MỘT SỐ HƯỚNG TIẾP CẬN BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

---Chuyên đề MỘT SỐ HƯỚNG TIẾP CẬN BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG ---PHẦN I KHÁI QUÁT CHUNG Bài toán chứng minh thẳng hàng là một dạng toán khá quen thuộc, nhất làtrong các đề t

-Chuyên đề MỘT SỐ HƯỚNG TIẾP CẬN BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

-PHẦN I KHÁI QUÁT CHUNG

Bài toán chứng minh thẳng hàng là một dạng toán khá quen thuộc, nhất làtrong các đề thi học sinh giỏi Nhưng khi gặp dạng toán này, nhiều học sinh tỏ rarất lúng túng Để loại bỏ sự lúng túng ấy, ở chuyên đề sau đây, tôi đã thống kê một

số hướng cơ bản để giúp học sinh tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng, kèmtheo là một số ví dụ minh họa Sự phân loại các phương pháp trong chuyên đề chỉmang tính cá nhân

Một số hướng tiếp cận cơ bản khi gặp bài toán chứng minh thẳng hàng:

1 Hướng 1: Sử dụng góc bù

2 Hướng 2: Sử dụng tính chất của hình bình hành

3 Hướng 3: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song

4 Hướng 4: Sử dụng các tính chất của đường tròn

5 Hướng 5: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau

6 Hướng 6: Thêm điểm

-1

-PHẦN II PHƯƠNG PHÁP CỤ THỂ VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

I Hướng thứ nhất: Sử dụng góc bù

+ Nếu có ABx xBC   180 0 thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó

+ Tổng quát: Nếu quay xung quanh điểm A các tia AB1, AB2, , ABn lần lượt theo

 M là trung điểm của AF (t/c hình bình hành) và EF = DA = BA

Mặt khác EA = CA (gt); AEF = CAB (Cùng bù với DAE)

Cho ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC

E, F thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AB, AC, gọi H là trực tâm ABC.Chứng minh rằng E, H, F thẳng hàng

Giải

Gọi B’ là giao điểm của BH và AC;

1

1 2 3 M

-A’ là giao điểm của AH và BC

Tứ giác HA’CB’ nội tiếp

H A CB BCA BMA BEA 

(t/c đối xứng trục)

 Tứ giác AHBE nội tiếp

EHB EAB MAB   

Tương tự ta có: A HC'  ABC CHF,  MAC

EHB H A HC CHF MAB ACB ABC MAC  

= ACB ABC BAC     180 0

 EHF  180 0  E, H, F thẳng hàng

* Đường thẳng đi qua 3 điểm E, H, F nói trên có tên là đường thẳng Steiner ứng với điểm M.

* Việc chứng minh các điểm E, H, F nói trên thẳng hàng cũng được đề cập trong

đề thi Olympic Japan 1996:

Cho tam giác ABC, M là điểm trên đường tròn (ABC) Gọi K, P, Q lần lượt là cácđiểm đối xứng của M qua BC, CA, AD Chứng minh P, K, Q nằm trên một đường thẳng và luôn đi qua một điểm cố định, không phụ thuộc vào điểm M thay đổi trên

đường tròn (ABC) (Olympia Japan 1996).

II Hướng thứ hai: Sử dụng tính chất của hình bình hành

Có thể sử dụng tính chất : hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó, nếu chứng minh được tứ giác ABCD là hình bình hành và O là trung điểm của AC thì B,O,D thẳng hàng.

A

Gọi D, E, F thứ tự là trung điểm BC, CA, AB

 EF là đường trung bình của ABC và MB1C1 (suy từ giả thiết)

III Hướng thứ ba: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song

Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất

một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song với một đường thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng.

A

C B

A

1

 MN // AB; MP // AB; MQ // CD hay MQ // AB.

 M, N, P, Q thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít)

-5

Q P

N M

B A

Q

P

N M

D

E

C B

A

H

-Kết hợp với (1), (2) ta có

M, N, Q thẳng hàng và M, Q, P thẳng hàng (tiên đề Ơclít)

Do đó M, N, P, Q thẳng hàng

IV Hướng thứ tư: Sử dụng các tính chất của đường tròn

Khi B là tâm của đường tròn đường kính AC, hoặc các đường tròn tâm A và đường tròn tâm C tiếp xúc nhau tại B thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.

Ví dụ 7 Cho (O) đường kính AB Điểm M chuyển động trên (O), M ≠ A; M ≠ B.

Kẻ MH vuông góc với AB Vẽ đường tròn (O1) đường kính MH cắt đường thẳng

MA và MB tại C và D Chứng minh rằng:

a) C, D, O1 thẳng hàng

b) ABDC nội tiếp

Giải a) Ta có

AMB 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa (O))

2

KE KI  IE ECcắt (O) tại F.Chứng minh rằng D, O, F thẳng hàng

O

C

D M

B O

H A

1

KC IK KE IE CIE vuông tại C

 DCF  90 0  DFlà đường kính của (O)

 D; O; F thẳng hàng

V Hướng thứ năm: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau

Nếu 2 tia MA, MB trùng nhau hoặc đối nhau thì 3 điểm M, A, B thẳng hàng.

Ví dụ 9

Cho (O) đường kính AB Trên (O) lấy điểm D bất kỳ (khác A, B) Lấy điểm

C bất kỳ trong đoạn AB, kẻ CH  AD HAD Phân giác của BADcắt (O) tại E,cắt CH tại F Đường thẳng DF cắt (O) tại N Chứng minh N, C, E thẳng hàng

-7

1 2

N

F H

C O

2 1

F

C O

E K

B I

D

A

1

 FNC FNE  mà NC và NE cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ DN

 2 tia NC & NE trùng nhau  N, C, E thẳng hàng

Ví dụ 10

Cho ABC, đường tròn bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với tia AB tại N Kẻđường kính MN Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK = BN Chứngminh rằng K, C, M thẳng hàng

Giải

Gọi I, J thứ tự là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A, góc B của ABC

(I) tiếp xúc với BC và AC thứ tự tại P và H

(J) tiếp xúc với BC và BA thứ tự tại Q và K’

M Q J

I N

P

H

C B

A

- ICM  JCK  2 tia CK và CM đối nhau

 K, C, M thẳng hàng

V Hướng thứ sáu: Thêm điểm

Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng có thể xác định thêm điểm D khác A, B,

C sau đó chứng minh hai trong ba bộ 3 điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng.

Ví dụ 11

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo Điểm M trênđoạn OB, lấy E đối xứng với A qua M; H là hình chiếu của điểm E trên BC, vẽhình chữ nhật EHCF Chứng minh M, H, F thẳng hàng

-9

E O

F I H

M

B A

-Cho tứ giác ABCD nội tiếp đương tròn (O) Gọi E là giao điểm của AB và

CD Gọi F là giao điểm của AC và BD Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhautại M Chứng minh rằng E, M, F thẳng hàng

2sđBC) và BDE BKE  (2 góc nội tiếp chắn BE)

 BKM  BKE  2 tia KE và KM trùng nhau  K, E, M thẳng hàng (1)Tương tự ta có: CKF CKM    2 tia KF và KM trùng nhau

B

D A

-Định lý Mênêlauýt: Cho ABC và 3 điểm A’,B’, C’ lần lượt nằm trên các đường

thẳng BC; CA, AB sao cho chúng đều nằm trên phần kéo dài của cả 3 cạnh của tam giác hoặc chỉ một trong 3 điểm đó nằm trên phần kéo dài của cạnh tương ứng

mà thôi Điều kiện cần và đủ về A’,B’, C’ thẳng hàng là '. '. ' 1

AB CA BC

B C A B C A  .

* Chứng minh điều kiện cần:

Kẻ AD  A’B’ ; BE  A’B’ ; CF A’B’

A B BE

' '

B’AC; C’AB, ta chứng minh A’, B’ C’ thẳng hàng

Gọi giao điểm của A’B’ với AB là C’’

Theo điều kiện cần ta có: '. '. '' 1

Giải

+ Xét 3 đường tròn (O1; r1); (O2; r2); (O3; r3)

Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP

-11

A

B

C A'

-+ Giao điểm 2 tiếp tuyến chung ngoài của (O1; r1) và (O2; r2) là C

Giao điểm 2 tiếp tuyến chung ngoài của (O1; r1) và (O3; r3) là B

Giao điểm 2 tiếp tuyến chung ngoài của (O2; r2) và (O3; r3) là A

Nhận thấy O1, O2, C thẳng hàng (suy từ t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

3 2

1

o o

Gọi D là giao điểm của CO và AB;

K là giao điểm của BO và AC;

M là giao điểm của EB và GC

-13

K

H O

G I

F

C B

A

-PHẦN III MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Xét ABC có các đường cao AF, BD, CE

cắt nhau tại H , kẻ AM và AN là hai tiếp tuyến

của đường tròn (O) đường kính BC

Kết hợp với (*) ta có: ANM  ANH  AFN  H MN

+ Nếu  ABC vuông tại B hoặc C thì HM hoặc HN ta có điều phải chứng minh

* Việc chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng nói trên cũng đã được đề cập đến

trong nội dung câu 4.b đề thi HSG cấp tỉnh năm 2012 – 2013 của tỉnh Vĩnh Phúc.

Bài 2:

Từ một điểm D nằm ngoài đường tròn (O) đường kính BC, kẻ hai tiếp tuyến

DE và DF với (O) (E, F là tiếp điểm) Trên đường thẳng EF lấy điểm A ở phíangoài (O) kẻ tiếp tuyến AN với (O) ( N là tiếp điểm)

Chứng minh D, N, H thẳng hàng (H là trực tâm ABC)

Giải

Kẻ tiếp tuyến AM ( M  (O))

Gọi giao điểm của AO và MN là I

 AN2 = AE.AF

Mà AN2 = AI.AO ( Hệ thức trong tam giác vuông)

O

N M

A

O

N M

I

F

E D

C B

A

- AE.AF = AI.AO - AE AI

AO AF

 AIE ~ AFO ( cgc)

 Tứ giác EIOF nội tiếp

 D,E,I,O,F thuộc đường tròn đường kính OD

AIE MIO   90 0  D,M,N,I, thẳng hàng

Mặt khác M,H,N thẳng hàng (Kết quả bài tập 1)  D,N,H thẳng hàng

Bài 3: (đường thẳng Sim sơn)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M là một điểm tuỳ ý thuộc đường tròn (O) Gọi A1, B1 C1 thứ tự là hình chiếu của M trên BC, CA, AB.Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng

Giải

Không mất tính tổng quát giả sử M BC

BC M BA M  (Suy từ giả thiết)

MA1C1B nội tiếp  

MA C MB C  (suy từ giả thiết)

MA1CB1 nội tiếp   

Lấy điểm B2, C2 đối xứng với M qua AC, AB

Ta có AMB ACB  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

 C2; H; B2 thẳng hàng  B1C1 là đường trung bình của tam giác MB2C2

 B1C1 đi qua trung điểm của MH

-PHẦN IV MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Hãy lựa chọn phương pháp hợp lí để chứng minh các điểm thẳng hàng

trong các bài tập dưới đây

1) Cho ABC nhọn nội tiếp (O), trực tâm H Gọi I là trung điểm BC và A’

là điểm đối xứng của A qua O CMR: H, I, A’ thẳng hàng

2) Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), đường tròn (O1) đi qua A và C cắt

BA, BC thứ tự tại các điểm K, N; đường tròn (O2) đi qua B, K và N cắt (O) tạiđiểm thứ hai M (khác B) Gọi I, J thứ tự là trung điểm của BO1 , BM

5) Cho ABC nội tiếp (O), trực tâm H, M là điểm bất kỳ trên cung BC

không chứa A Gọi N, E thứ tự là điểm đối xứng của M qua AB và AC

CMR: N, H, E thẳng hàng

6) Cho  ABC nội tiếp (O) Lấy D thuộc cạnh AC (D ≠ A; D ≠ C) Đường

thẳng BD cắt (O) tại F Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua

F vuông góc với FC cắt tại P Hãy CMR: P, D, O thẳng hàng

Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP

-17

1 2

1

M

I P

N A

-PHẦN V MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẲNG HÀNG TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH THPT CHUYÊN

Bài 1 (ĐTS THPT chuyên năm 2005)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường phân giác trong cắt nhau tại

I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt (O) thứ tự tại M;N;P

a) Chứng minh tam giác NIC cân tại N

b) Chứng minh I là trực tâm tam giác MNP

c) Gọi E là giao điểm của MN và AC; F là giao điểm của PM và AB Chứng minh E,I,F thẳng hàng

d) Gọi K là trung điểm của BC Giả sử BI  IK và BI = 2.IK thì BAC= ?

Giải

a)  1

2

NICNCI  sđPAN nên NIC cân tại N

b) Do  NIC cân tại N nên NI=NC (1)

tương tự MIC cân tại M

nên MI=MC (2) từ (1) (2)

ta có MN là trung trực của IC MNPC

tương tự BNPM, AMPN

mà AM,BN,CP cắt nhau tại I

Nên I là trực tâm của MNP (đpcm)

-19

-Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Vẽ tia Cx  AB Trên Cxlấy hai điểm D và E sao cho D nằm trong đoạn CE và CE CA 3

CB CD  Đường tròn(O1) ngoại tiếp tam giác ACD cắt (O2) ngoại tiếp tam giác BEC tại điểm H (H ≠ C)CMR: a) Ba điểm A, H, E thẳng hàng

b) H thuộc đường tròn đường kính ABc) Đường thẳng đi qua hai điểm H và C luôn đi qua một điểm cố địnhkhi C di chuyển trên đoạn thẳng AB (C ≠ A; C ≠ B)

AHB  (suy ra từ chứng minh trên)  H thuộc đường tròn đường kính AB

c) CBE vuông tại C  tan CBE· CE 3

CBE E BHC Gọi F là giao điểm của HC và đường tròn đường kính

AB BHF  30 0  sđ BF  60 0mà B cố định  HC đi qua điểm F (cố định) khi C

di chuyển

Bài 3: ( ĐTS THPT chuyên năm 2008)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và C là điểm chính giữa của cung

AB Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC Đường thẳng đi qua hai điểm A và K

C

K E

F

2 1

O

B

-cắt (O) tại M (M≠A) Kẻ CH  AM (H  AM) Đường thẳng OH -cắt đường BC tại

N Đường thẳng MN cắt (O) tại D (D ≠ M) CMR:

)90(

)(

AMB AM

BM

gt AM

CMH  nên CHM vuông cân tại H=> CH=HM

xét 2 tam giác OCH ; OHM có:

) ( )

(

) (

) (

c c c OHM OHC

chung

OH

cmt HM

C

O

OM OC

OH là trung trực của CM,mà N thuộc OH nên NC=NMNên CNM cân tại N ,nênCMN  MCN sđCD = sđ BM

MCB CBD BD CM

   từ (3),(4) ta có D,H,B thẳng hàng (đpcm)

Bài 4 ( ĐTS THPT chuyên năm 2009)

Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A, B và trung điểm cung AB) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên

AB Đường tròn (O1) đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn (O2) đường kính BHcắt CB tại F

1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp

2) Gọi (O3) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng

3) Gọi S là giao của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của

SC với đường tròn (O) Chứng minh KE vuông góc với KF

Giải

1) Dễ chứng minh tứ giác CEHF là hình chữ nhật

Ta có CFE· = EAB· ( cùng bằng CHE)

nên tứ giác AEFB nội tiếp

2) Kẻ trung trực EF cắt HD tại O3’

chứng minh O3’ là tâm đường tròn

ngoại tiếp tứ giác AEFB

Chứng minh được CD EF

Trong tam giác CHD có IO3’là đường trung bình nên O3’O AB mà OA=OB nên

O3’O là trung trực của AB nên O3’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, tức

là O3’trùng với O3

Hay H,O3 ,D thẳng hàng

3) BFS· = BKS· (= CAB· ) nên tứ giác BFKS nội tiếp suy ra FKS FBA

mà FBA CEF  nên FKS CEF  nên tứ giác CEFK nội tiếp

1

K

S

O3 I

D

F E

-Suy ra EKFECF  90 0 hay FK vuông góc với EK

Bài 5 ( HSG Vĩnh Phúc năm 2010-2011)

Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Đường thẳng vuông góc với BC tại C

cắt đường thẳng BH ở D, đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng

CH tại E Gọi M N, theo thứ tự là trung điểm của BE CD,

1 Chứng minh rằng H M N, , thẳng hàng.

2 Đường thẳng MN cắt trung tuyến AL của tam giác ABC tại P

Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc với BC

Giải

B 1

C 1 P

L

H

N M

E

D A

1) Gọi B C1 , 1 là chân các đường cao kẻ từ B C, của tam giác ABC.

Khi đó do tứ giác AB HC1 1 nội tiếp, nên CHDCHB1 C AB1 1 BAC (1)

Từ (1) và (2) suy ra các tam giác ABC HCD, đồng dạng Từ đó, do AL HN, theo thứ

tự là trung tuyến của hai tam giác đó, nên ALB~ HNC

Từ đó, do NCLB CH, BA nên HN AL(3)

Tương tự cũng có HM AL(4)

Từ (3) và (4) suy ra H M N, , thẳng hàng Hơn nữa MN AL

2) Do LPNLCN  900 nên tứ giác LPNC nội tiếp, suy ra

-23

-Khi đó CBPCHN BALBAP Suy ra đường tròn ABP tiếp xúc với BC.

PHẦN VI KẾT LUẬN CHUNG

Qua quá trình nghiên cứu chuyên đề, trong quá trình trực tiếp giảng dạy bồidưỡng học sinh giỏi lớp 9 dự thi học sinh giỏi các cấp, bồi dưỡng học sinh dự thivào các trường chuyên lớp chọn, tôi thấy:

Phần chuyên đề: “Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh ba điểm

thẳng hàng” đã phát huy tính sáng tạo của học sinh Các em đã biết vận dụng kiến

thức cơ bản vào việc giải các đề thi đạt kết quả đồng thời tham gia tích cực vàoviệc giải các bài trên hai tạp chí Toán học & tuổi trẻ, Toán tuổi thơ 2

Nhờ có quá trình thường xuyên tích luỹ kinh nghiệm tự học tự rèn học hỏiđồng nghiệp tôi thường xuyên bổ sung, hoàn thiện nâng cao chất lượng của chuyên

đề để chuyên đề ngày càng phát huy hiệu quả cao hơn Chất lượng học sinh giỏicấp huyện cấp tỉnh, học sinh thi đỗ vào các trường chuyên tăng cao

Kết quả đạt được khi áp dụng chuyên đề (đối với năm học 2012 – 2013):

Số lượng HS

trong đội tuyển

Số lượng HSG Cấp Huyện

Số lượng HSG Cấp Tỉnh

Số lượng HS thi đỗ THPT Chuyên Toán (Chuyên VPhúc)

Số lượng HS thi

đỗ THPT Chuyên (Chuyên khác)

7(trong đó có

01 giải Nhất)

8(trong đó có 01thủ khoa)

4

Bình Xuyên, tháng 02 năm 2014

-25