Chuyên đề tìm tòi lời giải trong bài toán chứng minh hình học lớp 9

- C/m hai đờng thẳng song song dựa vào tính chất đờng trung bình của tam giác.. - C/m hai đờng thẳng song song dựa vào tính chất của hình đặc biệt hình thoi ..... * Các kiến thức về tam

Trang 1

- HS củng cố đấu hiệu nhận biết và tính chất các hình đặc biệt ( hình thang, hình chữ

nhật, hình vuông, tam giác cân, ) vào chứng minh các hình đặc biệt

- Hiểu đợc phơng pháp chứng minh tứ giác là hình thang, hình thang cân, hình chữ nhật , hình vuông., hình thoi

- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào tìm tòi lời giải trong bài toán c/m.

Trang 2

HD a: Dựa vào tính chất đờng trung bình của tam giác.

a/ Tóm tắt:

Ta có E là trung điểm của AD, I là trung điểm của AC

Nên EI là đờng trung bình của tam giác ACD Vậy EI//CD

a/ Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? b/ Tứ giác ADBM, ADCN là hình gì ? Vìsao?

c/ Chứng minh M đối xứng với N qua A

d/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông

HD a,b: Chú ý đến các yếu tố đã biết của tứ giác AEDF

sau đó dựa vào dấu hiệu nhận biết các hình học đã học

a/ Tóm tắt:

Tứ giác AEDF có  0  0  0

A90 ;E90 ;F 90Nên tứ giác AEDF là hình chữ nhật

b/ C/m AD = BD = CD và EA = EB

nên c/m đợc các tứ giác ở phần b là hình thoi

HD c:

? Hai điểm M và N đối xứng nhau qua A khi nào.

? Để C/m M và N đối xứng nhau qua A ta làm ntn.

Chú ý đến các yếu tố đã c/m đợc ở phần a,b ta c/m M, A , N thẳng hàng và MA = NA

c/ Tóm tắt:

Tứ giác ADBM là hình thoi nên MA // BD và MA = BD (1)

Tứ giác ADCN là hình thoi nên NA // CD và NA = CD (2)

Từ (1) và (2) ta có MA // BC và NA // BC suy ra hai đờng thẳng MA = NA hay M, A, N thẳng hàng

Lại có BD = CD (3) Từ (1) , (2) và (3) ta có MA = NA Vậy A là trung điểm của MN nên M và N đối xứng với nhau qua A

Trang 3

? Tam giác ABC cần điều kiện gì để AE = AF.

HS cần c/m cả phần thuận và phần nghịch

d/ Tóm tắt:

* Thuận:

Hình chữ nhật AEDF là hình vuông thì AE = AF

Mà AE AB; AF AC AB AC. Vậy ABC vuông cân.

Vậy hình chữ nhật AEDF là hình vuông

Kết luận: Tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEDF là hình vuông

Bài 159 ( SBT toán 8- tr 76).

Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB,gọi E là điểm đối xứng với H qua AC

a/ C/m D đối xứng với E qua A

b/ Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao?

c/ Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao?

Do D và H đối xứng nhau qua AB nên AD = AH; Do E và H đối xứng nhau qua ACnên

AE = AH vậy AD = AE ( 2)

Từ (1) và ( 2) ta có A là trung điểm của DE nên D và E đối xứng nhau qua A

HD b: Dự đoán tam giác DHE sau đó c/m Có nhiều cách c/m ta có thể c/m tứ giác

ANHM là hình chữ nhật để suy ra DEH vuông tại H

HD c: C/m các căp tam giác bằng nhau AHB và ADB; AHC và AEC từ đó c/m đợc tứ

giác EDBC là hình thang vuông

HD d: ? Từ các cặp tam giác bằng nhau trên ch biết BD , CE bằng các đoạn thẳng nào d/ Tóm tắt:

Từ các cặp tam giác bằng nhau trên ta có BD = BH và CE = CH Xét BD + CE = BH +

CH = CB

3/ Tóm tắt:

GV chốt lại các dạng bài tập và cách giải tơng ứng:

* C/m hai đờng thẳng song song:

- Hai đờng thẳng có tổng hai góc trong cùng phía bằng 180 0 thì hai đờng thẳng song song.

- C/m hai đờng thẳng song song dựa vào tính chất đờng trung bình của tam giác.

- C/m hai đờng thẳng song song dựa vào tính chất của hình đặc biệt( hình thoi ).

* C/ m ba điểm thẳng hàng:

- C/m ba điểm thẳng thẳng hàng dựa vào tính chất hai đt có chung 1 điểm và cùng song song với đt thứ ba.

- C/m ba điểm thẳng thẳng hàng dựa vào tính chất hai góc kề bù.

* C/m các hình đặc biệt: C/m hình đặc biệt dựa vào dấu hiệu nhận biết nó

*C/m bất đẳng thức hình học dựa vào bất dẳng thức trong tam giác.

B C

H

Trang 4

Ôn tập các kiến thức cơ bản về hình học đã đợc học ở lớp 8 kể trên.

Làm các bài tập: 156 ; 157; 160; 161 SBT toán 8 tr 76-77

Bài tập thêm:

Cho hình thang ABCD có   0

AD90 ;CD2AB2AD Gọi H là hình chiếu của Dlên AC; M, P, Q lần lợt là trung điểm của CD, HC và HD

a/ C/m tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BDC là tam giác vuông cân

Vận dụng tính chất các hình học đặc biệt vào bài toán Chứng minh

A Mục tiêu :

- HS củng cố dấu hiệu nhận biết và tính chất các hình đặc biệt ( hình chữ nhật, hình

vuông ) vào chứng minh các hình đặc biệt Các trờng hợp đồng dạng của tam giác , tamgiác vuông

- Hiểu đợc phơng pháp chứng minh tam giác đồng dạng, đẳng thức hình học, hai đờngthẳng song song

B Các tài liệu hỗ trợ :

- SGK-SBT toán 8; Toán nâng cao và các chuyên đề hình học lớp 8

- Bài tập 13, 54, 55 SBT toán tập 2 chơng III

C Nội dung :

1/ Tóm tắt kiến thức vận dụng:

+/ Dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

+/ Tính chất đờng trung bình trong tam giác, trong hình thang, hình bình hành

+/ Ba trờng hợp đồng dạng của tam giác và các trờng hợp động dạng đặc biệt của tamgiác vuông

+/ Định lí talét và các hệ quả của nó

2 / Bài tập :

Bài 162: SBT toán 8 tập 1 trang 77.

Cho hình bình hành ABCD có AB = 2 AD Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

Trang 5

a/ Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì ? Vì sao.

b/ Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE Chứng minh tứgiác AFMN là hình chữ nhật

c/ Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì MENF là hình vuông?

Câu a: dựa vào dấu hiệu nhận biết thoi, so sánh AE, EF, DF, AD để c/m tứ giác AEFD

Câu b: dựa vào dấu hiệu nhận biết c/m đợc các góc M và N là góc vuông, và dựa vào so

sánh EF với DC c/m đợc tam giác DEC là tam giác vuông Nên góc E vuông Vậy tứ giácMENF là hình chữ nhật

Câu c: dựa vào dấu hiệu nhận biết hình vuông ta c/m thêm điều kiện MN vuông góc với

EF khi đó hình bình hành ABCD phải là hình chữ nhật

b/ Tóm tắt :

Hình chữ nhật MENF là hình vuông khi chỉ khi MN vuông góc với EF (3)

C/m MN là đờng trung bình của tam giác DEF Suy ra MN // DC.(4)

Từ (3) và (4) thì để hình chữ nhật MENF là hình vuông cần EF vuông góc với DC hay

AD vuông góc với DC vậy hình bình hành ABCD phải là hình chữ nhật

GV chốt lại dấu hiệu nhận biết các hình , và phơng pháp c/m các dạng bài tập liên quan

Bài 13: SBT toán 8 tập 2 trang 68

Cho hình tang ABCD ( AB // CD, AB < CD) Gọi trung điểm các đờng chéo AC , BD theo thứ tự là N và M Chứng minh rằng:

a/ NM// AB b/

2

CD AB

NM  

HD a: Dựa vào định lí talét đảo và hệ quả của nó c/m đợc MN//AB.

a/ Tóm tắt: Gọi H và I theo thứ tự là trung điểm của AD và CB

AN

HN DC AC

? So sánh HM với AB, NI với AB, HI với AB +CD.

? Viết cách tính MN thông qua các đoạn thẳng HN, MI, HI.

Tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O, ABDACD. Gọi E là giao

điểm của hai đờng thẳng AD và BC Chứng minh rằng:

a/ AOB DOC b/ AOD BOC

D C

E

A B O

D C

Trang 6

c/ EA.ED = EB EC.

HD a,b: Dựa vào các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác.

a/ Tóm tắt:

Xét AOB và DOC có ABDACD. (gt) AOBCOD. (đđ)

Vậy AOB DOC

b/ Xét AOD và BOC có AODBOC. (đđ);

(Vì hai tam giác AOB và DOC đồng dạng)

HD c: ?Muốn c/m EA.ED = EB EC ta c/m tỉ lệ thức nào.

GV chốt lại các dạng bài tập và cách giải tơng ứng:

* C/m hai đờng thẳng song song:

- C/m hai đờng thẳng song song dựa vào định lí đảo và hệ quả của đ/l talét.

* Các kiến thức về tam giác đồng dạng và đờng trung bình:

- Củng cố đờng trung bình của tam giác, hình thang

- Các trờng hợp đồng dạng của tam giác , trờng hợp đồng dạng đặc biệt của tam giác vuông.

* C/ m đẳng thức hình học: Dựa vào c/m các tam giác đồng dạng.

A

F E H

B D C

Trang 7

Vận dụng hai tam giác đồng dạng, tính chất đờng phân giác vào bài toán Chứng minh

A Mục tiêu :

- HS củng cố các trờng hợp đồng dạng của tam giác , tam giác vuông Tính chất đờng

phân giác trong tam giác

- Hiểu đợc phơng pháp chứng minh tam giác đồng dạng, đẳng thức hình học, đờng trungtuyến của tam giác

+/ Tính chất đờng phân giác trong tam giác

+/ Ba trờng hợp đồng dạng của tam giác và các trờng hợp động dạng đặc biệt của tamgiác vuông

2 / Bài tập:

Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK

và CM cắt nhau tại điểm P Biết rằng AP = 2 PK và CP = 2 PM

Chứng minh rằng AK và CM là các đờng trung tuyến của tam giác ABC

  vậy MK là đờng trung bình của tam giác ABC Do

đó AK và CM là các đờng trung tuyến của tam giác ABC

Tam giác ABC có hai đờng cao AD và BE ( D thuộc BC , E thuộc AC) Chứng minh haitam giác DEC và ABC đồng dạng với nhau

HD: Dựa vào các trờng hpj đồng dạng của tam giác vuông c/m đợc tam giác ADC

đồng dạng với tam giác BEC Suy ra CE CD kết hợp với C chung

P

B K C

A EB

D C

Trang 8

Cho tam giác vuông ABC (   0

A 90 ) Dựng AD vuông góc với BC ( D thuộc BC) ờng phân giác BE cắt AD tại F Chứng minh FD EA

Chú ý đến 2 tam giác vuông đồng dạng

Tóm tắt: Vì tia BF là phân giác góc B trong tam giác ADB suy ra FD

FA =

BD

BA.(1) Vì tia BF là phân giác góc B trong tam giác ABC suy ra EA

EC =

BA

BC .(2) Xét hai tam giác vuông BAC và BDA có góc B chung nên hai tam giác đó đồng dạng suy ra: BD

EA;

FA

FB theo các cạnh của tam giác ta c/m đợc kết luận trên

3/ Tóm tắt: GV chốt lại các dạng bài tập và pp giải tơng ứng:

* Các kiến thức về tam giác đồng dạng:

- Các trờng hợp đồng dạng của tam giác , trờng hợp

đồng dạng đặc biệt của tam giác vuông.

* C/ m đẳng thức hình học: Dựa vào các tam giác đồng dạng, tính chất đờng phân giác.

- HS củng cố hệ thức trong tam giác vuông, định lí Pytago, tìm tập hợp điểm dựa vào

tính chất đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc

A

F EB

D C

A

F E

B C D

Trang 9

- Hiểu đợc phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng song song, 2 đoạn thẳng bằng nhau,c/m tam giác vuông, tìm tập hợp điểm.

B Các tài liệu hỗ trợ:

- SGK-SBT toán 9 tập 1 Bài tập 20; 22; 97; 98 SBT toán tập 1

C Nội dung :

1/ Tóm tắt kiến thức vận dụng:

+/ Hệ thức trong tam giác vuông, định lí Pytago

+/ Tính chất đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc

+/ Tính chất tia phân giác của hai góc kề bù, tính chất của hình chữ nhật

2 / Bài tập:

Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng : sin

GV cho HS phát biểu thàng lời mối quan hệ trên

Bài 20 : SBT toán 9 tập 1 trang 92.

Cho tam giác ABC Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lợt vuônggóc với các cạnh BC, CA, AB

Từ (1) và (2) ta có điều phải c/m GV nhấn mạnh về định lí Pytago trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông ở A, C  30 0 BC = 10 cm

a/ Tính AB, AC b/ Từ A kẻ AM, AN lần lợt vuông góc với các đờng phân giác trong và ngoài của góc B Chứng minh: MN//BC và MN = AB c/ Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng

HD a: Dựa vào tính chất cạnh đối diện với góc 30 0 trong tam giác vuông hoặc hệ thức

về cạnh và góc trong tam giác vuông tính đợc AB và AC

Đáp án: AB = 5 cm, AC = 5 3 cm

HD b: Dựa vào tính chất hình chữ nhật c/m hai góc

xBNNBA từ đó suy ra hai đờng thẳng song song Cũng

Dựa vào AMBN là hình chữ nhật suy ra đợc MN = AB

B D C

Trang 10

HD c: Từ C  30 0 tính đợc số đo của các góc ABM và ACB C/m đợc hai tam giác vuông

ABC đồng dạng với nhau Tìm đợc AM = 2,5 cm Tỉ số đồng dạng bằng 2,5 1

AM

Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 4,5 cm, BC = 7,5 cm

a/ C/m tam giác ABC vuông tại A Tính các góc  B C, và đờng cao AH của tam giác đó b/ Tìm tập hợp điểm M sao cho SABC SMBC

HD a: Dựa vào đ/l Pytago đảo ta c/m đợc ABC là tam giác vuông

HD b:Xét hai tam giác có cùng đáy nếu diện tích bằng nhau

khi đờng cao bằng nhau

Tóm tắt b: Xét hai tam giác ABC và MBC có cùng đáy nên

diện tích bằng nhau khi đờng cao tơng ứng bằng nhau Chứng tỏ M luôn cách đt BC

khoảng không đổi bằng AH Nên tập hợp điểm M cần tìm thuộc hai đt a và a' song song vàcách BC một khoảng không đổi AH

Gv hớng dẫn HS thực hiện đủ các bớc của bài toán quỹ tích

* Các kiến thức về hệ thức lợng trong tam giác vuông, vận dụng c/m tam giác vuông.

* C/ m đoạn thẳng bằng nhau, 2 đờng thẳng song song dựa vào tính chất hình chữ nhật.

*Tính chất "hai đờng phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau".

* Tính chất đờng thẳng song song với đt cho trớc.

- HS củng cố về đờng tròn, quan hệ vuông góc gữa đờng kính và dây cung của đờng

tròn, liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

- Hiểu đợc phơng pháp chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đờng tròn, 2 đoạn thẳngbằng nhau, hai đt song song

Trang 11

+/ Tính chất các đờng thẳng song song cách đều.

c/ Nếu OI vuông góc với dây CD của

đờng tròn (O) tại I thì IC = ID

Câu 1: ( 2 đ) - điền đúng mỗi ý đợc 0,5 đ ( a- Đ; b- S; c -Đ)

- Sửa sai đúng mỗi ý đợc 0,5 điểm b/ x ≥ 2

Cho hình vuông ABCD

a/ Chứng minh rằng bốn đỉnh của hình vuông cùng nằm trên một đờng tròn Hãy chỉ ratâm của đờng tròn đó

b/ Tính bán kính của đờng tròn đó , biết cạnhh của hình vuông bằng 2 cm

HD a: Dựa vào k/n đờng tròn ta c/m bốn đỉnh hình vuông cách đều một điểm cho trớc.

Tóm tắt a: Kẻ AC cắt BD tại O

Theo tính chất của hình vuông ta có OA = OB = OC= OD

nên bốn đỉnh A, B, C, D cùng thuộc đờng tròn tâm O bán

kính OA

HD b: Dựa vào đ/l pytago tính đợc đờng kính AC từ đó

suy ra bán kính của đờng tròn đó

HS tìm đợc R = 2 (cm)

- GV chốt lại: Có một đờng tròn đi qua bốn đỉnh của hình

chữ nhật, hình vuông Tâm là giao điểm của hai đờng chéo

Bài 21 : SBT toán 9 tập 1 trang 131.

A B O

D C

A

B

E

C

Trang 12

Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Dây CD cắt đờng kính AB tại I Gọi H và K theo thứ

tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A và B đến CD

Chứng minh rằng: CH = DK

HD: Dựa vào tính chất các đờng thẳng song song cách đều

c/m đợc MH = MK Dựa vào tính chất đờng kính vuông góc

với dây cung ta c/m đợc MC = MD Từ đó suy ra điều phải c/m

Tóm tắt :

Kẻ OM CD tại M MC = MD ( tính chất đờng kính vuông

góc với dây cung)

Lại có AH // OM // BK ( vì cùng vuông góc với CD), mà OA = OB nên MH = MK ( tínhchất đờng thẳng song song cách đều)

Vậy MC - MH = MD - MK hay CH = DK

- GV hớng dẫn cách khác : nối thêm A và K, kéo dài Mo cắt AK tại N C/m dựa vào đờngtrung bình của tam giác

- GV nhắc lại tính chất ba đờng thẳng song song cách đều

Cho đờng tròn (O), điểm A nằm bên trong đờng tròn,

điểm B nằm bên ngoài đờng tròn sao cho trung điểm I của

AB nằm bên trong đờng tròn Vẽ dây CD vuông góc với

OI tại I Hãy cho biết ACBD là hình gì? Vì sao?

HD: Dựa vào tính chất đờng kính vuông góc với dây cung

c / m đợc I là trung điểm của CD từ đó c / m ACBD là hình

bình hành

Tóm tắt:

Ta có OI CD tại I nên I là trung điểm của CD; mà I là trung điểm của AB Do đóACBD là hình bình hành

Cho hình vẽ bên, trong đó MN = PQ Chứng minh rằng:

a/ AE = AF b/ AN = AQ

HD a:Dựa vào định lí liên hệ giữa dây và khoảng cách

tới tâm c/m đợc EO = OE C/m hai tam giác vuông

AEO và AFO bằng nhau ta suy ra điều phải c/m

Tóm tắt a: Do MN = PQ suy ra OE = OF

Xét hai tam giác vuông AEO và AFO có OE = OF ( cmt)

và OA chung Vậy hai tam giác AEO và AFO bằng nhau

* Các kiến thức quan hệ giã đờng kính và dây cung của đờng tròn, liên hệ giữa dây và

khoảng cách từ tâm đến dây

* C/ m đoạn thẳng bằng nhau bằng cách c/m hiệu các cặp đoạn thẳng bằng nhau.

*Tính chất "các đờng thẳng song song cách đều".

* Khái niệm đờng tròn, vận dụng c/m các điểm thuộc cùng một đờng tròn

4/ Hớng dẫn về nhà.

D

M

A I B H

C

O

A D

F

PQ

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	652,5 KB