Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 1 Chuyên đề : BẤT ĐẲNG THỨC ( SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ) I. Bất đẳng thức côsi (bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) - Nếu , 0 a b thì 2 a b ab , Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: a b . Chứng minh: a b a.b 2 2 2 a b ab (a b) 0 2 Bđt hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra a b . - Nếu , , 0 a b c thì 3 3 a b c abc Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: a b c . - Nếu 1 2 , , , 0 n a a a thì 1 2 1 2 . n n n a a a a a a n hay 1 1 1 nn n i i i i a a n Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 n a a a II. Một số ví dụ và hướng dẫn giải Ví dụ 1: Cho 1 1 1 a,b,c 0. a+b+c 9 a c b Chøng minh . Nhận xét: Vế trái chứa biểu thức đối xứng với a,b,c 0 và các nghịch đảo của chúng.vì vậy ta nghĩ đến việc dùng bất dẵng thức côsi. Giải: Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ 3 số a,b,c và 1 1 1 , , a c b ta có: 3 a b c 3 abc (1). 1 1 1 1 3 3 a c b abc (2) Nhân từng vế của (1) và (2)ta đựơc: 1 1 1 a b c 9 a c b (đpcm) Cách 2: 1 1 1 b a c a b c a b c 3 3 2 2 2 9 a c a c a c c b b Dấu “=”xảy ra a b c Tương tự như trên ta có thể chứng minh được bất đẳng thức sau Cho a,b,c 0 và a b c d 1 . Chứng minh rằng a b c b c d b d a c d a 2 3 Chuyờn Bt ng thc Trng THTP s 2 An Nhn GV : Khng Vn Cnh Trang 2 Vớ d 2: Cho a, b, c 0 v a b c 1. Chng minh rng 2 2 2 1 1 1 9 a 2bc b 2ca c 2ab Gii: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a 2bc b 2ca c 2ab 1 1 1 a b c a 2bc b 2ca c 2ab 1 1 1 a 2bc b 2ca c 2ab 9 a 2bc b 2ca c 2ab Chng minh tng t nh trờn ta cú th chng minh c cỏc bi toỏn sau 2.1. Chng minh rng vi mi a,b 0 tho món a + b = 1 ta cú 2 2 1 1 6 ab a b 2.2 1 1 2 a, b 0 a.b 1, : 3 a b a b Chứng minh rằng với mọi thoả mãn : ta có 2.3. Cho x,y >0, chng minh 1 1 4 x y x y ( BT cng mu ) Vớ d 3: Vi a, b, c, d >0. Chng minh rng: 2 2 2 2 a b c d a b c d Gii 2 2 2 2 2 2 2 2 VT = 2ac + 2bd + 2ad + 2bc = 2 ac + bd + ad + bc 2 dpcm a b c d a b c d a b c d Du = xy ra khi a = b = c = d Vớ d 4 :(H khi B 2005) Chng minh rng: 12 15 20 : 3 4 5 5 4 3 x x x x x x x R Gii Ta cú: 3.4 3.5 4.5 4 5 3 5 4 3 2VT = 2 3 4 5 5 4 3 5 4 5 3 5 4 2.3 2.4 2.5 2 3 4 5 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x VP Tng quỏt: . . . : , , 0. x x x x x x ab b c a c x R a b c a b c c a b Vớ d 5: Chng minh , , a b c : 2 2 4 a b b c abc a b c 2 2 2 2 2 cú: = ac + b a + b + c 4acb a + b + c ta a b b c ab ac bc b ng thc xy ra khi : ac b a b c Vớ d 6: Cho 1 0. CMR: a + 3 a b a b b Giaỷi Chuyờn Bt ng thc Trng THTP s 2 An Nhn GV : Khng Vn Cnh Trang 3 1 1 ú: a + Ta c a b b a b b a b b p dng BT Cụsi cho 3 s 1 , ,a b b a b b Ta c: 1 1 3 . . 3 a b b a b b a b b a b b (pcm) Du = khi 2 2 2 1 1 1 1 1 a b b a b b a b a a b b a b b b a b b b a b b b Vớ d 7: Cho a, b, c l di 3 cnh tam giỏc. Chng minh: 3. a b c b c a c a b a b c Giaỷi ẹaởt: 2 , 2 , 2 b c a x c a b y a b c y thỡ , , a y z b z x c x y vaứ x, y, z > 0 VT= 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 y z z x x y x y y z z x x y z y x z y x z Vớ d 8: Cho a, b, c * CM N : . . 3 a b c b a c b a c b a c a b c a b c Gii BT tng ng 1 1 1 3 . . a b c a b c a b c a b c Ap dng BT Cụsi cho a + b + c s soỏ b soỏ c soỏ 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , a a a b b c c Ta c pcm. Vớ d 9: Cho 3 s dng a, b, c.Chng minh: 2 ab bc ca a b c a b b c a c Gii p dng bt ng thc cụsi cho hai s dng: 2 2 4 4 ab a b a b ab a b ab a b Tng t: 4 bc b c b c , 4 ac a c a c Cng li 3 bt ng thc thỡ cú pcm. Vớ d 10: Cho a, b, c >0 1 a b c . Chng minh: 16 a b abc Gii Ta cú: 2 1 4 a b c a b c 2 2 4 vỡ 0 .M 4bc 16 b c a b c b c b c b c abc Du = xy ra khi 1 4 1 2 b c b c a b c a Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 4 Ví dụ 11: Với a, b, c, d >0. Chứng minh rằng: ) 2 ) 4 a b c d a b c c d d a a b a c b d c a d b b a b b c c d d a Giải a) Áp dụng BĐT Côsi ta có: 4 2 2 2 2 1 1 . . . VT .4. 2 2 2 . . . a b c d a b c d bc cd da ab a b c d Đẳng thức xảy ra khi . a b c d a b c d a b c d bc cd da ab 1 1 1 1 ) VT= 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 4 dpcm 4 4 4 b a c b d a b c d d a b c a c b d ab cd da bc a b c d a c b d abcd abcd abcd Dấu “=” xảy ra khi a b c d Ví dụ 12: (ĐH khối D 2005): Cho x, y, z > 0, xyz = 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 x y y z z x xy yz xz Giải 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 3 có 3 3 x y x y x y Ta z z xy x y y x y x xy Tương tự ta có : 3 3 3 3 1 1 3 ; 3 y z z x x y yz xz 6 3 3 3 3 3 VT x y z xyz Dấu “=” xảy ra khi: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y y z x z z x y x y z y x z y z x Ta có thể áp dụng BĐT Côsi một cách đơn giản hơn như sau: 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 6 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 6 3 3 6 1 1 1 3 3 1 1 1 3 3 .3 .3 3 27. . . 3 3 x y y z z x VT x y y z z x x y z x y y z z x x y z Đẳng thức xảy ra khi 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 x y z y x y z x z Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 5 HỆ QUẢ TỪ BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI KĨ THUẬT CỘNG MẪU SỐ: ( BĐT cộng mẫu ) Cho , 0 a b Ta có: 2 4 1 1 4 2 4 a b a b ab a b ab ab a b a b a b ( 1 ) Hoặc ta có 2 1 1 4 1 1 2 a b ab a b a b a b ab Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Tổng quát với n số 1 2 , , , 0 n a a a Ta có: 2 1 2 1 2 1 1 1 n n n a a a a a a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n a a a . Ví dụ 1 : Cho ba số dương a, b, c, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 a b b c c a a b c (2) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Áp dụng (1) ta có ngay điều phải chứng minh. * Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b b c c a (3) * Kết hợp (2) và (3) ta có Ví dụ 2 : Với a, b, c là các số dương: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 4 a b c b c a c a b a b c (4) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Chú ý: Nếu thêm giả thiết 1 1 1 4 a b c thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học khối A 2005. Ví dụ 3 (ĐH khối A 2005): Cho x, y, z là các số dương thỏa: 1 1 1 4 x y z Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 2 2 x y z x y z x y z Giải Ta có thể chứng minh như trên hoặc sau đây cũng là những cách chứng minh Ta nhận xét đây là một tổng không đổi các số không âm và là biểu thức đối xứng do đó ta có thể sử dụng được BĐT Côsi. Hơn nữa biểu thức cần chứng minh chứa các tổng (lại bé hơn 1) chứ không phải là tích. Vì thế nên cần áp dụng BĐT cộng mẫu. Ta có: Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm a và b: 2 4 1 1 4 2 4 a b a b ab a b ab ab a b a b a b Từ đó ta có: Chuyờn Bt ng thc Trng THTP s 2 An Nhn GV : Khng Vn Cnh Trang 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; 2 4 2 2 4 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 dpcm 8 4 2 16 2 2 x y z x y z x y z y x z x y z z x y VT x y z y z x z x y x y z Du = xy ra khi : 2 2 4 2 3 x y z y x z x y z z y x x y z Hay ta cú th gii nh sau: T 1 1 1 4 x y z m ta cú: 2 1 1 1 3 9 4 x y z x y z x y z 1 1 1 4 Tửứ ủoự ta coự: 9 2 4 9 4 1 1 4 2 4 9 1 1 4 2 4 9 x y z x x y z x x x y z x y y z y x y z x y z z z 2 1 1 1 Suy ra 2 2 2 1 1 1 3 4 4 1 4 9 4 9 4 9 4 27 x y z x y z x y z ủpcm x y z x y z Du = xy ra khi x = y = z = 3 4 Vớ d 4: Chng minh rng vi a, b, c dng: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b a b b c c a (5) Gii: Vn dng bt ng thc (1) ta cú: 1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2 a b b c a a b b c a a b c 1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2 b c c a b b c c a b b c a 1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2 c a a b c c a a b c c a b Cng v vi v cỏc bt ng thc trờn v rỳt gn ta cú bt ng thc (5) ng thc xy ra khi: 3 2 3 2 3 2 a b b c a b c c a b a b c c a a b c Vớ d 5 : Mt vớ d khỏc chng hn: T nhn xột : 3 cos cos cos coự theồ ủửa ra baứi toaựn khaực laứ 2 A B C ta Chun đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 7 Chứng minh 1 2 osA+ osB+ osC 3 c c c Từ đó ta có bài tốn : Cho tam giác nhọn ABC : 2 1 1 1 3 CM: 6 3 cos cos cos 2 A B C Ví dụ 6: 3 số dương a, b, c và a + b + c = 1 Cho Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 64 a b c Giải 2 3 1 + a 1 1 abc + ab + bc + ca + a + b + c +1 1 1 1 2 có: VT = = = 1 + a 1 1 1 3 : 9 a 2 2 27.2 54 1 abc 27 VT 1 + 9 + 54 = 64 Dấu "=" xảy ra khi a b c Ta abc abc b c abc Vì b c a b c a b c 1 = b = c = . 3 Ví dụ 7: a, b > 0 và a + b =1. Chứng minh: Cho 2 2 1 1 25 a + 8 b a b Chú ý : Nếu ta áp dụng BĐT Cơsi ta có : 2 2 1 1 1 1 1 a + 2 a + = 2 ab + 2 2 2 8 b a b b a b a b ab a b Nhưng ở đây dấu “=” khơng xảy ra Do đó ta giải như sau : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 có: VT = a + 4 = a + 4 = a + b 2 2 a+b 4 1 4 4 - 2 4 5 4 a + 2 a+b 2 9 4 9 25 8 2 2 2 a+b 1 2 4 Ta b b ab a b a b a b b ab Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1 2 Nhận xét: Ta có thể giải dựa vào BĐT: 2 2 2 2 , , * 2 a b a b ab a b Thật vậy: 2 2 2 2 2 2 2 = 2 2 a b a b a b a b ab a b (*) còn có thể viết: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 a b a b a b ab a b ab Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 8 Nên từ: 2 2 2 22 2 1 1 1 1 4 1 25 4 2 4 2 4 8 4 . 2 2 2 2 a b a b a b ab a b Ví dụ 8: Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau: 1 2 2 2 1 . 1 . 1 . 4. . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C tg tg tg B C C A A B A B C tg tg tg tg tg tg tg tg tg Giải: Đặt tg x , , 2 2 2 A B C y tg z tg thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1 Hệ thức trở thành: 1 1 1 1 4 x y z yz zx xy xyz Ta có: 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4 4 4 1 1 1 1 1 4 4 4 x y z yz zx xy x y z xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy x x y y z z xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy x z x y y z xy yz zx xy yz zx yz xy zx x y z x 1 4 yz xyz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều. BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bài 1: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6. Chứng minh rằng: 512 72911 1 1 1 333 c a ba Bài 2: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng: 3 cba c ba b ac a ab Bài 3:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR: 3 2 a b c b c c a a b Bài 4:( (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: 2 2 2 3 x y z . CMR: 3 xy yz zx z x y Bài 5:(Cho x, y, z >0 thoả 1 x y z . CMR 1 4 9 36 x y z Bài 6:(Cho x, y, z là các số thực dương. CMR ( )( )( ) xyz x y z y z x z x y Bài 7:(( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . CMR: 1 1 1 1 1 1 1 a b c b c a Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 9 Bài 8:(IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . CMR : 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b Bài 9:(Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: 2 xyz x y z . CMR: 3 2 x y z xyz Bài 10: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác: 1, 3 a b c b c a c a b a b c 2, 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c Bài 11: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn 2 2 2 2 1 x y z xyz . CMR: 1, 3 2 x y z 2, 1 1 1 4( ) x y z x y z Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt , , a b c x y z b c c a a b Bài 12: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn 1 a b c . CMR: 1 1 1 1 2 22 abc ab bc ca Bài 13: Cho , , 0 a b c thoả mãn 1 abc . CMR: 3 6 1 a b c ab bc ca Bài 14: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR: 1, 2 2 2 4 3 a b c S với S là diện tich tam giác 2, 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 a b a b b c b c c a c a Gợi ý: Đặt , , a x y b y z c z x Bài 15: Cho , , a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 p a p c a c p b b . Trong đó p= a b c . 2 Bài 16: Cho a 0;b 0 , chứng minh rằng 3 5 2 a b 5 ab Bài 17:( Bộ đề thi TSĐH) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b b a c . Bài 18: Trong bài toán 17 trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ hoặc dùng bất đẳng thức Côsi để giải. Sử dụng cách thức trên, hảy giải bài toán sau: 1) Cho a,b,c 0 và a b c d 1 Chứng minh rằng a b c b c d b d a c d a 2 3 2) Cho a,b,c,d 0 , Chứng minh rằng: a) 3 (1 )(1 )(1 ) (1 ) a b c abc b) 4 (a b)(c d) (a c)(b d) (a d)(b c) 6 abcd Bài 19: Cho 1 2 n x ,x , ,x 0;1 , chøng minh r»ng: 2 2 2 2 1 1 2 n n (1 x x ) 4(x x x ) Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 10 Bài 20: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức: 1 1 1 1 1 1 1 1) 2 3( ) 2 3( ) 2 3( ) 4 1 1 1 1 1 1 1 2) 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b b c c a a b c b c a c a b a c b a c b Bài 21: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì: 1 1 1 17 2 3 2 3 2 3 96 a b c b c a c a b Bài 22:(ĐH BK 1986):Cho a, b > 0. Chứng minh: m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m Z + Bài 23: Chứng minh: bc ca ab a b c ; a,b,c 0 a b c Bài 24:( Bộ đề thi TSĐH) Chứng minh: 6 9 2 3 a b a, b 0 : 3a b 16 4 Bài 25:( Bộ đề thi TSĐH) Chứng minh: 4 2 2 1 2a 3a 1 1 a . Bài 26: Chứng minh: 1995 a 1995 a 1 , a > 0 Bài 27: Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . Bài 28: Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c Bài 29: Cho a , b 1 , chứng minh: ab a b 1 b a 1 . Bài 30: Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) Bài 31: Cho a > b > c, Chứng minh: 3 a 3 a b b c c . Bài 32:( Bộ đề thi TSĐH) Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc c) 1 1 1 1 1 1 64 a b c Bài 33:( Bộ đề thi TSĐH) Cho a > b > 0 . Chứng minh: 1 a 3 a b b Bài 34: Chứng minh: a) 2 2 x 2 2 x 1 ,x R b) x 8 6 x 1 , x > 1 c) 2 2 a 5 4 a 1 Bài 35:( Bộ đề thi TSĐH) Chứng minh: ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 Bài 36: Chứng minh: 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , x , y R Bài 37: Chứng minh: a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Bài 38:( Bộ đề thi TSĐH) Cho a , b , c > 0. C/m: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc Bài 39:( Bộ đề thi TSĐH) Cho: a , b > 0 và a + b = 1. Chứng minh: 2 2 1 1 1 1 64 a b Bài 40::( Bộ đề thi TSĐH) Cho ; a, b, c 0 Chứng minh: a b c b c c a a b 15 b c c a a b a b c 2 . Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 1 Chuyên đề : BẤT ĐẲNG THỨC ( SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ) I. Bất đẳng thức. x x ) Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 10 Bài 20: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức: 1 1 1 1 1 1 1 1) 2. Đẳng thức xảy ra khi 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 x y z y x y z x z Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn GV