(SKKN 2022) một số kinh nghiệm giúp học sinh tìm tòi giải bài toán chứng minh hình học lớp 7 ở trường THCS hà ngọc

MỤC LỤC Mục Tên mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Phân loại dạng tốn chứng minh phân mơn hình học Hình thành phương pháp chung để chứng minh tốn hình học Một số kỹ giải tốn chứng minh Các ví dụ minh hoạ 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 3.1 3.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Tran g 2 3 3 6 8 18 19 19 20 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Quá trình dạy học trường THCS, việc bồi dưỡng kiến thức phát triển tư cho học sinh nhiệm vụ trọng tâm người giáo viên Vì lí thời lượng chương trình phải đáp ứng cách đại trà kiến thức cho học sinh nên chương trình sách giáo khoa đáp ứng phần kiến thức Chính điều hạn chế phát triển tư em học sinh giỏi Vì vậy, trình dạy học, người giáo viên phải quan tâm đến hai vấn đề đáp ứng kiến thức đại trà phát triển tư cho học sinh giỏi Thông thường, em học sinh có khả giải trực tiếp tốn mà chưa có khả nhìn nhận tốn từ góc độ khác nhau, giải vấn đề cách rời rạc mà chưa có khả xâu chuỗi chúng lại với thành mảng kiến thức lớn Chính thế, việc rèn luyện phát triển tư khái quát hóa, tương tự hóa cần thiết học sinh Việc làm giúp em tích lũy nhiều kiến thức phong phú, khả nhìn nhận phát vấn đề nhanh, giải vấn đề có tính logic hệ thống cao Hình học học sinh lớp mơn học khó Khó tính trừu tượng hình học, em tiếp cận với mơn hình học từ cấp tiểu học, song đến năm học lớp kiến thức chủ yếu học phương pháp đo đạc cơng nhận Hình học lớp đưa vào với học sinh bước đầu yêu cầu học sinh phải biết vẽ hình cách xác, với tốn giả thiết việc vẽ hình khơng khó khăn lắm, với tốn có nhiều giả thiết việc vẽ hình dễ nhìn vấn đề khó em học sinh Bên cạnh đó, phương pháp chứng minh hình học dựa vào suy diễn bước đầu đưa vào với học sinh Nội dung khó với học sinh tính trừu tượng tư logic toán học thể nội dung Nâng cao toán tổng qt hóa, đặc biệt hố , học sinh giỏi lại vấn đề đáng quan tâm, thơng qua tốn giúp học sinh nhìn nhận tốn học cách tổng quát cụ thể Do vậy, việc dạy học giải tốn cho học sinh lớp mơn hình học có tầm quan trọng đặc biệt Làm để học sinh yên tâm hơn, tự tin với môn học Sau nhiều năm trăn trở, trực tiếp giảng dạy trao đồng nghiệp, mạnh dạn chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm giúp học sinh tìm lời giải tốn chứng minh hình học lớp trường THCS Hà Ngọc” để trình bày vài kinh nghiệm nhỏ môn học này./ 1.2 Mục đích nghiên cứu Bản thân tơi ln cố gắng đúc rút, xâu chuỗi kiến thức thu nhận thành chủ đề với mong muốn giải lớp tốn điển hình chứng minh hình học lớp Cụ thể nhằm mục đích nâng cao lượng hiệu việc dạy học phần kiến thức chứng minh hình học 7, trao đổi với giáo viên môn phương pháp, giúp học sinh lĩnh hội cách sâu sắc, triệt để nhất, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát triển tư cho học sinh giúp em có thêm kiến thức trang bị cho lớp học cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh khối trường THCS Hà Ngọc năm học 2021 - 2022 - Các cách hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải tập Hình học - Các dạng tập cách chứng minh thường gặp - Trong đề tài này, đưa cách chọn số dạng tập mà học sinh vận dụng vào việc chứng minh, đồng thời rèn luyện kĩ cần phải có chứng minh hình học 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp tiếp cận vấn đề: Thông qua việc giảng dạy thực tế, tiếp xúc, trao đổi với nhiều học sinh, từ tơi đưa lượng kiến thức để học sinh dễ tiếp cận - Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trước vào cách giải cụ thể, tơi thường đưa phân tích loại tập Từ khái quát hay tổng hợp lại phương pháp giải - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi sử dụng nhiều nguồn tài liệu tác giả có uy tín sử dụng để kiểm tra năm học trước - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tơi thường xun khảo sát mức độ tiếp thu kiến thức học sinh thông qua tập nhanh Kết thu nhận giúp điều chỉnh lượng kiến thức cách thức truyền đạt tới em cho hiệu cao Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Quy luật trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng Song q trình nhận thức đạt hiệu cao hay khơng, có bền vững hay khơng cịn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo chủ thể Đặc điểm lứa tuổi thiếu niên có xu hướng vươn lên làm người lớn, muốn tự tìm hiểu, khám phá trình nhận thức Ở lứa tuổi học sinh trung học sở có điều kiện thuận lợi cho khả tự điều chỉnh hoạt động học tập tự sẵn sàng tham gia vào hoạt động khác Tuy nhiên nhược điểm em chưa biết cách thực nguyện vọng mình, chưa nắm phương thức thực hình thức học tập Vì cần có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy cô Lý luận phương pháp dạy học cho thấy: Trong mơn tốn thống điều khiển thầy hoạt động học tập trị thực cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực dạy học toán hoạt động hoạt động Dạy học theo phương pháp phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều trình chiếm lĩnh tri thức tốn học Dạy học tốn thơng qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư Quan điểm cho dạy toán phải dạy suy nghĩ, dạy óc học sinh thành thạo thao tác tư phân tích, tổng hợp, trừu tượng hố, khái qt hóa Trong phân tích tổng hợp có vai trị trung tâm Phải cung cấp cho học sinh cách thức để tự tìm tịi, tự phát phát biểu vấn đề, dự đốn kết quả, tìm hướng giải toán, Phát triển khả tự học sau Hình thành phát triển tư tích cực độc lập sáng tạo dạy học tốn cho học sinh q trình lâu dài, thông qua tiết học, thông qua nhiều năm học, thông qua tất khâu trình dạy học nội khố ngoại khố Tốn học mơn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logic đồng thời mơn tốn cịn mơn cơng cụ hỗ trợ cho mơn học khác Với phân mơn hình học môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả tính tốn, suy luận logic, phát triển tư sáng tạo Nâng cao lực tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo, linh hoạt cách tìm lời giải tập có ý nghĩa quan trọng Việc bồi dưỡng học sinh không đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả sáng tạo Đối với phân mơn hình học phải biết rèn luyện lực tư trừu tượng phán đoán lo-gic Trong thực tiễn dạy học, tập tính tốn, suy diễn, chứng minh thường chiếm số lượng lớn Hơn nữa, đặc thù môn, tập dạng lại tập trung nhiều phân mơn hình học Trong chương trình Tốn THCS đối mơn Hình học nói hình học phần cung cấp cơng cụ về: - Phạm vi kiến thức - Tư ban đầu - Tình cảm mơn Hình học với em không gọi bắt đầu lẽ lớp em học 20 tiết, với 16 khái niệm tiên đề Vì vậy, việc bồi dưỡng tư hình để em tiếp tục học lên lớp nhiệm vụ yêu cầu quan trọng giáo viên dạy hình học Trong trình giảng dạy để học sinh lĩnh hội kiến thức giáo viên vận dụng tổ hợp phương pháp môn tiết dạy 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Bản thân sau nhiều năm giảng dạy mơn tốn có rút nhận xét gặp vấn đề tốn có chất phát biểu dạng khác học sinh thường tỏ lúng túng bế tắc Làm để học sinh hiểu rõ chất loại toán trên, vận dụng kiến thức để giải, phương hướng chung để giải loại toán nào? Việc trả lời cho vấn đề dễ dàng Kinh nghiệm thực tế cho thấy khơng có phương pháp chung cho việc giải tốn hình học, mà tuỳ thuộc vào tốn cụ thể có cách giải hợp lý để đến kết hay độc đáo, hay nói cách khác sáng tạo giải toán Hơn nữa, em học sinh lớp bước đầu quen với việc chứng minh hình học nên em cịn yếu kĩ giải toán kỹ vẽ hình, vận dụng định lý vào chứng minh, suy luận để tìm hướng giải trình bày toán chứng minh Đặc biệt kỹ suy luận chứng minh Chính việc hướng dẫn, rèn luyện kỹ giải toán chứng minh hình học cho em cơng việc cần thiết quan trọng q trình giải tốn hình học, tạo tảng học lên lớp Hơn tiết luyện tập ôn tập chương việc rèn luyện kỹ giải toán lại quan trọng Khi giải tốn chứng minh hình học với học sinh thường có tư tưởng hoang mang, lúng túng phải đâu Gặp tập muốn chứng minh gặp dễ chứng minh gặp khó đành chịu Bài khơng làm có nhiều ngun nhân, nguyên nhân chủ yếu bỏ qua phần chuẩn bị cần thiết có khâu vẽ hình Hơn hình phải xác giúp ta quan sát lúc suy diễn gợi ý cho ta cách giải, vẽ tùy tiện chẳng có ích gì, mà đơi cịn giải sai, khâu chuẩn bị trước giải tốn Cịn bắt tay vào chứng minh đa số em không làm đặc biệt khâu trình bày cho đầy đủ khoa học Đối với em học sinh lớp bước đầu giải tốn chứng minh hình học, em mắc phải số sai lầm mà không kịp thời sửa chữa sau thời gian dài em khó uốn nắn thu kết học tập khơng ý muốn, chí cịn hồn tồn bó tay trước mơn học Đối với giáo viên vấn đề rèn luyện kỹ giải toán chứng minh hình học cho học sinh khơng phải làm tốt Vậy muốn làm tốt điều yêu cầu người thầy phải có đúc rút kinh nghiệm cho riêng mình, từ truyền cho học sinh cách quan sát, phát hiện, dự đoán để có sáng tạo hợp lý Bên cạnh người thầy phải tự học tự bồi dưỡng để trang bị cho vốn kiến thức cần thiết Đây thực trạng mà người dạy toán người quan tâm đến việc dạy học mơn tốn trường THCS cần phải nhận thức rõ làm tốt Sau tơi tìm hiểu hướng dẫn học sinh theo chuyên đề khoảng 90% số học sinh giao xác định hướng giải tốn có khoảng 65% em trình bày cách xác, khoa học Ngồi em cịn có khả áp dụng vào giải số tập yêu cầu cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phân loại dạng tốn chứng minh phân mơn hình học 7: Các tốn chứng minh hình học thường gồm: - Chứng minh nhau: Đoạn thẳng nhau, góc nhau, tam giác Ứng dụng để: So sánh góc, đoạn thẳng, chứng minh trung điểm đoạn thắng, tia phân giác góc - Chứng minh song song - Chứng minh vng góc - Chứng minh thẳng hàng - Chứng minh đường thẳng đồng quy - Chứng minh yếu tố cố định, 2.3.2 Xây dựng phương pháp chung để chứng minh tốn hình học: 2.3.2.1 Tìm hiểu nội dung tốn: + Giả thiết gì? Kết luận gì? Hình vẽ minh họa sao? Sử dụng hệ thống kí hiệu ? + Phát biểu toán dạng khác để hiểu rõ đề toán + Dạng toán ? + Kiến thức cần có ? Yêu cầu: - Làm cho học sinh nắm nội dung, ý nghĩa toán, giải nghĩa từ, thuật ngữ toán Xác định u cầu tốn Có yếu tố: + Dữ liệu +Mối quan hệ + Ẩn số (cái phải tìm, phải chứng minh) - Học sinh thể tốn hình thức ngắn gọn, dễ hiểu, nắm khái quát nội dung tốn Bài tốn thuộc loại chứng minh hay tính tốn, tìm tịi Nếu loại chứng minh nêu giả thiết kết luận Nếu loại tính tốn phải nêu cho ? Tìm gì? - Đặc biệt tốn hình học u cầu học sinh phải vẽ hình, dùng ký hiệu thích hợp để minh hoạ tốn Hình vẽ phải xác, có tính trực quan 2.3.2.2 Xây dựng chương trình giải: Lập kế hoạch giải xây dựng trình tự cho việc giải địi hỏi tốn, tức dạy cách tìm hướng giải tốn - Phân tích nội dung giả thiết, kết luận, phân tích mối quan hệ cho, phải tìm, phải chứng minh từ tìm liên hệ chúng, biết phân tích tốn thành phần tốn đơn giản - Xét xem gặp toán tương tự chưa -Xét toán trường hợp đặc biệt, từ tìm lời giải cho tốn tổng qt ngược lại từ tốn tổng qt tìm lời giải cho toán đặc biệt - Bài tốn cho có liên quan đến khái niệm, quy tắc, định lý, định nghĩa, cơng thức nào? Có cần vẽ thêm đường phụ hay không ? Từ bước hướng dẫn giáo viên cho học sinh xây dựng chương trình giải (học sinh xây dựng nhiều chương trình giải khác tức nhiều cách giải khác nhau) 2.3.2.3 Thực chương trình giải: Trình bày làm theo bước Chú ý sai lầm thường gặp tính tốn, biến đổi Trên sở bước phân tích tổng hợp suy luận để xây dựng chương trình giải Giáo viên hướng dẫn giúp học sinh trình bày lời giải theo bước “chương trình giải” cách rõ ràng, đầy đủ, xác, khoa học sáng tạo 2.3.2.4 Kiểm tra nghiên cứu lời giải: - Xem xét có sai lầm khơng, có phải biện luận kết khơng - Nghiên cứu tốn tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề,… - Xét tính hợp lí đáp số (nếu cần thiết) - Khai thác phát triển toán theo nhiều hướng khác nhau, từ rút kinh nghiệm cần thiết - Đề xuất toán tương tự tốn có tính chất đặc biệt hóa, khái qt hố 2.3.3 Một số kỹ giải tốn chứng minh: - Kỹ hình - Kỹ suy luận chứng minh - Kỹ vận dụng định lý - Kỹ đặc biệt hóa, tổng qt hóa, tương tự hóa 2.3.4 Các ví dụ minh hoạ 2.3.4.1 Một số ví dụ minh họa phương pháp chung giải tốn chứng minh hình học lớp Ví dụ 1: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm tam giác đến cạnh tam giác số khơng đổi [1] Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn: Hệ thống câu hỏi: ? Bài toán thuộc loại chứng minh hay tính tốn ? ? Khoảng cách từ điểm O tam giác đến cạnh tam giác xác định nào? ? Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận cách xác ∆ABC (AB = AC = BC = a) Điểm O nằm ∆ABC GT góc OM,ON,OI vng với AB, AC, BC OM = x, ON = y, OI = z KL x+y+z không đổi Bước 2: Xây dựng chương trình giải Hệ thống câu hỏi ?x+y+z=? ? Tổng x + y + z có phụ thuộc vào a không? ( với câu hỏi học sinh lúng túng) Giáo viên hướng dẫn, gợi ý học sinh phân tích tốn theo hướng sau: Dựa theo tính chất diện tích đa giác: ? Có nhận xét diện tích ∆ABC tổng diện tích ∆AOB, ∆AOC, ∆BOC ? Gọi độ dài chiều cao AH = h ( AH  BC) ? So sánh x + y + z với h ? ? Tính độ dài h theo a ? Từ suy tổng x + y + z Từ bước phân tích suy luận học sinh xây dựng chương trình giải: -Biểu diễn diện tích tam giác: ∆ABC, ∆AOB, ∆AOC, ∆BOC theo a, x, y, z, h -Từ biểu thức SABC = SAOB + SAOC + SBOC Suy x + y + z = h -Tính h theo a -Từ suy x + y + z khơng đổi Hoặc học sinh xây dựng chương trình giải sau - Tính diện tích ∆ABC, ∆AOB, ∆AOC, ∆BOC theo a, x, y, z, h (1) 10 - Vẽ góc 60° khơng xác - Vẽ đường thẳng vng góc khơng xác (rất nhiều học sinh gặp phải) - Không xét hết trường hợp vẽ Đối với tập khơng thể vẽ chừng phải phân biệt tốn dựng hình tốn vẽ hình để chứng minh, cần có độ xác khác nhau, cần ý cho học sinh có nhiều hình vẽ khác tùy theo vị trí điểm A, B chọn Ví dụ 3: Cho ∆ABC có AH đường cao, AM trung tuyến Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho HE = HA Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI = MA Nối B với E, C với I Chứng minh BE = CI [4] 12 Phân tích: Nếu học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt: ∆ABC cân A lúc đường cao AH trung tuyến AM trùng Dẫn đến việc giải toán rơi vào trường hợp đặc biệt Do vậy, để giúp học sinh tránh sai lầm dạy học lưu ý nhắc nhở học sinh tốn khơng cho hình đặc biệt ta khơng nên vẽ vào trường hợp đặc biệt vẽ hình phải vẽ thật xác dễ quan sát, giúp ích nhiều cho việc chứng minh 2.3.4.2.2 Hướng dẫn học sinh suy luận chứng minh Việc rèn luyện kĩ suy luận chứng minh có tầm quan trọng đặc biệt học sinh cần có kỹ khơng giải toán chứng minh Khi dạy giải tập giáo viên cần ý dạy cho học sinh tắc quy suy luận Trong q trình giải tốn ta thường gặp hai quy tắc suy luận: quy tắc quy nạp quy tắc diễn dịch - Quy tắc quy nạp suy luận từ riêng đến chung, từ cụ thể đến tổng quát Quy tắc quy nạp, thường dùng quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết trường hợp xảy - Quy tắc diễn dịch từ chung đến riêng, từ tổng quát đến cụ thể - Trong q trình giải tốn, nhiều phải phân chia trường hợp xảy ra, trường hợp riêng, học sinh xét trường hợp đến kết luận có phân chia khơng đầy đủ trường hợp Vì 13 trình giảng dạy cần ý cho học sinh lực phân chia trường hợp riêng Ví dụ Cho góc xOy khác góc bẹt Lấy điểm A,B thuộc tia Ox cho OA < OB Lấy điểm C,D thuộc tia Oy cho OC = OA, OD = OB Gọi E giao điểm AD BC Chứng minh rằng: ∆EAB = ∆ECD (Bài 43 SGK toán tập trang 125) [2] Phân tích: -Để chứng minh ∆EAB = ∆ECD -Xét ∆EAB ∆ECD có yếu tố nhau? -Để kết luận ∆EAB = ∆ECD ta cần có thêm điều kiện gì? -Để chứng minh yếu tố ta cần ghép chúng vào tam giác nào? Với việc phân tích gọi suy luận ngược Từ kết luận toán ta suy luận đến cần điều kiện giả thiết Ta có sơ đồ phân tích sau: ∆EAB = ∆ECD  = = , AB = CD  ∆AOD = ∆COB Cụ thể: Xét ∆AOD ∆COB OB = OD (gt) chung OA = OC (gt) Suy ra: ∆AOD = ∆COB (c.g.c)  = , = (hai góc tương ứng)  =  ∆EAB = ∆ECD (g.c.g) Cần nói thêm đối tượng học sinh lớp tập giải toán chứng minh Do dạy ý tới việc hướng dẫn học sinh xắp xếp luận cho lơgic, chặt chẽ 14 Như ví dụ tơi hướng dẫn cho học sinh suy luận để dẫn đến việc chứng minh ∆AOD = ∆COB Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến CE, tia đối tia BA lấy điểm D cho DB = BA Chứng minh DC = 2CE [1] Phân tích: -Muốn chứng minh DC = 2CE ta phải có điều kiện sau: Điều kiện 1: 1/2 độ dài CD = độ dài CE Điều kiện 2: lần độ dài CE = độ dài CD - Nếu lấy điều kiện 1, để có 1/2CD = CE phải chia CD F cho DF = FC nghiên cứu xem có hợp với hai điều kiện sau không: Điều kiện 3: CF = CE Điều kiện 4: DF = CF - Nếu lấy điều kiện 3, để CF = CE ta cần phải có điều kiện sau: Điều kiện 5: CF CE hai cạnh tương ứng hai tam giác Điều kiện 6: CF CE đoạn thẳng - Nếu lấy điều kiện phải nối BF muốn chứng minh ∆BFC = ∆BEC lại cần phải có điều kiện sau: Điều kiện 7: BE = BF; = , BC cạnh chung (c.g.c) Điều kiện 8: = , BC cạnh chung, = (g.c.g) Nghiên cứu kĩ điều kiện điều kiện ta thấy điều kiện phù hợp với giả thiết BF đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh nên ½ AC Theo giả thiết AB = AC, BE = ½ AB Thay vào BF = BE Và BF // AC nên = (so le) Mà ∆ABC cân suy = suy = BC cạnh chung Cuối ∆BCF = ∆BCE 15 suy CD = 2CE Ta có sơ đồ phân tích sau: DC = 2CE  ½ CD = CE  DF = FC CF = CE  ∆BFC = ∆BEC  BE = BF; = ; BC cạnh chung Với cách hướng dẫn trên, học sinh giải toán cách khác nhau, tùy thuộc vào việc chọn điều kiện Vì giáo viên hướng dẫn học sinh lớp cách suy luận tìm hướng chứng minh tốn, thơng thường dùng phương pháp phân tích, khơng em chọn phương án thích hợp mà cịn có nhiều cách giải khác củng cố kiến thức 2.3.4.2.3 Kỹ nhận dạng vận dụng định lý *) Các định lý, tính chất mà học sinh cần nắm vững chương trình hình học lớp 7: - Ba định lý quan hệ tính song song tính vng góc - Một số tính chất tam giác: Các định lý tổng góc tam giác, góc ngồi tam giác - Tính chất cách nhận biết số dạng tam giác đặc biệt: Tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân - Định lý Pytago áp dụng cho tam giác vuông - Ba trường hợp hai tam giác - Các trường hợp hai tam giác vng - Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác - Quan hệ ba cạnh tam giác - Bất đẳng thức tam giác - Quan hệ đường vng góc, đường xiên hinh chiếu - Tính chất tia phân giác góc, đường trung trực đoạn thẳng - Tính chất đường đồng quy tam giác: Ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường cao Ngoài học sinh mũi nhọn (khá, giỏi) cần nắm thêm số tính chất sau: - Tính chất đường trung bình tam giác - Góc có cạnh tương ứng song song tương ứng vng góc - Trong tam giác vng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền phần hai cạnh huyền - Trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc 30 phần hai cạnh huyền *) Kỹ vận dụng định lý cho học sinh: Việc rèn luyện kĩ suy luận chứng minh cho học sinh nên bắt đầu việc cho học sinh tiến hành hoạt động nhận dạng định lý vận dụng định lí 16 Nhận dạng định lý phát xem tình cho trước có khớp với định lý hay khơng, cịn vận dụng định lý xét xem tốn giải có tình ăn khớp với định lí học Ví dụ 6: Cho ∆ABC qua đỉnh A, B, C kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt tạo thành ∆DEF Chứng minh A trung điểm EF (Bài 81 SBT toán tập trang 33) [4] Phân tích: - Để chứng minh A trung điểm EF ta phải chứng minh AE = AF - Ở để có điều ta cần chứng minh AE=BC AF = BC - Muốn ta ghép ∆ABC với tam giác ∆CEA ∆BAF - Để giải vấn đề phải vận dụng định lý, tính chất ? GV lập sơ đồ phân tích sau: A trung điểm EF ∆ABC = ∆CEA · ·  CAB  ACE  AE = AF  AE = BC AF = BC  · · · · ABC  CAE ∆ABC = ∆BAF  BAC  ABE · · FAB  ABC Cụ thể: ta có AC cạnh chung · · CAB  ACE · · ABC  CAE ( góc so le trong, AB // DE) ( góc so le trong, BC // EF) 17 Do ∆ABC = ∆CEA (g.c.g) Suy BC = AE Chứng minh tương tự ta có: BC = AF Do A trung điểm EF Như học sinh thấy tình ăn khớp với định lý tính chất hai đường thẳng song song định lý trường hợp c.g.c hai tam giác 2.3.4.2.4 Kỹ đặc biệt hóa, tổng qt hố, tương tự hóa Trong q trình dạy học hình học phổ thơng, số luyện tập Nếu giáo viên khơng hướng dẫn cho học sinh cách khai thác toán: Bằng phương pháp đặc biệt hóa, khái quát hóa hay tương tự hố mà đơn học sinh trình bày giải học sinh gặp nhiều khó khăn giải tập khác Vì em khơng có đủ khả tư độc lập sáng tạo tốn Vì để học sinh có khả chứng minh hình học tốt giáo viên phải hướng dẫn học sinh khai thác phân tích toán theo nhiều hướng: Đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự hóa để em chủ động sáng tạo giải tập khác Đặc biệt hoá chuyển từ trường hợp chung sang trường hợp riêng, sang trường hợp đặc biệt Ta thường đặc biệt hoá toán cách: - Thay biến số số, cho số đo góc số cụ thể, chẳng hạn thay góc α α = 90⁰ -Thay điều kiện toán điều kiện hẹp hơn, chẳng $ µ $ hạn thay ∆ABC có B  C ∆ABC có B = 90 -Thay vị trí điểm, hình vị trí đặc biệt -Bổ sung thêm quan hệ vào toán, chẳng hạn ∆ABC, xét tam giác cân đáy BC (bổ sung thêm điều kiện AB = AC) Ta biết tính chất trường hợp chung trường hợp đặc biệt, tính chất sai trường hợp đặc biệt sai trường hợp chung Do phương pháp đặc biệt hóa dùng để: - Bác bỏ mệnh đề - Phát tính chất - Dự đốn kết - Xét trường hợp đặc biệt trước sử dụng kết để chứng minh trường hợp cịn lại 18 Tương tự hóa: Từ hai đối tượng giống số dấu hiệu ta rút kết luận hai đối tượng giống dấu hiệu khác suy luận gọi tương tự Kết luận rút từ suy luận tương tự dự đoán, giả thiết Trong hoạt động chứng minh hình học, sử dụng suy luận tương tự để liên hệ toán cần giải với tốn giải, giúp ta nhanh chóng tìm lời giải tốn Tổng quát hoá, tức từ trường hợp đặc biệt chuyển sang trường hợp tổng quát Ta thường tổng quát hoá toán cách: - Thay số biến số, chẳng hạn thay góc 120 góc α -Thay điều kiện tốn điều kiện “rộng hơn” (điều kiện cũ trường hợp riêng) - Thay vị trí đặc biệt điểm, hình vị trí nó, chẳng hạn thay trọng tâm tam giác điểm nằm tam giác -Bỏ bớt điều kiện giả thiết để có tốn tổng qt hơn, chẳng hạn thay tam giác vuông tam giác Tác dụng tổng quát hoá: Nếu tốn tổng qt đúng, ta có toán “mạnh hơn" toán ban đầu, với lớp đối tượng rộng so với toán ban đầu Nhờ tổng qt hố mà ta đến cơng thức tổng qt, giải tốn tương tự khó Hơn tìm hướng giải toán ta xét trường hợp đặc biệt suy cách giải tốn Ví dụ 7: Xét tốn “ Cho tam giác ABC có AC > AB Các điểm P, Q theo thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BP = CQ Chứng minh P,Q thay đổi vị trí thỏa mãn điều kiện dường trung trực PQ luôn qua điểm cố định [1] -Để tìm điểm cố định mà đường trung trực PQ luôn qua ta xét hai vị trí đặc biệt P Q: + Nếu P ≡ B Q ≡ C Suy đường trung trực PQ đường trung trực d BC + Gọi E điểm thuộc AC cho AB = CE Nếu P ≡ A Q ≡ E 19 Suy đường trung trực PQ đường trung trực d AE mà d1 cắt d2 O + Nếu đường trung trực PQ ln qua điểm cố định điểm phải điểm O (vì d d2 cố định nên điểm O điểm cố định) +Chứng minh trường hợp tổng quát O nằm đường trung trực PQ tức chứng minh OP = OQ Ta dễ dàng chứng minh ∆ABO = ∆ECO (c.c.c) · · · · Từ suy ABO  ECO hay PBO  QCO Suy ∆PBO = ∆QCO (c.g.c)  OP = OQ O nằm đường trung trực PQ mà O điểm cố định nên suy đường trung trực PQ qua điểm cố định O Vấn đề khó khăn học sinh giải toán tìm điểm O, điểm O xác định phương pháp đặc biệt hóa Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt BC D Chứng minh rằng: BD < DC (Bài tập SBT toán tập trang 25) [4] Phân tích: Bài tốn học sinh đại trà khó tìm hướng chứng minh Nhưng thay kiện tốn góc B = 900 (Hình 1) tốn đơn giản tìm cách giải ngay: Cho tam giác ABC có góc B = 900 Tia phân giác góc A cắt BC D Chứng minh rằng: BD < DC Cụ thể: Để có DC > DB ta phải vẽ đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện DB có liên quan đến DC Vậy ta kẻ DE vng góc với AC hợp lý 20 Ta có ∆ADB = ∆AED suy DB = DE Ta xét ∆EDC có DC > DE (cạnh huyền > cạnh góc vng) (Hình 1) (Hình 2) Vậy tốn (Hình 2) Do AC > AB nên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB · · Ta có ∆ADB = ∆AED (c.g.c) nên BD = DE DEC  DBx µ µ Nhưng góc DBx > C nên góc DEC > C Do DC > DE Vậy BD < DC Ví dụ 9: Cho tam giác ABC, AD phân giác trong, gọi E, F chân đường vuông góc hạ từ D đến cạnh AB AC a Tam giác DEF tam giác gì? b Qua điểm C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB M Hỏi tam giác ACM tam giác ? c Nếu góc A = 1200 tam giác DEF, tam giác ACM tam giác gì? d Nếu góc A = 900 tam giác DEF, tam giác ACM tam giác gì? [1] Những tương tự ví dụ tập có tính chất khái quát mà tập SGK trường hợp riêng Khi học 21 sinh giải tập giải tập SGK tr.66 hình Cho tam giác ABC , góc A = 1200, AD phân giác trong, gọi E F chân đường vng góc hạ từ điểm D đến cạnh AB AC a Chứng minh tam giác DEF tam giác b Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường AB M Chứng minh tam giác ACM tam giác 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Những năm đầu dạy hình học, thân nhận thấy học sinh ngại học hình học, làm tập hình em thấy khó khăn, khơng biết phân tích tốn nên khơng xây dựng chương trình giải, khơng biết chứng minh đâu Hoặc chứng minh thường đưa kết luận thiếu lý do, lý không xác đáng Khi làm kiểm tra thi vào cấp số học sinh làm trọn vẹn tập hình chưa cao Thấy rõ thực trạng nguyên nhân, thân nhiều biện pháp thực khắc phục Kết gần cho thấy số lượng học sinh có hứng thú học mơn hình tăng Các em biết khai thác tốn theo nhiều hướng khác nhau, biết tìm cách giải hay, giải nhiều tập khó Kết kỳ thi cao Cụ thể, phân tích kết đạt qua bảng đối chứng sau: Lớp Trước áp dụng SKKN Chưa Biết Thành biết chứng thạo, chứng minh có kĩ minh chưa tốt trình thành câu bày thạo hỏi câu hỏi tổng chứng tổ hợp hợp minh Hình học Sau áp dụng SKKN Chưa Biết biết chứng chứng minh minh trình chưa bày thành thạo chứng câu hỏi minh tổ hợp Hình học Thành thạo, có kĩ tốt câu hỏi tổng hợp 22 7A 9/30 (30%) 12/30 (40%) 09/30 (30%) 7B 8/30 (27%) 12/30 (40%) 10/30 (33%) 4/30 (13,3% ) 3/30 (10%) 14/30 (46,7% ) 14/30 (46,7% ) 12/30 (40%) 13/30 (43,3% ) Để học sinh học tốt mơn hình học q trình nan giải mơn hình học mơn học suy diễn lý luận chặt chẽ Khi chứng minh tốn hình học khẳng định phải có lý xác đáng, song lý giả thiết tốn mà cịn chọn lọc từ hệ thống định nghĩa, định lý, hệ từ lớp đến lớp Muốn trình bày tốn chứng minh hình học chặt chẽ, xác, khoa học học sinh phải biết phân tích, so sánh, tổng hợp từ giả thiết toán, mối liên quan giả thiết với điều phải chứng minh, phải tìm Liên hệ tốn cần giải với toán tương tự gặp Tuy nhiên thực tốt phương pháp giảng dạy môn, rèn luyện uốn nắn bước, theo mức độ tiếp thu từ lớp đến lớp cách chặt chẽ, liên tục thu kết khả quan Trên số vấn đề kiến thức phương pháp mà thân tơi rút q trình trực tiếp giảng dạy mơn tốn lớp phần hình học Trong phạm vi nhỏ đề tài chắn chưa thể bao quát hết kiến thức môn hình học lớp Song bước đầu có tác dụng học sinh Rất mong góp ý chân tình thầy để đề tài tơi hồn thiện hơn, nhằm mục đích cuối học hiểu thêm u mơn hình học, mơn học vốn khó với học sinh Trong q trình nghiên cứu thực đề tài chắn cịn có thiếu sót Rất mong góp ý thầy, cô giáo, bạn đồng nghiệp để đề tài hồn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy học tập giáo viên học sinh Kết luận, kiến nghị 23 3.1 Kết luận Đề tài nội dung nghiên cứu biên soạn trước hết nhằm củng cố xếp có hệ thống bước giải tốn chứng minh hình học rèn luyện số kỹ cần phải có chứng minh Xét khía cạnh hệ thống kiến thức chương trình tốn THCS vấn đề lớn, địi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư tốt kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt Chính lẽ đó, trình giảng dạy, người giáo viên cần: - Chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất cách vận dụng - Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em - Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhuần nhuyễn, logic toán khác 3.2 Kiến nghị Trong nhiều năm qua, nhà trường nhận quan tâm đạo sát chăm lo mặt đặc biệt công tác chuyên môn Song để thành cơng hồn thành tốt nhiệm vụ xin đề xuất với ngành số ý sau: Thường xuyên tổ chức hội thảo, tập huấn chuyên đề, đặc biệt chuyên đề về: Đổi PPDH mơn Tốn; Nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn; Để góp phần đổi phương pháp giáo dục việc tìm chân lý tốn học khơng dừng chân lý mà quan trọng phải thấy giá trị chân lý đó, nhằm nâng cao chất lượng dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học sinh Mặc dù cố gắng, xong hẳn không tránh khỏi sai sót nội dung hình thức, mong nhận ý kiến đóng góp để chuyên đề tơi thêm hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Hà Ngọc, ngày 05 tháng năm 2022 24 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác / ……………………………………………………………………… … Người thực ……………………………………………………………………… … ……………………………………………………………………… … Trình Hữu Tuấn ……………………………………………………………………… … ……………………………………………………………………… … ……………………………………………………………………… … TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguồn Internet (Violet.vn) [2] Sách Giáo khoa toán – Tập (Nhà xuất Giáo dục) [3] Sách Bài tập toán – Tập (Nhà xuất Giáo dục) 25 [4] Sách Bài tập toán – Tập (Nhà xuất Giáo dục) 26 ... nghiệp, mạnh dạn chọn đề tài: ? ?Một số kinh nghiệm giúp học sinh tìm lời giải tốn chứng minh hình học lớp trường THCS Hà Ngọc? ?? để trình bày vài kinh nghiệm nhỏ môn học này./ 1.2 Mục đích nghiên... 2.3.4.2 Minh họa kỹ học sinh cần phải có giải tốn chứng minh hình học 2.3.4.2.1 Hướng dẫn học sinh vẽ hình Hình vẽ đóng vai trị quan trọng q trình giải tốn, hình vẽ xác, rõ ràng giúp học sinh nhanh... q trình giải tốn hình học, tạo tảng học lên lớp Hơn tiết luyện tập ôn tập chương việc rèn luyện kỹ giải toán lại quan trọng Khi giải tốn chứng minh hình học với học sinh thường có tư tưởng hoang