Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên đề “Bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai’

Trình bày cơ sở lí luận về phương pháp dạy học giải quyết vấn đề. Hệ thống kiến thức liên quan và phương pháp giải bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai. Đề xuất biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. Kiểm chứng tính khả thi của đề tài thông qua thực nghiệm sư phạm.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TỰ THỊ HIÊN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT

VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC

TRỊ DẠNG THUẦN NHẤT BẬC HAI”

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TỰ THỊ HIÊN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT

VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2019

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đãnhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ và động viên của nhiều cá nhân và tậpthể, tôi xin trân trọng cảm ơn tới tất cả các cá nhân và tập thể đã giúp đỡtôi trong thời gian qua

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu.Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em thực hiện, hoànthành luận văn này

Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo khoa Sư Phạm, TrườngĐại học Giáo Dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đã đem lại cho em nhữngkiến thức vô cùng có ích trong những năm học vừa qua

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo vàcác em học sinh trường Trung học phổ thông Nguyễn Thị Minh Khai, HàNội đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi học tập và tổ chức thực nghiệm sưphạm

Mặc dù cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, bạn bè

và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện và phát triển hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 2 năm 2019

Tác giả

Tự Thị Hiên

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

AM-GM Arithmetic Mean and Geometric Mean

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU, SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1: Quá trình tư duy giải quyết vấn đề 12

Bảng 3.1: Phân phối tần số kết quả bài kiểm tra 78

Bảng 3.2: Phân phối tần suất kết quả của bài kiểm tra 78

Bảng 3.3: Phân phối tần suất lũy tích kết quả của bài kiểm tra 78

Bảng 3.4: Tổng hợp phân loại kết quả của bài kiểm tra 78

Biểu đồ 3.1: Tần suất học sinh đạt điểm Xi trong bài kiểm tra 79

Biểu đồ 3.2: Đường lũy tích phần trăm số học sinh đạt điểm Xi

trở xuống trong bài kiểm tra 79

Biểu đồ 3.3: Phân loại kết quả học tập của học sinh 80

Mục lục

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU, SƠ ĐỒ iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài 5 1.1 Năng lực và năng lực toán 5

1.1.1 Năng lực (Competence) 5

1.1.2 Năng lực toán học (Mathematical competence) 5

1.1.3 Năng lực giải toán 6

1.2 Tổng quan về dạy học giải quyết vấn đề 7

1.2.1 Cơ sở khoa học 7

1.2.2 Các khái niệm về dạy học giải quyết vấn đề 9

1.2.3 Phân chia cấp độ dạy học giải quyết vấn đề 10

1.2.4 Quy trình dạy học giải quyết vấn đề 12

1.3 Xu hướng dạy học hiện nay 14

1.3.1 Các bài toán bất đẳng thức và cực trị trong chương trình và sách giáo khoa phổ thông 14

1.3.2 Thực tế dạy học các bài toán về bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai 15

Chương 2 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên đề bất đẳng thức và cực trị dạng

2.1 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏi

thông qua dạy học chuyên đề về bất đẳng thức dạng thuần

nhất bậc hai 18

2.1.1 Nhắc lại một số tính chất cơ bản cần dùng về tam thức bậc hai 18

2.1.2 Hai bất đẳng thức cổ điển 19

2.1.3 Hàm số thuần nhất 22

2.1.4 Một số kĩ thuật giải bất đẳng thức thuần nhất bậc hai 22

2.2 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên đề về cực trị dạng thuần nhất bậc hai 41

2.2.1 Cực trị của biểu thức đại số chứa hai biến 41

2.2.2 Cực trị của biểu thức đại số chứa ba biến 49

2.3 Các đề thi học sinh giỏi và Olympic liên quan 58

2.4 Đề xuất biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua nội dung bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai 60

2.4.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh giải quyết vấn đề mới dựa trên nền tảng vấn đề cũ. 60

2.4.2 Biện pháp 2: Xây dựng, thiết kế hệ thống các dạng bài tập và phương pháp giải. 61

2.4.3 Biện pháp 3: Thiết kế tình huống vấn đề trong các bài toán bất đẳng thức. 61

2.4.4 Biện pháp 4: Khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán. 62

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm 64 3.1 Khái quát thực nghiệm sư phạm 64

3.1.1 Mục đích 64

3.1.2 Nhiệm vụ 64

3.2 Kế hoạch thực nghiệm sư phạm 64

3.2.1 Thời gian thực nghiệm 64

3.2.2 Địa điểm thực nghiệm 64

3.2.3 Đối tượng thực nghiệm 64

3.3 Nội dung thực nghiệm 65

3.3.1 Giáo án thực nghiệm 65

3.3.2 Đề kiểm tra sau khi tiến hành thực nghiệm 75

3.4 Đánh giá kết quả 78

3.4.1 Kết quả 78

3.4.2 Kết quả định lượng 78

3.4.3 Kết quả định tính 80

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là bộ môn khoa học có liên hệ mật thiết với thực tiễn, cónhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như khoahọc, công nghệ cũng như trong đời sống Bởi thế cho nên, toán học trở nênthiết yếu, ảnh hưởng đến hầu hết các ngành khoa học Hơn nữa, trong thờiđại công nghệ 4.0 phát triển như vũ bão, yêu cầu năng lực của con ngườingày càng phải phát triển hơn, nâng cao trình độ, hoàn thiện bản thân Vìthế, việc rèn luyện và phát triển năng lực vận dụng kiến thức toán học làđiều rất cần thiết và phù hợp đối với mục tiêu giáo dục

Điều cần chú ý của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề là làm saothông qua quá trình gợi ý, gợi mở, dẫn dắt, vấn đáp, giả định, giáo viên tạođiều kiện cho học sinh tranh luận, tìm tòi, phát hiện ra được vấn đề tồn tạithông qua các tình huống có vấn đề Đó là cái cốt yếu của việc dạy học giảiquyết vấn đề Các tình huống này được xuất hiện do nhiều nguyên nhânkhác nhau, có thể do giáo viên chủ động xây dựng, cũng có thể do logickiến thức của bài học tạo nên, cũng có thể do sai lầm từ các em học sinh.Trên thực tế, các bài toán về bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhấtbậc hai là các bài toán hay và khó nằm ở nội dung nâng cao và có mặt trongnhiều kì thi như kì thi học sinh giỏi toán Quốc gia, thi Olympic toán khuvực và quốc tế, thi Olympic toán sinh viên giữa các trường đại học và caođẳng Qua quá trình học tập và dạy học, tôi nhận thấy đây là một nội dungkhó, học sinh thường xuyên bế tắc, không định hướng được cách giải, cònnhiều nhầm lẫn, sai lầm Vì vậy, giáo viên dạy cần phải biết tạo tình huốnggợi vấn đề, có kĩ năng thiết kế hệ thống câu hỏi trong dạy học bất đẳngthức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai, giúp học sinh tích cực giải quyếtvấn đề, chủ động chiếm lĩnh kiến thức

Hiện nay, trong nhà trường, tạo tình huống có vấn đề đối với dạngtoán bất đẳng thức, cực trị thuần nhất bậc hai còn nhiều hạn chế Không

những thế, tài liệu học tập, nghiên cứu các dạng toán này chưa đủ đápứng nhu cầu dạy học của giáo viên và học sinh, học sinh thiếu điều kiện

để tiếp cận và nâng cao nội dung đó Điều đó chứng tỏ, việc phát triểnnăng lực giải quyết vấn đề cho học sinh đối với dạng toán này là vấn đềcấp thiết

Với các lí do trên, tôi muốn phát triển năng lực giải quyết vấn đề trongdạy học bất đẳng và cực trị dạng thuần nhất bậc hai theo hướng tích cựchóa giới hạn trong chương trình nâng cao bậc trung học phổ thông Hơnnữa, xuất phát từ đặc điểm, ý nghĩa của chuyên đề và đối tượng thựcnghiệm, tôi chỉ tập trung dạng hai biến và ba biến Cho nên, tôi chọn đề

tài Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên đề "Bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai".

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nâng cao năng lựcgiải quyết vấn đề vận dụng kiến thức toán học, từ đó tìm ra các phươngpháp tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trung học phổ thông

- Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng trong dạy học nội dung bấtđẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai phù hợp với điều kiện đổimới phương pháp dạy học ở Việt Nam hiện nay

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc phát triển năng lực giải quyết vấn

đề liên quan đến nội dung toán học của đề tài

- Thiết kế, xây dựng và tổ chức các hoạt động dạy học gắn với nộidung bất đẳng thức và cực trị thuần nhất bậc hai chương trình nâng cao

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để khảo sát thực trạng và đánh giá

sự phù hợp của đề tài đối với điều kiện giáo dục toán học ở Việt Nam

4 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài giới hạn trong nội dung bất đẳng thức và cực trị dạng thuầnnhất bậc hai dạng hai biến và ba biến (chương trình nâng cao)

5 Đối tượng, khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khágiỏi cấp trung học phổ thông

- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn toán, cụ thể là chuyên

đề bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai

- Mẫu khảo sát: Giáo viên và học sinh khá giỏi trường Trung học phổthông Nguyễn Thị Minh Khai, Hà Nội

6 Câu hỏi nghiên cứu

Dạy học nội dung bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hainhư thế nào để giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề và vậndụng vào thực tiễn ?

7 Giả thuyết khoa học

Theo quan điểm cá nhân, dạy học nội dung bất đẳng thức và cực trịtheo hướng phát triển năng lực sẽ giúp học sinh phát triển năng lực giảiquyết vấn đề toán học cũng như trong đời sống, từ đó, học sinh sẽ hứngthú học tập hơn và yêu thích môn toán hơn

8 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu, phân tích, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu vềgiáo dục học môn toán, tâm lý học, lí luận dạy học bộ môn toán

- Nghiên cứu các sách về bất đẳng thức, về phương pháp dạy học giảiquyết vấn đề, các bài báo, các bài viết khoa học toán hỗ trợ cho đề tài, cáccông trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp tới đề tài

- Điều tra giáo dục.

- Quan sát, xây dựng tổ chức thực nghiệm

- Thực nghiệm sư phạm: dạy học một số giáo án soạn theo hướng của

đề tài, nhằm mục đích đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài

- Sử dụng các phần mềm thống kê toán học để xử lí số liệu sau khitiến hành thực nghiệm, điều tra khảo sát

9 Những đóng góp của luận văn

Góp phần cung cấp cơ sở lí luận về giải quyết vấn đề, một số vấn đềthực tiễn xoay quanh đề tài

Hệ thống hóa các chủ đề và phương pháp giải về bất đẳng thức vàcực trị dạng hai biến, ba biến cho học sinh khá giỏi cấp trung học

Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo về phần bất đẳng thức và cựctrị dạng thuần nhất bậc hai cho giáo viên và học sinh

10 Cấu trúc luận văn

Chương 1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn

Chương 2 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏithông qua dạy chuyên đề bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai2.1 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏi thôngqua dạy học chuyên đề về bất đẳng thức dạng thuần nhất bậc hai

2.2 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏi thôngqua dạy học chuyên đề về cực trị dạng thuần nhất bậc hai

2.3 Các dạng toán nâng cao có liên quan

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

3.1 Khái quát thực nghiệm sư phạm

3.2 Kế hoạch và nội dung thực nghiệm

3.3 Tổ chức thực nghiệm

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Năng lực và năng lực toán

1.1.1 Năng lực (Competence)

Quan niệm về năng lực phụ thuộc sự lựa chọn dấu hiệu, dấu hiệukhác nhau thì quan niệm khác nhau Tuy nhiên, đa số các tài liệu địnhnghĩa năng lực đều quy vào phạm trù khả năng ("competence", "ability",

"capability")

Năng lực là sự kết hợp của các kiến thức kĩ năng và thái độ có sẵnhoặc ở dạng tiềm năng của một cá nhân, là tổng hợp đặc điểm thuộc tínhtâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhấtđịnh nhằm có hiệu quả cao

Nói như thế, chúng ta cũng có thể hiểu năng lực là khả năng thực hiệnthành công hoạt động trong một hoàn cảnh nhất định nào đó dựa vào sựhuy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng của mỗi người, cùng với thuộctính khác như hứng thú, niềm tin, ý chí

Với quan niệm năng lực như trên, có thể chia năng lực ra thành hainhóm như sau: nhóm một là nhóm năng lực chung và nhóm hai là nhómnăng lực chuyên biệt Năng lực chung là năng lực cơ bản, thiết yếu để mọi

cá nhân có thể sống, làm việc và tham gia hiệu quả các hoạt động của đờisống xã hội Trên cơ sở năng lực chung theo hướng chuyên sâu, riêng biệtthì hình thành năng lực chuyên biệt của mỗi cá nhân Nhóm các năng lựcchuyên biệt được hình thành, phát triển thông qua dạy học các bộ môn,đáp ứng yêu cầu riêng biệt của một lĩnh vực hoạt động

Năng lực nói chung là tổ hợp các thuộc tính sinh học, tâm lí và xã hộicủa cá nhân, cho phép cá nhân thực hiện thành công hoạt động nhất định,đạt kết quả mong muốn trong điều kiện cụ thể và theo yêu cầu cụ thể

1.1.2 Năng lực toán học (Mathematical competence)

Khái niệm năng lực (literacy) trong Chương trình đánh giá học sinh

toàn cầu (PISA) bao hàm cả hai khái niệm, khái niệm về kiến thức và cảkhái niệm về kĩ năng PISA quan tâm tới bốn dạng năng lực: đọc hiểu, toánhọc, khoa học và giải quyết vấn đề.

Năng lực để học tập toán là những đặc điểm tâm lý cá nhân, bắt đầu

từ hoạt động trí não, phục vụ yêu cầu hoạt động học toán Từ đó, ngườihọc ghi nhớ kiến thức nhanh, dễ dàng và sâu sắc hơn; kĩ năng, kĩ xảo cũngphát triển tốt hơn

Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học nhưng có thểhiểu năng lực toán học là tổ hợp các kĩ năng của cá nhân đảm bảo thựchiện các hoạt động toán học Các kỹ năng cá nhân vừa là sản phẩm củasinh lý con người vừa là sản phẩm của tâm lý con người Các kỹ năng nàyđược chi phối bởi cả tâm sinh lý, hoàn toàn không tách rời Năng lực toánhọc bao gồm một số năng lực thành phần sau:

- Thu thập lại các thông tin liên quan và tiến hành xử lý thông tin toánhọc là năng lực toán học cơ bản

- Tiếp theo là năng lực tính toán, giải bài toán

- Khả năng phân tích, tổng hợp, lập luận logic, phản biện và sáng tạo

đó là các yếu tố thành phần tạo nên năng lực tư duy toán học

- Năng lực ngôn ngữ toán học; cách diễn đạt ngôn từ toán học

- Khả năng vận dụng toán học vào thực tiễn của mỗi người là hoàntoàn khác nhau

- Loại năng lực cuối cùng: Năng lực sáng tạo toán học, là khả năngphát hiện, hiểu và kiến tạo được các cấu trúc, quy luật toán học mới, cónhững sản phẩm mang tính đột phá, không theo lối mòn Loại năng lựcnày thường chỉ có ở các nhà khoa học, học sinh giỏi, xuất sắc,

1.1.3 Năng lực giải toán

Các thành tố của năng lực giải toán được cấu thành bởi:

- Hiểu rõ và giới hạn phạm vi của bài toán, xác định rõ vấn đề trong cáctình huống cần giải quyết, luôn nhìn bài toán ở nhiều góc độ và tìm tòithêm hướng giải nếu có thể

- Xác định mối liên hệ mật thiết giữa các thành phần chính trong đề bài,

và từ đó làm sao xử lý sự liên kết, và phối hợp các tình huống vấn đề bởicách thức xâu chuỗi các vấn đề với nhau

- Người học có khả năng dự đoán trước được một số tình huống nào đó sẽxảy ra và các chiến lược giải, sau đó lựa chọn phương pháp giải thích hợp

Để có được khả năng này, đòi hỏi chủ thể phải có vốn kiến thức nhất địnhcùng với kinh nghiệm do bồi dưỡng rèn luyện trong quá trình học tập.Đặc trưng chính của năng lực giải toán:

- Đó là dạng năng lực hoạt động cá nhân được nảy sinh khi có những tìnhhuống vấn đề, có nhu cầu hay mâu thuẫn cần giải quyết, đó cũng là biểuhiện của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

- Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, sángtạo, độc lập của học sinh, nhiệt tình huy động tri thức và kinh nghiệmtrong tiến trình giải toán để đi đến lời giải, dựa vào bài toán ban đầu đểtìm hướng giải quyết của bài toán đã cho

- Một đặc trưng nữa là tính hướng đích và tính kết quả cao

Nói tóm lại, để hình thành năng lực giải toán cho học sinh, phụ thuộcnhiều điều kiện Điều kiện bên ngoài, nhấn mạnh tác động khách quancủa người giáo viên và môi trường Điều kiện bên trong, nội lực của quátrình hình thành, tự giác, chủ động, có ý thức ứng dụng kiến thức và kĩnăng thu nhận được từ các tình huống của học sinh

1.2 Tổng quan về dạy học giải quyết vấn đề

Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề chú ý đến nguồn gốc, độnglực của sự phát triển, cơ chế phát triển như thế nào Tuy nhiên thời điểmnào có sự phát triển đó thì chưa giải quyết một cách thỏa đáng Đây cũng

là một trong những nguyên nhân thể hiện sự hạn chế của phương phápdạy học giải quyết vấn đề

Cơ chế của sự phát triển nhận thức tuân theo quy luật lượng đổi chấtđổi, lượng là số lượng vấn đề được lĩnh hội qua việc học theo phươngpháp giải quyết vấn đề, chất chính là năng lực phát hiện và giải quyết vấn

đề Sự biến đổi về chất sẽ được diễn ra khi thay đổi nhất định về lượng.Cách tốt nhất để đảm bảo cho sự biến đổi là sử dụng phương pháp giảiquyết vấn đề mỗi khi có thể bằng cách thiết kế quy trình dạy học hợp lý,cùng với các biện pháp sư phạm tương ứng với quy trình đó

Cơ sở tâm lý học

Lý thuyết hoạt động là cơ sở của phương pháp dạy học giải quyết vấn

đề Các nhà tâm lý học cho rằng con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khinảy sinh nhu cầu tư duy, có nghĩa là khi đối diện với tình huống gợi vấn

đề, đứng trước chướng ngại vật, thì bản thân mỗi người sẽ mong muốnlàm sao khắc phục hay giải quyết được vấn đề Quá trình nhận thức luônthực hiện nhờ tư duy, bản chất của tư duy là từ nhận thức đến giải quyếtcác nhiệm vụ của mỗi người

Ta có thể mô phỏng lại như sau: Giáo viên đưa học sinh đến tìnhhuống vấn đề, tình huống phải gây cảm xúc ngạc nhiên, háo hức, hứngthú, tò mò, học sinh càng tích cực suy nghĩ thì càng dễ dàng giải quyếtđược tình huống Hoặc cũng có thể, chính học sinh độc lập suy nghĩ, tựtìm con đường vượt qua khó khăn, trở ngại, dẫn đến kết quả nào đó hoặcnhờ sự dẫn dắt của giáo viên để vượt qua

Ngoài ra, theo quan điểm của tâm lý học kiến tạo, phương pháp dạyhọc giải quyết vấn đề đáp ứng được yêu cầu quá trình học tập của mỗingười chính là quá trình người học tự xây dựng tri thức nhờ sự liên kết

giữa kinh nghiệm và kiến thức đã biết từ trước.

Cơ sở giáo dục học

Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề kích thích được hoạt độnghọc tập của người học, giúp tạo động cơ trong quá trình phát hiện và giảiquyết vấn đề Bởi vậy cho nên, dạy học giải quyết vấn đề phù hợp vớinguyên tắc tự giác, nguyên tắc tích cực trong dạy học Kiểu dạy học nàythể hiện tác dụng phát triển năng lực, trí tuệ ở việc học sinh được học cáchtìm hiểu, khám phá, khai thác thông qua cách thức phát hiện, bám sát vàtìm giải pháp giải quyết vấn đề một cách hệ thống, logic

Biểu hiện của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là sự thống nhấtgiữa giáo dưỡng và giáo dục, rèn luyện cho học sinh cách thức phát hiện,tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học, bồi dưỡng đức tính chủđộng, sáng tạo, tích cực, kiên trì, vượt khó, có kế hoạch,

1.2.2 Các khái niệm về dạy học giải quyết vấn đề

Theo Nguyễn Bá Kim [6, tr.185], hệ thống là một tập hợp gồm nhữngphần tử cùng với những quan hệ giữa những phần tử của tập hợp đó.Một tình huống gồm có chủ thể - người và khách thể - hệ thống nào

đó, được hiểu là một hệ thống phức tạp Và chỉ cần ít nhất một phần tửcủa hệ thống nào đó mà người học vẫn chưa biết thì tình huống này đượcgọi là tình huống bài toán

Một bài toán được xét trong tình huống bài toán, khi mà người họcđặt ra mục tiêu tìm yếu tố chưa biết dựa vào yếu tố đã được cho trước củakhách thể Vấn đề là một khái niệm tương đối, tùy thuộc vào hoàn cảnh cụthể, cũng có thể hiểu vấn đề là bài toán mà người học hoàn toàn chưa cócách giải để tìm yếu tố chưa xác định được

Chúng ta quan tâm tới tình huống có chứa đựng một bài toán màngười học ý thức được nó và tiếp nhận nó để giải quyết

- Với kiến thức sẵn có được trang bị từ trước, chủ thể hoàn toàn có thểgiải quyết được bài toán một cách thuận lợi, không có khó khăn nào

- Trường hợp chủ thể - người học chưa hề biết một thuật giải, hay mộtphương pháp giải nào giải quyết bài toán, khi đó, phát sinh nhu cầu, từ

mô hình kiến thức đã biết tích cực suy nghĩ, biến đổi sao cho phù hợp nhất

có thể

Khi bài toán là một vấn đề với người học, hai khái niệm bài toán vàchủ thể không giống nhau Bài toán là có vấn đề còn tùy thuộc vào đốitượng chủ thể cụ thể cùng với thời điểm xuất hiện bài toán Muốn một bàitoán trở thành vấn đề đối với người học, thì bản thân người học phải ýthức được về bài toán cũng như nhu cầu tiếp nhận bài toán

Tình huống gợi vấn đề (tình huống vấn đề), theo Nguyễn Bá Kim [6,tr.187] là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luậnhay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng khôngphải ngay tức khắc nhờ một quy tắc tính chất toán, mà phải trải qua mộtquá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt độnghoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

- Chứa đựng ít nhất một vấn đề: Tình huống phải biểu hiện được mâuthuẫn giữa thực tế với khả năng nhận thức hiện tại

- Kích thích mong muốn, nguyện vọng muốn được nhận thức: Họcsinh phải cảm thấy cần thiết, họ phải thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó.Nếu người học không quan tâm, hoặc thờ ơ thì tình huống mà giáo viênđưa ra chưa đạt yêu cầu về sự gợi nhu cầu nhận thức

- Tạo dựng niềm tin ở chính bản thân người học: Người dạy cần làmcho học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải nhưng đã có các kiếnthức, kĩ năng liên quan và nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ giải được bài toánđó

- Mục tiêu của quá trình dạy học ngoài việc làm cho học sinh lĩnh hội,tiếp nhận kết quả của quá trình giải quyết vấn đề mà quan trọng hơn làphát triển năng lực tự tiến hành những quá trình như vậy Nói cách khác,

là rèn luyện để học sinh hình thành thói quen tự học

1.2.3 Phân chia cấp độ dạy học giải quyết vấn đề

Từ các đặc điểm của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề, tôi xinđược trình bày những hình thức và cấp độ được sắp xếp theo thứ tự dựatrên phương diện mức độ độc lập của học sinh trong quá trình phát hiện

và giải quyết vấn đề dưới đây:

Giáo viên thuyết trình giải quyết vấn đề

Với hình thức này, mức độ độc lập của học sinh là thấp nhất Bởi vì,giáo viên là người tạo ra tình huống có vấn đề và sau đó chính bản thânngười dạy giải quyết vấn đề thông qua quá trình trình bày suy nghĩ cáchgiải, lời giải Người dạy tìm tòi, dự đoán, có khi thành công, có lúc thất bạiphải điều chỉnh phương hướng giải khác Như vậy, các hoạt động học rútngắn hoặc hạn chế sự tự khám phá của học sinh

Giáo viên - Học sinh hợp tác cùng giải quyết vấn đề

Phương tiện để thực hiện là những câu hỏi của giáo viên và câu trả lờicủa học sinh hoặc những hoạt động học tập Có vẻ dạy học giải quyết vấn

đề có phần giống với dạy học vấn đáp, nhưng thực ra hai cách dạy học nàykhác nhau Bởi nét quan trọng của dạy học giải quyết vấn đề nằm ở tìnhhuống gợi vấn đề chứ không phải ở câu hỏi Chẳng hạn, trong một giờ họcnào đó, giáo viên đặt nhiều câu hỏi song chỉ mang tính chất tái hiện trithức đã học thì giờ học đó không phải là dạy học phát hiện và giải quyếtvấn đề Rõ ràng, hình thức này có nhiều ưu điểm hơn so với hình thức giáoviên thuyết trình giải quyết vấn đề, bởi vì học sinh được hoạt động nhiềuhơn và nhận sự gợi ý, dẫn dắt chỉ khi cần thiết

Học sinh độc lập giải quyết vấn đề

Đây là hình thức dạy học làm cho tính độc lập của học sinh được đẩymạnh, tăng cường Giáo viên sử dụng các biện pháp sư phạm của mìnhchỉ tạo ra tình huống vấn đề, học sinh tự phát hiện và tự giải quyết vấn đề

do giáo viên xây dựng Như vậy, với hình thức này, học sinh hầu như hoàn

toàn thực hiện quá trình học tập, phát triển năng lực tự học, tự giải quyếtvấn đề Hoặc cùng lắm, người dạy chỉ hướng học sinh phát hiện vấn đề.Tóm lại, trong hình thức này tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiêncứu, học sinh độc lập nghiên cứu vấn đề và trực tiếp thực hiện.

1.2.4 Quy trình dạy học giải quyết vấn đề

Điều cốt yếu của dạy học giải quyết vấn đề là giáo viên điều khiểnhọc sinh tự thực hiện hoặc hòa nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề Đểthực hiện quá trình dạy học theo phương pháp giải quyết vấn đề, chúng

ta có thể phân chia trình tự gồm bốn bước sau đây:

Bước 1: Phát hiện vấn đề là gì hoặc đi sâu, kĩ hơn vào vấn đề đó

- Từ một tình huống vấn đề trong bài toán, người học phát hiện được vấn

đề, vấn đề thường do giáo viên tạo ra

- Sau khi phát hiện vấn đề, phải giải thích và chính xác hóa tình huống khicần thiết để người học hiểu đúng vấn đề đang được đặt ra

- Phát biểu vấn đề theo ngôn ngữ toán học và đặt ra mục đích giải quyếtvấn đề như thế nào hợp lý nhất có thể

Bước 2: Tìm ra được ít nhất một giải pháp

- Trước tiên, chúng ta cần tìm một cách giải quyết vấn đề Sơ đồ dưới đâythể hiện đầy đủ quá trình tư duy tìm ra giải pháp từ lúc bắt đầu cho đếnkhi kết thúc

Sơ đồ 1.1 Cấu trúc quá trình tư duy giải quyết vấn đề

Khi phân tích, xem xét đề bài toán cần chỉ rõ những mối quan hệ giữacái đã biết và cái phải thiết lập, xây dựng, thường dựa vào tri thức đã học,liên tưởng đến định lí, tính chất thích hợp.

Khi đưa ra một hướng giải quyết, đồng thời sử dụng kiến thức sẵn có,những kĩ năng tính toán để suy xét xem hướng đang đi đã phù hợp haychưa Nếu đã phù hợp thì sẽ tiếp tục triển khai, nếu không sẽ từ bỏ, xemxét lại từ đầu Khâu này có thể làm nhiều lần đến khi nào tìm được hướng

đi đúng, đến cuối cùng, chúng ta phải hình thành được một giải pháp.Tiếp theo, ta cần kiểm tra giải pháp xem có đúng đắn hay không Giảipháp đúng thì sẽ kết thúc Trường hợp giải pháp chưa đúng thì phải thựchiện lại bắt đầu từ khâu phân tích cho đến khi nào tìm được giải phápchính xác thì hoàn thành bước 2

- Sau khi đã tìm ra một biện pháp giải quyết thành công, chúng tavẫn có thể tìm thêm các giải pháp khác, một số vấn đề không chỉ có duynhất một cách xử lý và có thể có cách hợp lý hơn, sau đó thực hiện so sánhchúng với nhau để tìm ra giải pháp nào là tối ưu

Bước 3: Trình bày giải pháp đã tìm ra ở bước 2

Sau khi vấn đề đã được giải quyết, người học cần trình bày lại toàn

bộ từ phát biểu vấn đề cho tới hình thành giải pháp như thế nào Trườnghợp đặc biệt và thuận lợi là khi vấn đề đã được cho sẵn thì có thể khôngcần phát biểu lại Bước 2 là bước khó nhất, nhưng bước 3 không kém phầnquan trọng, bởi vì tư duy trình bày thể hiện lại ý tưởng giải toán đòi hỏi

sự chính xác, khoa học và thật sự cẩn thận Có như vậy thì người học mớihoàn thiện quá trình giải quyết một bài toán được trọn vẹn, rèn luyện cácphẩm chất tốt đẹp khác

Bước 4: Tìm hiểu kĩ hơn giải pháp đã tìm ra

- Các kết quả mà chúng ta đã tìm ra được có tính hiệu quả như thế nào,ứng dụng ra sao, cần nghiên cứu tìm hiểu kĩ để hiểu rõ hơn về vấn đề đangquan tâm

- Đề xuất vấn đề mới có liên quan dựa vào xét tương tự, khái quát hóa sau

đó giải quyết (nếu có thể).

- Trong tiến trình giải toán, sự sáng tạo là một loại suy diễn và quy nạpnối tiếp nhau để bài toán mới được hình thành trên cơ sở kiến thức đã học.Kiến thức trong quá trình tư duy của học sinh được chia thành hai loại,một là học sinh thu nhận trực tiếp từ bước tiếp nhận, phân tích bài toán,hai là kiến thức đã có sẵn trong kinh nghiệm của học sinh

- Các thủ thuật làm mẫu: Giáo viên thực hiện một phần tiến trình, học sinhlàm tiếp ra kết quả, giáo viên làm mẫu một ví dụ đặc trưng sau đó học sinh

áp dụng giải bài tương tự hoặc liên quan

1.3 Xu hướng dạy học hiện nay

- Xu hướng dạy học hiện nay là lấy học sinh làm trung tâm, người dạy tìmcách để học sinh được hoạt động nhiều nhất

- Vận dụng các phương pháp dạy học tích cực, dạy học thông qua tổ chứccác hoạt động, tạo điều kiện để học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức, có

cơ hội trải nghiệm, tích lũy kinh nghiệm

- Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực đang là xu hướng tất yếu trong

xã hội ngày nay Người dạy cần chú trọng hơn nữa việc rèn luyện pháthuy tính tự học cho học sinh Trong thời đại công nghệ 4.0, khi mà khoahọc kĩ thuật đã lên một tầm cao mới, thì phong cách học truyền thống đãbộc lộ những hạn chế cần thay đổi để theo kịp xu hướng Người thầy càngngày càng phải trau dồi, nâng cao chuyên môn và kiến thức xã hội, tổ chứcnhững hoạt động học phong phú hơn, kích thích tiềm năng của học sinh,dạy theo những gì các em có thể tiếp nhận được, chứ không phải dạy hếtnhững gì chúng ta muốn dạy Khi giáo viên khơi dậy được niềm đam mêcủa các em học sinh, tính tự giác, chủ động sẽ được nâng cao dần lên

1.3.1 Các bài toán bất đẳng thức và cực trị trong chương trình và sách giáo khoa phổ thông

- Học sinh được học về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

từ chương trình lớp 8 thông qua nội dung giá trị biểu thức và được biếtkhái niệm, cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở lớp 9

- Các bất đẳng thức Cauchy, Bunyakovski học sinh được học từ chươngtrình lớp 9 Trong sách giáo khoa trình bày về bất đẳng thức Cauchy, cònbất đẳng thức Bunyakovski được giới thiệu trong một số sách tham khảohoặc được giới thiệu thêm Học sinh biết, dễ nhớ, quen sử dụng bất đẳngthức Cauchy hơn là bất đẳng thức Bunyakovski.

- Tam thức bậc hai, xét dấu tam thức bậc hai và các tính chất nằm trongphạm vi chương trình đại số 10

Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập và các chuyên đề đại số lớp 8, 9, 10tôi nhận thấy:

- Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nằm rải rác ở các bài họccủa đại số từ lớp 8 Có nhiều phần kiến thức như hàm số, bất đẳng thức,giá trị biểu thức, phương trình, bất phương trình, liên quan đến tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nhưng bài tập trong sách giáo khoa, sách bàitập nhỏ lẻ, thiếu hệ thống Điều này gây khó khăn trong cả việc dạy và họccủa giáo viên, học sinh

- Nội dung bất đẳng thức trong sách giáo khoa đại số 10 nâng cao khá cơbản, thiếu phân dạng và phương pháp giải, bài tập rèn luyện thì có phầnkhiêm tốn Hơn nữa, nội dung này được coi là rất khó, thuộc câu điểm 10trong các bài kiểm tra nên hầu như không được chú trọng

- Tài liệu liên quan về bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai có

sử dụng định lí, tính chất của tam thức bậc hai để giải thực sự hạn chế

1.3.2 Thực tế dạy học các bài toán về bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai

Về phía giáo viên

Để hiểu rõ hơn về thực tế dạy học chuyên đề bất đẳng thức, cực trịtác giả đã tiến hành khảo sát, thăm dò ý kiến các thầy cô giáo dạy bộ môntoán và các em học sinh tại trường trung học phổ thông Nguyễn Thị MinhKhai, Hà Nội, từ đó tác giả có một số nhận xét như sau:

- Bất đẳng thức và cực trị là mảng kiến thức rộng lớn trong toán học vàthực sự khó đối với học sinh Bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc

hai là một phần nhỏ trong thế giới bất đẳng thức, cũng vì phạm vi của nó

mà sự quan tâm từ phía người dạy cũng như người học chưa thực sự đượcthường xuyên và đúng mực

- Đa số giáo viên đều đồng ý với quan điểm các bài toán về bất đẳng thức

và cực trị phải có phương pháp dạy phù hợp với học sinh, tạo tiền đề, nềntảng cho việc theo học bậc học cao hơn sau này Với mỗi nội dung toán họckhác nhau đòi hỏi phương pháp dạy học khác nhau sao cho việc học đạtđược hiệu quả cao nhất Có nhiều phương pháp dạy học tích cực nhưngtheo tôi, dạy học giải quyết vấn đề phát huy được tính chủ động, sáng tạocủa học sinh trong mảng kiến thức bất đẳng thức và cực trị

- Các thầy cô đều đồng ý, đây là những bài toán khó đối với học sinh cáclớp đại trà, do đó giáo viên dạy các lớp đại trà thường không chú trọng,thậm chí bỏ qua cho học sinh Ở các lớp chọn, trường chuyên, giáo viênmới dạy kĩ, bài bản, hệ thống

- Do tài liệu các dạng toán về bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậchai khá khiêm tốn nên giáo viên mất nhiều công sức để sưu tầm, chọn lọc

và hệ thống sao cho phù hợp với học sinh

- Có khá nhiều giáo viên chú trọng đến phát triển năng lực sáng tạo chohọc sinh nhưng chưa thực sự hiệu quả

- Thời gian học theo phân phối chương trình không đủ để giáo viên bồidưỡng, phát triển chuyên đề cho học sinh Giữa những nội dung toán họckhác, thì thời gian dành cho bất đẳng thức nhỏ hẹp, gây khó khăn trở ngạicho giáo viên khi dạy học kiến thức này

Về phía học sinh

- Xét học sinh ở các lớp đại trà thì phần đông là hoàn toàn không biết giảibài tập về bất đẳng thức hay cực trị Từ cấp trung học cơ sở, các em hầunhư không được tiếp cận chuyên sâu các bất đẳng thức cổ điển, các dạngbất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Có nhiều em xác định

bỏ phần này trong đề thi lên lớp 10 nếu có

- Bên cạnh đó, nhiều em biết làm các bài tập dạng đơn giản Các bài này

phải giống hoặc tương tự các bài tập các em đã từng được làm Như thế,năng lực phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề của đối tượng học sinh nàycòn yếu.

- Học sinh chưa được trang bị các phương pháp tiếp cận và giải các bàitoán bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai Qua trao đổi, phiếukhảo sát, tôi nhận thấy, nhiều em học sinh hoàn toàn mơ hồ hoặc khônghiểu khái niệm "thuần nhất bậc hai" và hoàn toàn không định hướng đượccách giải quyết một bài toán bất đẳng thức thuần nhất bậc hai

- Một số ít có thể giải được nhiều dạng bài tập hơn, tuy nhiên bài tập các

em giải chưa có định hướng cụ thể về phương pháp, đa số chỉ giải đượccác bài tương tự, không quá mới mẻ, lạ lẫm

- Hầu hết học sinh sau khi giải xong bài toán không có thói quen khai tháclời giải, tìm thêm lời giải khác, chọn lời giải hay hơn

- Gặp bài toán mới, học sinh thường bị lúng túng, chưa biết cách giảithường đợi sự gợi ý hoặc lời giải từ giáo viên

Tiểu kết chương 1

Trong chương 1, tôi đã trình bày khá cụ thể cơ sở lí luận của đề tàibao gồm các khái niệm về năng lực, năng lực toán, năng lực giải toán; tổngquan về phương pháp dạy học giải quyết vấn đề Cơ sở thực tiễn từ xuhướng dạy học hiện nay đến thực tế dạy học bất đẳng thức và cực trị, làm

rõ được vai trò quan trọng của việc rèn luyện, phát triển cho học sinh nănglực giải quyết vấn đề thông qua dạy học bất đẳng thức và cực trị

Tất cả nội dung nêu trên là cơ sở để tôi xây dựng biện pháp phát triểnnăng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học bấtđẳng thức và cực trị thuần nhất bậc hai Trong chương 2, tôi thiết kế, phânloại bất đẳng thức, cực trị phạm vi đại số, giải tích, đa thức Đồng thời, tôicũng đề xuất một số biện pháp sư phạm đối với học sinh trong việc hìnhthành và phát triển năng lực phát hiện, giải quyết vấn đề

CHƯƠNG 2 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DẠNG

THUẦN NHẤT BẬC HAI 2.1 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên đề về bất đẳng thức dạng thuần nhất bậc hai

2.1.1 Nhắc lại một số tính chất cơ bản cần dùng về tam thức bậc hai

Trong mục này, ta nhắc lại các tính chất cơ bản của tam thức bậc haiquen thuộc f(x) = ax2 +bx+c (a 6= 0) và phương trình bậc hai tươngứng ax2+bx+c= 0 đã được trình bày trong sách giáo khoa toán lớp 10.Nhận xét rằng, bất đẳng thức x2 ≥ 0,∀x ∈R là dạng bậc hai đơn giản

nhất mà học sinh đã làm quen ngay từ cấp trung học cơ sở Các bài tập

về ứng dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai (định lí thuận và định líđảo) là những phương tiện hữu hiệu giải nhiều dạng toán quen biết ở bậctrung học phổ thông

Định lí 2.1 (xem [8]) Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+cvới a 6= 0.Khi đó

i) a f(x) >0, ứng với mọi x ∈ R nếu ∆ < 0

ii) a f(x) ≥ 0 ứng với mọi x ∈R nếu ∆ = 0 Dấu đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi x = − b

2a.iii) Nếu ∆ > 0 thì luôn có a f(x) = a2(x−x1)(x −x2) với

Trong trường hợp này, a f(x) < 0 khi x trong khoảng hai nghiệm và

a f(x) > 0 khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm

Định lí 2.2(Định lí đảo, xem [8]) Điều kiện cần và đủ để tồn tại số β sao

cho a f(β) < 0 là ∆ > 0 và x1 < β < x2, trong đó x1,2 là các nghiệm củatam thức bậc hai f(x)

Cauchy-Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean and Geometric Mean)

Bất đẳng thức Arithmetic Mean and Geometric Mean cho 2 số

Giả sử a, b là các số thực không âm (0 ≤ a, b ∈ R) Khi đó

Bất đẳng thức Arithmetic Mean and Geometric Mean cho 3 số

Giả sử a, b, c là các số thực không âm (0 ≤ a, b, c ∈ R) Khi đó

x3+y3+z3 ≥ 3xyz.

Ta có biểu thức x3+y3+z3−3xyz được viết lại thành

(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) ≥ 0

Từ đây, ta dễ dàng suy ra ngay điều cần chứng minh

Trong áp dụng để giải bài tập, chúng ta còn có thể sử dụng dạng kháctương đương của bất đẳng thức quen thuộc này là

abc ≤  a+b+c

3

3

Chứng minh tương tự, bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thuđược bất đẳng thức AM-GM cho k số không âm tùy ý.

Bất đẳng thức Arithmetic Mean and Geometric Mean cho k số

với mọi t, a1, a2, , anthuộc D và k là hằng số không phụ thuộc vào t, a1, a2, , an.

Định nghĩa 2.2 (xem [1]) Hàm số f(a1, a2, , an) được gọi là thuần nhấtbậc 2 với các biến trên miền D nếu hàm f thỏa mãn điều kiện

f(ta1, ta2, , tan) = t2f(a1, a2, , an)

với mọi t, a1, a2, , an thuộc D

Một bất đẳng thức được gọi là thuần nhất đồng bậc nếu hai vế của bấtđẳng thức đều là những biểu thức thuần nhất đồng bậc (gọi tắt là thuầnnhất)

2.1.4 Một số kĩ thuật giải bất đẳng thức thuần nhất bậc hai

Việc chia các kĩ thuật giải chỉ mang tính tương đối, với mỗi bài chứngminh bất đẳng thức, chúng ta có thể cần một, hai hoặc nhiều kĩ thuật khácnhau để giải và cũng có thể không chỉ có một cách giải cho một bài toán

Sử dụng định lí về tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp chung là trong mỗi biểu thức có nhiều biến, ta thực hiệnbiến đổi, sau đó đưa về dạng tam thức bậc hai theo một biến để áp dụngđịnh lí về dấu của tam thức bậc hai

Bài toán 2.1. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c tùy ý, thì

2a2+b2+8c2 ≥ 2(2bc−ab)

Lời giải.Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

f(a) := 2a2−2ab+b2+8c2−4bc ≥ 0

Ta có∆0

a = b2−2(b2+8c2−4bc) = −(b−4c)2 ≤ 0, ∀b, c.

Theo định lí 2.1 suy ra ngay điều cần chứng minh

Bài toán 2.2. Giả sử rằng ∀a, b, c ∈ R Hãy chứng minh

Lời giải.Bất đẳng thức 3m2+2n2+5p2 ≥ 2(m+n)(m+ p) tương đươngvới bất đẳng thức

Khi đó ta có

∆ = (n+ p+q+t)2−4(n2+ p2+q2+t2).Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có được∆ ≤ 0 Suy ra f(m) ≥ 0

m2+n2+ p2+q2+t2 = m(n+p+q+t) ⇔ m = 2n = 2p = 2q = 2t

Phân tích. Ta cũng có thể chứng minh bất đẳng thức này theo cách khác,

đó là sử dụng kĩ thuật biến đổi tương đương như sau Xét hiệu vế trái và

vế phải, để được các tích mn, mp, mq, mt vào trong bình phương, ta sẽ ghép

Đến đây chứng minh hoàn tất

Bài toán 2.6. Cho a, b, c ∈R và a2+b2+c2 = 1 Chứng minh rằng

⇔(5a−c)2+ (5b+7c)2 ≥ 0 (luôn đúng) với mọi a, b, c

Nhận xét 2.1. Ta cũng có thể giải bài toán 2.6 tương tự như bài toán 2.3 vàbài toán 2.4 với∆0

a = (5a+7c)2.Khi hiểu được cách giải chung, bằng cách tương tự hóa, học sinh dễ dànggiải quyết được các bài toán trên

Bài toán 2.7. Cho 5 số thực a, b, c, d, e Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2a = 2d = b = c

Bài toán 2.8. Cho m, n, p là các số thực thỏa mãn điều kiện m, n, p ∈ [−1; 2]

Do m+n+ p = 0 nên bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 2.9. Giả sử rằng các số thực m, n, p luôn thỏa mãn điều kiện

m+n+ p = 1

Sử dụng kĩ thuật cơ bản: Biến đổi tương đương

Dưới đây là một số ví dụ chứng minh bất đẳng thức quen thuộc màhọc sinh đã được làm quen từ lớp 8 (nâng cao) và được rèn luyện nhiềuhơn từ lớp 9

Bài toán 2.10. Giả sử m, n, p là các số thực tùy ý Hãy chứng tỏ rằng

Lời giải.Xét hiệu vế trái và vế phải của bất đẳng thức ta có

Bài toán 2.14. Xét các số a, b, c trong đoạn[0; 2]có tổng bằng 3 Hãy chứng

tỏ rằng

a2+b2+c2 ≤ 5.

Lời giải.Đặt a−1 = x, b−1 = y và c−1 = z, ta thu được x, y, z ∈ [−1; 1]

với tổng bằng 0 Do x, y, z thuộc đoạn từ−1 đến 1 nên

⇔2+2(xy+yz+zx) ≥0

⇔x2+y2+z2 ≤ 2

Dấu đẳng thức có xảy ra, chẳng hạn khi a = 2, b = 1, c = 0

Sử dụng hai bất đẳng thức cổ điển Arithmetic Mean and Geometric Mean và Cauchy-Schwarz

Trong phần này, để chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng bất đẳngthức AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz, đôi khi sử dụng cả hai

Bài toán 2.15 (Russia 1991) Giả sử rằng với mọi x, y, z ≥ 0 Hãy chứng tỏ

xy(x +y)2

2xy+yz+zx ≤ xy

x

z+y +

y

z+x



Tương tự ta cũng có được

yz(y+z)2

2yz+zx+xy ≤ yz

y

x +z +

z

x+y



zx(z+x)2

2zx+xy+yz ≤ zx

z

y+x +

x

y+z

.Lại có

Sau khi thực hiện cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải ta được điều

phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a = b = c và b = c, a = 0 (hoặc



y+ x2



y+ z2



y+ z2



Bài toán 2.18. Cho các số thực không âm x, y, z và không có hai số nào

đồng thời bằng không Hãy chứng minh rằng

z(x+y)2

+ x(y+z)2

+ y(z+x)2

≤ x2+y2+z2

Lời giải.Vận dụng Cauchy-Schwarz, dễ dàng có điều sau đây

Vì thế cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh

Bài toán 2.19 (Vietnam 1991) Chứng minh rằng ∀x ≥ y ≥ z > 0 thì



= (x−y)(y −z)(x−z)(xy+yz+zx)

Do x ≥ y ≥ z > 0 suy ra bất đẳng thức cuối không âm, ta được điều cầnchứng minh.

x = y = z ⇔dấu đẳng thức tồn tại

Ta cũng có thể chứng minh theo cách biến đổi tương đương như sau:

Cách 2:Bất đẳng thức đã cho tương đương với

x = y = zthì dấu đẳng thức sẽ xảy ra

Bài toán 2.20. Cho m, n, p lần lượt là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng