Cao Văn Dũng SV: Lớp K50A1s-Sp Toán – Khoa Sư Phạm – ĐHQGHN Nhiều Cách Để Chứng Minh Cho Bất Đẳng Thức Schur Bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức chặt và đẹp mắt có nhiều ứng dụng để
Trang 1
Cao Văn Dũng SV: Lớp K50A1s-Sp Toán – Khoa Sư Phạm – ĐHQGHN
Nhiều Cách Để Chứng Minh Cho Bất Đẳng Thức Schur
Bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức chặt và đẹp mắt có nhiều ứng dụng để giải toán, nhưng khi áp dụng nó thì phải chứng minh nó xong rồi mới được áp dụng Bài viết này xin nêu ra một số cách để chứng minh, mong bạn đọc có them nhiều cách hay khác nữa đóng góp để cho bài viết trở nên phong phú hơn.
Ta có bài toán bất đẳng thức Schur: Với các số thực không âm a,b,c ta luôn có bất đẳng thức sau: aa ba cbb cb acc ac b 0.
CM:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử abc
Đặt xa b 0 ;yb c 0 nên bất đẳng thức được viết lại thành:
xyy cyxycxy x xy 0
c
2 2 2 2 0
c x xy y x x y luôn đúng do x,y,c là các số không âm
Dấu “=” xảy ra khi abchoặc a b; c 0 hoặc các hoán vị của nó
Cách 2:
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử abc
TH: 2 trong 3 số a,b,c bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
TH:abc ta chia vế trái bất đẳng thức cho a bb ca c 0 nên bất đẳng thức tương đương: 0
c c a
b c b
a
bất đẳng thức trên luôn đúng do
0
0
c a
b c b
a c a
c
b
b
a
Cách 3: (Khảo sát hàm)
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử abc
3
3
3
3
b c abc ab a b bc b c ca c a
Ta xét hàm số sau: f(a) a3 b3 c3 3abc abab bcbc caca
1
Trang 2Ta có
2 2 2
2 2
2 3
3
)
'
c b c c a b a b a c b c b a c b a a b a b
a
c bc ac bc ab a b
a c ac b ab bc a
x
f
Nê
n f (x) đồng biến
Nên 3 3 2 2 2 0
f b c a c ac a c c a c
a
f
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong
Cách 4: (Đánh giá)
Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử abc
Khi đó ta có: cc ac b 0
Ta xét: 2 2 0
c b b c a ac b bc a b a b c
a
aa ba c bb ca b 0 aa ba cbb cb a 0
Vậy cộng 2 bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Cách 5: (Dồn biến)
Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử a bc.
Ta xét hàm số : fa,b,ca3 b3 c3 3abc abab bcbc caca
2
, 2 , ,
, 0
4
5 2
, 2 , ,
a f c b a f c
b a c b c b c b a
f
c
b
a
f
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức trên ta chỉ cần chứng minh fa,b,b 0
Mà , , 3 2 2 2 2 0
a ab a b a a b
b
b
a
f
Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh xong
Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kim Hùng, 2006, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức
[2] Cao Văn Dũng, Nhiều cách để chứng minh cho bất đẳng thức Schur, Tạp chí toán học tuổi thơ 2 tháng 7/ 2008, NXB GD
2