Rèn luyện kỹ năng tìm lời giải bài toán phương trình đường thẳng trong mặt phẳng ở lớp 10

Rèn luyện kỹ năng tìm lời giải bài toán phương trình đường thẳng trong mặt phẳng ở lớp 10

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG

TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

Ở LỚP 10 Mục lục trình bày: Trang

Phần 1: Đặt vấn đề 2

Phần 2: Nội dung 3

A Ôn tập lý thuyết 3

B Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán để tìm cách giải 5

I Bài toán về thiết lập phương trình đường thẳng 5

1 Viết phương trình đường thẳng khi xác định được một điểm và chỉ phương hoặc pháp tuyến……… 5

2 Viết phương trình đường thẳng theo hệ số góc ……… .9

II Bài toán xác định điểm nhờ phương trình đường thẳng…… 10

1 Xác định điểm nhờ tương giao của hai đường thẳng……… 10

2 Xác định điểm nhờ công thức tính và véc tơ……… ……… 14

C Một số bài toán để học sinh tự giải 17

D Theo dõi đánh giá kết quả 18

Phần 3: Kết luận 19

Tài liệu tham khảo:

Các tài liệu sử dụng và tham khảo:

- Sách giáo khoa, sách bài tập lớp 10

- Ôn tập toán 10

- Bộ đề tuyển sinh vào các trường Đại học Cao đẳng

- Đề thi vào Các trường Đại học Cao đẳng của một số năm.

1

Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong quá trình giảng dạy môn toán ở lớp 10; ôn tập cho học sinh lớp 12

và ôn luyện thi vào Đại Học- Cao Đẳng, Ở phần Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, tôi thấy nhiều em không làm được những bài tập hoặc chỉ làm được những bài có tính chất áp dụng công thức đơn thuần Những bài có tính chất tổng hợp thì không phân tích được bài toán nên không tìm được hướng giải, mặc

dù đã được ôn lại lý thuyết Trong khi đó bài toán về toạ độ trong mặt phẳng lại

là một vấn đề quan trọng trong chương trình và luôn có mặt trong các đề thi vào các trường Đại học-Cao Đẳng của cả ba khối thi A,B,D nên cần ôn tập tốt vấn đề này

Khi thực hiện ôn tập thấy các em gặp nhiều khó khăn và kết quả thu được không tốt mà nguyên nhân là:

- Thời gian còn lại cho ôn tập không đủ thời gian cần thiết cho khối lượng kiến thức cần ôn tập

- Trong chương trình toán phổ thông; phần “Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng” các em được học ở lớp 10; cả năm lớp 11, cả năm lớp 12 không được gặp lại Trong một thời gian dài không học nên khi ôn tập các em gần như đã quên hết Hơn nữa khi học phần này ở lớp 10, chương trình Sách Giáo Khoa do thời lượng ít nên chưa đề cập được hết các vấn đề mà chỉ dừng lại ở vận dụng và áp dụng công thức, chỉ giải được những bài toán đơn giản; chưa chú ý đến tự bồi dưỡng kiến thức, khi gặp bài toán có tính chất tổng hợp, khó hơn thì không phân tích được bài toán, không thấy được quan hệ giữa hình học phẳng thuần túy và tọa độ trong mặt phẳng, không thể chuyển bài toán tọa độ sang bài toán hình học thuần túy để tìm được cách giải

Chính vì vậy rút kinh nghiệm từ vấn đề này tôi đã thực hiện bồi dưỡng, hướng dẫn và rèn luyện cho các em làm quen với kỹ năng phân tích, tìm phương

2

pháp giải bài toán bằng phương pháp tọa độ ngay sau khi dạy xong lý thuyết

“Phương trình đường thẳng” ở lớp 10

Việc rèn luyện kỹ năng phân tích tìm phương pháp giải bài toán phương trình đường thẳng được thực hiện trên cơ sở củng cố phân loại các dạng và thông qua các bài toán cụ thể với thời gian ba tiết học, cùng với việc các em tự giải các bài tập khác

Sau khi thực hiện vấn đề này qua nhiều khóa học, với nhiều lớp tôi thấy kết quả học tập của các em tốt hơn nhiều khi học phần “Tọa độ trong không gian”so với những lớp để khi học xong mới ôn tập Các em tiếp thu dễ dàng hơn

và có kết quả học tập tốt hơn Vì thế tôi nêu vấn đề này lên đây để cùng các bạn đồng nghiệp bàn luận và tham khảo, bổ sung cho hoàn thiện hơn!

Phần 2: NỘI DUNG THỰC HIỆN

Kinh nghiệm này tôi đã thực hiện ngay sau khi học xong phương trình đường thẳng trong mặt phẳng ở chương trình toán lớp 10 Trung học phổ thông

cụ thể:

- Ôn tập về viết các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

- Hướng dẫn rèn luyện kỹ năng phân tích tìm cách giải thông qua các ví

dụ, các bài toán ở các dạng viết phương trình đường thẳng; xác định toạ độ điểm…

- Một số bài toán chọn lọc để các em tự giải

A CỦNG CỐ LÝ THUYẾT

ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Sau khi học xong bài phương trình của đường thẳng thì cho các em ôn tập, rèn luyện kỹ năng giải các loại bài toán có liên quan đến đường thẳng

Cần củng cố lại các vấn đề sau:

3

- Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M x y có véc tơ pháp( ; )0 0 tuyến n( ; )A B là: A x x(  0)B y y(  0) 0  Ax By C  0

với C Ax0  By0 : A2 B2 0

- Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M x y có véc tơ chỉ( ; )0 0

phương u( ; )a b là: 0

0

x x at

y y bt







với t R ; a2 b2 0

hoặc x x0 y y0

 với ab 0

- Phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại A(a; 0) cắt trục Oy tại B(0; b)

có phương trình là: x y 1

a b  ; ab 0

- Phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M x y có có hệ số góc k( ; )0 0

có phương trình: y = k(x – x0) + y0 (  là góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox thì

k = tan )

Trường hợp không tồn tại k (khi 900) thì d có phương trình: x – x0 = 0 Nên khi viết phương trình đường thẳng ở dạng này thì cần xét cả hai trường hợp

- Đường thẳng d: Ax + By + C = 0; d’: A’x + B’y + C = 0; d và d’ tạo với

nhau góc  ta có:

AA BB















Hay tan ( ; ') ' '

AB A B

d d

AA BB





 (góc định hướng ( ; ')d d )

4

Cần lưu ý: véc tơ pháp tuyến n chỉ phương ucủa một đường thẳng thì

u n  

( ; ) ( ; )

u a b n b a

Từ vấn đề này ta thấy muốn viết phương trình của một đường thẳng phải:

- Tìm được một điểm của đường thẳng Điểm này hoặc đã cho; hoặc là giao điểm của hai đường thẳng khác…

- Tìm véc tơ chỉ phương hoặc véc tơ pháp tuyến; nó thường được xác đinh bằng hai điểm phân biệt: nằm trên đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng khác cho trước

Cần làm thành thạo một số bài toán cơ bản sau:

- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng khác

- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng khác

B RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH BÀI TOÁN ĐỂ TÌM

CÁCH GIẢI

Việc rèn luyện kỹ năng này được thực hiện thông qua một số bài tập sau:

I BÀI TOÁN VỀ THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:

1 Viết phương trình đường thẳng khi xác định được một điểm và chỉ phương hoặc pháp tuyến

Bài 1: Viết phương trình cạnh AB của tam giác ABC biết đỉnh C(3; 5), đường

cao và trung tuyến cùng xuất phát từ đỉnh A lần lượt nằm trên hai đường thẳng

d1: 5x + 4y- 1 =0; d2: 8x + y - 7 = 0

Để giải bài toán trước hết coi như tam giác ABC đã xác định (nên vẽ hình)

Vẽ tam giác ABC, có đường cao AH và trung tuyến AM

5

Tìm một điểm của đường thẳng AB? là đỉnh A xác định qua giao điểm của d1 và d2

AB không song song hay vuông góc với đường thẳng nào

Vì thế tìm véc tơ chỉ phương bằng việc tìm

thêm một điểm khác điểm A

Từ giả thuyết : cạnh BC đi qua C vuông góc d1

cắt d2 tại M; vì d2 là trung tuyến nên M là trung

điểm BC B đối xứng C qua M Ta chọn đỉnh B

Trên cơ sở phân tích này các em trình bày lời giải :

Toạ độ đỉnh A: 5 4 1 0 1 (1; 1)

A

Cạnh BC đi qua C(3; 5) vuông góc d1 nên phương trình BC:

4(x-3)-5(y-5)=0  4x – 5y + 13 = 0

Toạ độ điểm M:

1

2





1 ( ;3) 2

M



M là trung điểm BC ta có: 2 3 1 ( 2;1)

B

 ( 3;2)

AB  

là chỉ phương của AB Phương trình AB: 2(x - 1) + 3(y +1) = 0  2x + 3y +1 = 0

Bài 2: Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết đỉnh A(1;4), đường

cao thuộc đỉnh B, trung tuyến thuộc đỉnh C lần lượt nằm trên hai đường thẳng

d1: 2x - 3y + 12= 0; d2: 5x + 6y - 13 = 0

Để giải bài toán trước hết coi như tam giác ABC đã xác định (nên vẽ hình)

Vẽ tam giác ABC, có đường cao BB’ và trung tuyến CM

Phân tích bài toán ta thấy:

d1 d2 B(-2;-1) C(3;5)

A(1;-1)

H M

6

- Khác bài toán trên là biết đường cao và trung tuyến không cùng thuộc một đỉnh

- Tìm một điểm và chỉ phương dẫn tới tìm B hoặc tìm C; Ở đây C xác định được vì C nằm trên d2 và AC xác định được vì AC đi qua Avuông góc với d1 Điểm B trên d1 và đối xứng với A qua M

Từ sự phân tích này mà có các bước giải:

- Cạnh AC đi qua A vuông góc d1

Phương trình AC: 3(x- 1) +2(y- 4)= 0

3x 2y 11 0

C

- B thuộc d1

2 12

3

t

13 5 ' ( '; ); '

6

t

Vì M là trung điểm AB

2 ' 1

 







3 ( 3;2)

(8; 4)

BC

    

đường thẳng BC có pháp tuyến n  (1;2) Phương trình cạnh BC: (x + 3) + 2(y -2 ) = 0 hay x + 2y – 1 = 0

Bài 3: Viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC biết đỉnh C(4; 3), phân giác

và trung tuyến kẻ từ B lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + 2y – 5 = 0;

d2: 4x + 3y – 10 = 0

Để giải bài toán trước hết coi như tam giác ABC đã xác định (nên vẽ hình)

Vẽ tam giác ABC, có phân giác BD và trung tuyến BM

Phân tích bài toán ta thấy:

Đỉnh B là giao điểm của d1 và d2

d2

d1

A(1;4)

M

B'

7

d2

d1

A D C'

M

Cạnh AC đi qua C và cắt d2 tại M

M là trung điểm của AC nên việc tìm chỉ phương

của AC là tìm M hoặc A

Theo tính chất đường phân giác C’ đối xứng C qua d1 thì C’ nằm trên AB

Gọi I là giao điểm của BD và CC’ thì IM song song BC’, từ đó xác định M

Từ sự phân tích này mà có các bước giải:

B

- C’ đối xứng C qua d1  CC'd1 tại I ;

- phương trình CC’: 2(x - 4) – (y - 3 ) = 0  2x y  5 0

toạ độ I: 2 5 0 3 (3;1)

I

'(2; 1)

C

  ; BC   ' (1; 3) là chỉ phương của IM

:3( 3) ( 1) 0

      3x + y – 10 = 0

M

(0; 5)

CM  



là chỉ phương của AC  phương trình AC: x – 4 = 0

Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC, cạnh đáy BC nằm

trên đường thẳng d: 3x-y+5=0, cạnh AB nằm trên đường thẳng d’: x+2y-1=0 Cạnh AC đi qua M(1;-3) Viết phương trình cạnh AC

Nhận xét: vẽ tam giác cân ABC đỉnh A, xác định các yếu tố bài toán.

Cạnh AC đi qua M Để viết phương trình AC

cần tìm chỉ phương của AC ta tìm A hoặc C

kẻ đường cao AH thì AH là trục đối xứng của tam giác

Gọi N là điểm đối xứng với M qua AH thì N trên AB và

MN song song BC; MN cắt AH tại I; IM = IN

d2

d1

I

A

M N

8

Vậy AH đi qua I và vuông góc BC

A là giao điểm của AH và d2

Từ sự phân tích này mà hình thành cách giải

Lời giải: Đường thẳng MN đi qua M song song BC

có phương trình: 3(x-1) – (y+3) = 0 hay 3x – y – 6 = 0

MN cắt AB tại N nên toạ độ N là nghiệm của hệ

13

( ; )

7

x

x y

N

y









I là trung điểm MN (10 12; )

I

Vì tam giác ABC cân đỉnh A nên AI vuông góc BC; AI có phương trình:

x  y   x y   x y 

AB cắt AI tại A => toạ độ A là nghiệm của hệ:

73

7

x

A

y









66 12

MA



cạnh AC có véc tơ chỉ phương là 7 (11; 2)

6

u MA 



=> phương trình AC:

2(x-1) + 11(y+3) = 0  2x + 11y +31 = 0

2 Viết phương trình đường thẳng theo hệ số góc

Bài 1 : (Xét lại bài toán 4 ở trên)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC, cạnh đáy BC nằm trên đường thẳng d: 3x-y+5=0, cạnh AB nằm trên đường thẳng d’: x+2y-1=0 Cạnh

AC đi qua M(1;-3) Viết phương trình cạnh AC

9

Nhận xét: Tam giác ABC cân đỉnh A nên: ABC ACB

tan(BC BA; ) tan(CA CB; )

Giả sử AC nằm trên đường thẳng ax + by + c = 0 ; (a2 + b2 > 0)

Ta có tan( ; ) ( 1) 3 3

CA CB

  ; tan( ; ) 3.2 ( 1).1 7

3.1 2.1

BC BA    



Vì a2 + b2 > 0 => ta chọn a = 2 => b = 11

Khi đó phương trình AC: 2x + 11y + c = 0 AC đi qua M => 2 – 33 + c = 0

=> c = 31 Vậy phương trình AC : 2x + 11y + 31 = 0

Qua đây ta thấy cách giải này ngắn gọn hơn

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm M(1;-3), A(5;1), B(-3;-2)

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cách đều A, B

Giải : Đường thẳng d đi qua M có dạng:

Trường hợp 1: d: x = 1 khi đó ( ; )d A d  5 1 4; ( ; ) d B d   3 1 4 thoả mãn

Trường hợp 2: d có hệ số góc k là y = k(x-1) + 3 = 0 kx y k   3 0

Ta có:

( ; )

d A d

( ; )

d b d

8

Vậy phương trình của d: x – 1 = 0; hoặc 3x + 8y – 21 = 0

II BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Đây là loại bài toán gặp nhiều ở các đề thi Đại Học, Cao Đẳng Phương pháp giải loại này ngoài việc sử dụng kiến thức về đường thẳng còn sử dụng nhiều đến

10

các phép tính; các phép toán toạ độ của véc tơ Vì thế đòi hỏi các em phải có kỹ năng tốt về các phép tính, biết vận dụng linh hoạt tính chất hình học

Việc rèn luyện kỹ năng được tiến hành thông qua giải các dạng bài tập sau:

1 Xác định điểm nhờ tương giao của hai đường thẳng

Để xác định điểm trong mặt phẳng ta đưa về tìm giao điểm của hai đường thẳng xác định nào đó, các đường thẳng này hoặc đã cho trực tiếp trong đề bài hoặc có thể lập được phương trình nhờ các điều kiện đã cho trước bằng các phương pháp lập phương trình đường thẳng

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác

ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d1: x - 4y- 2 = 0

Cạnh BC song song với d1, phương trình đường cao BB’

d2 : x + y + 3 = 0 ; M(1;1) là trung điểm cạnh AC

Tìm toạ độ đỉnh A, B, C

Trước khi giải bài toán ta phân tích trên cơ sở giả sử đã

có kết quả Vẽ hình minh hoạ:

Vẽ tam giác ABC có A trên d1, BC// d1; đường cao BB’,M là trung điểm AC

Ta thấy: Cạnh AC xác định vì đi qua M và vuông góc d2

Đỉnh A xác định vì là giao điểm của d1 và AC

Đỉnh C xác định vì đối xứng với A qua M

Đỉnh B là giao điểm của d2 và BC BC đi qua C và song song d1

Từ sự phân tích này mà rèn luyện kỹ năng tìm phương pháp giải

Lời giải:

Cạnh AC đi qua M vuông góc d2 nên có phương trình:

d2

d1

A

B' M

11

(x-1)-(y-1) = 0 hay x-y = 0.A trên d1 nên toạ độ A là nghiệm của hệ:

2

3

x

x y

A

y









M là trung điểm AC ( ; )8 8

3 3

C

 Cạnh BC đi qua C và song song d1 nên có

phương trình: ( 8) 4( 8) 0 4 8 0

x  y   x y 

B nằm trên d2 nên toạ độ B là nghiệm của hệ

( 4;1)

B

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao kẻ

từ B, phân giác tronh góc A lần lượt có phương trình: d1:3x + 4y + 10 = 0;

d2: x – y + 1 = 0 Điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một đoạn bằng 2 Tính toạ độ các đỉnh của tam giác

Nhận xét:

Để phân tích và tìm cách giải, theo đầu bài

vẽ tam giác ABC , đường cao BB’ phân giác AD

ta thấy:

- A là giao điểm của d2 và AC; AC d1, cần

tìm một điểm trênAC?

lấy M’ đối xứng M qua d2 => M’ trên AC

- A, M là hai điểm trên AB => AB xác định; AB cắt BB’ tại B

- C trên AC và cách M một đoạn bằng 2

12

2

d2

d1

I

A

D

B' M

M'

Qua phân tích trên dẫn tới cách giải:

Lời giải:

Gọi M’ là điểm đối xứng M qua d2;=> phương trình MM’: x + y – 2 = 0

MM’ cắt d2 tại I => toạ độ I là nghiệm của hệ:

1

( ; )

2

x

x y

I

x y

y









=> M’(1; 1)

- Cạnh AC đi qua M’ vuông góc d1 => có phương trình:

4(x-1) - 3(y-1) = 0  4x – 3y – 1 = 0

AC cắt d2 tại A Toạ độ A là nghiệm của hệ:

(4;5)

A

- Cạnh AB đi qua M có chỉ phương MA  (4;3)

AB có phương trình:

3x – 4(y-2) = 0 hay 3x – 4y + 8 = 0

Cạnh AB cắt d1 tại B

Toạ độ B là nghiệm của hệ:

3

( 3; ) 1

4

x

B





- Điểm C trên AC 

2 2

C t  MC   t     

25

        C(1;1); hoặc (31 33; )

25 25

C

vậy A(4;5); B( 3; 1

4

  ); C(1;1) hoặc (31 33; )

25 25

Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam

giác ABC biết rằng hình chiếu của đỉnh C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1),

13