Ứng dụng vecto vào giải toán

B ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG 1.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: uuur uuur AB = k AC , k ∈ R Để nhận (1), ta lựa chọn hai hướng: - Hướng 1: Sử dụng quy tắc biến đổi vectơ biết uuur uuur - Hướng 2: Xác định vectơ AB AC thông qua tổ hợp trung gian * Chú ý: Cho ba điểm A, B, C Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng là: uuuur uuur uuur MC = α MA + (1 − α ) MB Với điểm tùy ý M số thực α Đặc biệt ≤ α ≤ C thuộc đoạn AB 1.2 BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, I trung điểm cạnh BC E điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số AE = Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng AC Giải uuur uuur uur DI = DC + CI Ta có: ⇒ uuur uuur uuur DI = DC + CB uuur uuur uuur DE = DC + CE (1) Theo giả thiết, ta suy ra: uuur uuur uuur CE = (CD + DA) ⇒ uuur uuur uuur uuur uuur CE = (CD + DA) = (CD + CB ) 3 Từ ta có: uuur uuur uuur uuur DE = DC + CD + CB 3 ⇒ uuur uuur uuur DE = DC + CB 3 ⇒ uuur uuur uuur DE = ( DC + CB ) uuur (2) uuur Từ (1) (2) suy ra: DE = DI Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng Ví dụ 2: Cho ∆ ABC Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm ∆ ABC CMR O, G, H thẳng hàng Giải Ta có: uuur uuur uuur uuur OG = (OA + OB + OC ) (1) Gọi E trung điểm BC A1 điểm đối xứng với A qua O, ta được:  BH PCA1 (cùng ⊥ AC )   CH PBA1 (cùng ⊥ AB ) ⇒ A1 BHC hình bình hành uuur uuur ⇒ A1 , E, H thẳng hàng ⇒ AH = 2OE Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OH = OA + AH = OA + 2OE = OA + OB + OC (2) Từ (1) (2) suy ra: uuur uuur OG = OH ⇔ O, G , H thẳng hàng Ví dụ 3: Cho ba dây cung song song AA1 , BB1 , CC1 đường tròn (O) Chứng minh trực tâm ba tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 nằm đường thẳng Giải Gọi H1 , H , H trực tâm tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 Ta có: uuuur uuur uuur uuuur OH1 = OA + OB + OC1 uuuur uuur uuur uuur OH = OB + OC + OA1 uuuur uuur uuur uuur OH = OC + OA + OB1 Suy ra: uuuuur uuuur uuuur H1 H = OH − OH1 uuur uuuur uuur uuur = OC − OC1 + OA1 − OA uuuur uuur = C1C + AA1 uuuuur uuuur uuuur H1 H = OH − OH1 uuur uuuur uuur uuur = OC − OC1 + OB1 − OB uuuur uuur = C1C + BB1 Vì dây cung AA1 , BB1 , CC1 song song với uuur uuur uuuur Nên ba vectơ AA1 , BB1 , CC1 có phương uuuuur uuuuur Do hai vectơ H1 H 2và H1H phương hay ba điểm H1 , H , H thẳng hàng 1.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI Cho ∆ ABC Đường tròn nội tiếp ∆ ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự M, N Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AC BC Tìm điểm P thuộc EF cho M, N, P thẳng hàng Cho ∆ ABC với O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường thẳng ∆1 , ∆ , ∆ đôi song song qua điểm A, B, C có giao điểm thứ hai với đường tròn (O) theo thứ tự A1 , B1 , C1 Chứng minh trực tâm ba tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 thẳng hàng Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng D qua điểm A, F điểm đối xứng tâm O hình bình hành qua điểm C K trung điểm đoạn OB Chứng minh ba điểm E, K, F thảng hàng K trung điểm EF Cho tam giác ABC M, N trung điểm AB, AC.Gọi P, Q trung điểm MN BC CMR : A, P , Q thẳng hàng Cho tam giác ABC, E trung điểm AB F thuộc thoả mãn AF = 2FC Gọi M trung điểm BC I điểm thoả mãn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hàng a Lấy N thuộc BC cho BN = NC J thuộc EF cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N thẳng hàng b Lấy điểm K trung điểm EF Tìm P thuộc BC cho A, K, P thẳng hàng Cho tam giác ABC có AM trung tuyến Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK = AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng ỨNG DỤNG CỦA VETƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN VUÔNG GÓC, TÍNH GÓC 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta cần chứng minh tích vô hướng chúng uuur uuur AB ⊥ AC ⇔ AB AC = 2.2 BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1: Trong đường tròn C(O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với điểm S gọi M trung điểm AB.CMR: SM vuông góc A’B’ Giải Xét tích vô hướng uuur uuuuur uur uur uuur uuur SM A ' B ' = ( SA + SB ).( SB ' − SA ') = uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur ( SA.SB ' − SA.SA ' + SB.SB ' − SB.SA ') Ta có: uur uuur SA.SB ' = uur uuur SB.SA ' = uur uuur uur uuur SA.SA ' = SB.SB ' uuur uuuuur Từ suy SM A ' B ' = nên SM vuông góc với A’B 2.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , D trung điểm cạnh AB , E trọng tâm ∆ACD Chứng minh AB = AC OE ⊥ CD Cho ∆ABC cân A Gọi D trung điểm cạnh AB , E trọng tâm ∆ADC Chứng minh IE ⊥ CD ( I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ) Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM CN Chứng minh rằng: BM ⊥ CN ⇔ b + c = 5a Cho hình chữ nhật ABCD,kẻ BH ⊥ AC Gọi M,N trung điểm AH DC.Chứng minh rằng: BM ⊥ MN Cho hình vuông ABCD,trên DC lấy điểm E, kẻ EF ⊥ AC , ( F ∈ BC ) M, N trung điểm AE DC Chứng minh rằng: MN ⊥ DF Cho hình vuông ABCD, AB lấy điểm P,trên AD lấy điểm Q cho AP=AQ Kẻ AH ⊥ DP Chứng minh rằng: CH ⊥ QH Cho tam giác cân ABC, AB=AC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm cạnh AB G trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: OG ⊥ CD CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU 3.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Muốn chứng minh hai điểm A1 A2 trùng nhau, ta lựa chọn hai hướng: uuuur r - Hướng 1: Chứng minh A1 A2 = uuur uuuur - Hướng 2: Chứng minh OA1 = OA2 với O điểm tùy ý 3.2 BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm Giải Gọi G1 , G2 trọng tâm tam giác ANP CMQ O điểm tùy ý uuur uuur uuur uuuur  OA + ON + OP = 3OG1 Ta có:  uuur uuuur uuur uuuur OC + OM + OQ = 3OG2 (1) Mặt khác: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + ON + OP = OA + (OB + OC ) + (OC + OD) 2 uuur uuur uuur uuur = OA + OC + (OB + OD) (2) uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OC + OM + OQ = OC + (OA + OB ) + (OA + OD) 2 uuur uuur uuur uuur = OC + OA + (OB + OD) uuuur uuuur OG1 = OG2 Từ (1), (2), (3) suy ra: (3) Vậy G1 G2 trùng 3.3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Cho lục giác ABCDEF có AB ⊥ EF hai tam giác ACE BDF có trọng tâm CMR: AB²+EF²=CD² ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM 4.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Với toán quỹ tích ta cần nhớ : uuur uuur Nếu MA = MB , với A, B cho trước M thuộc đường trung trực đoạn AB uuuur uuur MC =k AB , với A, B, C cho trước M thuộc đường tròn tâm C, bán kính k.AB uuur uuur Nếu MA =k BC , với A, B, C cho trước thì: - Với k ∈ R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC uuur - Với k ∈ R + điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng BC uuur - Với k ∈ R điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng BC 4.2 BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho ∆ ABC, tìn tập hợp điểm M thỏa mãn uuur uuur uuuur r a MA + k MB − k MC = (1) uuur uuur uuuur r b (1 − k ) MA + MB − k MC = (2) Giải a Ta biến đổi (1) dạng: uuur uuuur uuur uuur uuur MA = k ( MC − MB ) ⇔ MA = k BC ⇔ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC b Ta biến đổi (2) dạng: uuur uuur uuur uuuur r MA + MB − k ( MA + MC ) = (3) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB AC, ta được: uuur uuur r uuur uuur (3) ⇔ 2ME − 2k MF = ⇔ ME = k MF ⇔ M thuộc đường trung bình EF ∆ ABC · Ví dụ 2: Trên tia Ox Oy xOy lấy hai điểm M, N cho OM + ON = a (a độ dài cho trước) Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn MN Giải Lấy hai điểm M , N thuôạ Ox, Oy cho: OM = ON = a Giả sử OM=k ON=a-k, với ≤ k ≤ a , đó: uuuur 2k uuuuur uuur 2(a − k ) uuuur OM = OM ON = ON a a Vì I trung điểm đoạn MN, ta được: uur uuuur uuur 2k uuuuur 2(a − k ) uuuur OI = (OM + ON ) = [ OM + ON ] 2 a a uuuuur uuuur k uuuuur 2(a − k ) uuuur ⇔ OM + M I = OM + ON a a uuuur k uuuuur a − k uuuur ⇔ M I = ( − 1)OM + ON a a uuuur uuuur uuuuur ⇔ aM I = (a − k )(ON − OM ) uuuur a − k uuuuuur ⇔ M0I = M N0 A Vậy quỹ tích I thuộc đoạn M N Ví dụ 3: Cho tam giác ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt đoạn thẳng AM, AC BC D, E F Một điểm G nằm cạnh AB cho FG song song AC Chứng minh hai tam giác ADE BFG có diện tích Giải r uuur r uuur r uuuur b uuur uuur r Ta đặt: CA = a; CB = b Khi CM = CE = kCA = k a Vì E nằm đoạn thẳng AC uuur uuur r uuur uuur r nên có số k cho CE = kCA = k a , với 0< k< Khi CF = kCB = kb Điểm D nằm AM EF nên có hai số x y cho: uuur uuur uuuur uuur uuur CD = xCA + (1 − x)CM = yCE + (1 − y )CF r 1− x r r r b = kya + k (1 − y )b Hay xa + rr Vì hai vectơ a, b không phương nên x = ky uuur r 1− x = k (1 − y ) r Suy x = 2k -1,do CD = (2k − 1)a + (1 − k )b Ta có: r r r r r uuur uuur uuur uuur ED = CD − CE = (2k − 1)a + (1 − k )b − ka = (1 − k )(b − a ) = (1 − k ) AB uuur uuur uuur uuur uuur Chú ý CF = kCB hay AB + BG = k AB uuur uuur Suy (1 − k ) AB = GB Do ED = GB Như vậy, hai tam giác ADE BFG có cạnh đáy ED GB (bằng khoảng cách hai đường thẳng song song) nên có diện tích Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM = AC Gọi N trung điểm CD.Chứng minh BMN tam giác vuông cân Giải uuur r uuur r Đặt AD = a, AB = b Khi đó: uuuur uuur r r AM = AC = (a + b) 4 r uuur uuur uuur r b AN = AD + DN = a + Ta có: uuur uuuur r r r r MB.MN = (−a + 3b)(3a + b) 16 = r2 r2 r r (−3a + 3b + 8a.b) = 16 uuur2 r r r2 r2 r r r2 MB = (−a + 3b) = (a + 9b − 6a.b) = a 16 16 8 uuuur2 r r r2 r2 r r r2 MN = (3a + b) = (9a + b + 6a.b) = a 16 16 Vậy MB vuông góc với MN MB =MN, tam giác BMN vuông cân đỉnh M Ví dụ 5: Chứng minh hình bình hành ta có: tổng bình phương hai đường chéo tổng bình phương cạnh Giải Cho hình bình hành ABCD,ta phải chứng minh: AC + BD = 2( AB + AD ) Ta có: uuur2 uuur2 AC + BD = AC + BD uuur uuur uuur uuur = ( AB + AD) + ( BC + BA) uuur uuur uuur uuur = 2( AB + AD ) + 2( AB AD + BA.BC ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Do AB AD + BA.BC = BA = − AB; BC = AD nên: AB AD + BA.BC = Vậy ta có: AC + BD = 2( AB + AD ) 4.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI Cho ∆ABC vuông cân C Trên cạnh BC , CA, AB lấy điểm M , N , P cho: MB NC PA = = MC NA PB Chứng minh rằng: a CP ⊥ MN b CP = MN Cho ∆ABC có đường cao CH Gọi I , K trung điểm cạnh AB CH Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC M cắt cạnh BC N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm cạnh AB Gọi J tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng tỏ ba điểm I , K , J thẳng hàng Cho hai hình vuông ABCD BKMN có chung đỉnh B đỉnh M nằm DB kéo dài Chứng minh trung tuyến BE ∆ABK nằm đường thẳng chứa đường cao BH ∆BNC Cho ∆ABC vuông A Gọi Au tia phân giác góc A Qua trung điểm M cạnh huyền BC ta dựng đường thẳng vuông góc với tia Au cắt đường thẳng AB AC E F Chứng minh BE = CF Cho hai điểm A, B cố định đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng AB không qua A, B Một điểm M chạy ∆ Tìm tập hợp giao điểm N đường thẳng vuông góc với MA, MB A B Cho ∆ABC đều, gọi α , β , γ theo thứ tự góc đường thẳng ∆ với đường thẳng BC , CA, AB Chứng minh rằng: cos 2α cos β cos 2γ + sin 2α sin β sin 2γ Qua trọng tâm G ∆ABC vẽ đường thẳng ∆ cắt cạnh AB AC M N Chứng minh: MB NC + = MA NA Cho ∆ABC Từ P điểm P thay đổi nằm mặt phẳng tam giác ta kẻ đường thẳng song song với CA, CB cắt CA, CB Q R Đường thẳng d nối Q với trung điểm I CA cắt đường thẳng d ' nối R với trung điểm J CB S Chứng minh đường thẳng PS qua điểm cố định Cho ∆ ABC, điểm M, N, P di động tia BC, CA AB cho: MB NC PA = = Dựng hình bình hành MNPQ Tìm tập hợp điểm Q MC NA PB 10 Cho ∆ ABC vuông A, M điểm thay đổi tam giác; D, E, F hình uuuur uuur uuur uuur chiếu M BC, CA, AB Tìm tập hợp điểm M cho: MD + ME + MF = MA 11 Cho tam giac ABC có trọn tâm G nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Chứng minh rằng: OG = R − (a + b + C ) 12 Cho hai điểm A, B phân biệt Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện: MA2 − 3MB = AB 10 13 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AC,BD CMR : AB + BC + CD + DA2 = AC + BD + IJ 14 Cho hai hình vuông ABCD BMNP xếp cho P thuộc cạnh BC, B thuộc đoạn AM Tính góc hai đường thẳng AP DN 15 Cho tứ giác ABCD.M,N trung điểm AC BD.Tính MN theo cạnh hai đường chéo tứ giác 16 Cho tam giác ABC đường thẳng d Hãy xác định vị trí điểm M đường thẳng d cho biểu thức: T = MA2 + MB − MC nhỏ 17 Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh biểu thức: a.MA2 + b.MB + c.MC không đổi M di động đường tròn nội tiếp tam giác ABC 18 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Giả sử M diểm di động (O;R) Chứng minh rằng: MA2 + MB + MC luôn không đổi Hãy tính lượng không đổi theo R 19 Cho tam giác ABC có trọng tâm H O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ B điểm đối xứng với B qua O Chứng minh : AH = B' C ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 5.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta có: rr r r rr a.b = a b cosα , với α = (a, b), rr r r cosα ≤ , đó: a, b ≤ a b 5.2 BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho ∆ ABC, CMR: cosA + cosB + cosC ≤ Giải ur uur ur Thiết lập vectơ đơn vị e1 , e2 , e3 cạnh AB, BC, AC ∆ ABC, ta được: ur uur ur uur e1.e2 = e1 e2 cos(1800 − B ) = − cos B, uur ur uur ur e2 e3 = e2 e3 cos(1800 − C ) = − cos C , 11 ur ur ur ur e1.e3 = e1 e3 cos(1800 − A) = − cos A, Mặt khác ta có: ur uur ur ur2 uur2 ur2 ur uur uur ur ur uur (e1 + e2 + e3 ) = e1 + e2 + e3 + 2(e1.e2 + e2 e3 + e1.e2 ) = + 2(− cos B − cos C − cos A) ≥ ⇔ cos A + cos B + cos C ≤ , đpcm Ví dụ 2: Cho ∆ ABC, CMR: cos A + cos B + cos 2C ≥ − Giải Gọi O tâm đường tròn ngoại tiép ∆ ABC, ta nhận được: uuur uuur A = (OB, OC ), uuur uuur B = (OC , OA), uuur uuur 2C = (OA, OB ), Mặt khác: uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur (OA + OB + OC ) = OA + OB + OC + 2(OA.OB + OB.OC + OC OA) = 3R + 2(R cos2C + R cos2 A + R 2cos2 B) ≥ ⇔ cos2 A + cos2 B + cos2C ≥ − , đpcm Ví dụ 3: Chứng minh ∀x, y ∈ R, ta có: ( x + y )(1 − xy ) ≤ (*) (1 + x )(1 + y ) Giải Ta có (*) ⇔ x(1 − y ) + y (1 − x ) ≤ (1 + x )(1 + y )  2x ⇔ 1+ x  1− y .  1+ y   2y  +   1+ y  1− x2 .  1+ x   ≤  Đặt: r  2x − x   a =  , 2  1+ x 1+ x  r 1− y2 2y   b =  , 2  1+ y 1+ y  12 r r Suy : a = b = rr r r r r Mà a.b ≤ a b Vậy a , b ≤ (đpcm) Ví dụ 4: số x, Cho ba y, z thỏa hệ thức x + y + z = xy + yz + xz Chứng minh x + y + z − ( xy + yz + zx ) ≥ Giải Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho vectơ : r r u = ( x, y, z ), v = ( y , z , x ) rr r r rr Vì u v = u v cos(u , v ) rr ⇔ xy + yz + xz = ( x + y + z ) cos(u , v ) rr r r Mặt khác ta có xy + yz + zx = x + y + z cos(u , v ) = nghĩa u v hướng r r r r Vì u = v u = v nghĩa x = y = z Do ta có: ≤ x + y + z − ( xy + yz + zx ) Ví dụ 5: Cho bốn số thực tùy ý a1 , a2 , b1 , b2 Chứng minh: a12 + a2 + b12 + b2 ≥ (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) Giải r r r r Xét vectơ: u = (a1 , a2 ); v = (b1 , b2 ) ⇒ u + v = (a1 + b1 , a2 + b2 ) r r r r Áp dụng : u + v ≥ u + v ⇒ a12 + a2 + b12 + b2 ≥ (a1 + b1 )2 + (a2 + b2 ) rr Đẳng thức xảy u , v hướng ⇔ a1.b2 = a2 b1 Ví dụ 6: Cho số thực a, b, c, d, x, y, z thỏa mãn: a + b + c = 2; ax + by + cz = Chứng minh rằng: 16a + a x + 16b + b y + 16c + c z ≥ 10 r r uur HD: Đặt u = (4a, ax); v = (4b, by ); w = (4c; cz ) 5.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI 13 Cho ∆ ABC, CMR: sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 CMR: n a) ∑ cos i =1 n b) ∑ sin i =1 2(i − 1)π = n 2(i − 1)π =0 n Tìm giá trị lớn biểu thức: f = x + − x + x − x Cho x, y, z ba số dương x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z (Đại học khối B 2006).Cho x,y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + y − 2x + + x2 + y2 + 2x + + y − Cho ba số thực x, y, z tùy ý.Chứng minh: x + xy + y + x + xz + z ≥ y + yz + z (Dự bị đại học 2005) Cho x, y, z ba số thực thỏa x + y + z = Chứng minh rằng: + x + + y + + z ≥ Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta có: + tan A + + tan B + + tan C ≥ 9 Chứng minh với x, y ta có: cos x.cos y + sin ( x − y ) + 4sin x.sin y + cos ( x − y ) ≥ Với x, y hai số thực tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x + + x + xy + y + + y − y + 10 10 Cho x số thực Chứng minh : 14 sin x + − sin x + sin x − sin x ≤ 11 Cho bốn số thực a, b, c, d tùy ý Chứng minh : (a + c) + (b + d ) ≤ a + b + c + d 12 Tìm GTNN c hàm số : y = x − px + p + x − 2qx + p Trong p, q hai số thực cho trước p ≠ q 13 Chứng minh với số thực a ta có: a − 8a + 20 + ( a − 48) + 36 ≥ 20 Khi xảy dấu “=” ? 14 Với a, b, c, x, y, z số thực bất kỳ, chứng minh rằng: ax + by + cz ≤ a + b + c x + y + z 15 Cho bốn số thực khác a, b, c, d chứng minh rằng: a + b2 + ( c − b) + d ≥ c + ( d − a) 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x + ( y + 1) + x + ( y − 3) 2 Trong x, y số thực thỏa mãn: x − y = (Trích đề thi HSG quốc gia lớp 12 năm 1998) 17 Cho hàm số f ( x ) = a + x + a + ( c − x ) Với giá trị x hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ ? 18 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = cos x − 2cosx + + cos x + 4cosx + 19 Cho x, y, z số thực đôi khác Chứng minh: x− y + x2 + y + y−z 1+ y2 1+ z2 > x−z + x2 + z 20 Chứng minh ∀a, b, c ∈ R ta có : a + b − 2a − 12b + 37 + a + b + 6a − 6b + 18 ≥ 15 a + + a − 2a + b + + b − 6b + 10 ≥ 21 Cho số thực a, b, c, m, n thỏa hệ thức ma + nb = c với a + b > Chứng minh : (m − 2) + (n + 1) ≥ (2a − b − c) a + b2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ 7.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Cho Một số kiến thức thường dùng: (1), (2) xảy hướng (3) xảy ngược hướng 7.2 BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải Xét Ta có: Ta có: ĐTXR hướng 16 Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải Đặt Ta có: Ta có: Với hướng Vậy S = {3} Ví dụ 3: Tìm m để pt có nghiệm Giải Xét vectơ: Ta có: Dễ dàng thấy ĐTXR Mà Nếu (Vì ngược hướng ) ngược hướng (VL) Vậy phương trình có nghiệm 7.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI Giải pt bpt sau: a b c 17 d Giải phương trình: x − + x − = 2( x − 3) + x − Giải phương trình: x x + + − x − x2 + = Giải phương trình: x − + − x = x − x + 11 Giải phương trình: x − x + + x + x + 10 = 29 Giải phương trình: s inx + − sin x + s inx − sin x = Giải hệ phương trình:  x1996 + y1996 + z1996 =  1997 1997 1997 =3 x + y + z  x1998 + y1998 + z1998 =  SỬ DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ 8.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị biểu thức độ dài, ví dụ: S = MI + c , với c số I cố định Khi S Min =c, đạt MI=0 ⇔ M=I 8.2 BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho ∆ ABC, G trọng tâm M điểm tùy ý uuur uuur uuur uuur uuuur uuur a CMR: MA.BC + MB.CA + MC AB = b CMR: MA2 + MB + MC = GA2 + GB + GC + 3MG , từ suy ravị trí M để MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ Giải a Ta có: uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur MA.BC + MB.CA + MC AB = MA.( MC − MB ) + MB.( MA − MC ) + MC.( MB − MA) = 18 b Ta có: uuur2 uuuur uuur uuuur uuur MA2 = MA = ( MG + GA) = MG + GA2 + 2MG.GA uuur2 uuuur uuur uuuur uuur MB = MB = ( MG + GB ) = MG + GB + 2MG.GB uuuur2 uuuur uuur uuuur uuur MC = MC = ( MG + GC ) = MG + GC + 2MG.GC Cộng vế theo vế ta dược: uuuur uuur uuur uuur MA2 + MB + MC = 3MG + GA2 + GC + MG.(GA + GB + GC ) uuur uuur uuur r = 3MG + GA2 + GB + GC (vì GA + GB + GC = ) Từ suy MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ MG = ⇔ M ≡ I Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M điểm tùy ý a CMR: MA2 − MB + MC = MD − 2(OB − OA2 ) b Giả sử M di động đường tròn (d), xác định vị trí M để MA2 − MB + MC đạt giá trị nhỏ Giải a Ta có: uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur  MA + MC = MO  uuur uuuur uuuur ⇒ ( MA + MC ) = ( MB + MD)  MB + MD = MO uuur uuuur uuur uuuur ⇔ MA2 − MB + MC − MD + 2( MA.MC − MB.MD ) = (1) Ta xét: uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur MA.MC − MB.MD = (OA − OM ).(OC − OM ) − (OB − OM ).(OD − OM ) uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur = −(OA − OM ).(OA + OM ) + (OB − OM ).(OB + OM ) = −OA2 + OM + OB − OM = OB − OA2 (2) Thay (2) vào (1), ta được: MA2 − MB + MC − MD + 2(OB − OA2 ) = ⇔ MA2 − MB + MC = MD − 2(OB − OA2 ), đpcm b Từ kết câu a) suy MA2 − MB + MC đạt giá trị nhỏ MD nhỏ ⇔ M hình chiếu vuông góc D lên (d) 19 8.3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Cho ∆ ABC cạnh 6, M điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC Đặt S = MA2 − MB − MC a Tìm giá trị nhỏ S b Tìm giá trị lớn S Cho ∆ ABC, G trọng tâm M điểm tùy ý r uuur uuur uuuur a CMR vevtơ v = MA + MB − 2MC , không phụ thuộc vào vị trí M b Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC, chứng minh rằng: uuuur r MA2 + MB − MC = MO.v c Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA2 + MB − 2MC =0 Giả sử M di động đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC, tìm vị trí M để MA2 + MB − MC đạt giá trị lớn nhất, nhỏ BÀI ĐỌC THÊM Khai thác hệ thức Jacobi Cho tam giác ABC cạnh BC=a,AC=b,AB=c ,điểm M nằm tam giác.Đặt x= S ∆MBC S S ; y = ∆MAC ; z = ∆MBA S ∆ABC S ∆ABC S∆ABC uuur uuur uuuur r Ta có x + y + z =1 và: xMA + yMB + zMC = Đây hệ thức quen thuộc dĩ nhiên việc chứng minh khó khăn.Tuy nhiên từ ta thu nhiều bất đẳng thức tam giác cho M điểm đặc biệt xét mối quan hệ điểm đặt biệt đó.Trước hết cho O điểm mặt phẳng ta có: 20 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur r (1) ⇔ x(MO + OA) + y( MO + OB ) + z ( MO + OC = uuuur uuur uuur uuur ⇔ ( x + y + z )OM = xOA + yOB + zOC uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇒ ( x + y + z )2 OM = x OA2 + y OB + z OC + xyOA.OB + yzOB.OC + xzOC.OA ⇔ ( x + y + z ) OM = x OA2 + y OB + z OC + xy (OA2 + OB − c ) + yz (OB + OC − a ) + xz (OA2 + OC − b ) ⇔ ( x + y + z ) OM = ( x + y + z )( xOA2 + yOB + zOC ) − ( xyc + yza + xzb ) ⇔ OM = ( xOA2 + yOB + zOC ) − ( xyc + yza + xzb )(2) 1)Chọn (O;R) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Hệ thức (2) trở thành OM = R − ( xyc + yza + xzb ) (3) Cho M điểm đặt biệt tam giác,ta có toán sau: Bài toán : Cho tam giác ABC.Chứng minh: a + b + c ≤ R Lời giải:Khi M trùng G,ta có x = y = z = a + b2 + c2 nên OG = R − Suy điều phải chứng minh Bài toán 2:Chứng minh: a) R ≥ abc a+b+c b) R ≥ R Lời giải:Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a)Khi M trùng I ta có: x= a b c ;y= ;z = a+b+c a+b+c a+b+c 2 Thay vào (3) ta có: OI = R − 2 b) OI = R − abc ≥0 a+b+c RS = R − Rr Suy điều phải chứng minh 2p 21 22 ... giác,ta có toán sau: Bài toán : Cho tam giác ABC.Chứng minh: a + b + c ≤ R Lời giải: Khi M trùng G,ta có x = y = z = a + b2 + c2 nên OG = R − Suy điều phải chứng minh Bài toán 2:Chứng minh: a)... 7.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI Giải pt bpt sau: a b c 17 d Giải phương trình: x − + x − = 2( x − 3) + x − Giải phương trình: x x + + − x − x2 + = Giải phương trình: x − + − x = x − x + 11 Giải phương trình:... cho AK = AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng ỨNG DỤNG CỦA VETƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN VUÔNG GÓC, TÍNH GÓC 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta cần chứng minh tích