Bài 2 biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911 Biến Đổi Đơn Giản Biểu Thức Chứa Căn Thức Bậc Hai Đưa thừa số dấu căn:  Ví dụ: = với a,b ≥ với a < với a < 0, b ≥ với x > 2y >0  +  + + 2 + Đưa thừa số vào dấu căn:  Ví dụ: 3 2a với a ≥0 = > 3x với x,y ≥0 Bài tập luyện tập: Bài 2: So sánh thức bậc hai: a) có b) = > c) > ≥ <  d) nên  với Hướng dẫn  =  = Mà =  = >  Vậy e)  + nên  > > > + Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911 > + >  2017(  ) > 2016.( 2017 > 2016 ( đúng) ) + > + Bài 3: Thực phép tính   –  + =  + + (  + )   + +   + 3 (6 ( +   ): 2)    Tính giá trị biểu thức: A = 10  Tính  :  8 5 4 Hướng dẫn 11 Rút gọn biểu thức: A = Trực thức mẫu: a) Với A,B ≥ 0, B ≠ ta có:  Ví dụ: = = b) Với A ≥ 0, A ≠ B2 ta có: Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911 c) Với A ≥ 0, B ≥ A ≠ B ta có:  Ví dụ: với x ≥ x ≠ với a > b > Bài 1: Tính giá trị biểu thức: b) 1  = 3 3  a)   1 32 3 c) + d) ( +    + + ).( ) + =1 + Hướng dẫn e) + – f) g) +  + Bài 2: Cho x, y số dương Chứng minh rằng: x + y – 2( ) + ≥ Dấu “=” xảy ? + Hướng dẫn Ta có: VT = x + y – 2( = (x – + )+2= x–2 + 1) + (y  Dấu “=” xảy khi: +y2 + 1) = ( +2  1)2 + (    1)2 ≥ ∀x, y > x=y=1 Bài 3: Tính tổng sau a) A = + + +…+ b) A = + + +…+ = Hướng dẫn Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm Ta có: 0989552911  =  A=  1+ c) A = +…+  + +   = +…+ + Hướng dẫn  A =  +  +…+ =  d) Tìm số nguyên dương n cho: + +…+ + = n e) Hướng dẫn Ta có:  =  (n + 1)  = n  = n = Bài 4: Tính tổng a) B =  + …+ = 7 b) E =  + … = c) P  1 1     2 3 4 2n  2n  Hướng dẫn c) = ( Ta có: +  P = )  (  ) +…   = Bài 5: Tính tổng +… + a) B = + + + b) B = + + +…+ c) M =  1  9  13    = = 11 4n   4n  Hướng dẫn Ta có: = = Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911 = = M = d) A  1 1     = 1   100 99  99 100 Hướng dẫn Ta có:  =  = e) Tìm giá trị x thỏa mãn: +…+ + = Hướng dẫn Ta có:  =   = + +…+ = + +…+ =  +   +…+  = =  + = = = 45 x = 2024 Bài 6: Tính tổng: +…+ A= + + B = + +…+ C = Hướng dẫn: Ta chứng minh:  1 =  2 n  n  1 1 n  2n   n n  n  1 2 = 1 2n  n  1 n  n  1 2  n  n  1 2 = A = (1 + = 1  n  n  1 n  n  12  ) + (1 +   1   = n n       ) + (1 +  ) + … + (1 +  ) Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm  = 99 + = 100   + 1+  + …+ 1+  = 99,99  B = 1+ +1+ 0989552911 +1+   = 2014 +  + … +1 + = 1007(2 + +1+  ) C = = 2017 = 2007 Bài toán bất đẳng thức bậc hai Bài 1: Cho A  1 1     > 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 Hướng dẫn Ta sử dụng bất đẳng thức Cô si a + b ≥ Ta có: > = = > = = > = = > = = ≥ : Cộng vế bất đẳng thức ta được: + +…+ + Bài 2: Chứng minh rằng: B = + > + + = (đpcm) +…+ > 86 Hướng dẫn Ta có: B = + B = B> + + +…+ + + + +…+ + + + +…+ B> Trực thức mẫu ta được: B > 2( Bài 3: Chứng minh:  1) > 2( + +  1) = 2(44 – 1) = 86 + +…+ > 2(  1) Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911 Hướng dẫn Ta chứng minh: Vậy: + + = + > = +…+ + =2 > 2( …+ +  + 1  1) + 0) = 2( Bài 4: Chứng minh: + + +…+ + > Hướng dẫn  Ta có: > Nên > 1+ >…> > + +…+ + Bài 5: Chứng minh: = +…+ + < Hướng dẫn  Ta có: > Nên > 1+ +  Ta có: =  Do đó: + + 1– > + < >…> +…+ >  = 2( +…+ + = ) > 2( … + +  + 0) =  1   2   (k  1) k k 1   k Bài 6: Chứng minh với số nguyên dương k ta có: Hướng dẫn Ta có: = ( =  (  = ) (1 + Bài 7: Chứng minh : ) < 2(  ) = (  )( + ) ) + 2(  ) + 2( ) (đpcm) 1 1     2 (n  1) n Hướng dẫn Áp dụng: + 2(  < 2( +  Bài 8: Cho A = ) < 2(1  + …+ ) = 2(1    ) +…+ ) < (đpcm) + +…+ Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm B = 1+ 0989552911 +…+ + Chứng minh B > A Hướng dẫn Ta có:  = 1+ A=  Với k  N* ta có: Do đó: B = +  + =  +…+ >  = 10 (1) = =2 +…+ + B > 2(1 +  +  + … + Từ (1) (2) suy ra: B > A Bài 9: Cho 25 số tự nhiên a1, a2, a3, … a25 thỏa điều kiện: + +…+ + ) = 2(1 + 6) = 10 (2) = Chứng minh 25 số tự nhiên tồn số Hướng dẫn Giả sử 25 số tự nhiên cho, hai số Không tính tổng quát, giả sử: a1 < a2 < … < a25 suy a1 ≥ 1, a2 ≥ , … a25 ≥ 25 Thế thì: Ta lại có: + +…+ + ≤ +…+ + + + +…+ = Từ (1) (2) suy ra: + + = 2( +…+ + +…+ + +…+ + (1) +1<  1) + = (2) < 9, trái với giả thiết Vậy tồn hai số 25 số a1, a2, a3, … a25 Bài 10: Cho 2015 số tự nhiên a1, a2, a3, … a2015 thỏa điều kiện: + + +…+ ≥ 89 Chứng minh 2015 số tự nhiên tồn số Hướng dẫn Giả sử 25 số tự nhiên cho, hai số Không tính tổng quát, giả sử: a1 < a2 < … < a2015 suy a1 ≥ 1, a2 ≥ , … a2015 ≥ 2015 Thế thì: + + +…+ ≤ + +…+ (1) Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm Ta lại có: + +…+ +1< Mà 2( 0989552911 + = +…+ +  1) + = 89 Từ (1) (2) suy ra: + + + +…+ +…+ + +…+ + = 2(  1) + + < 89 (2) < 89, trái với giả thiết Vậy tồn hai số 2015 số a1, a2, a3, … a2015