 ab − a − b + = (a − 1)(b − 1) = ( 2n + 1) − 1 ( 2n + 3) − 1 = 16n ( n + 1) ( n + ) Nên Nên chia hết cho 16 chia hết chia hết cho 48 14 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Bài 4: ( 21x − x3 + x + x + a ) M ( x2 − x − 2) a, Tìm giá trị a để f ( x ) = x3 + ax + b b, Xác định hệ số a, b để đa thức HD : a, chia hết cho đa thức x2 + x − x − x + 15 Thực phép chia ta thương dư a+30 b, f ( x ) Mx + x − f ( x ) M( x + 3) ( x − ) , Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 f(2)=0=>2a+b=-8 3 M = ( a − 1) + a + ( a + 1) = 3a + 6a = 3a ( a − 1) ( a + 1) + 9a M Khi ta có: f ( x ) = ax + bx + cx + d Bài 5: Cho đa thức , Tìm a,b,c,d biết chia đa thức cho nhị thức (x-1), (x-2), (x-3) có số dư x=-1 đa thức nhận giá trị -18 HD : f ( x ) − 6M( x − 1) , ( x − ) , ( x − 3) Ta có: f(x) bậc nên f(x) có dạng f ( x ) − = m ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) với m số: f ( x ) − = ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) => f ( x ) = x − x + 11x f (−1) = −18 => m = lại có: Bài 6: CMR giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x: ( x − 1) − x x + + x x + ( ) ( ) HD : Biểu thức x − x3 + x − x + − x − x + x3 + x = 3x + x + x + a x2 + Bài 7: Tìm a để đa thức chia hết cho đa thức HD : Đem chia ta dư a+3 x + ax + b Bài 8: Tìm số a b cho chia hết cho x+1 dư chia cho x-3 dư -5 HD : x + ax + b = ( x + 1) P ( x ) + = ( x − 3) Q ( x ) − Ta có : a = −10, b = −2 Thay x=-1 x=3 vào biểu thức ta : Bài 9: CMR: Tổng lũy thừa bậc ba ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho HD: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1 15 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 3a + 11ab − 4b M 169 abM 13 Bài 10: Cho a,b hai số nguyên, CMR : Nếu f ( x ) = x 2012 + x 2011 + Bài 11: Tìm phần dư phép chia cho đa thức : x −1 a, x2 + x + b, ( 21x − x3 + x + x + a ) M ( x2 − x − 2) Bài 12: Tìm giá trị a để HD: Thực phép chia ta thương x − x + 15 dư a+30 f ( x ) = ax + bx + cx + d Bài 13: Cho đa thức , Tìm a,b,c,d biết chia đa thức cho nhị thức (x-1), (x-2), (x-3) có số dư x=-1 đa thức nhận giá trị -18 HD: f ( x ) − 6M( x − 1) , ( x − ) , ( x − 3) Ta có: f(x) bậc nên f(x) có dạng f ( x ) − = m ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) với m số: f ( x ) − = ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) => f ( x ) = x − x + 11x f (−1) = −18 => m = lại có: Bài 4: CMR giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x: ( x − 1) − x x + + x x + ( ) ( ) HD: Biểu thức x − x3 + x − x + − x − x + x3 + x = 3x + x + x + a Bài 15: Tìm a để đa thức HD : Đem chia ta dư a+3 chia hết cho đa thức x2 + P( x ) = x + x + x − 40 x + m − 1979 Bài 16: Cho đa thức: a, Tìm m cho P(x) chia hết cho x-2 b, Với m tìm được, giải thích phương trình P(x)=0 Bài 17: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư chia cho x2 + thương dư Bài 18: Xác định số hữ tỉ a, b cho x + ax + b chia hết cho x − x + 10 x2 − 2x − 16 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 f ( x ) = 100 x100 + 99 x99 + + x + x + Bài 19: Cho đa thức cho m< 3x-1, CMR : , Gọi m số dư phép chia đa thức f (3) = 1931, f (26) = 2012 Bài 20: Có tốn hay không đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn : x + ax + b Bài 21: Tìm số a b cho chia hết cho x+1 dư chia cho x-3 dư -5 HD : x + ax + b = ( x + 1) P ( x ) + = ( x − 3) Q ( x ) − Ta có : a = −10, b = −2 Thay x=-1 x=3 vào biểu thức ta : p = n + 3n + Bài 22: CMR : , không chia hết cho 121 với số tự nhiên n 52 n +1 + 2n+ + 2n +1 Bài 23: CMR với số nguyên n chia hết cho 23 n + 11n M6 Bài 24: CMR với n với n số nguyên f ( x) = x3 + ax + b x2 + x − Bài 25: Xác định hệ số a, b để đa thức chia hết cho đa thức HD: f ( x ) Mx + x − f ( x ) M( x + 3) ( x − ) , Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 f(2)=0=>2a+b=-8 3 M = ( a − 1) + a + ( a + 1) = 3a + 6a = 3a ( a − 1) ( a + 1) + 9a M Khi ta có: 17 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ... + x = 3x + x + x + a x2 + Bài 7: Tìm a để đa thức chia hết cho đa thức HD : Đem chia ta dư a+3 x + ax + b Bài 8: Tìm số a b cho chia hết cho x+1 dư chia cho x-3 dư -5 HD : x + ax + b = ( x +... x + x + a Bài 15: Tìm a để đa thức HD : Đem chia ta dư a+3 chia hết cho đa thức x2 + P( x ) = x + x + x − 40 x + m − 1979 Bài 16: Cho đa thức: a, Tìm m cho P(x) chia hết cho x-2 b, Với m tìm được,... ( x + ) ( x + 1) Vậy đa thức cần tìm là: 12 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0 981 891713 Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x+3 dư 1, P(x) chia cho x- dư 8, chia cho (x+3)(x-4) thương