Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)

Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải một số bài toán thi học sinh giỏi (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— NGUYỄN MẠNH ĐỨC VẬN DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— NGUYỄN MẠNH ĐỨC VẬN DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - 2017 Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Nguyên lý cộng 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ 1.2 Nguyên lý nhân 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Ví dụ 1.3 Nguyên lý bù trừ, thêm bớt 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Ví dụ 1.4 Hàm sinh 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Các định lý mệnh đề Vận dụng phương pháp đếm vào giải toán 2.1 Vận dụng phương pháp truy hồi 2.1.1 Ý tưởng 2.1.2 Một số ví dụ 2.2 Vận dụng phương pháp song ánh 2.2.1 Ý tưởng 2.2.2 Một số ví dụ 2.3 Vận dụng phương pháp đa thức số phức 2.3.1 Ý tưởng 2.3.2 Ví dụ 2.4 Vận dụng phương pháp sử dụng hàm sinh 2.4.1 Ý tưởng 6 7 9 10 13 13 13 16 16 16 16 23 23 24 30 30 30 36 36 2.4.2 Ví dụ 37 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Trong chương trình toán trường THPT nói chung, nội dung dành cho học sinh giỏi nói riêng, “bài toán đếm” thu hút quan tâm học sinh tính thực tiễn đa dạng, phong phú dạng tập thường có mặt đề thi học sinh giỏi hàng năm cấp Tuy nhiên việc giải toán dạng thường khó nhiều học sinh, lý học sinh chưa nắm biết cách vận dụng phép đếm vào toán cụ thể Cũng có số tác giả đưa vài dạng tập liên quan đến hướng nghiên cứu luận văn như: Văn Phú Quốc [7], Nguyễn Văn Nho [8] Tuy nhiên tài liệu chưa phân nhóm, đưa cách tường minh, rõ ràng ý tưởng, phương pháp vận dụng phép đếm vào giải toán Với mục đích tìm hiểu, sưu tầm hệ thống toán mà lời giải có vận dụng phép đếm để sử dụng tập vào việc ôn tập, bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi trường THPT, chọn đề tài: “Vận dụng phép đếm nâng cao vào giải số toán thi học sinh giỏi” Nhiệm vụ cụ thể luận văn là: (1) Hệ thống số tính chất chương trình toán phổ thông để khởi đầu cho việc tìm hiểu phép đếm nâng cao (2) Giới thiệu số phép đếm nâng cao minh họa việc vận dụng chúng vào giải số tập, đề thi học sinh giỏi Trong trình thực đề tài, luận văn tham khảo trích dẫn số tập tài liệu tham khảo đồng thời cố gắng đưa lời giải chi tiết cho số ví dụ mà tài liệu tham khảo đưa hướng giải lời giải vắn tắt Vì SGK, chương trình toán THPT không dạy phép đếm cách tường minh; nên để phân biệt gọi tạm “Phép đếm nâng cao” Để hoàn chỉnh luận văn, nhận hướng dẫn, bảo tận tình PGS TS Trịnh Thanh Hải (Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên), thầy cô khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên thầy cô giảng dạy lớp cao học toán K9A Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô xin gửi lời tri ân đến thầy cô Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy toàn thể thầy cô trường hướng dẫn tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Chương Một số kiến thức chuẩn bị Lí thuyết tổ hợp phần quan trọng toán học rời rạc chuyên nghiên cứu phân bố phần tử vào tập hợp Thông thường phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thỏa mãn điều kiện định đó, tùy theo yêu cầu toán cần nghiên cứu Mỗi cách phân bố gọi cấu hình tổ hợp Chủ đề nghiên cứu từ kỉ XVII, vấn đề tổ hợp nêu công trình nghiên cứu trò chơi may rủi Liệt kê, đếm đối tượng có tính chất phần quan trọng lí thuyết tổ hợp Đếm đối tượng để giải nhiều toán khác 1.1 Nguyên lý cộng Đây nguyên lý tổ hợp, vận dụng rộng rãi vào giải toán đếm Nếu A B hai tập hợp không giao |A ∪ B| = |A| + |B| 1.1.1 Định nghĩa Cho Ai , i = 1, n tập rời Khi n n |Ai | Ai = i=1 i=1 Một trường hợp riêng nguyên lý cộng: Nếu A tính chất cho tập X |A| = |X| − |Ac | ¯ |A| = |X| − |A| 1.1.2 Ví dụ Ví dụ 1.1.1 Một đoàn vận động viên gồm hai môn bắn súng bơi cử thi đấu nước Nam có 10 người Số vận động viên thi bắn súng (kể nam và nữ) 14 Số nữ vận động viên thi bơi số nam vận động viên thi bắn súng Hỏi đoàn có người? Lời giải Chia đoàn thành lớp: nam nữ Lớp nữ lại chia 2: thi bắn súng thi bơi Thay số nữ thi bơi số nam thi bắn súng (2 số theo đầu bài), ta số nữ tổng số cầu thủ thi bắn súng Từ đó, theo nguyên lý cộng, toàn đoàn có 10 + 14 = 24 người Ví dụ 1.1.2 Có xâu gồm chữ số thập phân có ký tự 9? Lời giải Xâu chứa ký tự khác vị trí thứ ký tự khác vị trí thứ hai ký tự khác vị trí thứ ba ký tự khác vị trí thứ tư ta sử dụng quy tắc cộng Đối với trường hợp, có khả chọn ký tự khác với (bất kể chữ số khác chữ số 0, 1, , 8) Vậy đáp số là: + + + = 36 1.2 1.2.1 Nguyên lý nhân Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Tích Descartes hai tập hợp A, B ký hiệu A × B tập hợp tất cặp thứ tự (a, b) với a ∈ A, b ∈ B Định nghĩa 1.2.2 Nếu A B hai tập hợp hữu hạn A × B hữu hạn ta có |A × B| = |A|.|B| Định nghĩa tích Descartes nguyên lý nhân mở rộng cho nhiều tập hợp Nguyên lý nhân phát biểu cách khác sau: Nếu trình thực qua hai công đọan: công đọan có n1 cách thực hiện, công đọan (sau thực công đoạn 1) có n2 cách thực Khi có n1 n2 cách thực trình Tổng quát: cho n tập hợp Ai , i = 1, n, n ≥ Khi đó: n n |Ai | Ai = i=1 1.2.2 i=1 Ví dụ Ví dụ 1.2.3 Hỏi có cờ gồm vạch mầu, mầu vạch lấy từ mầu xanh, đỏ, trắng cho: a) Không có hai vạch liên tiếp mầu; b) Không có hai vạch mầu Lời giải Đánh số vạch cờ 1, 2, từ xuống a) Mầu vạch có cách chọn Sau mầu vạch chọn, mầu vạch có cách chọn không chọn lại mầu vạch 1) Sau mầu vạch 1, chọn, mầu vạch có cách chọn (không chọn lại mầu vạch 2) Theo nguyên lý nhân, số cờ cần đếm là: 3.2.2 = 12 b) Mầu vạch có cách chọn Sau mầu vạch chọn, mầu vạch có cách chọn (không chọn lại mầu vạch 1) Sau mầu vạch 1, chọn, mầu vạch có cách chọn (không chọn lại mầu vạch 2) Theo nguyên lý nhân, số cờ cần đếm là: 3.2.1 = Ví dụ 1.2.4 Cho n số nguyên dương Xét A = P1α1 P2α2 Pnαn với P1 , P2 , , Pn số nguyên tố phân biệt Hỏi A có ước số dương phân biệt? Lời giải Ký hiệu Ai = {1, 2, 3, , αi }, i = 1, n Mỗi ước số a A có dạng: a = P1β1 P2β2 Pnβn βi ∈ Ai , số ước số A số phần tử tích Đề A1 × A2 × · · · × An Áp dụng nguyên lý nhân ta có số ước A là: A = |A1 |.|A2 | |An | = (α1 + 1)(α2 + 1) (αn + 1) 1.3 Nguyên lý bù trừ, thêm bớt 1.3.1 Định nghĩa Cho X tập hữu hạn A ⊂ X Gọi A¯ = X/A Khi ta có: ¯ = |X| − |A| |A| Nhận xét 1.3.1 Cho A1 , A2 hai tập hữu hạn, |A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 | Từ với ba tập hợp hữu hạn A1 , A2 , A3 , ta có: |A1 ∪ A2 ∪ A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | − |A1 ∩ A2 | − |A2 ∩ A3 | − |A3 ∩ A1 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 | quy nạp, với k tập hữu hạn A1 , A2 , Ak ta có: |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | = N1 − N2 + N3 − + (−1)k−1 Nk Nm (1 ≤ m ≤ k) tổng phần tử tất giao m tập lấy từ k tập cho, nghĩa |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aim | Nm = 1≤i1