Sử dụng hằng đẳng thức và phương pháp tách
để tính giá trị biểu thức
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
1) A =
A =
+
2) A =
A = ( 2).( + 2)
3) B = ( 1) B = (4 + ).( ) (4 )
4) B = + B =
5) M = + B = + 3
6) B =
A = )
7) M = .( ) A =
Hướng dẫn M = ( ) = ( + ) ( ) = 2
8)
D =
9) A =
D =
10) B =
A =
11) P = ( + 2)( + 2) M =
Hướng dẫn B = =
B = =
Trang 2Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911
M = =
= = = = 1
12) A = (2 + )( 2 )(3 + )
Hướng dẫn A =
A = 10 19
13) B = A =
14) M =
15) M = N =
16)
17) B =
Hướng dẫn Đặt a = 2016 ta có: =
= a2 + a + 1 Áp dụng: B = 20162 + 2016 + 1 Bài 2: Các dạng bài toán phân tích tử số có thừa số chung với mẫu số: 1) Tính giá trị của P =
= 3 +
2) Tính giá trị của B =
=
3) Rút gọn biểu thức sau: B =
và N =
4) Rút gọn biểu thức sau: B =
= 1 +
5) Tính giá trị của A = = 2 +
Trang 36) Thu gọn biểu thức: A =
7) Thu gọn biểu thức: B =
8) Rút gọn biểu thức: H =
Bài 3: Rút gọn bằng phương pháp bình phương hai vế 1 Cho x1 = 3 + 5 và x2 = 3 - 5 Hãy tính: A = x1 x2; B = 2 2 1 2 x + x 2 Tính giá trị của biểu thức P = + với x = ; y =
3 Tính giá trị của N = +
Hướng dẫn Cách 1: Đặt
ta có:
B = x + y
B =
Cách 2: bình phương hai vế: N2 = ( + )2
= 6 B =
Bài tập luyện tập: a) B = + – M = +
b) A = 40 2 57 40 2 57 B =
c) N = + = + = 2
d) Tính giá trị của B = 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3
Hướng dẫn Ta có:
=
=
=
=
=
=
Trang 4Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911
Vậy B = 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 =
+
B2 = = 2 B =
e) Tính giá trị của N = +
Hướng dẫn Đặt
ta có:
B = x + y
3B 4 = 0
B =
f) Tính giá trị của N = +
Bài 4: Các bài toán thêm số vào biểu thức để rút gọn: a) +
Hướng dẫn
) =
)
= ] =
= 0
Bài 5: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: xy + =
Tính S = x + y
Hướng dẫn Từ giả thiết: xy + =
x2 y2 + 2xy + (1 + x2 )(1 + y2) = 2017
x2 + y2 + 2x2y2+ 2xy = 2016
Ta có: S = x + y
S2 = (x + y )2
S2 = x2(1 + y2) + 2xy + y2 (1 + x2)
S2
= x2(1 + y2) + 2xy + y2
(1 + x2)
Trang 5
S2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy = 2016 S = = 12
Bài 5: Cho hai số a, b là hai số thỏa mãn: = 1
Tính tổng a + b
Hướng dẫn
Ta có:
= 1 (1) (gt)
= 1 (2)
= 1 (3)
Lấy (1) trừ (2) suy ra: = (4) Lấy (1) cộng (3) suy ra: = (5)
Lấy (4) cộng với (5) theo từng vế rồi rút gọn ta được: a + b = 0
= 2016 Tính: x + y
Hướng dẫn
Ta có:
= 2016 (1) (gt)
= 2016 (2)
= 2016 (3)
Lấy (1) cộng (2) suy ra: = (4)
Lấy (1) cộng (3) suy ra: = (5)
Lấy (4) cộng với (5) theo từng vế rồi rút gọn ta được:
x + y = (x + y) 2(x + y) = 0 x + y = 0
Tính: x3 + y3
Bài 8: Cho hai số x, y là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện:
= 2018 Tìm giá trị của biểu thức:
M = xy + – 2017 + 2017 y2
+ 7
Trang 6Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911
Bài 9: Cho biểu thức A = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2016 + 2016 Tính giá trị của biểu thức A biết x =
Hướng dẫn Ta có: x =
=
=
x2 = x3 = x4 =
x5 =
Do đó: 4x5 + 4x4 5x3 + 5x 2 = – = 1
Vậy A = (4x5 + 4x4 5x3 + 5x 2)2016 + 2016 = (1)2016 + 2016 = 2017 Bài 10: Cho a, b là hai số thỏa mãn: a2 + 2b2 + 2ab 4b + 4 = 0 Tính giá trij của biêur thức: M =
với a ≠ b Hướng dẫn Phương trình có dạng: + = 0
Cách giải: ta cho từng
Từ giả thiết: a2 + 2b2 + 2ab 4b + 4 = 0
a2 + 2ab + b2 + b2 4b + 4 = 0 (a + b) 2 + (b – 2)2 = 0
thay vào biểu thức M ta được: M =
=
= 21
Bài 11: Tìm x, y thỏa mãn : 5x – 2 (2 + y) + y2 + 1 = 0 Hướng dẫn Điều kiện : x ≥ 0 Ta có 5x – 2 (2 + y) + y2 + 1 = 0 (4x – 4 + 1) + (y 2 2y + x) = 0 ( 1)2 + (y )2 = 0
Bài 12: Giải phương trình:
+
+
=
Trang 7Hướng dẫn
Đặt a = , b = , c =
Với a, b, c > 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành:
+ + =
+ + = + + + = 0
+ + + + + = 0
( )2 + ( )2 + ( )2 = 0
Bài 13: Cho x, y > 0 thỏa mãn: 1 + x + y = + +
Tính giá trị biểu thức: S = x2015 + y2016 Hướng dẫn Từ giả thiết: 1 + x + y = + +
2 + 2x + 2y = + +
2 + 2x + 2y = 0
(x + y) + (x + 1) + (y + 1) = 0 ( )2 + ( 1)2 + ( 1)2 = 0
Do đó: S = x2015 + y2016 = 12015 + 12016 = 2 Bài 14: Cho: x2 + 2y2 + z2 2xy 2yz + zx – 3x – z + 5 = 0 Tính giá trị của biểu thức: S = x3 + y7 + z2018
Hướng dẫn
Ta có: x2 + 2y2 + z2 2xy 2yz + zx – 3x – z + 5 = 0
2x2
+ 4y2 + 2z2 – 4xy – 4yz + 2xz – 6x – 2z + 10 = 0
4y2
– 4(x + z)y + (x2 + 2xz + z2) + x2 + z2 – 6x – 2z + 10 = 0
(2y – x – z)2
+ (x – 3)2 + (z – 1)2 = 0
Trang 8Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911
S = 33 + 27 + 12018 = 156 Bài 15: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: 4x2 + 2y2 + 2z2 4xy 4xz + 2yz 6y 10 z + 34 = 0 Tính giá trị của biểu thức: A = (x – 5)2016 + (y – 3)2017 + (z – 4)2018 Hướng dẫn Ta có: 4x2 + 2y2 + 2z2 4xy 4xz + 2yz 6y 10 z + 34 = 0 (4x2 + y2 + z2 4xy 4xz + 2yz) + (y2 – 6y + 9) + (z2 – 10z + 25) = 0 (2x – y – z)2 + (y 3)2 + (z – 5)2 = 0
Vậy A = (4 – 5)2016 + (3 – 3)2017 + (5 – 4)2018 = 2 Bài 16: Cho a, b, c là ba số thực khác không thỏa mãn:
Hãy tính giá trị biểu thức: Q = + +
Hướng dẫn Từ giả thiết: a2(b +c) + b2(a +c) + c2(a +b) + 2abc = 0 a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b + 2abc = 0 (a2b + b2a) + (c2b + c2a) + (b2c + a2c + 2abc) = 0 ab(a + b) + c2(a + b) + c(a2 + 2ab + b2) = 0 ab(a + b) + c2(a + b) + c(a + b)2 = 0 (a + b)(ab + c2 + ca + cb) = 0 (a + b)(a + c)(b + c) = 0
Xét trường hợp 1: a = b ta có:
Như vậy ta có: Q = + + = 1
Tương tự các trường hợp còn lại: Q = + + = 1
Kết luận: Q = + + = 1