Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)

Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)Một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THÚY QUỲNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẾM TRONG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP LUẬN VĂN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2016 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Các quy tắc đếm 1.1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.1.2 Tổ hợp chỉnh hợp Một số nguyên lý 1.2.1 Bất biến 1.2.2 Nguyên lí Dirichlet 1.2.3 Nguyên lí cực hạn Phân loại phương pháp giải toán đếm hình học tổ hợp 2.1 Phân loại toán đếm 2.1.1 Đếm đối tượng tạo điểm, đoạn thẳng, đường thẳng 2.1.2 Đếm đối tượng tạo thành miền mặt phẳng 12 Các phương pháp giải toán đếm 14 2.2.1 Phương pháp sử dụng nguyên lí bất biến 14 2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lí Dirichlet 22 2.2.3 Phương pháp sử dụng nguyên lí cực hạn 38 2.2 Các dạng toán liên quan 49 3.1 Bài toán tô màu hình vẽ 49 3.2 Đếm cấu hình 63 3.3 Phối hợp phương pháp đếm khác 64 Tài liệu tham khảo 71 Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Các quy tắc đếm Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng: Nếu công việc A có hai phương án thực (loại trừ lẫn nhau), phương án có n1 cách thực hiện, phương án có n2 cách thực công việc A có n1 + n2 cách thực Trên ngôn ngữ tập hợp: A∩B = ∅ |A ∪ B| = |A| + |B| Quy tắc nhân: Nếu công việc A chia thành công đoạn tiếp nối nhau, công đoạn có n1 cách thực hiện, công đọan có n2 cách thực công việc A có n1 n2 cách thực Trên ngôn ngữ tập hợp: |A.B| = |A|.|B| Quy tắc phần bù: |A| = |X| − |A|, A phần bù A X 1.1.2 Tổ hợp chỉnh hợp Xét tập hợp X gồm n phần tử Từ tập hợp này, ta xây dựng đối tượng tổ hợp phong phú Tập tập tập X : Tập tập X ký hiệu P (X) Dễ thấy |P(X)| = 2n Các tập tập hợp đối tượng xuất nhiều toán đếm Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k tập hợp k phần tử phân biệt thứ tự tập hợp Ví dụ X = {1, 2, 3} k = ta có chỉnh hợp (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu Akn Hoán vị: Hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử đó, nói cách khác, cách thứ tự phần tử Hoán vị X định nghĩa song ánh từ X vào X Số hoán vị n phần tử ký hiệu Pn Tổ hợp: Tổ hợp chập k tập hợp k phần tử phân biệt không thứ tự tập hợp Nói cách khác, tập k phần tử Ví dụ X = {1, 2, 3} k = ta có tổ hợp {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} Số tổ chập k n phần tử ký hiệu Cnk Chỉnh hợp lặp: Chỉnh hợp lặp chập k tập hợp k phần tử không thiết phân biệt thứ tự tập hợp Ví dụ X = {1, 2, 3} k = ta có chỉnh hợp lặp {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2}, {3, 3} Số chỉnh hợp lặp chập k k n phần tử ký hiệu An Tổ hợp lặp: Tổ hợp lặp chập k tập hợp k phần tử không thiết phân biệt không thứ tự tập hợp Ví dụ X = {1, 2, 3} k = ta có tổ hợp lặp {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 3} Số tổ hợp lặp chập k n phần tử ký hiệu k C n 1.2 1.2.1 Một số nguyên lý Bất biến a) Khái niệm bất biến Giả sử ta có hệ thống (X) đại lượng phép biến đổi theo thứ tự Tính chất P gọi bất biến sau s bước hệ thống (X) sau s bước biến đổi ta nhận lại tính chất P b) Ứng dụng nguyên lý bất biến Bất biến đại lượng (hay tính chất) không thay đổi trình thực phép biến đổi Chẳng hạn thực phép tịnh tiến khoảng cách hai điểm không thay đổi Với phép vị tự khác, khoảng cách thay đổi có bất biến khác, tỉ lệ hai đoạn thẳng Có hai mẫu toán tổng quát thường giải bất biến Bài toán tổng quát 1.1 Có tập hợp trạng thái X tập hợp phép biến đổi T từ X vào X Có hai trạng thái a b thuộc X , hỏi dùng hữu hạn phép biến đổi thuộc T để đưa trạng thái a trạng thái b không? Bài toán tổng quát 1.2 Có tập hợp trạng thái X tập hợp phép biến đổi T từ X vào X Cần chứng minh trạng thái a bất kì, sau số hữu hạn phép biến đổi từ T , ta đến trạng thái kết thúc (trong nhiều trường hợp trạng thái ổn định, tức không thay đổi tiếp tục tác động phép biến đổi từ T ) 1.2.2 Nguyên lí Dirichlet a) Nguyên lí Dirichlet Nguyên lí Dirichlet - gọi nguyên lí chuồng chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) - nguyên lý lồng nhốt thỏ nguyên lí xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) Nguyên lí nhà toán học người Đức Johann Dirichlet phát biểu năm 1834 ông đề cập tới với tên gọi "nguyên lí ngăn kéo" Vì vậy, tên gọi thông dụng khác nguyên lý chuồng bồ câu "nguyên lí ngăn kéo Dirichlet" hay gọi gọn "nguyên lí Dirichlet" Trong số ngôn ngữ tiếng Pháp, tiếng Ý tiếng Đức, nguyên lí gọi tên "ngăn kéo" "chuồng bồ câu" Nguyên lí Dirichlet bản: Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ, với n số nguyên dương Nguyên lí Dirichlet tổng quát: Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn hộp chứa N đồ vật (ở kí hiệu [α] để phần nguyên số α) k Chứng minh N Giả sử hộp chứa vật Khi tổng số đồ vật là: k N N k −1