Định lý Anne và những ứng dụng của nó trong giải bài toán hình học

Chứng minh rằng trong tam giác, ba đường thẳng nối trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh - tiếp điểm đường tròn nội tiếp và trung điểm cạnh đối diện thì đồng quy tại tâm nội tiếp.. Bài tập [r]

Tống Hữu Nhân

(Sinh viên Đại học Y Dược, thành phố Hồ Chí Minh) Tóm Tắt

Định lý Anne, đặt theo tên nhà toán học Pháp Pierre Leon-Anne (1806–1850), định lý thú vị hình học phẳng Bài viết giới thiệu định lý cách tổng quát khai thác việc giải lớp toán liên quan đến đường thẳng Gauss

1 Định lý Anne

Định lý (Pierre Leon-Anne) Cho tứ giác lồiABCD Khi quỹ tích điểm P cho tổng diện tích [P AB] + [P CD] số thực r cho trước đường thẳng

A

B

D C

P

E

X

Y

Lời giải Ta dễ dàng chứng minh trường hợpABCD có cặp cạnh đối song song Ngược lại, gọiE =AB∩CD Dựng X ∈SA, Y ∈SD cho EX =AB, EY = CD điểm E, X, Y cố định Khi ta có

r= [P AB] + [P CD] = [P EX] + [P Y E] = [EXY] + [P Y X]

⇔[P XY] = [EXY]−r =const,

2 Liên hệ với đường thẳng Gauss

Bài tốn Cho tứ giác tồn phần ABCD.EF Các điểm M, N, P trung điểm cạnh AC, BD, EF Chứng minh điểm M, N, P nằm đường thẳng gọi đường thẳng Gauss tứ giác toàn phần ABCDEF

(Đường thẳng Gauss)

D C

A

B F

E

M N P

Lời giải Sử dụng tính chất trung tuyến, ta có đẳng thức sau

[M AB] + [M CD] =

2[CAB] +

2[ACD] =

2[ABCD], [N AB] + [N CD] =

2[DAB] +

2[BCD] =

2[ABCD], [P AB] + [P CD] =

2[F AB] +

2[F CD] =

2[ABCD],

nên theo định lý Anne,M, N, P thẳng hàng Ta thu điều phải chứng minh

Nhận xét Đa số tài liệu giới thiệu đinh lý Anne đề cập cách tổng quát mà thường phát biểu dạng tương quan với đường thẳng Gauss sau : Điểm P nằm đường thẳng Gauss tứ giác ABCD

[P AB] + [P CD] = [P BC] + [P DA] =

2[ABCD]

Bài toán Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Chứng minh điểm O

nằm đường thẳng Gauss tứ giác ABCD

(Định lý Newton)

Lời giải Gọi R bán kính (O) DoABCD ngoại tiếp nên theo định lý Pithot AB+CD =BC+DA, từ

[OBA] + [ODC] =

2 ·R·(BA+DC) =

O A

C D

M N

Suy

[OBA] + [ODC] = [OCB] + [OAD] =

2[BADC],

nên theo định lý Anne,O nằm đường thẳng Gauss tứ giác ABCD

Bài toán Cho tứ giácABCDnội tiếp đường tròn(O)và điểmP nằm tứ giác Bốn đường thẳng qua điểm A, B, C, D vng góc với P A, P B, P C, P D

tạo thành tứ giác XY ZT Chứng minh điểm O nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT

O D

A

B

C P

P0 A0

B0

C0 D0

T

X

Z

Y

Lời giải LấyP0đối xứngP quaOvà gọiA0, B0, C0, D0là hình chiếu củaP0lênT X, XY, Y Z, ZT Do O trung điểm P P0 nên theo tính chất đường trung bình hình thang vng, dễ thấy A0B0C0D0 nội tiếp (O) Sử dụng góc nội tiếp, ta có

∠P XY =∠P AB = 90◦−∠XAB

= 90◦−∠XB0A0 =∠P0B0A0

Tương tự suy P vàP0 hai điểm liên hợp đẳng giác tứ giác XY ZT Từ đó, ta có

2·[P Y X] =P B·XY =P B·B0X+P B·B0Y

=P X ·sin∠P XY ·P0X·cos∠P0XY +P Y ·sin∠P Y X ·P0Y ·cos∠P0Y X

=P X ·P0X·sin∠P XY ·cos∠P XT +P Y ·P0Y ·sin∠P Y X·cos∠P Y Z Biến đổi tương tự cho [P0XY], cộng lại ta

2·([P Y X] + [P0XY]) =P X ·P0X·(sin∠P XY ·cos∠P XT + sin∠P XT ·cos∠P XY) +P Y ·P0Y ·(sin∠P Y X ·cos∠P Y Z + sin∠P Y Z·cos∠P Y X) =P X ·P0X·sin∠T XY +P Y ·P0Y ·sin∠XY Z

Tương tự

2·([P T Z] + [P0T Z]) = P Z·P0Z·sin∠Y ZT +P T ·P0T ·sin∠ZT X Do O trung điểm P P0 nên

4·([OY X] + [OT Z]) = 2·([P Y X] + [P0XY] + [P T Z] + [P0T Z]) =P X ·P0X·sin∠T XY +P Y ·P0Y ·sin∠XY Z

+P Z·P0Z ·sin∠Y ZT +P T ·P0T ·sin∠ZT X Đây biểu thức đối xứng với P, P0 tứ giácXY ZT nên tương tự, ta suy

[OY X] + [OT Z] = [OXT] + [OZY],

nên theo định lý Anne,O nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT Nhận xét Ta có số nhận xét sau

(i) Kết luận cho điểm P mặt phẳng Khi điểm P trùng tâm O, ta thu toán (định lý Newton cho tứ giác ngoại tiếp)

(ii) Ngược lại, cho tứ giác ABCD có hai điểm P, P0 liên hiệp đẳng giác Khi đó, hình chiếu P, P0 lên cạnh tứ giác ABCD thuộc đường tròn tâmO trung điểm P P0 điểm O nằm đường thẳng Gauss tứ giác ABCD

Bài toán Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) điểm P mặt phẳng Gọi X, Y, Z, T, H, K hình chiếu điểm P lên cạnh

AB, BC, CD, DA, AC, BD Chứng minh trung điểm đoạn HK nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT

Lời giải Khi P ∈(O), theo định lý Simson (H, X, Y),(H, Z, T),(K, T, X),(K, Y, Z)

thẳng hàng Do đó, XY ZT.HK tứ giác tồn phần, hiển nhiên trung điểm HK nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT Trường hợp P nằm (O)xin dành cho bạn đọc, ta chứng minh P nằm trong(O)

Ta có

∠HXY =∠HXB −∠Y XB

=∠HP A−∠Y P B (P HXA, P XBY nội tiếp)

O

D A

C P

X

Y

Z T

H

K

Tương tự, ∠KXT = ∠AP B−∠BDA Mà ABCD nội tiếp nên∠ACB = ∠BDA,

∠HXY =∠KXT, suy H, K liên hiệp đẳng giác tứ giácXY ZT Theo nhận xét (ii), trung điểm HK nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT

Bài toán Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) điểm P nằm tứ giác Gọi O1, O2, O3, O4 tâm đường tròn (P AB),(P BC),(P CD),(P DA) Chứng

minh trung điểm đoạn OP nằm đường thẳng Gauss tứ giác O1O2O3O4

O D

A

B

C P T

X

Z

Y N

M O4

O1

O2

O3

N0

M0 O0

Lời giải Kẻ đường kínhP X, P Y, P Z, P T củaO1, O2, O3, O4 Dễ thấyA, T, X thẳng hàng

Gọi O0, M, N, M0, N0 trung điểmP O, XZ, Y T, O1O3, O2, O4 Xét phép vị tự

D12

P :X 7−→O1, Y 7−→O2, Z 7−→O3, T 7−→O4, O7−→O0

Suy

D12

P :M 7−→M

0

, N 7−→N0,

mà O, M, N thẳng hàng nên O0, M0, N0 thẳng hàng, hay O0 nằm đường thẳng Gauss tứ giác O1O2O3O4

Tổng quát toán 5, ta toán sau

Bài toán (Nguyễn Văn Linh)Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các đường tròn (O1), (O2), (O3),(O4) qua cặp đỉnh (A, B), (B, C), (C, D), (D, A)

cắt lại điểm X, Y, Z, T Chứng minh (a) Tứ giác XY ZT nội tiếp đường tròn (I)

(b) Trung điểm đoạn OI nằm đường thẳng Gauss tứ giác O1O2O3O4

(Mathley, số 9, 2012)

Lời giải (Ong Thế Phương, 11T, chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

(a) Sử dụng góc nội tiếp, ta có

∠T XY +∠Y ZT =∠T AB+∠Y CB+∠T AC +∠Y CD=∠DAB+∠BCD= 180◦, hay XY ZT nội tiếp đường tròn (I)

(b) Do đường nối tâm trung trực dây chung, nên ta có

[IXO2] = [IO2Y], [IY O3] = [IO3Z], [IZO4] = [IO4T], [IT O1] = [IO1X];

[OAO1] = [OO1B], [OBO2] = [OO2C], [OCO3] = [OO3D], [ODO4] = [OO4A];

[AO4O1] = [T O1O4], [BO1O2] = [XO2O1], [CO2O3] = [Y O3O2], [DO3O4] = [ZO4O3]

Từ

[IO1O2] = [XIO1] + [XO1O2] + [XO2I] =

1

2 ·[IT O1BO2Y]

Biến đổi tương tự cho [IO3O4], cộng lại ta

[IO1O2] + [IO3O4] =

1

2·([IT O1BO2Y] + [IY O3DO4T]) =

O A

D

B

C

O1 O2

O3

O4

T

X

Y Z

I J

Tương tự,

[OO1O2] + [OO3O4] =

1

2 ·([O1O2O3O4] + [AO1O4] + [BO1O2] + [CO3O2] + [DO3O4])

Gọi J trung điểm OI

[J O1O2] + [J O3O4] =

1

2 ·([IO1O2] + [IO3O4] + [OO1O2] + [OO3O4]) =

2 ·[O1O2O3O4],

nên theo định lý Anne,J nằm đường thẳng Gauss tứ giác O1O2IO3O4

Nhận xét Khi tứ giácXY ZT suy biến thành điểm P ta thu toán

Bài toán Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Phân giác góc

∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA tạo thành tứ giác M N P Q Chứng minh (a) Tâm O nằm đường thẳng Gauss tứ giác M N P Q

(b) (Titu Andreescu, Luis Gonzalez, Cosmin Pohoata) Điểm Euler-Poncelet tứ giác

Lời giải (a) Gọi E =AB∩CD, F =BC ∩AD Gọi A1, B1, C1, D1 giao điểm phân

giác góc A, B, C, D với (O) Vì AA1, CC1 phân giác vàABCD nội tiếp nên

sdA_1C1 =sd

_ A1B+sd

_

C1B = (∠A1AB+∠C1CB) = ∠DAB+∠BCD= 180◦,

hay A1C1 đường kính (O), từ suy A1B1C1D1 hình chữ nhật

O B A C D N M Q P F E I A1 B1 D1 C1 Z T X Y

DoQ, N tâm nội tiếp4EAD bàng tiếp 4ECD, kết hợp góc nội tiếp, ta có

∠QN M =∠BN E =∠ABN −∠BEN

= ∠B−∠E

2 =

180◦ −∠D−∠E

2 =

∠A

2 =∠BAM =∠A1B1M

Suy A1B1 kN QkC1D1 Từ đó, theo định lý Thales, ta đặt

M A1

M Q = M B1

M N = A1B1

N Q = C1D1

N Q = P C1

P N = P D1

P Q =h Do A1B1C1D1 hình chữ nhật, kết hợp tỷ sốh, ta có

[OM N] + [OP Q] =

2·([D1M N] + [B1P Q])

=

2(h+ 1)([D1B1N] + [B1D1Q]) =

2(h+ 1)([M N P Q] + [N D1P] + [QB1M])

=

2(h+ 1)([M N P Q] +h·[N P Q] +h·[QM N]) =

2 ·[M N P Q]

(b) Gọi I =M P ∩N Q Do Q, N tâm nội tiếp 4EAD bàng tiếp 4ECD nênEI phân giác∠AED, tương tự F I phân giác∠CF D Từ đó, biến đổi góc, ta dễ dàng chứng minh IE ⊥IF

Mặt khác, biến đổi góc, dễ chứng minh M N P Q nội tiếp, kết hợp M P ⊥N Q, suy I điểm Euler-Poncelet M N P Q Ta cần chứng minhI nằm đường thẳng Gauss ABCD

Giả sử EI cắt BC, AD X, Y; F I cắt AB, CD Z, T Do EX, F Z phân giác

∠BEC, ∠BF A 4EAC ∼ 4EDB, 4F AC ∼ 4F BD, ta có XB XC = EB EC = DB AC = F B F A =

ZB ZA,

nên theo định lý Thales, XZ kAC, tương tự thìY T kAC, XZ kY T Chứng minh tương tự, ta có XY k ZT, suy XY ZT hình bình hành, hayXY cắt ZT trung điểm I đoạn

Gọi k tỉ số đồng dạng 4EAD 4EBC Từ đặt EB = b, EC = c EA=kc, ED=kb Ta có

[ADCB] = [EAD]−[EBC] = ·(k

2bc−bc)·sinE =

2 ·(k

2−1)bc·sinE.

Theo công thức độ dài đường phân giác XY =EY −EX = 2·

đ

k2bc k(b+c) −

bc b+c

ô

·cosE

2 = 2·(k−1)

bc b+c·cos

E

2

Do

EI =EX+XI =EX+

2·XY = (k+ 1)

bc b+c·cos

E

2

Kẻ IH ⊥AB, IK ⊥CD Do EI phân giác∠AED nên IH =IK =IE·sinE

2 = (k+ 1)

bc b+c·cos

E

2 sin

E

2 =

2·(k+ 1)

bc

b+c·sinE

Từ đó, ta có

[IBA] + [IDC] =

2 ·(IH·AB+IK ·CD) =

4 ·(k+ 1)

bc

b+c(kc−b+kb−c)·sinE =

1 ·(k

2−1)bc·sinE

=

2 ·[ADCB]

Do theo định lý Anne, I nằm đường thẳng Gauss củaABCD

3 Bài tập

Bài tập Cho tam giác 4ABC có trung tuyến AM Lấy điểm X, Y thuộc AB Z, T thuộc AC cho AX = BY, AZ = CT Chứng minh trung điểm đoạn AM nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT

Bài tập Cho tam giác 4ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến đỉnh B, C cắt tiếp tuyến đỉnh A Y, X Đường thẳng qua tâm O, vng góc OA cắt cạnh BC điểm T Chứng minh trung điểm đoạn OT nằm đường thẳng Gauss tứ giác BXCY

Bài tập Chứng minh tam giác, ba đường thẳng nối trung điểm đoạn thẳng nối đỉnh - tiếp điểm đường tròn nội tiếp trung điểm cạnh đối diện đồng quy tâm nội tiếp

Tài liệu tham khảo [1] Định lý Anne, Wikipedia

https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Anne

[2] Léon Anne’s Theorem, WolframMathWorld

http://mathworld.wolfram.com/LeonAnnesTheorem.html

[3] Nguyễn Văn Linh, Đường thẳng Newton mở rộng, Euclidean Geometry Blog

https://nguyenvanlinh.wordpress.com/2010/11/27/ the-generalization-of-newton-line-2/

[4] Titu Andresscu, Cosmin Pohoata,110 Geometry Problems for the IMO, XYZ Press,

2014

[5] G.I Golovina, I.M Yaglom,Induction in Geometry, Mir Pubisher-Moskow, 1979 [6] Andrew Jobbings,The converse of Léon Anne’s theorem

[7] Titu Andreescu, Luis Gonzalez, Cosmin Pohoata,Newton and Midpoints of Diagonals of Circumscriptible Quadrilateral, Mathematical Reflections, 2014

[8] Newton’s Theorem: What is it? A Mathematical Droodle, Cut the Knot

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/NewtonTheorem.shtml# explanation

https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Anne http://mathworld.wolfram.com/LeonAnnesTheorem.html https://nguyenvanlinh.wordpress.com/2010/11/27/the-generalization-of-newton-line-2/ http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/NewtonTheorem.shtml#explanation http://artofproblemsolving.com/