Hướng dẫn học sinh tìm lời giải trong bài toán chứng minh hình học lớp 7

MỤC LỤC Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 3.1 3.2 Tên mục MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề Các bài toán chứng minh hình học Phương pháp chung để chứng minh bài toán hình học Một sớ kỹ giải toán chứng minh Một số ví dụ minh họa Hiệu của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp và nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHI Kết luận Kiến nghi TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÔNG NHẬN Trang 2 3 4 6 8 18 19 19 20 22 23 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Hội nghi lần thứ Ban chấp hành trung ương Đảng khóa XI đã ban hành Nghi quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 về "đổi toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế" Mục tiêu của giáo dục nói chung, của nhà trường nói riêng là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành người mới phát triển toàn diện có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ đáp ứng yêu cầu thực tế hiện Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết phải biết áp dụng phương pháp dạy học hiện đại kết hợp với phương pháp dạy học truyền thống để bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư sáng tạo của người học, bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, tăng cường và dành thời gian tự học và tự nghiên cứu cho học sinh Đồng thời thân giáo viên phải tìm phương pháp mới, khắc phục lới trùn thụ chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh các môn học Thông qua các môn học, học sinh được phát triển toàn diện về lực trí tuệ, tư lơgic, phẩm chất đạo đức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, có óc phán đoán, phân tích tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hình thành nhân cách Một môn học mang lại hiệu dạy học cao là toán học Dù đã trải qua hai nghìn năm toán học đã chứng tỏ đỉnh cao của trí tuệ của người, xâm nhập vào hầu hết các ngành khoa học và là nền tảng của nhiều lí thuyết khoa học quan trọng Ngày nay, với thời đại công nghiệp tiên tiến và sự phát triển vũ bão của công nghệ thơng tin vai trị của toán học ngày càng trở nên quan trọng và cần thiết bao giờ hết Quá trình dạy học ở trường THCS , việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển tư cho học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên Vì lí thời lượng chương trình và phải đáp ứng cách đại trà về kiến thức cho học sinh nên chương trình sách giáo khoa mới đáp ứng phần kiến thức Chính điều này đã hạn chế sự phát triển tư của em học sinh khá giỏi Vì vậy, quá trình dạy học, người giáo viên phải quan tâm đến hai vấn đề là đáp ứng kiến thức đại trà và phát triển tư cho học sinh khá giỏi Thơng thường, các em học sinh mới có khả giải quyết trực tiếp bài toán mà chưa có khả nhìn nhận bài toán từ góc độ khác nhau, mới giải quyết vấn đề cách rời rạc mà chưa có khả xâu chuỗi chúng lại với thành mảng kiến thức lớn Chính thế, việc rèn luyện và phát triển tư khái quát hóa, tương tự hóa là hết sức cần thiết đối với học sinh Việc làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả nhìn nhận và phát hiện vấn đề nhanh, giải qút vấn đề có tính logic và hệ thớng cao Hình học đới với học sinh lớp là mơn học khó Khó bởi tính trừu tượng của hình học, các em đã được tiếp cận với mơn hình học từ cấp tiểu học, song đến năm học lớp mới là kiến thức rất và chủ yếu học phương pháp đo đạc và cơng nhận Hình học lớp đưa vào với học sinh bước đầu yêu cầu học sinh phải biết vẽ hình cách chính xác, với bài toán ít giả thiết việc vẽ hình khơng khó khăn lắm, với bài toán có nhiều giả thiết việc vẽ hình và dễ nhìn là vấn đề khó đới với các em học sinh Bên cạnh đó, phương pháp chứng minh hình học dựa vào suy diễn bước đầu được đưa vào với học sinh Nội dung này khó với học sinh bởi tính trừu tượng và tư logic toán học được thể hiện ở nội dung này Nâng cao các bài toán tổng quát hoá, đặc biệt hoá … đối với học sinh khá giỏi lại là vấn đề đáng được quan tâm, thơng qua bài toán này giúp học sinh nhìn nhận toán học cách tổng quát và cụ thể Do vậy, việc dạy học giải toán cho học sinh lớp ở mơn hình học có tầm quan trọng đặc biệt Làm thế nào để học sinh yên tâm hơn, tự tin với môn học này Sau nhiều năm trăn trở, trực tiếp giảng dạy và trao đổi với đồng nghiệp, mạnh dạn chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán chứng minh hình học lớp 7” để trình bày vài kinh nghiệm nhỏ môn học này Xin được nêu để bạn đọc tham khảo 1.2 Mục đích nghiên cứu Bản thân cố gắng đúc rút, xâu chuỗi các kiến thức thu nhận được thành chủ đề với mong ḿn có thể giải qút được lớp các bài toán điển hình về chứng minh hình học lớp Cụ thể là nhằm mục đích nâng cao chất lượng và hiệu của việc dạy học phần kiến thức chứng minh hình học 7, trao đổi với giáo viên môn về phương pháp, giúp học sinh có thể lĩnh hội cách sâu sắc, triệt để nhất, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát triển tư cho học sinh và giúp các em có thêm kiến thức trang bi cho lớp học cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này, đưa cách chọn số dạng bài tập mà học sinh có thể vận dụng vào việc chứng minh, đờng thời rèn luyện các kĩ cần phải có chứng minh hình học 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp tiếp cận vấn đề: Thông qua việc giảng dạy thực tế, tiếp xúc, trao đổi với nhiều học sinh, từ tơi đưa được lượng kiến thức để học sinh dễ tiếp cận nhất - Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trước vào cách giải cụ thể, thường đưa phân tích về loại bài tập Từ có thể khái quát hay tổng hợp lại phương pháp giải - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi sử dụng nhiều nguồn tài liệu của các tác giả có uy tín sử dụng đề thi vào trung học phổ thông ở năm học trước - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tôi thường xuyên khảo sát mức độ tiếp thu kiến thức của học sinh thông qua các bài tập nhanh Kết thu nhận được giúp điều chỉnh lượng kiến thức phương pháp truyền đạt tới các em cho hiệu cao nhất Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng Song quá trình nhận thức đạt hiệu cao hay khơng, có bền vững hay khơng cịn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo của chủ thể Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là có xu hướng vươn lên làm người lớn, ḿn tự tìm hiểu, khám phá quá trình nhận thức Ở lứa tuổi học sinh trung học sở có điều kiện thuận lợi cho khả tự điều chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác Tuy nhiên nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình, chưa nắm được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới Vì vậy cần có sự hướng dẫn, điều hành cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy: Trong môn toán sự thống nhất điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trị có thể thực hiện được cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy học toán hoạt động và hoạt động Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư Quan điểm này cho dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy óc của học sinh thành thạo các thao tác tư phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá Trong phân tích tổng hợp có vai trị trung tâm Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tịi, tự phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết bài toán,… Hình thành và phát triển tư tích cực độc lập sáng tạo dạy học toán cho học sinh là quá trình lâu dài, thông qua tiết học, thông qua nhiều năm học, thơng qua tất các khâu của quá trình dạy học nội khoá ngoại khoá Toán học là môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logic đồng thời môn toán cịn là mơn cơng cụ hỗ trợ cho các môn học khác Với phân môn đại số là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả tính toán, suy luận logic, phát triển tư sáng tạo Nâng cao được lực tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo, linh hoạt cách tìm lời giải bài tập càng có ý nghĩa quan trọng Việc bồi dưỡng học sinh không đơn cung cấp cho các em số kiến thức thông qua việc làm bài tập làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả sáng tạo Đối với phân môn đại số càng phải biết rèn luyện lực tư trừu tượng và phán đoán logic Trong thực tiễn dạy học, các bài tập tính toán, suy diễn, chứng minh thường chiếm số lượng rất lớn Hơn nữa, đặc thù môn, bài tập dạng này lại tập trung nhiều phân mơn đại sớ Trong chương trình Toán THCS đới mới mơn Hình học có thể nói hình học là phần cung cấp cơng cụ nhất về: - Phạm vi kiến thức - Tư ban đầu - Tình cảm mơn Hình học với các em không gọi là mới là bắt đầu bởi lẽ ở lớp các em học 20 tiết, với 16 khái niệm tiên đề Vì vậy, việc bời dưỡng tư hình để các em tiếp tục học lên lớp là nhiệm vụ yêu cầu quan trọng đối với giáo viên dạy hình học Trong quá trình giảng dạy để học sinh lĩnh hội được các kiến thức giáo viên đều vận dụng tổ hợp các phương pháp môn tiết dạy 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Bản thân sau nhiều năm giảng dạy mơn toán có rút nhận xét là gặp các vấn đề toán có chất phát biểu ở dạng khác học sinh thường tỏ lúng túng và bế tắc Làm thế nào để học sinh hiểu rõ chất của loại toán trên, vận dụng kiến thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này thế nào? Việc trả lời cho các vấn đề này dễ dàng Kinh nghiệm thực tế cho thấy khơng có phương pháp chung cho việc giải toán hình học, mà tuỳ thuộc vào bài toán cụ thể có các cách giải hợp lý để được đến kết hay và độc đáo, hay nói cách khác là sự sáng tạo giải toán Hơn nữa, đối với các em học sinh lớp bước đầu là quen với việc chứng minh hình học nên các em cịn rất yếu các kĩ giải toán kỹ vẽ hình, vận dụng đinh lý vào chứng minh, suy luận để tìm hướng giải và trình bày bài toán chứng minh Đặc biệt nhất là kỹ suy luận và chứng minh Chính vậy việc hướng dẫn, rèn luyện các kỹ giải toán chứng minh hình học cho các em là công việc cần thiết và quan trọng quá trình giải toán hình học, tạo nền tảng học lên các lớp tiếp theo Hơn thế các tiết luyện tập và ôn tập chương việc rèn luyện kỹ giải toán lại rất quan trọng Khi giải toán chứng minh hình học với học sinh thường có tư tưởng hoang mang, lúng túng không biết phải đâu Gặp bài tập là muốn chứng minh nếu gặp bài dễ chứng minh được nếu gặp bài khó đành chiu Bài khơng làm được có nhiều ngun nhân, nguyên nhân chủ yếu là bỏ qua phần chuẩn bi cần thiết có khâu vẽ hình Hơn hình vẽ phải chính xác mới có thể giúp ta quan sát lúc suy diễn và gợi ý cho ta cách giải, nếu vẽ tuỳ tiện chẳng có ích gì, mà đơi cịn giải sai, mới là khâu chuẩn bi trước giải toán Còn bắt tay vào chứng minh đa số các em không biết đâu và làm thế nào đặc biết nhất là khâu trình bày thế nào cho đầy đủ và khoa học Đối với các em học sinh lớp bước đầu giải toán chứng minh hình học, nếu các em mắc phải số sai lầm mà không kip thời sửa chữa sau thời gian dài các em khó ́n nắn được và thu được kết học tập khơng ý ḿn, thậm chí cịn hoàn toàn bó tay trước mơn học Đới với giáo viên vấn đề rèn luyện các kỹ giải toán chứng minh hình học cho học sinh khơng phải làm được tốt Vậy muốn làm tốt điều này yêu cầu người thầy phải có được đúc rút kinh nghiệm cho riêng mình, từ trùn cho học sinh cách quan sát, phát hiện, dự đoán để có sáng tạo hợp lý Bên cạnh người thầy phải tự học tự bồi dưỡng để trang bi cho vớn kiến thức cần thiết Đây là thực trạng mà người dạy toán và người quan tâm đến việc dạy và học môn toán ở trường THCS cần phải nhân thức rõ và làm tốt Sau tơi nghiên cứu hướng dẫn học sinh theo chun đề này khoảng 90% sớ học sinh được giao đã xác đinh được hướng giải quyết bài toán và có khoảng 65 % các em trình bày cách chính xác, khoa học Ngoài các em có khả áp dụng vào giải sớ bài tập yêu cầu cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các tốn chứng minh hình học thường gồm: - Chứng minh nhau: Đoạn thẳng nhau, góc nhau, tam giác nhau… Ứng dụng để: So sánh góc, đoạn thẳng, chứng minh trung điểm của đoạn thẳng, tia phân giác của góc… - Chứng minh song song - Chứng minh vng góc - Chứng minh thẳng hàng - Chứng minh các đường thẳng đồng quy - Chứng minh các yếu tố cố đinh, 2.3.2 Phương pháp chung để chứng minh tốn hình học: 2.3.2.1 Tìm hiểu nội dung bài toán + Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh họa sao? Sử dụng kí hiệu thế nào? + Phát biểu bài toán dưới dạng khác để hiểu rõ bài toán + Dạng toán nào? + Kiến thức cần có là gì? u cầu: - Làm cho học sinh nắm được nội dung, ý nghĩacủa bài toán, giải nghĩa được các từ, các thuật ngữ bài toán Xác đinh được các yêu cầu của bài toán Có ́u tớ: + Dữ liệu + Mới quan hệ + Ẩn sớ ( cái phải tìm,phải chứng minh) - Học sinh thể hiện được bài toán dưới hình thức ngắn gọn,dễ hiểu, nắm được khái quát nội dung bài toán Bài toán thuộc loại chứng minh hay tính oán (tìm tịi ) Nếu là loại chứng minh nên giả thiết,kết luận Nếu là loại tính toán phải nêu được cho cái ? Tìm cái ? - Đặc biệt đới với bài toán hình học yêu cầu học sinh phải vẽ hình, dùng ký hiệu thích hợp để minh hoạ bài toán Hình vẽ phải chính xác, có tính trực quan 2.3.2.2 Xây dựng chương trình giải Lập kế hoạch giải là xây dựng trình tự cho việc giải qút địi hỏi của bài toán, tức là dạy cách tìm hướng giải quyết của bài toán - Phân tích nội dung giả thiết, kết luận, phân tích mối quan hệ cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh từ tìm sự liên hệ của chúng, biết phân tích bài toán thành phần bài toán đơn giản nếu có thể - Xét xem đã gặp bài toán tương tự chưa - Xét bài toán trường hợp đặc biệt, từ tìm lời giải cho bài toán tổng quát ngược lại từ bài toán tổng quát tìm lời giải cho bài toán được biệt - Bài toán đã cho có liên uan đến khái niệm, quy tắc, đinh lý, đinh nghĩa, công thức nào ? Có cần đưa thêm đường phụ hay không ? Từ các bước giáo viên hướng dẫn cho học sinh xây dựng chương trình giải (học sinh có thể xây dựng được nhiều chương trình giải khác tức là nhiều cách giải khác nhau) 2.3.2.3 Thực hiện chương trình giải: Trình bày bài làm theo các bước đã được Chú ý các sai lầm thường gặp tính toán, biến đổi Trên sở các bước phân tích tổng hợp và suy luận để xây dựng chương trình giải Giáo viên hướng dẫn giúp học sinh trình bày lời giải tuần tự theo các bước “ chương trình giải” cách rõ ràng, đầy đủ, chính xác, khoa học và sáng tạo 2.3.2.4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải - Xem xét có sai lầm khơng, có phải biện ḷn kết không - Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn để, - Xét tính hợp lí của đáp số (nếu cần thiết) - Khai thác và phát triển bài toán theo nhiều hướng khác nhau, từ rút kinh nghiệm cần thiết - Đề xuất bài toán tương tự bài toán có tính chất đặc biệt hoá, khái quát hoá 2.3.3 Một số kỹ giải toán chứng minh: - Kỹ vẽ hình - Kỹ suy luận và chứng minh - Kỹ vận dụng đinh lý - Kỹ đặc biệt hoá, tổng quát hóa, tương tự hóa 2.3.4 Các ví dụ minh họa: 2.3.4.1 Minh họa phương pháp chung giải toán chứng minh Ví dụ 1: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm tam giác đều đến các cạnh của tam giác là sớ khơng đổi [1] Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán: Hệ thống câu hỏi: ? Bài toán thuộc loại chứng minh hay tính toán ? ? Khoảng cách từ điểm O tam giác đến cạnh của tam giác được xác đinh thế nào? ? Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận cách chính xác GT ∆ABC (AB = AC = BC = a) O∈ miền của ∆ABC OM ⊥ AB;ON ⊥ AC;OI ⊥ BC KL OM = x; ON = y; OI = z x+y+z khơng đổi Bước 2: Xây dựng chương trình giải Hệ thống câu hỏi ?x+y+z=? ? Tổng x + y + z có phụ thuộc vào a hay khơng ? (học sinh lúng túng) Giáo viên hướng dẫn, gợi ý, học sinh phân tích bài toán theo các hướng sau: Dựa theo tính chất của diện tích đa giác: ? Có nhận xét về diện tích của ∆ABC, và tổng diện tích của ∆AOB, ∆AOC, ∆BOC ? Gọi độ dài chiều cao AH = h (AH ⊥ BC) ? So sánh x + y + z = h ? ? Tính độ dài h theo a Từ suy tổng x + y + z Từ các bước phân tích suy luận học sinh xây dựng được chương trình giải: - Biểu diễn diện tích của tam giác: ∆ABC,∆AOB, ∆AOC, ∆BOC theo a, x, y,z,h - Từ biểu thức S∆ABC = S∆AOB + S∆AOC + S∆BOC ⇒ x+y+z=h - Tính h theo a - Từ bước (2) và (3) ⇒ x + y + z không đổi Hoặc học sinh có thể xây dựng chương trình giải sau: - Tính diện tích ∆ABC,∆AOB, ∆AOC, ∆BOC theo x,y,z,h - Chứng minh: S∆ABC = S∆AOB + S∆AOC + S∆BOC - Từ biểu thức (2) rút gọn vế được x + y + z = h - Tính h theo a - Từ (3) và (4) ⇒ x + y + z không đổi Bước 3: Trình bày lời giải bài toán Giáo viên yêu cầu học sinh trình bày lời giải bài toán theo trình tự các bước “ chương trình giải” Kiểm tra tính chính xác, chặt chẽ, hợp lý, khoa học của bài giải để sửa chữa cho phù hợp Bước 4: Đánh giá bài toán Từ bài toán giáo viên yêu cầu học sinh đề cho bài toán khác theo hướng đặc biệt hoá, tương tự hoá hay khái quát hoá (nếu có thể) cách thay đổi giả thiết nào và giữ nguyên các giả thiết khác Chẳng hạn giáo viên hỏi học sinh: Thay tam giác đều tam giác cân tam giác thường có được khơng ? Thay tam giác đều đa giác đều bất kỳ có được khơng? Điểm O thuộc cạnh của tam giác đều hay đa giác đều có được khơng? Theo hướng học sinh có thể tự đề bài và trình bày lời giải của số bài toán 2.3.4.2 Minh họa kỹ học sinh cần phải có giải tốn chứng minh hình học 2.3.4.2.1 Hướng dẫn học sinh vẽ hình Hình vẽ đóng vai trị quan trọng quá trình giải toán, hình vẽ chính xác, rõ ràng giúp học sinh nhanh chóng tìm hướng giải bài toán Một sớ học sinh vẽ hình khơng chính xác cho bài toán, bởi vậy ý phải hướng dẫn giúp học sinh rèn luyện kĩ vẽ hình Ví dụ 2: (Bài 14 sách bài tập toán tập trang 75) Vẽ hình theo cách diễn đạt lời sau: Vẽ góc xOy có sớ đo 60 Lấy điểm A vẽ tia Ox, rời vẽ đường thẳng d1 vng góc với tia Ox tại A lấy điểm B tia Oy rồi vẽ đường thẳng d2 vng góc với tia Oy tại B gọi giao điểm của d1 là C [2] Phân tích: Bài tập này là yêu cầu học sinh vẽ góc 600 phải chính xác thơng thường học sinh thường mắc các lỗi sau: - Vẽ góc 600 khơng chính xác - Vẽ các đường thẳng vng góc khơng chính xác - Khơng xét hết các trường hợp có thể vẽ được Đới với tài tập này khơng thể vẽ chừng được và phải phân biệt bài toán dựng hình và bài toán vẽ hình để chứng minh, cần có độ chính xác khác nhau, 10 ngoài cần ý cho học sinh có nhiều hình vẽ khác tuỳ theo vi trí điểm A, B được chọn x d2 A C C A x x A 600 600 600 B B d1 y C d1 B y y d2 d2 A Ví dụ 3: (Bàì tập 77 trang 32 SBT Toán tập 2) Cho ∆ ABC có AH là đường cao, AM là trung tuyến C B Trên tia đối của HA lấy điểm E cho HE = HA h m Trên tia đối của MA lấy điểm I cho MI = MA Nối B với E, C với I Chứng minh BE = CI [3] i Phân tích: Nếu học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt: e A ∆ ABC cân tại A lúc này đường cao AH và trung tuyến AM trùng Dẫn đến việc h m C B giải bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt Do vậy: Để giúp học sinh tránh được sai lầm này dạy học lưu ý nhắc nhở học sinh nếu bài toán không cho hình đặc biệt ta khơng nên i e vẽ vào trường hợp đặc biệt và vẽ hình phải vẽ thật chính xác dễ quan sát, giúp ích rất nhiều cho việc chứng minh 2.3.4.2.2 Hướng dẫn học sinh suy luận và chứng minh Việc rèn luyện kĩ suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặc biệt và học sinh cần có kỹ này giải toán chứng minh Khi dạy giải bài tập giáo viên cần ý dạy cho học sinh các quy tắc suy luận Trong quá trình giải toán ta thường gặp hai quy tắc suy luận: quy tắc quy nạp và quy tắc diễn dich - Quy tắc quy nạp là suy luận từ cái riêng đến cái chung, từ cụ thể đến tổng quát Quy tắc quy nạp, thường dùng là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy - Quy tắc diễn dich là từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụthể - Trong quá trình giải toán, nhiều phải phân chia các trường hợp có 11 thể xảy ra, các trường hợp riêng, học sinh xét trường hợp rồi đến kết ḷn có phân chia khơng đầy đủ các trường hợp Vì vậy quá trình giảng dạy cần ý cho học sinh lực phân chia các trường hợp riêng Ví dụ 4: (Bài 43 SGK tập trang 125) Cho góc xOy khác góc bẹt, lấy các điểm A, B ∈ tia Ox cho OA < OB Lấy các điểm C, D ∈ tia Oy cho OC = OA, OD = OB, gọi E là giao điểm của AD và BC Chứng minh rằng: ∆ EAB = ∆ ECD [4] Phân tích: - Để chứng minh ∆ EAB = ∆ ECD - Xét ∆ EAB và ∆ ECD đã có yếu tố nào ? - Để kết luận ∆ EAB = ∆ ECD ta cần có thêm điều kiện ? - Để chứng minh được các yếu tớ ta cần ghép chúng vào các tam giác nào ? B x A E O C D y Với việc phân tích được gọi là suy luận ngược Từ kết luận của bài toán ta suy luận đến cần điều kiện của giả thiết Ta có sơ đờ phân tích sau: ∆ EAB = ∆ ECD ⇐ Â2 = Cˆ và Bˆ = Dˆ, AB = CD ⇐ ∆ AOD = ∆ COB Cụ thể: Xét ∆ AOD và ∆ COB Â chung ; OA = OC (gt); OB = OD (gt) => ∆ AOD = ∆ COB (c.g.c) ˆ = Cˆ A => Bˆ = Dˆ, 1 Â2 = Cˆ => ∆ EAB = ∆ ECD (g.c.g) Cần nói thêm đới tượng học sinh lớp của mới tập giải toán chứng minh Do vậy dạy rất ý tới việc hướng dẫn học sinh xắp xếp các luận cứ cho lôgic, chặt chẽ Như ở ví dụ hướng dẫn cho học sinh suy luận đề dẫn đến việc chứng minh ∆ AOD = ∆ COB 12 Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến CE, tia đối của tia BA lấy điểm D cho DB = BA Chứng minh DC = CE [5] Phân tích: A - Ḿn chứng minh DC = 2CE E B ta phải có điều kiện sau: C đk1: 1/2 độ dài CD = độ dài CE D đk2: lần độ dài CE = độ dài CD F - Nếu lấy đk1, để có 1/2CD = CE phải chia CD ở F cho DF = FC và nghiên cứu xem có hợp với hai điều kiện sau không: đk3: CF = CE đk4: DF = CF - Nếu lấy đk 3, để CF = CE ta cần phải có điều kiện sau: đk5: CF và CE là hai cạnh tương ứng của hai tam giác đk6: CF và CE đều đoạn thẳng…… - Nếu lấy đk5 phải nối BF và muốn chứng minh ∆BFC = ∆BEC lại cần phải có các điều kiện sau: đk7: BE = BF; Bˆ1 = Bˆ ; BC cạnh chung (c.g.c) đk8: Bˆ1 = Bˆ ; BCF = BCE ; BC canh chung ( g.c.g)… Nghiên cứu kỹ đk và đk ta thấy đk là phù hợp với giả thiết BF là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh nên 1/2AC Theo giả thiết AB = AC, BE = 1/2AB Thay vào được BF = BE Và BF // AC nên B = ACB (so le) Mà ∆ABC cân suy B1 = ACB suy B1 = B2 cịn BC là cạnh chung Ći ∆ BCF = ∆ BCE suy CD = 2CE Ta có sơ đồ phân tích sau: DC = 2CE ⇐1/2CD = CE ⇐ DF = FC và CF = CE ⇐ ∆BFC = ∆BEC ⇐ ⇐ BE = BF; Bˆ1 = Bˆ ; BC cạnh chung Với cách hướng dẫn trên, học sinh có thể giải quyết bài toán các cách khác nhau, tùy thuộc vào việc chọn các điều kiện Vì vậy giáo viên hướng dẫn học sinh lớp cách suy luận tìm hướng chứng minh bài toán, thông thường dùng phương pháp phân tích, các em chọn được phương án thích hợp mà cịn có nhiều cách giải khác và củng cớ kiến thức 2.3.4.2.3 Kỹ nhận dạng và vận dụng các đinh lý *) Các đinh lý, tính chất mà học sinh cần nắm vững chương trình hình học lớp 7: 13 - Ba đinh lý về quan hệ tính song song và tính vng góc - Một sớ tính chất của tam giác: Các đinh lý về tổng các góc của tam giác, về góc ngoài của tam giác - Tính chất và cách nhận biết số dạng của tam giác đặc biệt: Tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân - Đinh lý Pytago áp dụng cho tam giác vuông - Ba trường hợp của hai tam giác - Các trường hợp của hai tam gíc vuông - Quan hệ góc và cạnh đới diện tam giác - Quan hệ ba cạnh tam giác - Bất đẳng thức tam giác - Quan hệ đường vng góc, đường xiên và hình chiếu - Tính chất tia phân giác của góc, đường trung trực của đoạn thẳng - Tính chất các đường đồng quy tam giác: Ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường cao Ngoài đối với học sinh mũi nhọn (khá, giỏi) cần nắm thêm số tính chất sau: - Tính chất đường trung bình của tam giác - Góc có cạnh tương ứng song song và tương ứng vng góc - Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền phần hai cạnh huyền - Trong tam giác vng cạch đới diện với góc 300 phần hai cạnh huyền *) Kỹ vận dụng các đinh lý cho học sinh: Việc rèn luyện kĩ suy luận và chứng minh cho học sinh nên bắt đầu việc cho học sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng đinh lý và vận dụng các đinh lí Nhận dạng đinh lý là phát hiện xem tình h́ng cho trước có khớp với đinh lý nào hay khơng, cịn vận dụng đinh lý là xem xét xem bài toán giải có tình h́ng nào ăn khớp với các đinh lí đã được học Ví dụ 6: (Bài 81 SBT tập trang 33) Cho ∆ ABC qua đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt tạo thành ∆ DEF Chứng minh A là trung điểm F của EF [6] A E B C D 14 Phân tích: - Để chứng minh A là trung điểm của EF ta phải chứng minh AE = AF - Ở bài này để có điều ta cần chứng minh AE = BC và AF = BC - Ḿn vậy ta có thể ghép ∆ ABC với tam giác là ∆ CEA và ∆ BAF - Để giải quyết được vấn đề này phải vận dụng đinh lý, tính chất nào ? GV lập sơ đồ phân tích sau: A là trung điểm của EF ⇐AE = AF ⇐AE = BC và AF = BC ⇐ ∆ ABC = ∆ CEA ⇐ CAB = ACE và ABC = CAE và ∆ ABC = ∆ BAF ⇐ BAC = ABE và FAB = ABC Cụ thể: Ta có AC: cạnh chung CAB = ACE ( so le trong, AB // DE) ABC = CAE (so le trong, BC // EF) Do ∆ ABC = ∆ CEA (g.c.g) => BC = AE Chứng minh tương tự ta có: BC = AF Do A là trung điểm của EF Như vậy học sinh thấy tình h́ng này ăn khớp với đinh lý về tính chất đường thẳng song song và đinh lý: "Nếu hai ∆ABC và ∆A'B'C' có AB = A'B', AC = A'C', Aˆ = Aˆ' hai tam giác nhau" 2.3.4.2.4 Kỹ đặc biệt hoá, tổng quát hoá, tương tự hóa Trong quá trình dạy học hình học ở phổ thơng, sớ giờ luyện tập là rất ít Nếu giáo viên không hướng dẫn cho học sinh cách khai thác bài toán: Bằng phương pháp đặc biệt hoá, khái quát hoá hay tương tự hoá… mà đơn là học sinh trình bày bài giải học sinh gặp nhiều khó khăn giải bài tập khác Vì các em khơng có đủ khả tư độc lập sáng tạo các bài toán mới Vì vậy để học sinh có khả chứng minh hình học tớt giáo viên phải hướng dẫn học sinh khai thác phân tích bài toán theo nhiều hướng: Đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự hoá để các em có thể chủ động sáng tạo giải bài tập khác Đặc biệt hoá là chuyển từ trường hợp chung sang trường hợp riêng, sang trường hợp đặc biệt Ta thường dặc biệt hoá bài toán cách: - Thay biến số bởi sớ, cho các sớ đo góc các sớ cụ thể, chẳng hạn thay góc α bởi α = 900 - Thay các điều kiện bài toán bởi các điều kiện hẹp hơn, chẳng hạn thay ∆ABC có B > C bởi ∆ABC có góc B = 900 - Thay vi trí bất kỳ của điểm, của hình vi trí đặc biệt của 15 - Bổ sung thêm các quan hệ mới vào bài toán, chẳng hạn các tam giác ABC , xét tam giác cân đáy BC (bổ sung thêm điều kiện AB = AC) Ta biết tính chất trường hợp chung trường hợp đặc biệt, tính chất sai trường hợp đặc biệt sai trường hợp chung Do phương pháp đặc biệt hoá dùng để: - Bác bỏ mệnh đề - Phát hiện tính chất - Dự đoán kết - Xét trường hợp đặc biệt trước rời sử dụng kết để chứng minh đới với các trường hợp cịn lại Tương tự hóa: Từ hai dối tượng giống ở số dấu hiệu ta rút kết luận hai đối tượng giớng ở dấu hiệu khác suy luận ấy gọi là tương tự Kết luận rút từ suy luận tương tự là dự đoán, giả thiết Trong hoạt động chứng minh hình học, sử dụng suy luận tương tự để liên hệ bài toán cần giải với bài toán đã giải, có thể giúp ta nhanh chóng tìm được lời giải của bài toán Tổng quát hoá, tức là từ trường hợp đặc biệt chuyển sang trường hợp tổng quát Ta thường tổng quát hoá bài toán cách: - Thay thay số bởi biến số, chẳng hạn thay góc 1200 góc α - Thay điều kiện bài toán điều kiện “rộng hơn” (điều kiện cũ là trường hợp riệng) - Thay vi trí đặc biệt của điểm, của hình bởi vi trí bất kỳ của nó, chẳng hạn thay trọng tâm của tam giác bởi điểm bất kỳ nằm tam giác - Bỏ bớt điều kiện của giả thiết để có bài toán tổng quát hơn, chẳng hạn thay tam giác vuông bởi tam giác bất kỳ Tác dụng của tổng quát hoá: Nếu bài toán tổng quát đúng, ta có bài toán “mạnh hơn” bài toán ban đầu, với lớp đối tượng rộng so với bài toán ban đầu Nhờ tổng quát hoá mà ta có thể đến cơng thức tổng quát, giải được bài toán tương tự khó Hơn tìm hướng giải của bài toán ta xét trường hợp đặc biệt rồi suy cách giải của bài toán Ví dụ 7: Xét bài toán “ Cho tam giác ABC có AC > AB Các điểm P, Q theo thứ tự nằm các cạnh AB, AC cho BP = CQ Chứng minh P,Q thay đổi vi trí thỏa mãn điều kiện đường trung trực của PQ ln ln qua điểm cớ đinh [7] - Để tìm được điểm cố đinh mà đường trung trực của PQ luôn qua ta xét hai vi trí đặc biệt của P và Q: 16 + Nếu P ≡ B Q ≡ C ⇒ đường trung trực của PQ là đường trung trực d1 của BC + Gọi E là điểm thuộc AC cho AB = CE Nếu P ≡ A Q ≡ E ⇒ đường trung trực của PQ là đường trung trực d2 của AE mà d1∩ d2 =O + Nếu đường trung trực của PQ ln qua điểm cớ đinh điểm phải là điểm O (vì d1, d2 cớ đinh nên điểm O là điểm cố đinh) + Chứng minh trường hợp tổng quát O nằm đường trung trực của PQ tức là chứng minh OP = OQ Ta dễ dàng chứng minh được ∆ABO = ∆ECO (c.c.c)     Từ ⇒ ABO = ECO hay PBO = QCO ⇒ ∆PBO = ∆QCO (c.g.c) ⇒ OP = OQ O nằm đường trung trực của PQ mà O là điểm cố đinh nêm: suy đường trung trực của OQ luôn qua điểm cớ đinh O Vấn đề khó khăn nhất đối với học sinh giải bài toán này là tìm điểm O Điểm O được xác đinh phương pháp đặc biệt hoá Ví dụ 8: ( Bài tập SBT Tập trang 25) Cho tam giác ABC có Bˆ 〉Cˆ , phân giác AD Chứng minh rằng: BD DB ta phải vẽ đoạn thẳng E thoả mãn điều kiện DB và có liên quan đến DC Vậy ta kẻ DE ⊥ AC là hợp lý B c D Ta có ∆ADB = ∆AED ⇒ DB = DE Ta xét ∆EDC có DC > DE ( cạnh hùn > cạnh góc vng) Vậy bài này: Do Bˆ 〉 Cˆ nên AC > AB Trên cạnh AC lấy AE = AB Ta có ∆ABD = ADE (c.g.c) nên BD = DE và DEC = DBx Nhưng DBx > C nên DEC > C Do DC > DE Vậy BD < DC A E B D c x 17 Ví dụ 9: Cho tam giác ABC, AD là phân giác trong, gọi E, F là chân đường vng góc hạ từ D đến các cạnh AB và AC a.Tam giác DEF là tam giác gì? b Qua điểm C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M Hỏi tam giác ACM là tam giác gì? c Nếu góc A = 1200 tam giác DEF, tam giác ACM là tam giác gì? d Nếu góc A = 900 tam giác DEF, tam giác ACM là tam giác gì? [9] Những bài tương tự ví dụ này là bài tập có tính chất khái quát mà bài tập SGK là trường hợp riêng Khi học sinh giải được bài tập này giải được các bài tập SGK bài tr.66 hình Cho tam giác ABC , góc A = 1200, AD là phân giác trong, gọi E và F là chân đường vng góc hạ từ điểm D đến các cạnh AB và AC a Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều b Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường AB tại M Chứng minh ACM là tam giác đều 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Những năm đầu dạy hình học, thân nhận thấy học sinh ngại học hình học, làm bài tập hình các em thấy khó khăn, không biết phân tích bài toán nên không xây dựng được chương trình giải, khơng biết chứng minh đâu Hoặc chứng minh thường đưa kết luận thiếu lý do, lý không xác đáng Khi làm bài kiểm tra thi vào cấp III số học sinh làm được trọn vẹn bài tập hình chưa cao Thấy rõ thực trạng và nguyên nhân,bản thân đã nhiều biện pháp thực hiện và khắc phục Kết gần cho thấy sớ lượng có hứng thú học mơn hình tăng Các em đã biết khai thác bài toán theo nhiều hướng khác nhau, biết tìm cách giải hay, giải được nhiều bài tập khó Kết các kỳ thi được cao Cụ thể, phân tích kết đạt được qua bảng đối chứng sau: Lớp Trước áp dụng SKKN Sau áp dụng SKKN Chưa Biết chứng Thành Chưa Biết chứng Thành đinh minh thạo, có đinh minh thạo, có hướng chưa kỹ hướng chưa thành kỹ chứng thành thạo chứng thạo minh minh 7A2 35% 37% 28% 4% 55% 41% 7A3 52% 27% 21% 8% 56% 36% 7A4 65% 24% 11% 12% 68% 20% 18 Để học sinh học tớt mơn hình học quá trình nan giải mơn hình học này là mơn học sinh suy diễn lý luận hết sức chặt chẽ Khi chứng minh bài toán hình học khẳng đinh phải có lý xác đáng, song lý là giải thiết của bài toán mà được chọn lọc từ hệ thống đinh nghĩa, đinh lý, hệ quả…từ lớp đến lớp Ḿn trình bày bài toán chứng minh hình học chặt chẽ, chính xác, khoa học học sinh phải biết phân tích, so sánh, tổng hợp từ giải thiết của bài toán, mối liên quan giả thiết với điều phải chứng minh, phải tìm Liên hệ bài toán cần giải với bài toán tương tự đã gặp… Tuy nhiên nếu thực hiện tốt phương pháp giảng dạy của môn Rèn luyện uốn nắn bước, theo mức độ tiếp thu từ lớp đến lớp cách chặt chẽ, liên tục thu được kết khả quan Trên là số vấn đề về kiến thức và phương pháp mà thân đã rút quá trình trực tiếp giảng dạy mơn toán lớp7 phần hình học Trong phạm vi nhỏ của đề tài này chắn là chưa thể bao quát hết được các kiến thức của mơn hình học lớp Song bước đầu đã có tác dụng đới với học sinh Rất mong được sự góp ý chân tình của bạn đọc để đề tài của được hoàn thiện ,nhằm mục đích cuối là học hiểu và thêm u mơn hình học, mơn học vớn rất khó với học sinh Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài cịn có thiếu sót Rất mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Đề tài này là nội dung đã nghiên cứu và biên soạn trước hết nhằm củng cố và xếp có hệ thớng các bước giải qút bài toán chứng minh hình học rèn lụn sớ kỹ cần phải có chứng minh Xét khía cạnh hệ thớng kiến thức chương trình toán THCS là vấn đề lớn, địi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư tớt và kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt Chính lẽ đó, quá trình giảng dạy, người giáo viên cần: - Chuẩn bi chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất và cách vận dụng - Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo của các em 19 - Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kip thời, dạy sâu, dạy và kết hợp nhuần nhuyễn, logic các bài toán khác 3.2 Kiến nghị Trong nhiều năm qua, nhà trường đã nhận được sự quan tâm đạo sát và chăm lo về mọi mặt đặc biệt là công tác chuyên môn Song để thành công và hoàn thành tớt được nhiệm vụ tơi xin đề xuất với ngành số vấn đề sau: Thường xuyên tổ chức hội thảo, tập huấn về chuyên đề, đặc biệt là nhưững chuyên đề về: Đổi mới PPDH môn Toán; Nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Toán; Để góp phần đổi phương pháp giáo dục việc tìm chân lý tốn học không dừng chân lý mà quan trọng phải thấy giá trị chân lý đó, nhằm nâng cao chất lượng dạy học theo hướng phát huy tích cực học sinh Mặc dù cố gắng, xong hẳn khơng tránh khỏi sai sót nội dung hình thức, mong nhận ý kiến đóng góp để chun đề tơi thêm hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 20 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Quảng Xương, ngày 18 tháng 04 năm 2021 ĐƠN VI Tôi xin cam đoan là SKKN của viết, khơng chép nội dung của người khác Người thực Nguyễn Ngọc Duyên 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguồn Internet (Violet.vn) [2] Sách giáo khoa toán - Tập (NXB Giáo dục) [3] Sách tập toán - Tập (NXB Giáo dục) [4] Sách giáo khoa toán - Tập (NXB Giáo dục) [5] Nguồn Internet (Violet.vn) [6] Sách tập toán - Tập (NXB Giáo dục) [7] Nguồn Internet (Violet.vn) [8] Sách tập toán - Tập (NXB Giáo dục) [9] Nguồn Internet (Violet.vn) ………………… 22 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ và tên tác giả: Nguyễn Ngọc Duyên Chức vụ và đơn vi công tác: Trường THCS Nguyễn Du Nguyên tắc Dirichlet và Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Cấp tỉnh số bài toán ứng dụng Phương pháp giải phương Cấp huyện C 2010 trình nghiệm nguyên Ứng dụng nguyên lí Dirichlet Cấp huyện B 2012 chứng minh hình học Giúp học sinh lớp học tốt Cấp tỉnh B 2014 đinh lí Pytago Vận dụng đinh lí Vi-et để giải Cấp tỉnh C 2017 B 2019 C 2020 TT Tên đề tài SKKN Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) B 2005 Năm học đánh giá xếp loại số bài toán về bất đẳng thức Hướng dẫn học sinh lớp tìm Cấp huyện GTLN, GTNN của biểu thức Hướng dẫn học sinh giải Cấp tỉnh phương trình bậc cao 23 ... học sinh có thể tự đề bài và trình bày lời giải của sớ bài toán 2.3.4.2 Minh họa kỹ học sinh cần phải có giải tốn chứng minh hình học 2.3.4.2.1 Hướng dẫn học sinh vẽ hình Hình vẽ... các em cịn có khả áp dụng vào giải số bài tập yêu cầu cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các toán chứng minh hình học thường gồm: - Chứng minh nhau: Đoạn thẳng nhau, góc... Thành đinh minh thạo, có đinh minh thạo, có hướng chưa kỹ hướng chưa thành kỹ chứng thành thạo chứng thạo minh minh 7A2 35% 37% 28% 4% 55% 41% 7A3 52% 27% 21% 8% 56% 36% 7A4 65% 24%