Các dạng bài tập vận dụng cao nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Bài tập 5: Cho là hình phẳng giới hạn bởi độ thị hàm số ; trục và đường thẳng Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh hình xung quanh trục... Gọi V là thể.[r]

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f x  xác định K (K khoảng đoạn nửa đoạn )

 Hàm số F x được gọi nguyên hàm hàm số f x  K Fʹ x   f x với x K. Định lý 1: Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K với số C, hàm số

   

G x F x C nguyên hàm f x  K

Định lý 2: Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K nguyên hàm f x  có dạng F x C,với C số

Hai định lý cho thấy:

Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K F x C,C là họ tất nguyên hàm f x  trênK Kí hiệu

    f x dx F x C



Chú ý: Biểu thức f x dx  vi phân nguyên hàm F x  f x , 

  ʹ   

dF x F x dx f x dx. 2 Tính chất nguyên hàm Tính chất 1

    f ʹ x dx f x C



Tính chất

   

kf x dx k f x dx

  , k số khác Tính chất

       

f x g x dx f x dx g x dx

    

 

  

3 Sự tồn nguyên hàm

Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K. 4 Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm hàm số sơ cấp

Nguyên hàm hàm số hợp u = u x 

Nguyên hàm hàm số hợp u = ax + b;a0 

dx x C

 du u C d ax bax b C

 

1

1

x

x dx C



 





   



  1

1

u

u C



 



   

  

  

1

1

ax b

ax b dx C

a

 

 

 

    

1

ln

dx x C

x  

 1du ln u C

u  

 dx 1ln ax b C

axb  a  



1

dx C

x   x



1

du C

u   u

  2

1 1

dx C

a ax b

axb    



3

xdx x xC

  udu23u uC  

1

3

ax bdx ax b ax b C

a

    



2

dx x C

x  



2

du u C

u  

 1

.2

dx ax b C

a

axb   



x x

e dxe C

 u u

e due C

 eax bdx 2eax b C

a

   

  0, 1

ln

x

x a

a dx C a a

a

   

  0, 1

ln

u

u a

a du C a a

a

   

  

0,

ln

mx n

mx n a

a dx C a a

m a



    

 sinxdx cosxC

 sinudu cosu C sinax b dx 1cosax b C a

    

 cosxdxsinxC

 cosudusinu C cosax b dx 1sinax b C a

   

 tanxdx ln cosx C

 tanudu ln cosu C    

1

tan ax b dx ln cos ax b C a

    

 cotxdxln sinx C

 cotuduln sinu C    

1

cot ax b dx ln sin ax b C a      cot sin xdx  xC



1

cot sin udu  u C

 2   

1

cot

sin axb dx a axb C



2

tan cos xdx xC



1

tan cos udu u C

 2   

1

tan

cos axb dx a axb C

 ln tan sin x dx C

x  

 ln tan

sin

u

du C

u  

   1ln tan

sin

dx ax b

C

ax b a

     ln tan

cos

x dx C x           ln tan

cos

u du C u             cos ln tan dx ax b ax b C a            

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1 Phương pháp đổi biến số

f u(x) uʹ(x)dx F u(x)    C



Hệ quả: Với u ax b a   0 ta có

   

f ax b dx F ax b C a

   



2 Phương pháp tính nguyên hàm phần:

Định lý 2: Nếu hai hàm số uu x  vv x  có đạo hàm liên tục K thì:            

u x vʹ x dx u x v x  uʹ x v x dx

 

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm nguyên hàm phép biến đổi sơ cấp 1 Phương pháp giải

 Biến đổi hàm số dấu nguyên hàm dạng tổng, hiệu biểu thức chứa x, trong biểu thức chứa x dạng có bảng nguyên hàm.

 Áp dụng công thức nguyên hàm bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm 2 Bài tập

Bài tập Nguyên hàm hàm số  

x x f x

e

 

A ln

x

x

x e C

e



  B.

ln 12 

x

x

x e C

e



 



C.

ln 12 

x

x

x e C

e



 

 D.  

2 ln

x

x

x e C

e   

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

 

2 2

ln

x

x x

x x

x dx dx e dx x e C

e e e

 

       

  

 

  

Bài tập Nguyên hàm hàm số    2019

f x x x

A    

2021 2020

2

2021 1010

x x

C

 

   B.    

2020 2018

2

2021 1009

x x

C

 

 

C.    

2021 2020

2

2021 1010

x x

C

 

  D.    

2021 2020

2

2021 1010

x x

C

 

 

Ta có:      

       

2019 2019

2021 2020

2020 2019

2 2

2

2 2

2021 1010

x x dx x x dx

x x

x dx x dx C

 

      

 

      

 

 

Bài tập Nguyên hàm hàm số   21

x f x

e





A.

ln x

x e  C B. 1ln 1

2

x

x e  C

C. lne2x  1 C D. xlne2x  1 C

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:  

2 2

2 2

1

1

1 1

x x x

x x x

e e e

e e e

 

  

  

Do    

2

2

2 2

1

1 1

1 ln

1 2

x x

x

x x x

d e e

dx dx dx x e C

e e e



 

         

    

   

Bài tập Nguyên hàm hàm số  

2

f x

x x



   là: A.  2 3 23

6 x x C

    

 

  B

1

2

6 x x C

    

 

C 1 1 2

6 x 6 x x C D.  

1

2 2

6 x x 6 x C Hướng dẫn giải

Chọn A Ta có:

       

1 2

4

2

1 2 1

2 2 2 2

4 3 6

x x

dx dx

x x

x x x x C x x x x C

  



  

 

              

 

 

Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp: a b a b

a b



 



Lưu ý:  

3

ax bdx ax b ax b C

a

    



Bài tập Nguyên hàm hàm số   25 13

5

x f x

x x

 

  là:

A ln x 3 ln x 2 C B 3ln x 3 ln x  C

C ln x 3 ln x 2 C D ln x 3 ln x  C

Chọn D Ta có:

  

2

5 13 13

5

x x

x x x x

  

   

Ta phân tích: 5x13A x  2 B x3  1

Thế x 2 x 3 vào (1) ta có B 3 A 2

Khi    

  

2

2 3

5 13

5 3

2 ln 3ln

x x

x

dx dx dx dx

x x x x x x

x x C

  

   

     

    

   

Bài tập Nguyên hàm hàm số  

4 1 x

f x

x x

 

 là: A ln 1ln 1

2

x x  C B. ln xlnx4 1 C

C  

ln ln

2

x x  C D ln 1ln 1

2

x  x   C

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:  

   

4

4

4

5 4

1

1

ln ln

1

1

x x

x x

dx dx dx dx x x C

x x x x x x

 

       

  

   

Bài tập Nguyên hàm hàm số  

3 3

3

x x

f x

x x

 



  là: A ln 2 ln

1

x x C

x

    

 B

3 ln 2 ln

1

x x C

x

    

 C 2 ln ln

1

x x C

x

    

 D

3 ln ln

1

x x C

x

    

 Hướng dẫn giải

Chọn A Ta có:

   

2

2

3 3 3

3 1 2

x x x x

dx dx

x x x x

    

   

 

Ta phân tích  2     

3x 3x 3 A x1 B x1 x 2 C x2

Ta dùng giá trị riêng, tính A1,C B 2

(thay x   2 A 1;x  1 C x   ) B Khi

     

2

2

3 3 1

2 ln 2 ln

2 1

1

x x

dx dx dx dx x x C

x x x

x x x

          

  

  

Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho nguyên hàm hữu tỉ    

P x

I dx

Q x

 , với P x  

 

Q x đa thức, cụ thể sau:

 Nếu degP x degQ x  ta thực phép chia P x cho   Q x (ở đây, kí hiệu 

 

 

deg P x bậc đa thức P x ). 

 Khi degP x degQ x  ta quan sát mẫu số Q x ta tiến hành phân tích thành các 

nhân tử, sau đó, tách P x theo tổ hợp nhân tử Đến đây, ta sử dụng đồng 

nhất thức (hoặc giá trị riêng) để đưa dạng tổng phân thức Một số trường hợp đồng thức thường gặp

Trường hợp 1:

ax b cx1 d ad1bc axa b cxc d

 

   

      

Trường hợp 2:

ax mxb cx n d axA b cxBd AxaxBa xb cx AddBb

  

   

     

Ta đồng thức mx n AxBa x AdBb  1

Cách Phương pháp đồng hệ số

Đồng đẳng thức, ta Ac Ba m

Ad Bb n

 



  

 Suy A, B

Cách Phương pháp giá trị riêng

Lần lượt thay x b;x d

a c

    vào hai vế (1), tìm A, B

Trường hợp 3:

 2  2

mx n A B

ax b

ax b ax b

  



 

Trường hợp 4:

     

        

2

2

*

mx n A B C

cx d ax b

ax b cx d ax b

mx n A cx d B ax b C ax b cx d

   

 

  

        

Lần lượt thay x b;x d;x

a c

     vào hai vế (*) để tìm A, B, C

Trường hợp 5:

  

1 A Bx C

x m ax bx c

x m ax bx c



 

  

   với

2

4

b ac

   

Trường hợp 6:

  2 2  2  2

1 A B C D

x a x b

x a x b x a x b

   

 

Bài tập Cho hàm số f x xác định   \      

 thỏa mãn '  ;  0

2

f x f

x

 



 1

f  Giá trị biểu thức P f    1 f là:

A. ln ln 2 B. 3ln ln 5 C. ln 5 D. ln15

Hướng dẫn giải Chọn D         ln

2

' ln

2 1

ln

2

x C x

f x f x dx dx x C

x

x C x

                   

Vì  

  12

0 1

2 f C C f            

Suy    

 

1 ln 2

2 ln

2

x khi x

f x

x khi x

           

Do P f    1 f  3 ln ln 5  3 ln15

Bài tập Cho hàm số f x xác định   \ 1;1 , thỏa mãn

     

2

' ; 3 ln

1

f x f f

x

   



1

0

2

f  f  

    Giá trị biểu thức      2

P f   f  f là:

A ln ln 5 B ln 2 ln ln 5  C ln 2 ln ln 5  D ln 2 ln 5 Hướng dẫn giải

Chọn C

   

2 1

' ln

1 1

x

f x f x dx dx dx C

x x x x



 

       

     

  

Hay  

1 ln 1 1

ln ln 1

1

1

ln

1

x

C x x

x x

f x C C khi x

x x

x

C x x                                      

Theo ra, ta có:

   

1 3 ln

2 ln

Do      2 ln 3 2 ln3 1 ln 2 ln ln 5

f   f  f  C C  C   

Bài tập 10 Nguyên hàm

Px x  dx là:

A 3 3

1

8

P x  x  C B. 3 1

8

P x  x  C

C 33

P x  C D 3 13

4

P x  x  C

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có:      

1

3 2 3 3

1 1

2

x x  dx x  d x   x  C

 

Bài tập 11 Nguyên hàm hàm số sinxcosxsinxdx là:

A 1 1sin 1cos

2x4 x4 xC B

1 1

sin cos 2x4 x4 x C C 1sin 1cos

2

x x xC D 1 1sin 1cos

2x4 x4 x C Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:    

sin cos sin sin sin cos

1 cos sin 1

sin cos

2 2 2

x x xdx x x x dx

x x

dx x x x C

  



   

        

   

 



Bài tập 12 Nguyên hàm hàm số 2 2 sin xcos xdx

 là:

A tan xcotx B tanC xcotxC C tanxcotxC D cotxtanxC

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

2

2 2 2

1 sin cos 1

tan cot

sin cos sin cos cos sin

x x

dx dx dx x x C

x x x x x x

  

       

 

  

Bài tập 13 Nguyên hàm hàm số 4 2

4 cos x4 cos x1dx

 là:

A cot 2

x C

 B tan 2x C C cot 2x C D tan

2

x C

 Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:     

  

  2  

1 1 1 tan

(2 )

4 cos cos (2 cos 1) cos 2 cos 2

x

dx dx dx d x C

Bài tập 14 Nguyên hàm hàm số tan xdx

 là:

A tan

ln cos

x

x C

  B

2 tan

ln sin

x

x C

 

C tan

ln cos

x

x C

  D

4 tan cos

x C

x

Hướng dẫn giải Chọn A

Từ  

tan xtanx tan x tanx

Suy    

2

3 cos tan

tan tan tan ln cos

cos

d x x

xdx xd x x C

x

    

  

Bài tập 15 Gọi F x nguyên hàm hàm số   f x sin tanx x thỏa mãn

3

F   

  Giá trị

4

F  

  là:

A

2 12



  B

2 12



  C

2 12



  D

2 12



 

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:   sin tan 2 sin cos sin 2 sin2 cos

x

F x x xdx x x dx xdx

x

   

Suy   1 cos  sin 2

x

F x   x dx x C

Theo giả thiết, ta có: 1sin2 3

3 3

F        C  C 

 

Vậy   sin

2

x

F x  x   

Do 1sin 3

4 4 12

F            

   

Bài tập 16 Gọi F x nguyên hàm hàm số   f x cos 24 x thỏa mãn F 0 2019 Giá trị

8

F  

  là: A 3 16153

64

 

B 3 129224

8

 

C 3 129224 64

 

D 3 129224 32

 

Ta có:  

 

2

4 cos

cos 2 cos cos

2

1 cos8

1 cos 4 cos cos8

4

x

x x x

x

x x x



 

    

 



 

      

 

Do   3 cos cos8  sin 1sin

8 8

F x   x x dx  x x xC

 



Mà F 0 2019 nên ta có C 2019 Vậy   sin 1sin 2019

8

F x   x x x

 

Do 129224

8 64

F     

 

Bài tập 17 Gọi F x nguyên hàm hàm số    

5 cos sin

x f x

x



 , với x k2 ,k

 

   thỏa

mãn  

F   Giá trị

2

F

  là: A 2

3 B 0. C

5

3 D

1 Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta thấy:    

       

5

3

3

2

cos

cos sin sin cos cos sin sin

sin cos

1 sin sin cos cos sin

3

x

x x x x x x

x

x x

F x x d x xd x x C

    



       

Theo giả thiết, ta có  

F   nên C  1

Vậy  

3

sin cos sin

3

x x

F x  x  C

Do

2

F 

 

Chú ý:

Với *

n   , ta có:  

1 cos

cos sin cos cos

1

n

n n x

x xdx xd x C

n



    



 

  sin

sin cos sin sin

1

n

n n x

x xdx xd x C

n



  



 

Bài tập 18 Biết cos x dx aln 5sin x C, a, b  5sin x b



   



  , a

A.10 B. 4

C. D. 3

Hướng dẫn giải CHỌN D

 

d 5sin x cos x

dx

5sin x 5sin x  

 

  1ln 5sin x C

5

  

Vậy a 1, b 5.  Nên 2a b  3

Bài tập 19 Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x   1 sin x2 biết F

2

        A. F x  3x cos x 1sin 2x

2

  

B. F x  3x cos x 1sin 2x

2

  

C. F x  3x cos x 1sin 2x

2

  

D. F x  3x cos x 1sin 2x

2

  

Hướng dẫn giải CHỌN B

Ta có

 2  2  cos 2x

1 sin x dx sin x sin x dx sin x dx

3

x cos x sin 2x c

2

  

        

 

   

  

3 3

F cos sin c c

2 2 4

            

 

Vậy F x  3x cos x 1sin 2x

2

  

Bài tập 20 Cho cos 2x dx F x  C sin x cos x  

 F   a b Tính Aa b  6

A. 2 B 2. C 1. D. 1

Hướng dẫn giải CHỌN C

Ta có: F x  cos 2x dx cos x sin x2 dx sin x cos x sin x cos x



 

 

 

cos x sin x cos x sin x   

dx cos x sin x dx sin x cos x sin x cos x

 

    



 

 

F a b A

Bài tập 21 Cho tích phân 2 2 dx a sin x cos x 

 Tính A 12 cot 2x theo a A.

4a B. 2a2 C. 3a2 D. a2

Hướng dẫn giải CHỌN C

Ta có:   2

2 2 2

1 sin x cos x 1

F x dx dx dx

sin xcos x sin x cos x cos x sin x

 



     

 

  

tan x cot x

 

Theo đề:

2

2

2

sin x cos x sin x cos x cos 2x

tan x cot x a

cos x sin x sin x cos x sin 2x cos 2x a

sin 2x

cos 2x a

A 12 12 3a

2 sin 2x

 

     

  

 

    

 

Bài tập 22 Cho F x  nguyên hàm hàm số

2

sin cos 4sin

x

dx

x x



 0

2     

 

F f  Tính  0       

F F 

A 7

9 B

7 9

 C. D.1

Lời giải CHỌN B

Ta có

cos2 4 sin2 

d x x   2sin cosx x8sin cosx x dx 6sin cosx xdx3sin 2xdx

 2 

1

sin cos sin

xdx d x x

  

Do :

2

sin cos sin

x

dx

x x

  

2

2

cos 4sin

3 cos 4sin

d x x

x x

 



  

2

2

cos 4sin

3 cos 4sin

d x x

x x

 



 2 cos2 4sin2

3 x x C

  

 0 2 2.4

2 3

F  F      C   C

 

Vậy  0 2.2

2 3

F F     C    C C

Bài tập 23 Gọi F x nguyên hàm hàm số    

2

x f x

x



 khoảng 2 2;2 2 thỏa mãn F 2  Khi phương trình F x  có nghiệm là:x

A. x 0 B. x 1 C. x  1 D. x  1

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:    2

2

1

8

8

x

F x dx d x x C

x x

       

 

 

Mặt khác  

2

F    x    C C

Vậy  

8

F x   x 

Xét phương trình  

 

2

2

2

2

8

8

2

1 3

2 4

1

x

F x x x x x x

x x

x x

x x

x x

x

  

           

  

 



 

 

      



  

   

 

Bài tập 24 Cho F x nguyên hàm hàm số     4 31 2

2

x f x

x x x

 

  khoảng 0;  1

2

F  Tổng SF 1 F 2 F 3   F2019 A 2019

2020 B

2019.2021

2020 C

1 2018

2020 D

2019 2020  Hướng dẫn giải

Chọn C Phân tích  

 2  2

4 2 2

2 2

2 1

x x x

f x

x x x x x x x

  

  

   

Khi  

 2 2  2 2  

2x 1

F x dx d x x C

x x

x x x x



     



 

 

Mặt khác  1 1 1

2 2

F        C C

Vậy  

 

2

1 1

1 1

1

F x

x x x x x x

 

         

Do  1  2  3 2019 1 1 1 1 2019

2 3 2019 2020

1 1

1 2019 2018 2018

2020 2020 2020

SF F F  F           

 

 

      

 

Bài tập 25 Cho hàm số f x có đạo hàm xác định  thỏa mãn   f 0 2 2,f x  và0       2 

' 1 ,

f x f x  x  f x    Giá trị x f 1 là:

A 2 B 10 C 3 D 6

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:            

 

2 '

' 1

1

f x f x

f x f x x f x x

f x

     



Suy    

   

 

 

     

2

2

2

1 '

2 1

1

d f x

f x f x

dx x dx x dx f x x x C

f x f x



         

 

   

Theo giả thiết f 0 2 2, suy 1 2 2    C C Với C  3 1 f2 x x2  x f x  x2 x 321 Vậy f 1  24 2

Bài tập 26 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 2;1 thỏa mãn f 0  và3  

 2   2

'

f x f x  x  x Giá trị lớn hàm số y f x  đoạn 2;1 là:

A. 2 423 B. 2 153 C. 342 D. 315

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:   2    

' *

f x f x  x  x

Lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức (*) ta được:  

 2    2  3  3 2 3  3 2

' 2 6

3

f x f x dx x  x dx f x x  x  x C f x  x  x  x C

 

Theo giả thiết, ta có f 0  nên  

 3  3 2  3  3 2

0 2.0 2.0 27 6 27

f    C   C  C f x  x  x  x

Ta tìm giá trị lớn hàm số  

3 6 27

g x  x  x  x đoạn 2;1 Ta có g x' 9x212x    6 0, x  2;1 nên đồng biến đoạn  

2;1

Vậy  

    

3

2;1 2;1

maxf x maxg x 42

 

 

Dạng 2: Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt u = u x   1 Phương pháp giải

Định lí: Cho  f u du  F u C uu x  hàm số có đạo hàm liên tục

   '  

f u x u x dxF u x C



Các bước thực đổi biến: Xét If u x  u x dx' 

Bước 1: Đặt uu x , suy duu x dx' 

Bước 2: Chuyển nguyên hàm ban đầu ẩn u ta If u du  F u C, F u là 

một nguyên hàm hàm số f u  

Bước 3: Trả biến x ban đầu, ta có ngun hàm cần tìm IF u x  C

Hệ quả: F x nguyên hàm hàm số   f x K ,  a b;a0 ta có:

   

f ax b dx F ax b C

a

   



2 Bài tập

Bài tập Nguyên hàm F x hàm số   f x x e2 x31, biết  1

F   là:

A.  

1

x

F x  e   B C   2019

x

F x  e   C   1

3

x

F x  e   D  

3

x

F x  e 

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt

ux  ta có 2

du x dxx dx du

Suy   1

3

u u

f x dx e du e C

 

Do   1

3

x

F x  e   C

Mặt khác  1

F   nên C  Vậy 0   3

x

f x dx e 



Lưu ý: Ta viết sau:   2 1 1  3  1

1

3

x x x

f x dx x e dx e d x   e  C

Chú ý: Với viết  

x dx d x  , ta tính nguyên hàm cho cách đơn giản

nhanh gọn

Bài tập Nguyên hàm sin 3cos

x

M dx

x

 

 là:

A 1ln 3cos 

M  x C B 2ln 3cos

3

M  x C

C 2ln 3cos

M   x C D 1ln 3cos

3

M   x  C

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt u 1 3cosx, ta có du 3sinxdx hay sin

xdx  du

Khi 2ln

3

M du u C

u

     

Vậy sin 2ln 3cos

1 3cos

x

M dx x C

x

    

  Bài tập

   

4

sin x

4 a

I dx , a, b

b sin 2x sin x cos x



  

  

 

  

  

  Tìm tỉ lệ a

b A.

3 B.

1

2 C.

2

1 D.

3 Hướng dẫn giải

CHỌN B

Đặt  

2

dt cos x sin x dx sin x dx t sin x cos x

sin 2x t

      

  

    

  

 x :

4 

 t : 1

   

2

2

2 2 2

1

1

1 dt dt

I

2 t

2 t t t 1



      



   

 

Bài tập Cho cos x sin xdx F x3   C F 0  a b 1.   

Tính 2

A a b 2018

A 2018. B 2016. C 2022. D 2020.

3

cos x sin xdx



Đặt u cos x  du sin xdx

 

   

4

3

2 3

u cos x

cos x sin xdx u du C C

4

1

F a b a b

4

A a b 2018 a b 2ab a b 2018 2018

       

        

        

 

Chú ý: ý với a 0 m n, ;n0 ta có: m

n m

n

a  a

Bài tập Nguyên hàm 1

R dx

x x





 là:

A 1ln 1

2 1

x

R C

x

 

 

  B

1 1

ln

2 1

x

R C

x

 

 

 

C ln 1

1

x

R C

x

 

 

  D

1 ln

1

x

R C

x

 

 

  Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt

1

u x u   Suy x xu2 dx2udu

Khi

 

2 1

ln

1 1

1

u u

R du du du C

u u u u

u u



 

       

   

  

  

Vậy ln 1

1

x

R C

x

 

 

 

Bài tập Nguyên hàm Sx3 x29dx là:

A    

2

2

2

9

3 9

5

x x

S    x  x   C

B    

4

2

2

9

3 9

5

x x

S    x  x  C

C    

2

2

2

9

3 9

5

x x

S    x  x   C

D  

2

2

2

9

3

5

x x

S    x   C

Xét 2

9

Sx x  dxx x  xdx

Đặt 2

9

u x  u x  Suy x2 u2 xdxudu

Khi    

5

2

9

5

u

S u  u udu u  u du  u C

Vậy    

2

2

2

9

3 9

5

x x

S    x  x   C

Bài tập Nguyên hàm ln

T dx

x x





 là:

A

2 ln

T C

x

 

 B. T2 lnx 1 C

C 2ln 1 ln

T x x C D. T lnx 1 C

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: 1 ln 1 ln

ln ln

T dx d x x C

x x x

     

 

 

Bài tập Nguyên hàm  

  2020 2022 x U dx x   

 là:

A 2021 x U C x        

  B

2020 6060 x U C x           C 2021 6063 x U C x        

  D

2023 6069 x U C x          

Hướng dẫn giải Chọn C

Xét  

   

2020 2020

2022

2

1

1

x x

U dx dx

x x x                Đặt

 2  2

2 1

1 1 1

x

u du dx du dx

x x x



    

  

Suy 2020 2021

3 6063

U u du u C Vậy

2021 6063 x U C x           Lưu ý:     1 n n n

ax b ax b

dx C

n ad bd cx d

Bài tập Xét nguyên hàm

 

2 ln

1 ln

x

V dx

x x



 

 Đặt u 1 ln x, khẳng định sau

sai?

A. dx 2u 2du

x   B

 2 2  

2

u u

V u du

u



 

C 5 16

5

V u  u  u  u C D

5

3

16

5

u u

V   u  u C

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt  2 2  

1 ln 1 ln ln dx 2

u x u x x u u u du

x

            

Khi

     

 

2 2

4

2 ln

2

1 ln

2 16

2 4

5

u u

x

V dx u du

u

x x

u u u u du u u u u C



  

 

        

 



Bài tập 10 Gọi F x nguyên hàm hàm số   f x sin cos 22 x x thỏa

F   

  Giá trị 2019 

F  là:

A 2019  15

F    B F2019 C 0 2019  15

F    D 2019 

15

F  

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt sin 2 cos cos

2

u xdu xdx du xdx

Ta có    2  4

3 5

1

sin cos

2

1 1

sin sin

6 10 10

F x x xdx u u du u u du

u u C x x C

    

     

  

3

1 1

0 sin sin

4 10 15

F            C C

 

Vậy  

sin sin

6 10 15

F x  x x

Do 2019  15

Bài tập 11 Biết  

     

2

1

x dx

C

x x x x g x



  

   

 (với C số) Gọi S tập

nghiệm phương trình g x  Tổng phần tử S bằng: 

A 0. B 3  C. 3 D 3 

Hướng dẫn giải Chọn C

Vì x x 1x2x  3 1 x23xx23x2 1 x23x12

  nên ta đặt ux23x, du2x3dx

Nguyên hàm ban đầu trở thành

 2

1 1

du

C u

u    



Suy  

   

2

1 3

x dx

C

x x x x x x



  

     



Vậy    

3

2

3 1;

3

2

x

g x x x g x x x

x

  

  

        

  

  

Do 5;

2

S     

 

 

Tổng giá trị phần tử S 3 Bài tập 12 I 3cos 2x sin 4xdx F x  C

2 sin x cos x 

  

 

 Tính F ,  biết F x  không chứa hệ số tự A. 17

3 B.

2

3 C.

15

3 D.

9 Hướng dẫn giải

CHỌN A

 

   

 

3 sin 2x cos 2x 3cos 2x sin 4x

I dx dx

2 sin x cos x sin x cos x sin 2x cos x sin x cos x sin x

dx sin x cos x

 

 

   

  



 

 



Đặt  

2

dt cos x sin x dx t sin x cos x

sin 2x t

  



   

 2

3

2

3 t t 2t 5t 6

I dt dt 2t 4t dt

2 t t t

2

t 2t 3t ln t C

   

 



 

 

        

    

 

     

 

  

Dạng 3: Tìm nguyên hàm cách đổi biến dạng 1 Phương pháp giải

Kiến thức cần nhớ:

Ta biết đẳng thức sau:

2

sin tcos t , với t  

 

 

2

2

2

1 tan ,

cos

1

1 cot ,

sin

t t k k

t

t t k k

t

 



     

    

 

Với toán sau ta khơng thể giải ngun hàm đổi biến số dạng 1, đòi hỏi người học phải trang bị tư đổi biến theo kiểu “lượng giác hóa” dựa vào đẳng thức lượng giác số biến đổi thích hợp, cụ thể ta xem xét nguyên hàm sau đây:

Các kĩ thuật đổi biến dạng thường gặp cách xử lí

Bài tốn 1: Tính 1

2

dx A

a x





 Bài tốn 1: Tính 1

2

dx A

a x



 

Đặt x asint, với ; 2

t  

  cos

x a t với t 0; Bài tốn 2: Tính A2 2dx 2

a x

 

 Bài tốn 2: Tính A2 2dx 2

a x

   Đặt x atant, với ;

2

t 

  Bài toán 3: Tính A3 a xdx

a x

 



 Bài tốn 3: Tính A3 a xdx

a x

 

  Đặt xacos 2t với 0;

2

t  

 

Bài tốn 4: Tính A4  xaxb dx Bài tốn 4: Tính A4  xaxb dx

Đặt  

sin

x a b a t với 0;

t  

Bài tốn 5: Tính 2

A  x a dx Bài tốn 5: Tính A5 x2a dx2

Đặt sin

a x

t

 với ;

2

t  

 

2 Bài tập

Bài tập Nguyên hàm

2 x I dx x  

 là:

A

2 arcsin

2

x x x

C



  B

2 arccos

2

x x x

C



 

C arccos

2

x x x

C



  D 2 arcsin

2

x x x

C



 

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt x2 sint với ;

2

t 

  Ta có cost 0 dx2 costdt Khi

2

2

4 sin

2 cos sin 4 sin

t

I tdt tdt

t

 



  (vì cos 0, ;

2

t  t   

 ) Suy I2 cos 2  t dt  2t sin 2tC

Từ sin arcsin

x

x t t

2 sin 2 sin cos

2

x x

t t t 

Vậy 2 arcsin 2

x x x x

I dx C

x



   

 

Bài tập Nguyên hàm

 23 1 I dx x  

 là:

A. 3 22

1 x  B C

2 x C x 

 C  23

1 x C x   D 1 x C x  

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt xcos ,t t  0  dx sin t dt

Khi sin 3 2 cot

sin sin

t dt dt

I dt t C

t t

      hay

2 x I C x    Vậy

 23

Ví dụ Nguyên hàm 2

I dx

x

 

 là:

A arctan x C B arccot x C C arcsin x C D arccos x C Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt xtant với ; 2

t  

 , ta có  

2 tan

dx  t dt

Khi  

2

1 tan tan

I t dt dt t C

t

    



 

Vậy 2 arctan

I dx x C

x

  

 

Dạng 4: Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần 1 Phương pháp giải

Với uu x  vv x  hàm số có đạo hàm khoảng K ta có:  u v 'u v v u' ' Viết dạng vi phân d uv vdu udv

Khi lấy nguyên hàm hai vế ta được: d uv vduudv

Từ suy udvuvvdu  1

Công thức (1) công thức nguyên hàm phần

Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp nguyên hàm phần

Bài tốn: Tìm Iu x v x dx    , u x   v x hai hàm có tính chất khác nhau, 

chẳng hạn:  

u x hàm số đa thức, v x hàm số lượng giác. 

 

u x hàm số đa thức, v x hàm số mũ. 

 

u x hàm số logarit, v x hàm số đa thức. 

 

u x hàm số mũ, v x hàm số lượng giác. 

Phương pháp nguyên hàm phần

Bước 1: Đặt  

 

    '

du u x dx

u u x

dv v x dx v v x dx

   

 

   

 

  

Lưu ý: Đặt uu x  (ưu tiên) theo thứ tự: “Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” Tức là, có

logarit ưu tiên đặt u logarit, khơng có logarit ưu tiên u đa thức,… thứ tự ưu tiên xếp

Còn nguyên hàm vv x dx  ta cần Chọn số thích hợp Điều

làm rõ qua Bài tập minh họa cột bên phải 2 Bài tập

Bài tập Kết nguyên hàm  2 ln

Ix x dx là:

A.  

2

2

ln

2

x x

x C

    B.    

2

2 ln

2

x

x  x    C

C.    

2 ln

x  x  x C D.  

2

2

ln

2

x x

x C

   

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt  

2 2

2

ln 2

2

x

du dx

u x x

x

dv xdx v

  

  

  

  



 

 



Khi    

2 2

2

2

ln ln

2 2

x x x

I  x  xdx  x   C

Chú ý: Thông thường với

2

x dvxdx v

Tuy nhiên trường hợp này, ta để ý

2

x

v  mang lại hiệu

Bài tập Kết nguyên hàm ln sin 22 cos  cos

x x

I dx

x



 là:

A. tanx2 ln sin  x2 cosx x ln cosx  C

B. tanx2 ln sin  x2 cosx x ln cosx C

C. tanx2 ln sin  x2 cosx x ln cos xC

D. cotx2 ln sin  x2 cosx x ln cosx  C

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt

 

2

cos sin ln sin cos

sin cos

sin cos tan

cos cos

x x

u x x du dx

x x

dx x x

dv

v x

x x

 

    

  

  



    

Khi    

   

cos sin tan ln sin cos

cos tan ln sin cos ln cos

x x

I x x x dx

x

x x x x x C



   

     



Chú ý: Ở Bài tập này, Chọn vtanx2 rút gọn tử mẫu nguyên hàm vdu



Bài tập Kết nguyên hàm sin

Ix xdx là:

A 2

cos sin cos

5x x 25x x 125 x C

    B 2

cos sin cos

5x x 25x x 125 x C

   

C. 2

cos sin cos

5x x25x x125 x D C

1 2

cos sin cos

5x x 25x x 125 x C

   

Hướng dẫn giải Chọn D

Phân tích: Ở ta ưu tiên

ux đa thức, nhiên bậc u nên ta phần hai

lần thu kết Nhằm tiết kiệm thời gian, gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể sau:

Bước 1: Chia thành cột:

+ Cột 1: Cột u lấy đạo hàm đến 0.

+ Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu phép toán đường chéo + Cột 3: Cột dv lấy nguyên hàm đến tương ứng với cột 1.

Bước 2: Nhân chéo kết cột với Dấu phép nhân có dấu (+), sau đó

đan dấu (-), (+), (-),… cộng tích lại với

Khi 2

cos sin cos

5 25 125

I  x x x x xC

Chú ý:

Kĩ thuật đơn giản tiết kiệm nhiều thời gian

hàm nguyên hàm hai cột Nếu nhầm lẫn đáng tiếc Bài tập Nguyên hàm 4 3x

Ix e dx là:

A

4

3

2

4 12 24 24

3 3 3

x

x x x x

I     e C

  B

5

x

x e

I  C

C

4

3

2

4 12 24 24

3 3 3

x

x x x x

I     e C

  D

4

3

2

4 12

3 3

x

x x x

I   e C

 

Hướng dẫn giải Chọn A

Nếu làm thơng thường phần lần ta thu kết Ở đây, chúng tơi trình bày theo sơ đồ đường chéo cho kết nhanh chóng

Vậy

4

3

2

4 12 24 24

3 3 3

x

x x x x

I     e C

 

Bài tập Nguyên hàm Iexsinxdx là:

A. 2exsinxcosxC B. 2exsinxcosxC

C 1 sin cos 

x

e x x C D 1 sin cos 

2

x

e x x C

Hướng dẫn giải Chọn C

Phân tích: Sự tồn hàm số mũ lượng giác nguyên hàm dễ gây cho

Khi đó, ta kết luận Iexsinxexcosxexsinxdx

Hay 2Iexsinxex cosx Vậy sin cos 

x

I e x x C

Chú ý: Chỉ dừng lại đạo hàm có dạng giống dịng Dòng cuối thu

sinxe dxx I

  

Bài tập Tìm Ilnnaxb v x dx   , v x hàm đa thức,   n   ,* a b;a0 Hướng dẫn giải

Phân tích: Vì ưu tiên u x lnnax nên b  

1 lnn

na ax b

du dx

ax b

 



 tiếp tục đạo hàm cột khơng được, phải chuyển lượng t x  na

ax b



 từ cột sang nhân với v x cột để  rút gọn bớt; tiếp tục trình đạo hàm cột 0, ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường

Bài tập 6.1 Kết nguyên hàm Ix lnxdx là:

A

2

ln

2

x x

C

  B.

2

ln

2

x x

C

  C ln 2

4

x x

C

  D ln 2

4

x x

C

 

Vậy ln ln 2

2

x x

Ix xdx  C

Chú ý: chuyển lượng t x  x

 bên cột sang nhân với   2

x

v x  ta thu kết

2

x Khi

bên cột lại 1, đạo hàm 0; bên cột có nguyên hàm 2x

2

x

Bài tập 6.2 Kết nguyên hàm   3  ln

I x x dx là:

A.            

2

2 2

2 ln 3 ln ln

2

x

x x x  x  x x  x  x x   x C

B.            

2

2 2

2 ln 3 ln ln

2

x

x x x  x  x x  x  x x   x C

C.            

2

2 2

2 ln 3 ln ln

2

x

x x x  x  x x  x  x x   xC

D.            

2

2 2

2 ln 3 ln ln

2

x

x x x  x  x x  x  x x   x C

Hướng dẫn giải Chọn B

Vậy            

2

2 2

2 ln 3 ln ln

2

x

I x x x  x  x x  x  x x   xC

Chú ý:

Chuyển

x, nhân với  

2

Chuyển

x, nhân với  

2

3x 3x thu 6x 6 Chuyển

x, nhân với  

2

3x 6x thu 3x 6

Bài tập Cho F x   x1ex nguyên hàm hàm số f x e Biết hàm số   2 x f x   có đạo hàm liên tục  Nguyên hàm hàm số  

' x

f x e là:

A. 2x e xC B. 2x e x C C. 1x e x C D. 1x e xC

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có F x'  f x e  2x exx1ex  f x e . 2x  f x e . 2x x e. x.

Xét  

' x

f x e dx

 Đặt

   

2 2

'

x x

u e du e dx

dv f x dx v f x

   

 

   

 

 

Do      

x x x x

I f x e   f x e dxxe  x e C

Vậy I f' x e dx2x 2x e xC

Dạng 5: Các toán thực tế ứng dụng nguyên hàm 1 Phương pháp giải

Ý nghĩa vật lí đạo hàm:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình SS t , với S t quãng đường mà chất điểm đó 

đi thời gian t, kể từ thời điểm ban đầu.

Gọi v t   a t vận tốc tức thời gia tốc tức thời chất điểm thời điểm t, ta có: 

  ' 

v t S t a t v t' 

Từ ta có: S t v t dt  v t a t dt 

2 Bài tập

Bài tập Một vật chuyển động với gia tốc    / 2

a t m s

t



 , t khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu Vận tốc ban đầu vật Hỏi vận tốc cảu vật giây thứ 10 bao nhiêu?

A 10 m/s. B 15,2 m/s. C 13,2 m/s. D 12 m/s.

Vận tốc vật thời điểm t tính theo cơng thức:     3 ln 1

v t a t dt dt t C

t

    



 

Vì vận tốc ban đầu (lúc t 0) vật v0 6m s/ nên:  0 3ln 6   ln

v       C C v t  t 

Vận tốc vật chuyển động giây thứ 10 là: v 10 3 ln 10 1  6 13, 2m s/  Bài tập Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc   2 2

/

24 16

a t   t  t m s , t

khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát Hỏi vào thời điểm (s) sau xuất phát vận tốc vận động viên bao nhiêu?

A 5,6 m/s. B 6,51 m/s. C 7,26 m/s. D 6,8 m/s.

Hướng dẫn giải Chọn B

Vận tốc v t nguyên hàm gia tốc   a t nên ta có: 

    5

24 16 96 48

v t  a t dt  t  t dt  t  t C

 

 

Tại thời điểm ban đầu t 0 vận động viên vị trí xuất phát nên vận tốc lúc là:

 

0

1

0 0 0 0

96 48

v  v         C C

Vậy công thức vận tốc  

96 48

v t   t  t

Vận tốc vận động viên giây thứ v 5 6,51m s/

Chú ý: Gia tốc vật chuyển động    2 /

a t m s

t



 Ta tính v t a t dt  , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu v0 6m s/ Suy cơng thức tính vận tốc v t thời điểm t tính 

được v 10

Bài tập Một nhà khoa học tự chế tên lửa phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu 20 m/s Giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chịu tác động trọng lực Hỏi sau 2s tên lửa đạt đến tốc độ bao nhiêu?

A 0,45 m/s. B 0,4 m/s. C 0,6 m/s. D 0,8 m/s.

Hướng dẫn giải Chọn B

Xem thời điểm t  nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s Ta có 0  0

Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường thời điểm t

 

9,8 /

n

s t   m s

Nguyên hàm gia tốc vận tốc nên ta có vận tốc tên lửa thời điểm t

  9,8 9,8

v t   dt  tC

BÀI 2: TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1 Định nghĩa tích phân

Định nghĩa

Cho hàm số f x  liên tục đoạn  a b; , với

a b

Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  đoạn  a b; giá trị F b F a  gọi tích phân hàm số f x  đoạn  a b;

Kí hiệu        

b b

a a

f x dx F x F b F a

 (1)

Cơng thức (1) cịn gọi cơng thức Newton – Leibnitz; a b gọi cận cận tích phân

Ý nghĩa hình học tích phân

Giả sử hàm số y f x  hàm số liên tục không âm đoạn  a b; Khi đó, tích phân  

b

a

f x dx



chính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y f x , trục hoành Ox hai đường thẳng

, ,

x a x b  với a b

 

b

a

S  f x dx

Chẳng hạn: F x x3C nguyên

hàm hàm số f x 3x2 nên tích phân

       

1

0

1

f x dx F x F F



13 C 03 C 1.

    

Lưu ý: Giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào số C

Trong tính tốn, ta thường chọn C0.

Chẳng hạn: Hàm số f x x22x1 có

đồ thị  C f x   x12 , với 0

x

  

Diện tích “tam giác cong” giới hạn  C

, trục Ox hai đường thẳng x 1

x    

1

2

1

2

S f x dx x x dx

 

    

3

2

1

8

3

x

x x



 

    

 

2 Tính chất tích phân

Cho hàm số f x  g x  hai hàm số liên tục trên khoảng K, K khoảng, nửa khoảng đoạn , ,a b c K , đó:

a.Nếu b a  

a

a

f x dx 

b. Nếu f x  có đạo hàm liên tục đoạn  a b;

thì ta có:

       

b b

a a

f x dx  f x  f b  f a



c.Tính chất tuyến tính

       

b b b

a a a

k f x h g x dx k f x dx h g x dx 

 

 

  

Với ,k h  d.Tính chất trung cận

     

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

   , với c a b; e Đảo cận tích phân

   

a b

b a

f x dx  f x dx

 

f. Nếu f x 0,  x  a b;   b

a

f x dx



 

b

a

f x dx

 f x 0 g.Nếu f x g x , x  a b;

Chẳng hạn: Cho hàm số f x  liên tục, có

đạo hàm đoạn 1;2 thỏa mãn

 1

f   f 2  1. Khi

       

2

1

2

f x dx f x f f

 

      



Lưu ý: Từ ta có

    b  

a

f b  f a  f x dx

và      

b

a

   

b b

a a

f x dx g x dx

 

h.Nếu

 ;  

min a b

m f x

 ;  

max a b

M  f x

  b    

a

m b a  f x dx M b a 

i.Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức ta ln có

       

b b b b

a a a a

f x dx f t dt f u du f y dy

   

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1 Phương pháp đổi biến số

Đổi biến dạng

Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân  

b

a

I  f x dx, ta phân tích f x g u x u x     ta thực phép đổi biến số

Phương pháp:

+ Đặt u u x  , suy du u x dx  

+ Đổi cận:

x a b

u u a  u b 

+ Khi    

   

 

    u b

b u b

u a

a u a

If x dx  g u du G u , với

 

G u nguyên hàm g u  Đổi biến dạng

Dấu hiệu Cách đặt

2

a x sin ; ;

2

x a t t      2

x a

sin

a x

t

 ; ; \ 0  2

t  

 

2

a x tan ; ;

2

x a t t   

 

a x a x



 x a.cos ;t t 0;2



 

  

 

a x a x



 x a.cos ;t t 0;2



 

  



x a b x     sin ;2 0;

2

x a  b a t t  

 

2 Phương pháp tích phân phần Bài tốn: Tính tích phân    

b

a

Iu x v x dx Hướng dẫn giải

Đặt    

   

u u x du u x dx

dv v x dx v v x



 

 

 

    

 

 

Khi  

b b a

a

I u v v du (cơng thức tích phân phần)

Chú ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm v tích phân

b

a

vdu

 dễ tính hơn

b

a

udv

 .

III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT 1.Cho hàm số f x  liên tục a a;  Khi

Đặc biệt      

0

a a

a

f x dx f x f x dx



    

  (1)

+ Nếu f x  hàm số lẻ ta có  

a

a

f x dx





 (1.1)

+ Nếu f x  hàm số chẵn ta có    

a a

a

f x dx f x dx





  (1.2)

và    

0

1

a a

x a

f x

dx f x dx

b



 

  0 b 1 (1.3)

2.Nếu f x  liên tục đoạn  a b;    

b b

a a

f x dx f a b x dx 

 

Hệ quả: Hàm số f x  liên tục  0;1 , đó:    

2

0

sin cos

f x dx f x dx

 



 

3.Nếu f x  liên tục đoạn  a b; f a b x    f x     

b b

a a

a b

xf x dx  f x dx

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất 1 Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tích phân

Sử dụng bảng nguyên hàm định nghĩa tích phân để tính tích phân 2 Bài tập

Bài tập 1: Biết tích phân

 

2

2

1

dx

I a b c

x x x x

   

  

 , với , ,a b c  Giá trị biểu thức

P a b c  

A. P8 B. P0 C. P2 D. P6

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có x 1 x   0, x  1; nên

 

2 2

1

1 1

1 1

2

1

x x

I dx dx dx x x

x x x x

 

     

 

  

4 2

   Suy a4,b c   nên P a b c   0

Nhân liên hợp x 1 x.

Bài tập 2: Cho hàm số f x  thỏa mãn  2

f   f x  x f x  2 với x Giá trị  1

f

A.  1

f  B.  1

2

f  C  1

3

f   D.  1

3

f 

Hướng dẫn giải Chọn C

Từ f x  x f x  2 (1), suy f x 0 với x 1;2

Suy f x  hàm không giảm đoạn  1; nên f x  f  2 0,  x  1; Chia vế hệ thức (1) cho f x 2 ta  

  ,  1;

f x

x x f x



  

 

 

(2)

Lấy tích phân vế đoạn  1; hệ thức (2), ta  

       

2 2 2

2

1

1

1 1 3.

2 2

f x dx xdx x

f x f f

f x

 

        

   

     

 

Do  2

f   nên suy  1

f  

Chú ý đề cho f 2 , yêu cầu tính f  1 , ta sử dụng ngun hàm để tìm số C. Tuy nhiên ta dựa vào định nghĩa tích phân để xử lí

Bài tập 3: Cho hàm số f x  xác định \      

 thỏa mãn   2

f x x

 

 f 0 1,f  1  2 Khi f  1 f 3

A.  1 ln15 B. ln 5. C.  2 ln D.  1 ln15

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có      

0

0

f x dx f f



   

 nên suy      

0

1

f f f x dx

 

  

 

1

1 f x dx

 

 

Tương tự ta có      

1

3

f  f f x dx

 

2 f x dx

  

Vậy        

0 0 3

1

1

1 1 ln ln

f f f x dx f x dx x x

 

 

           

Vậy f  1 f 3   1 ln15

Bài tập 4: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1 0,  

1

2

7

f x dx

 

 

  

1

x f x dx  

 Giá trị  

1

I  f x dx

A 1. B.

4 C.

7

5 D 4.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có  

2

7

f x dx

 

 

 (1)

1

6

0

1

49

7

x dx  x dx

và  

3

14 x f x dx  14

 (3)

Cộng hai vế (1), (2) (3) suy  

1

2

7

f x x dx

   

 

 mà f x 7x320

  7 3

f x x

  

Hay  

x

f x   C

 1 7

4

f       C C

Do   7

4

x

f x   

Vậy  

1

0

7 7.

4

x

f x dx   dx

 

 

Bài tập 5: Cho f x g x   , hai hàm số liên tục đoạn 1;1 f x  hàm số chẵn, g x 

là hàm số lẻ Biết    

1

0

5;

f x dx g x dx

  Giá trị    

1

1

A f x dx g x dx

 

 

A 12. B 24. C 0. D 10.

Hướng dẫn giải Chọn D

Vì f x  hàm số chẵn nên    

1

1

2 2.5 10

f x dx f x dx



  

 

Vì g x  hàm số lẻ nên  

1

0

g x dx







Vậy A10 Bài tập 6: Cho

 

1

2

ln

2

xdx a b

x  

 với a, b số hữu tỉ Giá trị a b A.

12 B

1

 C.1

4 D.

1 12

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

     

1 1

2 2

0 0

1 1 1

2 2

2 2

xdx x dx dx

x

x x x

 

 

    



    

   

1

1 1

ln ln

4 2x x

 

      



 

Vậy 1, 1

6 12

a  b   a b

Bài tập 7: Cho

2

2x 3dx aln 2 bln 3,

x x

  



 với ,a b Giá trị biểu thức a2ab b

A 11. B 21. C 31. D 41.

Hướng dẫn giải

Ta có

3 3

2 2

2 2

2x 3dx 2x 2dx 2x dx

x x x x x x x x

        

 

     

  

 

3

2

2

2 2

ln ln 2ln 5ln ln

1

x

dx x x x x

x x x x



 

            

 

 



2

41

a

a ab b

b

  

     



Chọn D

Bài tập Biết tích phân

2

5

ln ln ln 5,

5

x

dx a b c

x x

   

 

 với , ,a b c số nguyên Giá

trị biểu thức S a bc  bao nhiêu?

A. S 62 B. S10 C. S20 D. S 10

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

  

2 2

2

1 1

5 6

5 3

x x

dx dx dx

x x x x x x

      

 

       

  

 

1

9 ln x ln x ln ln 26 ln

      

Suy a 26,b4,c Vậy S a bc    26 4.9 10.

Bài tập 9: Cho  

2

4

4

cos sin cos

ln ln

cos sin cos

x x x

dx a b c

x x x

 

     



 , với , ,a b c số hữu tỉ Giá

trị abc

A 0. B. 2 C. 4 D. 6

Ta có

 

2 2

3

4 2

4

cos sin cos 2cos sin cos sin

cos sin cos cos cos sin cos

x x x dx x x x xdx

x x x x x x x

                   2 3 4

2 tan tan tan tan

tan

cos tan tan

x x x x

dx d x

x x x

                  3 4 tan

tan tan 2ln tan

1 tan

x

x d x x

x                     

1 2ln 2ln

    Suy a1,b 2,c nên abc 4

Bài tập 10: Cho hàm số  

2

,

2 ,

x

e m khi x

f x

x x khi x

  

  

 

 liên tục 

Biết    

1f x dx ae b c a b c, ,

    

  Tổng T a b  3c

A 15. B. 10 C. 19 D. 17

Hướng dẫn giải Chọn C

Do hàm số liên tục  nên hàm số liên tục x0

     

0

lim lim 1

x  f x x  f x f m m

        

Ta có 11f x dx  01f x dx  01f x dx I   1 I2

  1   

0 2 2 2 2 2

2

1 1 1

1

2 16

2 3 3 3

3

I x x dx x d x x x

  

         

   1

1 0

0

1

x x

I  e  dx e x  e

Suy   1 2

22

2

3

f x dx I I e

     

 Suy 1; 2; 22

3

a b c 

Vậy T a b  3c  1 22 19 Bài tập 11: Biết

2

cos

1 x

x dx m      

 Giá trị

cos 3x

x dx    

A. m B.

4 m

 

C.  m D.

4 m

 

Ta có  

2

2

cos cos

cos cos

1 x 3x

x x

dx dx xdx x dx

   

   





   

    

 

   

Suy

cos

3x

x

dx m

 





  



Dạng 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến 1 Phương pháp giải

Nắm vững phương pháp đổi biến số dạng dạng 2, cụ thể: Đổi biến dạng Bài tốn: Giả sử ta cần tính   ,

b

a

If x dx ta phân tích f x g u x u x     Bước 1: Đặt u u x  , suy du u x dx  

Bước 2: Đổi cận

x a B

u u a  u b 

Bước 3: Tính

   

   

 

    u b

b u b

u a

a u a

I f x dx  g u du G u Với G u  nguyên hàm g u 

Đổi biến dạng

Bài tốn: Giả sử ta cần tính  

b

a

I f x dx, ta đổi biến sau:

Bước 1: Đặt x t , ta có dx t dt

Bước 2: Đổi cận

x a b

t  

Bước 3:

Tính I f  t   t dt g t dt G t   

  



 

 

  

Với G t  nguyên hàm g t 

2

a x sin , ;

2

x a t t      2

x a , ; \ 0 

sin 2

a

x t

t

 



 

   

 

2

a x tan , ;

2

x a t t    

 

a x a x



 x a.cos ,t t 0;2



 

  

 

a x a x



 x a.cos ,t t 0;2



 

  

 

x a b x     sin ,2 0;

2

x a  b a t t  

 

2 Bài tập mẫu Bài tập 1: Biết

2

cos

ln ln 3, sin 3sin

x

dx a b

x x



 

 

 với ,a b số nguyên

Giá trị P2a b

A.3 B.7 C.5 D.1

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có

    

2

2

0

cos

sin

sin 3sin sin sin

x

dx d x

x x x x

 



   

 

   

2

2 0

1

sin ln sin ln sin

sinx sinx d x x x





 

       

 

 



 

ln ln1 ln ln 2ln ln

     

Suy a2,b  1 2a b 

Bài tập 2: Biết ln  

0

1 ln ln ln

3

x x

dx

I a b c

e e c

   

 

 , với , ,a b c số nguyên tố Giá trị P2a b c 

A. P 3 B. P 1 C. P4 D. P3

Ta có ln ln 2

0 4

x

x x x x

dx e dx

I

e e e e

 

   

 

Đặt t e xdt e dx x

Đổi cận x  0 t 1,xln 2  t Khi

 

2

2

2

1 1

1 1 1ln 1 ln ln ln

4 3

t

I dt dt

t t t t t



 

        

      

 

Suy a3,b5,c Vậy P2a b c  3

Bài tập 3: Biết 6

3 sin

dx a b

x c



  

 , với a b, ,c a, b, c số nguyên tố Giá trị tổng a b c 

A.5 B.12 C.7 D. 1

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có

2

6 6

2 2

0 0

1

1 tan

cos 2

2 .

1 sin

cos sin tan tan

2 2

x x

dx dx

I dx dx

x x x x x

      

 

 

   

      

  

     

     

   

Đặt 1 tan 2 1 tan2 .

2

x x

t   dt  dx

 

Đổi cận 1; 3

6

x  t x    t

3 3

2

1

2 3

dt I

t t

   

    

Suy a 1,b3,c nên a b c  5

Lưu ý:

2

1 sin sin cos

2

x x

x  

   

  Chia tử mẫu cho

2

cos

2

x

     

Bài tập 4: Cho hàm số y f x  liên tục   

2

f x dx

 Giá trị  

2

I  xf x dx

A.4 B.8 C.16 D.64

Hướng dẫn giải Chọn B

Đổi cận x  0 u 0,x 2  u

Khi    

1

0

2

If u du f x dx

Bài tập 5: Cho hàm số y f x  xác định liên tục 0; cho x2xf e   x  f ex 1;

với x0; Giá trị  .ln

e

e

f x x

I dx

x

 

A

I  B.

3

I  C.

12

I D.

8

I Hướng dẫn giải

Chọn C

Với x0; ta có      1   1 .

1

x x x x

x xf e f e f e x

x



      



Đặt lnx t x et dt dx

x

    

Đổi cận 1;

2

x e t x e   t

Khi    

1

1

2

1

12

t

It f e dtt t dt

Bài tập 6: Biết  

2

3sin cos 11

ln ln , ,

2sin 3cos 13

x x

dx b c b c

x x





    



  Giá trị b

c

A. 22

3 B.

22



C 22

3 D.

22 13

 Hướng dẫn giải

Chọn A

Phân tích 3sin cos 2sin 3cos  2 cos 3sin 

2sin 3cos 2sin 3cos

m x x n x x

x x

x x x x

  

 

 

2 sin 3 cos

2sin 3cos

m n x m n x

x x

  





Đồng hệ số ta có 3 ; 11

3 13 13

m n

m n

m n

 

    

   



Suy    

2

0

3 11

2sin 3cos 2cos 3sin

3sin cos 13 13

2sin 3cos 2sin 3cos

x x x x

x x

dx dx

x x x x

 

  

 

 

 

2

2

0

3 11 2cos. 3sin 11 2cos 3sin .

13 13 2sin 3cos 13 13 2sin 3cos

x x dx x x xdx

x x x x

                     2 0 2sin 3cos

3 11 11

ln 2sin 3cos

26 13 2sin 3cos 26 13

d x x

dx x x

x x            

3 11ln 2 11ln 3.

26 13 13

    Do

11

11 26 22

13 .

3 13 3

26 b b c c          

Bài tập 7: Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn  

2

tan x f cos x dx







 

2 ln2

2 ln e e f x dx

x x 

 Giá trị  

2 f x I dx x



A.0 B.1 C.4 D.8

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt    

4

2

2

0

sin cos

tan cos cos

cos

x x

A x f x dx f x dx

x

 

   

Đặt cos2 2sin cos sin cos .

2

t xdt  x xdx  dt x xdx

Đổi cận x  0 t

4

x   t Khi   1 f t A dt t  

Đặt    

2 2

2

ln ln ln

2

ln ln

e e

e e

f x x f x

B dx dx

x x x x

     

Tương tự ta có   4 f t B dt t  

Giá trị   f x I dx x

 Đặt

2

t xdx dt

Đổi cận 1

4

x   t x  2 t

Khi      

4

1 1

2

4

 f t  f t  f t   

I dt dt dt

Bài tập 8: Cho    ;

3 dx a b

x x  

 với ,a b số nguyên Giá trị biểu thức

b a

a  b

A.17 B.57 C.145 D.32

Hướng dẫn giải Chọn A

Giá trị

     1 0 1 3 1 dx I dx x x x x x          Đặt

 2  2

3

2

1 1

x dx

t tdt dx tdt

x x x

 

     

  

Đổi cận x  0 t 3,x  1 t

Ta có

   

1 3

2

2

0

1

3

3

1

dx

I t dt dt t

t x x x              Mà   

3 dx a b

x x  

 nên suy a3,b

Từ ta có giá trị abba 322317. Bài tập 9: Cho

1 ln x a dx b

x a b

 

   

  

 , với ,a b số nguyên tố Giá trị biểu thức

 

2

P a b

A.12 B.10 C.18 D.15

Hướng dẫn giải Chọn B.

Biến đổi

1 1

3

3

1 1

3 3

2 2

1

1 1 1 1

x x x

I dx dx dx dx

x x x

x

x x x

   

     

 

 

   

Đặt

3

1

1

u u udu dx

x x x

       

2 . x u  

Đổi cận 3;

2

x  u x  u

Ta có

 

3 3

2

2

2

2

2 1

3 ln ln 2

3 3

Suy a3,b Vậy P2a b 10

Dạng 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần

Bài tập Cho tích phân

ln

ln

x b

I dx a

x c

   với a số thực b c số dương, đồng thời

b

c phân số tối giản Giá trị biểu thức P2a3b c

A. P6 B. P5 C. P 6 D. P4

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt

2 ln

dx

u x du

x dx

dv v

x

x



 

 

 

   

  

 

Khi

2

2

2

1 1

ln ln 1 ln 2.

2

x x

I dx

x x x x

   

      

 

 Suy 1, 2,

2

b c a Do P2a3b c 4

+ Ưu tiên logarit. + Đặt

2 ln

u x

dx dv

x

    



Bài tập 2: Biết

ln 2, cos

x

dx a b

x





 



 với ,a b số hũu tỉ Giá trị T16a8b

A.T 4 B. T 5 C. T 2 D. T  2

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt

4 4

2

0 0

1

1 cos 2cos cos

x x x

A dx dx dx

x x x

  

  



  

Đặt

2

tan cos

u x du dx

dv dx v x

x

  

 

   

 

4

0 0

1

tan tan tan ln cos

2

A x x xdx x x x



 

   

 

      

 

 

 

 



1 1

ln ln ln

2 2

  

   

       

 

 

Vậy 1,

8

a b 16a8b  2

+ Biến đổi 1 cos 2 x2cos 2x

+ Ưu tiên đa thức. + Đặt

2 cos

u x

dv dx

x

    



Bài tập 3: Cho

2

0

x

I xe dx a e b với ,a b Giá trị tổng a b A.

2 B.

1.

4 C. D.1

Hướng dẫn giải

Sử dụng phương pháp phần

Đặt 2 1 2

2 x x

du dx u x

v e

dv e dx

  

 



   

 

Khi

1

1 1

2 2 2

0 0 0 0

1 1 1

2 2 4

x x x x

I u v v du x e  e dx x e  e  e 

Suy . 2 1.

4

a e  b e 

Đồng hệ số hai vế ta có 1,

4

a b Vậy

a b 

Chọn A

+ Ưu tiên đa thức.

+ Đặt u x 2x

dv e dx

 

 



Bài tập 4: Cho hàm số f x  liên tục, có đạo hàm , f 2 16  

4

f x dx

 Tích phân

4

0

x xf  dx

 

A.112 B.12 C.56 D.144

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt 2

2

x

t  x tdx dt

Đổi cận 0

4

x t

x t

   

   

 Do    

4 2

0 0

4

2

x

xf  dx tf t dt  xf x dx  

  

Đặt

   

4

u x du dx

dv f x dx v f x

 

 

 

    

 

 

Suy

         

2 2

0

0 0

4xf x dx 4xf x   4f x dx8f 4 f x dx8.16 4.4 112. 

  

Bài tập Cho 4  2 

ln sin 2cos

ln ln cos

x x

dx a b c

x







  

 với , ,a b c số hữu tỉ

Giá trị abc A. 15

8 B.

5

8 C.

5

4 D.

17

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt

 

2

ln sin 2cos cos 2sin

sin 2cos

tan

cos

u x x x x

du dx

x x

dx

dv v x

x

 

   

 



 



   



Khi

     

4

4

0

0

ln sin 2cos cos 2sin

tan ln sin 2cos

cos cos

x x x x

dx x x x dx

x x

 



     

 

 

4

3ln ln 2 tan

2 x dx



 

    

  

 

0

7

3ln ln 2ln cos

2 x x



   

7

3ln ln 2 ln 3ln ln

2 2

 

      

Suy 3, 5,

2

Bài tập Biết  

2

2

1 ,

p

x q

x

x e  dx me n

 m n p q, , , số nguyên dương p

q phân

số tối giản Giá trị T    m n p q

A.T11 B. T 10 C. T7 D. T 8

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

     

2 2

2 2

1 1

1 x x x x x x x x

I x e dx x  x e  dx x  e dx xe  dx

Xét  

2 2 2

2 2

1

1 1

1

1         

        

   

 x  x  x  x

x x x x x

I x e dx x e dx x e d x x d e

x x

 

2

1 1

2 2

1 1 1

2

x x x x

x x x x

x e  e d x x e  xe  dx

   

2 1 2

2 2

1

1

1

2 x x x x x x

I xe  dx x e  I x e  e

      

4, 1, 3,

m n p q

    

Khi T         m n p q 10 Bài tập Tìm số thực m 1 thỏa mãn m 

1

ln x dx m.  

A. m 2e. B. m e. C. m e  D. m e 1. 

Hướng dẫn giải Chọn B

 

m m m

1 1

A ln x dx ln xdxdx m

1 Iln xdx Đặt

1

u ln x du dx

x

dv dx v x



 

 

  

  

m m

1 I x ln x dx

  

m

m e

A x ln x m ln m m

m  

    

Bài tập Đặt

1ln d , e

k

k

I x

x k nguyên dương Ta có Ik  e khi:

A. k 1; B. k 2;3 C k 4;1 D k 3;4

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt

1 lnk

u du dx

x x

dv dx v x

    

 

 

   

 

 

1

.ln + d ln

e e k

k

I x x e k

x

 

     

   Ik  e

 ln ln ln

1

e

e k e k k

e e



         

 

Do k nguyên dương nên k 1;

Bài tập Tìm m để  

0

 

e x m dx e x

A. m 0. B. m e. C m 1. D. m e

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt

     

x x

1

1

x x x x

0

0

u x m du dx

dv e dx v e

I e x m dx e x m e dx e x m me m

  

 



   

 

           

Mặt khác: I e me m e   m e 1     e m 1.

Dạng 4: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối 1 Phương pháp

Bài tốn: Tính tích phân  d

b

a

I g x x

( với g x( )là biểu thức chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối) PP chung:

Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối  a b;

Dựa vào dấu để tách tích phân đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất để tách) Tính tích phân thành phần

Đặc biệt: Tính tích phân ( ) d

b

a

Cách giải Cách 1:

+) Cho f x( )0 tìm nghiệm  a b;

+) Xét dấu f x( )  a b; , dựa vào dấu f x( ) để tách tích phân đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất để tách)

+) Tính tích phân thành phần

Cách 2:

+) Cho ( ) 0f x  tìm nghiệm  a b; giả sử nghiệm x x1; ; 2 xn

( với x1x2  xn ) Khi

3

1

1

( ) d ( ) d ( ) d ( ) d

    

n x

x x b

a x x x

I f x x f x x f x x f x x

3

1

1

( )d ( )d ( )d ( )d

         

n

x

x x b

a x x x

I f x x f x x f x x f x x

+) Tính tích phân thành phần

2 Bài tập

Bài tập 1:  

2

a a

S x x dx , a, b ,

b b

 

      phân số tối giản Giá trị a b

A.11 B.25 C.100 D.50

Hướng dẫn giải Chọn A

 

2

2

1 1

x x

S x x dx x x dx 2x

3

8 1

4

3 2

  

 

           

 

   

         

   

 

 

Bài tập 2:  *

0

I sin 2xdx a a , a 

    Hỏi a3 bao nhiêu?

A.27 B.64 C.125 D.8

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: sin 2x sin x cos x2 sin x cos x sin x   

        

Với x 0; x ;3

4 4

             

 

+ Với x ;

4

       

  sin x   

 

 

+ Với x 0;3

4

  

    sin x        4

I sin x dx sin x dx 2

4                          

Chọn 3: Biết

2

d ln ln 5,  

 x   

I x a b

x với a, b số nguyên Giá trị S a b 

A. B.11 C. D. 3

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

5

1

2 2 2

d d d

x x x

I x x x

x x x

     

  

   

2 2 5

1

1

2 x x 2x 2x

dx dx dx dx

x x x x

     

   

   

2 5

1

1

5 x dx 2 dx 5ln x x 2x 3ln x

x x

   

           

   

 

8ln 3ln

   11

3 a a b b         

Bài tập 4: Cho tích phân 2  

0

1 cos 2xdx ab a  b 2 Giá trị a b

A a b 2    



 B

a 2 b      

C a 2 a

b b 2

   

 

 

  

 

  D

a a 2

b b 2

             

Hướng dẫn giải Chọn D                    

2 2

0 0

2

1 cos 2xdx sin x dx sin xdx sin xdx cos x cos x

 

2 a

ab a 2

X 2 X

b b 2

a b 2

Bài tập 5: Tính tích phân

- d ,

I x x a x a ta kết I  f a( ) Khi tổng (8)

f   f  

 

có giá trị bằng: A 2

9 B.

9

2 C.

17

2 D.

2 17 Hướng dẫn giải

Chọn B

TH1: Nếu a1  

1

1

0 0

1 11

d (8)

3 2 3

x ax a

I  x x a x       f   

 



TH 2: Nếu 0 a    

d d

a

a

I  x x a x x x a x

1

3 3

0

1 1 1

3 3 24

a

a

x ax x ax a a

f

     

              

 

   

Khi (8) 11 91

2 24

f f     

 

Bài tập 6: Cho hàm số f x  liên tục  thỏa  

2 d 2

 f x x  

6 d 14

 f x x Giá trị

 

2

5 d





 f x x

A.30 B. 32 C. 34 D. 36

Lời giải Chọn B

+ Xét  

2 d

f x x



Đặt u2xdu2dx; x  0 u 0; x  1 u Nên  

0

2 f dx x  

0

d f u u

   

0

d

f u u

 

+ Xét  

6 d 14

f x x



Đặt v6xdv6dx; x  0 v 0; x  2 v 12 Nên  

0

14 f dx x 12  

0

d

6 f v v

  12  

0

d 84

f v v

  

+ Xét  

2

5 d

f x x





    

2

5 d d

f x x f x x



Tính  

1

5 d

I f x x



  

Đặt t5x2

Khi   2 x 0, t  5x 2dt 5dx; x   2 t 12; x  0 t  

2

12

d

I   f t t 12    

0

1

d d

5 f t t f t t

 

   

    

1

84 16

  

Tính 1  

5 d

I  f x  x

Đặt t5x2

Khi 0 x 2, t5x2dt5dx; x  2 t 12; x  0 t  

12

2

d

I   f t t 12    

0

1

d d

5 f t t f t t

 

   

    

1 84 4 16

  

Vậy  

2

5 d 32

f x x



 



Bài tập 7: Cho hàm số y f x  liên tục  0;4  

d 1

 f x x ;  

4

d 3

 f x x Giá trị

 

1

3 d 



 f x x

A.4 B. 2 C.

3 D.1

Hướng dẫn giải Chọn C

     

1 1/3

1 1/3

3 d d d

f x x f x x f x x

 

    

  

       

1/3

1 1/3

1

1 d 3 d

3 f x x f x x

        

     

0

4

1

d d

3 f t t f t t

     1 3 1.1

3 3

    

Bài tập

4

3

24

4





     a

S y y dy

b Giá tị A2B

A.80 B.83 C.142 D.79

  

4 2

y 4y  3 y 1 y 3 Xét dấu y21 y 23, ta có:

   

     

3

2 4

3

1

4 4

1

3

S 4y y dy y 4y dy

y 4y dy y 4y dy y 4y dy

 



 

      

          

 

  

1

5 5

3 1

y 4y y 4y y 4y

3y 3y 3y

5 5

112 24 15



 

     

     

            

     

 

Bài tập  

1

a a

S 4x 4x 1dx , a, b ,

b b



     phân số tối giản Giá trị a 4b

A.1 B. 3 C. 35 D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:  

1

2

0

I  2x dx 2x dx

   

1

1 2

7

1

0 0

2

1 I 2x dx 2x dx 2x dx 2x dx 2x dx

2

           

Suy ra: a 1, b 2. 

Bài tập 10

0

I sin xdx A B 

    , biết A2B Giá trị A3B3

A.72 B.8 C.65 D.35

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có:

2

x x x x x

1 sin x sin cos sin cos sin

2 2 2

    

          

   

0

0

0

0

0

‐ ‐

‐

‐ ‐

‐

‐

+ + + +

+

+ + +

+∞

1 ‐1

‐ ‐∞

(y2 ‐1)(y2

‐3) y2

‐3 y2

Với x 0; x 0; x ;5

2 4

                   

+ Với x ;

2 4       

  x

sin

2   

 

 

+ Với x ;5

2 4

       

  x

sin

2   

 

 

3

2

3

2

x x

I sin dx sin dx

2 4



 

     

         

   

 

Bài tập 11 Cho tích phân

2

1 sin 2cos  3

 x xdx a b



Giá trị A a b  4

A.2 B. 5 C.5 D. 8

Hướng dẫn giải Chọn D

 

 

2   4  2 

0 0

I sin 2x cos xdx sin x cos x dx sin x cos x dx 

       

sin x cos x tan x x k

3

Do      x 0;

2 nên

  x

3

   

   

   

 

 



       

               

3 2 3 2

0

3

3

0

3

I sin x cos x dx sin x cos x dx sin x cos x dx sin x cos x dx

1 3

cos x sin x cos x sin x 3

2 2

  a 1; b 3 A 8

Dạng 5: Tính tích phân hàm đặc biệt, hàm ẩn 1 Phương pháp giải

a.Cho hàm số f x  liên tục a a;  Khi

Bài tập 1: Tích phân

1

2 cos ln

2

x

I x dx

x



 



     

a a

a

f x dx f x f x dx



    

  (1)

Chứng minh

Ta có      

0

0

a a

a a

f x dx f x dx f x dx

 

 

  

Xét  

0

a

I f x dx



  Đổi biến

x  t dx dt

Đổi cận x   a t a x;    t Khi        0 a a a

I f t dt f t dt f x dx

Do (1) chứng minh Đặc biệt

+ Nếu f x  hàm số lẻ ta có

 

a

a

f x dx





 (1.1)

+ Nếu f x  hàm số chẵn ta có

   

0

a a

a

f x dx f x dx





  (1.2)

+ Nếu f x  hàm số chẵn ta có

   

1

a a

x

a a

f x

dx f x dx

b

 

 

  0 b 1

(1.3) Chứng minh (1.3):

Đặt  

1 a x a f x A dx b     (*) Đổi biến x  t dx dt

Đổi cận x   a t a x a;    t a Khi    1  

1

t

a a

t t

a a

f b f t

A dt dt

b b           

A. 1 B

2

C.0 D.1

Hướng dẫn giải

Hàm số   cos ln2

x

f x x

x

 

 xác định liên tục đoạn 1;1 

Mặt khác, với   x  1;1   x  1;1

  cos .ln2 cos ln2  

2

x x

f x x x f x

x x

 

      

 

Do hàm số   cos ln2

x

f x x

x

 

 hàm số lẻ Vậy

1

2

cos ln

2

x

I x dx

x       Chọn C

Bài tập 2: Cho y f x  hàm số chẵn, liên tục đoạn 6;6

Biết  

1

8

f x dx





  

3

2

f  x dx

 Tính  

6

f x dx



A. I 11 B. I5

C. I 2 D. I 14 Hướng dẫn giải

Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x  đoạn 6;6 ta có

   

3

1

2 3

f  x dx  f x dx

 

 

1 2 3.

2F x

 

Do F 6 F 2 6 hay  

6

f x dx 

Vậy      

6

1

14

 

    

Hay  

1 x a

x a

b f x

A dx

b



 

 (**)

Suy

   

2

2

a a

a a

A f x dx A f x dx

 

    

Chọn D

Bài tập 3: Tích phân

1 2020

1

x x

I dx

e

 



 có giá trị A. I 0 B. 22020

2019

I 

C.

2021

2021

I  D

2019

2019

I 

Hướng dẫn giải

Áp dụng toán (1.3) cột bên trái cho hàm số   2020

f x  x b e ta có Ta có

1 2021 2021 2021

2020

1

1 2.2

2 2021 2021 2021

x

I x dx I

 

     

Chọn C

b.Nếu f x  liên tục đoạn  a b;

   

b b

a a

f x dx f a b x dx 

 

Hệ quả: hàm số f x  liên tục  0;1 , đó:

   

2

0

sin cos

f x dx f x dx

 



 

Bài tập 4: Cho hàm số f x  liên tục  thỏa điều kiện f x  f  x 2cos ,x với   x

Giá trị  

2

N f x dx

 



 

A. N 1 B. N0

C. N1 D. N2 Hướng dẫn giải

Ta có    

2

2

N f x dx f x dx

 

 

 

    

Suy    

2

2

2N f x f x dx 2cosxdx

 

 

 

       

Vậy

2 0

2 cos 2sin

N xdx x





   

c. Nếu f x  liên tục đoạn  a b;

   

f a b x   f x

   

2

b b

a a

a b

xf x dx  f x dx

 

d. Nếu f x  liên tục đoạn  a b;  

f x  với  x  a b;  

b

a

f x dx



 

b

a

f x dx

 f x 0

Bài tập 5: Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn f x  f2x x2x,  x

Giá trị tích phân  

Gf x dx

A. G2 B

2

G

C

G D

3

G

Hướng dẫn giải

Ta có    

2

0

2

Gf x dxf x dx

Suy      

2

0

2Gf x  f x dx x 2x dx

Vậy  

2

1

2

2

G x x dx

Chọn C

Bài tập 6: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1 0,  

0

7

f x dx

 

 



 

2

1.

x f x dx

 Tích phân  

1

f x dx



A.

5 B.1

C.

4 D.4

Hướng dẫn giải

Đặt  

 

3

du f x dx u f x

x

dv x dx v



 

 

 

 

 

 

 

Ta có      

3

1 1

2

0

0

1

3 

 

x f x dx x f x x f x dx

   

1

3

0

1 . . x 1.

3 x f x dx x f x d

Cách 1: Ta có  

2

7

f x dx

 

 

 (1)

1 7 1

6

0

0

1 49 1.49 7

7 7

x

x dx   x dx 

  (2)

   

1

3

0

14 14

x f x dx    x f x dx  

  (3)

Cộng hai vế (1), (2) (3) suy

   

1 1

2 6 3

0 0

' 49 14

f x dx x dx x f x dx 

 

 

  

 

2

7

f x x dx

 

   

Do    

1

2

3

0

7

f x x f x x dx

        

    Mà

   

1

2

3

0

7

f x x dx f x x

      

 



 

4

x

f x   C

Mà  1 7

4

f       C C

Do  

4 7.

4

x

f x   

Vậy  

1

0

7 7

4

x

f x dx   dx

 

 

Một số kĩ thuật giải tích phân hàm ẩn

Loại 1: Biểu thức tích phân đưa dạng: u x f x( ) ( )' +u x f x'( ) ( )=h x( )

Cách giải:

+ Ta có u x f x( ) ( )' +u x f x'( ) ( )= ëéu x f x( ) ( )ùû'

+ Do u x f x( ) ( )' +u x f x'( ) ( )=h x( )éëu x f x( ) ( )ùû'=h x( )

Suy u x f x( ) ( )=ò h x dx( )

Suy f x( )

Loại 2: Biểu thức tích phân đưa dạng: f x'( )+ f x( )=h x( )

+ Nhân hai vế với exe f xx '( )+e f xx ( )=e h xx ( )ée f xx ( )ù'=e h xx ( )

ê ú

ë û

Suy e f xx ( )= e h x dxx ( )

ò Suy f x( )

Loại 3: Biểu thức tích phân đưa dạng: f x'( )-f x( )=h x( )

Cách giải:

+ Nhân hai vế với e-xe-x 'f x( )+e-x.f x( )=e-x.h x( )ëêée-x.f x( )úûù'=e-x.h x( )

Suy e-x.f x( )=ò e h x dx-x ( )

Suy f x( )

Loại 4: Biểu thức tích phân đưa dạng: f x'( )+p x f x( ) ( )=h x( )

Cách giải:

+ Nhân hai vế với

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( )

'

p x dx p x dx p x dx p x dx

p x dx p x dx

e f x e p x e f x h x e

f x e h x e

ò  ò + ò = ò

é ò ù ò

ê ú

 =

ê ú

ë û

Suy f x e( ) ò p x dx( ) =òeòp x dx( ) h x dx( )

Suy f x( )

Công thức ( ) ( )

b b

a a

f x dx f a b x dx 

 

2 Bài tập

Bài tập 1: Cho số thực a0 Giả sử hàm số f x  liên tục dương đoạn  0;a thỏa mãn    

f x f a x  Giá trị tích phân

 

1

a

I dx

f x

 



A.

a

I B.

2

a

I C.

3

a

I D. I a

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt t a x  dt dx Đổi cận x  0 t a x a;    t Khi

   

 

   

0 0

1 1

1 1

   

     

a a a a f x

I dt dx dx dx

f a t f a x f x

f x

    

0 0

1

2

1

a a f x a

I dx dx dx a

f x f x

    

 

   Vậy

2

a

I 

Ta chọn hàm số f x 1, với x 0;a thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi

 

0

1 .

1 2

a a

a

I dx dx

f x

  



 

Bài tập 2: Cho hàm số f x  liên tục 1;1 f   x 2019f x ex,  x  1;1  Tích phân

 

1

M f x dx



  A

2019

e e

 B. 1

e e

 C 1

2020

e e

 D. 0.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có    

1

1

M f x dx f x dx

 

   

Do        

1 1

1 1

2020M 2019 f x dx f x dx f x 2019f x dx

  

        

Suy

1

1

1 1.

2020 2020

x e

M e dx

e





  

Nếu f x  liên tục đoạn  a b;   b

a

f x dx

 b  

a

f a b x dx

  

Bài tập Cho f x  hàm số liên tục  thỏa mãn f x  f   x 2 cos 2 x Giá trị tích phân  

3

P f x dx

 



 

A. P3 B. P4 C. P6 D. P8

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có    

3

2

3

2

 

    

P f x dx f x dx

 

 

   

3 3

2 2

3

2

2P f x f x dx 2cos 2xdx sinx dx

  

 

 

Hay

3

3

2

0

2 sin sin 2cosx 2cos

       

P xdx xdx x



  

 

Bài tập 4: Cho f x  hàm số liên tục  thỏa mãn f x  f x sinx với x  0

f  Tích phân e f   A.

2

e 

B.

e 

C.

e 

D.

 

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có f x  f x sinx nên e f xx  e f xx  ex.sin ,x x  .

  sin

x x

e f x  e x

 

   hay  

0

.sin

x x

e f x dx e xdx

 



  

 

 

         

0

1 sin cos 0 1

2

x x

e f x  e x x  e f  f e

   

         

 

2

e

e f   

 

Để ý  ex   nên nhân thêm hai vế ex f x  f x sinx với ex ta có ngay

 

e f xx  ex.sin x

Bài tập 5: Cho hàm số f x  tuần hồn với chu kì

 có đạo hàm liên tục thỏa mãn

0

f   

  ,  

2

4

f x dx

 



 

 

 

  

2

.cos

4

f x xdx

 





 Giá trị f 2019

A. 1 B.0 C.

2 D.1

Hướng dẫn giải Chọn A

Bằng phương pháp tích phân phần ta có

     

2

2

.cos sin sin

f x xdx f x x f x xdx

  



 

   

  Suy  

2

.sin

4

f x xdx

 



  



Mặt khác

2

2

1 cos 2 sin

sin

2 4

x x x

xdx dx

  



 



   

   

 

 

     

2 2 2 2

2

0 0

2 sin sin sin

f x dx xf x dx xdx f x x dx

   

        

   

   

   

  sin

f x x

   Do f x cosx C Vì

f   

  nên C0 Ta f x cosx f2019cos 2019  1

Bài tập 6: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thoả mãn 3 f x xf x x2018 với

mọi x 0;1 Tính  

1

d

If x x

A

2018 2021

I 

 B

1 2019 2020

I  

C

2019 2021

I 

 D

1 2018 2019

I  

Hướng dẫn giải Chọn C

Từ giả thiết 3f x xf x x2018, nhân hai vế cho x ta 2

     

2 2020 2020

3x f x x f x x x f x  x

Suy  

2021

3 2020d .

2021

x x f x x x C

Thay x0 vào hai vế ta   2018

0

2021

x C  f x 

Vậy  

1

1

2018 2019

0

0

1 1

d d

2021 2021 2019 2021 2019

f x x x x x 



 

Bài tập 7: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  0; , thỏa mãn f x  f x ex 2x1 với x 0; Khẳng định sau đúng?

A  4  0 26.

e f  f  B. e f4  4  f 0 3 e

C. e f4  4  f 0 e41. D. e f4  4  f 0 3. Lời giải

Chọn A

Nhân hai vế cho ex để thu đạo hàm đúng, ta

      /

' 2

x x x

e f x e f x  x e f x   x

Suy   1d 12 2

x

Vậy  4  0 26.

e f  f 

Bài tập 8: Cho hàm số f x  có đạo hàm , thỏa mãn f x' 2018f x 2018x2017 2018e x với

mọi x f 0 2018 Giá trị f 1

A. 2018e2018. B. 2017e2018. C. 2018e2018. D. 2019e2018. Lời giải

Chọn D

Nhân hai vế cho e2018x để thu đạo hàm đúng, ta

  2018x 2018   2018x 2018 2017   2018x 2018 2017.

f x e   f x e  x f x e  x

Suy f x e  2018x  2018x2017dx x 2018C.



Thay x0 vào hai vế ta C2018 f x x20182018e2018x.

Vậy f 1 2019e2018.

Bài tập 9: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục , thỏa mãn     2 x f x xf x  xe  0

f   Giá trị f 1

A .e B.

e C.

2

e D.

2 

e

Hướng dẫn giải Chọn C

Nhân hai vế cho

2

2

x

e để thu đạo hàm đúng, ta

     

2 2 2

2 2 2 2 2.

x x x x x

f x e f x xe xe e f x xe



 

     

 

 

Suy  

2 2

2 2 2d 2 .

x x x

e f x  xe x  e C

Thay x0 vào hai vế ta  

0 x

C  f x   e

Vậy f 1 2e 2.

e

    

Bài tập 10: Xét hàm số ( )f x liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn ( ) (1f x  f  x) 1x Tích phân

1

( )d

f x x



A.

3 B.

1

6 C.

2

15 D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: ( ) (1f x  f  x) 1x (1)

Đặt t  , thay vào (1) , ta được: x (1 ) ( )f  t f t  t hay (1f  x) ( )f x  x (2) Từ (1) & (2) , ta được: ( )

5

f x  x  x

Do đó, ta có:

( ) d

f x x

 1

0

3

d d

5 x x x x

    

5 15

 

15 

Cách Công thức ( ) ( )

b b

a a

f x dx f a b x dx 

 

Lấy tích phân vế ta

1 1

0 0

2 f x x( )d 3 f(1x x)d  1x xd

Chú ý: Ta dùng cơng thức Khi đó:

Từ suy ra:

Bài tập 11: Cho hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn Biết

Giá trị

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có hàm số chẵn nên suy

Mặt khác:

1

0

2

5 ( )d ( )d

3 15

f x x  f x x

 

   

2

1

d d

x ax b

x f ax b x ax b f x x

 

 

 

   

2f x 3 1f x  1x    

0 0

2 f x xd 3 f 1x xd  1x xd

   

1

0

2 f x xd f x xd x xd

         

0

2

5 d d

3 15

f x x f x x

    

   

2

1

1 a

I f t dt f x dx

2 2

    

 

y f x 6;6  

1

f x dx 

 

 

3

f 2x dx 3.

  

1 

f x dx

1 e 1 14

 

y f x f 2x    f 2x    

3

1

f 2x dx f 2x dx 3.

 

         

3 6

1 2

1

f 2x dx f 2x d 2x f x dx f x dx

2

    

Vậy

Bài tập 12: Tìm tất giá trị thực tham số k để

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

Mà

Khi

Bài tập 13: Cho hàm liên tục đoạn thỏa mãn

, b, c hai số nguyên dương phân số tối giản Khi có giá trị thuộc khoảng đây?

A B C D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Đặt Đổi cận Lúc Suy Do      

6

1

I f x dx f x dx f x dx 14

           k x

x 1

2x dx lim

x       k k      k k       k k        k k      

       2  2

k k k

1

1

2x 2k

1

2x dx 2x d 2x

2 4

 

      

 

  

 

x x x

x 1 x 1

x 1

4 lim lim lim

x x x 1 x 1

                

   2  

k

2 x

1

k 2k 1

x 1

2x dx 4lim 2k

k x                      

f x  0;a    

   

f x f a x f x 0, x 0;a

           a dx ba

1 f x  c

 bc b c

11; 22   0;9 7; 21  2017; 2020 

t a x  dt dx

x 0  t a; x a  t

     

 

   

a a a a

0 a 0

f x dx

dx dt dx dx

I

1

1 f x f a t f a x 1 f x

f x                       

a a a

0 0

f x dx dx

2I I I 1dx a

1 f x f x

     

 

  

1

I a b 1; c b c

2

Cách 2: Chọn là hàm thỏa giả thiết Dễ dàng tính

Bài tập 14: Cho hàm số liên tục Giá trị

tích phân

A B C D .

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

 Xét Đặt suy

Đổi cận

Suy

 Xét Đặt suy

Đổi cận Suy

Vậy

Bài tập 15: Cho hàm số liên tục Giá trị

tích phân

A B. C. D .

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Xét

 

f x 1

1

I a b 1; c b c

2

      

 

f x     

9

1

d 4, sin cos d 2

 f x x  f x x x

x



 

d

 f x x

2 10

 

1

d

f x

x

x 

 t x t2 x, 2 dt td x

1

9

x t

x t

   

    

     

9 3

1 1

4 f x dx f t 2dt f t td

x

    

 

2

sin cos d

f x x x





 usin ,x ducos d x x

0

x u

x  u

   



   

    

1

0

2 f sinx cos dx x f t td



 

     

3

0

d d d

I  f x x f x x f x x

 

f x     

2

2

0

tan d 4, d

1

x f x

f x x x

x



 



 

 

d 

I f x x

6

I I2 I3 I1

 

4

tan d

f x x





Đặt suy

Đổi cận: Khi

Từ suy

Bài tập 16: Cho hàm số liên tục thỏa mãn

Giá trị tích phân

A . B C D .

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

● Xét Đặt

Suy

Đổi cận:

Khi

● Xét Đặt

Suy

Đổi cận:

Khi tan ,

t x  

2

1 d

d d tan d d

cos

t

t x x x x

x t       0 x t

x  t

                1 2

0 0

4 tan d d d

1

f t f x

f x x t x

t x



  

 

  

     

1 1

2

0 0

d d d

1

f x x f x

I f x x x x

x x

     

 

  

 

f x   

0

tan x f cos x xd 1,







 

2 ln2

d ln e e f x x

x x 

  

1

2 d

 f x

I x

x

1

 

4

2

tan cos d

A x f x x



  tcos 2x

2 d

d 2sin cos d 2cos tan d tan d tan d

2

t

t x x x x x x t x x x x

t          x t

x  t

                 

1 1

2

1 1

1

2 2

1 1

1 d d d d

2 2

f t f t f x f x

A t t x x

t t x x

         

 

2 ln2

d ln e e f x B x x x

  uln 2x

2

2 ln 2ln d du

d d d d

ln ln ln

x x u x

u x x x

x x x x x x x u

    

2

1

x e u

x e u

   

   



     

4 4

1 1

1

1 d d d

2

f u f x f x

B u x x

u x x

● Xét tích phân cần tính

Đặt suy Đổi cận:

Khi

Bài tập 17: Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục Biết

với Giá trị tích phân

A B C D .

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Từ giả thiết

Ta có Đặt

Khi Ta có Suy   2 d f x I x x  ,

v x

1 d d . x v v x        1 2 x v x v                   

4 4

1 1

2 2

d d d d 2

f v f x f x f x

I v x x x

v x x x

      

 

f x  0;2 f  0 1

    2 4

2 x x

f x f x e  x 0;2    

  2 d  

 x x f x

I x f x 14  32  16  16 

    2 4 2  

2 x x x

f x f x e   f 

      2 ' d

x x f x

I x f x           2

3 d 3 6 d

'

d d ln

u x x u x x x

f x

v x v f x

f x                              2

3 2

0

2

3 ln ln d

3 ln d

            f

I x x f x x x f x x

x x f x x J

           

2 2

2

0

2 ln d 2x t 2 ln d

J  x  x f x x    t  t  f t t

           

0

2

2

2 x 2 x ln f x d x x lnx f x d x

                          2 2 0 2

2 ln d ln d

2 ln d

    

  

 



J x x f x x x x f x x

x x f x f x x

    

2

2 2

0

32 16

2 ln d 2 d

15 15

x x

x x e  x x x x x x J

Vậy

Bài tập 18: Cho hàm số liên tục thỏa mãn Giá

trị tích phân

A B. C. D.

Hướng dẫn giải ĐÁN ÁN B

Từ giả thiết, thay ta Do ta có hệ

Khi

Bài tập 19: Cho hàm số liên tục thỏa mãn Giá trị

tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Từ giả thiết, thay ta Do ta có hệ

Khi 16

3

5

I   J  

 

y f x ;

2

 

 

 

  2f x  f  x cos x

  2 d   

I f x x

 

2

I 

3

I

2

I I2

x x 2f  x f x cos x

       

   

     

2 cos 2 cos 1

cos

2 cos cos

f x f x x f x f x x

f x x

f x f x x f x f x x

                          2 2 2

1

d cos d sin

3 3

I f x x x x x

                

f x 1;

2

 

 

   

1

2

f x f x

x          2 d

 f x

I x x x

x  

1

2

f f x

x x                   1

2 3

2

1

2

f x f x f x f x

x x

f x x

x

f f x f x f

x x x x

                                              

2 2

1

1

2

2

1

2

f x

I dx dx x

x x x

   

         

   

Cách khác Từ

Khi

Xét Đặt , suy

Đổi cận:

Khi

Vậy

Bài tập 20: Cho hàm số thỏa mãn với

Giá trị bằng

A B C D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Nhận thấy Do giả thiết tương đương với

Suy

Thay vào hai vế ta

   

f x f x f x x f

x x

   

       

   

 

2 2

1 1

2 2

1

d d d d

f f

f x x x

I x x x x

x x x

    

   

    

 

    

 

 

 

   

2

1 d

f x

J x

x

     

 t

x



2

1

dt dx t xd dx d t

x t

      

1

2

2 .

1

2

x t

x t

    



    

     

1

2

2

2

1

2

2

1 d f t dt f x d .

J tf t t x I

t t x

 

     

 

  

2

1

2

3

3 d d

2

I   x I I  x  

f x f x 2 f x f   .  x 15x412x

  x

 0  0

f  f   f2 1

5

9

2 10

         

f x  f x f x  f x f x 

   

   

   . 15 12

f x f x   x  x

 

 

   . 15 12 d 3 6 f   0 f 1

f x f x  x  x x x  x  C     C

   . 3 6 1

f x f x x x

   

   . d 3 6 1 d 2  2 '.

2

f x x

f x f x x x x x x x C

        

0

x 2 0 ' '

2

f

C C

Vậy

Bài tập 22: Cho hàm số liên tục thỏa mãn Giá trị

A B C D

Hướng dẫn giải ĐAP ÁN A

   

2 4 2 1 1 8.

f x x  x  x  f 

 

f x  f tanxcos ,4x x 

 



I f x dx

2 .

8

 .

4

 .

4



   

 

   

2

2

2

0

1 f tan x cos x f tan x

tan x

1

f x f x dx

8 x

 

    



 

 

   

Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân 1 Phương pháp

Áp dụng bất đẳng thức:

+ Nếu liên tục

+ Nếu liên tục

+ Nếu liên tục dấu xẩy

ra + Bất đẳng thức AM-GM

2 Bài tập

Bài tập 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn ,

và Giá trị phân

A B. C. D

Hướng dẫn giải Chọn B

Dùng tích phân phần ta có Kết hợp với giả thiết

, ta suy

Theo Holder

Vậy đẳng thức xảy nên ta có thay vào ta

Suy  

f x  a b;    

b b

a a

f x dx  f x dx

 

 

f x  a b; m f x M   b    

a

m b a  f x dx M b a 

   ,

f x g x  a b;        

2

2 .

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 



 

    " "

   

f x k g x

 

f x  0;1 , f 1 0  

1

2

d



  

 

 f x x

 

2

1

d

3 

x f x x  

1

d

f x x

1

5

7

4

     

1 1

2

0

0

1

d ' d

3

x

x f x x f x  x f x x

 

 1

f   

0

' d

x f x x 



     

2

1 1 2

2 3 6

0

0 0

1 ' d d ' d

7

x

x f x x x x f x x

 

       

   

 

' ,

f x kx  

0

' d

x f x x 

 k 7

 

'

f x   x '  7 ,3  0;1   4

f x x x f x x C

        

 1    

0

7 7

d

4 4

f  C f x x f x x

Bài tập 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn ,

và Giá trị

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn D

Theo Holder

Vậy

Bài tập 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn

Tích phân

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn B

Theo Holder

Vậy

Bài tập 4: Cho hàm số nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục thỏa mãn

Mệnh đề sau đúng?

A B

C D

Hướng dẫn giải

 

f x  0;1 , f 1 1  

1 11 d 78 

x f x x

     d 13  

 f x f x f 2

2 251

7 256 261    

2 1

2

6 12

0 0

2 4

d d

13 x f x x x dx f x x 13 13 169

 

         

 

   

     

  2    1 5.

7

f

f x x f x x C  C

      

   2 261.

7 7

f x  x   f 

 

f x  0;1 , f 1 2, f  0 0   d      

 f x x  

1

2018 d

  

 

 f x x x

0 1011 2018 2022

   

2

1 1

2

0 0

2  f x x' d   d x f x'  dx1.4 4.

   

     0

' 2 f

f x f x x C  C

      

  3 

0

2 2018 d 1011

f x  xf x  x x 

 

f x f x   0;1 ,

 1   0

f ef     1 2 0

d     d 2.

 

 x  f x x

f x

 1 e f e       2 e f e      2

Chọn C Ta có

Mà nên dấu xảy ra, tức

Theo giả thiết nên ta có

Bài tập 5: Cho hàm số nhận giá trị dương có đạo hàm dương liên tục

thỏa mãn Giá trị

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Áp dụng bất đẳng thức cho ba số dương ta có

Suy

Mà nên dấu xảy ra, tức

          

1 1 AM GM

2

2

0 0

'

d

' d ' d f x d

x

f x x f x x x

f x f x f x



 

        

 

   

        

0

1

2 ln ln 2ln 2ln ln

0

f

f x f f e

f           1 2 0 d

' d

x

f x x

f x    

  '' ''  

     

1

' '

f x f x f x

f x

  

   ' d d 2    2

2

f x

f x f x x x x x C f x x C

       

 1  0

f ef

2

2 2 2

1

C e C C e C C

e

      



    2

2 2

2

1 1

e

f x x f

e e e

      

  

 

f x  0;1 ,  0;1 ,

 0 1

f        

1

3

3

0

4 d d

       

 

 

 f x f x x  f x f x x  

1

d 

I f x x

 

2 e1 2e21  1.

2 

e 1



e

AM GM

                    3 3 3 3 2

4 ' '

2

3 ' '

2

       

   

f x f x

f x f x f x

f x f x

f x f x f x

       

1

3

3

0

4 ' d ' d

f x f x x f x f x x

                  1 3 0

4 ' d ' d

f x f x x f x f x x

     

 

  '' ''

  3  3     

4 ' '

2 2

f x f x

f x    f x  f x

              

' ' 1

d d ln

2 2

x C

f x f x

x x f x x C f x e

f x f x



Theo giả thiết

Bài tập 6: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn

Giá trị tích phân

A B C D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Theo Holder

Bài tập 7: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa t

Giá trị ích phân

A B C D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Theo Holder

Vậy

Bài tập 8: Cho hàm số nhận giá trị dương có đạo hàm dương liên tục

thỏa mãn Giá trị

A B C D

    12    

0

0 x d

f    C f x e  f x x e

 

f x  0; ,  

0

sin d

  

 f x x x



 

2

d 

f x x



 0xf x x d



6.











4.



 2   2  2

0 0

2

1 cos d d cos d

2

f x x x f x x x x

   



    

   

0

2 cos

cos d x xd

f x x xf x x x

 

  

     

 

f x  0;1 ,    

1

2

1 0, d

8 

 

   

f f x x 

 

0

1

cos d

2

  

 

 

 x f x x  

1

d

 f x x

1



2







   

2 1

2

0 0

1

sin ' d sin d ' d

4 2

x f x x x x f x x

     

          

 

       

         

     1

' sin cos

2 2

f

x x

f x    f x   C  C

         

   

   

0

2

cos d

2

x

f x  f x x



 

   

  

 

f x  0;1 ,  0;1 ,

    d    xf x x

f x f 0 1,  

2 

f e

2      

f

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Hàm dấu tích phân Điều làm ta liên tưởng đến đạo

hàm , muốn ta phải đánh giá theo sau:

với

Do ta cần tìm tham số cho

hay

Để dấu xảy ta cần có

Với đẳng thức xảy nên

Theo giả thiết

Cách Theo Holder

Vậy đẳng thức xảy nên ta có thay vào ta

Suy (làm tiếp trên)  

      

' '

, 0;1

xf x f x

x x

f x  f x  

    '

f x

f x AM GM

 

    

' '

2

f x xf x

mx m

f x   f x m0 x 0;1

0

m

 

    

1

0

' '

d d

f x xf x

mx x m x

f x f x

 

 

 

 

 

     

0

ln ln ln

2

2 2

2

    

    

x m

f x m m f f

m

m m

'' '' 2

2

m

m m

    

4

m  

  '

4

f x x

f x 

 

     

2

2

'

d d ln x C

f x

x x x f x x C f x e

f x



      

 

   

2

2

0 1

0

2

x f

C f x e f e

f e



       

    



 

          

2

1 1

2

0 0

' ' ' 1

1 d d d d ln

2

xf x f x f x f

x x x x x x

f x f x f x f

   

   

      

     

    '

,

f x kx

f x 

   

0

'

d

xf x x

f x 

 k4

    '

4

f x x

Bài tập 9: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn

Giá trị

A B C D

Lời giải ĐÁP ÁN A

Hàm dấu tích phân Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm , muốn ta phải đánh giá theo sau:

với Do ta cần tìm tham số cho

hay

Để dấu xảy ta cần có Với đẳng thức xảy nên

 (vô lý)



Theo giả thiết

Cách Ta có

Theo Holder

Vậy đẳng thức xảy nên ta có thay vào ta Suy

(làm tiếp trên)

 

f x  0;1 ,    

1

2

d



  

 

 f x f x x

 0 1,

f f  1 

2      

f

2 e e

   

'

f x f x

 

  f x f x   '

AM GM

       

' '

f x f x  m m f x f x

 

  m0

0

m

   

     

1

2

0

' d ' d

f x f x m x m f x f x x

 

 

 

 

2

0

1

2

f x

m m m m

    

'' '' 1 m m  m

1

m        

   

2 '

'

'

f x f x f x f x

f x f x

 

 

  

   



        2  1

0

0

' ' d d 1

2

f x

f x f x    f x f x x  x  x   

   '    ' d d 2    2

2

f x

f x f x   f x f x x x   x C f x  x C

 

   

0 1 1

2

2

1

f

C f x x f

f

 

        

    



    2     

1

2

0

1

' d 1

2

f x

f x f x x  f  f 



       

2

1 1

2

2

0 0

1  1.f x f x x' d   d x f x f x'  dx1.1 1.

   

   

' ,

f x f x k    

0

' d

f x f x x

 k1

   

'

Bài tập 10: Cho hàm số nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục thỏa

mãn Giá trị

A B C D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Hàm dấu tích phân Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm

, muốn ta phải đánh giá theo sau:

với

Do ta cần tìm tham số cho

hay

Để dấu xảy ta cần có

Với đẳng thức xảy nên

Theo giả thiết

Cách Ta có

Theo Holder

 

f x f x   1; ,

    2 d 24      

 f x x

xf x f 1 1, f  2 16 f 2

1 2

 

    

2

' 1 '

f x f x

xf x x f x

             ' f x

f x AM GM

 

    

2

' '

2

f x f x

mx m

xf x f x

 

    m0 x 1;2

0 m        2 1 ' '

d d

f x f x

mx x m x

xf x f x

  

   

 

 

 

     

1

2 2

24 24 24 12 16

3 3

m m m

m f x m f f  m m

           

'' '' 24 12 16

3

m m m

   

16

m  

    

2

' '

16

2

f x f x

x x

xf x f x

                 2 '

d d

2

f x

x x x f x x C f x x C

f x

       

 

     

1

0

2 16

f

C f x x f

f                         

2 2

1

1

' '

d d 2

2

f x f x

x x f x f f

f x  f x     

             

2 2

2 2 2

2

1

1 1

'

' '

6 d d d d 24 36

2

f x

f x f x x

x x x x x x

xf x

f x xf x

     

   

    

   

Vậy đẳng thức xảy nên ta có thay vào ta

Suy (làm tiếp trên)

Bài tập 11: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 ,  1  0 14

f  f  Biết 0 f x 2 ,x  x  0;1 Khi đó, giá trị tích phân  

1

2

f x dx

 

 

 thuộc khoảng sau đây?

A.  2; B 13 14; 3

 

 

  C

10 13; . 3

 

 

  D.  1;3

Hướng dẫn giải Chọn C

Do 0 f x 2 ,x  x  0;1 nên 0f x 28 ,x x  0;1 Suy  

1

2

0

8

f x dx xdx

 

 

  hay  

1

2

4

f x dx

 

 

 (1)

Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

         

2

1 1

2 2

2

0 0

1

f x dx dx f x dx f f f x dx

    

        

       

    

 

2

7

2 f x dx    

Vậy  

1

2

7

4 2f x  dx

   

   

' '

,

f x f x

k x kx

xf x   f x 

   

1 '

d

f x x

f x 



4

k  

  '

4

f x x

BÀI ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Định lý 1: Cho hàm số y f x( )liên tục, không âm trên a b Khi diện tích S hình thang; cong giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), trục hoành đường thẳng x a x b ,  là: ( )

b

a

S f x dx

2 Bài toán liên quan

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ) liên tục đoạn  a b , trục; hoành hai đường thẳng x a , x b xác định: ( )

b

a

S f x dx

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), y g x ( ) liên tục đoạn  a b hai đường thẳng x a;  , x b xác định: ( ) ( )

b

a

S f x g x dx

Chú ý: Nếu đoạn [ ; ]a b , hàm số ( )f x khơng đổi dấu thì: ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx

 

Bài toán 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường x g y ( ), x h y ( ) hai đường thẳng

y c , y d xác định: ( ) ( ) d

c

S g y h y dy

Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( ) : ( )C1 f x1 ,( ) : ( )C2 f x2 là:

2

1

( ) ( )

 

x

x

S f x g x dx Trong đó:x x1, 2tương ứng nghiệm phương trìnhf x( )g x( ),x1x2 II THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY

 

 

 

    

1

2

( ) : ( ) ( ) : ( ) ( )

C y f x C y f x H

x a x b

1 ( )C

2 ( )C

 b 

a

S f x1( ) f x dx2( )

a c1 y

1 Thể tích vật thể

Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm a b; ( )

S x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm x , (a x b  ) Giả sử ( )S x hàm số liên tục đoạn [ ; ]a b

2 Thể tích khối trịn xoay

Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường ( )

y f x , trục hoành hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox:

Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường ( )

x g y , trục hoành hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy:

Bài toán 3: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường ( )

y f x ,y g x ( ) hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: 2( ) 2( )

b

a

V f x g x dx B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tính diện tích giới hạn đồ thị 1 Phương pháp:

a/ Phương pháp 1:

| ( ) |

b a

* Xét dấu biểu thức ( )f x ; x[ ; ]a b , phá dấu trị tuyệt đối tính tích phân

b/ Phương pháp 2:

* Giải phương trình ( ) 0f x  ; chọn nghiệm [ ; ]a b Giả sử nghiệm ;  với   * Áp dụng tính chất liên tục hàm số ( )f x [ ; ]a b ; ta có:

| ( )d | | ( )d | |b ( )d |

a

S f x x   f x x   f x x

2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị y x 2, trục hoành đường thẳng

x 2

A S

 B. S 16

3

 C. S 16. D. S

3  Hướng dẫn giải

CHỌN D

Nhận thấy rằng, để tính diện tích ta cần phải tìm cận Để tìm thêm cận cịn lại ta giải phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  P : y x với trục hồnh

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị  P : y x với trục hoành: x2  0 x

Áp dụng cơng thức ta có

2

8

S x dx

3

 

Nhận xét: Nếu ta vẽ đồ thị hàm số y x đường thẳng x 2 ta dễ dàng xác định hình phẳng giới hạn đường Từ ta dễ dàng tính diện tích S

Bài tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x e x, trục hoành đường

thẳng x 1

A e 2. B. e. C. e. D 1.

Hướng dẫn giải CHỌN A

Phương trình hoành độ giao điểm x e2 x    0 x 0 Ta có:

   

 

1 1

1

2 x x x x

0

0 0

1 1

1

x x x x

0

0 0

S x e dx x d e x e e d x

e xe dx e xd e e 2xe e dx

   

      

  

1 x

0

e 2e 2e e 2e e

        

Lời bình: Bài tốn có cận, ta cần tìm thêm cận cách giải phương trình hồnh độ giao điểm Sau áp dụng cơng thức Nếu vẽ đồ thị để tìm hình phẳng giới hạn đường khơng nên đồ thị hàm số phức tạp Việc tìm cơng thức

1 x Sx e dx tính tích phân ta dùng MTCT để tính chọn Chọn

Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y 1 x 2 trục hoành:

A  2 B.

4 

C 1. D.

2 

Hướng dẫn giải CHỌN D

Phương trình hồnh độ giao điểm của, Ox 1 x     0 x 1 Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm

1

2

S x dx 

  

Đặt x sin t dx cos tdt

x t

x t

2 

   



 

      

Suy

1 2

2 2

1

2

S x dx sin t.cos tdt cos tdt

2

 

 

  



        

Lời bình: Bài tốn chưa có cận, ta phải giải phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận Sau áp dụng cơng thức Việc tìm công thức

1

2

S x dx



  tính tích phân tương đối phức tạp, ta dùng MTCT để tính chọn Chọn

Nếu vẽ đồ thị ta xác định hình phẳng diện tích dễ dàng, diện tích đường trịn bán kính Do đó: S R2

2



  

Bài tập 4: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y lnx, x e, x e

   trục hoành

A S 2 e

  B. S 1

e

  C. S 2

e

  D. S 1

Hướng dẫn giải CHỌN A

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị y lnx trụ hoành ln x 0   x

   

e e

1 e

1 1

e

1 1

e e

2 S ln x dx ln xdx ln x.dx x x ln x x ln x x

e

         

Bài tập 5: Diện tích tam giác cắt trục tọa độ tiếp tuyến đồ thị y ln x giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox là:

A. S

 B. S

4

 C. S

5

 D. S

2  Hướng dẫn giải

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm: ln x 0  x

Ta có: y ' ln x ' y ' 1  x '

  

Phương trình tiếp tuyến đồ thị y ln x giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox là:

 

y x 1  0 hay y x 1 

Đường thẳng y x 1  cắt Ox điểm A 1;0  cắt Oy điểm B 0; 1   Tam giác vng OAB có OA 1,OB S OAB 1OA.OB

2



    

Bài tập 6: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y ax a 0   , trục hoành đường  thẳng x a ka2 Tính giá trị tham số k

A k

 B k

3

 C k 12

5

 D k

5  Hướng dẫn giải

         

b b b

D

a a a

Chọn B Có

a

a

2

2

0

2 4

S ax dx a .x a ka k

3 3

     

Bài tập 7: Cho hình cong giới hạn đường y e , y 0, x 0 x   x ln 4 Đường thẳng x k

với k ln 4  chia thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S12S2

A. k 2ln  B k ln 2 C. k ln8  D. k ln 3

Hướng dẫn giải Chọn D

Do

ln ln ln

x x x

1

0

0

2 2

S 2S S S e dx e dx e

3 3

        

Do đó: k

x k k

1

S e dx e   1 e   3 k ln

Dạng 2: Tính diện tích giới hạn hai đồ thị 1 Phương pháp:

Cơng thức tính b| ( ) ( ) |

a

S f x g x dx Tính dạng 2 Một số tập mẫu

Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị

2

1

; ; ;

cos sin

y y x x

x x

 

   

Lời giải

Ta có: /3 2 2

/6

1

cos sin

S dx

x x

 

 

Trong trường hợp chọn cách xét dấu biểu thức 1 ; ;

2 6 3

cos sin

y x

x x

 

 

    

 

hoặc vẽ đồ thị hàm số 1 ; ;

2 6 3

cos sin

y x

x x

 

 

    

 là khó khăn Vì ta chọn cách sau:

+ Xét phương trình: 12 12

cos xsin x 0; x 3;

 

 

cos 2x

  ; ;

6

x  

  x



 

Từ suy ra: /4 2 2 /3 2 2

6 4/4

1 1

|

cos sin cos sin

S dx dx

x x x x

     

       

   

 

4

/ 4

| (tan cot ) | | | (tan cot ) | 2

/

S x x  x x 

 

 

        

 

Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 21 ;

1 x y y x    Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị trên:

2

1

x

x  

4 2 0 1

1

x

x x x

x             

Vì hình phẳng cho có diện tích là: 2 1 x S dx x      Do ( 1;1) phương trình 21

1

x

x   vô nghiệm nên ta có:

1 1

2 2

1

2 2

1

1 1

1 1

d d d

1 2

x x x

S dx x x x

x x x

                      

Tính I1

1 1 1dx x   

+/ Đặt xtant; ; 2

t    

 

1 cos

dx dt

t

 

+/ Đổi cận:

1 4 x t x t                /4 /4

1 /4 /4

1

cos d

1 tan

t

I dt t

t              

I 

1 x dx   

Thay vào ta được: S

2

 

2



 

Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thịy x24x 3 y 3 Hướng dẫn giải

2 4 3

x  x 3 22 3

4

4 3

x

x x

x

x x



    

  

    



Khi đó: S 4 

0

0 x 4x 3 | |dx| x 4x 3 | dx| ‖

  3  4 

1 2

0 3 1 3 3 3

S x x dx x x dx x x dx

            

  3  4 

1 2

0 4 |

S x x dx x x dx x x dx

        

3

1

3 3

2 2

0 1

2

3 3

x x x

S S  x   x x  x 

             

     

Bài tập 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: ysin | |x ; y| |x - Hướng dẫn giải

Xét phương trình hồnh độ: sin | | | |x  x   Đặt | |x t

Khi trở thành: sint t  sint t  

Xét hàm số ( )f t  sint t  ; t[0, )

( ) cost [0, )

f t t

      

BBT hàm số ( )f t sau:

 phương trình có nghiệm t  

 phương trình có nghiệm phân biệt: x   x

 S  |sin | | | |x x |dx  (sin | | | |x x )dx

   

 

      

3 Bài tập

Bài tập 1: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P : y  x2 3x 3 đường thẳng  d : y 2x 1  là:

A.

3 B.

13

3 C.

19

6 D 11

Xét phương trình x2 3x 2x 1 x2 x 0 x x

  

           

 

Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P : y  x2 3x 3 đường thẳng  d : y 2x 1 

     

2

2 2

2

1 1

x x 13

S x 3x 2x dx x x dx 2x

2 3

 

 

             

 

 

Vậy S 13 

Bài tập 2: Parabol chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính thành phần Tỉ số diện tích chúng thuộc khoảng nào:

A B C D 0,7;0,8

Hướng dẫn giải Chọn A

Phương trình đường trịn: x2y2  8 x2  8 y2

Thế vào phương trình parabol, ta y y2 y2 2y 0



    

 

y

x x

y l

 

       



Diện tích phần tạo phần đường trịn phía với Parabol là:

2 2 2

2

1

2 2

x x

S x dx x dx dx I I

2

  

 

         

 

   ;

2

2

2

x x

I dx

2

2



  

 

Tính

2

2

1

2

I x dx x dx



     

Đặt x 2 sin t dx 2 cos tdt; x 0    ; x 2t t    

4 4

2

0 0

cos 2t

I 2 cos t2 cos tdt 16 cos tdt 16 dt 2

  



        

2

x

y 2

1

8

S I I 2

3         

Diện tích hình trịn:

2

4

S R S S S

3

 

              

 

 

1

4

S 3 0, 435 0, 4;0,5

4

S 6

3  

  

 



Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2 x

y

4

  đồ thị hàm số

x y

4 

A. 2 4 B.

3

  C.

3

  D.

3 Hướng dẫn giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm:  

2

2

x 16 l

x x

4 x 2

4 x

  

     



 Khi

2 2

2

x x

S

4



      

Bài tập 4: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường my x 2, mxy2 (với m0)

Tìm giá trị m để S3

A. m1 B. m2 C. m3 D. m4

Hướng dẫn giải Chọn C

Vì m0 nên từ my x 2 ta suy

0

x y

m

  ;

Từ mxy2 nên x0 y mx

Xét phương trình

4 x

x mx x m x

x m m

 

    

  Khi diện tích hình phẳng cần tìm là:

2

0

m m

x x

S mx dx mx dx

m m

 

     

 

 

3

2

0

2 1

3 3

m

m x

x x m m

m

 

     

Yêu cầu toán 3 3 9 3

S   m  m  m (vì m0)

Bài tập 5: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm y x 2

1

x y

x





ln

S a b  với a, b số hữu tỷ Giá trị a b A

3

 B.2 C

3

 D.1

Hướng dẫn giải Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm  C1 :

y x  C2 :

1

x y

x





 

2

0

2 1 2 0 1

1

2

x x

x x x x x x

x

x

  

        



  

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

0

2

1

1

2 2 2 2 ln 1 2 ln 2

1 3

x x

S x dx x dx x x

x x 

 

 

   

               

 

     

 

Suy

a b 2

Vậy

3

Bài tập 6: Cho  H hình phẳng giới hạn parabol y 3x2, cung trịn có phương trình y 4x2 (với 0 x 2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích  H

A.

12

 

B.

6

 

C. 3

6

  

D.

3





Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm parabol y 3x2 cung tròn y 4x2 (với 0 x 2 ) lả 4x2  3x2 4 x23x4  x 1

Diện tích  H

1

2

0

0

3

3

3

S  x dx x dx x  I I với

2

4

I  x dx

Đặt x2sint, ; 2cos

2

t   dx t dt

 

Đổi cận

6

x  t  ,

2

x  t 

   

2 2

2

6

6 6

4 4sin 2cos 4cos cos sin

I t t dt t dt t dt x t



  



  

      

2

3



 

Vậy 3

3 3

Bài tập 7: Hình phẳng  H giới hạn đồ thị  C hàm đa thức bậc ba parabol  P

có trục đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích

A. 37

12 B.

7

12 C

11

12 D.

5 12

Hướng dẫn giải Chọn A

Vì đồ thị hàm bậc ba đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung điểm có tung độ

y y nên ta xét hai hàm số y ax 3bx2 cx 2, y mx 2nx (với a, m0) Suy  C : y f x ax3bx2 cx 2  P : y g x  mx2nx

Phương trình hồnh độ giao điểm  C  P là:

   

3 2 2 0

ax bx cx mx nx ax bx cx  mx nx 

Đặt P x ax3bx2cx2  mx2nx.

Theo giả thiết,  C  P cắt điểm có hồnh độ x 1, x1, x2

nên P x a x 1x1x2 Ta có P 0 2a

Mặt khác, ta có P 0  f   0 g   2 a Vậy diện tích phần tô đậm    

2

37

1

12

S x x x dx



    

Dạng 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay dựa vào định nghĩa 1 Phương pháp:

Giả sử ( )S x hàm số liên tục đoạn  a b,

2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x0 x2 Cắt phần vật thể B mặt phẳng vng góc trục Ox điểm có hồnh độ x0 x 2, ta diện tích tam giác có độ dài cạnh x 2x Tính thể tích V phần vật thể B

Lời giải Một tam giác cạnh a có diện tích

4

a

S  

Do tam giác cạnh x 2x có diện tích  

2 2 3

( )

4

x x

S x   

Suy thể tích    

2

2 2

2

0 0

2 3

( )

4 4 3

Ca sio

x x

SS x dx  dx x x dx   

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz , cho vật thể nằm hai mặt phẳng x0 x , biết 

thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ

 

,

x  x  tam giác cạnh sinx.Tính thể tích vật thể Lời giải

Một tam giác cạnh a có diện tích

a S 

Do tam giác cạnh sinx có diện tích   4sin 3 sin

x

S x   x

Suy thể tích  

2

0

d sin d

V S x x x x 

Lời giải * Thể tích khối trụ 2  3

1  5

V R h   m

* Tính thể tích phần khối trụ bị

+ Cách 1: 2 2

viên ph R

d ân

S R x dx

1 2

2 0,61

  x dx

2

1

3, 07

 viên phân     

V S h x dx

Suy thể tích khối trụ cịn lại  

1

2

1

1

5 12,637

       

V V V  x dx m

+ Cách 2: Tính góc tâm cos  2

OH R 

2

 

3   

 

2

1 2

sin sin 0, 614

2 3

 

     

 

viên phân

S R    

2

1 2

sin

2 3

 

    

 

viên phân

V S h  

2

2

x y

d

y= R2-x2

d

O R

2

2

x y

B A

H

 3

1 2

5 sin 12,637

2 3

 

       

 

V V V    m

Bài tập 4: Bạn A có cốc thủy tinh hình trụ, đường kính lòng đáy cốc chiều cao lòng cốc đựng lượng nước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với đường kính đáy Tính thể tích lượng nước cốc

Lời giải

Phân tích: Thể tích nước có hình dạng “cái nêm”; có phương pháp tính thể tích

+ Cách – Chứng minh công thức PP tích phân: Xét thiết diện cắt cốc thuỷ tinh vị trí bất kỳ; ta có diện tích thiết diện

; thể tích

Cách 2:

Gọi S diện tích thiết diện mặt phẳng có phương vng góc với trục Ox với khối nước, mặt phẳng cắt trục Ox điểm có hồnh độ Ta có:

, thiết diện nửa hình trịn bán kính

Thể tích lượng nước chứa bình Bài giải

+ Cách 1: Áp dụng cơng thức tính thể tích nêm biết góc mặt cắt mặt đáy

với ta

6cm, 10 cm

x

  R x R

  1. 2. 2.tan  1 2tan

2

    

S x R x R x  R x 

 d 1tan  2d 3tan

2

 

 R  R  

R R

V S x x  R x x R 

0  

h x

( )

 

  

r h x h x R

r

R h h r

2 2

2

1 ( )

( )

2



S x  r  h x R

h  



2

2

.tan

3

 

V R h R  tan  h

R

 3. 2.3 10 602  3

3

 h  

V R cm

+ Cách 2: Tính trực tiếp tốn PP tích phân ; thể tích

Bài tập 5: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy 14 Tính thể tích

Lời giải

Tính số đo: ; suy bán kính khối trụ

 Cách 1: Thể tích khối thể tích “khối trụ trung bình”:

 Cách 2: Áp dụng cơng thức tính thể tích “cái nêm”: Lấy mặt phẳng vng góc với đường sinh hình trụ qua điểm , chia khối thành hai khối:

+ Khối 1: khối trụ chiều cao , bán kính r4 nên thể tích

+ Khối 2: phân nửa khối trụ có chiều cao bán kính nên thể tích

+ Vậy

2 2

2

1 ( )

( )

2



S x  r  h x R

h  

10

2

0

9

( ) (10 ) 60 ( )

200

h    

V S x dx  x dx  cm

0 ( ) h

V S x dx

8 10 14 



 



   



AB AE DE

2 8

AD AE DE 

4  AD 

R

  .4 11 1762  

2 

 

   

H

AB CE

V R   đvtt

 P

A  H

8 

h

1 128

V r h 

6 

DE r 4

2

2

1. . 1 .4 48

2

  

V r AD  

 H  1 2128 48 176  

3 Bài tập

Câu 1: Cho  T vật thể nằm hai mặt phẳng x0, x1 Tính thể tích V  T biết cắt  T mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ,

0 x 1, ta thiết diện tam giác có cạnh 1x A

2

V   B 3

8

V   C 3

8

V  D

2

V   Lời giải

Chọn C

Ta có diện tích tam giác cạnh 1 x    

1

4

x

S x   1 

4

x



 

Thể tích vật thể  T  

1

d

V S x x  

0

d

x x



  21

0

1

8 x

  3

8  

Câu 2: Cho vật thể  T giới hạn hai mặt phẳng x0;x2 Cắt vật thể  T mặt phẳng vng góc với trục Ox x0 x 2 ta thu thiết diện hình vng có cạnh x1ex Thể tích vật thể  T bằng

A  

4

13

4

e

 

. B

4

13

4

e 

C. 2e2. D. 2 e2

Lời giải Chọn B

Diện tích thiết diện S x   x12e2x

Thể tích vật thể  T    

2

2

0

1 x

V S x dx x e dx

 2 2 2  2 2

0 0

1 1

1

2 2

x x e x x x

V  x e  x e dx    e  e dx

 

 

2

4 4

2 4

0

9 1 1 13

3

2 4 4

x

e e e

e e e

  

      

Dạng 4: Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị 1 Phương pháp:

Vật thể trịn xoay sinh miền hình phẳng giới hạn: Đồ thị ; trục ; ; quay xung quanh

- Nếu thiếu cận giải phương trình để bổ sung cận

- Tính thể tích theo cơng thức:

( )

y f x Ox y( 0)

,

x a x b  Ox

( )

f x = 2( )

b

Ox a

2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Kí hiệu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hồnh Tính thể

tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục

Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm

Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm

Bài tập 2: Cho miền hình phẳng giới hạn bởi: quay xung quanh Tính thể tích vật thể tạo thành

Lời giải

Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số: trục

Vậy vật thể tròn xoay tích là:

Bài tập 3: Cho miền hình phẳng giới hạn bởi: ; quay xung quanh tính thể tích vật thể tạo thành

Lời giải

Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số: đường thẳng nghiệm phương

trình: Vật thể tạo thành tích là:

Bài tập 4: Gọi thể tích khối trịn xoay tạo thành quanh hình phẳng giới hạn đường

trục Ox Đường thẳng cắt đồ thị hàm số M

 H y2x x

V Ox

2

2

2

x x x

x

 

   

 

 

2

2

16

2 d

15

V  x x x 

, Ox

x

y xe x Ox

x

y xe Ox xex 0  x 0

   

1 2 2

0

x x

V  xe dx x e dx

1 2

1

2 2

0

0

2

x x e x

V  x e  xe dx   xe dx

      

   

 

2 1 1 1

2 2

0 0

1

1

2 2 4

x x x e

e

V   x e e dx  e  

      

  

2 4 , 0

y x  x y Ox

2 4

y x  x y0

2 4 0

x  x

4

x x

 

  



   

4 2 4 3 2

0 16

V  x  x dx x  x  x dx

4

5

4

0

16 512

2

5 15

x x

x 

 

     

 

V

; 0;

Gọi thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác quanh trục Biết V2V1

Tính

Lời giải

Ta có

Tam giác MOH quanh trục tạo nên hai khối nón chung đáy Gọi hình chiếu vng góc

trục Suy

Suy

Bài tập 5: Cho hình phẳng giới hạn độ thị hàm số ; trục đường thẳng Tính thể tích khối trịn xoay thu quay quanh hình xung quanh trục

Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm Theo tốn thể tích vật thể trịn xoay cần tìm

1

V MOH Ox

a

 

4 2

1

0

d d

2

V

V  x xx x  V   

Ox N

M Ox r MN  yM  y a  a

 2

1

1 . 1.4

3 3

a

V OH r  a 

   

4

4

3

a a 

   

 H 2

4

x y

x



 Ox

1

x  H Ox

2 0

4

x

x

x   



1

2

0

4

ln ln ln

4 2

x a

V dx x

x b

  



     

Do 3 Bài tập

Câu 1: Cho hình phẳng  H giới hạn đường y x 23, 0, 0, 2y x x Gọi V thể

tích khối trịn xoay tạo thành quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng?

A.  

2

2

3 d

V  x  x B.  

2

3 d

V  x  x

C.  

2

2

3 d

V  x  x D.  

2

3 d

V  x  x

Lời giải

Thể tích vật thể tạo nên  

2

3 d

V  x  x

Câu 2: Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay xung quanh trục hồnh elip có phương trình 2

25 16

x  y  V có giá trị gần với giá trị sau đây?

A. 550 B. 400 C. 670 D. 335

Lời giải Chọn D

Quay elip cho xung quanh trục hồnh quay hình phẳng:

4 , 0, 5,

25

x

H y  y x  x 

 

 

Vậy thể tích khối trịn xoay sinh H quay xung quanh trục hoành là:

2

5

5

16 16 320

16 16 335,1

5

25 75

x x

V  dx  x 



   

         

   

 

4,

Câu 3: Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường cong y m2x2 ( m tham số khác 0 ) trục hoành Khi ( )H quay xung quanh trục hoành khối trịn xoay tích V Có giá trị nguyên m để V1000

A.18 B.20 C.19 D.21

Lời giải Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong trục hoành là:

2 0

m x    x m

Thể tích vật thể trịn xoay cần tính là:

2

2 2

( ) ( ) |

3

m m

m m

m m

V  m x dx  m x x 

 

     

Ta có: V1000 1000

m m 



 

750

m

   3750 m 3750

Ta có 3750 9, 08 m0 Vậy có 18 giá trị nguyên m

Câu : Cho hình phẳng D giới hạn đường cong  



x y

x , trục hoành trục tung Khối

tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V (a b ln 2) với ,a b

các số nguyên Tính T  a b

A.T 3 B.T 6 C T10 D T  1

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

2

3 3

2

0 0

3

3 16

1

1 1 ( 1)

16

8 ln( 1) (15 16 ln 2) 15; b 16

1

  

 

 



   

           

   

     

 

           



 

 x  

V dx dx dx

x x x x

x x a

x

Vậy T    a b

A

2

2



B.

2

 . C. 2 . D. 22.

Lời giải

Thể tích khối trịn xoay nhận quay hình  H quanh trục Ox

 2

0

1 c

s d d sin

0

2

os in

2

V x x x x x x

    

    

       

 

 

Câu 5: Vật thể parabolide tròn xoay hình vẽ bên có đáy có diện tích B3 chiều cao

4

h Thể tích vật thể

A

V   B. V 6 C

4

V   D. V8

Lời giải

Đường cong parabol có dạng: y ax 2 qua điểm có tọa độ R h;  nên ta có:

2

h

y x

R



R y x

h

  

R

h y

x O

Thể tích khối trịn xoay là: 2 0

1

d

2

h

h

R R

V y y y

h h

 

  

2R h



Áp dụng cơng thức ta có: 2

V  R h 1.3.4

2Bh

  6

Câu 6: Cho hàm số y f x ax3bx2 cx d a b c d, , , , ,a0 có đồ thị  C Biết đồ thị  C tiếp xúc với đường thẳng y điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số

 

'

y f x cho hình vẽ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng H giới hạn đồ thị  C trục hoành quay xung quanh trục Ox

A. 725

35 . B.

1

35. C. 6. D.Chọn khác

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số y f x'  f x' 3x2 1 Khi f x  f x dx x'   33x C



Điều kiện đồ thị hàm số f x  tiếp xúc với đường thẳng y là:

 

   

3

3

4

2

3

'

x x C

f x x

C x

f x

   



   

  

   

 

 

 

 

suy f x x33x22 C + C Ox hoành độ giao điểm x 2;x

+Khi  

1

2

3

2

729

3

35

V  x x dx 



    

Nếu hình phẳng giới hạn đường thể tích khối trịn xoay sinh quay quanh trục Ox tính cơng thức:

2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Cho hình phẳng giới hạn đường quay xung quanh trục Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

A

3

1

3

b V

a

  

   

  B.

C D

Hướng dẫn giải Chọn D

Tọa độ giao điểm hai đường điểm Vậy thể

tích khối trịn xoay cần tính là:

Bài tập 2: Cho hình phẳng giới hạn đường quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

D y f x y g x x a x b ,   ,  , 

D b 2  2 

a

V  f x g x dx

 

2

, , ,

y a x y bx a b  

Ox

5



 b

V

a

5



 b

V

a

5

1

3

b V

a

  

   

 

2

y a x y b x O(0; 0)

2

;

b b A

a a

 

 

 

5

2 2

3

0

1

b b

a a b

V b x dx a x dx

a

 

        

 

 

2

4 ,

3

  

A . B

C D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Tọa độ giao điểm hai đường điểm Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là:

Bài tập 3: Cho hình phẳng giới hạn đường quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng:

A B C . D .

Hướng dẫn giải Chọn D

Với

Tọa độ giao điểm đường với điểm Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là:

Bài tập 4: Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường elip quay quanh Ox bằng:

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn D

24 V

5 

 V 28

5   28

V 

 V 24

5  

2

y x

3

y x A 3;1 B 3;1

 

3

2

3

1 28

4

9

V x dx x dx

 

        

2

2 ,

 

y x y x

88

V  

70

V  

3

V  

5

V  

    0;2

x y2 4x  y 4x

2 

y x y2  4x O(0; 0) A(1;2)

1

4

0

6

.4

5

V   xdx  x dx 

2 9 9

x  y 

Ta có:

Bài tập 5: Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường quanh trục Ox bằng:

A B.

C D

Hướng dẫn giải Chọn D

Xét phương trình

Và

3 Bài tập

Câu 1: Quay hình phẳng hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là:

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Xét hệ phương trình:

2 4 3

3

1

x y x

x

y y

    

    

 

 

 



Do đối xứng qua Oy nên:

3

2

2 2

3

9

9

9

x x

x y y V  y dx  dx 

 

 

         

,

y x yx

 

1

x x dx

  1 

0

x x dx

 

 

1

x x dx

  1 

0

x x dx

 

2

0

0;

x

x x x x

x x

 

     



  1 2 1 2

0

0;1 ( )

x   x x  V  x x dx x x dx

4

Câu 2: Quay hình phẳng hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích:

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn B

Xét hệ phương trình:

Do đối xứng qua Oy nên

Câu 3: Quay hình phẳng hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là:

A B C

2

3

V  

D

   

3 3

2 2

0

3

2 3

3

x

V    x  dx  x dx  x   

 

 

46

V  46

15

V  23

9

V  V13

2 4

1

x y

x

y x

  

   

  

     

3 2

2

0

2 4

V    x  x dx  x  x dx

 

 

5 3 3 46

3 15

x x

x 

 

     

 

2

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

Ta có:

Đặt ;

Câu 4: Cho hình giới hạn đường cong tiếp tuyến điểm trục Thể tích khối trịn xoay quay quanh trục bằng:

A. B. C. D

Lời giải Chọn D

Ta có

Phương trình tiếp tuyến

Diện tích bằng:

Câu 5: Cho hình phẳng giới hạn đường Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay xung quanh trục bằng:

A B C D.

Lời giải Chọn D

 2  2

2

2

1

1 1

1

y x

x y y x

y x

    

       

    

   

1 2 2

2 2

0

2 1 1

V     x   x dx  x dx

 

 

sin

x t ;

2

t  

   

  

 

 

2

2

0

sin

8 cos cos 2

2 0

t

V tsdt t dt t

  

    

        

 

 

 H  C y e:  x,  C

 1;

M e Oy  H Ox

-1

1

x y

O

2

e 1

3

e  1

2

e  3

6

e 

x y e

 C M 1;e y e x     1 e y ex

 H  

1 2

2 2

0

1

d

2

x x e e

V  e e x x e  x   

 



 H y x 24,y2x4,x0,x2

 H Ox

32 

 6  6 32

Suy thể tích cần tìm

Dạng 6: Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn nhiều đồ thị 1 Phương pháp:

2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Gọi thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường , quanh trục Đường thẳng cắt đồ thị hàm

Gọi thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác quanh trục Biết Khi

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có Khi

Ta có

Khi quay tam giác quanh trục tạo thành hai hình nón có chung đáy: Hình nón có đỉnh , chiều cao , bán kính đáy ;

Hình nón thứ có đỉnh , chiều cao , bán kính đáy Khi

Theo đề

Bài tập 2: Cho hình thang cong giới hạn đường Đường thẳng x = k chia thành hai hình phẳng S1 S2 hình vẽ bên Quay quanh trục Ox

được khối trịn xoay tích Với giá trị k

A B. C

1 11 ln

2

k

D

   

2

2

2

0

32

4 d d

5

V  x  x x x 

V

y x y0 x4 Ox x a 0 a 4 y x

M

1

V OMH Ox V 2V1

2

a a2

2

a a3

0

  

x x

4

d

V x x   ; 

M a a

OMH Ox

 N1 O h1 OK a RMK  a

 N2 H h2 HK  4 a RMK  a

2

1

1

3 3 3

  

V R h R h a

1

4

2

3

 

    

V V a a

, 0, 0, ln

x

y e y  x x

0 k ln 4 S S1, 2

1,

V V V12V2

1 32

ln

2

k 1ln11

2

k ln32

3

k

x y

O

a M

H

4

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

Theo giả thiết:

2

2

1

1

2 11 ln11

2 2

k k

k

e e

V  V      e   k

 

Bài tập 3: Cho hình phẳng D giới hạn đường y24x đường thẳng x4 Thể tích

khối tròn xoay sinh D xoay quanh trục Ox là:

A. 32. B. 64.

C.16. D. 4

Hướng dẫn giải : Chọn A

Giao điểm hai đường y24x x4 D4; 4 và E 4; 4 Phần phía Ox đường 24

y x có phương trình y2 x Từ hình vẽ suy thể tích khối trịn xoay cần tính là:  

4 2

0

2 32

V   x dx 

Bài tập 4: Cho hình phẳng giới hạn đường y3 ,x y x x , 0, x1 quay xung quanh trục

Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

 2 2 ln 4 2 2

1

0

ln

;

0

2 2 2

k x k x k

x x

k k

e e e e

V e dx V e dx

k

  

      

           

   

A. V



 B. V

3 

 C. V

3 

 D. V 

Hướng dẫn giải Chọn A

Tọa độ giao điểm đường x1 với y x y3x điểm C 1;1 B 3;1 Tọa độ giao điểm đường y3x với y x O 0;0 Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là:

1

2

0

8

.9

3

V   x dx  x dx 

Bài tập 5: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng giới hạn đường  P y x:  2; P' : y ; x2  d :y4 Thể tích khối trịn xoay quay quanh trục Ox bằng: A.

5



B.

5



C.

5



D. 2

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt V thể tích cần tìm

Xét phương trình hồnh độ giao điểm và: 4

2

x x

x

 

    

Xét phương trình hồnh độ giao điểm và: 4 4

1

x x

x

 

    



OAC

V thể tích khối tròn xoay sinh quay:

2

y x y

Oy

     

quanh Ox

OAB

V thể tích khối trịn xoay sinh quay:

2

4

y x

y Oy

     

quanh Ox

Lúc đó:        

2 2

2

2 2

0 0

4 4 4 16

OAC OAB

V V V    x dx   x dx x dx  x dx

   

   

5 2 1 32 16 4

4 16

0

5 5 5

x x

x x 

     

             

 

3 Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1: Cho  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số P : y x y, 0,y  x

Thể tích khối trịn xoay thu quay hình  H xung quanh trục Ox là:

A.

3 



B.

6 C.

8

6 



D.

6 Lời giải

Chọn D

2

0 2

2

(2 )

x x

x x x

x x x x

   

 

     

    

 

 

1 2

2

0

5 (2 )

6

V  x dx x dx 

Câu 2: Cho hình  H giới hạn đường y x 1; y x

 ; x Quay hình  H quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là:

A 13

6 

B 125

6 

C 35

3 

D 18

Lời giải Chọn C

Phương trình hồnh độ giao điểm:  

 

2

6

1 0

3

x

x x x x

x l

x

 

        

  

x y

Vì x

x   với x 1;2 nên thể tích cần tính

 

2

2 2

1

6 d 1 d 35

3

V x x x

x



   

     

 

 

Câu 3: Gọi  H hình phẳng giới hạn đường: y3 ;x y x x ; 1 Quay  H xung

quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là: A 8

3 

B 8

3

 . C. 82. D. 8.

Lời giải Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm: 3x x  x 3x x 0 với x 0;1 Thể tích cần tính 1 2

0

8

3 d d

3

V  x x x x 

Câu 4: Cho hình phẳng  H giới hạn đường yx y2, 2x Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H xung quanh trục Ox bằng:

A 16

15 

B 21

15 

C 32

15 

D 64

15 

Lời giải

Chọn D

Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số yx2 y2x nghiệm phương trình

2 2

2

x

x x

x

 

  

 

Thể tích khối trịn xoay tạo thành

   

2

2

2 2

0

π d π d

V   x x  x x

2

2 5

3

0 0

4 64π

π π

3 15

x

x  

 

      

   

Câu 5: Cho hình phẳng giới hạn đường 2,

y x y x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

A 28

5

V   B 28

5

V   C 24

5

V   D 24

5

V  

Lời giải Chọn B

Giải phương trình 2 3

x x x

Thể tích cần tìm  

2

3

2

3

28

4 d d

3

x

V  x x  x 

 

 

     

 

 

Dạng 7: Một số tốn thực tế ứng dụng tích phân

1 Phương pháp giải

*Một vật chuyển động có phương trình vận tốc khoảng thời gian từ đến

di chuyển quãng đường là:

Ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần với

vận tốc Quãng đường

mà vật chuyển động từ thời điểm đến thời điểm mà vật dừng lại

A.1028m. B.1280m. C.1308m. D.1380m.

Hướng dẫn giải

Khi vật dừng lại

Do

Chọn B

*Một vật chuyển động có phương trình gia tốc vận tốc vật sau khoảng thời gian là:

Ví dụ 2: Một ô tô chuyển động với vận tốc , có gia tốc

Vận tốc tơ sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị)

A.4,6 m/s. B.7,2 m/s. C.1,5 m/s. D.2,2 m/s.

Hướng dẫn giải

Vận tốc ô tô sau 10 giây

 

v t t a

 

t b a b 

 

b

a S v t dt

  160 10  / 

v t   t m s

 

0

t s

  160 10 16

v t   t  t

   

16 16

0

160 10

S v t dt  t dt

 216  

0

160t 5t 1280 m

  

 

a t

 t t1;  

2

1

t

t

va t dt

 

v t m s/ 

     / 2.

a t v t m s

t



 



 

10 10

0

3 3

ln ln 21 4, /

2 2

v dt t m s

t

    

Chọn A

*Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến là:

2 Bài tập

Bài tập 1: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s tăng tốc với gia tốc Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

A. B 4300 m. C.430 m. D.

Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm vận tốc

Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc

Ta

Sau 10 giây, quãng đường vật

Bài tập 2: Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua đoạn mạch LC có biểu thức cường độ Biết với q điện tích tức thời tụ điện Tính từ lúc , điện lượng

chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến

A. B 0. C. D

Hướng dẫn giải

1

t t2

 

2

1

t

t QI t dt

  3

a t  t t

4300 . m

430 . m

    3 2 3 .

2

t t

v t a t dt t t dt   C

 0 10 10

v C

   

  3 10

2

t t

v t   

 

10 3 10

0

3 4300

10 10

2 12

t t t t

S    dt   t  m

   



   

v t a t dt

  0cos 2

i t I t 

  i q t0

 

0 2I . 



2I .

 02

Chọn C

Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến

Bài tập 3: Gọi là mức nước bồn chứa sau bơm t giây Biết

lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (chính xác đến 0,01cm)

A.2,67 cm. B.2,66 cm. C.2,65 cm. D.2,68 cm.

Hướng dẫn giải Chọn B

Mức nước bồn sau bơm nước giây

Bài tập 3: Một viên đá bắn thẳng đứng lên với vận tốc ban đầu 40 m/s từ điểm cao

5 m cách mặt đất Vận tốc viên đá sau t giây cho công thức v t 40 10 t m/s Tính độ cao lớn viên đá lên tới so với mặt đất

A.85 m B. 80m C. 90 m D. 75 m

Lời giải Chọn A

Gọi h quãng đường lên cao viên đá

  '     dt 40 10 dt 40 5

v t h t h t  v t   t  t t c

Tại thời điểm t0 h5 Suy c5 Vậy h t 40t5t25

 

h t lớn v t  0 40 10 t  0 t Khi h 4 85m

Bài tập 4: Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s người lái đạp phanh cịn gọi “thắng” Sau đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v t  40t20 t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng bao nhiêu?

 

  0

0

0

0

2

cos sin

2

I I

Q I t dt I t dt t

 



 



 

 

 

   

         

   

 

   

Q t I t dt

  

h t cm

  13 8

h t  t

     

6 6

3

0

0

1

8 8 2,66

5 20

h t dt  t dt t t   cm

 

A 2m B 3m C 4m D 5m Lời giải

Chọn D

Lấy mốc thời gian lúc ô tô bắt đầu đạp phanh t0

Gọi T thời điểm ô tô dừng lại Khi vận tốc lúc dừng v T 0

Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng   40 20

v T    T    T

Gọi s t  quãng đường ô tô khoảng thời gian T Ta có v t s t  suy s t  nguyên hàm v t 

Vậy 1 s

2 ô tô quãng đường là:      

1

2

0

d 40 20 d 20 20

T

t

v t t   t t  t  t 

 

Bài tập 5: Một ô tô xuất phát từ A chuyển dộng với vận tốc nhanh dần đều, 10 giây sau, ô tô đạt vận tốc từ thời điểm tơ chuyển động Ơ tơ thứ hai xuất phát từ A sau ô tô thứ 10 giây, chuyển động nhanh dần đuổi kịp ô tô thứ sau 25 giây Vận tốc tơ thứ hai thời điểm

A 12 B 8 C 10 D 7

Lời giải Chọn A

Ta có gia tốc 10s đầu ô tô thứ  2

5 0,5 m/s

10

v v a

t t



  



Trong 10s đầu, ô tô thứ chuyển động nhanh dần với vận tốc v t 0,5t

 Quãng đường ô tô thứ 10s   10

0

0,5 dtt 25 m



Trong 25s tiếp theo, ô tô thứ 5.25 125

Vậy quãng đường ô tô thứ đến bị đuổi kịp 25 125 150 m   

Mặt khác

0

S S  at

 Gia tốc ô tô thứ hai  0  2

2

2 2.150

0, 48 m/s 25

S S a

t



  

Vậy đuổi kịp ô tô thứ nhất, vận tốc ô tô thứ hai vt v0at 12

 2 70 m/s

a  Tính quãng đường S m ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn

A. S 95, 70 m  B. S87,50 m  C S 94,00 m  D.  

96, 25 m

S

Lời giải Chọn D

Quãng đường ô tô từ lúc xe lăn bánh đến phanh

   

5

1

0 0

dt dt 87,5 m

t

S v t  t  

Vận tốc v t2  m/s ô tô từ lúc phanh đến dừng hẳn thỏa mãn

   

2 70 dt 70

v t     t C , v2 5 v1 5 35 C 385 Vậy v t2  70t385 Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với t thỏa mãn v t2   0 t 5,5 s 

Quãng đường ô tô từ lúc xe phanh đến dừng hẳn

     

5,5 5,5

2

5

dt 70 385 dt 8,75 m

S  v t    t 

Quãng đường cần tính S S1S2 96, 25 m 

Bài tập 7: Một vật di chuyển với gia tốc a t  20 2  t2m s/ 2 Khi t0 vận tốc vật

là 30m s/  Tính qng đường vật di chuyển sau giây

A. S46m B. S47m C. S48m D. S49m Lời giải :

Chọn C

Vận tốc vật :v t a t dt    20 2  t2dt10 2  t1C Khi t0    

0 10 30 20

v    C C

Nên v t 10 2  t120m s/ 

Suy :      

2

1

10 20 48

S   t   dt m

Bài tập 8: Vật chuyển động với vận tốc ban đầu /m s có gia tốc xác định công thức

 2

2 /

a m s

t



 Vận tốc vật sau 10s

A 10 /m s B /m s C 11 /m s D 12 /m s

Chọn A

Ta có   2ln 1

v t dt t c

t

   

 

Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức : v 0  5 2ln 1      c c Nên v t 2lnt 1

Vận tốc vật sau 10s : v 10 2ln 11  5 9,8

Chọn Chọn A

Bài tập 9: Trong thực hành mơn Vật Lí Một nhóm sinh viên nghiên cứu chuyển động hạt Trong trình thực hành nhóm sinh viên phát hạt prôton di chuyển điện trường với biểu thức gia tốc là:a 20 2  t2.Với t ta tính giây Nhóm sinh viên tìm hàm vận tốc v theo t , biết t thì0 v30 /m s2 Hỏi biểu thức là?

A 10 25 /

1

v cm s

t

 

  



  B

2 10

20 /

v cm s

t

 

  



 

C 10 10 /

1

v cm s

t

 

  



  D

2 10

20 /

v cm s

t

 

  



 

Hướng dẫn giải : Chọn D

Trước hết để giải toán ta ý Biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là:va dt

Áp dụng công thức trên, ta có :

 2

20

v adt dt

t



 



 

Đến ta đặt :

1 2

2

du u  t du dtdt

2

10 10 10

10

1

v du u du K K

u u t





      



 

Với t0,v30K 20

Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian : 10 20 / 2

v cm s

t

 

  



 

Bài tập 10: Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm cách sau Họ tiến hành quan sát tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s Hỏi biểu thức vận tốc tia lửa điện là?

Chọn A

Tia lửa chịu tác động trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc  2 9,8 /

a  m s

Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a :

9,8 9,8

vadt  dt  t C

Ở đây, với : t0,v15 /m s C 15

Vậy ta biểu thức vận tốc có dạng : v 9,8t 15

Bài tập 11: Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm cách sau Họ tiến hành quan sát tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s Hỏi sau 2, giây tia lửa điện có chiều cao bao nhiêu?

A. 6.235 m  B. 5.635 m  C. 4.235 m  D. 6.875 m 

Hướng dẫn giải Chọn D

Tia lửa chịu tác động trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a 9,8m s/ 2 Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a :

9,8 9,8

vadt  dt  t C

Ở đây, với t0,v15 /m s C 15 Vậy ta biểu thức vận tốc có dạng:

9,8 15

v  t

Lấy tích phân biểu thức vận tốc, ta có bểu thức quãng đường:

 9,8 15 4,9 t 152

svdt  t dt   t K

Theo đề bài, ta t    0 s K 

Vậy biểu thức tọa độ quảng đường : s 4,9t215 t

Khi t2,5 s , ta s6,875 m

Dạng 8: Bài toán thực tế

1 Phương pháp: Vận dụng kiến thức tích phân tốn ứng dụng. 2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Tính thể tích hình xuyến tạo thành quay hình trịn  C :x2y22  quanh trục Ox1

Hình trịn  C có tâm I 0; , bán kính R1 x2y221

Ta có    

2

2

2

2

1 1

2

    

      

    

y x

y x x

y x

Thể tích cần tính:

   

1 2 2

2 2

1

2

 



 

        

 



V x x dx

Bài tập 2: Thành phố định xây cầu bắc ngang sông dài 500m, biết người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách 40m,biết bên đầu cầu mối nhịp nối người ta xây chân trụ rộng 5m Bề dày nhịp cầu không đổi 20cm Biết nhịp cầu hình vẽ Hỏi lượng bê tông để xây nhịp cầu

A. 20m3. B. 50m3.

C. 40m3. D.100m3.

Hướng dẫn giải: Chọn C

Gọi Parabol có phương trình:   2   

1 : 1

P y ax bx c ax  bx O P

2

2

20

100

y ax bx ax ax bx

       phương trình parabol

Ta có     2

1 1

2 4

, :

625 25 625 25

I A P  P y   x  xy   x  x

Khi diện tích nhịp cầu S S 1 với S1 phần giới hạn y y1; 2 khoảng 0;25

0,2 15

2

0 0,2

2

2 0,9

625 25

S    x  x dx  dx m

 

   

Vì bề dày nhịp cầu khơng đổi nên coi thể tích tích diện tích bề dày VS.0, 1,98 m3số

lượng bê tông cần cho nhịp cầu 2m3 Vậy mười nhịp cầu hai bên cần 40m3 bê tông Chọn Chọn C

Bài tập 3: Trong Công viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng loài hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy 16y2x225x2 hình vẽ bên.

Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét

A 125  2

S m B 125  2

4

S m

C 250  2

S m D 125  2

3

S m

Hướng dẫn giải

Chọn D

Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy

Từ giả thuyết tốn, ta có 5

y  x x

Góc phần tư thứ 25 2;  0;5

y x x x

Nên

5

2

( )

1 25 d 125 125( )

4 12

I

S  x x x  S m

Bài tập 4: Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ miệng lọ có 1 đường kính 2dm 4dm, thể tích lọ là:

A.8 . dm2 B. 15 3.  dm C. 14 2.

3  dm D.

2

15 .

2 dm

Lời giải Chọn B

 r1y1  1 x1

 r2y2  2 x23

Suy ra:  

3

2

0

0

15

d d

2

x

V  y x x x x  

 

 

Bài tập 5: Để kéo căng lị xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N Tính cơng (

A) sinh kéo lị xo có độ dài từ 15cm đến 18cm A. A1,56 ( )J B. A1 ( )J C. A2,5 ( )J D. A2 ( )J

Lời giải Chọn A

x y

Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từ độ dài tự nhiên f x kx, với  / 

k N m độ cứng lò xo Khi lò xo kéo giãn từ độ dài 10cm đến 15cm, lượng kéo giãn 0.05 cm m Điều có nghĩa f0.0540, đó:

 

40

0,05 40 800 /

0,05

k  k  N m

Vậy f x 800x cơng cần để kéo dãn lị xo từ đến 18cm là:

     

0,08

0,08 2

2 0,05 0,05

800 d 400 400 0, 08 0, 05 1,56

A  x x     J

Góc phần tư thứ 25 2;  0;5

y x x x

Nên

5

2

( )

1 125 125

25 d ( )

4 12

I

S  x x x  S m

3 Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1: Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu

A.19m3. B. 21m3. C.18m3. D. 40m3.

Hướng dẫn giải Chọn D

Chọn hệ trục Oxy hình vẽ

15cm

0 , m 1 m 0 , m

5 m 2 m 0 , m

x

O M

x x

 

Ta có

Gọi   :

P y ax c Parabol qua hai điểm 19;0 ,  0; 2

A  B

 

Nên ta có hệ phương trình sau:  

2

2

8 19

0

:

361

361

2

a a

P y x

b b

   

 

 

       

   

   

 Gọi  

2 :

P y ax c Parabol qua hai điểm 10;0 , 0;5

C D  

 

Nên ta có hệ phương trình sau:

Ta tích bê tông là:

19

10 2 2 3

2

0

1

5.2 40

40 361

V    x  dx  x  dx m

   

  

Câu 2: Cho hai mặt cầu  S1 ,  S2 có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm  S1 thuộc  S2 ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo ( )S1 ( )S2

A. V R3. B

2

R

V  C

3

5 12

R

V   D.

3

2

R V   Hướng dẫn giải

Chọn C

 

 

2

1

0 10

1

40

2 :

5 40

2

a a

P y x

b b



    



     

 

   

 

 

O R

2

R

2 2

( ) :C x y R y

x y

Gắn hệ trục Oxy hình vẽ

Khối cầu S O R ,  chứa đường tròn lớn  C x: 2y2 R2

Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính

Câu 3: Một thùng rượu có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có bán kính 40cm, chiều cao thùng rượu 1m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu

là bao nhiêu?

A 425, 2 lit B 425162 lit. C 212581 lit. D 212,6lit Hướng dẫn giải

Chọn A

 Gọi  P :y ax 2bx c parabol qua điểm A0, 5; 0,3 có đỉnh S0; 0, 4 Khi đó, thể tích thùng rượu thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn  P ,

trục hoành hai đường thẳng x 0,5 quay quanh trục Ox  Dễ dàng tìm  : 2 0, 4

5

P y  x 

 Thể tích thùng rượu là:

2

0,5 0,5

2

0,5

2 203

0, 0, 425,5 (l)

5 1500

V x dx x dx



   

         

   

  

 

Câu 4: Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

  3

2 2

2

5

2 d

3 12

R R

R R

x R

V   R x x R x   

 



x y

0,4m

0,3m 0,5m

O S

A.33750000 đồng B.12750000 đồng C 6750000 đồng. D. 3750000 đồng

Hướng dẫn giải Chọn C

 Gắn parabol  P hệ trục tọa độ cho  P qua (0; 0)O

 Gọi phương trình parbol là: P : y ax 2bx c

Theo đề ra,  P qua ba điểm (0; 0)O , (3;0)A , (1,5; 2, 25)B Từ đó, suy  P : 3y  x2 x

 Diện tích phần Bác Năm xây dựng:

2

9

2

S   x x dx

 Vậy số tiền bác Năm phải trả là: 1500000 6759

2  000

Câu 5: Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé

10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần tiền để

trồng hoa dải đất đó?

A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D. 7.826.000

đồng

Hướng dẫn giải Chọn B

Giả sử elip có phương trình

2

2

x y

a b 

Từ giả thiết ta có 2a  16 a 8 2b  10 b 5

x y

A B

O

Vậy phương trình elip

2

2

2

64 ( )

8

5 64 25

64 ( )

8

y y E

x y

y y E

   

    

  



Khi diện tích dải vườn giới hạn đường ( ); ( );E1 E2 x 4; x4 diện tích dải vườn

4

2

4

5

2 64 d 64 d

8

S x x x x



     

Tính tích phân phép đổi biến x8sint, ta 80

6

S  

 

Khi số tiền 80 100000 7652891,82 7.653.000

6

T    

  

Câu 6: Người ta dựng lều vải có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy hình lục giác cạnh m Chiều cao SO6m Các cạnh bên sợi dây c c c c c c1, , , , ,2 6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả

sử giao tuyến với mặt phẳng vng góc với SO lục giác qua trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên

trong lều

A. 135 ( 3)

5 m B.

3

96

( )

5 m C.

3

135

( )

4 m D.

3

135

( )

8 m

Hướng dẫn giải Chọn D

c1

c4

c5

c2 c6

c3

3m 1m

Đặt hệ tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ (0;6), (1;3), (3;0)

A B C nên có phương trình 6

2

y x  x

Theo hình vẽ ta có cạnh thiết diện BM Nếu ta đặt t OM

2

BM   t

Khi diện tích thiết diện lục giác:

2 3 3 7 1

( ) ,

4 2

BM

S t     t 

  với t 0;6 Vậy thể tích túp lều theo đề là:

2

6

0

3 135

( )

2

V  S t dt   t  dt

 

 

Câu 7: Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn đường tròn , cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là:

A 32 3

V  B 256

3

V 

2 16

x y 

y

C 256

V  D 32

3

V 

Hướng dẫn giải Chọn B

Giải phương trình x2y216 y2 16x2  y 16x2 Diện tích thiết diện ( ) 2 16 2.sin 16 2 3

2

S x  x  x

Thể tích cần tìm  

4

2

4

256

( ) 16

3

V S x dx x dx

 

     

Dạng 9: Các tốn chất đặt sắc tích phân

Bài tập 1: Cho hàm số y f x  có đồ thị 2;6 hình vẽ bên Biết miền A, B, x2

có diện tích 32; 2; Tích phân  

2

2

f x dx



 

 

 



A. 45

2 B.41 C.37 D.

41

Ta có    

2

2

2 2

f x dx f x dx

 

    

 

 

 

Xét  

2

2

2

I f x dx



  

Đặt 2

2

dt

t x dt dxdx

Đổi cận: x    2 t 2; x  2 t

Suy  

6

2

I f t dt



 

Gọi x1; x2 hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y f x  với trực hoành

  2 x1 x26 Ta có

       

 

1

1

6

2

1

2

1 33

32

2

x x

A B C

x x

I f t df f t df f t df S S S



 

      

 

   

  

Vậy  

2

1

33 41

2 4

2

f x dx I



      

 

 



Bài tập 2: Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số y f x  hình bên Đặt

     2

2

A. g 3 g  3 g 1 B. g  3 g 3 g 1 C. g 1 g  3 g 3 D. g 1 g 3 g 3

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có g x 2f x  2 x1

   

g x   f x  x Đây phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f x  đường thẳng d: y x 

Dựa vào đồ thị ta thấy:     1

x

g x f x x

x

 

       

   Bảng biến thiên:

x  –3 

 

g x – + – +

 

g x



 3

g 

 1

g

 3

g



Suy g  3 g 1 g 3 g 1

Gọi S1, S2 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x , đường thẳng

d: y x  đoạn 3;1  1;3 ta có:

+) Trên đoạn 3;1 ta có f x  x nên      

1

1

3

1

1

S g x dx f x x dx

 

 

+) Trên đoạn  1;3 ta có f x  x nên      

3

2

1

1

1

S  g x dx   x f x dx  Dựa vào đồ thị ta thấy S1S2 nên ta có:

 1              

3

1 3 3

g x g x g g g g g g



          

Vậy g 1 g 3 g 3

Lưu ý:

- Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f x  đường thẳng d: y x  nghiệm của1

phương trình g x 0

- Lập bảng biến thịên ta thấy g 1 lớn g 3 Ta cần so sánh g 3 g 3 . - So sánh diện tích dựa vào đồ thị.

Ví dụ 4: Hình phẳng  H giới hạn đồ thị  C hàm đa thức bậc ba parabol  P có trục đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích

A. 37

12 B.

7

12 C

11

12 D.

5 12

Hướng dẫn giải Chọn A

Vì đồ thị hàm bậc ba đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung điểm có tung độ

y y nên ta xét hai hàm số y ax 3bx2 cx 2, y mx 2nx (với a, m0)

Suy  C : y f x ax3bx2 cx 2  P : y g x  mx2nx Phương trình hồnh độ giao điểm  C  P là:

   

3 2 2 0

Đặt P x ax3bx2cx2  mx2nx.

Theo giả thiết,  C  P cắt điểm có hồnh độ x 1, x1, x2

nên P x a x 1x1x2 Ta có P 0 2a

Mặt khác, ta có P 0  f   0 g   2 a Vậy diện tích phần tô đậm    

2

37

1

12

S x x x dx

