- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh [r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | CHUYÊN ĐỀ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
I Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Cơsi: “Cho hai số khơng âm a, b; ta có bất đẳng thức: a b
ab +
; Dấu “=” xảy a = b”
+ Bất đẳng thức: ( )2 ( 2)( 2)
ac bd+ a +b c +d (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy a b
c =d
+ a + +b a b ; Dấu “=” xảy ab
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nếu y= +a f x( )2 y = a f(x) =
Nếu y= −a f x( )2 max y = a f(x) =
+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách ví dụ dạng 2) II CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
* Dạng 1:CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài tốn 1: Tìm GTNN biểu thức:
a) A=4x2+4x+11
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) C=x2−2x+y2−4y+7 Giải:
a) A=4x2+4x+11=4x2+4x+ +1 10=(2x+1)2+10 10 Min A = 10
2 x= −
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36
Min B = -36 x = x = -5 c) C=x2−2x+y2−4y+7
= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + Min C = x = 1; y =
Bài tốn 2: Tìm GTLN biểu thức: a) A = – 8x – x2
b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21
Max A = 21 x = -4 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) +
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + Max B = x = 1,
2 y= − Bài tốn 3: Tìm GTNN của: a) M = − + − + − + −x x x x b) N =(2x−1)2−3 2x− +1 Giải:
a) M = − + − + − + −x x x x
Ta có: x− + − = − + − − + − =1 x x x x x Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) hay 1 x
2 3
x− + − = − + − − + − =x x x x x
Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) hay 2 x Vậy Min M = + = 2 x
b) N =(2x−1)2−3 2x− + =1 2x−12−3 2x− +1 Đặt t= 2x−1 t
Do N = t2 – 3t + = 2
1 ( )
4
t− −
4 N
−
Dấu “=” xảy 3
2
t− = =t
Do N= −
3
2
3
2
3
2
2
2
x x
t x
x x
− = =
= − =
− = − = −
Vậy
4
N = − =x hay x= −
Bài toán 4: Cho x + y = 1.Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2
2
2 2
2
1
( )
2 2 2 2
x y x y x y
xy x y
= + + − + = + + −
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
2
1
( )
2
M x y
+
Ngoài ra: x + y = x2 + y2 + 2xy = 2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥
Do 2
2
x +y 2 1
2
x +y = = =x y
Ta có: 1( 2)
M x +y ( 2) 1 1
2 2
x +y M = Do
4
M dấu “=” xảy x y = =
Vậy GTNN 1
4
M = = =x y
• Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài tốn 1:
Tìm GTLN GTNN của: 42 x y
x + =
+ Giải:
* Cách 1:
2
2
4 ax
1
x x a
y a
x x
+ − + + −
= = +
+ +
Ta cần tìm a để −ax2+4x+ −3 alà bình phương nhị thức Ta phải có: ' (3 )
4 a
a a
a = −
= + − =
= - Với a = -1 ta có:
2
2
4 x 4 ( 2)
1
1 1
x x x
y
x x x
+ + + +
= = − + = − +
+ + +
1 y
− Dấu “=” xảy x = -2 Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có:
2
2
4 -4x (2 1)
4 4
1 1
x x x
y
x x x
+ + − −
= = + = −
+ + +
Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN y = x =
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vì x2 + 0 nên: 42 yx2
1 x
y x y
x +
= − + − =
+ (1)
y giá trị hàm số (1) có nghiệm - Nếu y = (1)
4 x = −
- Nếu y 0 (1) có nghiệm = −' y y( − 3) (y+1)(y−4)0
4 y
y + −
1 y
y + −
1 y − Vậy GTNN y = -1 x = -2
Vậy GTLN y = x = Bài tốn 2: Tìm GTLN GTNN của:
2
1 x x A
x x − + =
+ + Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm:
2
1 x x a
x x − + =
+ + (1) Do x2 + x + = x2 + 2.1
2.x +
2
1 3
0
4 x
+ = + +
Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2) • Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x =
• Trường hợp 2: Nếu a để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ 0, tức là:
2
( 1) 4( 1)( 1) ( 2)( 2)
(3 1)( 3) 3( 1)
3
a a a a a a a
a a a a
+ − − − + + − + − +
− −
Với
a= a = nghiệm (2) ( 1) 2( 1) 2(1 )
a a
x
a a
− + +
= =
− −
Với
a= x = Với a = x = -1
Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có: GTNN
3
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) Cho a, b số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức:
2
( 1)( )
A a b a b
a b
= + + + +
+
b) Cho m, n số nguyên thỏa 1
2m+ =n Tìm GTLN B = mn Giải:
a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 b2
2 2
2 2
a +b a b = ab= (vì ab = 1)
2 4
( 1)( ) 2( 1) ( ) ( )
A a b a b a b a b a b
a b a b a b
= + + + + + + + = + + + + +
+ + +
Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b a b+ Ta có: (a + b) + (a b) 4
a b+ + a b+ =
Mặt khác: a b+ 2 ab=2
Suy ra: A (a b ) (a b) a b
+ + + + + + + =
+ Với a = b = A =
Vậy GTNN A a = b = b) Vì 1
2m+ =n nên hai số m, n phải có số dương Nếu có hai số âm B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n dương
Ta có: 1 3(2 ) (2 3)( 3) 2m+ = n m+n = mn m− n− = Vì m, n N* nên n – -2 2m – -1
Ta có: =1.9 = 3.3 = 9.1; Do xảy ra:
+
3 12
m m
n n
− = =
− = =
B = mn = 2.12 = 24
+ 3
3
m m
n n
− = =
− = =
B = mn = 3.6 = 18
+
3
m m
n n
− = =
− = =
B = mn = 6.4 = 24 Vậy GTLN B = 24
12 m n
= =
hay
6 m n
= =
Bài toán 4: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức:
2
x y
A
x y
+ =
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Giải:
Ta viết:
2 2 2
2 ( )
x y x xy y xy x y xy
A
x y x y x y
+ − + + − +
= = =
− − −
Do x > y xy = nên:
2
( ) 2
2
x y xy x y x y
A x y
x y x y x y
− + − −
= = − + = + +
− − −
Vì x > y x – y > nên áp dụng bất đẳng thức côsi với số không âm, ta có:
2
2
x y x y
A
x y
− −
+
−
Dấu “=” xảy 2
( ) ( )
2 x y
x y x y
x y −
= − = − =
− (Do x – y > 0)
Từ đó: 2 A + =
Vậy GTNN A x y xy
− = =
1
1
x y = +
= − +
hay
1
1
x y = −
= − −
Thỏa điều kiện xy =
* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CĨ CHỨA CĂN THỨC Bài tốn 1: Tìm GTLN hàm số: y= x− +2 4−x
Giải: * Cách 1:
Điều kiện: 2 4(*)
4
x
x x
−
−
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Dấu “=” xảy a b
c =d
Chọn a= x−2;c=1;b= 4−x d; =1 với 2 x Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2
2 4 1
2
4
y x x x x
y x x
y y
= − + − − + − +
− + −
Vì y > nên ta có: 0 y
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | * Cách 2:
Ta có: y= x− +2 4−x
Điều kiện: 2
4
x
x x
−
−
Vì y > nên y đạt GTLN y2 đạt GTLN
Ta có: y2 = − + − +x x (x−2)(4−x)y2 = +2 (x−2)(4−x)
Do
4
x x
x − −
nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta: (x−2)(4−x) − + − =(x 2) (4 x)
Do
2
y + =
Dấu “=” xảy − = − =x x x (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN hàm số y x =
Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y=3 x− +1 5−x(1 x 5) Giải:
a) GTLN:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số: (3; 4) (( x−1; 5−x) ta có:
( ) (2 )2
2 2
(3 ) (3 ) 100
y = x− + −x + x− + −x =
<=> y2 100 => y 10
Dấu “=” xảy <=
3
x− −x
− hay
9 16
x− = −x
=> x = 61
25 (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN y là10 x = 61
25 * b) Gía trị nhỏ nhất:
Ta có: y = x− +1 5− =x x− +1 5− +x 5−x
= 3( x− +1 5−x)+ 5−x
Đặt: A = x− +1 5−x t2 = + (x−1 5)( −x) => A2 dấu “=” xảy x = x =
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Dấu “=” xảy x =
Do GTNN y x = Bài toán 3: GTNN y x =
Tìm GTNN biểu thức: M = (x−1994)2 + (x+1995)2 Giải:
M = ( )2
1994 ( 1995)
x− + x+ = x−1994+ +x 1995
Áp dụng bất đẳng thức: a + +b a b ta có: M = x−1994+ +x 1995 = −x 1994+1995+x
=> M −x 1994 1995+ − =x
Dấu “=” xảy (x – 1994) (1995 – x) <=> 1994 x 1995
Vậy GTNN M = 1994 x 1995 Bài tốn 4:
Tìm GTNN B = 3a + 1−a2 với -1 a Giải:
B = 3a + 5 16 (1 )2
5 25
a a a
− = + −
Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta
( ) ( )
2
2
2
3 16
1
3 16 25
5 5
5 25 2
a a
a a
+ −
+ − +
=> B
2
9 25 41 25
5
2 25
a a
+ + −
=
=> Do B 5 dấu “=” xảy
2
3 16
1 25 a
a =
= −
<=> a =
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -