Chuyên Đề Bất Đẳng Thức lớp 9

www.vnmath.com 77 CHUYEN ẹE 16 BAT ẹANG THệC Phần I : các kiến thức cần lu ý 1-Đinhnghĩa: 0 0 AB AB AB AB 2-tính chất + A>B AB + A>B v B >C A > C + A>B A + C >B + C + A>B v C > D A +C > B + D + A>B v C > 0 A.C > B.C + A>B v C < 0 A.C < B.C + 0 < A < B v 0 < C < D 0 < A.C < B.D + A > B > 0 A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > 0 v A > 1 A m >A n + m > n > 0 v 0 <A < 1 A m < A n +A < B v A.B > 0 BA 11 3 - một số hằng bất đẳng thức + A 2 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A n 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + - A < A = A + AB A B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + AB A B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) Phần II : một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1) Phơng pháp 1: dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A B > 0 Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 với M Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz Giải: a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy yz zx = 2 1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy yz zx) = 2 1 22 2 ()()() x yxzyz 0 đúng với mọi x;y;z R Vì (x-y) 2 0 vớix ; y .Dấu bằng xảy ra khi x = y (x- z) 2 0 vớix ; z . Dấu bằng xảy ra khi x = z (y- z) 2 0 với z; y . Dấu bằng xảy ra khi z = y Vậy x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx . Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz 2yz = ( x y + z) 2 0 đúng với mọi x;y;z R Vậy x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R Dấu bằng xảy ra khi x + y = z Ví dụ 2: chứng minh rằng : www.VNMATH.com www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn www.vnmath.com 78 a) 2 2 2 a b a b 2 2 ; b) 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 c) Hãy tổng quát bi toán giải a) Ta xét hiệu 2 2 2 a b a b 2 2 = 2 2 2 2 2 a b a 2ab b 4 4 = 2 2 2 2 1 2a 2b a b 2ab 4 = 2 1 a b 0 4 Vậy 2 2 2 a b a b 2 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b b)Ta xét hiệu: 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 = 2 2 2 1 a b b c c a 0 9 Vậy 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 Dấu bằng xảy ra khi a = b =c c)Tổng quát: 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n a a a a a a n n * Tóm lại các bớc để chứng minh AB theo định nghĩa Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H = (C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +.+(E+F) 2 Bớc 3: Kết luận A B 2) phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh l đúng. Ví dụ 1 : Cho a, b, c, d,e l các số thực chứng minh rằng a) 2 2 b a ab 4 b) 2 2 a b 1 ab a b c) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e Giải: a) 2 2 2 2 2 2 2 b a ab 4a b 4ab 4a 4a b 0 2a b 0 4 (Bđt ny luôn đúng) Vởy 2 2 b a ab 4 (dấu bằng xảy ra khi 2a = b) b) 2 2 2 2 a b 1 ab a b 2(a b 1) 2(ab a b) 2 2 2 2 2 2 2 a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0 (a b) (a 1) (b 1) 0 (luôn đúng) Vậy 2 2 a b 1 ab a b Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1 c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e 4 a b c d e 4a b c d e 2 2 2 2 2 2 2 2 a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c 0 2 2 2 2 a 2b a 2c a 2d a 2c 0 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 10 10 2 2 8 8 4 4 a b a b a b a b Giải : 10 10 2 2 8 8 4 4 12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8 12 a b a b a b a b a a b a b b a a b a b b www.VNMATH.com www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn www.vnmath.com 79 82 2 2 28 2 2 ab a b ab b a 0 a 2 b 2 (a 2 -b 2 )(a 6 -b 6 ) 0 a 2 b 2 (a 2 -b 2 ) 2 (a 4 + a 2 b 2 +b 4 ) 0 Ví dụ 4: cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: zyx zyx zyx 111 1 Chứng minh rằng : có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1 = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz( zyx 111 ) = x + y + z - ( 0) 111 zyx (vì zyx 111 < x+y+z theo gt) 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 l dơng. Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z =1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức l có đúng 1 trong ba số x ,y ,z l số lớn hơn 1 3) Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A) một số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) 22 xy2xy b) 22 xy xy dấu( = ) khi x = y = 0 c) 2 xy 4xy d) ab 2 b a 2)Bất đẳng thức Cô sy: n 123 n 123 n a a a a a a a a n Với 0 i a 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski 2 22 2 22 2 22 n12 n 1122 nn a a a . x x a x a x a x 4) Bất đẳng thức Trê-b - sép: Nếu abc ABC aA bB cC a b c A B C . 333 Nếu abc ABC aA bB cC a b c A B C . 333 Dấu bằng xảy ra khi abc ABC B) các ví dụ ví dụ 1 Cho a, b ,c l các số không âm chứng minh rằng (a+b) (b+c)(c+a) 8abc Giải : Dùng bất đẳng thức phụ: 2 xy 4xy Tacó 2 ab 4ab; 2 b c4bc ; 2 ca 4ac 222 ab bc ca 2 222 64a b c 8abc(a + b)(b + c)(c + a) 8abc Dấu = xảy ra khi a = b = c ví dụ 2: Cho a > b > c > 0 v 222 abc1 chứng minh rằng 333 abc1 b cacab2 www.VNMATH.com www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn www.vnmath.com 80 Do a,b,c đối xứng , giả sử a b c 222 abc abc b cacab áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có 222 222 abcabcabc a. b. c. . b c ac ab 3 bcacab = 2 3 . 3 1 = 2 1 Vậy 333 abc1 b cacab2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 1 ví dụ 3: Cho a,b,c,d > 0 v abcd =1 .Chứng minh rằng : 2222 a b c d abc bcd dca 10 Ta có 22 ab2ab ; 22 cd2cd Do abcd =1 nên cd = ab 1 (dùng 2 11 x x ) Ta có 222 1 a b c 2(ab cd) 2(ab ) 4 ab (1) Mặt khác: abc bcd dca = (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad) = 111 ab ac bc 2 2 2 ab ac bc 2222 a b c d abc bcd dca 10 ví dụ 4 : Chứng minh rằng : 222 abcabbcac Giải : Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Xét cặp số (1,1,1) v (a,b,c) ta có 2 222 2 2 2 111(a b c)1.a1.b1.c 3 222 222 222 abc abc2abbcac abcabbcac (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi a = b = c 4) Phơng pháp 4: dùng tính chất của tỷ số A. Kiến thức 1) Cho a, b ,c l các số dơng thì a ) Nếu a 1 b thì aac b bc b ) Nếu a 1 b thì aac b bc 2) Nếu b, d > 0 thì từ ac aacc b d bbdd B. Các ví dụ: ví dụ 1: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng : abcd 12 abc bcd cda dab Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có aaad 1 abc abc abcd (1) Mặt khác : aa abc abcd (2) www.VNMATH.com www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn www.vnmath.com 81 Từ (1) v (2) ta có aaad abcd abc abcd (3) Tơng tự ta có : bbba abcd bcd abcd (4) ccbc abcd cda abcd (5); dddc abcd dab abcd (6) cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có 21 bad d adc c dcb b cba a (đpcm) ví dụ 2 : Cho: ac b d v b,d > 0 Chứng minh rằng 22 aabcdc b bd d Giải: Từ 22 a c ab cd b dbd 2222 ab ab cd cd c b bd d d 22 aabcdc b bd d (đpcm) ví dụ 3 : Cho a;b;c;d l các số nguyên dơng thỏa mãn : a + b = c+d =1000 tìm giá trị lớn nhất của ab cd giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử : ab cd aabb ccdd ; a 1 c vì a + b = c + d a, Nếu: b 998 thì b 998 d ab cd 999 b, Nếu: b = 998 thì a =1 ab cd = 1 999 cd Đạt giá trị lớn nhất khi d = 1; c = 999 Vậy: giá trị lớn nhất của d b c a = 999 + 999 1 khi a = d = 1; c = b = 999 Ví dụ 4 : Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng : 4 31 2 1 1 1 2 1 nnnn Ta có nnnkn 2 111 với k = 1,2,3,,n-1 Do đó: 2 1 22 1 2 1 2 1 2 1 1 1 n n nnnnn Ví dụ 5 : CMR: A = 2222 1 4 1 3 1 2 1 1 n vi n 2 không l số tự nhiên HD: 22 1111 ; ; 2 1.2. 3 2.3 Ví dụ 6 : Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng : 23 ab bc cd da abcbcd cda dab Giải : Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có: ab ab abd abcd abc abcd (1) b c bc bca abcd bcd abcd (2) www.VNMATH.com www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn www.vnmath.com 82 da da dac abcd dab abcd (3) Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có : ab bc cd da 23 abcbcdcda dab (đpcm) 5. Phơng pháp 5:Dùng bất đẳng thức trong tam giác Lu ý: Nếu a;b;cl số đo ba cạnh của tam giác thì : a; b; c > 0 V |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ1: Cho a; b; cl số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng a, a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ac) b, abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải a)Vì a,b,c l số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có 2 2 2 0abc a a(bc) 0bac b b(ac) 0cab c c(ab) Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ac) b) Ta có a > b - c 22 2 aa(bc)> 0 b > a - c 22 2 b b(ca) > 0 c > a - b 22 2 cc(ab)0 Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc: 222 222 2 2 2 abc a b c b c a c a b 222 222 abc abc bca cab abc abc.bca.cab Ví dụ2: (đổi biến số) Cho a,b,c l ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng abc3 b ccaab2 (1) Đặt x= b + c ; y= c + a ;z = a + b ta có a = yzx 2 ; b = zxy 2 ; c = xyz 2 ta có (1) yzx zxyxyz 3 y z x z x y 1113 2x 2y 2z 2 x x y y z z ( yx zx zy )( )( )6 xy xz yz l Bđt đúng? Ví dụ 3: (đổi biến số) Cho a, b, c > 0 v a + b + c <1. Chứng minh rằng : 222 111 9 a 2bc b 2ac c 2ab (1) Giải : Đặt x = 2 a2bc ; y = 2 b 2ac ; z = 2 c2ab Ta có 2 xyz abc 1 (1) 9 111 zyx Với x + y + z < 1 v x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: www.VNMATH.com www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn www.vnmath.com 83 xyz 3. 3 xyz v 111 xyz 3. . 3 1 xyz 111 xyz. 9 xyz 6) phơng pháp lm trội : Chứng minh BĐT sau : a) 11 1 1 1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2 b) 11 1 1 2 1.2 1.2.3 1.2.3 n Giải : a) Ta có : 21(21) 11 111 . 21.21 2(21).(21) 22121 kk nn kk kk Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có 11 1 1 2 1 . 1 1.3 3.5 (2 1).(2 1) 2 2 1 2 nn n (đpcm) b) Ta có : 11 1 11 1 1 1 1.2 1.2.3 1.2.3 1.2 1.2.3 1 . nnn < 111 11 1 1 1 2 2 223 n1n n (đpcm) Bi tập về nh: 1) Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 +3 2 (x + y + z) HD: Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 2) Cho a ,b,c l số đo ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng : abc 12 b ccaab (HD: aaa 2a b c abc abc v aa b cabc ) 3) 1 < 11 1 11 n + 1 n + 2 2n + 1 3n 3n + 1 < 2 áp dụng phơng pháp lm trội 4) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng bc ac ab abc a + b + c HD: bc ac ab = c b a ab 2c; ac ab b c ? ; bc ab ac ? www.VNMATH.com www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn . a, Nếu: b 99 8 thì b 99 8 d ab cd 99 9 b, Nếu: b = 99 8 thì a =1 ab cd = 1 99 9 cd Đạt giá trị lớn nhất khi d = 1; c = 99 9 Vậy: giá trị lớn nhất của d b c a = 99 9 + 99 9 1 khi a. dùng bất đẳng thức quen thuộc A) một số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) 22 xy2xy b) 22 xy xy dấu( = ) khi x = y = 0 c) 2 xy 4xy d) ab 2 b a 2 )Bất đẳng thức. pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh l đúng. Ví dụ 1 : Cho a, b, c, d,e