Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911 Biến Đổi Đơn Giản Biểu Thức Chứa Căn Thức Bậc Hai Đưa thừa số dấu căn: Ví dụ: = với a,b ≥ với a < với a < 0, b ≥ với x > 2y >0 + + + 2 + Đưa thừa số vào dấu căn: Ví dụ: 3 2a với a ≥0 = > 3x với x,y ≥0 Bài tập luyện tập: Bài 2: So sánh thức bậc hai: a) có b) = > c) > ≥ < d) nên với Hướng dẫn = = Mà = = > Vậy e) + nên > > > + Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911 > + > 2017( ) > 2016.( 2017 > 2016 ( đúng) ) + > + Bài 3: Thực phép tính – + = + + ( + ) + + + 3 (6 ( + ): 2) Tính giá trị biểu thức: A = 10 Tính : 8 5 4 Hướng dẫn 11 Rút gọn biểu thức: A = Trực thức mẫu: a) Với A,B ≥ 0, B ≠ ta có: Ví dụ: = = b) Với A ≥ 0, A ≠ B2 ta có: Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911 c) Với A ≥ 0, B ≥ A ≠ B ta có: Ví dụ: với x ≥ x ≠ với a > b > Bài 1: Tính giá trị biểu thức: b) 1 = 3 3 a) 1 32 3 c) + d) ( + + + ).( ) + =1 + Hướng dẫn e) + – f) g) + + Bài 2: Cho x, y số dương Chứng minh rằng: x + y – 2( ) + ≥ Dấu “=” xảy ? + Hướng dẫn Ta có: VT = x + y – 2( = (x – + )+2= x–2 + 1) + (y Dấu “=” xảy khi: +y2 + 1) = ( +2 1)2 + ( 1)2 ≥ ∀x, y > x=y=1 Bài 3: Tính tổng sau a) A = + + +…+ b) A = + + +…+ = Hướng dẫn Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm Ta có: 0989552911 = A= 1+ c) A = +…+ + + = +…+ + Hướng dẫn A = + +…+ = d) Tìm số nguyên dương n cho: + +…+ + = n e) Hướng dẫn Ta có: = (n + 1) = n = n = Bài 4: Tính tổng a) B = + …+ = 7 b) E = + … = c) P 1 1 2 3 4 2n 2n Hướng dẫn c) = ( Ta có: + P = ) ( ) +… = Bài 5: Tính tổng +… + a) B = + + + b) B = + + +…+ c) M = 1 9 13 = = 11 4n 4n Hướng dẫn Ta có: = = Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911 = = M = d) A 1 1 = 1 100 99 99 100 Hướng dẫn Ta có: = = e) Tìm giá trị x thỏa mãn: +…+ + = Hướng dẫn Ta có: = = + +…+ = + +…+ = + +…+ = = + = = = 45 x = 2024 Bài 6: Tính tổng: +…+ A= + + B = + +…+ C = Hướng dẫn: Ta chứng minh: 1 = 2 n n 1 1 n 2n n n n 1 2 = 1 2n n 1 n n 1 2 n n 1 2 = A = (1 + = 1 n n 1 n n 12 ) + (1 + 1 = n n ) + (1 + ) + … + (1 + ) Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm = 99 + = 100 + 1+ + …+ 1+ = 99,99 B = 1+ +1+ 0989552911 +1+ = 2014 + + … +1 + = 1007(2 + +1+ ) C = = 2017 = 2007 Bài toán bất đẳng thức bậc hai Bài 1: Cho A 1 1 > 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 Hướng dẫn Ta sử dụng bất đẳng thức Cô si a + b ≥ Ta có: > = = > = = > = = > = = ≥ : Cộng vế bất đẳng thức ta được: + +…+ + Bài 2: Chứng minh rằng: B = + > + + = (đpcm) +…+ > 86 Hướng dẫn Ta có: B = + B = B> + + +…+ + + + +…+ + + + +…+ B> Trực thức mẫu ta được: B > 2( Bài 3: Chứng minh: 1) > 2( + + 1) = 2(44 – 1) = 86 + +…+ > 2( 1) Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0989552911 Hướng dẫn Ta chứng minh: Vậy: + + = + > = +…+ + =2 > 2( …+ + + 1 1) + 0) = 2( Bài 4: Chứng minh: + + +…+ + > Hướng dẫn Ta có: > Nên > 1+ >…> > + +…+ + Bài 5: Chứng minh: = +…+ + < Hướng dẫn Ta có: > Nên > 1+ + Ta có: = Do đó: + + 1– > + < >…> +…+ > = 2( +…+ + = ) > 2( … + + + 0) = 1 2 (k 1) k k 1 k Bài 6: Chứng minh với số nguyên dương k ta có: Hướng dẫn Ta có: = ( = ( = ) (1 + Bài 7: Chứng minh : ) < 2( ) = ( )( + ) ) + 2( ) + 2( ) (đpcm) 1 1 2 (n 1) n Hướng dẫn Áp dụng: + 2( < 2( + Bài 8: Cho A = ) < 2(1 + …+ ) = 2(1 ) +…+ ) < (đpcm) + +…+ Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm B = 1+ 0989552911 +…+ + Chứng minh B > A Hướng dẫn Ta có: = 1+ A= Với k N* ta có: Do đó: B = + + = +…+ > = 10 (1) = =2 +…+ + B > 2(1 + + + … + Từ (1) (2) suy ra: B > A Bài 9: Cho 25 số tự nhiên a1, a2, a3, … a25 thỏa điều kiện: + +…+ + ) = 2(1 + 6) = 10 (2) = Chứng minh 25 số tự nhiên tồn số Hướng dẫn Giả sử 25 số tự nhiên cho, hai số Không tính tổng quát, giả sử: a1 < a2 < … < a25 suy a1 ≥ 1, a2 ≥ , … a25 ≥ 25 Thế thì: Ta lại có: + +…+ + ≤ +…+ + + + +…+ = Từ (1) (2) suy ra: + + = 2( +…+ + +…+ + +…+ + (1) +1< 1) + = (2) < 9, trái với giả thiết Vậy tồn hai số 25 số a1, a2, a3, … a25 Bài 10: Cho 2015 số tự nhiên a1, a2, a3, … a2015 thỏa điều kiện: + + +…+ ≥ 89 Chứng minh 2015 số tự nhiên tồn số Hướng dẫn Giả sử 25 số tự nhiên cho, hai số Không tính tổng quát, giả sử: a1 < a2 < … < a2015 suy a1 ≥ 1, a2 ≥ , … a2015 ≥ 2015 Thế thì: + + +…+ ≤ + +…+ (1) Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm Ta lại có: + +…+ +1< Mà 2( 0989552911 + = +…+ + 1) + = 89 Từ (1) (2) suy ra: + + + +…+ +…+ + +…+ + = 2( 1) + + < 89 (2) < 89, trái với giả thiết Vậy tồn hai số 2015 số a1, a2, a3, … a2015