Phần 1 tổng hợp các bài toán hình học phẳng được trích trong đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên

a Chứng minh rằng tứ giác BKPL nội tiếp đường tròn b Chứng minh rằng điểm A cách đều hai đường thẳng BK và BL c Chứng minh rằng điểm P thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi tam giác PKL

TỔNG HỢP VÀ GIỚI THIỆU CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC ĐƯỢC TRÍCH TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

QUA CÁC NĂM HỌC Hình học phẳng là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán ở

trường THCS cũng như THPT chuyên toán Trong những năm gần đầy các bài toán

về hình học phẳng xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 THPT chuyên, lớp 10 năng khiếu toán và trong các kì thi học sinh giỏi các cấp với độ khó ngày càng cao Với mong muốn tuyển chọn và giới thiệu bài hình học phẳng tổng hợp từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên nhằm mục đích làm tài liệu học tập cho học

sinh và tài liệu giảng dạy cho giáo viên, chúng tôi đã soạn ra cuốn tài liệu ”Tổng hợp và giới thiệu các bài toán hình học được trích trong đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT qua các năm học” Nội dung cơ bản của tài liệu là giới thiệu các bài

toán hình học tổng hợp được trích từ các đề thi mà bản thân tác giả sưu tầm được, cùng với đó là lời giải được trình bày công phu và chính xác Với cách viết đặt bạn đọc vào vị trí người giải, lối suy nghĩ hình thành lời giải bài toán một cách tự nhiên nhưng vẫn đảm bảo tính khoa học, hy vọng cuốn tài liệu sẽ thực sự có ích cho bạn đọc trên con được chinh phục các bài toán hình học phẳng Mặc dù chúng tôi đã thực sự cố gắng và dành nhiều tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách với hiệu quả cao nhất, song sự sai sót là điều khó tránh khỏi Chúng tôi rất mong được sự đóng góp

ý kiến của bạn đọc để chúng tôi hoàn thiện tài liệu tốt hơn

Bài 1 Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn ( )O Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của ( )O (E, F là các tiếp điểm) Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho DEDF,

D không trùng với E và tiếp tuyến tại D của ( )O cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C a) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng

OB, OC Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn

b) Kẻ tia phân giác DK của góc EDF và tia phân giác OI của góc BOC với k thuộc EF và I thuộc BC Chứng minh rằng OI song song với DK

c) Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Tỉnh Nghệ An năm học 2016 – 2017

Lời giải

J

L

K N

M

I

O Q P

G H

F

E

B A

a) Chứng minh rằng tứ giác BNMC nội tiếp

+ Lời giải 1 Ta có DEF 1DOF DOC

2

= = nên DEF DON 180+ = 0 suy ra ta có tứ giác

DONE nội tiếp đường tròn Mặt khác ta có 0

BEO=BDO 90= nên BDOE nội tiếp Như vậy năm điểm B, D, E, O, N cùng thuộc một đường tròn Từ đó suy ra

0

BNO=BEO 90= Chứng minh tương tự ta được BMC=900 Như vậy ta có

0

BMC=BNC 90= hay tứ giác BNMC nội tiếp

+ Lời giải 2 Theo giả thiết của bài toán ta có NCB 1ACB

hai kết quả ta thu được NMB NCB= , do đó tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh OI song song với DK

+ Lời giải 1 Ta có biến đổi góc như sau

Kết hợp hai kết quả trên ta suy ra KDC OIC= nên OI song song với DK

+ Lời giải 2 Gọi H, G lần lượt là giao điểm của BO với DE và CO với CF Gọi J là

giao điểm của DK với OB Khi đó dễ thấy tứ giác OHDG nội tiếp đường tròn, do đó

ta được HOG HDG 180+ = 0 Do OI là phân giác của góc BOC và DK là phân giác của góc EDF nên ta có EDK BOI+ =900 Mà ta lại có EDK BJD 90+ = 0 nên ta được BOI=BJD Từ đó suy ra OI song song với DK

c) Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định

+ Lời giải 1 Giả sử P là giao điểm của DK với cung nhỏ EF, khi đó P là điểm chính

giữa cung nhỏ EF Từ đó suy ra ba điểm A, P, O thẳng hàng Gọi Q là giao điểm

AO với EF Do đó ta được AO vuông góc với EF tại Q

Xét hai tam giác vuông KPQ và IDO có OID ODP KPQ= = nên KPQ∽ IDO

Kết hợp hai kết quả trên ta được KP AP

OI = AO, mà ta có KP song song với OD Do đó suy ra ba điểm A, K, I thẳng hàng Vậy IK luôn đi qua điểm cố định A

+ Lời giải 2 Gọi giao điểm của DK với đường tròn ( )O là P, khi đó dễ thấy ba điểm

A, P, O thẳng hàng Giả sử AO cắt EF tại Q Do DK song song với OI nên ta có KPO KDO= =DOI, điều này dẫn đến hai tam giác KQP và DIO đồng dạng với

Kết hợp hai kết quả trên ta được AP KP

AO= OI , mà ta có KP song song với IO nên theo định lí Talets ta suy ra được ba điểm A, K, I thẳng hàng Từ đó ta có điều phải chứng minh

+ Lời giải 3 Gọi giao điểm của AO với đường tròn ( )O là L Khi đó do CO là phân giác của BCA và AO là phân giác của góc BAC nên ta có 1( )

ILO IDO 90= = hay

LI là tiếp tuyến của đường tròn ( )O Gọi K’ là giao điểm của AI với EF Dễ dàng

chứng minh được AP.AL AE= 2 =AQ.AO nên ta được AQ AP

và PD trùng nhau hay K và K’ trùng nhau Từ đó suy ra ba điểm A, K, I thẳng hàng Ta có điều phải chứng minh

Bài 2 Cho đuờng tròn (O; R) và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE, ACFG và hình bình hành AEKG

C' B'

K

O M H

G

F E

D

C B

+ Gọi H là giao điểm của KA và BC, khi đó ta có BAH ABC+ =BAH EAK+ =900suy ra AH vuông góc với BC Do đó AK vuông góc với BC

b) Gọi giao điểm của DC và BF là M Chứng minh ba điểm A, K, M thẳng hàng

+ Gọi T và S lần lượt là giao điểm của KB với CD và KC với BF Gọi Z là giao của

KAC KAG 90= + và 0

BCF=ACB 90+ mà KAG=ACB nên suy

ra KAC=BCF Mặt khác lại có KA BC; AC CF; KAC BCF= = = nên hai tam giác KAC và BCF bằng nhau, do đó suy ra CKH=FBC Để ý rằng CKH KCH 90+ = 0nên FBC KCH 90+ = 0 suy ra BF vuông góc với KC Tương tự ta có KB vuông góc

với CD Từ hai kết quả trên suy ra M là trực tâm của tam giác KBC do đó suy ra M thuộc KH Vậy ba điểm A, K, M thẳng hàng

c) Chứng minh khi A thay đổi trên cung lớn BC của đường tròn (O; R) thì K luôn thuộc một đuờng tròn cố định

Dựng hình vuông BCC B trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn BC , suy ra ' '

B KA=BAH Tương tự ta có AKC C là hình bình hành nên ' KC song song với '

AB, do đó AKC' =HAC Từ đó suy ra B KC' ' =B KA AKC' + ' =BAH HAC BAC+ =

Vì khi A thay đổi trên cung lớn BC của đường tròn (O; R) thì K luôn nhìn đoạn

a) Chứng minh rằng N thuộc đường tròn (O; R) và ba điểm A, M, N thẳng hàng

b) Khi M thay đổi trên đoạn BC Chứng minh rằng R1+R2 =R và tứ giác ADNE có diện tích không đổi

c) Khi M thay đổi trên đoạn BC Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác ADE theo R

Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Phú Thọ năm học 2016 – 2017

Lời giải

a) Chứng minh N thuộc đường tròn (O; R) và ba điểm A, M, N thẳng hàng

+ Vì tam giác ABC đều nội tiếp (O; R) có đường kính AK nên AB=BC CA R 3= =

và lại có BAC=ABC=ACB 60= 0

Vì BA là tiếp tuyến của đường tròn (D; R1)

nên BNM=ABM=600 và CA là tiếp tuyến

của (E; R2) nên CNM=ACM 60= 0

BAC BNC BAC BNM CNM 180+ = + + =

Suy ra tứ giác ABCN nội tiếp được đường

tròn hay N thuộc đường tròn (O; R)

+ Vì N thuộc đường tròn (O; R) nên ta có

0

BNA=CNA=60 , mà ta lại có BNM 60= 0do

đó ta được BNA=BNM 60= 0 nên ba điểm A,

M, N thẳng hàng

K N M O

P E

B

A

b) Chứng minh R1+R2 =R và tứ giác ADNE có diện tích không đổi

+ Tam giác OBK có OB OK R= = và 0

BKO=BCA=60 nên tam giác OBK đều, do

đó suy ra BK=R Tương tự ta được CK R= nên tam giác BKC cân tại K, do đó KBC KCB= Vì BA là tiếp tuyến của đường tròn (D; R1) nên BD vuông góc với BA,

mà ta có BK vuông góc với BA nên suy ra D nằm trên BC, điều này dẫn đến KBC=DBC suy ra D thuộc BK nên KBC=DBC, lại có DB=DM=R1 nên DMB DBC= Từ các kết quả trên ta được KCB=DMB nên DM song song với KC hay DM song song với KE Chứng minh tương tự ta có EM song song với DK do đó

tứ giác MDKC là hình bình hành Từ đó suy ra DM KE= hay DM EC EK EC+ = +

Do vậy ta suy ra được R1+R2 =R

+ Ta có AN vuông góc với NK hay ED vuông góc với AN, do đó DE song song với

AN, điều này dẫn đến SDNE =SDKE nên SADNE =SADKE Lại có

R 3S

2

= không đổi

c) Khi M thay đổi trên đoạn BC Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác ADE theo R

Ta có

2 ADKE

R 3S

2

2 ADE KDE

 − = , dấu bằng xẩy ra khi KD KE= hay M là trung

điểm của BC Vậy SADE đạt giá trị nhỏ nhất là

2

7R 3

16 khi M là trung điểm của BC

Bài 4 Cho hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 có bán kính khác nhau, cắt nhau tại hai điểm A và B sao cho O ,O1 2 thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB Đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác BO O1 2 cắt ( )O1 và ( )O2 lần lượt tại K và L (khác A và B) Đường thẳng AO cắt ( )O1 và ( )O2 lần lượt tại M và N (khác A) Hai đường thẳng MK và NL cắt nhau tại P sao cho P và B thuộc hai nửa mặt phẳng có

bờ là đường thảng KL

a) Chứng minh rằng tứ giác BKPL nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng điểm A cách đều hai đường thẳng BK và BL

c) Chứng minh rằng điểm P thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi tam giác PKL cân

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2016 – 2017

N M

B A

a) Chứng minh tứ giác BKPL nội tiếp đường tròn

Vì các tứ giác MKAB và BALN lần lượt nội tiếp các đường tròn ( )O1 và ( )O2 nên

ta có MKB MAB= và BLN=BAN Mà ta lại có MAB NAB 180+ = 0nên ta suy ra

MKB NLB 180+ = Mặt khác 0

PKB 180= −MKB và 0

PLB 180= −BLN nên ta được PKB PLB 180+ = 0, do đó suy ra tứ giác BKPL nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh điểm A cách đều hai đường thẳng BK và BL

Ta có O LB O O B1 = 1 2 (góc nội tiếp cùng chắn cung BO1) và ALB 1AO B O O B2 1 2

= (góc nội tiếp và góc ở tâm lần lượt cùng chắn

cung KA, AL) Mặt khác vì các tam giác KO A; AO L1 2 là các tam giác cân nên

0

1 1

180 LAO

AO L

2

−

= Từ đó ta có KBA LBA= hay BA là

phân giác của góc KBL suy ra A cách đều BK và BL

c) Chứng minh điểm P thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi tam giác PKL cân

+ Chứng minh nếu P thuộc AB thì PKL cân

Vì P thuộc AB nên ta cần khai thác giả thiết này Có hai hướng xử lý

Hướng 1 Ta có P, A, B thẳng hàng Chú ý tam giác MPN cân do

PMN KBA= =ABL MNP= do khai thác được từ câu b) Khi đó cần chứng minh

KL song song với MN ta không thể sử dụng yếu tố về góc cũng không thể sử dụng yếu tố cạnh có hai cạnh bằng nhau Chú ý đến tứ giác MKAB và BKNL nội tiếp nên PK.PM = PA.PB và PL.PN = PA.PB Suy ra PK.PM = PL.PN mà PN = PM nên PK =

PL Suy ra tam giác PKL cân

Hướng 2 Ta có P, A, B thẳng hàng nên chú ý vào khai thác việc P nằm trên AB thì

cho ta cái gì khi đó nghĩ đến áp dụng kết quả câu b) ta có BP là phân giác của góc KBL suy ra KBP LBP= nên sdKP=sdPL hay KP PL= Từ đó tam giác PKL cân

+ Chứng minh nếu PKL cân thì P thuộc AB

Ta chuyển về chứng minh P, A, B thẳng hàng với KP = LP Vì cần P, A, B thẳng hàng nên cần chứng minh BA trùng BP Tương tự như trên ta có hai hướng xử lý:

Hướng 1 Vì KP = PL nên KBP LBP= (góc cùng chắn cung bằng nhau) nên BP là phân giác của góc KBL sử dụng kết quả câu b) là BA là phân giác của góc KBL nên

BABP

Hướng 2 Nếu PK = PL thì PK.PM PL.PN= Gọi A’ và A’’ là giao điểm của BP với ( )O1 và ( )O2 thì PK.PM PA'.PB PL.PN PA''.PB= = = Suy ra ' "

AA A hay P thuộc AB

Bài 5 Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là điểm di chuyển trên đường tròn

( )O (A khác B và C) Kẻ AH vuông góc với BC tại H M là điểm đối xứng của điểm

A qua điểm B

a) Chứng minh điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định

b) Đường thẳng MH cắt đường tròn ( )O tại E và F (E nằm giữa M và F) Gọi

I là trung điểm của HC, đường thẳng AI cắt ( )O tại G (G khác A) Chứng minh rằng AF2+FG2+GE2+EA2=2BC2

c) Gọi P là hình chiếu vuông góc của H lên AB Tìm vị trí của điểm A sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP đạt giá trị lớn nhất

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2016 – 2017

D

C B

A

a) Chứng minh điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định

Lấy K là điểm đối xứng của O qua B, vì B và O cố định nên K cố định Tứ giác OAKM là hình bình hành nên KM OA BC

Ta lại có BS là đường trung bình của tam giác AMH nên BS song song với MH Từ

đó ta được ABS=AMH nên suy ra AMH CAI= Mà ta lại có 0

CAI MAI+ =90

AMH MAI+ =90 , do đó AI vuông góc MF Xét tứ giác AEGF nội tiếp đường tròn ( )O nên ta có AG vuông góc với EF Kẻ đường kính AD, khi đó do GD vuông góc với AG và EF vuông góc AG nên EF song song với GD Do đó tứ giác nội tiếp EFGD nên hình thang cân, suy ra FG ED= Từ đó ta được

Gọi Q là hình chiếu của H trên AC, ta có tứ giác APHQ là hình chữ nhật (S là tâm)

Do đó ta được AQP AHP ABC= = nên tứ giác BPQC nội tiếp Đường trung trực của các đoạn thẳng PQ, BC, QC cắt nhau tại O’ thì O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP Ta có OO’ song song với AH vì cùng vuông góc với BC Lại có OA vuông góc với PQ và O S vuông góc với PQ nên ' O S song song với OA, dẫn đến tứ '

giác ASO O là hình bình hành Từ đó ta được ' ' AH

= + Do OC không đổi nên O C lớn nhất khi AH lớn '

nhất hay A chính giữa cung BC của đường tròn ( )O

Bài 6 Cho tam giác nhọn ABC có AB AC và nội tiếp đường tròn ( )O Các đường cao BB ,CC' ' cắt nhau tại điểm H Gọi M là trung điểm BC Tia MH cắt đường tròn ( )O tại điểm P

1) Chứng minh hai tam giác BPC và ' CPB đồng dạng '

2) Các đường phân giác của các góc BPC , ' CPB lần lượt cắt' AB, AC tại các điểm E và F Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, K là giao điểm 'của HM và AO '

a) Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ( )'

O cắt nhau tại

một điểm nằm trên đường tròn ( )O

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Thành Phố Hà Nội năm học 2016 – 2017

Lời giải

1) Chứng minh hai tam giác BPC' và CPB' đồng dạng

Kẻ đường kính AA' của đường tròn

APH 90= =AB H AC H= nên suy ra

tứ giác PAB C nội tiếp đường tròn ' '

đường kính AH Do đó ta suy ra được

PC A PB A= nên PC B PB C' = '

P

K M G

T

O'

O H

F E

C'

B'

A'

C B

A

Mà PBC' =PCB' do đó ta được tam giác PBC đồng dạng với tam giác ' PCB '

2) Các đường phân giác của các góc BPC , ' CPB lần lượt cắt' AB, AC tại các điểm

E và F Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFvà K là giao điểm của

HM và AO'

a) Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp

+ Lời giải 1 Trước hết ta nhận thấy tứ giác AC HB nội tiếp đường tròn đường ' '

kính AH Mà ta có P nằm trên đường tròn đường kính AH đồng thời nằm trên đường tròn ( )O nên ta có PC A PB A' = ' và PBA=PCA Từ đó suy ra BPC' =CPB'

Để ý rằng PE, PF theo thứ tự là đường phân giác của các góc '

BPC và CPB nên ta 'suy ra được EPB FPC= Từ đó suy ra PEA PFA= nên tứ giác APEF nội tiếp đường tròn Kẻ đường kính '

AK của đường tròn ( )O , khi đó ta có ' APK' =900 Mà

P thuộc đường kính AH nên ta có APK=900 nên suy ra hai tia PK và PK' trùng nhau Mà ta có K và '

K cùng thuộc đường thẳng AO nên suy ra hai điểm K và ' '

Ktrùng nhau Điều này dẫn đến tứ giác PEKF nội tiếp đường tròn ( )O '

+ Lời giải 2 Lập luận chứng minh tương tự như các lời giải trên ta có tứ giác APEF

nội tiếp đường tròn ( )'

O và tứ giác APC B nội tiếp đường tròn đường kính AH ' '

Do đó ta có BPC' =CPB', do đó ta suy ra được BPC B PC= ' ' Lại có

BCP BAP C AP C B P= = = nên suy ra tam giác PBC đồng dạng với tam giác PC B ' '

Kết hợp với tính chất đường phân giác ta có

BH = EB nên HE là phân giác của góc BHC Chứng minh tương tự thì ta được '

nên HF là phân giác của góc CHB Đến đây ta suy ra được ba điểm E, H, F thẳng '

hàng Ta lại có tam giác AEF cân tại A nên AK là phân giác của góc EAF nên cũng

là phân giác của góc '

HAA Chú ý rằng tam giác AHC đồng dạng với tam giác ' '

HA = A C = = Ta lại có tứ giác HC BA là hình thang ' '

nên ta có PE; HC ; A B song song với nhau Do vậy suy ra PE vuông góc với AB ' 'Chứng minh hoàn toàn tương tự thì ta có PF vuông góc với AC Do vậy AK là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Suy ra tứ giác PEKFnội tiếp đường tròn

+ Lời giải 3 Do tam giác PBC đồng dạng với tam giác ' PCB và E, F là là chân các '

đường phân giác tương ứng nên ta suy ra được ' '

PEC =PFB , do đó từ giác APEF nội tiếp đường tròn, điều này có nghĩa là điểm P thuộc đường tròn ( )O Do PE là '

phân giác của tam giác BPC nên theo tính chất đường phân giác ta có ' EB' PB'

EC =PC Cũng do tứ giác APC H nội tiếp đường tròn nên ta có '

PC = = Mặt khác lại do tứ giác PBA C nội tiếp đường tròn nên ta suy '

ra được tam giác PMB đồng dạng với tam giác CMA Do vậy '

PB = PC hay HB' PB'

HC =PC Mà ta đã có EB' PB'

EC =PC nên suy ra EB' HB'

EC =HC hay ta được HE là phân giác của góc BHC Chứng minh hoàn 'toàn tương tự thì ta được HF là phân giác của góc CHB Đến đây ta được ba điểm '

E, H, F thẳng hàng Ngoài ra cũng từ tam giác PBC đồng dạng với tam giác ' PCB '

và tam giác HC B đồng dạng với tam giác ' HCB ta được '

' '

O Do vậy suy ra giao điểm K của AO với PH nằm trên đường tròn '

ngoại tiếp tam giác AEF Vậy tứ giác PEKF nội tiếp đường tròn ( )'

O

b) Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ( )O cắt nhau tại một điểm nằm '

trên đường tròn ( )O

+ Lời giải 1 Như đã chứng minh trên ta có ba điểm H, E, F thẳng hàng và AK là

phân giác của góc BAC Gọi giao điểm thứ hai của AK với đường tròn ( )O là T và

giao điểm của AK với '

BBlà G Khi đó ta có

' ' CHB BAC

giác AEHG nội tiếp Từ đó ta suy ra được AEG AHG AHB= = ' =ACB ATB= nên

tứ giác BEGT nội tiếp đường tròn Điều này dẫn ta đến ATE=ABG 90= 0−BAC

Mà ta lại có AT vuông góc với EF nên TEF 90= 0−ATE=BAC Do vậy TE là tiếp tuyến của ( )O Mặt khác ta lại có ' TE=TF nên TF cũng là tiếp tuyến của ( )O '

Tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ( )O cắt nhau tại T trên đường tròn ' ( )O

+ Lời giải 2 Gọi T là điểm chính giữa cung BC không chứa A của đường tròn ( )O

và gọi Q là điểm đối xứng với T qua BC Khi đó BQC BTC 180= = 0−BAC BHC=nên tứ giác BHQC nội tiếp đường tròn Do đó ta được HBQ HCQ= và

EO hay ET là tiếp tuyến tại E của đường tròn ( )O Chứng '

minh hoàn toàn tương tự thì ta có FT là tiếp tuyến tại F của đường tròn ( )O Vậy '

các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ( )'

O cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ( )O

+ Lời giải 3 Dễ dàng chứng minh được MB và ' MC là tiếp tuyến của đường tròn 'đường kính AH Như vậy hai tiếp tuyến tại '

B và C của đường tròn đường kính '

AH cắt nhau tại M Ta lại có hai tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại T Để ý rằng ta chứng minh được tam giác PB C và tam ' '

giác PEF Từ đó ta suy ra được tam giác PB M đồng dạng với tam giác PFT nên 'suy ra tam giác PMT đồng dạng với tam giác '

PB F Do vậy ta có biến đổi góc

PMT PB F 180= = −PB A 180= −PHA AHM=

Đến đây ta suy ra MT song song với AH nên ta được MT thuộc đường trung trực của BC Dễ thấy T nằm trên AK do tam giác AEF cân Nên T nằm trên đường phân giác của góc BAC Do vậy T là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng

BC với đường phân giác của góc BAC nên T nằm trên đường tròn ( )O Từ đó ta

có điều cần chứng minh

Bài 7 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O với AB AC Phân giác của góc BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn ( )O tại E khác A M là trung điểm của đoạn thẳng AD Đường thẳng BM cắt đường tròn ( )O tại P khác B Giả sử các đường thẳng EP và AC cắt nhau tại N

a) chứng minh rằng tứ giác APNM nội tiếp và N là trung điểm của đoạn thẳng AC

b) Giả sử đường tròn ( )K ngoại tiếp tam giác EMN cắt đường thẳng AC tại

Q khác N Chứng minh rằng B và Q đối xứng nhau qua AE

c) Giả sử đường tròn ( )K cắt đường thẳng BM tại M Chứng minh rằng RA vuông góc RC

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2016 – 2017

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác APNM nội tiếp và N là trung điểm của đoạn thẳng AC

Do AE là phân giác của góc BAC nên ta có

E là điểm chính giữa cung BC Suy ra ta có

AMP=ANP nên tứ giác AMNP nội tiếp

đường tròn Do đó APM=ANM Mặt khác

lại có APM=ACB nên suy ra ANM=ACB

Từ đó dẫn đến MN dong song với BC, mà M

là trung điểm AD nên suy ra N là trung

O

C B

A

b) Chứng minh B và Q đối xứng nhau qua AE

Không mất tính tổng quát ta giả sử Q nằm giữa N và C (các trương hợp còn lại chứng minh tương tự) Do tứ giác EMNQ nội tiếp đường tròn nên MEQ MNA=

Mà ta có MNA=ACB và ACB=AEB nên ta suy ra được AEQ AEB= Mặt khác ta lại có BAE=CAE và AE chung nên suy ra hai tam giác ABE và ACE bằng nhau

Do đó AB AG= và EB EQ= nên AE là đường trung trực của BQ, suy ra Q và B đối xứng nhau qua đường thẳng AE

c) Chứng minh RA vuông góc với RC

Tứ giác ERMN nội tiếp đường tròn nên ta có ENR=EMR=AMP Mặt khác ta lại

có ENC ANP= =AMP nên ta được ERN ENC= Ta có REN PMN PAN PEC= = =

và REN CEN= Kết hợp với cạnh NE chung ta suy ra được hai tam giác REN và

CEN bằng nhau Suy ra RN NC NA= = nên ta được RN 1AC

2

= , điều này dẫn đến

tam giác RAC vuông tại R hay ta được RA vuông góc với RC

Bài 8 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn ( )O P là điểm thuộc cung nhỏ

AD của đường tròn ( )O và P khác A, D Các đường thẳng PB, PC lần lượt cắt AD tại AD tại M, N Đường trung trực của AM cắt đường thẳng AC, PB lần lượt tại E,

K Đường trung trực DN cắt các đường thẳng BD, PC lần lượt tại F, L

a) Chứng minh rằng ba điểm K, O, L thẳng hàng

b) Chứng minh đường thẳng PO đi qua trung điểm của EF

c) Giả sử đường trung trực của AM cắt đường thẳng BD tại S và đường trung trực của DN cắt AC cắt nhau tại T Đường thẳng ST cắt các đường thẳng PB, PC lần lượt tại U và V Chứng minh rằng bốn điểm K, L, V, U cùng thuộc một đương tròn

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2016 – 2017

được KA KB KM= = Mà lại có OB OD= nên OK là đường trung bình của tam giác BMD, suy ra OK song song với MD Chứng minh tương tự ta có OL là đường trung bình của tam giác NCA, suy ra OL song song với AD Theo tiên đề Ơclit thì

ba điểm K, O, L thẳng hàng

H

T S

V U

P

F E

L K

Y X

N M

I

O

D

C B

A

b) Chứng minh đường thẳng PO đi qua trung điểm của EF

Ta có E thuộc đường trung trực AM và EAM=450 nên tam giác EAM vuông cân

Do đó suy ra ME vuông góc với AC Hoàn toàn tương tự ta cũng có NF vuông góc

với BD Ta có MN song song với BC nên theo định lí Talet ta có PB PC

MB =NC Hạ PX vuông góc với AC và PY vuông góc với BD, khi đó ta có PX, EM, BO cùng song

song với nhau Do đó ta được XO PB

EO =PM Lại có PY, FN, CO cùng song song với

nhau nên ta cũng có YO PC

FO =NC Từ đó dẫn đến XO YO

EO = FO nên suy ra XY và EF

PXO PYO= =XOY=90 nên tứ giác PXOY là hình chữ nhật, do đó PO đi qua trung điểm của XY Do XY song song với EF nên PO đi qua trung điểm của EF

c) Chứng minh bốn điểm K, L, V, U cùng thuộc một đương tròn

Ta có LK song song với AD nên LK vuông góc với ES Do đó KOA OAD= =450nên KEO=450 Mà ta có EOS 90= 0 nên OK là phân giác của góc EOS Suy ra tam giác EOS cân nên ta có KS KE= , do đó suy ra KL là đường trung trực của ES hay E

và S đối xứng với nhau qua KL Hoàn toàn tương tự ta có F và T đối xứng qua KL

Từ đó EOF = SOT nên ta được EFO=STO Gọi giao điểm của OP và EF là I, khi

đó ta có I là trung điểm của EF Do tam giác OEF cân nên ta có IO IE IE= = Suy ra tam giác IOF cân tại I nên IOF IFO OTS= = Mà ta lại có IOE IOF EOF 90+ = = 0 nên

0

IOE OTS+ =90 Gọi giao điểm của OP và ST là H, khi đó ta có TOH IOE= , suy ra

0

TOH HTO 90+ = Điều này dẫn đến THO 90= 0 hay PO vuông góc với ST Ta lại

có PLF PCD= và PCD PBD= =BPO nên PLF PBO PVH= = Mặt khác ta có PH vuông góc với UV nên ta được VPH HVP 90+ = 0

PLF PLK+ =PLK=90 nên PLK=HVP Từ đó suy ra PLK=UVPhay tứ giác KLUV nội tiếp đường tròn

• Nhận xét Ta có cách khác chứng minh tứ giác KLUV nội tiếp như sau: Từ P kẻ đường

thẳng vuông góc với AD cắt đường tròn ( )O tại Q, khi đó dễ thấy ba điểm Q, L, D thẳng hàng Gọi G là giao điểm của AC và QD Khi đó ta có CTV STO SFE= = =2PCD PLD=

nên tứ giác LVTG nội tiếp Mà ta có QC PD= nên ta suy ra được

Do vậy tứ giác KLUV nội tiếp đường tròn

Bài 9 Cho tam giác ABC lấy điểm D thay đổi nằm trên cạnh BC (D không trùng với

B và C) Trên tia AD lấy điểm P sao cho D nằm giữa A và P đồng thời DA.DP DB.DC= Đường tròn ( )T đi qua hai điểm A và D lần lượt cắt cạnh AB, AC tại F và E

a) Chứng minh rằng tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng hai tam giác DEF và PCB đồng dạng

c) Chứng minh rằng

2 DEF

2 ABC

a) Chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn

Ta có DA.DP DB.DC= nên suy ra được

DB = DP Mà ta lại có ADB CDP= nên hai

tam giác ADB và CDP đồng dạng Suy ra

DAB=DCP nên tứ giác ABPC nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác DEF và PCB

đồng dạng

Ta có DAF DEF= và BAP=BCP nên ta suy

ra được DEF=BCP

H D K

E F

C

P B

2 ABC

S =S S = BC S (vì hai tam giác PCB, DEF đồng dạng) Kẻ AH

vuông góc với BC tại H và PK vuông góc với BC tại K Do đó PCB

2 ABC

M xuống AB, Ax và By

a) Chứng minh rằng MH2=MK.MI

b) Gọi E là giao điểm của AM và KH, F là giao điểm của BM và HI Chứng

minh rằng đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp các

tam giác MEK và MFI

c) Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác

MEK và MFI Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cung nhỏ AB thì đường

thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Tỉnh Bắc Ninh năm học 2016 – 2017

Lời giải

a) Chứng minh MH2=MK.MI

Ta có các tứ giác AHMK và BHKI nội tiếp

đường tròn Lại có Ax và By là các tiếp

tuyến của đường tròn (O; R) nên ta có

MIH MBH MAK= = =MHK

Hoàn toàn tương tự MKH=MHI

Do đó hai tam giác MIH và MHK đồng

dạng với nhau nên ta được MI MH

MH= MKhay MH2=MI.MK

A

O

M D

F

Q H

I K

b) Chứng minh đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp

các tam giác MEK và MFI

Theo chứng minh trên ta có MBA=MHK và MHI=MAB nên EHF EMF 180+ = 0,

do đó tứ giác MEHF nội tiếp đường tròn Suy ra ta được EHM EFM= Mà ta lại có

EHM HBM HIM= = nên suy ra EFM FIM= Từ đó suy ra EF là tiếp tuyến của

đường tròn ngoại tiếp tam giác MFI Tương tự EFlà tiếp tuyến của đường tròn

ngoại tiếp tam giác MEK Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nói trên

c) Chứng minh khi M di chuyển trên cung nhỏ AB thì đường thẳng DM luôn đi qua

một điểm cố định

Ta có MFE MHE MBH= = nên suy ra MFE MBH= , do đó EF song song với AB Gọi C là giao điểm của DM với EF và Q là giao điểm của DM với AB Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác MEK và MFI nên

MN

a) Chứng minh rằng IA là tia phân giác của góc MIN

b) Chứng minh rằng 2 1 1

AK= AB AC+ c) Lấy các điểm E, P, F lần lượt trên AM, MN, NA sao cho tứ giác AEPF là hình bình hành Gọi Q là điểm đối xứng với P qua đường thẳng EF Chứng minh rằng ba điểm O, P, Q thẳng hàng

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Tỉnh Hà Nam năm học 2016 – 2017

Lời giải

H F

N

M

C B

A

a) Chứng minh IA là tia phân giác của góc MIN

Do AM và AN là tiếp tuyến với đường tròn ( )O và I trung điểm của dây BC nên ta

AIO=AMO=ANO 90= Từ đó suy ra năm điểm A, M, I, O, N cùng nằm trên

đường tròn đường kính AO Do vậy AIM=AOM và NIA=NOA Mà ta có

MOA=NOA nên MIA=NIA Suy ra IA là tia phân giác của góc MIN

QE FA EP= = Dễ dàng chứng minh được EP ME QE;= =

QF AE PF NE; QFN QEM= = = = Từ đó ta được tam giác QME đồng dạng với tam giác QNF nên QNF QMA= , suy ra tứ giác AQMN nội tiếp đường tròn Điều này dẫn đến sáu điểm A, M, N, O, I, Q cùng nằm đường tròn đường kính AO Do đó suy ra AQO 90= 0 nên OQ vuông góc với AQ Mà ta đã có PQ vuông góc với EF và

AQ song song với EF Do đó ta được ba điểm O, P, Q thẳng hàng

Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn có BAC450 Dựng các tam giác vuông ABMN, ACPQ (M và C khác phía đối với AB, B và Q khác phía đối với AC) AQ cắt đoạn

BM tại E và NA cắt CP tại F

a) Chứng minh rằng ABE ∽ ACF và tứ giác EFQN nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng trung điểm I của EF là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

c) MN cắt PQ tại D Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMQ và DNQ cắt nhau tại K (khác D), các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại J Chứng minh rằng các điểm D, A, K, J thằng hàng

Trích đề TS lớp 10 Trường PTNK Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2016 – 2017

Lời giải

a) Chứng minh rằng ABE ∽ ACF và tứ giác EFQN nội tiếp đường tròn

+ Từ bài ra ta có EAB BAC 90+ = 0 và

0

FAC BAC 90+ = nên EAB FAC= Mặt

ABE=ACF 90= nên suy

ra hai tam giác ABE và ACF đồng dạng

với nhau

+ Do hai tam giác ABE và ACF đồng

dạng với nha nên suy ra AE AB

AF = AC hay AE.AC AF.AB= Mà ta lại có AC AQ=

và AB AN= nên ta suy ra được

AE.AQ AN.AF= Suy ra AE AF

AN =AQ nên tam giác NAE và QAF đồng dạng với

nhau, suy ra ta có ENF EQF= nên tứ

giác QNEF nội tiếp

T K

N

M

D

C B

A

b) Chứng minh trung điểm I của EF là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

+ Lời giải 1 Gọi T giao điểm của MB và CP Ta có tứ giác ABTC nội tiếp đường

tròn và AT là đường kính của đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC Mặt khác AF song song với ET và AE song song với FT nên tứ giác AETF là hình bình hành Suy

ra trung điểm của EF cũng là trung điểm của AT Do đó I là trung điểm của EF và

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

+ Lời giải 2 Xét hình thang AEBF, gọi X là trung điểm của AB, khi đó IX thuộc

đường trung bình của hình thang Do đó IX song song với BE hay IX vuông góc với

AB Từ đó dẫn đến IX là đường trung trực của AB Chứng minh tương tự ta được I cũng thuộc đường trung trực của AC Do đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

c) Chứng minh các điểm D, A, K, J thằng hàng

Giả sử DA cắt EF tại K’, khi đó do tứ giác NQEF nội tiếp nên NFK' =NQA Mà ta lại có tứ giác AQDN nội tiếp nên NQA NDA= Suy ra ta được NDA=AFK ' Do

đó ra tứ giác DNFK’ nội tiếp đường tròn Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được

tứ giác DQK’E nội tiếp đường tròn Như vậy K’ là giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác DQM và DPN Do đó hai điểm K và K’ trùng nhau hay ba điểm D, A, K thằng hàng Mà ta lại có BKE EAB CAF CKF= = = nên suy ra được

BKC 180= −2BKE=2 90 −EAB =2BAC=BIC, do đó tứ giác BKIC nội tiếp

đường tròn Lại có tứ giác IBJC nội tiếp đường tròn nên IB=JC và BKJ CKJ= hay

KJ là phân giác của BKC Mặt khác ta có 0 0

BKA 180= −AEB 180= −AFC=AKC, suy ra tia đối của tia KA cũng là tia phân giác của BKC Do đó ba điểm A, K, J thẳng hàng Vậy bốn điểm D, A, K, J thằng hàng

Bài 13 Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B Trên cùng

một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD Gọi P là giao điểm của AD và BC

a) Chứng minh rằng AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

+ Lời giải 1 Gọi P’ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CAM và AD, ta

có CP’MA nội tiếp đường tròn Khi đó ACM AP M DBM 60= ' = = 0 Suy ra tứ giác DP’MB nội tiếp đường tròn Mặt khác vì CP A DP B 60' = ' = 0 nên B, C, P’ thẳng hàng Vì vậy P trùng P’ hay AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp đường tròn

B A

+ Lời giải 2 Ta có AM CM; MD MB; AMD CMB= = = suy ra CMB = AMD Do

đó ta được BCM=DAM và MBC MDA= Suy ra tứ giác CPMA và tứ giác MPDB nội tiếp

b) Chứng minh CP.CB+ DP.DA =AB

Vì MPB MDB CMA 60= = = 0 Suy ra 1800 −CMA 180= 0−BPM, do đó ta được CPM CMB= , lại có BCM chung nên hai tam giác MPC và BMC đồng dạng với nhau, do đó suy ra được CP.CB CM= 2 Chứng minh tương tự ta có DP.DA AM= 2 Khi đó CP.CB+ DP.DA= AM2+ CM2 =AB

c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F Chứng minh tứ giác CDFE là hình thang

Để chứng minh được CDFE là hình thang ta cần chứng minh được CE song song với DF Để ý ta thấy EF là trục đối xứng của PM Mà do ta đã có APM=BPM=600nên ta dễ dàng suy ra được PEMF là hình thoi Mà theo định lý Talets ta có

AP= AB hay AE MF

AC =MD Mặt khác ta lại có CAE PMD= nên tam giác ACE đồng dạng với tam giác MDF Do đó CFM CEA= , từ đây ta suy ra DF son song với CE Vậy CEDF là hình thang

Bài 14 Cho tam giác ABC nhọn có AB AC Kẻ đường cao AH và đường tròn ( )Ođường kính AH cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại D và E Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại S

a) Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng SB.SC SH= 2

c) Đường thẳng SO cắt AB, AC tương ứng tại M, N Đường thẳng DE cắt

HM và HN tương ứng tại P, Q Chứng minh rằng BP, CQ, AH đồng quy

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2016 – 2017

Lời giải

I

K

Q P

a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn

Ta có AED AHD= (cùng chắn cung AD) và AHD ABH= (cùng phụ DHB ) Do đó suy ra AED=DBC nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh SB.SC SH= 2.

Hai tam giác SBD SEC có DSB chung và DBS=DEC nên suy ra tam giác SBD đồng dạng với tam giác SEC Do đó ta được SB.SC SD.SE= Ham giác SBH và tam giác SEH có DSH chung và SHD=SEH nên suy ra tam giác SHD đồng dạng tam giác SEH Do đó ta được SH2=SD.SE

Kết hợp các kết quả trên ta được SB.SC SH= 2

c) Chứng minh BP, CQ, AH đồng quy

Kẻ đường thẳng HM’ song song với AC với M’ thuộc AB và đường thẳng HN’ song song với AB với N’ thuộc AC Khi đó ta có từ giác AM’HN’ là hình bình hành Suy ra M’, O, N’ thẳng hàng Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ABC với ba

điểm S, D, E thẳng hàng ta có SB EC AD 1

SC EA DB = Ta lại có EC HC22

EA =HA và

2 2

HB = AN' nên suy ra SB AM' CN' 1

SC BM' AN'= Từ đó suy ra ba điểm S, M’,N’ thẳng hàng, do đó M trùng với M’ và N trùng với N’ Từ đó ta có AMHN là hình bình hành nên ta được 0

PHE HEC 90= = do đó 0

PHE=HDB 90= Mà PEH DHB= nên DBH EPH= , do đó tứ giác BDPH nội tiếp Suy ra ta được

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn ( )O tiếp xúc nhau

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Tỉnh Thái Nguyên năm học 2016 – 2017

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác BDNE nội tiếp

Do AH vuông góc với BC nên AHC 90= 0,

do đó AC là đường kính đường tròn ( )O

Do tam giác ABC vuông tại A nên AB tiếp

xúc với đường tròn ( )O tại A Hai tam giác

BAM và BNA có ABN chung và

BAM=BNA nên hai tam giác BAM và

BNA đồng dạng với nhau

A

Ta kí hiệu đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE là ( )O ' Giả sử hai đường tròn ( )O

và ( )O ' không tiếp xúc nhau Vì hai đường tròn có điểm chung N nên chúng sẽ có điểm chung khác là N’ và BN’ cắt DE tại M’ khác M Các tam giác BDM’ và BN’D

có DBN' chung Lại có BN' D=BED và BN' D=BDE nên BN' D=BDE Do đó

hai tam giác BDM’ và BN’D đồng dạng với nhau nên suy ra BM' BD

BD =BN' hay ta được BD2 =BM'.BN' Do BD2 =BM.BN nên ta được BM.BN BM'.BN'= hay

BM BN'

BM'= BN Mà hai tam giác BMM’ và BNN’ có NBN' chung nên hai tam giác đó đồng dạng với nhau Từ đó ta được BMM'=BN' N nên tứ giác M’MNN’ nôi tiếp đường tròn Đường tròn ngoại tiếp tứ giác M’MNN’ và đường tròn ( )O có ba điểm chung là M, N, N’ nên N và N’ trùng nhau, do đó M’ là điểm chung thứ hai của đường tròn ( )O và tiếp tiến DE Điều này vô lý

Vậy điều giả sử trên là sai hay đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn ( )O tiếp xúc nhau

Bài 16 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có AC cắt BD tại E Tia AD cắt tia BC

tại F Dựng hình bình hành AEBG

a) Chứng minh rằng FD.FG FB.FE=

b) Gọi H là điểm đối xứng của E qua AD Chứng minh rằng điểm F, H, A, G cùng thuộc một đường tròn

Trích đề TS lớp 10 Trường Chuyên Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2016 – 2017

A

a) Chứng minh FD.FG FB.FE=

Ta có ADB ACB= Do tứ giác AEBG là hình bình hành nên AG song song với BD,

ADB FAG 180+ = Mà ta lại có 0

ACB FCE 180+ = nên ta được FCE FAG=

Ta có hai tam giác FCD và FAB đồng dạng nên FA FB AB

FC =FD =CD Hai tam giác EAB

và EDC đồng dạng nên AB EA EB

CD= ED= EC Kết hợp hai kết quả ta thu được EB FA

EC= FC

hay FC FA

EC= EB Mà ta lại có EB AG= nên ta được FC FA

EC=AG Hai tam giác FCE và

FAG có FCE FAG= và FC FA

EC=AG nên đồng dạng với nhau Do đó FG FA

AHF AGF 180+ = nên tứ giác AHFG nội tiếp đường tròn

Bài 17 Từ điểm D nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến DA và DB đến

đường tròn (A và B là hai tiếp điểm) Tia Dx nằm gữa hai tia DA và DO; Dx cắt đường tròn tại C và E (E nằm giữa C và D) Đoạn thẳng OD cắt AB tại M

a) Chứng minh rằng tứ giác OMEC nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng tia MA là tia phân giác của góc EMC

C

B A

a) Chứng minh tứ giác OMEC nội tiếp đường tròn

Xét hai tam giác DBE và CDB có BDE chung và DBE=BCE nên hai tam giác DBE

và DCB đồng dạng với nhau Do đó ta được DC DB

DB = DE nên DB2=DC.DE Tam giác DBO vuông tại B có đường có BH nên BD2 =DM.DO Do đó ta có

DC.DE DM.DO= hay DE DO

DM= DC Từ đó suy ra DME và DCO đồng dạng với nhau Do đó DME=DCO nên tứ giác OMEC nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh tia MA là tia phân giác của góc EMC

Do tứ giác OMEC nội tiếp đường tròn nên ta có OMC OEC= và OCE=DME Do tam giác COE cân nên OCE OEC= Do đó CMA 90= 0−OMC 90= 0 −DME EMA=nên MA là tia phân giác của góc EMC

Lại có CBM CEA 1dsAC

2

= = Từ đó suy ra hai tam giác BCM và ECA đồng dạng

với nhau, suy ra ta được MB DA

MC = DC Lại có hai tam giác DAE và CDA đồng dạng với nhau nên AE DE DA

a) Chứng minh AB.CD AD.BC=

Hai tam giác SAB và SDA có ASD chung và SAC=SDA nên hai tam giác đó đồng

TA Đường tròn ( )T cắt đoạn thẳng BC tại K

a) Chứng minh rằng TA2=TB.TC và AK là tia phân giác của góc BAC b) Lấy điểm P trên cung nhỏ AK của đường tròn ( )T Chứng minh rằng TP

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC

c) Gọi S, E, F lần lượt là giao điểm thứ hai của AP, BP, CP với đường tròn ( )O Chứng minh rằng SO vuông góc với EF

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Tỉnh Bình Phước năm học 2016 – 2017

Lời giải

F

E

S J

P O

K

B A

a) Chứng minh TA2 =TB.TC và AK là tia phân giác của góc BAC

Hai tam giác TAB và TCA đồng dạng nên 2

TA =TB.TC Ta có AKB ACK KAC= +

và TAK TAB BAK= + Mà AKB TAK= và ACK=TAB Do đó KAC=BAK hay

AK là tia phân giác của góc ABC

b) Lấy điểm P trên cung nhỏ AK của đường tròn ( )T Chứng minh TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC

Ta có TA=TP nên 2

TP =TB.TC, suy ra TP TC

TB= TP , mà ta lại có PTB CTP= nên dẫn đến hai tam giác PTB và CTP đồng dạng với nhau, do đó TPB TCP= hay TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC

c) Gọi S, E, F lần lượt là giao điểm thứ hai của AP, BP, CP với đường tròn ( )O Chứng minh SO vuông góc với EF

Ta có TPB TCP= =BEF nên TP song song với EF Mặt khác ta lại có PTJ 2.PAJ= và JOS 2.JAS 2.PAJ= = do đó ta được PTJ=JOS Mà TJ là tiếp tuyến của đường tròn ( )O nên TJ vuông góc với OJ, suy ra TP vuông góc với OS Kết hợp với TP song song với EF ta được OS vuông góc với EF

Bài 20 Cho hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với ( )O1 và ( )O2 tại C và D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt ( )O1 và ( )O2 tại M và N Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E Gọi P là giao điểm của BC và MN, Q là giao điểm của BD và MN

a) Chứng minh rằng đường thẳng AE vuông góc với CD

b) Chứng minh rằng BD BC MN

BQ+BP = PQ c) Chứng minh rằng tam giác EPQ là tam giác cân

Trích đề TS lớp 10 Trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2016 – 2017

Lời giải

a) Chứng minh đường thẳng AE vuông góc với CD

b) Chứng minh BD BC MN

BQ+ BP = PQ

Ta có DC là trung trực của AE và CD song song với MN nên CD là đường trung

bình của tam giác MEN, suy ra ta được CD 1MN

2

= Lại có CD song song với PQ

nên theo định lí Thales ta có BC BD CD

BP = BQ = PQ nên ta được BC BD 2CD MN

BP +BQ = PQ = PQ

c) Chứng minh tam giác EPQ là tam giác cân

Do PQ song song với CD nên AE vuông góc với PQ Gọi I là giao điểm của AB và

CD, ta suy ra được tam giác AID đồng dạng với DIB, do đó ta có ID IB

IA=ID hay

2

ID =IA.IB Chứng minh tương tự ta được IC2 =IA.IB Từ đó suy ra IC ID= Do

CD song song với PQ theo định lý Talét ta có ID IB IC

AQ = AB= AP nên AP AQ= Kết hợp các kết quả ta suy ra được tam giác EMP cân tại E

Bài 21 Cho hai đường tròn (O; R) và (O ; R cắt nhau tại A và B ' ') (OO'  R R') Trên nửa mặt phẳng bờ là OO’ có chứa điểm A, kẻ tiếp tuyến chung MN của hai đường tròn trên với M thuộc ( )O và N thuộc ( )'

O Biết BM cắt đường tròn ( )'

O tại

điểm E nằm trong đường tròn ( )O và đường thẳng AB cắt MN tại I

a) Chứng minh rằng MAN MBN 180+ = 0 và I là trung điểm của MN

b) Qua B kẻ đường thẳng d song song với MN, d cắt ( )O tại C và cắt ( )O '

tại D (với C, D khác B) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của CD và EM Chứng minh rằng tam giác AME đồng dạng với tam giác ACD và các điểm A, B, P, Q cùng thuộc một đường tròn

c) Chứng minh rằng tam giác BIP cân

Trích đề TS lớp 10 Trường Chuyên Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm học 2016 – 2017

a) Chứng minh MAN MBN 180+ = 0 và I là trung điểm của MN

Ta có IMA=ABM và MIA MIB= Do đó ta được

0

MBN MAN+ =ABM ABN MAN IMA INA MAN 180+ + = + + =

Dễ dàng chứng minh được tam giác IAM và tam giác IMB đồng dạng với nhau nên

ta suy ra được IM2 =IA.IB Chứng minh tương tự ta có IN2 =IA.IB Do đó suy ra

IM IN= nên I là trung điểm của MN