Lấy ý tưởng đó, bài viết này tổng hợp và giới thiệu vài cách xử lí nhanh một số bài toán số phức và tích phân bằng một kiểu chọn đặc biệt.. Tôi cố tình không phân chia ra các đề mục để t[r]
(1)Kỹ thuật ‘chọn’
trong trắc nghiệm tích phân số phức
Gv Trần Lê Quyền0
Một nguyên tắc xây dựng nên tốn đại số là: thiết lập cân số ẩn số số phương trình lập nên từ kiện
Lấy ý tưởng đó, viết tổng hợp giới thiệu vài cách xử lí nhanh số tốn số phức tích phân kiểu chọn đặc biệt Tơi cố tình khơng phân chia đề mục để tách biệt số phức tích phân xét góc nhìn này, chúng hồn tồn giống nhau!
Ví dụ Cho hai số phức z1 = a1+b1i z2 = a2+b2i (a1, b1.a2, b2 ∈ R) thỏa mãn
|z1+z2|=|z1−z2|=m Khi a1a2+b1b2
A B C m D m2−1
Giải Chọn z1 =i, z2 = thỏa mãn |z1+z2|=|z1−z2|= ta có
a1a2+b1b2 = 0.0 + 1.0 = Chọn A
Ví dụ Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1|=|z2|=|z1−z2|= Tính giá trị biểu thức P =
z1
z2
2
+
z2
z1
2
A.1−i B −1−i C −1 D +i
Giải Chọn z2 = (thỏa mãn |z2| = 1) Vẫn lại kiện để khai thác, nên đặt z1=x+yi (x, y ∈R), ta có
|z1|=
|z1−z2|=
⇔
x2+y2 =
(x−1)2+y2 = ⇒
x=
y=
√
3 Vậy chọn z1 =
1 +
√
3
2 i Bây thay vào P,
P = +
√ i
!2
+ 1 +
√ i
!2
=−1
(2)Sau cố định z2, lại kiện (cho phép lập phương trình) Số phương trình cân với số ẩn số (phần thực, phần ảo) cần để xác định z1 Ngồi ra, chọn z2 khác đi, đảm bảo |z2|=
Dưới ví dụ hồn tồn tương tự phát biểu khác Ví dụ Cho z1, z2 hai số phức thoả mãn phương trình |2z −i| = |2 +iz|, biết
|z1−z2|= Tính giá trị biểu thức P =|z1+z2| A
√
3
2 B
√
2 C
√
2
2 D
√
3
Giải Đặt z = x +yi, từ liên hệ |2z −i| = |2 +iz| ta thu x2 +y2 = hay
|z1| =|z2| = 1, kết hợp với |z1−z2| = ta lại chọn z1 = +
√
3
2 i, z2 = để thu
P =√3
Ví dụ Cho ba số phức z1, z2, z3 thỏa mãn z1+z2+z3 = |z1|=|z2|=|z3| = Mệnh đề đúng?
A |z1+z2|2+|z2+z3|2+|z3+z1|2 số ảo B |z1+z2|2+|z2+z3|2+|z3+z1|2 số nguyên tố C |z1+z2|2+|z2+z3|2+|z3+z1|2 số thực âm D |z1+z2|2+|z2+z3|2+|z3+z1|2=
Giải Chọn z3 = 1, ta có z1+z2 =−1 nên viết
z1 =x+yi, z2 =−1−x−yi (x, y ∈R) Khai thác điều kiện |z1|=|z2|= đưa tới giải hệ
x2+y2=
(−1−x)2+y2 =
⇒
x=−1
2
y=
√
3
Vậy chọn z1 = 1, z2 =− +
√
3
2 i, z3=− 2−
√
3
2 i, thấy có B Với cách chọn này, ta xử lí cho tốn sau:
Ví dụ Cho ba số phứcz1, z2, z3 thỏa mãn z1+z2+z3= |z1|=|z2|=|z3| Mệnh đề đúng?
A |z2
1+z22+z32|=|z1z2+z2z3+z3z1| B |z12+z22+z32|<|z1z2+z2z3+z3z1| C |z12+z22+z23|>|z1z2+z2z3+z3z1| D |z12+z22+z32| 6=|z1z2+z2z3+z3z1| Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn
z3+
1
z3
(3)
phức w=z+1
z
A Đường tròn tâm O, r= B Hình trịn tâm O, r= C Đường trịn tâm O, r= √3
2 D Hình trịn tâm O, r=√3
2
Giải Chọn z = thỏa mãn
z3+
z3
≤2, w =z +1
z = có điểm biểu diễn M(2; 0) mà OM = nên loại C D Lại chọn z =i, w= nên chọn B
Ví dụ Cho
Z
0
f(3x−1)dx= Đẳng thức sau đúng?
A
Z
−2
f(x+ 1)dx= B
Z
−2
f(x+ 1)dx=
C
Z
0
f(x+ 1)dx= D
Z
−1
f(x+ 1)dx=
Giải Chọn f(x) = 3, việc đảm bảo
Z
0
f(3x−1)dx =
Z
0
3dx = Khi
f(x+ 1) = 3, thay vào phương án thấy có A
Với điều kiện cho:
Z
0
f(3x−1)dx= 3, ta cần chọn f(x) cho phụ thuộc vào ẩn Chẳng hạn, f(x) =k (k ∈R) Khi
3 =
Z
0
k.dx=kx
1
0 =k,
vậy chọn k = Có thể qui tắc là:
Z b a
f(x) = c (a 6= b) chọn
k= c
b−a Ngồi ra, chọn f(x) = kx, f(x) =kx
2, .
Ví dụ Nếu f(1) = 12, f0(x) liên tục
Z
1
f0(x)dx= 17, giá trị f(4)
A 29 B C 19 D
Giải Dựa vào số liên hệ cho, chọn f(x) =ax+b, ta có
a+b= 12
ax
4 = 17
⇒
a= 173
b = 193
Đến thu f(4) = 29
Ví dụ Cho f(x) hàm số lẻ có đạo hàm [−3; 3]
Z
−1
(4)Z −3
−1
f(x)dx
A 20 B 15
4 C −20 D − 15
4
Giải Vì f(x) hàm số lẻ điều kiện sinh phương trình nên chọn f(x) =
ax (a6= 0) Ta có
ax2
2
3
−1= 20⇔a = Bây giờ, thay f(x) = 5x ta tính
Z −3
−1
(5x) = 20, chọn A
Nhắc lại, hàm số f(x) với tập xác định D gọi hàm số lẻ với
x∈D ta có (1) −x∈D (2) f(−x) =−f(x)
Như f(x) =ax, g(x) = ax3+bx, (a 6= 0) hàm số lẻ
Ngoài ra, thay (2) điều kiện f(−x) = f(x) đó, f(x) hàm số chẵn
Ví dụ 10 Cho f(x) hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn [−6; 6] Biết
Z
−1
f(x)dx=
Z
1
f(−2x)dx= Tính
Z
−1
f(x)dx
A 11 B C 14 D
Giải Vì f(x) hàm số chẵn nên chọn f(x) = ax2+b Khi f(−2x) = 4ax2+b ta có hệ
ax
3
3 +bx
2
−1 = 4ax
3
3 +bx
3
1 =
⇒
a=−
14
b= 115 42 Cuối
Z
−1
f(x)dx=
Z
−1
−
14x
2+115 42
dx= 14
Sau số tập áp dụng BT Biết
Z
0
f(x)dx= 5, Z
3
f(x+ 2)dx= Tính
Z
0
f(2x)dx
(5)BT Cho hàm số y =f(x) liên tục R
Z
0
f(x)dx = 9, Z
1
f(x)dx = Tính giá trị biểu thức
Z
0
h fx
3
+f(3x)idx
A B -4 C D -9
BT Cho hàm số f(x) thoả mãn
Z
0
f(x)dx= 4, Z
2
f(x)dx= Khi giá trị tổng
Z
0
f(x)dx+
Z
3
f(x)dx
A B C -2 D
BT Cho f(x) có đạo hàm [0; 3], f(0) =
Z
0
f0(x) = Tính f(3)
A B -3 C D
BT Cho hàm sốf(x)liên tục trênRvàf(2) = 16,
Z
0
f(x)dx= Tính
Z
0
f0(2x)dx
A 12 B C 20 D 13
BT Cho f(x) hàm số lẻ có đạo hàm [−4; 4] Biết
Z
−1
f(x) = 24
Z −1
0
f(x) =
4 Tính
Z
0
f(−x)dx
A 42 B -72 C -42 D 27
BT Cho z số phức thỏa mãn z+1
z = Tính giá trị z
2017+
z2017
A -2 B -1 C D
BT Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ Đặt A = 2z−1
2 +iz Mệnh đề sau
đúng?
A.|A| ≤1 B |A| ≥1 C |A|<1 D |A|>1 BT Cho hai số phứcz1, z2 thỏa mãn |z1|=|z2|= 1, |z1+z2|=
√
3 Tính |z1−z2|