SKKN rèn kỹ năng tìm lời giải bài toán chứng minh hình học lớp 7

MỤC LỤC Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài II Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu III Đối tượng phương pháp nghiên cứu IV Phạm vi kế hoạch nghiên cứu B NỘI DUNG I Cơ sở lí luận II Thực trạng việc học Toán trường THCS An Dương III Biện pháp thực Đối với học sinh Đối với giáo viên 2.1 Các phương pháp chứng minh hình học 2.2 Rèn kỹ chứng minh hình học cho học sinh 2.3 Phương pháp chung để tìm lời giải tốn 2.4 Các ví dụ minh hoạ 10 2.5 Vận dụng vào soạn dạy tiết luyện tập 16 2.6 Bài tập áp dụng IV Kết đạt * Rút kinh nghiệm C KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 23 24 25 A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Theo định hướng đổi phương pháp dạy học toán trường THCS tích cực hố hoạt động học sinh, khơi dậy phát triển lực tự học Nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Trong chương trình hình học THCS tập yêu cầu chứng minh chiếm tỉ lệ lớn nên yêu cầu giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn học sinh tìm cách chứng minh tốn khơng đơn giúp học sinh có lời giải tốn Thơng qua việc hướng dẫn giáo viên giúp học sinh tự đúc kết phương pháp chứng minh tiến tới có phương pháp học tập mơn hình học Với chương trình hình học lớp 6, học sinh làm quen với khái niệm mở đầu hình học Học sinh tiếp cận kiến thức đường qui nạp khơng hồn tồn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để dần đến kiến thức Học sinh nhận thức hình mối quan hệ chúng mô tả trực quan với sụ hỗ trợ trực giác, tưởng tượng chủ yếu Lên lớp 7, học sinh bước đầu làm quen với mối quan hệ vng góc, song song, nhau, Với yêu cầu kỹ từ thấp đến cao đòi hỏi phải có suy luận lơgíc hợp lý, khả sử dụng ngơn ngữ xác thơng qua tập chứng minh Việc làm quen tiếp cận với toán chứng minh học sinh lớp mẻ nên đa số học sinh gặp nhiều khó khăn việc học tập hình học, từ phần nắm bắt lý thuyết, định nghĩa, định lý, tiên đề,… đến việc hoàn thiện chứng minh dạng toán, lập luận, suy luận để đến điều phải chứng minh Hầu hết học sinh chưa cảm nhận hay, đẹp hình học, ngại học hình học nhiều nguyên nhân khác dẫn tới kết học tập chưa cao, đặc biệt việc tư chứng minh tốn hình học em cịn nhiều khó khăn Chính việc rèn luyện cho học sinh hình thành phát triển tư hình học có kỹ chứng minh thành thạo số toán chứng minh hình học từ có khả khám phá toán nâng cao yêu cầu cần thiết việc giảng dạy phân mơn hình học bậc THCS đặc biệt học sinh lớp Với lý nên tơi chọn đề tài: “Rèn kỹ tìm lời giải tốn chứng minh hình học lớp 7” II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Mục đích: - Thông qua đề tài muốn trao đổi thêm phương pháp giảng dạy mơn hình học để có hiệu giảng dạy cao - Giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho tốn chứng minh hình học, nhằm dần hình thành kỹ phân tích, tổng hợp kiến thức, giúp phát triển tư rèn khả tự học cho học sinh, đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục Nhiệm vụ: - Khảo sát chất lượng học tập học sinh mơn Tốn lớp giảng dạy - Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết học tập chưa cao học sinh - Phân loại đối tượng học sinh nhằm lựa chọn biện pháp thích hợp - Thực kế hoạch bồi dưỡng, phụ đạo cho học sinh - Đúc rút kinh nghiệm cho thân từ thực tiễn giảng dạy III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh lớp trường THCS An Dương, quận Tây Hồ, thành phố Hà Nội - Nội dung chương trình hình học Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu - Tìm hiểu điều tra thực tiễn - Thực nghiệm sư phạm - Tổng kết kinh nghiệm IV- PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU - Thời gian thực hiện: năm - Đề tài tập trung chương trình tốn – cụ thể, Tiết 29: “Luyện tập trường hợp tam giác góc - cạnh - góc” B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN: Trong trường THCS mơn tốn coi mơn khoa học ln trọng mơn có nhiều khái niệm trừu tượng Đặc biệt phải khẳng định phân mơn hình học có nhiều khái niệm trừu tượng nhất, kiến thức tập lại phong phú nhiều so với nội dung lý thuyết học Bên cạnh yêu cầu tập lại cao, nhiều tốn dạng chứng minh địi hỏi phải suy diễn chặt chẽ, lơgic có trình tự Các kiến thức sách giáo khoa hình học lớp 7, trình bày theo đường kết hợp trực quan suy diễn, lập luận, đo đạc, gấp hình, vẽ hình, quan sát,…học sinh dự đốn kết luận hình học tiếp cận định lý Nhờ giúp học sinh có hứng thú học tập, chịu khó tìm tịi, khám phá kiến thức Sách giáo khoa hình học lớp tiếp tục bổ sung kiến thức mở đầu hình học phẳng lớp 6, làm quen với khái niệm như: hai đường thẳng vng góc, hai đường thẳng song song, quan hệ tam giác, tam giác cân, tam giác đều, định lý Pytago, quan hệ yếu tố tam giác, đường đồng qui tam giác Chương trình hình học lớp bước chuyển tiếp quan trọng tư để giúp học sinh học tập tốt chương trình hình học lớp lớp Hệ thống tập đa dạng phong phú thể nhiều hình thức, phần lớn tập chứng minh, từ địi hỏi học sinh phải có phương pháp phân tích hợp lý để tìm lời giải cho tốn Vì việc hướng dẫn học sinh cách phân tích, rèn kỹ tìm tịi lời giải cho toán quan trọng để khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng, hào hứng, đạt kết tốt II THỰC TRẠNG HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG THCS AN DƯƠNG Đối với học sinh: Qua cơng tác giảng dạy tốn lớp trường THCS An Dương nay, nhận thấy phận học sinh tích cực học tập, rèn luyện, có động học tập đắn nên đạt kết tốt, thực mục tiêu học tập đề Bên cạnh đó, đa số học sinh: - Khơng ý nghe giảng tập trung thời gian ngắn, lười ghi chép - Không chịu học lý thuyết nên lúng túng trình áp dụng làm tập - Không biết vận dụng vận dụng chưa thành thạo phương pháp suy luận giải tốn, khơng biết sử dụng tốn giải áp dụng phương pháp giải cách thụ động - Khơng chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho tốn hay mở rộng tìm lời giải cho tốn khác, hạn chế việc rèn luyện lực giải tốn Từ đó, đa số em cảm thấy học mơn tốn khơ khan, khó hiểu, khơng có hứng thú cao với mơn tốn, điều ảnh hưởng khơng nhỏ tới việc học tập em Kết khảo sát em học sinh khối lớp năm học 2012 - 2013 mức độ hứng thú kết học tập mơn tốn chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy: - Mức độ hứng thú Lớp Tổng số 7A2 24 Hứng thú Thái độ Bình thường Khơng hứng thú 10 - Chất lượng học tập Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Tổng số 7A2 24 SL TL % 8,3 SL TL % SL TL % SL TL % SL TL % 20,9 37,5 25 8,3 - Nguyên nhân từ đầu cấp THCS học sinh bị lúng túng bước đầu có chuyển đổi phương pháp học tập Một phận không nhỏ học sinh lớp không tiếp thu học em chưa nắm kiến thức quên kiến thức Bên cạnh đó, q trình học thầy giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập đắn, hình thức tổ chức hoạt động dạy học chưa phong phú nên chưa kích thích hứng thú học tập cho học sinh b Đối với giáo viên Hiện đa số giáo viên có tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyên, liên tục để nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ, có trách nhiệm học sinh, trường lớp Phần lớn, phương pháp giảng dạy giáo viên có đổi theo hướng tích cực hố người học, áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy ngày sử dụng có hiệu cơng cụ hữu ích Tuy nhiên, phận không nhỏ giáo viên cịn lúng túng việc phân tích, hướng dẫn cho học sinh tìm lời giải tốn Giáo viên thường phân tích xi chiều từ giả thiết đến kết luận, khiến học sinh không hiểu nguyên nhân đưa đến lời giải tốn khơng vận dụng vào giải tốn khác, học sinh khơng biết cách học tốn, cụ thể cách suy nghĩ để tìm lời giải cho toán Đặc biệt tốn chứng minh mơn hình học, khiến học sinh tiếp thu cách thụ động, thiếu tự tin, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết học tập chưa cao III BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: Đối với học sinh: + Mỗi học sinh cần nắm lý thuyết sở tự đọc, tự học Từ đó, với hướng dẫn giáo viên, học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo việc lĩnh hội kiến thức mới; trì liên tục “học đơi với hành”, học lý thuyết đến đâu áp dụng vào làm tập ln đến đấy, tránh tình trạng học trước quên sau; thường xuyên rèn luyện kỹ giải tốn để hình thành phương pháp học tập mơn, tạo hứng thú suốt q trình học tập + Thành lập tổ nhóm học tập tốn cho HS: Chia lớp thành 5- nhóm (mỗi nhóm từ - HS) - Đồng nam nữ - Đồng bàn học - Trong nhóm xen lẫn em HS khá, giỏi, trung bình, yếu Đối với Giáo viên: Muốn đạt kết giảng dạy tốt người giáo viên phải khơng ngừng tìm tịi, học hỏi, mạnh dạn áp dụng phương pháp dạy học đại vào giảng dạy Tích cực tham gia buổi sinh hoạt chuyên đề để trau dồi, nắm bắt số phương pháp dạy học có hiệu quả, từ đúc rút kinh nghiệm cho thân Người giáo viên cần soạn kỹ trước lên lớp, có hệ thống câu hỏi rõ ràng, lơgíc giúp học sinh dễ hiểu, dễ tiếp thu đồng thời giúp giáo viên tự tin trình tổ chức hoạt động dạy học Để rèn kỹ chứng minh hình học cho học sinh, trước hết giáo viên cần giúp học sinh nắm vững phương pháp chứng minh hình học là: 2.1 Các phương pháp chứng minh hình học 2.1.1 Chứng minh hai đoạn thẳng nhau: Để chứng minh hai đoạn thẳng ta sử dụng cách sau: - Chứng minh hai đoạn thẳng có số đo (hoặc biểu thị biểu thức) - Chứng minh dựa vào định nghĩa tam giác cân, tam giác - Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác - Chứng minh dựa vào định nghĩa trung điểm đoạn thẳng, đường trung tuyến tam giác, đường trung trực đoạn thẳng - Chứng minh dựa vào đường trung trực đoạn thẳng, tính chất đường trung trực tam giác - Chứng minh dựa vào tính chất tia phân giác góc, tính chất ba đường phân giác tam giác - Chứng minh dựa vào tính chất đường trung tuyến tam giác - Chứng minh dựa vào quan hệ đường xiên hình chiếu 2.1.2 Chứng minh đoạn thẳng lớn hai đoạn thẳng: - Chứng minh dựa vào quan hệ cạnh góc đối diện tam giác (cạnh đối diện với góc lớn tam giác) - Chứng minh dựa vào quan hệ đường vng góc đường xiên (đường vng góc ngắn đường xiên) - Chứng minh dựa vào quan hệ đường xiên hình chiếu (đường xiên có hình chiếu lớn hình chiếu có đường xiên lớn hơn) 2.1.3 Chứng minh hai góc nhau: Để chứng minh hai góc sử dụng cách sau: - Chứng minh dựa vào tính chất tam giác cân, tam giác - Chứng minh dựa vào tính chất hai đường thẳng song song - Chứng minh dựa vào tính chất tia phân giác góc, đường phân giác tam giác - Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác - Chứng minh hai góc bù phụ với góc thứ ba 2.1.4 Chứng minh góc lớn hai góc: - Sử dụng quan hệ cạnh góc đối diện tam giác: góc đối diện với cạnh lớn tam giác góc lớn 2.1.5 Chứng minh hai đường thẳng vng góc với Để chứng minh hai đường thẳng vng góc ta có thể: - Dựa vào định nghĩa chứng minh góc tạo thành hai đường thẳng cắt có số đo 900 - Dựa vào quan hệ tính vng góc tính song song - Dựa vào tính chất đường trung tuyến tam giác vng ứng với cạnh huyền nửa độ dài cạnh huyền - Dựa vào tính chất ba đường cao tam giác - Dựa vào tính chất đường trung trực đoạn thẳng, tam giác - Dựa vào định lí Pytago - Dựa vào định lý tổng góc tam giác áp dụng vào tam giác vng - Dựa vào tính chất tia phân giác hai góc kề bù 2.1.6 Chứng minh hai đường thẳng song song với Để chứng minh hai đường thẳng song song với ta có thể: - Chứng minh cặp góc đồng vị cặp góc so le - Chứng minh cặp góc phía bù - Chứng minh hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng thứ ba 2.1.7 Chứng minh ba điểm thẳng hàng Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể: - Dựa vào tính chất điểm nằm hai điểm (AM + MB = AB  M nằm A B) - Dựa vào tính chất : Nếu A, B, C tạo thành góc có số đo 180 A, B, C thẳng hàng 10 Bài 3: Cho góc xOy khác góc bẹt Lấy điểm A, B thuộc tia Ox cho OA < OB Lấy điểm C, D � � OAD  OCB thuộc tia Oy cho OC = OA a) Chứng minh: AD = BC b) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh rằng: CID = AIB Bài 3: GV hướng dẫn cách vẽ hình cho lớp HS đứng chỗ đọc to đề - Gọi HS lên bảng vẽ hình, - Gọi HS khác lên ghi giả thiết, kết luận HS vẽ hình ghi GT, HS nhận xét KL bảng B A M B x O a) Chứng minh AD = BC I C ? Để chứng minh đoạn thẳng ta thường làm theo cách nào? N D y ? Trong ta nên sử dụng cách ? Hãy ghép hai cạnh vào hai tam giác mà ta dự đoán � khác góc bẹt Cho xOy A, B�Ox: ? Chỉ yếu tố hai tam giác - GV hướng dẫn: Theo sơ đồ phân tích lên GT OA < OB; C, D �Oy: OA = OC �  OCB � OAD AD cắt BC I a) AD = BC 29 KL b)EAB=ECD Giải: a) Xét OAD OCB có: �  OCD � (gt) OAD OA = OC (gt) � chung O � OAD = OCB (g.c.g) Yêu cầu bạn lên bảng trình bày Cả lớp làm � AD = BC ( cạnh tương ứng) vào ? Nhận xét làm bạn? b) CM: AIB =CID ? Tam giác AIB =CID có yếu tố nhau? Vì sao? ? Tại AB = CD �  ICD � ? ? Tại IAB b) Ta có: AB = OB – OA CD = OD – OC Mà OA = OC (gt) 30 OB = OD (vì OAD = OCB) � AB = CD (1) Theo câu a): OAD = OCB � nên B�  D (2) (2 góc tương ứng) �  OCI � (gt) Lại có: OAI Gọi HS lên bảng làm HS lớp làm vào GV nhận xét sửa cách trình bày HS (nếu cần) - GV: giữ nguyên đề toán, kẻ thêm IM  Ox, IN  Oy Yêu cầu HS quan sát hình vẽ dự đốn độ �  IAB �  OCI �  ICD � Mà OAI = 1800 ( góc kề bù) �  ICD � � IAB Từ (1), (2), (3) ta có AIB =CID (g.c.g) dài đoạn thẳng IM IN Từ đó, phát triển thêm đề tốn sau: c) Kẻ IM  Ox, IN  Oy Chứng minh : IM = IN ? Bạn chứng minh IM = IN HS lên bảng trình bày lời giải Nếu HS chưa làm GV hướng dẫn máy sơ đồ phân tích lên 31 HS suy nghĩ trả lời - IM = IN (3) c) Xét IMB IND có: �  IND � ( 900 ) IMB IB = ID ( theo câu b) �  IDN � (theo câu b) IBM � IMB = IND (cạnh huyền – góc nhọn) ? Cịn cách chứng minh khơng Nếu cịn thời gian, GV tiếp tục cho phát triển toán ? Từ tốn suy tốn khác khơng d) CM: OI tia phân giác góc xOy - HS suy nghĩ trả lời e) OI trung trực AC, BD Về nhà làm câu d, e vào xem tập HOẠT ĐỘNG 3: CỦNG CỐ (3 phút) - GV chốt lại kiến thức ba trường hợp HS nghe ghi nhớ tam giác ứng dụng chứng minh hình học - Gợi mở cho học tiếp theo: Vận dụng trường hợp tam giác góc- cạnh – góc, ta chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, từ ta chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường tẳng vng góc, ba điểm thẳng hàng, Các kiến thức 32 nghiên cứu kỹ tiết học - Chiếu số hình ảnh thực tế hai tam giác cho HS quan sát HOẠT ĐỘNG 4: HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ (2 phút) - Xem lại dạng tập chữa HS thực theo yêu cầu - Ôn tập lại trường hợp tam giác GV - Làm tập: Ý d, e tập Bài 40, 41 SGK tr 124; Bài 63, 64 SBT tr 146 2.6 Các toán áp dụng: Bài 1: Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA cho AD = BE = CF Chứng minh tam giác DEF Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = AC, M trung điểm BC Chứng minh rằng: a) AMB =AMC b) AM tia phân giác góc BAC c) AM  BC Bài 3: Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D cạnh AB, điểm E cạnh AC cho BD = CE Chứng minh rằng: a) DE//BC b) VABE VACD c) VBID VCIE (I giao điểm BE CD) d) AI phân giác góc E e) AI  BC f) Tìm vị trí D, E để BD = DE = EC Bài 4: Cho tam giác ABC có C�  900 ; �A  600 Tia phân giác góc BAC cắt BC E Kẻ EK  AB ( K �AB ) , kẻ BD vng góc với tia AE (D �AE) Chứng minh: a) AC = AK AE  CK b) KA = KB 33 c) EB > EC d) Ba đường thẳng AC, BD, KE qua điểm Bài 5: Cho tam giác ABC có AC > AB Nối A với trung điểm M BC Trên tia AM lấy điểm E cho M trung điểm đoạn thẳng AE Nối C với E a) So sánh AB CE b) Chứng minh: AC - AB AC + AB < AM < 2 Bổ sung số tập: �  900 Các đường phân giác góc P, Q cắt Bài 6: Cho tam giác MPQ có M I Gọi K, H chân đường vng góc hạ từ I đến cạnh MP, MQ a) Chứng minh MH = MK b) Chứng minh MQ  MP   QH  PK  c) Tính độ dài đoạn thẳng MK, MH biết MP = 9cm MQ = 12cm Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH AC > AB Gọi D trung điểm BC Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AH E � � a) Chứng minh BAH ACH b) Chứng minh BE  AD � biết � c) Tính HAD ACB  300 Bài 8: Cho tam giác ABC có �A