chuyên đề bất đẳng thức

Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳ

Bất Đẳng Thức

Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng (Xem thêm: đẳng thức)

• Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và

• Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b

Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có

• có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và

• có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b

Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với mộtđại lượng khác

• Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều

Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến Sau đây

ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì

bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện Một bất đẳng thức

đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu

cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm

Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là

1 Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước,

đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức

2 Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng Đó là bài toán giải bất phương trình

Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT

1.Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức

Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng :

Giải:

, bất đẳng thức này đúng do giả thiết Đẳng thức xảy ra

2.Đưa về hàm số: khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục

Ví dụ 1:

Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2] Chứng minh rằng:

Giải:

Do giả thiết

(đpcm)Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 04.Sử dụng tam thức bậc 2:

Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n):

Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu

Bất đẳng thứcCô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thứcCô-Si đó là

kĩ thuật Cô-Si ngược dấu

Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:

Bài giải:

Ta luôn có :

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2) (3)Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:

(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức

Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:

Ta có:

Theo bất đẳng thứcCô-Si ta có: nên

(1)Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2)(3)Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng:Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:

Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:

Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:

bất đẳng thức Schur

bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu rằng với a,b,c là các số thưc không

âm và một số dương r, ta có bất đẳng thức sau:

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng không Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực

Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được

phát biểu rằng: Nếu cho

Vậy thì, theo qui tắc sắp xếp bất đẳng thức, ta có

là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên

Cộng vế theo vế, ta có:

chia cả hai vế cho n2, ta nhận được:

(điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp

phương sai Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức

Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski– Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS Cũng cần tránh nhầm lẫn với

bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bấtđẳng thức Cauchy

Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì

Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học làchúng song song với nhau) Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng zero.

Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide

Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục

Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng

ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong

Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A Schwarz vào năm 1885

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

hay tương đương:

(điều phải chứng minh)

Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý

• Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức này trở thành

Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức

này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng:

Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức

• Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có

Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder

Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được dùng để chứng minh bất đẳng thức Bessel

Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thức Cô-Si

Trong khi học Bàn về kiến thức về mảng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức cơ bản nhất Tuy nhiên trong khi giải bài tập để dùng được bất đẳng thức này một cách linh hoạt hơn thì ta phải dùng đến một phương pháp gọi là phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si.

Khi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu = xảy ra là điều quan trọng và khó khăn nhất Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn

bởi một điều kiện nào đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm được

tham số phù hợp

Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1 Tìm các giá trị nhỏ nhất:

a

b

cộng dồn lại rồi suy ra.

b Như bài trên mình đã nói lên một ý tưởng là thêm vào các biệt số phụ như chẳng hạn Và phương pháp thêm này nói chung rất hiệu quả và triệt để cho các bài toán dạng này

Ta thấy vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra x=y Ta cần chọn các biệt số phụ sao:

(dấu = xảy ra khi )(dấu = xảy ra khi )(dấu = xảy ra khi )

Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z Nên ta có

suy ra: (*)

Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và (*) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn

c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kô ràng buộc Ta chọn các biệt

số phụ sao cho:

(dấu = xảy ra tại )(dấu = xảy ra tại )(dấu = xảy ra tại )

Và mục đích của các biệt số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z

Vậy ta suy ra dễ dàng: (*)

Đồng thời với dấu = xảy ra và đk (*) bạn có thể tìm được biệt số

d.Sang câu d đây là một dạng tổng quát của bài toán này Tuy nhiên khi giải mà làm theo các bước trên thì thật là khó chụi và mất thời gian nhiều Nay mình xin nói thêm đây là một cách rất hay chỉ cần 1 hay 2 dòng là ra các biệt số phụ liền Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cáchtrên vì đây chỉ là một cách suy ra từ pp trên mà thôi

như vậy bạn chỉ cần rút x,y,z theo rồi thế vào điều kiện là có thể ra được điểm rơi

Ngoài ra với bài toán trên nó kô chỉ giới hạn ở mức độ nhỏ đó đâu mà nó còn nâng lên bậc caom,n,k của x,y,z bất kì cộng với điều kiện có thể tổng quát hơn: Mà cách giải vẫn không mấy thay đổi (tuy nhiên đều là số nguyên)

Bài toán 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy+yz+zx=1 Tìm giá trị lớn nhất:

Những bài này chúng ta cũng sẽ và có chung một hương đi giải quyết đó:

a.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các số sẽ tìm được)

Ta có:

dấu = xảy ra khi:

Suy ra:

Và mục đích của các biệt số này là có thể đưa về dạng xy+yz+zx Nên khi đó:

Như vậy ta được hệ phương trình sau:

abd=cef

a+b=1

c+d=1

e+f=2

Hệ trên 6 phương trình tương ứng với 6 ẩn số các bạn hoàn toàn có thể giải được có điều hơi dài Tuy nhiên trong trường hợp bài toán a,b,c chúng ta thấy rằng các biến x,y có tính đối xứng nay nên việc phân tích sẽ đơn giản hơn thế này a=c, b=d, e=f Như vậy thì đơn giản hơn đúng không?

Còn trường hợp ở bài cuối cùng khá tổng quát thì việc giải nó sẽ khó khăn đôi chút Nhưng cómột phương pháp rất hay và mới:

Xét biểu thức:

Với

Như vậy ta được hệ phương trình bậc 3 theo trong đó là nghiệm dương nhỏ nhất Từ đây bạn có thể tính ra suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà kô cần phải giải a,b,c,d,e,f

Bài toán 3: Cho x,y,z là các số dương, thõa: x+y+z=1 Tìm giá trị lớn nhất của:

Với các dạng bài này thì phương pháp cũng tương tự nhau nên dành cho các bạn vậy! Xem như đây là một bài luyện tập

Ngoài ra đôi lúc trong việc tìm cực trị của bài toán không phải là ta nhìn đã thấy được đó là điểm rơi trong côsi mà nó còn kết hợp với phương pháp khác như đồng nhất thức, đạo hàm, v.v Và chính điều này nó làm tăng thêm phần hay và đẹp của điểm rơi trong Cô-Si.Qua bài viết này mong các bạn sẽ hiểu rõ hơn về bất đẳng thứcCô-Si

BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG

) thì ta có:

Ta sẽ chứng minh BĐT (1) bằng BĐT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức

Bunhiacôpxki cho hai bộ số , và ta được BĐT (1)

Đẳng thức xảy ra khi

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho sự tiện lợi của BĐT Svacxơ trong việc chứng minh BĐT

(Ở đây chỉ là những hướng dẫn cơ bản để các bạn có thể chứng minh BĐT, còn phần đẳng thức xảy ra thì các ban có thể dễ dàng tìm ra nên không trình bày )

Ví dụ 1:Chứng minh rằng với các số dương a,b,c ta đều có :

Lời giải: Ycbt (yêu cầu bài toán)

Ví dụ 2: chứng minh rằng với các số dương a,b,c thoả mãn ta có:

Lời giải: Áp dụng BĐT (1) được

(ĐPCM)

Ví dụ 3: chứng minh rằng với các số dương a,b,c thì

Lời giải : Áp dụng BĐT (1) ta suy ra

bên trên ta suy ra ĐPCM

Ví dụ 4: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = 1 CMR

Lời giải : Áp dụng BĐT Svacxơ được:

Từ đó suy ra , đạt được tại

Ví dụ 6:Cho a,b,c > 0 và thoả mãn a+b+c =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải: Áp dụng BĐT côsi có và

cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn

Không gian vectơ định chuẩn

Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác được phát biểu như sau: ||x + y||

≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V tức là, chuẩn của tổng hai vectơ không thể lớn hơn tổng chuẩn của hai vectơ đó

Đường thẳng thực là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vì thế có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau:

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó

Cũng có một ước lượng chặn dưới mà có thể tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y:

bất đẳng thức becnuli bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x

Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:

với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1 Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau:

với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0

Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

Chứng minh:

Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng đúng

Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k:

Cần chứng minh:

Thật vậy, (vì theo giả thiết )

=> Bất đẳng thức đúng với r=k+1

Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi

Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thực bất kỳ như sau: nếu x > −1, thì

với r ≤ 0 or r ≥ 1, và

với 0 ≤ r ≤ 1

Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các đạo hàm

Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị

Thời gian qua mình đã nhận được nhiều yêu cầu của các bạn hướng dẫn cách làm bài tập về BĐT và cực trị.Đây cũng là mảng kiến thức sâu rộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết các bài tập dạng này thông qua PP chọn

"điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán được để từ đó có hướng giải quyết phù hợp nhất

Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3

Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản:

Bài 1: Cho Tìm Min của:

Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu thuẫn với đk

Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3 thì và

Ta áp dụng Cosi như sau: ta có

Khi đó kết hợp với đk ta có

Dễ thấy khi a=3 thì Vậy khi a=3

Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:

Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau:

tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có Thay vào ta có

Bài 3:

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR:

Giải:

Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng

.Ở đây dễ thấy Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP