chuyên đề bất đẳng thức

Bất Đẳng Thức Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. (Xem thêm: đẳng thức) • Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và • Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b. Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có • có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và • có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b. Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác. • Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều. Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó. Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm. Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là 1. Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2. Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình. Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT 1.Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng : Giải: , bất đẳng thức này đúng do giả thiết Đẳng thức xảy ra 2.Đưa về hàm số: khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Giải: Từ giả thiết . Ta có : Đặt với ; có P là hàm nghịch biến trong đoạn ( đạt khi hoặc ). ( đạt khi ). 3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán Ví dụ 1: Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng: Giải: Do giả thiết (đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta đều có: Giải: bất đẳng thức cần chứng minh đúng với . Với , đpcm (1) Ta có : ( đpcm). Ví dụ 3: Cho . Chứng minh: Giải: Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 0 4.Sử dụng tam thức bậc 2: Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện , ta luôn có: Giải: - Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. - Nếu thì với và đpcm Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với nên (1) đúng ( đpcm) 5.Phương pháp quy nạp: Ví dụ: Chứng minh rằng với thì Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên. Giải: Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây: Với . Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n): - Với ( do . - Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với . Do khẳng định đúng với Vì Mà vế phải bằng Vậy khẳng định đúng với Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu. Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Bài giải: Ta luôn có : Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng: Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có: Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có: Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng: bất đẳng thức Schur bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu rằng với a,b,c là các số thưc không âm và một số dương r, ta có bất đẳng thức sau: dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng không. Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực x, y, và z. Chứng minh Ta có thể giả sử một cách tổng quát rằng dựa vào tính chất đối xứng của bất đẳng thức. Biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được: Điều trên hiển nhiên đúng vì mọi số hạng của vế trái đều không âm. Bất đẳng thức cộng Chebyshev Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho và thì Tương tự, nếu và thì Chứng minh Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng qui tắc sắp xếp bất đẳng thức. Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau và Vậy thì, theo qui tắc sắp xếp bất đẳng thức, ta có là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên. Cộng vế theo vế, ta có: chia cả hai vế cho n2, ta nhận được: (điều phải chứng minh) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski– Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS. Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy. Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng zero. Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide. Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục. Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A. Schwarz vào năm 1885. Chứng minh Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <y, y> khác zero. Giả sử λ là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau: Chọn chúng ta được mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi hay tương đương: (điều phải chứng minh) Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý • Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức này trở thành . Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: . Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng: Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức • Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder. Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được dùng để chứng minh bất đẳng thức Bessel. Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thức Cô-Si Trong khi học Bàn về kiến thức về mảng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức cơ bản nhất .Tuy nhiên trong khi giải bài tập để dùng được bất đẳng thức này một cách linh hoạt hơn thì ta phải dùng đến một phương pháp gọi là phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si. Khi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu = xảy ra là điều quan trọng và khó khăn nhất. Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn bởi một điều kiện nào đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm. Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm được tham số phù hợp. Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá trị nhỏ nhất: a. b. [...]... minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các đạo hàm Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên Các bất đẳng thức liên quan Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác Với số thực x bất kỳ, r > 0, chúng ta có với e = 2.718 Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức. .. thức becnuli bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x Bất đẳng thức này được phát biểu như sau: với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1 Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau: với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0 Bất đẳng thức Bernoulli... các bất đẳng thức khác Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh: Khi r=0, bất đẳng thức trở thành Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: Cần chứng minh: tức là mà rõ ràng đúng Thật vậy, (vì theo giả thiết (vì ) ) => Bất đẳng thức đúng với r=k+1 Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thực bất. .. nhất thức, đạo hàm, v.v Và chính điều này nó làm tăng thêm phần hay và đẹp của điểm rơi trong Cô-Si.Qua bài viết này mong các bạn sẽ hiểu rõ hơn về bất đẳng thức Cô-Si BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG Bất đẳng thức Svacxơ được phát biểu như sau: Cho hai dãy số thực ) thì ta có: và Ta sẽ chứng minh BĐT (1) bằng BĐT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số Đẳng thức xảy... phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau: Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó Cũng có một ước lượng chặn dưới mà có thể tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y: bất đẳng thức becnuli... chứng minh bất đẳng thức II Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm III Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình B NỘI DUNG I SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Phương pháp Từ định lí Lagrange , nếu thì: Vậy Từ định lí Lagrange để áp dụng được kết quả trên, điều quan trọng nhất là xác định được hàm số F(x) *Ví dụ minh họa VD1: CMR nếu th×: Giải Bất đẳng thức đã cho... của hai cạnh còn lại Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn Không gian vectơ định chuẩn Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác được phát biểu... của " Đối với dân chuyên Toán và có thể nhiều bạn khác nữa, bài toán này tương đối dễ Còn đối với tôi không phải dân chuyên Toán, việc giải và mở rộng bài toán này đã đưa đến nhiều kết quả thú vị Trước hết ta xem xét lời giải của bài toán trên: Cộng 2 BĐT trên ta có Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi Tuy nhiên vấn đề đặt ra là tại sao nghĩ ra được số để thêm vào BĐT? Để giải quyết vấn đề này, sử dụng ý... thể áp dụng Cosi ngay để thuẫn với đk vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3 thì và Ta áp dụng Cosi như sau: ta có Khi đó kết hợp với đk ta có Dễ thấy khi a=3 thì Vậy khi a=3 Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR: Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này như sau: và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi Tương tự cho 2 BĐT... biểu thức Lời giải: Ta có Ta lại có Từ đó suy ra , đạt được tại Ví dụ 6:Cho a,b,c > 0 và thoả mãn a+b+c =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của Lời giải: Áp dụng BĐT côsi có và Từ đó Áp dụng BĐT Svacxơ được Mặt khác ta lại có Vậy , suy ra minQ = 30, đạt được tại BĐT tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại Bất đẳng . chứng minh bất đẳng thức Bessel. Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thức Cô-Si Trong khi học Bàn về kiến thức về mảng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức cơ bản. của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder. Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y: bất đẳng thức becnuli bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần