Phần 1 - Tổng hợp các bài toán hình học phẳng được trích trong đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên

TÀI LIỆU BDHSG TỐN VÀ ƠN THI LỚP 10 THPT CHUYÊN TỔNG HỢP VÀ GIỚI THIỆU CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC ĐƯỢC TRÍCH TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUA CÁC NĂM HỌC Hình học phẳng nội dung quan trọng chương trình mơn tốn trường THCS THPT chun tốn Trong năm gần đầy tốn hình học phẳng xuất đề thi vào lớp 10 THPT chuyên, lớp 10 khiếu toán kì thi học sinh giỏi cấp với độ khó ngày cao Với mong muốn tuyển chọn giới thiệu hình học phẳng tổng hợp từ đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên nhằm mục đích làm tài liệu học tập cho học sinh tài liệu giảng dạy cho giáo viên, soạn tài liệu ”Tổng hợp giới thiệu tốn hình học trích đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT qua năm học” Nội dung tài liệu giới thiệu tốn hình học tổng hợp trích từ đề thi mà thân tác giả sưu tầm được, với lời giải trình bày cơng phu xác Với cách viết đặt bạn đọc vào vị trí người giải, lối suy nghĩ hình thành lời giải tốn cách tự nhiên đảm bảo tính khoa học, hy vọng tài liệu thực có ích cho bạn đọc chinh phục tốn hình học phẳng Mặc dù thực cố gắng dành nhiều tâm huyết để hoàn thiện sách với hiệu cao nhất, song sai sót điều khó tránh khỏi Chúng tơi mong đóng góp ý kiến bạn đọc để chúng tơi hồn thiện tài liệu tốt Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An TÀI LIỆU BDHSG TỐN VÀ ƠN THI LỚP 10 THPT CHUN Bài Cho điểm A cố định nằm đường tròn ( O ) Kẻ tiếp tuyến AE, AF ( O ) (E, F tiếp điểm) Điểm D di động cung lớn EF cho DE  DF , D không trùng với E tiếp tuyến D ( O ) cắt tia AE, AF B, C a) Gọi M, N giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng OB, OC Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn b) Kẻ tia phân giác DK góc EDF tia phân giác OI góc BOC với k thuộc EF I thuộc BC Chứng minh OI song song với DK c) Chứng minh đường thẳng IK qua điểm cố định Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Tỉnh Nghệ An năm học 2016 – 2017 Lời giải A P F M Q NK O E J G H B L D I C a) Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp + Lời giải Ta có DEF = DOF = DOC nên DEF + DON = 180 suy ta có tứ giác DONE nội tiếp đường tròn Mặt khác ta có BEO = BDO = 90 nên BDOE nội tiếp Như năm điểm B, D, E, O, N thuộc đường trịn Từ suy BNO = BEO = 90 Chứng minh tương tự ta BMC = 90 Như ta có BMC = BNC = 90 hay tứ giác BNMC nội tiếp + Lời giải Theo giả thiết tốn ta có NCB = tam giác FBM nên ta có Nguyễn Cơng Lợi ACB Do AFE góc ngồi NMB = AFE − ABM = AFE − ABC Mà ta lại có Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An TÀI LIỆU BDHSG TỐN VÀ ƠN THI LỚP 10 THPT CHUYÊN ( ) 1 AFE = 900 − BAC Từ ta NMB = 900 − BAC + ABC = ACB Kết hợp 2 hai kết ta thu NMB = NCB , tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh OI song song với DK + Lời giải Ta có biến đổi góc sau  ABC   o ACB  ABC + ACB EDF = 1800 − EDB − FDC = 1800 −  90o −  −  90 − =     2     Mà ta lại có KDC = EDF ABC ACB ACB ABC ACB + FDC = + + 900 − = 900 + − 4 4 Mặt khác OI phân giác góc BOC nên ta có OIC = ABC ABC BOC + BOI = + = 2 1 ABC ACB  ABC ACB − −  1800 −  = 900 +  2  4 Kết hợp hai kết ta suy KDC = OIC nên OI song song với DK + Lời giải Gọi H, G giao điểm BO với DE CO với CF Gọi J giao điểm DK với OB Khi dễ thấy tứ giác OHDG nội tiếp đường trịn, ta HOG + HDG = 1800 Do OI phân giác góc BOC DK phân giác góc EDF nên ta có EDK + BOI = 90 Mà ta lại có EDK + BJD = 900 nên ta BOI = BJD Từ suy OI song song với DK c) Chứng minh đường thẳng IK qua điểm cố định + Lời giải Giả sử P giao điểm DK với cung nhỏ EF, P điểm cung nhỏ EF Từ suy ba điểm A, P, O thẳng hàng Gọi Q giao điểm AO với EF Do ta AO vng góc với EF Q Xét hai tam giác vng KPQ IDO có OID = ODP = KPQ nên KPQ ∽ IDO Do ta OE = OP nên KP PQ PQ Mặt khác ta lại có OAE = 900 , EQ ⊥ OP = = OI DO PO OQ OE PQ OQ OQ OE OP AP Từ = = 1− = 1− = 1− = 1− = OE OA PO PO OE OA OA OA Kết hợp hai kết ta KP AP , mà ta có KP song song với OD Do = OI AO suy ba điểm A, K, I thẳng hàng Vậy IK qua điểm cố định A Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An TÀI LIỆU BDHSG TỐN VÀ ƠN THI LỚP 10 THPT CHUYÊN + Lời giải Gọi giao điểm DK với đường tròn ( O ) P, dễ thấy ba điểm A, P, O thẳng hàng Giả sử AO cắt EF Q Do DK song song với OI nên ta có KPO = KDO = DOI , điều dẫn đến hai tam giác KQP DIO đồng dạng với Từ ta KP PQ PQ Mặt khác ta lại có P điểm cung = = OI OD OE nhỏ EF nên EP phân giác tam giác AEQ, theo tích chất đường phân giác kết hợp hai tam giác AEO AQE ta suy Kết hợp hai kết ta PA EA AO PA PQ = = , suy = PQ EQ EO OA EO AP KP , mà ta có KP song song với IO nên theo = AO OI định lí Talets ta suy ba điểm A, K, I thẳng hàng Từ ta có điều phải chứng minh + Lời giải Gọi giao điểm AO với đường tròn ( O ) L Khi CO phân giác BCA AO phân giác góc BAC nên ta có COL = ) ( BAC + BCA Mặt khác tứ giác BDOE nội tiếp nên ta có ) ( ( 1 DOB = EOB = 900 − ABC = 900 − 1800 − BAC − BCA = BAC + BCA 2 ) Từ ta COL = BOD , mà OI phân giác góc BOC nên DOI = LOI Kết hợp với OD = OL OI chung dẫn đến IOD = IOL , suy ILO = IDO = 90 hay LI tiếp tuyến đường tròn ( O ) Gọi K’ giao điểm AI với EF Dễ dàng chứng minh AP.AL = AE2 = AQ.AO nên ta song với IL nên theo định lý Talets ta có AQ AP Mà QK’ song = AL AO AQ AK' AK' AP = = Từ dẫn đến , AL AI AI AO nên theo định lý Talets đảo ta có PK ' song song với OI Điều dẫn đến PK’ PD trùng hay K K’ trùng Từ suy ba điểm A, K, I thẳng hàng Ta có điều phải chứng minh Bài Cho đuờng tròn ( O; R ) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Bên ngồi tam giác ABC dựng hình vng ABDE, ACFG hình bình hành AEKG Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An TÀI LIỆU BDHSG TỐN VÀ ƠN THI LỚP 10 THPT CHUYÊN a) Chứng minh AK = BC AK vng góc BC b) Gọi giao điểm DC BF M Chứng minh ba điểm A, K, M thẳng hang c) Chứng minh A thay đổi cung lớn BC đường tròn ( O; R ) K ln thuộc đuờng trịn cố định Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Phú Thọ năm học 2016 – 2017 Lời giải K G E C' B' A F O D T B S M H C a) Chứng minh AK = BC AK vng góc BC + Ta có KEA + EAG = 1800 BAC + EAG = 1800 nên ta KEA = BAC Mặt khác ta lại có EK = AG = AC EA = AB nên hai tam giác AEK BAC nhau, ta AK = BC EAK = ABC + Gọi H giao điểm KA BC, ta có BAH + ABC = BAH + EAK = 900 suy AH vuông góc với BC Do AK vng góc với BC b) Gọi giao điểm DC BF M Chứng minh ba điểm A, K, M thẳng hàng + Gọi T S giao điểm KB với CD KC với BF Gọi Z giao KC AG Ta có KAC = KAG + 900 BCF = ACB + 900 mà KAG = ACB nên suy KAC = BCF Mặt khác lại có KA = BC; AC = CF; KAC = BCF nên hai tam giác KAC BCF nhau, suy CKH = FBC Để ý CKH + KCH = 900 nên FBC + KCH = 90 suy BF vng góc với KC Tương tự ta có KB vng góc Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An TÀI LIỆU BDHSG TỐN VÀ ƠN THI LỚP 10 THPT CHUYÊN với CD Từ hai kết suy M trực tâm tam giác KBC suy M thuộc KH Vậy ba điểm A, K, M thẳng hàng c) Chứng minh A thay đổi cung lớn BC đường tròn ( O; R ) K ln thuộc đuờng trịn cố định Dựng hình vng BCC' B' nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn BC , suy B'C' cố định Ta có AKB' B hình bình hành Do B'K song song với AB nên B'KA = BAH Tương tự ta có AKC'C hình bình hành nên KC' song song với AB, AKC' = HAC Từ suy B'KC' = B'KA + AKC' = BAH + HAC = BAC Vì A thay đổi cung lớn BC đường trịn ( O; R ) K ln nhìn đoạn B'C' cố định góc khơng đổi  = BAC Do K thuộc quỹ tích cung chứa góc  dựng đoạn B'C' cố định Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R ) đường kính AK Trên cạnh BC lấy điểm M; vẽ đường tròn ( D; R ) qua M tiếp xúc với AB B, vẽ đường tròn ( E; R ) qua M tiếp xúc với AC C Gọi N giao điểm thứ hai khác M đường tròn ( D; R ) đường tròn ( E; R ) a) Chứng minh N thuộc đường tròn ( O; R ) ba điểm A, M, N thẳng hàng b) Khi M thay đổi đoạn BC Chứng minh R + R = R tứ giác ADNE có diện tích khơng đổi c) Khi M thay đổi đoạn BC Tính diện tích nhỏ tam giác ADE theo R Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Phú Thọ năm học 2016 – 2017 Lời giải a) Chứng minh N thuộc đường tròn ( O; R ) ba điểm A, M, N thẳng hàng + Vì tam giác ABC nội tiếp ( O; R ) có đường kính AK nên AB = BC = CA = R lại có BAC = ABC = ACB = 600 Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An TÀI LIỆU BDHSG TỐN VÀ ƠN THI LỚP 10 THPT CHUYÊN Vì BA tiếp tuyến đường tròn ( D; R ) A nên BNM = ABM = 60 CA tiếp tuyến ( E; R ) nên CNM = ACM = 600 Từ BAC + BNC = BAC + BNM + CNM = 1800 O Suy tứ giác ABCN nội tiếp đường tròn hay N thuộc đường trịn ( O; R ) + Vì N thuộc đường tròn ( O; R ) M B C D nên ta có E N K P BNA = CNA = 60 , mà ta lại có BNM = 60 0 ta BNA = BNM = 60 nên ba điểm A, M, N thẳng hàng b) Chứng minh R + R = R tứ giác ADNE có diện tích khơng đổi + Tam giác OBK có OB = OK = R BKO = BCA = 60 nên tam giác OBK đều, suy BK = R Tương tự ta CK = R nên tam giác BKC cân K, KBC = KCB Vì BA tiếp tuyến đường trịn ( D; R ) nên BD vng góc với BA, mà ta có BK vng góc với BA nên suy D nằm BC, điều dẫn đến KBC = DBC suy D thuộc BK nên KBC = DBC , lại có DB = DM = R nên DMB = DBC Từ kết ta KCB = DMB nên DM song song với KC hay DM song song với KE Chứng minh tương tự ta có EM song song với DK tứ giác MDKC hình bình hành Từ suy DM = KE hay DM + EC = EK + EC Do ta suy R + R = R + Ta có AN vng góc với NK hay ED vng góc với AN, DE song song với AN, điều dẫn đến S DNE = S DKE nên S ADNE = S ADKE Lại có 1 R R2 SADKE = S ADK + S AEK = AB.DK + AC.KE = DK + KE = ( ) 2 R2 Do suy ta S ADKE = không đổi c) Khi M thay đổi đoạn BC Tính diện tích nhỏ tam giác ADE theo R Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An TÀI LIỆU BDHSG TỐN VÀ ƠN THI LỚP 10 THPT CHUN Ta có S ADKE R2 R2 R2 hay SADE + SKDE = nên S ADE = = − SKDE Kẻ EP vng 2 góc với DK P, ta có 1 1 R2 S DKE = KD.EP = KD.KE.sin PKE = KD.KE.sin 60  ( KD + KE ) = 2 16 2 R R 7R Suy SADE  , dấu xẩy KD = KE hay M trung − = 16 16 7R điểm BC Vậy S ADE đạt giá trị nhỏ M trung điểm BC 16 Bài Cho hai đường tròn ( O1 ) ( O ) có bán kính khác nhau, cắt hai điểm A B cho O1 ,O thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB Đường trịn ( O ) ngoại tiếp tam giác BO1O cắt ( O1 ) ( O ) K L (khác A B) Đường thẳng AO cắt ( O1 ) ( O ) M N (khác A) Hai đường thẳng MK NL cắt P cho P B thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ đường thảng KL a) Chứng minh tứ giác BKPL nội tiếp đường tròn b) Chứng minh điểm A cách hai đường thẳng BK BL c) Chứng minh điểm P thuộc đường thẳng AB tam giác PKL cân Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2016 – 2017 Lời giải P K L M A N O2 O1 B a) Chứng minh tứ giác BKPL nội tiếp đường trịn Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An TÀI LIỆU BDHSG TOÁN VÀ ƠN THI LỚP 10 THPT CHUN Vì tứ giác MKAB BALN nội tiếp đường tròn ( O1 ) ( O ) nên ta có MKB = MAB BLN = BAN Mà ta lại có MAB + NAB = 1800 nên ta suy MKB + NLB = 1800 Mặt khác PKB = 1800 − MKB PLB = 1800 − BLN nên ta PKB + PLB = 1800 , suy tứ giác BKPL nội tiếp đường tròn b) Chứng minh điểm A cách hai đường thẳng BK BL Ta có O1LB = O1O B (góc nội tiếp chắn cung BO1 ) ALB = AO2 B = O1O2 B Do ALB = O1LB suy ba điểm O1 ; O; L thẳng hàng Chứng minh tương tự ta ba điểm O2 ; A; K thẳng hàng Khi ta KAO1 = LAO2 Ta có 1 KBA = KO1A ABL = AO2 L (góc nội tiếp góc tâm chắn 2 cung KA, AL) Mặt khác tam giác KO1A; AO L tam giác cân nên KO1A = 1800 − LAO2 1800 − KAO1 AO2 L = Từ ta có KBA = LBA hay BA 2 phân giác góc KBL suy A cách BK BL c) Chứng minh điểm P thuộc đường thẳng AB tam giác PKL cân + Chứng minh P thuộc AB PKL cân Vì P thuộc AB nên ta cần khai thác giả thiết Có hai hướng xử lý Hướng Ta có P, A, B thẳng hàng Chú ý tam giác MPN cân PMN = KBA = ABL = MNP khai thác từ câu b) Khi cần chứng minh KL song song với MN ta sử dụng yếu tố góc khơng thể sử dụng yếu tố cạnh có hai cạnh Chú ý đến tứ giác MKAB BKNL nội tiếp nên PK.PM = PA.PB PL.PN = PA.PB Suy PK.PM = PL.PN mà PN = PM nên PK = PL Suy tam giác PKL cân Hướng Ta có P, A, B thẳng hàng nên ý vào khai thác việc P nằm AB cho ta nghĩ đến áp dụng kết câu b) ta có BP phân giác góc KBL suy KBP = LBP nên sdKP = sdPL hay KP = PL Từ tam giác PKL cân + Chứng minh PKL cân P thuộc AB Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An TÀI LIỆU BDHSG TỐN VÀ ƠN THI LỚP 10 THPT CHUYÊN Ta chuyển chứng minh P, A, B thẳng hàng với KP = LP Vì cần P, A, B thẳng hàng nên cần chứng minh BA trùng BP Tương tự ta có hai hướng xử lý: Hướng Vì KP = PL nên KBP = LBP (góc chắn cung nhau) nên BP phân giác góc KBL sử dụng kết câu b) BA phân giác góc KBL nên BA  BP Hướng Nếu PK = PL PK.PM = PL.PN Gọi A’ A’’ giao điểm BP với (O ) ( O ) PK.PM = PA'.PB = PL.PN = PA''.PB Suy A  A'  A " hay P thuộc AB Bài Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A điểm di chuyển đường tròn ( O ) (A khác B C) Kẻ AH vng góc với BC H M điểm đối xứng điểm A qua điểm B a) Chứng minh điểm M ln nằm đường trịn cố định b) Đường thẳng MH cắt đường tròn ( O ) E F (E nằm M F) Gọi I trung điểm HC, đường thẳng AI cắt ( O ) G (G khác A) Chứng minh AF2 + FG2 + GE2 + EA2 = 2BC2 c) Gọi P hình chiếu vng góc H lên AB Tìm vị trí điểm A cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BCP đạt giá trị lớn Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2016 – 2017 Lời giải A F Q S P B K O E C I H O' G M D a) Chứng minh điểm M nằm đường trịn cố định Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An ... ABC DEF Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Tỉnh Bắc Ninh năm học 2 016 – 2 017 Lời giải Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An TÀI LIỆU BDHSG TỐN VÀ ƠN THI LỚP 10 THPT CHUYÊN... giác CDFE hình thang Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2 016 – 2 017 Lời giải a) Chứng minh AMPC BMPD tứ giác nội tiếp Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ... định Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Phú Thọ năm học 2 016 – 2 017 Lời giải K G E C' B' A F O D T B S M H C a) Chứng minh AK = BC AK vng góc BC + Ta có KEA + EAG = 18 00 BAC + EAG = 18 00