Kỹ thuật ‘chọn’ trắc nghiệm tích phân số phức Gv Trần Lê Quyền0 Một nguyên tắc xây dựng nên toán đại số là: thiết lập cân số ẩn số số phương trình lập nên từ kiện Lấy ý tưởng đó, viết tổng hợp giới thiệu vài cách xử lí nhanh số toán số phức tích phân kiểu chọn đặc biệt Tôi cố tình không phân chia đề mục để tách biệt số phức tích phân xét góc nhìn này, chúng hoàn toàn giống nhau! Ví dụ Cho hai số phức z1 = a1 + b1 i z2 = a2 + b2 i (a1 , b1 a2 , b2 ∈ R) thỏa mãn |z1 + z2 | = |z1 − z2 | = m Khi a1 a2 + b1 b2 A B D m2 − C m Giải Chọn z1 = i, z2 = thỏa mãn |z1 + z2 | = |z1 − z2 | = ta có a1 a2 + b1 b2 = 0.0 + 1.0 = Chọn A Ví dụ Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = |z2 | = |z1 − z2 | = Tính giá trị biểu thức P = A − i z1 z2 + z2 z1 B −1 − i C −1 D + i Giải Chọn z2 = (thỏa mãn |z2 | = 1) Vẫn lại kiện để khai thác, nên đặt z1 = x + yi (x, y ∈ R), ta có |z | = 1 |z1 − z2 | = x = √ ⇒ y = x2 + y = ⇔ (x − 1)2 + y = √ Vậy chọn z1 = + i Bây thay vào P , 2 P = √ + 23 i + 1 + √ i = −1 Chọn C Nhận luyện thi theo nhóm cá nhân khu vực Q6, TP.HCM 01226678435 Sau cố định z2 , lại kiện (cho phép lập phương trình) Số phương trình cân với số ẩn số (phần thực, phần ảo) cần để xác định z1 Ngoài ra, chọn z2 khác đi, đảm bảo |z2 | = Dưới ví dụ hoàn toàn tương tự phát biểu khác Ví dụ Cho z1 , z2 hai số phức thoả mãn phương trình |2z − i| = |2 + iz|, biết |z1 − z2 | = Tính giá trị biểu thức P = |z1 + z2 | √ A B √ √ C 2 D √ Giải Đặt z = x + yi, từ liên hệ |2z − i| = |2 + iz| ta thu√được x2 + y = hay |z1 | = |z2 | = 1, kết hợp với |z1 − z2 | = ta lại chọn z1 = + i, z2 = để thu 2 √ P = Ví dụ Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 + z2 + z3 = |z1 | = |z2 | = |z3 | = Mệnh đề đúng? A |z1 + z2 |2 + |z2 + z3 |2 + |z3 + z1 |2 số ảo B |z1 + z2 |2 + |z2 + z3 |2 + |z3 + z1 |2 số nguyên tố C |z1 + z2 |2 + |z2 + z3 |2 + |z3 + z1 |2 số thực âm D |z1 + z2 |2 + |z2 + z3 |2 + |z3 + z1 |2 = Giải Chọn z3 = 1, ta có z1 + z2 = −1 nên viết z1 = x + yi, z2 = −1 − x − yi (x, y ∈ R) Khai thác điều kiện |z1 | = |z2 | = đưa tới giải hệ x2 + y = (−1 − x)2 + y = x = − √2 ⇒ y = √ √ 3 Vậy chọn z1 = 1, z2 = − + i, z3 = − − i, thấy có B 2 2 Với cách chọn này, ta xử lí cho toán sau: Ví dụ Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 + z2 + z3 = |z1 | = |z2 | = |z3 | Mệnh đề đúng? A |z12 + z22 + z32 | = |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 | C |z12 + z22 + z32 | > |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 | B |z12 + z22 + z32 | < |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 | D |z12 + z22 + z32 | = |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 | Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z + ≤ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số z3 z phức w = z + A Đường tròn tâm O, r = √ C Đường tròn tâm O, r = B Hình tròn tâm O, r = √ D Hình tròn tâm O, r = 1 ≤ 2, w = z + = có điểm biểu diễn z z M (2; 0) mà OM = nên loại C D Lại chọn z = i, w = nên chọn B Giải Chọn z = thỏa mãn z + Ví dụ Cho f (3x − 1)dx = Đẳng thức sau đúng? 0 A B f (x + 1)dx = f (x + 1)dx = −2 −2 C D f (x + 1)dx = f (x + 1)dx = −1 1 Giải Chọn f (x) = 3, việc đảm bảo 3dx = Khi f (3x − 1)dx = 0 f (x + 1) = 3, thay vào phương án thấy có A f (3x − 1)dx = 3, ta cần chọn f (x) cho Với điều kiện cho: phụ thuộc vào ẩn Chẳng hạn, f (x) = k (k ∈ R) Khi 1 k.dx = kx 3= 0 = k, b f (x) = c (a = b) chọn chọn k = Có thể qui tắc là: a k= c Ngoài ra, chọn f (x) = kx, f (x) = kx2 , b−a Ví dụ Nếu f (1) = 12, f (x) liên tục f (x)dx = 17, giá trị f (4) A 29 B C 19 D Giải Dựa vào số liên hệ cho, chọn f (x) = ax + b, ta có a + b = 12 ax ⇒ = 17 a = b = 17 19 Đến thu f (4) = 29 Ví dụ Cho f (x) hàm số lẻ có đạo hàm [−3; 3] f (x)dx = 20 Tính −1 −3 f (x)dx −1 A 20 B 15 C −20 D − 15 Giải Vì f (x) hàm số lẻ điều kiện sinh phương trình nên chọn f (x) = ax (a = 0) Ta có ax2 −1 = 20 ⇔ a = −3 (5x) = 20, chọn A Bây giờ, thay f (x) = 5x ta tính −1 Nhắc lại, hàm số f (x) với tập xác định D gọi hàm số lẻ với x ∈ D ta có (1) −x ∈ D (2) f (−x) = −f (x) Như f (x) = ax, g(x) = ax3 + bx, (a = 0) hàm số lẻ Ngoài ra, thay (2) điều kiện f (−x) = f (x) đó, f (x) hàm số chẵn Ví dụ 10 Cho f (x) hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn [−6; 6] Biết f (x)dx f (−2x)dx = Tính f (x)dx = −1 −1 A 11 B C 14 D Giải Vì f (x) hàm số chẵn nên chọn f (x) = ax2 + b Khi f (−2x) = 4ax2 + b ta có hệ x a + bx =8 −1 3 4a x + bx = 3 a = − 14 ⇒ 115 b = 42 Cuối 6 − f (x)dx = −1 −1 115 x + 14 42 dx = 14 Sau số tập áp dụng BT Biết A f (x + 2)dx = Tính f (x)dx = 5, f (2x)dx B C D 10 BT Cho hàm số y = f (x) liên tục R giá trị biểu thức f A x + f (3x) dx B -4 C D -9 BT Cho hàm số f (x) thoả mãn tổng f (x)dx f (x)dx + f (x)dx = Khi giá trị f (x)dx = 4, f (x)dx = Tính f (x)dx = 9, A B C -2 D BT Cho f (x) có đạo hàm [0; 3], f (0) = f (x) = Tính f (3) A B -3 C D BT Cho hàm số f (x) liên tục R f (2) = 16, f (x)dx = Tính A 12 B C 20 f (2x)dx D 13 BT Cho f (x) hàm số lẻ có đạo hàm [−4; 4] Biết −1 f (x) = Tính A 42 f (−x)dx B -72 BT Cho z số phức thỏa mãn z + A -2 f (x) = 24 −1 C -42 D 27 1 = Tính giá trị z 2017 + 2017 z z B -1 C BT Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ Đặt A = D 2z − Mệnh đề sau + iz đúng? A |A| ≤ B |A| ≥ C |A| < BT Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = |z2 | = 1, |z1 + z2 | = A B C D |A| > √ Tính |z1 − z2 | D ... Biết −1 f (x) = Tính A 42 f (−x)dx B -7 2 BT Cho z số phức thỏa mãn z + A -2 f (x) = 24 −1 C -4 2 D 27 1 = Tính giá trị z 2017 + 2017 z z B -1 C BT Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ Đặt A = D 2z −... trình) Số phương trình cân với số ẩn số (phần thực, phần ảo) cần để xác định z1 Ngoài ra, chọn z2 khác đi, đảm bảo |z2 | = Dưới ví dụ hoàn toàn tương tự phát biểu khác Ví dụ Cho z1 , z2 hai số phức. .. thay vào phương án thấy có A f (3x − 1)dx = 3, ta cần chọn f (x) cho Với điều kiện cho: phụ thuộc vào ẩn Chẳng hạn, f (x) = k (k ∈ R) Khi 1 k.dx = kx 3= 0 = k, b f (x) = c (a = b) chọn chọn k