Ứng dụng nguyên lý Dirichle trong giải các bài toán Hình học tổ hợp

Nếu mỗi điểm trên mặt phẳng có kẻ lưới ô vuông được tô bằng một trong n màu thì tồn tại một hình chữ nhật có các đỉnh cùng màu.[r]

Chƣơng

Một số phƣơng pháp

Trước vào số phương pháp để giải tốn hình học tổ hợp, ta xét khái niệm sau

+ Một hình F gọi lồi với hai điểm A B thuộc F, đoạn thẳng nối hai điểm A, B thuộc F

+ Khoảng cách lớn hai điểm hình lồi đường kính hình lồi

1.1.Ngun lí Đirichlê

Người đề xuất nguyên lí cho nhà tốn học Đức Johann Đirichlê ơng đề cập tới nguyên lí với tên gọi “nguyên lí ngăn kéo” (The Drawer Principle) Ngồi ngun lí cịn biết đến nguyên lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) nguyên lí lồng nhốt thỏ

Nguyên lí Đirichlê phát biểu năm 1834

“Nguyên lý Đirichlê dạng cổ điển thường dùng để chứng minh tồn theo kiểu không xây dựng (non-constructive), tức biết đối tượng tồn khơng cụ thể.” (Trích giảng Các phương pháp kỹ thuật chứng minh, trình bày chương trình Gặp gỡ tốn học 2010 ĐHQG Tp.HCM tổ chức từ ngày 25/1 - 31/1/2010.)

a) Nguyên lí Đirichlê

Nhốt n1 thỏ vào n lồng tồn lồng có hai thỏ b) Nguyên lí Đirichlê tổng quát

Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp, N không chia hết cho k, tồn

một hộp chứa N

k     

  đồ vật

Chứng minh

Giả sử hộp chứa N

k     

  vật Khi tổng số đồ vật nhỏ

bằng k N N k

      

Điều mâu thuẫn với giả thiết có N đồ vật đặt vào hộp c) Nguyên lí Đirichlê đối ngẫu

Cho tập hữu hạn S , S S1, 2, ,Sn tập S cho

1 n

S  S   S k S Khi đó, tồn phần tử x thuộc S cho x phần tử chung k1 tập S ii, 1,n

Ở S số phần tử tập hợp S , 1,

i

S i n số phần tử tập hợp Si d) Nguyên lí Đirichlê cho diện tích

Nếu K hình phẳng, K K1, 2, ,Kn hình phẳng cho Ki K với 1,

i n, |K| | K1||K2| |  Kn|

Ở K diện tích hình phẳng K, cịn |Ki | diện tích hình phẳng Ki, 1,

i n

Khi đó, tồn hai hình phẳng K Ki, j, (1  i j n) cho K Ki, j có điểm chung

e) Ngun lí Đirichlê vơ hạn

Nếu chia tập hợp vô hạn táo vào hữu hạn ngăn kéo phải có ngăn kéo chứa vơ hạn táo

f) Ngun lí Đirichlê đoạn thẳng

Ta kí hiệu d I( ) độ dài đoạn thẳng I nằm

Khi có hai đoạn thẳng số đoạn thẳng có điểm chung

Chứng minh

Giả sử khơng có hai đoạn thẳng đoạn thẳng cho có điểm chung Khi

1 2

( n) ( ) ( ) ( n) ( )

d A A  A d A d A  d A d A Mà từ Ai A i, 1,n, ta có d A( 1A2  An)d A( )

Hai bất đẳng thức mâu thuẫn với nên điều giả sử sai

Vậy có có hai đoạn thẳng số đoạn thẳng có điểm chung

 Nguyên lí Đirichlê thường liên quan đến tốn thi đấu thể thao, chia hết, nguyên tố nhau, đồ thị, tơ màu, quen tốn hình học Ở đưa số toán sau

Bài 1.1 Bên tam giác ABC cạnh 2m đặt năm điểm Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ 1m

Lời giải

Ba đường trung bình tam giác cạnh 2m chia thành bốn tam giác có cạnh 1m (hình 1)

Bài 1.2 Trên mặt phẳng cho 43 điểm Trong ba điểm ln ln tìm hai điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa khơng 22 điểm cho

Lời giải

Lấy A số 43 điểm cho Xét hình trịn ( ;1)A Chỉ có hai khả sau xảy

+ Nếu tất điểm cho nằm hình trịn ( ;1)A kết luận toán

+ Tồn điểm B A (B thuộc số 43 điểm cho), cho B( ;1)A Vì ( ;1)

B A nên AB1 Xét hình trịn ( ;1)B

Lấy C điểm số 43 điểm cho cho C A C,  B Theo giả thiết dựa vào AB1, ta có Min CA CB , 1

Vì C( ;1)A , C( ;1)B (hình 2)

Vì C điểm số 43 điểm cho cho C A C, B nên hình trịn ( ;1)A , ( ;1)B chứa tất 43 điểm cho Vì theo ngun lí Đirichlê, hai hình trịn chứa khơng 22 điểm cho Ta có điều cần chứng minh

Tổng quát

Bài 1.3 Cho hình vng có diện tích Người ta đặt vào hình vng cách tùy ý 101 điểm Chứng minh tồn tam giác với ba đỉnh điểm số điểm cho có diện tích khơng q

100

Lời giải Ta chia hình vng ABCD thành 50 hình chữ nhật có diện tích

1

50 cách sau

+ Chia cạnh AB thành 10 đoạn liên tiếp + Chia cạnh AD thành đoạn liên tiếp

Khi đặt 101 điểm vào 50 hình chữ nhật hình chữ nhật chứa ba điểm Giả sử hình chữ nhật chứa ba điểm M N K, ,

Khi diện tích MNK khơng lớn nửa diện tích hình chữ nhật chứa tức khơng lớn

100 Điều có nghĩa tồn tam giác với ba đỉnh

là điểm số điểm cho có diện tích khơng q

100

 Tương tự ta có tốn sau

Bài 1.4 Trong hình vng có cạnh 1, đặt 201 điểm phân biệt Chứng minh có ba số 201 điểm nằm hình trịn bán kính

14

Lời giải Chia hình vng cho thành 100 hình vng nhỏ có cạnh

bằng 1

10 Theo nguyên lí Đirichlê, tồn hình vng nhỏ, chẳng hạn

hình vng a chứa ba số 201 điểm Đường trịn ngoại tiếp hình

vng a có bán kính 1 1

14

10 2 

Vậy ba điểm nói nằm hình trịn đồng tâm với hình vng a có bán kính 1

Tổng qt Ta tổng qt hóa tốn với a kích thước cạnh hình

vng, m số điểm đặt bất kì, phân biệt Chứng minh có n số

m điểm nằm hình trịn bán kính

1 a

m n

 

  

 

(trong kí hiệu  x phần ngun x.)

 Ngun lí Đirichlê cịn sử dụng nhiều tốn tơ màu đồ thị

Bài 1.5 Giả sử điểm mặt phẳng có kẻ lưới vng tơ hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn hình chữ nhật có đỉnh màu

Lời giải

Xét lưới ô vuông tạo ba đường nằm ngang A B C, , chín đường nằm dọc đánh số từ đến

Xét ba nút lưới đường nằm dọc ta thấy nút có hai cách tơ màu nên ba nút có 2 8   cách tô màu

Như có chín đường nằm dọc mà có tám cách tơ nên có hai đường nằm dọc có cách tô màu Giả sử nút giao hai đường dọc hai ba điểm A A A1, 2,

và B B B1, 2,

Vì ba điểm A A A1, 2, 3 có hai cách tơ nên có hai điểm tơ màu Giả sử A A1, 2 tơ màu

Vì hai có cách tơ màu giống nên B B1, 2 tô màu màu với A A1, 2 Do hình chữ nhật A A B B1 2 2 1 có đỉnh tơ màu

Tổng quát