Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá triị nhỏ nhất

Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá triị nhỏ nhất

Bài giảng số 7 BAT BANG THUC VA GIA TRI

LON NHAT, NHO NHAT CUA HAM SG

Bắt đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số luôn là một chủ để hap dan trong chuong trình giảng dạy và học tập của bộ môn Toán ở nhà trường phô thông Trong các đề thi môn Toán của các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đăng, các bài toán thuộc dạng này luôn có mặt, đặc biệt trong những năm gân đây nó đều thuộc vào những bài toán khó (thường xuất hiện ở câu 5)

Bài giảng này đề cập đến những phương pháp cơ bản và thông dụng nhất đề chứng minh bât đăng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

§1 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CHỨNG MINH BAT DANG THÚC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Các kiến thức cơ bản

Bat dang thức Cósi cho hai hoặc ba số

a/ Nếu a, b là các số không âm, khi đó ta có:

a+b

at"

Dau bang trong (1) xay ra <> a=b

b/ Néu a, b, c la cac số không âm, khi đó ta có:

arbre, > Yabo (2)

Dấu bằng trong (2) xay ra <> a= b=c

Một dạng thông dụng cua bát đăng thức Côsi

a/ Nêu a, b là các sô dương, thì

Loại I: Các bài toán sử dụng trực tiếp bất đăng thức Côsi

Đặc điểm của những bài toán này là có thể sử dụng trực tiếp ngay bất dang thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức trong để, mà không qua các phép biến đôi

115

trung gian phức tạp Với những bài toán này các số a, b (hoặc a, b, c) trong các bất

đăng thức Côsi cho hai số (hoặc ba số) có thể lựa chọn được ngay từ đầu bài Thí dụ 1 (Đề thi tuyén sinh Đại học khối B - 2005)

Chirng minh rang với mọi x € R, taco:

Dau bang trong (2) cũng như trong (3) Xây ra > x=0

Từ (1) (2) Ó) suy ra (sau khi cộng từng ve với về của ba bất đăng thức)

(2) (2) (2) Jeatsese)

(2) (2) (2) 23% +4* +5* (4) 5 4 3)

Dấu băng trong (4) xây ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng xảy ra trong

(1) (2) (3) tite 1a khi va chi khi x =0

Nhận xét:

Dạng tông quát của bài toán trên là: Nếu a, b, c > O thi:

a+b+c>Vab+Vbc + Vea

Thi du 2: (Đê thí tuyển sinh Đại học khối D — 2005)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:

flex? +y ` Ixy tr vi+2 +x? >3y3

lexi ty? 233Lxty® =3xy

116

Từ đó suy ra:

3 3

ýjl+x +y >

xy Dau bang trong (1) xay ra = | =x'=y'o x=y

Lập luận hoàn toàn tương tự ta có:

(do xyz = 1) Dau bang trong (Š) xảy ra ©x=y=z= Ì

Tir (4) (5) suy ra:

Do x, y > 0, nén hién nhién ta co:

(x —y)(1-xy)]s|(x + y)(1+ xy)] =(x + y)(1+ xy)

l ] 1

Từ (1)(2) suy ra: (1) (2) suy ra: | P| 4 |P|<— >m-—<P<-— @): 2 a8)

KẾt hợp với khi x = 1,y =0, thi P=,

khi x= 0, y =l, thi P=-— 4

Tóm lại, P đạt giá trị lớn nhật = 4 và đạt giá trị nhỏ nhật khi P= -

Thí dụ 4: (Dé thi tuyễn sinh Đại học Sài Gòn khối A - B 2007)

Cho a, b, c là ba số dương thỏa man a “+b +c”=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

ab be ca

+, thức: P=——+——

v3

Vậy P nhận giá trị nhỏ nhất =3 khi và chỉ khi a= b= “>

Thi du 5: (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Su phạm Quảng Bình — 2006)

Cho a >0, b >0 Chứng minh 3a” + 7bỶ > 9ab’

Theo bat dang thtirc Cési ta cé

3a? + 7b? = 3a? + 3b? + 4b® > 34 36a°b® = 3ab7 936 (1)

Do ab’ >0, con 336 >3, nên từ (1) suy ra

3a°+ 4b’ > 9ab’ (2) Dau bing trong (2) xảy ra © abŸ = 0

Tức là trong | hai số a, b có Ít nhất một số bằng 0

Thí dụ 6 (Dé thi tuyển sinh Cao đẳng Cơ khí luyện kim -2006)

Cho a, b, c>0 Chứng minh

3 43 3 3% LP Ô€C >ab+bc+ca

ca

wid

_~ ua cho tuong duong voi bat đẳng thức sau:

(ai thi 4E): mm c (1)

b Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

Cộng từng về với về của (2) (3) (4) ta có:

VT (1) > 2(a’ + b? +c’) (5) Dấu bằng trong (5) xây ra <> đồng thời có dấu bằng trong (2) (3) (4)

«a=b=c

Lại theo bất đẳng thức Côsi ta có:

2(a +b? +c?)=(a? +b?}+(b? +c?)+ (c? +a *\> 2(ab + be + ca) (6)

Dau bang trong (6) xay ra <> a =b=c

_ 3x +4 2ry

Lai theo bất đăng thức Côsi ta có: i ta %533 422 3 @)

y 8 8 yv 8§ 4 Dấu bằng trong (3) xảy ra © + = : <=y=3

Dâu băng trong (4) xảy ra ©x +y =4

Theo bất đăng thức Côsi ta có:

PY, NEY 228 = pom x+y xy

âu băng xây ra <>

x? +y? = J3xy Thi du 9:

Cho x>0, y>0 va x"+y’ = 1 Chimg minh

s=(Ienfiets “oats |Niwa

Gia

Taco

=l+x+—+— Melee +y+#

l 1 l S=(I+x)it+— + —

“xi: rails x y y x x

{8} rd) GA 2x 2y y xX) 2\x x Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

l+x lI-r, In eel ars lty l+z

Do đó theo bất đăng thức Côsi, ta có:

——>2 l+y (I+z)(I+x}) ©) 2 1+ Leaf (t+z)(I+y} ©) 3

Dau bang trong x xay ra > X=ZVAX=y

Nhan ve voi vé (1) (2) (3) ta co:

Loại 2: Sử dụng bất đăng thức Côsi kết hợp với biến đổi đại số

Với các bài tập dạng này không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi để

chứng minh như các bài tập thuộc dạng 1 Để có thể sử dụng được bất đăng thức

Cési, trước hết ta cần thực hành các phép biến đôi đại số, mà chủ yếu là phép đặt

an phy Sau qua trình biến đổi ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng mà có thể sử dụng trực tiếp được bat đẳng thức Côsi

Thí dụ 1 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối 4-2007)

Cho x, y, z>0 va nye Tìm giá trị nhỏ nhật của biêu thức sau:

x?(y+z) y?(z+x) z?(x+y)

y y +222 Vz+2xVx z z+2yJy_

Giai

P=

Ap dung bat đăng thức Côsi ta có:

y+z>2yz> x?(y +z)>2x\|x?yz =2xJx (do xyz=1)

lí dụ 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A4 — 2009)

ho x>0, y>0, z>0 và thỏa mãn điều kiện x(x+y+z) =3xyZ

hứng minh:

(x+y)} +(x+y)} +3(x+y)(x+Z)(y+z)<5(y+z},

3ặta=x+y;b=x+zZ;¡c= vị khi đó ta có a>0,b>0,c> 0 và:

Tw gia thiét x(xt+y+z)=3yz, ta cd:

a+b-c a+b+c ,a+b-c b+c-a

©(a+b)c +3ab < 5e? (6) (do c>0)

Theo bat dang thức Côsi và theo (4) ta có:

3ab < “(3 + b}” <3c”

Từ (7) và do c>0 suy ra: (a + b)c < 2c?

Từ (7) (8) suy ra (5) ding = dpcm

(7) (8)

123

Ở đây ta sử dụng bất đăng thức Côsi dạng đơn giản nhất: a+b>2Vab với a,

b >0 Tuy nhiên, phương pháp biến đổi đại số để đưa bài toán về dạng có thê áp dụng được bất đăng thức Côsi mới quan trọng

Thí dụ 4: (ĐỀ thi tuyển sinh Đại học khối A — 2006)

Cho hai số thực x # 0, y Z 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện

(x + y)xy =x +y° — xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

at+b=at b’— ab = (a + by 3ab2 (a+ by —7 (at by =a+b>- (a+bŸ

=(a+b}” ~4(a+b)<0 =0 <a+b<4 3)

Từ (3) suy ra: A=(a+b}< 16 (4)

Dau băng trong (4) xảy ra <> at+b=4vaa=b @ x=y= 7

Tom laimin A= 16 @ x=y= 7

2\xy+y+l yz+z+! zx+x41 Dau bang trong (4) xay ra khi va chi khix=y=z=1

Vi xyz = 1 nén viet lại (1) dưới dạng:

Vay Prax 5 2 X= y=2=1,

Thi du 1: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối A — 2005)

“ L ác X+y xX+y 2xt+y+z (2)

Dấu băng của (1) xay ra <> y =z

Lai ap dung (1) ta có:

1 | 4 1 1 4 2 1 1 | ]

—+—>———- Và —+—> =—=+—+—>4 +

Dau bang trong (3) xay ra <> x=y=z

Từ (2) (3)tacó: “++L+L>_—16 —,

X y Z 2x+Yy+zZ Dau bang trong (4) xay a> X=y =z

2 Lập luận tương tự ta có: " 16

(2)

127

Theo bất đăng thức Côsi cơ bản thì (1) đúng => đpcm

Dấu bằng xảy ra © a=b=c

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta có:

l + I +—>2|—+—+-—|, ] ( I1 1 p-a p-b p-c

ở đây a, b, c là ba cạnh, còn p là nửa chu vi tam giác

Theo bất đăng thức Côsi cơ ban, ta có:

128

t+x Z+x X+Y+Z+t Y+Z

xX + +t

(X+YVZ*9) go pag, x+y+Z+t

Vay P > 0 Mặt khác chăng hạn khi x= y =z=t= l thì P= 0

Loại 4: Sử dụng phép thêm bớt khi sử dụng sử dụng bât đăng thức Côsi:

Có hai cách thêm bớt chính: thêm bớt hãng sô và thêm bớt biêu thức chứa biên Xét các thi dy minh hoa sau day |

Thi du I: (Dé thi tuyén sinh Cao dang khối A, B— 2005)

Cho x > 2, y> 3, z> 4 Tim giá trị lớn nhật của biêu thức:

_ xyvz—4 +yzVx -2 +zxJy-3

XYZ Giai

i bot hang sé va sir dung bat dang thirc Cési, ta vw

y Zz y~ Z xX Bang cach thém bét hang s6 va sir dung bất đăng thức Côsi, ta có:

Lại theo bát đăng thức Côsi ta có

2 v2 „2 x" +> +5 / 23 yy” Zz (5) l5 z? 4

Dấu bằng trong (5) xay ra > x=y=270

Tir (4) (5) suy ra:

21 Thí dụ S:

Ap dung bat dang thức Côsi, ta có:

x? ity bez, JJx +y)(+z) (+y)(+z) 8 8 - W64(I+y)(I+z)

3

(i+y)(l+z) 8 8 4 Lập luận tương tự, ta có:

Cộng từng về (1) (2) 3) va co: S> NEXT? (4)

Lại áp dụng bắt đăng thức Côsi, ta có:

x+y >2Jxysy+z>2/yzizt+x>2V2x Vay: x+y+z> vxy +jyz+ jzx =1.(5)

Tir (4) (5) suy ra: S > ; > đpcm

1

„3

Trong các thí dụ 6, 7, 8 ta đã sử dụng phép thêm bớt biêu thức chứa biên khi

sử dụng bât đăng thức Côsi

Dâu băng xảy ra > x =y=z=

Thí dụ ổ

Cho x, y z là ba số dương và J + J + +L =1 Chứng minh rằng:

3Ÿ 3Ÿ 3 9* 9 9” 3% +3% +37

Giải

Dat a=3*; b = 3°; c=3* => a,b, c>0

Tir gia thiét tacd: 3**) +39*? +34** = 3% & ab + bc + ca =abc (1)

Khi đó bat dang thức can chứng minh có dạng tương đương:

a’ + b? + c > a+b+c - a+bc b+ca c+ab 4

Dấu bằng xảy ra © a=b=c=3 ©x=y=zZ=]

§2 SU DUNG CHIEU BIEN THIEN HAM SO DE CHUNG MINH BAT DANG THUC VA TIM GIA TRI LON NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HAM SỐ

Đây là một trong những phương pháp cơ bản để chứng minh bắt đẳng thức

Để sử dụng phương pháp này người ta tiến hành như sau:

- Với mỗi bất đăng thức hãy chọn một hàm số thích hợp (các hàm số này

thường có thể thấy ngay từ đầu bài, hoặc sau một vài phép biến đổi đơn giản sẽ tìm được nó)

- Khảo sát chiều biến thiên hàm s số vừa tìm được trên miền xác định của nó

(miền xác định này được tìm thấy dựa vào điều kiện của đầu bài) Thông thường ta

sử dụng đạo hàm để lập ra bảng biến thiên

- Từ bước 2 sẽ cho ta lời giải của phép chứng minh bat đăng thức, hoặc giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số cần tìm

Thi du 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B- 2009)

Tim giá trị lớn nhật và nhỏ nhật của biêu thức:

A= 3x! tự +x? y ?)- 2(x?+y?]+I

với x, y là các số thỏa mãn điều kiện: (x+ y) +4xy>2

Giải ˆ Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên (x+ yy >4xy, nên từ

(xty)` + 4xy > 2 => @ty)Ì + (xty)’2 (xty)’ + dxy 22 => (xty)’ + @&ty) — 2 >0

=> [(x+y)-1][ (x+y) +(x+y)+2]>0 (1)

2

Do (xt yf a(ary)2=| (oy) 3] +250 va tir (1) suy ra: xty> 1 Vay néu cap (x, y) thỏa mãn yêu cau dau bai thi x + y> 1 (Q)

Ta biến đổi A như sau:

A= 3(x4 +y! +x ?y?)- 2(x?+y?)+1

Tom lai min A = 16 (và có thể thây điêu đó xảy ra > x=y= 5)

Thi du 2 (Dé thi tuyén sinh Đại học khối D - 2009) — -

Cho x, y > 0 và x † y = I Tìm giá trị lớn nhật và nhỏ nhật của biêu thức:

=16x"y* +12| (x+y) ~ 3xy | +34xy (do xty = 1)

=16x*y? -2xy +12 (1) (cũng đo x + y = 1)

Đặt xy = t ta có: (do x> 0; y= 0)

135

Thi du 3 (Dé thi tuyển sinh Cao đẳng khối 4, B — 2009)

Cho 0 <a< b< 1 Chứng minh: a” lInb— bỶ lna > na —Inb

ew +tt~-2Ẻlnt>0 = P(t)>0 VO<t<1

vay 1() là hàm số đồng biến trén (0;1) Do 0<a<b<1 nén

Ina Inb f(a) < f(b) hay —-—— <

y a’ el b7 41

Vay (1) dung => đpcm

Thí dụ 4: (Để thi tuyển sinh: Cao đẳng khối A, B — 2008)

Cho x, y là các số thực và thỏa mãn xỶ + y`=2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P= 2(x? + y)~3xy

Tir dé xét ham sé f(t) = ~t -st +6t+3 voi-2<t<2=> f(t) =-3t-3t+6

Ta có bảng biến thiên sau:

b a

Choa > b> 0 Ching minh rang: [2" +) <(2 +)

Thi du 5: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối B-2007)

Cho x, y, z >0 Tìm giá trị nhỏ nhật của biều thức:

P=x} ~+— ]+y} =+—— |+z}—+——~ ]

2 yz 2 Zx 2 xy

2 v2 32 v22, „2 zZˆ Xx +y°+Z

Vay f(x) la ham nghich bién khi x>0 Do a >b>0 nên ta co: f(a) < f(b)

Vậy (2) ding = dpcem Dâu băng xảy ra © a = b.-

15 3 1 Vay ay min minP=— 5 @ t= — {‹€©x=y=z=~ 5 =y 2

Thí dụ 7: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B - 2004)

2

` “2 get te Alo ` Âu ` Ặ nx

Tìm giá trị lớn nhật và nhỏ nhất của hàm số: y = trên đoạn [1;e?

Thi du 9: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B - 2003)

Vậy max y = y(V2)=2V2 3

Min y = min {y(—2);y(2)} = min {-2;2} =-2

Bình luận: Với các thí dụ 5, 7, 8, 9 việc sử dụng trực tiếp phương pháp chiều

biến thiên làm số đề giải bài toán là rõ ràng và quá đơn giản

Trong các thí dụ 4, 3, 2, 1 và 10 ta thường sử dụng đặt biến phụ để có hàm số

tương ứng Khi đặt ẫn phụ, điều lưu ý là cầm tìm miền xác định cho biến mới đó

Thi du 10: (Dé thi tuyén sinh Cao dang Giao thing Van tai — 2005) Cho x, y, 20 va xty=1 Tim gia tri lon nhat va nho nhat cua biéu thire:

§3 CAC PHUONG PHAP KHAC CHUNG MINH BAT DANG

THUC VA TIM GIA TRI LON NHAT, NHO NHAT CUA HAM SO

= max {f(1);f(3)} = max {4;10} =l0est=3e{

Trong mục này, chúng tôi để cập đến một số phương pháp khác để chứng

minh bất đăng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Mặc dù các bài tập

sử dụng những phương, pháp này hoặc là chưa có mặt, hoặc là có mặt chỉ một, hai lần trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng trong những năm gần đây

Nhưng chúng tôi nghĩ rằng phương pháp mà sắp được giới thiệu ở đây là rất có ích

trong việc chứng minh bất đăng thức và tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số Việc sử dụng nó để giải các bài toán trong các kì thi tuyến sinh sắp tới là khả

năng hoàn toan hiện thực và có tính khả thị lớn

a Phương pháp miễn giá trị hàm số để chứng mình bất đăng thức và tìm

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp này đặc biệt hữu hiệu để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số có dạng sau đây (hoặc các dạng khác mà có thê đưa về chúng):

f(x)= ay sinx + by COS X + C¡ f(x) = AC +b x+¢,

a, sinx + b, cosx +c a)x~ + box +c,

Để giải các bài toán này, ta tiến hành theo lược đỗ sau đây:

Giả sử yọ là một giá trị tùy ý của hàm số Khi đó phương trình sau (ấn x)