CÁC bài TOÁN HÌNH học tổ hợp lê THỊ BÌNH

CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP LÊ THỊ BÌNH Mục lục Mục lục trang Lời nói đầu i Mục lục ii Chương I: Nguyên lí cực hạn………………………………… Chương II: Sử dụng nguyên lí Dirichlet………… Chương III: Sử dụng tính lồi tập hợp…………………… 19 §1 Các tốn sử dụng định lí Kelli………………………… 19 §2 Phương pháp sử dụng phép lấy bao lồi…………………… 27 Chương IV: Vài phương pháp khác ……………………… 32 -1- Chương I: NGUN LÍ CỰC HẠN Ngun lí 1: Trong tập hợp hữu hạn khác rỗng số thực ln chọn số bé số lớn Nguyên lí 2: Trong tập hợp khác rỗng số tự nhiên ln ln chọn số bé Sử dụng nguyên lí cực hạn phương pháp vận dụng cho nhiều lớp tốn khác, đặc biệt có ích giải tốn tổ hợp nói chung hỗn hợp tổ hợp nói riêng Ngun lí dùng để giải toán mà tập hợp đối tượng phải xét tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ theo nghĩa Nguyên lí cực hạn thường sử dụng kết hợp với phương pháp khác, đặc biệt phương pháp phản chứng, vận dụng trường hợp tập giá trị cần khảo sát tập hợp hữu hạn (Ngun lí 1) vơ hạn tồn phần tử lớn nhỏ (Nguyên lí 2) Để sử dụng nguyên lí cực hạn giải tốn hình học tổ hợp, người ta thường dùng lược đồ chung để giải sau: - Đưa tốn xét dạng sử dụng nguyên lí (hoặc nguyên lí 2) để chứng tỏ tất giá trị cần khảo sát tốn cần có giá trị lớn (nhỏ nhất), xét tốn tương ứng nhận giá lớn (nhỏ nhất) -Chỉ mâu thuẫn, đưa giá trị lớn (hoặc nhỏ hơn) giá trị lớn (nhỏ nhất) mà ta khảo sát Theo nguyên lí phương pháp phản chứng, ta suy điều phải chứng minh Các ví dụ trình bày minh hoạ cho phương pháp Ví dụ 1.1: Trên đường thẳng đánh dấu n điểm khác A1, A2, …, An theo thứ tự từ trái qua phải (n ≥ 4) Mỗi điểm tô màu khác bốn màu dùng Chứng minh tồn -2- đoạn thẳng chứa hai điểm hai màu hai điểm hai màu lại Giải: Xét tập hợp sau: A = { k | ≤ k ≤ n } Tập A ≠ ∅ ( theo giả thiết dùng bốn màu) A hữu hạn nên theo nguyên lí cực hạn, tồn số i nhỏ mà i ∈ A Theo định nghĩa tập hợp A, i số bé thuộc A, nên màu điểm Ai khác với màu tất điểm A1, A2, …, Ai-1 Chú ý dãy A1, A2 , …, Ai lại có đủ bốn màu Xét tiếp tập sau: B = {k | ≤ k ≤ i điểm Ak , Ak+1, …, Ai có mặt đủ bốn màu} Tập B ≠ ∅ (vì dãy A1, A2 , …, Ai có đủ bốn màu), B hữu hạn nên theo nguyên lí cực hạn, tồn số j lớn mà j ∈ B Theo định nghĩa tập hợp B, j số lớn thuộc B, nên màu điểm Aj khác với màu tất điểm Aj+1 , …, Ai Xét đoạn [Aj Ai] Khi đoạn thẳng chứa hai điểm hai màu (đó Aj Ai ), hai điểm hai màu lại Aj+i , …, Ai-1.□ Ví dụ 1.2: Cho ABC tam giác nhọn Lấy điểm P tam giác Chứng minh khoảng cách lớn khoảng cách từ P tới ba điểm A , B, C tam giác không nhỏ lần khoảng cách bé khoảng cách từ P tới ba cạnh tam giác Giải: Gọi A1, B1, C1 tương ứng hình chiếu P xuống BC, AC, AB o · · · · · Ta có: · APC1 + C PB + BPA1 + A1PC + CPB1 + B1 PA = 360 (1) -3- Theo nguyên lí cực hạn, tồn tại: { } · · · · · · max · APC1 ,C PB,BPA1 , A1PC,CPB1 ,B1PA = BPA1 (2) Từ (1) (2) dễ suy ra: PBA&1& ≥ 60 o Từ (3) ta đến cos (3) · = PA1 ≤ PBA PB Như PB ≥ 2PA1 (4) Từ (4) suy max {PA,PB,PC} ≥ PB ≥ PA1 ≥ {PA1 ,PB1 ,PC1} □ Ví dụ 1.3: Chứng minh mặt phẳng toạ độ, tìm năm điểm nguyên đỉnh ngũ giác (Một điểm M(x ; y) mặt phẳng toạ độ gọi “điểm nguyên” hai toạ độ x , y số nguyên) Giải: Giả thiết trái lại, tồn ngũ giác cho năm đỉnh “điểm nguyên”.Ta xét tập hợp sau: Ω = {a | a cạnh ngũ giác có năm đỉnh “điểm nguyên”} Dễ thấy, a cạnh ngũ giác với đỉnh nguyên nên a2 số nguyên dương Thật vậy, giả sử A1A2 A3A4A5 đa giác thuộc Ω Giả sử Ai (xi ; yi), i = 1, , gọi a cạnh ngũ giác này, ta có: a2 = A1A22 = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 Do xi , yi ∈ ¢ , ∀i = 1,5 nên a2 số nguyên dương Như tập Ω ≠ ∅ , điều suy từ giả thiết phản chứng Tập Ω số tự nhiên, khác rỗng, nên theo nguyên lí cực hạn suy tồn phần tử nhỏ nhất, tức tồn ngũ giác ABCDE cho a*2 nhỏ nhất, a* cạnh ngũ giác Dễ thấy ABCB' ; BCDC' ; CDED'; -4- DEAE' AEBA' hình bình hành với BD ∩ CE = A' , AD ∩ CE =B' , AD ∩ BE = C' , AC ∩ BE = D' ,AC ∩ DE = E' Từ hình bình hành EABA' suy ra:  x A' = xB + xE − x A   y A' = y B + yE − y A (1) Do A, B, C, D, E “điểm nguyên” nên xA, xE, xB ; yA, yE, yB số nguyên Vì (1) suy xA' , yA' số nguyên Như A' “điểm nguyên” Tương tự B' , C' , D' , E' ''điểm nguyên'' Rõ ràng A'B'C'D'E' ngũ giác với đỉnh “điểm nguyên”, H-1.3 tức A'B'C'D'E'∈ Ω Mặt khác, gọi a' cạnh ngũ giác đều, rõ là: a'< a* ⇒ a'2 < a*2 (2) Bất đẳng thức (2) mâu thuẫn với tính nhỏ a* Vậy giả thiết phản chứng sai Như không tồn ngũ giác với đỉnh “điểm nguyên” Ví dụ 1.4: Trên mặt phẳng cho 2005 điểm, khoảng cách điểm đôi khác Nối điểm số điểm với điểm gần Cứ tiếp tục Hỏi với cách nối nhận đường gấp khúc khép kín khơng? Giải: Giả sử xuất phát từ điểm A1 Theo nguyên lí cực hạn, số tất đoạn thẳng có đầu mút A1 tồn điểm gần A1 Điểm nhất, theo giả thiết khoảng cách điểm khác -5- căp điểm khác Gọi điểm A2 Tiếp tục xét với đoạn thẳng xuất phát từ A2 Có hai khả xảy ra: 1.Nếu A1 điểm gần A2 Khi đường gấp khúc dừng lại A2 Rõ ràng ta thu đường gấp khúc với khúc A1A2 dĩ nhiên khơng khép kín 2.Nếu tồn điểm A3 A2A3 ngắn Khi ta có đường gấp khúc A1A2A3 với A1A2 > A2A3 H –1.4 Giả sử có đường gấp khúc A1A2…An theo lập luận ta có: A1A2 > A2A3 > …> An-1An Chú ý điểm An nối với điểm Ai mà 1≤ i ≤ n –2 Thật trái lại ta nối An với Ai (ở ≤ i ≤ n – 2) Theo định nghĩa cách nối điểm ta được: AnAi < An-1An < AiAi+1 (1) Nhưng theo cách nối từ Ai ta lại có: AiAi+1 < AnAi (2) Từ (1) (2) suy vơ lí Vậy khơng H -1.5 đường khấp khúc A1A2…An khép kín Ta có câu trả lời phủ định: Khơng thể nhận đường gấp khúc khép kín, nối theo quy tắc Ví dụ 1.5: Cho số nguyên m, n với m < p , n < q cho p × q số thực đơi khác Điền số cho vào ô vuông bảng vng kích thước p × q (gồm p hàng, q cột) cho số điền vào ô ô điền vào số Ta gọi ô vuông bảng “xấu” số nằm bé m số nằm cột với đồng thời bé n -6- số nằm hàng với Với cách điền số nói trên, gọi s số ô “xấu” bảng số nhận Hãy tìm giá trị nhỏ s Giải: Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh bất đẳng thức sau: s ≥ (p – m) (q – n) (1) Ta quy nạp theo số p + q • Nếu p + q = 2, tức p = q = (bảng có số) Khi kết luận toán (hiểu theo nghĩa m , n khơng có hiểu theo nghĩa khơng có trường hợp này) • Tương tự p + q = • Với p + q = ⇒ p = q = m = n = Xét cách điền bốn số đơi khác a, b, c, d Khơng giảm tổng qt cho a < b < c < d (nếu khơng lí luận tương tự) a b c d Ơ có số a “xấu” (vì bé số nằm cột số nằm hàng, có “xấu” mà thơi) Ta có s = Mặt khác, trường hợp này: (p – m)(q – n) = (2 – 1)(2 – 1) = Kết luận toán trường hợp Giả thiết quy nạp kết luận toán đến p + q = k (ở p > m , q > n) , tức trường hợp số ô “xấu “ lớn (p – m)(p – n) • Xét bảng p×q có p + q = k + Ta gọi ô vuông bảng “xấu theo hàng” (“xấu theo cột”) số nằm bé n số (tương ứng m số) nằm hàng (tương ứng nằm cột) với -7- Lấy hàng i Hàng i có q số đơi khác (do có q cột).Vì hàng i có (q – n) số, mà số bé n số nằm hàng (Thật vậy, giả sử xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn số hàng x1 < x2