Chuyen de bat dang thuc cosi - toán THCS THPT
Trường THPT chun Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CAUCHY) Kỹ thuật chọn điểm rơi hay gọi kỹ thuật điều chỉnh lựa chọn tham số Đối với số BĐT đồng dạng khơng đối xứng dấu BĐT BĐT thường xảy giá trị biến tướng ứng khơng Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải tốn BĐT (hay cực trị) dạng khơng đối xứng cần thiết Một kỹ thuật xây dựng thuật tốn thứ tự gần (kỹ thuật điểm rơi) Kỹ thuật chủ yếu thường giá trị trung gian xác định theo cách chọn đặc biệt để tất dấu đẳng thức đồng thời xảy Tham số phụ đưa vào cách hợp lý để phương trình xác định chúng có nghiệm Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức Cauchy n Cho số a1 a2 an n thực không a1 , a2 , , an (n 2) âm a1a2 an Dấu “=” xảy a1 n ta a2 an có Một vài hệ quan trọng: (a1 a2 an ) a1 1 a2 an n2 với 0, i 1, n n2 với 0, i 1, n a1 a2 an Cho 2n số dương ( n Z , n ): a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn ta có: a1 n 1 a2 an (a1 b1 )(a2 b2 ) (an bn ) n a1a2 an n b1b2 bn Bài tốn mở đầu: VD1 Cho Khi ta có hệ với Ta có Rõ ràng với tốn kết BĐT Cauchy Nếu thay điều kiện Bài 1: Cho a Tìm Min S Chun đề BĐT cauchy hay a hay … lời giải tốn nào?? a Trường THPT chun Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Bình luận lời giải : +Sai lầm : S a a a a a S +Ngun nhân : S a điều mâu thuẫn với giả thiết a +Xác định điểm rơi : Ta thấy a tăng S lớn nên dẫn đến dự đốn a=3 S nhận giá trị nhỏ Và 10 S a Do BĐT Cauchy xãy dấu đẳng thức điều kiện số tham gia phải a nên ta đưa tham số cho điểm rơi a = cặp số phải Với a=3 cho cặp số a 3 a 3 +Lời giải : S a a a a Đẳng thức xãy Bài 2: Cho a 8a a a a 8.3 10 MinS 10 3 Tìm Min S a a2 +Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số Chun đề BĐT cauchy Trường THPT chun Quang Trung a GV: Nguyễn Việt Hải 2 a2 4 +Sai lầm : S a a2 a a2 7a a a2 7a 8a 7a 8.2 7.2 9 Với a=2 S +Ngun nhân : Lời giải mắc sai lầm việc đánh giá mẫu số : “ Nếu a 8a đánh giá sai “ Ta phải để sử dụng BĐT Cauchy khử hết biến số a mẫu số tử số +Lời giải : S a a2 a Đẳng thức xãy Bài 3: Cho a a2 a 6a 33 a a 8 a2 6.2 S a, b Tìm S a b ab ab +Sai lầm : Chun đề BĐT cauchy Trường THPT chun Quang Trung S ab ab S GV: Nguyễn Việt Hải +Ngun nhân : S ab ab ab a b 2 1 (vơ lí ) +Lời giải : Đặt ab t t ab a b điều dẫn đến tốn Cho t Tìm S t t Với t t 4 t 4 16 Ta có : S t Với t t t 16 t hay a b 15t 16 t 15.4 16 t 16 S 17 17 Lời giải 3: Do Chun đề BĐT cauchy Trường THPT chun Quang Trung t a b GV: Nguyễn Việt Hải nên S ab ab ab 16ab 15 16ab a Đẳng thức xãy b ab Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn a b c b2 a2 S c2 b2 16ab 15 16 a b 17 S 17 Tìm a2 c2 +Sai lầm : S 33 a2 b2 b c2 c a2 36 a b2 b2 c2 c2 a2 3.6 S +Ngun nhân : S a b c a b c a b c 3 trái với giả thiết +Xác định điểm rơi : Chun đề BĐT cauchy Trường THPT chun Quang Trung a b a2 c b2 a2 c2 c2 b2 GV: Nguyễn Việt Hải 4 16 +Lời giải : 1 2 16 b16 b a2 S b2 1 2 16 c16 c 16 17.17 a2 1616 b 32 17.17 Với a 16 17.17 16 a b c b c a2 1616 b 32 a b c 2b 16 a2 1616 b 32 17 17 a 16 b16 17 217 (2a.2b.2c) S a 17.17 17 217 2a 2b 2c 15 17 b 16 c16 17 c 16 a 16 17 17 Bài 5: Cho a,b,c>0 a 2b 3c S 1 2 16 a 16 a c2 20 Tìm c Chun đề BĐT cauchy Trường THPT chun Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Lời giải : Ta dự đốn S=1 điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 Sử dụng BĐT Cauchy ta có : a a a a a 4 a b b b b b b c 16 c c 16 c 16 c c 3a b c a 2b c (1) Mà a 2b 3c a 20 b 3c (2) Cộng (1) (2) vế theo vế S 13 S 13 Đẳng thức xãy a 2, b 3, c * Bài tập tương tự: Bài 6: Cho a, b, c ab 12; bc Chứng minh rằng: S ( a b c) ab bc ca abc 121 Bài 7: Cho a,b,c>0 a=max{a,b,c} Tìm S a b Chun đề BĐT cauchy b c 33 c a Trường THPT chun Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Bài 8: Cho tam giác ABC Tìm T sin A sin B sin C sin A sin B sin C Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn Tìm T cos2 B sin A cos2 C sin B x, y , z Bài 10 Cho 1 x y z sin C cos2 A Tìm GTLN P 2x y z x 2y z x y 2z 18 x z 10 Lời giải Sai lầm 1: 1 2x Ta có P MaxP y z 1 x 2y z 1 x y 2z y 10 Sai lầm 2: P 33 xyz 33 x.2 yz 33 xy z 11 3 2x y z 11 33 x 2y z 11 33 x y 2z 10 Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi MaxP 10 2x y z 2y 2z x x z y x y z (vn) , tức không tồn ( x, y, z ) D : P Lời giải đúng: Từ hai lời giải với dự đoán MaxP đạt x số 2x 10 y z nên tách x x cho dấu xẩy Chun đề BĐT cauchy Trường THPT chun Quang Trung 2x y z Cách 1: Ta có 16 P x y z Cách 2: Ta có x 1 1 x x y z P 1 16 x y MaxP x x x x y y z 1 x x z y GV: Nguyễn Việt Hải z x x y z y z x y z 1 16 x y x z 2x y z 4 x.x y.z 2x y z , tương tự ta có: z , MaxP x 16 x Dấu “=” xảy x z y y y z 4 x yz y z , mặt khác: , tương tự ta có: z , suy ra: Ta thể mở rộng tốn 10 Thành tốn tổng qt sau x, y , z Cho 1 x y Với , , z Tìm GTLN P x y z x y z x y z N Chun đề BĐT cauchy