1. Biến đổi "tương đương" trong những tình huống chỉ đúng một chiều là chiều "suy ra" Những biến đổi sau không đúng: Hai đường thẳng song song "tương đương" với hai hệ số góc bằng nhau. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC ‘tương đương’ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB. f(x) bằng g(x) ‘tương đương’ với đạo hàm của f(x) bằng đạo hàm của g(x). u bằng f(x) ‘tương đương’ với du bằng đạo hàm của f(x) nhân với dx. Hệ hai phương trình f(x,y)=0 và g(x,y)=0 ‘tương đương’ với một phương trình a.f(x,y)+b.g(x,y)=0 (a, b là hai số thực khác 0). Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần thực bằng nhau. Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần ảo bằng nhau…. Giải pháp an toàn: Một số trường hợp thường dùng biến đổi "tương đương" là giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, giải hệ bất phương trình, giải bài toán tìm điều kiện cần và đủ. Các trường hợp khác, học sinh nên biến đổi "suy ra". Tóm lại, khi khẳng định ‘Nếu A thì B’ đúng và khẳng định "Nếu B thì A" sai, học sinh không được biến đổi "tương đương". 2. Thiếu điều kiện, thừa kết quả, quên kết luận Khi bài toán có biểu thức căn bậc hai, biểu thức có ẩn dưới mẫu số, biểu thức tanx, biểu thức cotx, biểu thức logarit, dạng đại số của số phức, học sinh cần hình thành ‘phản xạ có điều kiện’ và kiểm tra lại điều kiện trước khi viết đáp số. Với những bài toán cần xét nhiều trường hợp, học sinh cần chú ý tổng hợp kết quả và kết luận. 3. Gạch đầu dòng tùy tiện Nếu học sinh gạch đầu dòng liền trước một biểu thức thì có thể bị hiểu là: nhầm dấu của biểu thức Ví dụ: Giải phương trình sinx + cosx = 1. Nếu học sinh gạch đầu dòng là " – sinx + cosx = 1" thì sẽ bị hiểu nhầm là ‘biểu thức trừ sinx cộng với cosx bằng 1’. 4. Viết lời giải bài toán như một ‘đoạn văn’ dài, không chia ý rõ ràng và làm sai ở câu cuối cùng của đoạn mình viết Học sinh nên chia ý rõ ràng và xuống dòng khi kết thúc các ý, nếu sai ý sau thì vẫn được chấm điểm ý trước. Mỗi bài toán thi đại học thường được tính 1 điểm và đáp án thường có 4 ý, mỗi ý 0,25 điểm. Các học sinh cần chú ý điều này để trình bày các ý rõ ràng. 5. Viết nhầm lẫn các chữ, các kí hiệu Học sinh chú ý phân biệt các chữ, các kí hiệu sau khi viết bài thi: Chữ i và số 1, chữ b và số 6, chữ z và số 2, chữ D và chữ P, chữ D và chữ O, chữ P và chữ O, chữ H và chữ A, chữ g và chữ y, chữ g và chữ q, chữ q và số 9, chữ C và dấu ngoặc đơn ( , chữ C và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con, dấu ngoặc đơn ( và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con, chữ u và chữ v, chữ u và chữ n, dùng chung kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con và kí hiệu chỉ quan hệ phần tử thuộc tập hợp, chữ a và kí hiệu góc anpha. 6. Dùng chung tên điểm tại hai vị trí khác nhau Bài toán phương pháp tọa độ, học sinh thường có thói quen gọi tâm đường tròn là O, gọi tâm mặt cầu là O. Các em cần chú ý rằng, O là gốc tọa độ. Trong trường hợp dùng chung tên điểm, các em không nên vội vàng xóa, có thể khắc phục nhanh sự cố bằng cách thêm dấu phẩy vào điểm đó, ví dụ O’. 7. Tính toán sai, sử dụng kết quả sai để làm tiếp Học sinh cần chú ý cẩn thận trong từng phép tính, tránh tình trạng tính toán vội vàng rất nhiều phép tính rồi mới kiểm tra từ đầu và sửa sai từ đầu. 8. Lập phương trình sai, sử dụng máy tính để tìm chính xác nghiệm của phương trình đó và yên tâm kết luận Học sinh cần chú ý kiểm tra kĩ phương trình trước khi dùng máy tính để tìm nghiệm, tránh tình trạng quá tin tưởng máy tính mà quên mất là phương trình sai. 9. Nhập sai số liệu vào máy tính điện tử và yên tâm dùng kết quả của máy tính Học sinh không nên chủ quan khi dùng máy tính, cần kiểm tra cẩn thận các số liệu khi nhập vào máy tính. 10. Sử dụng máy tính điện tử để tìm nghiệm dưới dạng gần đúng Khi đáp số được viết dưới dạng phân số hoặc dạng căn bậc hai, dạng logarit của một số dương, nếu máy tính cho kết quả là một số thập phân gần đúng thì vẫn không được chấp nhận với bài toán yêu cầu tìm đúng kết quả. Học sinh cần chú ý thử máy tính trước khi đi thi. 11. Đọc nhầm đề dẫn đến một bài toán dễ hơn, tính toán nhanh hơn, giải được bài toán mới và yên tâm không kiểm tra lại đề bài Học sinh cần đọc đề kĩ, xác định đúng yếu tố đã cho, điều phải tìm, điều phải chứng minh. 12. Sử dụng đúng giả thiết và mất thời gian đưa ra kết quả mới không liên quan gì đến kết luận của bài toán Học sinh phải rất cảnh giác với những tình huống ‘lạc đề’, suy luận đúng nhưng không để làm gì, không phục vụ cho việc giải bài toán trong đề thi. 13. Mất thời gian làm đúng một bài toán không liên quan đến bài toán trong đề thi Tình huống có thể xảy ra với học sinh và không có điểm. Bài toán trong đề thi: Chứng minh biểu thức A lớn hơn biểu thức B. Học sinh mất thời gian chứng minh được biểu thức A lớn hơn biểu thức C nhưng không biết biểu thức C lại nhỏ hơn biểu thức B. 14. Sử dụng kết quả không được quy định trong chương trình Kết quả được sử dụng để giải bài thi phải phù hợp với sách giáo khoa chương trình hiện hành. Khi học sinh thừa nhận kiến thức không được quy định trong chương trình, học sinh làm đúng, bài thi vẫn không được tính điểm tối đa. Nếu các học sinh giỏi sử dụng kết quả ngoài sách giáo khoa thì phải chứng minh lại các kết quả đó bằng kiến thức trong sách giáo khoa. Khi chọn đề theo chương trình ban cơ bản, học sinh đã học sách giáo khoa ban nâng cao có thể không biết những kết quả mình sử dụng không có trong sách giáo khoa ban cơ bản. Học sinh cần tìm hiểu trước những kiến thức có trong sách giáo khoa ban nâng cao nhưng không có trong sách giáo khoa ban cơ bản. 15. Nghĩ được cách giải, học sinh có thể vui mừng và chủ quan, không kiểm soát được mình viết đúng hay viết sai, không cẩn thận trong việc viết kết quả Học sinh không có cơ hội gặp giám khảo để giải thích suy nghĩ của mình. Khi đi thi, các em không thể bằng lòng sớm với việc phát hiện ra cách giải. Khi ngồi trong phòng thi, yếu tố tâm lí có thể làm cho các em không viết được chính xác những điều đã suy nghĩ. Học sinh cần chú ý - Ba yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến kết quả thi là: kiến thức, kĩ năng và tâm lí. - Ba nguyên tắc quan trọng khi viết bài thi để có thể đạt điểm cao là: 3 Đ: Đúng - Đủ - Đẹp. 1) Học sinh phải viết đúng kí hiệu, viết đúng công thức, vẽ hình đúng, lập luận đúng, kết quả đúng. 2) Học sinh phải viết đủ ý. 3) Học sinh phải trình bày đẹp, diễn đạt tốt.
Trang 11
Chuyên Đề Bấc Đẳng Thức Và Bất Phương Trình
I Bất đẳng thức Côsi a/ Định lý: Nếu a 0, b 0 thì ab ab
a+b 2 ab Dấu '=' xảy ra a=b
b/ Các hệ quả:
- Nếu a 0,b 0 có a+b=const (hằng số) thì a.b
max a = b
- Nếu a 0,b 0 có a.b = const thì a + b là min
a = b
- Nếu a1, a2, a3,… ,an 0 thì:
n
n
n a a a a n
a a
a
3 2 1 2
- a 1 2
a
, a > 0
* Ý nghĩa hình học:
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi,
hình vuông có diện tích lớn nhất
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
II Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối
Định nghĩa: |x| =
0 x neáu
-0 x neáu
; ,a bR
b
a
b
a , dấu '=' xảy ra a.b 0
b
a
b
a , dấu '=' xảy ra khi a.b0
b a b
b a b
a a.b 0
III Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì:
(ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2)
abcd (a2c2)(b2 d2)
CM: Ta có (ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2) a2b2+c2d2+2abcd a2b2+a2d2+b2c2+c2d2 a2d2+b2c2-2abcd 0
(ad-bc)2 0 đúng a,b,c,dR=> đpcm
Bài Tập:
A Chứng minh các bất đẳng thức sau
1 chứng minh rằng | x-y | + | y-z | | x- z|
HD: |x-y|+|y-z| |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm
2 Cho x2+y2=1,CMR: 2 x y 2
HD: Bunhiacopxki 4 số a = 1, b = x, c = 1, d = y
(1.x+1.y)2 (12+12)(x2+y2)
(x+y)2 2 2 x y 2
3.Cho x+2y = 2 , CMR: x2+y2
5 4
HD: Bunhiacopxki 4 số a = 1, b = x, c = 2, d = y
4 Với mọi số thực x, y, z Chứng minh rằng:
2 2 2
2xyzx y z HD: Đưa về hằng đẳng thức
5.Chứng minh rằng:
1
HD: bình phương
6.Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1 1
1
x x
với 0<x<1 HD: AD Côsi
7.Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là
những số thực tùy ý CMR : a.x4y4x y3 xy3
HD: Chuyển vế sau đó đặt nhân tử chung
b.x24y23z2142x12y6z
HD: Chuyển vế sau đó đặt nhân tử chung
d.1 1 4
a b ab HD: Cô si cho 2 số a,b và 1/a ,
1/b sau đó nhân vào
4
abcd
(bđt Cô-si cho 4 số)
abc d a b c d
HD: Cô-si 4 số dương a, b, c, d và 1 1 1 1, , ,
a b c d
g.a2b 1 2a
b
HD: Cô-si 2 số dương a2b, 1/b
h.(ab b)( c c)( a)8abc
HD: Cô-si cho a, b và b, c và c, a
i a b22 2(ab) ab
Hd: Khai triển rồi Cô-si (ab)và 2 ab
Trang 2j.1 1 1 9
a bc a b c
HD: Cơ-si 3 số dương a, b, c và 1 1 1, ,
a b c
B.Chứng minh các bất đẳng thức sau
1 Với x>3 Chứng minh 4 2
3
x x
HD: x42 x3 Cơ-si cho 1 và x+3
2.Với
y
1
x
Chứng minh |x.y|≤3
HD: Cơ-si cho
2
4
x
,
2
y 9
3.* Với a, b, c0 và a+b+c=1 CM: b+c 16abc
HD: b+c 2 bc (b+c)2 4bc (1)
a+(b+c) 2 a b( c) 1 4a(b+c) (2)
(1)x(2) ta được đpcm
4 Cho a, b, c, d 0
CM: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) 32abcd
HD: Cơ-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1
5 Cho a,b,c >0 CMR : (1 )(1 )(1 )8
a
c c
b b a
HD: Cơ-si cho 1, a; 1, ; 1,b c
6 Với a,b,c,d khơng âm
CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) 16abcd
7.Cho a,b,c > 0 CMR : ca b 2 ab
c
8 Cho a,b,c > 0 CMR : (a+b+c)(
c b a
1 1 1
9.Cho a,b > 0 CMR : (a+b)(1 1
a b) 4
10.Cho a,b,c > 0 CMR :
4 2
2
a bc
ab c
HD:
4
2
11.Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1
CMR : (11)(11)(11)64
c b
13.Cho a > 1 CMR :
2
a
HD: bình phương 2 vế
14.Cho a,b,c >0 CMR :
a bc ab bc ac
15.Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì 1 1
b a
16.a2b2c2abbcca, a,b,c Khi
17.a b ab0,a b, Khi nào dấu "="
(đẳng thức) xảy ra.?
18 i (a+b+c)2 3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c
ii a2b+ab2 a3+b3 , với a, b dương Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ?
19 Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với3 x5 Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?
20 Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a f(x)= vớix 0
x
3
x b.f(x)=
1
1
x
x với x > 1
21 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
x x với 0<x<1
HD:
25 , x (0;1)
y
y
Đẳng thức xảy ra
1
2 (0;1)
x
x
22.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x3 x4 với 0≤ x ≤ 4
x x
x
23.a2 – 3a + 3 > 0 , aR
24.a2 + b2 2ab , a, bR a2 +3a +3 > 0 aR
25.a2 + b2 + 4 ab + 2(a +b) , a, bR
26.a2+ b2 + c2 + d2 + e2 a(b +c + d + e) , a, b,
c, d, eR
27.
2 4
1
a
a R
a , Suy ra
a b , a, bR
28.
a b c a b c
29.a3 + b3 ab(a+b) , a, b 0
30 a3b + ab3 a4 + b4 , a, bR
31 a4 + 16 2a3 + 8a , aR
32 (a b c )( d) ac bd , a, b, c, d > 0
b a , a, b > 0
Trang 33
2
a ab b a b , a, bR
35. 1 a 1 a 1
36
a b c
b c a , a, b, c > 0
37 a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > 0 , aR
38.x8 – x5 + x2 – x + 1 > 0 , xR Hd: BĐT
5 3
neáu x 1
39 a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 CMR:
a thì
a thì
b
b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 CMR:
40.Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam
giác CMR:
a a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca)
b abc (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0
41.Cho a + b = 1 CMR: a2 + b2 1
2
42.Cho x + y + z = 1 CMR: 2 2 2 1
3
x y z
43.CMR: a x2 x5 , xR 7
b x 1 y2 x y3 , x, yR 6
4
a b c d
abcd
(a, b , c, d 0)
3
a b c
abc
(a, b , c 0)
abca b c (a, b , c > 0)
bccaab abc (a, b , c > 0)
48.ab bc ca a b c
c a b (a, b , c > 0)
49.x2 y2 1 1 2( x y)
x y
50.(a + b)(b+c)(c+a) 8abc (a, b , c 0)
51. 1 a 1 b 1 c 8
(a, b , c > 0)
52.(a + 2)(b + 8) (a + b) 32ab (a, b 0)
53.(1 –a)(1 – b)(1 – c) 8abc với a + b + c = 1 và
a, b, c 0
54. 1 1 1 1 9
với x+y =1 và x , y > 0
55 (a + 2) (b + 8) 36 với ab = 4 và a, b > 0
56.a b 1 b a 1 ab a, b 1
57 4a 1 4b 1 4c 1 5 với a + b + c = 1 và a, b, c -1
4
58 (ab +by)2 (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR Dấu bằng xảy ra khi nào?
59 2x3y 13 với x2 + y2 = 1
60 3x2y 2 với 9x2 + 4y2 = 1
61. 2x3y 35 với 2x2 + 3y2 = 7
62.4 2 9 2 1
8
x y biết 4x + 6y = 1
Dấu bằng xảy ra khi nào?
7
x y biết 4x - 3y = 3
Dấu bằng xảy ra khi nào?
64.Tìm GTLN của hàm số sau:
1 y = (x + 5)(7 – x) với -5 x 7
(maxy = 36 khi x = 1)
2 y = (2x - 3)(10 – 3x) với 3 10
2 x 3
3 y = 4
2
x x
với x 4 (maxy = 1
8 khi x = 8)
4 y = x + 8x2 (maxy = 4 khi x = 2)
5.y = 5 8
x x
với x > -5(miny = 4 khi x = -1)
6 y = 9
2
x x
với x > 2 (miny = 8 khi x = 5)
7 y = x2 92
x
với x 0 (miny = 6 khi x = 3)
8 y =
4 2
1
x x
với x 0 (miny = 2 khi x = 1)
9 y = (4 x)(1 x)
x
với x > 0(miny = 9 khi x = 2)
10 y = x2 x4 (miny = 2 khi 2 < x < 4)
11 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
S = xy + yz + zx biết x2 + y2 + z2 = 1
Trang 4BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC NÂNG CAO ( Ôn Thi ĐHCĐ)
1 Cho a,b,c,d > 0
a nếu a < b thì a
b <
a + c
b + c
b nếu a > b thì ab > a + c
b + c
c 1 < a + ba + b + cb + c + ac < 2
d 2 < a + b
a + b + c +
b + c
b + c + d +
c + d
c + d + a +
d + a
d + a + b
< 3
2 Cho a
b <
c
d và b,d > 0,CM:
a
b <
a + c
b + d <
c
d
3 Chứng minh rằng a , b ,c
a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a c) a2 + 1 > a
d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 e) 2abc a2 + b2c2
f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ 0
h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 i) 4ab(a – b)2 (a2 – b2)2
j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0
k) a
b +
b
a ≥ a + b m)
a2
1 + a4
1
2
l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b)
n) ( a + b2 )2 a
2
+ b2
2
o) a
2
+ b2 + c2
a + b + c
2
p) a
2
4 + b
2
+ c2 ≥ ab – ac + 2bc
q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)
r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)
s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac
t) a2 + ab + b2 ≥ 3
4 (a + b)
2
u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b a + 2a b
v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
4.Cho a ,b [– 1;1] CM : |a + b| |1 + ab|
a)CM: nếu x ≥ y ≥ 0 thì 1 + xx ≥ 1 + yy
b)CM: với hai số a và b tùy ý ta có
|a – b|
1 + |a – b| ≤
|a|
1 + |a| +
|b|
1 + |b|
5.Cho a ≥ 2 , b ≥ 2 CM : ab ≥ a + b
6.Cho x ≥ 0,CM: x4 – x5 + x – x + 1 > 0
7 Cho ba số a ,b ,c [0;1],
CM : a + b + c – ab – bc – ca 1
8.Cho 0 < a b c
CM : b(1
a +
1
c ) +
1
b (a + c) (
1
a +
1
c )(a + c)
9 Cho a > b > 0 và c ≥ ab
CM: c + a
c2 + a2 ≥
c + b
c2 + b2
10 Cho a + b + c 0 CM:a
3 + b3 + c3 – 3abc
a + b + c ≥ 0
11 Cho ba số dương a ,b ,c CMR:
1
a3 + b3 + abc +
1
b3 + c3 + abc + c3 + a13 + abc
1 abc
12 Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 CM: a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2
b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2
13.a) Cho a.b ≥ 1,CMR 1 + a1 2 + 1
1 + b2 ≥
2
1 + ab
b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1
1 + a3 +
1
1 + b3 +
1
1 + c3 ≥
3
1 + abc
c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0
1 + 4x +
1
1 + 4y ≥
2
1 + 2x+y
14 a,b,c,d CMR:
a) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 b
1< a
a + b + c +
b
a + b + d +
c
b + c + d +
d
a + c + d <2
15 Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam
giác ,CMR:
b +
b
c +
c
a –
a
c –
c
b –
b
a < 1
b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3
*d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
*e) (a + b + c)2 9bc với a b c
*f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
16 Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2
CMR : a4 + b4 ≥ a3 + b3
17 Cho a ,b ,c ≥ 0 CMR:
a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc
b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab
c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
18* Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với
a b c CMR: (a + b + c)2 9bc
19* Cho tam giác ABCCMR: aA + bB + cC
a + b + c ≥
3
20* Cho a ,b ,c [0;2]
CMR: 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) 4
21.CMR : 1
1.2 +
1 2.3 +
1 3.4 + …+
1 n(n + 1) < 1
n N
22.CMR : 1
2! +
2 3! +
3 4! + …+
n – 1 n! < 1
n N n ≥ 2
Trang 55
23.Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc +
ca = 1 CMR: 3 a + b + c 1
abc
24.Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3 CMR:
a) a + b + c ≥ 3
b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3
Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) 1.Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 CMR:
a) ab + b
a ≥ 2 a , b > 0 b) a
2b + 1
b ≥ 2a b > 0
c) 2a
2 + 1
4a2 + 1 ≥ 1 d) a
3 + b3 ≥ ab(a + b)
e) a4+ a3b +ab+ b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab
g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2 h) a
2
a4 + 1
1
2
i) 1
a +
1
b ≥
4
a + b j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )
2
k) 1a + 1b + 1c ≥ a + b2 + b + c2 + c + a2
l) a
2 + 2
a2 + 1 ≥ 2 m)
a6 + b9
4 ≥ 3a
2
b3 – 16
o) a
2
+ 6
a2 + 2 ≥ 4 p)
a2
b2 +
b2
c2 +
c2
a2 ≥
a
c +
c
b +
b
a
2/ Cho a > 0 CMR : (1 + a)2
1
a2 +
2
a + 1 ≥ 16
3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý CMR:
a) a2b + 1b ≥ 2a
b) a + b + c ≤ 12 ( a2b + b2c + c2a + 1
a +
1
b +
1
c )
4/ Cho 0 < a < b CMR: a < 1 2
a +
1 b
< ab < a +b
2
5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1
CMR: a b – 1 + b a – 1 ab
6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) ab + c
b ≥ 2 ac (b 0)
b) a + b + c ≥ ab + bc + ca
c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc
d) ( a + b )2 ≥ 2 2(a + b) ab
e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
f) a2 + b2 + c2 ≥ 1
3 (a + b + c)
2
g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc
h) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b
i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3
i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 abc)3
7/ CMR: x (0; /2) ta có:
cosx + sinx + tgx + cotgx + 1
sinx +
1 cosx > 6
8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1
CMR : a4 + b4 + c4 ≥ abc
9/ Cho 3 số a,b,c không âm,CMR:
a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b) bca + ac
b +
ab
c ≥ a + b + c
c) (a
b +
b
a )(
a
c +
c
a )(
c
b +
b
c ) ≥ 8
d) (1 + ab )(1+ b
c )(1+
c
a ) ≥ 8
e) (a + b + c)(1a + 1b + 1c ) ≥ 9
f) (a + b + c)( 1
a + b +
1
b + c +
1
c + a ) ≥
9
2
g) a + b
c +
b + c
a +
c + a
b ≥ 6
h) b+ ca + c + ab + a + bc ≥ 32
i) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2
j) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ac k) a + b + c + 62 ≥ a + b + 1 + c + 2
10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,CMR:
a) (ab + cd)(ac1 + 1
bd ) ≥ 4
b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d)
c) ab1 + 1
cd ≥
8 (a + b)(c + d) d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2
e) 1
a +
1
b +
1
c ≥
9
a + b + c
f) 1a + 1b + 1c + 1d ≥ a + b + c + d16
g) a
6
+ b9
4 ≥ 3a
2
b3 – 16 h)
(abc + 1)( 1
a +
1
b +
1
c )(
a
c +
c
b +
b
a ) ≥ a + b + c + 6
11/ Cho hai số dương a và b CMR:
(1 + a
b )
n
+ (1 + b
a )
n
≥ 2n+1 n N
12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :
a ab 14 b a2 + b2 ≥ 1
2 c a
4 + b4 ≥ 1
8 d a
3+b3 ≥ 1
4
13/*.Cho a > b và ab = 1 CMR: a
2
+ b2
a – b ≥ 2 2
14/* CMR: – 12 (a + b)(1 – ab)
(1 + a2)(1 + b2)
1
2
Trang 615/ a) CMR: nếu b > 0 , c > 0 thì : b + c
bc ≥
4
b + c
b)Sử dụng kết quả trên CMR nếu a ,b ,c là ba
số không âm có tổng
a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc
16/ Cho a + b = 1,CMR: (1 + 1a )(1+ 1b ) ≥ 9
17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 CMR:
a) (1 + 1
a )(1+
1
b )(1+
1
c ) ≥ 64
b) (a + b)(b + c)(c + a)abc 7298
18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn
1
1 + a +
1
1 + b +
1
1 + c +
1
1 + d ≥ 3
CMR: abcd 1
81
19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c) (p – a)(p – b)(p – c) abc8
d) p – a1 + p – b1 + p – c1 ≥ 2( 1a + 1b + 1c )
e) p < p – a + p – b + p – c < 3p
20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1
CMR : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8
21/ Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1
CMR: – 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 3
23/ Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an CMR:
a) aa1
2 + a2
a3 + … + an
a1 ≥ n
b) (a1 + a2 + … + an)(a1
1 + a1
2 + …+ a1
n ) ≥ n2
c) (1+ a1)(1+ a2)…(1+ an) ≥ 2n với a1.a2….an = 1
24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an [0;1] CMR:
(1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a12 + a22 + …+ an2)
25/ Cho a > b > 0 , CMR : a + b(a – b)1 ≥ 3
26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 CMR:
a) 2 a + 33 b ≥ 55ab
ab 17 b 12
a
c) a
6
+ b9
4 ≥ 3a
2
b3 – 16
27/ CMR: 1.3.5….(2n – 1) < nn
28*.Cho ba số không âm a ,b ,c CMR:
a + b + c ≥
k n
m k m n k
n
m n k m k
n
m m n k
c b a c
b a c
b
29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an và b1 ,b2
,….,bn CMR:
n
a1.a2 an + nb1.b2 bn n
(a1 + b1)(a2 + b2)….(an + bn)
30/ CMR:
4 (a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3)
a + b + c + d ≤
1
4 a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3
31/* n N CMR:
a) 1 1
22
. 1
33
1
44
… 1
nn <
2 ) 1 n ( n
1 n 2
b) 1.22.33.44…nn < 2
) 1 n ( n
3
1 n
32/*.Cho m,n N ;m > n CMR :
( 1 + 1
m )
m
> ( 1 + 1
n )
n
33/*.Cho x1,x2,…xn > 0 và x1 + x2 + ….+ xn = 1
CMR: (1 + x1
1 )(1+ x1
2 )…(1+ x1
n ) ≥ (n + 1)n
34/*.Cho các số x1,x2 ,y1,y2,z1,z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22
CMR : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2
35/*.Cho 3 số a ,b ,c (0;1) CMR: trong 3 bất
đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai
a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3)
36/*.Cho 3 số a,b,c > 0 CMR:
2 a
a3 + b2 +
2 b
b3 + c2 +
2 c
c3 + a2
1
a2 +
1
b2 +
1
c2
37/** Cho x ,y ,z [0;1] ,CMR :
(2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z) 81
8
38/*.Cho a , b , c > 1 CMR:
a) log2a + log2b 2 log2
a + b
2
b) 2
logba
a + b +
logcb
b + c +
logac
c + a ≥
9
a + b + c
39/ Cho a ,b ,c > 0 CMR:
a) b + ca + c + ab + a + bc ≥ 32
b) a
2
b + c +
b2
c + a +
c2
a + b ≥
a + b + c
c) a + b
c +
b + c
a +
c + a
b ≥ 6
d) a
3
b +
b3
c +
c3
a ≥ ab + bc + ca
e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc
f) bc
a +
ac
b + ab
c ≥ a + b + c
Trang 77
g) a
b + c +
b
c + a +
c
a + b ≥
a + b + c
≥ ab
a + b +
bc
b + c +
ca
c + a
40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý CMR:
a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc
41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : 1
a +
1
c =
2
b
CMR: 2a – ba + b + 2c – bc + b ≥ 4
42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1
CMR: a) 1a + 1
b +
1
c ≥ 9
b) 1
a2 + 2bc +
1
b2 + 2ac +
1
c2 + 2ab ≥ 9
43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c k CMR:
(1 + 1
a )(1 +
1
b )(1 +
1
c ) ≥ (1 +
3
k )
3
44/ Cho ba số a ,b ,c 0 CMR:
a
2
b2 +
b2
c2 +
c2
a2 ≥
a
b +
b
c +
c
a
45/ Cho tam giác ABC, CMR:
a) ha + hb + hc ≥ 9r
b) a + ba – b + b – cb + c + c + ac – a < 18
Dùng tam thức bậc hai 1/ x , y R CMR:
a x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0
b x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z
c 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0
d 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0
e x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3
f (x + y)2 – xy + 1 ≥ 3 (x + y)
g 3
x2
y2 +
y2
x2 – 8
x
y +
y
x + 10 ≥ 0
h (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z)
2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d
CMR: (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd)
3/ CMR: (1 + 2x + 3x)2 < 3 + 3.4x + 32x+1
4/ Cho ax + by ≥ xy , x,y > 0 CMR: ab ≥ 1/4
5*/ Cho – 1 x 12 và – 5
6 < y <
2
3 ,
CMR: x2 + 3xy + 1 > 0
6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1
Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + a
2
3
a) CMR: f(x) > 0 x
b) CMR: a
2
3 + b
2
+ c2 > ab + bc + ca
7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x y
CMR: x3 – 3x y3 – 3y + 4
Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a) y = x2 + x42
b) y = x + 2 + 1
x + 2 với x > – 2
c) y = x + 1
x – 1 với x > 1
d) y = x3 + 1
x + 2 với x > – 2
e) y = x
2 + x + 1
x với x > 0
f) y = 4
x +
9
1 – x với x (0;1)
8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a y = x(2 – x) 0 x 2
b y = (2x – 3)(5 – 2x) 32 x 5
2
c y = (3x – 2)(1 – x) 23 x 1
d y = (2x – 1)(4 – 3x) 12 x 4
3
e y = 4x3 – x4 với x [0;4]
11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox
và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1 Xác định tọa độ của A
và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
12/*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4
13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số y = x – 1 + 5 – x
Trang 8Bất phương trình bậc nhất
A Lý thuyết
Các dạng cơ bản của bất phương trình căn thức:
B A
A B
B A
A B
2
0 0
B A
B
A
B
2
0 0
B A B
A B A
2
0 0 0
B A B B A B
2
0 0 0
B A B B A B
B A B
A3
Bất phương trình ax+b > 0
Từ bất phương trình ax+b > 0 ax > -b (1)
Biện luận:
+ Nếu a = 0 => (1) 0x > -b
nếu b > 0 => bpt VSN
nếu b 0 => bpt VN
+ Nếu a > 0 => bpt có nghiệm x >
a
b
+ Nếu a < 0 => bpt có nghiệm x <
a
b
VD: giải và biện luận bpt: (m-1)x -2+3m > 0 (1)
HD: (1) (m-1)x > 2-3m (2)
Nếu m-1= 0 m=1 (2) 0x > -1 => bptVSN
Nếu m-1> 0 m > 1 => bpt có ng x >
1
3 2
m m
Nếu m-1 < 0 m < 1 => bpt có ng x <
1
3 2
m
m
KL m =1 bpt VN
m > 1 bpt có nghiệm x >
1
3 2
m
m
m < 1 bpt có nghiệm x <
1
3 2
m
m
B BÀI TẬP
1 Giải btp sau:
a) x x (2 x3)( x 1) b) ( 1x 3)(2 1x5) 1x c) 3 (x4) (2 x1)0
d) (x2) (2 x3)0 e) 2(x1)+x > 3 3
3
x
f) (x 2 )2 (x 2 )2 g) x(7x)+6(x1)<x(2x) 2
k) (x2) x3 x4 l) (0 x2) x3 x4 0
m) (x1) (2 x2) 0 n) 2x8 4x210
2.Giải các hệ bất phương trình sau
a) 3 5 2 1
b) 4 7 8
e)
f)
2
g)
h)
2
x x
x x
i)
3
x x
3 Tìm điều kiện của các bpt sau: a 2 1 2 12
b
3 2
2
x
x
4 CMR các bpt sau vô nghiệm:
a/x2 x 1 1 b/ 2x x7 2 c/ 4 2
1
1
x x
Trang 99
5/Giải các bpt sau: a ( 3) 1 5
1
x
b x
2
> x c x4x2 d 1 1
x
6/ Giải và biện luận bất phương trình sau:
a mx + 4 > 2x – m b m(x-1) ≤ x + 3m
7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương:
a/ 3x + 2 > x – 5 và 4x + k > 2x – 5 b/ 2x +3 ≤ x + 6 và 5x – 1 ≤ 3x + 2
8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm: 2 4
(ĐS: m<1)
9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm:
b 2 5 2
10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm duy nhất : 5 3 1
(ĐS: m=1
7)
Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a0)
x - -b/a +
f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a
Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc thương các
nhị thức bậc nhất:
(ax+b)(cx+d)…(fx+k);
) )(
(
) ) (
)(
(
m kx h gx
f ex d cx b ax
ta xét dấu tất cả các nhị thứ bậc nhất trên cùng
một bảng xét dấu
Các bước xét dấu biểu thức :
B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc
dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất
B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc nhất
B3 : Xét dấu tất cả các nhị thức trên cùng một
bảng xét dấu
B4 : Tổng hợp => kết luận
Giải bất phương trình bậc nhất B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc
f(x)<0 hoặc f(x) 0 hoặc f(x) 0
B2 : Xét dấu biểu thức f(x)
B3 : Kết hợp với chiều của bất phương trình =>
tập nghiệm
Giải hệ gồm 2 bất phương trình bậc nhất dạng
(2) pt Baát
(1) pt Baát
(I)
B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1
B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2
B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S1S2
BÀI TẬP
A Xét dấu các biểu thức sau:
1 f(x)= (2x1)(x+3) 2 f(x)= (3x3)(x+2)(x+3) 3 f(x)= 4 3
4 f(x)= 4x
2
x
6 f(x)=(2x+3)(x2)(x+4) 7 f(x)= 3 1
2x1 x2 8 f(x)=(4x1)(x+2)(3x5)(2x+7) 9 G=(3x1)(x+2)
10 H=2 3
x
x
11 K= (x+1)(x+2)(3x+1) 12 L=
2 2
x x
13 M= 9x
2
1 14 N= x3+7x6
15 O= x3+x25x+3 16 P=x2x2 2 17 Q= 1 1
3x 3x 18 R=
2 2
19 S=
2
2
20 T=| 2 1 | 1
1
x
x x
B Giải các bất phương trình sau
Trang 101 |5x4| 6 2. 5 10
3 |2x1|≤ x+2 4 |x1|≤ 2+x4|+x2 5
3 1
2x 6 2
3 1 4
x
x x x 8 |x3| > 1 9 |58x|≤ 11 10 |x+2|+|2x+1| ≤ x+1 11 ( 2x+2)(x+1)(2x3)>0
12 4 1 3
x
x
13 |x+1|+|x1|=4 14
x
15 |5+x|+|x3|=8 16 |x
2
5x+6|=x25x+6
17 |2x1|= x+2 18 |x+2|+|x1|=5 19 |3x5|<2 20 2 2
1
x x
21 |x2|>2x3 22 |x+1|≤ |x|x+2
23 2 1 2 0
x 24 2x5 74x 25 54x 2x1; 26 4 3 2 6 2 6
2
3
4
2
2
x
x
x
x
28 x182x 29 x 24 5x 30 1 133x2 2x 31 5x2 x2
32. x23x2 2x4 33 23xx2 x1 34 1
2
4 3
x
x
2
5 2
x
x
36
1 2
5 1
2
37
x
x
2
3 1
3
4
38 | 2x-5 | x+1 39 | 2x+1 | < x 40 | x-2 | > x+1 41 | x+2 | x+1
43
4
3 5 )
3
2
(
2
2
8 15
5
8
x x
x
44
5 4
8 3
3 7
5 4
x x
x x
45
19 2 3 4
7 2 1 3
x x
x x
46
0 1
) 4 2 )(
2 (
1 1
3 2
x
x x
x x
47.
4
1 2
0
1
2
1
x
x
x
48.
2
2 ( 23)
) 19 5 (
2
1 2 1
x x
x
5 2
2 3 2 3
5 2
4
3 2
1
x
x x
x x
x x
x
50
0 2
) 2 )(
2 3 )(
1 (
0 ) 5 )(
3 )(
2 (
2
x
x x x
x x
x
51
0 9
) 2 3
)(
4
(
0 1
2
) 3 1 )(
4
(
2
2
x
x x
x
x x
x
52
0 1 2
) 1 ( 3
1
2 1 1
2 1
1
2
3 2
x
x x
x
x x
x x
53
) 1 ( 2 1
2 3
0 ) 25 9 )(
1 5 (
2
2
x x
x x
x x
54
0 1 3
2
0 ) 3 (
)
2
(
2
2
x
x
x
x
55
0 ) 2 )(
1 (
0 ) 1
x x
x
56
5 2
3 1
2 2
2
1 1
2 2
x
x x
x
x
x x
x
57
1 2
2 1
3 2
3 1
5 2
2
x
x x
x
x x
x x
58
0 )
2 ( )
7
(
) 6 ( ) 2 (
)
1
(
2
1 3
2 3
2 3
2
x x
x x
x
x x
x
x
59
4 2 9
3 2 4
x x x x
60
1 2
4 3
2 2
4 1
4 2
2
x
x x
x
x x
x x
4
4 5
2
2
x
x x
62 2x2 - 5x + 2 > 0 63 (x-2)2(x-4) < 0 64 -4 + x2 0 65 25(x+10)(-x+1) 0 66 16x2 + 40x + 25 < 0
)
1
(
10
x
1 5 3
4 3
2
2
x x
1 2 18
1
x
) 2 3 )(
2 (
25
x x
71
1 2
2
1
1
1 3 2
2
3 2
x
1
x x
x
74
1
1 2
1
x x
x x
