tim gia tri lon nhat nho nhat_Dai Hoc_new

Trần văn Đoàn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số A.Một số ph ơng pháp . Ph ơng pháp 1 : Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là một luỹ thừa bậc chẵn (là một biểu thức không âm) rồi tuỳ theo dấu đặt trớc số hạng đó là dơng (hay âm) mà biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất). Chẳng hạn: A= (ax + b) 2 + m m Thì Min A = m khi và chỉ khi x = - a b A = - (ax + b) 2 + M M Thì Max A = M khi và chỉ khi x = - a b Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp tìm Tập giá trị của hàm số Giả sử ta phải tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x). - Tập hợp D gồm tất cả các giá trị của đối số x để f(x) xác định , đợc gọi là tập xác định của hàm số f(x) - Tập hợp tất cả các giá trị của f(x) khi x nhận mọi giá trị trong miền D đợc gọi tập xác định của hàm số f(x) - Giả sử trên tập xác định D , hàm số y = f(x) có tập giá trị là đoạn [ m, M] tức là m y M .Thế thì : m là giá trị nhỏ nhất của hàm số M là giá trị lớn nhất của hàm số Ta ký hiệu nh sau: Min y = m ; Max y = M D D Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp dùng bất đẳng thức Côsi (Cauchy) Trung bình cộng của hai số không âm nhỏ hơn trung bình nhân của hai số đó Với a 0 , b 0 ta có 2 ba + ab Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b *Hệ quả 1. Nếu a + b = S (Constant) thì ab 2 S ab 4 2 S Vậy ab đạt giá trị nhỏ nhất 4 2 S a = b Nếu hai số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau *Hệ quả 2 1 Trần văn Đoàn Nếu ab = P (Constant) thì a + b 2 P . Vậy a + b đạt giá trị nhỏ nhất 2 P khi và chỉ khi a = b Nếu hai số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau Ph ơng pháp 4 : Sử dụng tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [ a; b ] - Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ a ; b] thì: Min y =f(a) ; Max y = f(b) - Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ a ; b] thì ; Min y = f(b) ; Max y = f(a). B.Ví dụ: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau: a) x 2 + 2x + 5 b) 2x 2 x + 3 c) 1 1 2 + xx d) 12 5 + x Giải: a) x 2 + 2x + 5 = -x 2 + 2x 1 + 6 = - ( x 2 + 2x + 1) + 6 = - (x- 1) 2 + 6 6 Vậy x 2 + 2x + 5 đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 1 b) 2x 2 x + 3 = 2( x 2 - 2 1 x) + 3 = 2(x 2 - 2 1 x + 16 1 - 16 1 ) + 3 = 2 16 1 ) 4 1 ( 2 x + 3 = 2(x - 4 1 ) 2 - 8 1 + 3 = 2(x - 4 1 ) 2 + 8 23 8 23 Vậy 2x 2 x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 23 khi x = 4 1 c) 1 1 2 + xx = 4 3 4 1 1 2 ++ xx = 4 3 ) 2 1 ( 1 2 + x 4 3 1 = 3 2 = 3 32 ( vì mẫu số 4 3 4 3 ) 2 1 ( 2 + x ) ở đây ta áp dụng tính chất : Nếu phân số dơng có tử là hằng số thì phân số đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi mẫu đạt giá trị nhỏ nhất Vậy 1 1 2 + xx đạt giá trị lớn nhất bằng 3 32 khi x = 2 1 2 Trần văn Đoàn d) Với điều kiện x 1 thì 01 x 2 5 12 5 12 1 212 + + + xx Các đẳng thức bất đẳng thức cần học thuộc lòng (a+b+c) =a +b +c +2(ab+bc+ca)= a +b +c +a(b+c)+b(a+c)+c(a+b) (a+b-c) =a +b +c +2ab-2bc-2ca (a-b-c) =a +b +c -2ab+2bc-2ca ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x) = 3x + y + 3z − ( x + y + z) a +b +c ≥ ab+bc+ca ( a + b + c ) ≥ 2(a + b + c ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  a + b + c ≥ 2(a + b + c ) a +b +c ≥ a b +b c +c a ≥ abc(a+b+c) (a+b+c) = [(a − b) + (b − c) + (c − a) ] + 3(ab + bc + ca) 4 2 2 2 2 2  (a+b+c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)  ab + bc + ca ≤ ( a + b + c) ( ab + bc + ca ) = a b + b c + c a + 2abc( a + b + c ) 10 Nếu a, b ∈ [α ; β ]  (β − a)(β − b) ≥  ab − β (a + b) + β 2 2 2 2 Đặt S=a+b; P=a.b  P − βS + β ≥  P ≥ βS − β Ta có a2+b2=S2-2P ≤ S − 2( βS − β )  a2+b2 ≤ S − βS + β S2 Mặt khác ab ≤ ( a + b) ⇒ P ≤ 4 (a − α )(b − α )(c − α ) ≥ a , b , c ∈ [ α ; β ] Nếu  ( β − a )( β − b)( β − c) ≥  11 [ ab − α ( a + b) + α ](c − α ) ≥  [ ab − β (a + b) + β ]( β − c) ≥ 2 abc − α ( ab + bc + ca) + α (a + b + c) − α ≥ (1)  − abc + β (ab + bc + ca) − β (a + b + c) + β ≥ (2) Lấy (1)+(2) ta  ( β − α ) (ab + bc + ca ) + (α − β )(a + b + c ) + β − α ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ( )( 2 2 2 2 (x1y1+x2y2+x3y3+…xnyn)2 ≤ x1 + x2 + x3 + + xn y1 + y2 + y3 + + yn Dấu “=” xảy ⇔ x x1 x2 x3 = = = = n y1 y2 y3 yn ) ≥0 12 13 14 a + b2 ≥ ( a + b) 2 a2 + b2 4≥ a +b ( a + b) 4 ≥ a +b ( ) Áp dụng bất đẳng thức côsi ≥ n n a1.a2 a3 an a1+a2+a3+…+an 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Với a1, a2, a3, …, an không âm a+b ≥ ab a+b ab ≤ ab ≤ ( a + b) Với a,b không âm Với a,b không âm 2ab ≤ a + b ab ≤ a + b2 a+b+c ≥ abc Với a,b,c không âm (a + b + c)3 ≥ 27 abc abc ≤ (a + b + c) 27 Với a,b,c không âm a3+b3+c3 ≥ 3abc a+b+c ≥ a (b + c)  Với a,b,c không âm a 2a ≥ b+c a+b+c a t ≥ t + , ∀t ≥ a > Chứng minh Đặt f(t)=at-t-1 f’(t)=at.lna-1>0 ∀t ≥ a >  hàm số đồng biến t ≥  f(t) ≥ f(0) at-t-1 ≥ 0 a t ≥ t + 1 + ≥ Với a,b>0 ab ≥ 1 + a + b + ab 26 27 28 A + B ≥ A+ B x− y + y−z ≥ x− y+ y−z = x−z = z−x Với a,b,c không âm Giá trị lớn – nhỏ 1) Trung học phổ thông quốc gia_năm 2015 Cho số thực a,b,c thuộc đoạn [1,3] thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức a b + b 2c + c 2a + 12abc + 72 P= − abc ab + bc + ca Giải: Đặt t=ab+bc+ca Tìm điều kiện t Cách 1 2 Tạ có: (a+b+c)2= [(a − b) + (b − c ) + (c − a ) ] + 3t ≥ 3t  62 ≥ 3t  t ≤ 12 (*) Cách t= ab + bc + ca ≤ ( a + b + c )2 = 12 Mặt khác: (a-1)(b-1)(c-1) ≥ 0 (ab-a-b+1)(c-1) ≥ abc-(ab+bc+ca) +(a+b+c) +1 ≥  abc-t+6+1 ≥  abc ≥ t-5 (1) Ta lại có: (3-a)(3-b)(3-c) ≥  (9-3a-3b+ab)(3-c) ≥  27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ca)-abc ≥  27-9.6+3t-abc ≥  3t-27 ≥ abc (2) Từ (1) (2) 3t-27 ≥ t-5 t ≥ 11 (**) Từ (*) (**) 11 ≤ t ≤ 12 Ta có : ( ab + bc + ca )2 = a b + b c + c a + 2abc( a + b + c )  t2= a b2 + b c + c2 a + 12abc P= t + 72 − abc t  P≤ t + 72 − t + t P ≤ 2t + 144 + t (5 − t ) 2t  P≤ t + 5t + 144 2t Xét hàm số f(t)= 5−t (vì (1) -abc ≤ −t +  − abc ≤ ) 2 t + 5t + 144 , với t ∈ [11;12] 2t Học sinh tự làm: Max f(t)= 160 t=11 11 160 11 160 160 P= a = 1, b = 2, c = Vậy maxP = 11 11 2) Trung học phổ thông quốc gia_năm 2015_lần 1  Cho số thực a,b thỏa mãn a,b ∈  ;1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2  P=a5b+ab5+ -3(a+b) a + b2 Giải: Đặt S=a+b; P=a.b 1  Vì a,b ∈  ;1  S∈ [1;2] 2  Do a,b ≤ nên ta có (1-a)(1-b) ≥ 0 1-(a+b)+ab ≥ ab ≥ a+b-1 P ≥ S-1 Ta có: a2+b2=S2-2P ≤ S − 2( S − 1) [vì P ≥ S-1 -2P ≤ -(2S-1)]  a2+b2 ≤ S − S + 6 ≥  2 a +b S − 2S +  P≤ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ( )( 2 2 2 2 (x1y1+x2y2+x3y3+…xnyn)2 ≤ x1 + x2 + x3 + + xn y1 + y2 + y3 + + yn Dấu “=” xảy ⇔ ) x x1 x2 x3 = = = = n y1 y2 y3 yn (1.a2+1.b2)2 ≤ (12+12)[(a2)2+(b2)2] a2 + b2 4  a +b ≥ (1) 2 S2 ( a + b) 2 2 Tương tự: a + b ≥ a +b ≥ 2 S  a2 + b2 ≥ S4 a + b2  (2) ≥ S4 Từ (1) (2) a4+b4 ≥ ( ( ) ) ( ) Mặt khác: a5b+ab5=ab(a4+b4)=P(a4+b4) ≥ (S-1)  P ≥ (S-1) S4 + -3S S − 2S + S4 (vì P ≥ S-1 chứng minh trên) S5 S4 -3S+ S − 2S + 8 S S Đặt f(S)= -3S+ với S ∈ [1;2] S − 2S + 8 12( S − 1) < , ∀ S ∈ [1;2] nên hàm số nghịch biến f’(S)= 5S − S − 24 − ( S − S + 2) Do đó: S ≤ 2 f(S) ≥ f(2)=-1  P ≥ -1 P=-1 a=b=1 Vậy P=-1 3) Đại học khối A_năm 2014 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức x2 y+z + yz P= + − x + yz + x + x + y + z + Giải: Cách 1:  P≥ ( ) Áp dụng bất đẳng thức 2ab ≤ a + b 2 2 2 Ta có : 2x(y +z) ≤ x2 + (y + z)2 = x + y + z + yz Thay x + y + z = 2x(y +z) ≤2 + 2yz ⇒ yz + ≥ x(y + z) x2 x2 x2 x = ≤ = Ta có: x + yz + x + x + x + yz + x + x + x( y + z ) x + y + z + x y+z + yz + − Do P ≤ x + y + z +1 x + y + z +1 x+ y+z + yz − P≤ x + y + z +1  1 + yz  + P ≤ 1−  ÷   x + y + z +1 Theo BĐT Bunhiacopxki ta có : 1.x + 1.( y + z ) ≤ (12 + 12 )[ x + ( y + z ) ] ⇔ x + y + z ≤ 2( x + y + z + yz ) thay x + y + z = ⇔ x + y + z ≤ 2(2 + yz ) ⇔ x + y + z ≤ + yz  1 + yz  +  P ≤ −    + yz + 1 + yz u2 + ≥ ,∀u = + yz ≥ Do : T = = + + + yz 2u + 9 ⇒ P ≤ 1− = 9 Khi x = y = z = hay x = z = y = P = Vậy Max P = Cách 2: x2 y+z + yz P= + − x + yz + x + x + y + z + Biết x + y + z = x,y,z ≥ Tìm PMax=? Giải: Ta có: ≤ ( x ... LUYỆN THI ĐH- CĐ Thầy giáo Lê Văn Tiến Bài tập trắc nghiệm phần: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Họ và tên học sinh : …… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lớp: 12 . . . . . . 1. Hàm số 2 2 y 4 x 2x 3 2x x= − + + − đạt GTLN tại hai giá trò x 1 , x 2. Ta có x 1. x 2 bằng: A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 2. Gọi M là giá trò lớn nhất và m là giá trò nhỏ nhất của hàm số 2 x 1 y x x 1 + = + + . Thì M - m gần nhất với số nào: A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 3. Giá trò lớn nhất của hàm số y = sinx + cosx là: A. 2 B. 1 C. 2 D. 2 2 4. Gọi M là GTLN và m là GTNN của hàm số 2 2 2x 4x 5 y x 1 + + = + , trong các mệnh đề sau hãy tìm mệnh đề đúng: A. M = 2; m = 1 B. M = 0, 5; m = - 2 C. M = 6; m = 1 D. M = 6; m = - 2 5. Hàm số y = 2ln(x+1) - x 2 + x đạt GTNL tại x bằng: A. e B. 1 C. 2 D. Không có GTLN 6. Hàm số f(x) = 2cos 2 x + x, với 0 x 2 π ≤ ≤ đạt GTNL tại x bằng: A. 12 π B. 5 12 π C. 5 6 π D. 6 π 7. Phương trình x 3 + tgx = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc [ ; ]−π π : A. 1 B. 2 C. 3 D. vô số nghiệm 8. Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R. Chu vi hình chữ nhật lớn nhất khi tỉ số MN MQ bằng: A. 2 B. 4 C. 1 D. 0,5 9. Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số y = x 3 - 3x 2 - 9x + 35 trên đoạn [-4; 4] là: A. GTLN bằng 15; GTNN bằng 8 B. GTLN bằng 15; GTNN bằng -41 C. GTLN bằng 40; GTNN bằng -41 D. GTLN bằng 40; GTNN bằng 15 10. Giá trò nhỏ nhất của hàm số 3 1 a y = tg x- +2, 0< x < là một phân số tối giản . cosx 2 b π    ÷   Ta có a + b bằng: A. 30 B. 40 C. 50 D. 20 11. Trong hệ toạ độ Oxy cho parabol (P): y = 1 - x 2 . Một tiếp tuyến của (P) di động có hoành độ dương cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại A và B. Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi hoành độ của điểm M gần nhất với số nào dưới đây: A. 0,9 B. 0,7 C. 0,6 D. 0,8 12. Cho hàm số y = sin 4 x - cos 2 x. Tổng GTLN và GTNN của hàm số là: A. 5 4 − B. 1 4 − C. 2 D. 0 13. Xét lập luận sau: Cho hàm số f(x) = e x (cosx - sinx + 2) với 0 x≤ ≤ π (I) Ta có f'(x) = 2e x (1 - sinx) (II) f'(x) = 0 khi và chỉ khi x 2 π = (III) Hàm số đạt GTLN tại x 2 π = (IV) Suy ra ( ) 2 f(x) e , x 0; π ≤ ∀ ∈ π Trang 1 Q P N M LUYỆN THI ĐH- CĐ Thầy giáo Lê Văn Tiến Lập luận trên sai từ đoạn nào: A. (IV) B. (II) C. (III) D. Các bước trên không sai 14. Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số y = sinx + cosx là: A. GTLN bằng 2; GTNN bằng 0 B. GTLN bằng 2; GTNN bằng -2 C. GTLN bằng 2; GTNN bằng - 2 D. GTLN bằng 1; GTNN bằng -1 15. Giá trò nhỏ nhất của hàm số y = x 3 (x - 4) là: A. -9 B. -27 C. -18 D. Không tồ tại GTNN 16. Giá trò lớn nhất của hàm số 2 y 3 2x x= − − là: A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 17. Hàm số 3 2 3 2 1 1 1 y x x 2 x , x 0 x x x     = + − + − + >  ÷  ÷     có GTLN là: A. -2 B. -4 C. 5 D. -1 18. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích S, chu vi hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là: A. 2 S B. 4S C. 4 S D. 2S 19. Gọi M là giá trò lớn nhất và m là giá trò