CHUYÊN ĐỀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN

Việc luyện tập cho HSG có cách nhìn tổng quát về loại bài tập tính giá trị của biểu thức đại số nói chung và tính giá trị của biểu thức có diều kiện nói riêng là rất quan trọng .Nó giúp

CHUYấN ĐỀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Cể ĐIỀU KIỆN

Ngời viết : Tễ MINH NHẬT

Đặt vấn đề

Bài tập tính giá trị của một biểu thức đại số có hai loại chính là :

- Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện dàng buộc giữa các biến số

- Tính giá trị của biểu thức trong đó giá trị của các biến số lại bị dàng buộc bởi một hoặc nhiều điều kiện nào đó

Ví dụ 1: Các bài tập sau đây là loại tính giá trị không có điều kiện

1) Tính f(2) biết f(x) = 5x5+ 4x4+ 3x3+ 2x2+ x + 1

2) Cho biểu thức :

A =

2

:

+  −  +  Tính giá trị của A nếu x = 2007

Ví dụ 2 : Các bài tập sau đây là loại tính giá trị có điều liện

1) Cho a3+ b3+ c3 = 3abc và abc ≠ 0

Tính giá trị của biểu thức B = 1 a 1 b 1 c

 +  +  + 

2) Cho a + b + c = 0 và a2+ b2+ c2 = 14

Tính giá trị của biểu thức : C = a4+b4+ c4

3) Giả sử m , n thoả mãn mn = 3 là hai nghiệm phân biệt của

phơng trình :

x4 + a.x3 + b.x2 + a.x + 1 = 0

Tính giá trị của biểu thức Q = 9a2 – 48b + 2007

Việc luyện tập cho HSG có cách nhìn tổng quát về loại bài tập tính giá trị của biểu thức đại số nói chung và tính giá trị của biểu thức có diều kiện nói riêng là rất quan trọng Nó giúp HS có một t duy toán học chặt chẽ , chính xác , rèn luyện phép biến đổi đại số linh hoạt để HS tự tin khi gặp các loại toán này.Tuy nhiên chuyên đề này chỉ bàn tập trung vào loại tính giá trị với điều kiện cho trớc Loại tính giá trị không có

điều kiện đã dợc bàn tới nhiều trong sách giáo khoa và sách bài tập

B Nội dung chuyên đề

Loại 1 : Không tính đợc giá trị cụ thể của các biến số

Ví dụ 1 : Cho x+y = 3 Tính giá trị của biểu thức

A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + 1

Với loại này ta cần biến đổi A thành gồm toàn các nhóm x + y rồi thay 3 vào :

A = ( x + y)2- 4( x + y)+ 1 = 32- 4.3 + 1 = - 2

Ví dụ 2 : Cho a 3+b3+c3= 3abc ≠ 0 Tính giá trị của biểu thức :

B = 1 a 1 b 1 c

 +  +  + 

Rõ ràng ta có thể đánh giá quan hệ giữa a, b, c từ giả thiết chứ không thể tính đợc cụ thể a , b , c.Để thuận lợi biến đổi biểu thức A về dạng dễ đánh giá hơn

B = (a b b c) ( ) (a c)

abc

Từ giả thiết: ( a + b )3+ c3- 3ab( a + b ) – 3abc = 0

⇔ ( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0 ⇔ ( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0

Vậy ta đợc a + b + c = 0 , hoặc a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0

* Với a + b + c = 0 , ta đợc a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b Khi đó B = abc

abc

− = - 1

* Với a2+ b2+ c2- ab – bc – ca = 0

⇔ 2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab – 2bc – 2ca = 0

⇔ ( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0 Vậy a = b = c

Khi đó B = 2 2 2b c a

bca = 8

Ví dụ 3 : Cho 3 số dơng x , y , z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1

Tính giá trị của biểu thức

A = ( 2) ( )2 ( ) (2 2) ( 2) ( 2)

Ta thấy con số 1 trong điều kiện đã cho và trong biểu thiức có liên quan với nhau, hãy tính riêng từng bộ phận :

1 + x2 = xy + yz + zx + x2 = y( x + z ) + x( x + z ) = ( x + y )( x + z )

1 + y2 = xy + yz + zx + y2 = y( x + y) + z( x + y) = ( x + y )( y + z )

1 + z2 = xy + yz + zx + z2 = y( x + z ) + z( x + z) = ( x + z )( y + z ) Thay vào A rồi rút gọn , ta đợc :

A = 2( xy + yz + zx ) = 2.1 =2

Loại 2 : tính đợc giá trị của các biến số

Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức

M = ( ) ( )

( 5 5 ) 1

x x

− Biết : x2+ 9y2 = 6xy - x − 3

Ta chỉ cần giải phơng trình x2+ 9y2 = 6xy - x− 3 để tìm giá trị của

x , y nh sau

Ta có x2+ 9y2 = 6xy - x−3 tơng đơng với phơng trình ( x – 3y)2+ x− 3 = 0

Từ đó tính đợc x = 3 , y = 1 chỉ việc thay vào biểu thức M rồi tính toán

Ví dụ 2 : Cho các số x , y , z thoả mãn hệ

2 2 2

3 3 3

1 1 1

x y z

+ + =



 + + =



 + + =



Tính giá trị của biểu thức Q = x4 + + y5 z6

Ta chỉ cần giải hệ phơng trình đã cho để tìm x , y , z

Ta có 13 = ( x + y + z )3 = x3+ y3+ z3+ 3( x + y)( y + z)( z + x) mà x3+

y3+ z3 = 1

Vì vậy : ( x + y)( y + z)( z + x) = 0 Nên hoặc x = - y , hoặc y = - z , hoặc z = - x

Nếu x = - y thì x+ y = 0 và từ x + y + z = 1 ta có z = 1 nên z2 = 1 và x2+ y2

= 0 suy ra x = y = 0 khi đó Q = 04+ 05 + 16 = 1

Hoàn toàn tơng tự cho các trờng hợp còn lại ta vẫn đợc Q = 1 Tóm lại là

Q = 1

ví dụ 3 : Cho x = 320 14 2 + + 3 20 14 2 − Tính giá trị của biểu thức :

P = x3 – 6x + 1993

Ta có :

x3 = +20 14 2 20 14 2 3 20 2.14+ − + x3 2− 2 = +6x 40

Vậy x3 – 6x = 40 Ta có thể giải phơng trình x3 – 6x – 40 = 0 để tìm x,

nhng việc đó lại là không cần thiết do cấu trúc của biểu thức P

Từ đó P = x3 – 6x + 1993 = 40 + 1993 = 2033

Loại 3 : đại số hoá một số biểu thức số để tính toán

Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức :

A =

Giải : Đặt 2 2

3

2

2

A

+ + −

+ − − Sau đó thay giá trị của a vào tính toán ta đợc kết quả là A = 2

Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức

5

A  +   −  

=  ữ ữ − ữữ

• Giải : Đặt 1 1 5; 2 1 5

x = + x = − Ta có

1 2 1

x x + = và x x1 2 = − 1 Theo định lý Vi-et thì x x1, 2 là các nghiệm của phơng trình bậc hai :

X2-X – 1 = 0 Đặt 1n 2n

n

Và ta có công thức truy hồi là :

Sn+2 − Sn+1− = Sn 0 2 1

2 1

5 5

n n

S

U  +   −  

= =  ữ ữ − ữữ

    

ta có : Un+2 = Un+1+ Un , (*)

với n∈ N

Dễ tính đợc U0 = 0,U1 = 1 sau đó từ công thức (*) ta tính đợc :

0 1 1

1 1 2

2 1 3

3 2 5

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

v.v…Đây chính là dãy Phibonaci và U n là số hạng tổng quát của dãy này :

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,233 ,…cứ nh vậy ta tính đợc

U17 = = A 1597

Loại bài tập này rất phong phú,đa dạng mà trên đây chỉ một vài ví dụ cơ bản Để luyện tập chuyên đề mời các bạn làm một số bài tập luyện tập sau

đây :

Bài tập 1 : Cho a + b = ab

Tính giá trị của biểu thức A = ( a3+ b3- a3b3 ) + 27a6b6

Bài tập 2 : Cho a và b là các số thoả mãn

3 2

3 2

a ab

b a b

− =

− = Tính giá trị của biểu thức B = ( a

2 + b2 )3

Bài tập 3 : Cho 3x – y = 3z và xy ≠ 0

2x + y = 7z

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

2

2 2

2

C

−

= +

Bµi tËp 4 : Cho a3 + b3 + c3 = 3abc vµ a + b + c ≠ 0

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :

2 2 2

2

D

a b c

+ +

= + +

Bµi tËp 5 : Cho a 13

x y x z=

2

z y x y z

x z

−

=

− + +

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2 3 12 2 17 2

2

E

a

=

−

Bµi tËp 6 : Cho x y z 0

a b c+ + = vµ a b c 2

x y z+ + = TÝnh gi¸ trÞ cña F a22 b22 c22

Bµi tËp7: Cho x, y , z lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n x y z+ + + xyz = 4 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu rhøc :

H = x − y − +z y − z − +x z − x − −y xyz

Bµi tËp 8 : Cho ( x+ x2+144)( y+ y2 +144) =1962

TÝnh gi¸ trÞ cña K = x + y

Bµi tËp 9 : Cho

2 2 2 2

1 1 1 1

x y z a

x y z c

+ + = + + = + + =

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M = x3+ y3+ z3

theo a , b , c

Bµi tËp 10 : Cho c¸c sè d¬ng x , y , z tho¶ m·n

2 2

2 2

25 3

9 3

16

y

x xy y z

z xz x

+ + =

+ = + + = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : N = xy + 2yz + 3zx

Bµi tËp 11: Cho a , b , c lµ 3 sè ph©n biÖt sao cho c¸c ph¬ng tr×nh :

x2 + a.x + 1 = 0 vµ x2 + bx + c = 0 cã nghiÖm chung §ång thêi c¸c ph¬ng tr×nh x2 + x + a = 0 vµ x2 + cx + b = 0 còng cã nghiÖm chung

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a + b + c

HÕt