Lời giải của bài toán từ mô hình động học của rừng ngập mặn

By using Lyapunov function, we can define forest energy and represent the direction of the growth of forest Moreover, on the basis of theoretical results combini[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN - ca

TÊN ĐỂ TÀI:

LỜI GIẢI CỦA BÀI TỐN TỪ MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC

CỦA RỪNG NGẬP MẶN

M Ã S Ố : Q T - - 9

C h ủ trì đé tài: GS T S K H N g u y ễ n Văn Mậu C n t h a m gia:

ỉ T S L ê H u y C h u ẩ n

2 P G S TS N g u y ễ n M in h Tuấn 3 TS Đ in h C ô n g H n g 4 TS L é H o n g T r í 5 P G S TS L a Thị C a n g 6 T h S B ù i T h ị G ia n g

Đ A I H Ọ C Q U Ọ C G IA H À N Ộ I TÍ?ƯNG T Ẩ M T H Ị N G TIN THƯ VIÊN

M Ụ C L Ụ C

Trang

B áo cáo tóm tắt 03

M đầu 05

Các kết nhận từ v iệc n ghiên cứu m hình (* ) 06

C h n g I H ệ đ ộ n g lực củ a m hình rừ n g 06

1 N g h iệm địa phư ơng 07

2 N g h iệm toàn cục 09

3 H ệ đ ộ n g lực 09

C h n g I D n g đ iệ u tiệm cận c ù a n e h i ệ m 10

1 H àm L y a p u n o v 10

2 C ác tập w -2 Ìó'i hạn 10

3 S ự ôn d ịnh c ủ a n a h iệ m th u â n n h ấ t 1 ]

4 Đại lượn tỉ toán học đặc irư im cho sứ c k h o e c u a r n e 12

Kct luận 12

Tài liệu th a m kiião 13

BÁO CÁO TÓ M TẮT ĐÈ TÀI Q T -07-09

Tên đề t i : Lời giải cùa tốn từ mơ hình động học rừng ngập mặn Mã số: Q T - -

Chủ trì đề tài: GS T SK H Nguyễn Văn Mậu Các cán tham gia:

1 TS Lê Huy Chuẩn

2 PGS TS Nguyễn Minh Tuấn 3 TS Đinh Công Hướng 4 TS Lê Hồng Trí 5 PGS TS La Thị Cang

6 ThS Bùi Thị Giang

M ục tiêu nội dung nghiên cứu

Đe tài thành lập nhàm tập hợp số cán trẻ đơn vị ngoài Đ HQ G HN tham eia nghiên cứu mô hình tốn cho rừng ngập mặn, giải số tốn ứng dụng khoa học mơi trường Các kết qua cùa đê tài được phân làm nhóm chính:

Nghiên cứu lý thuyết giải phương trình vi tích phân, phương trinh sai phân, biến đồi tích phân hàm.

• Nêu lời giải mơ hình rừng ngập mặn nhóm hợp tác aiữa ĐH Osaka

(Nhật Ban) ĐHKHTX ĐIIQGIĨN. Các kết đạt được

K ữ r l Ị i t u k h o a h ọ c :

- Vồ mặt lý thuvel có đóng góp thiêt thực, mant: tinh ihai có V imhĩa khoa học Nhữnti két qua cư ban dà dưực tỏna kẽt đưói dạnu hoán c h in h , x â y dụm” v th iết lập cá c n u u y ên K c a hàn củ a u iài tíc h - dại sỏ.

- Phương pháp aiai tích dại só rmàv cànu xây dựnQ hỗn chinh một lĩnh vực Toán học độc lập dã to có nhữnti hiệu lực to lởn trone nhiều chun nềnh khác cùa tốn học Dặc biệt, trone lý thuvèt aiãi lích đại khi số krợne mơ hình đưa dã q tai khônu đáp ứne cho nhừiit: ứnsi

d ụ n s t r ự c t i ê p , m c h ì d i i e lại t r o m : c c k h u ô n k h ỏ t h u ã n l u % c u a l o i i i c h i n h i h i r c

với cấu trúc nhừn2 thuật tốn định tính như: tiêu chuãn eiai chuàn tính ổn định ước lượne số nchiệm ihì \'iệc hệ thồna hố khái quat hố thuật toán hữu hiệu đê eiai tốn có cùne cội neuồn nhu cẩu

t h i ế t t r o n e c c h o t đ ộ n a t h ự c t i ề n C c p h n t i p h p n n h i ê n c u n v đ c h o n h i ề u ứ n c d ụ n e t r o n e A'iệc k h o s t c c p h o n ẹ t r ì n h t í c h p h â n dnriLi c h ậ r k< dị

- Đ ã c ó n h ữ n a ứ n s d ụ n a b a n đ â u i r oi ì i i \ i ệ c p d ụ n e m ô h ì n h l o i i ì h ọ c

tronu ntihièn cứu mơi trireme Neồi \ è mặt inm dụm: cũnt: có mội 50 kẽt quà qunn trọne tro nu phai kC' Jen \ iệc cai tiên eiao trình cho A'7 sau dại

h ọ c N ó c h o p h é p v i m ộ t t h ò i Liian h ọ p K c ó ( hị J > c h o c c h ọ c \ i ẻ n n ă m b ắ i

- Sừ dụng có hiệu kinh phí cấp Hàng tuần vào thứ Năm, có semina khoa học liên trường (ĐHQGHN, ĐHBKHN, Viện Toán học, Viện CNTT, Học viện Ngân hàng, ĐH Thuỷ lợi, Nhà XBGD, Đ H S P H N , ) hoạt động đều có hiệu quả, tham dự chủ trì hai hội nghị khoa học vê giải tích tốn học nghiên cứu mơi trường.

- Đã tổ chức topic riêng "Toán học nghiên cứu môi trường" trong Hội nghị quốc tế theo dự án nghiên cứu môi trường vùng đới duyên hải đã phê duyệt thành chương trình thành phân dự án JSPS.

Kết đào tạo

Đẻ tài lạo điều kiện thuận lợi cho số học viên cao hoc nghiên cứu

sinh dược lảm việc vả tham dự hội nghị khoa học _ _

TT Họ tên

H V C H Tên đề tải Cán HD N ăm b

1 Lê Thị Thanh

Bình

Đặc trung nghiệm đa thức níiuyên hàm ứng dụng

G S T S K H

Nguvễn Văn Mậu 2007

2 Đào Thu Hiên Một sô lớp phương trình hàm

sinh dãv số

G S T S K H

Nguvễn Văn Mậu 2007

3 Nguyễn Thị Thu

Hằng

Một sơ lóp bât đăng thức hàm khơrm đơi xứng

TS Neuyễn Thành

Văn 2007

4

Mai Văn Thi Côntz thức nội suy Hermite

írrm durm. — - w •

it-G S T S K H

N tíu\ễn Văn Mâu 2007

ỉ / ô i l l h i n v h ợ p t ú c i ị i i n c ũ '

Dê tài dã tỏ chức hội hội ntihị khoa học Dà Nana (troriii chưưnu trinh hợp tác với JSPS Nhặl Ban) vá lỉa Nội - Vĩnh Phúc (iroiiLi chưoníi trinh Semina liên trườn” viện TP Hà Nội).

Mathematics in environmental studies

1 ốn 2,iài tích irone rmhièn cứu ÚTIÍI dụrte đào tạo.

Đè tài có mơi liên hộ mặi thièt \'ới chuyên cia vê tinh toan tronti mỏi trường: G S T S Y a e i T r u ô n g D I Ỉ T H O s a k a G S T S O n a k a P G S Ĩ S L a r h i C a n u DIỈQG TpHCM PGS TS Nsuvcn Q uanc Kim ĐIỈ Thủv Lọi Hà Nịi

Tình hình kinh phí đề tài

Dè tài nhận 25 triệu chi theo dự toán đirợc phê duvệt

Khoa quán lý C hủ trì đề tài

M Ở Đ Ầ U

Việt Nam có đường bờ biển kéo dài với hệ thống rừng ngập mặn phong phú đa dạng phân bố từ Bắc vào Nam Rừng ngập mặn hệ sinh thái đậc biệt vùng cửa sơng, ven biển nhiệt đới, có giá trị ý nghĩa to lớn vê đa dạng sinh học việc bảo vệ môi trường phát triên kinh tê - xã hội Nghiên cứu bào tồn vả phát triển cùa rừng ngập mặn vấn đề quan trọng.

Như ta biết, để theo dõi phát triển rừng nói chung rừng ngập mặn nói riêng đòi hỏi thời gian dài chi phi lcm Chính mà việc nghiên cứu hệ động lực rừng bầng cách tính tốn dựa sờ mơ hình tốn học lả một phương pháp quan trọng để dự báo tồn phát triẻn cua rừng Sức mạnh của mơ hình tốn học chỗ ta có thề mơ phịng biểu diễn nhiêu thành phần có tác động qua lại lẫn nhau, đồng thời kết q tính tốn có thê kiểm tra đối chiếu với quan sát thực tế v ấ n đề quan trọnc đật việc xây dựng được mơ hình tốn học hợp !v dể mơ phịng phát triển cùa rừne.

Năm 1981, Antonovsky đưa mô hình cấu trúc tuồi cua báo [ ] Họ xét mơ hình rừng đơn giàn chi u.ồm có hai thành phân câv non câv già Sau vào năm 1994, Kuznetsov (xem [5]) mờ rộns mỏ hình bàng cách đưa thêm thành phân "hạt" vào đê mô tả tái tạo cùa rừntỉ thơntí qua hinh thành và phát triển hạt Họ đưa mơ hình động học rừng sau:

ut - Ịìỗv - y(v)u - f u.

< v , = f u - h v, (*)

11', = ơ.v - (ì\v + d ầ w

T r o n ” d ó u v V m ậ t đ ộ c ã \ n o n v c â y g i ; i r m ậ t d ỏ c u a h l i r o i m k h ò n n k h i

Phưorm trinh thứ nhát ihứ hai mô ta phai triền cùa phưoniĩ trình thử ba

m ô l đ ộ n a h ọ c c ủ a h t ổ ti lệ n y m ầ m c u a h i ; y( v) ti !ệ c h ó i c ủ a c â y n o n : /

lá lốc dộ phai triền cua cáv non: /? ti lệ chết cùa câv ỉiìà: a vá [ì lốc dộ tạo hạt của cày cià ti lệ tãne dọrm cua hạt; d harm số khuéch tan cua hạt.

Trên cư sở mỏ hình độim học rừim Yaoi cùnu tác aiá tronc [6] dà dưa mô hìiih độna học rime nêp mận bane cách đưa thêm thành phần “đất” vào ìmhiên cứu:

= f i ỗ ( l ) u - y ( v ) u - f u in Q x ( n

ẽ í <“S

V - = f i t - hv in Q X (0 x )

ẽt .

<

= í/,, A u ' - Z/V • { u / } - B w + ưv in Q x (0 x )

(7

= í / \ ‘ + l A ■ { ! / } -r Ị / ( * ) { / > n + c ị y) i n Q x ( O x )

T r o i m d o I đ ộ c a o c u a đ ã i l ã n e d ọ n t i ; / = [ ( L - I ) (1 - p u - (Ị\ )] \ I đ ò n ”

nước rừ n g tạo bới s ụ khác đô cao cua đ ii: p \ a Lị hộ số ma

/UV -{WX } vã uV ■ \^x) mô tả thay đổi hạt đất lắng đọng dòng nước tạo ra.

v ề mặt giải tích tốn học (**) hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng parabolic phức tạp nên để nghiên cứu câu trúc nghiệm rât khó khăn Do chung tơi bắt đầu bàng việc nghiên cứu mơ hình động lực rừng (*) một đơn giản hóa cùa mơ hình (**).

CÁC KÉT QUẢ CHÍNH NHẬN ĐƯỢC TỪ VIỆC NGHIÊN c ứ u iMƠ HÌNH (*) Lý thuyết:

Chọn không gian nền: X - Ữ ( Q ) X ữ { Q ) X Z r ( Q )

Tập giá trị ban đầu: K = {(«, V, w) e X ; u > V > ơ.ii' > o}.

1 Chứng minh tồn nhắt nghiệm toàn cục với giá

trị ban đâu (m0,v wữ) K , đồng thời xây d une hệ độne [ực

( S ( t ) , K X ) Tức ta có thề mơ tả phát triên cùa rime q

trình tiến hóa cùa hệ động lực ( S ( t ) K X), sư dụne để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cùa nghiệm thời gian đù lớn

2 Tìm hàm Lvapunov cho hệ (*) I làm Lyapunov biêu chưng cho energy cùa hệ độn2 lực có thê thấy rãne phát triển rừrm theo chiêu hướne làm liiàm energy.

3 Xét ơn định cua tmhiộm dừní> nhất.

4 Đưa đại lượni: toán học dặc chinm chí) "sức khoe" cua r'UT.^: f ìaổ , Ị

f t /, I c 4 > ( a b c J , h , a , ỗ ) = - .

u b

t r o n e đ ó a h c f h a ỗ c c t h a m s ố c ù a h ệ í * )

Các phát biêu chimn minh chi tiết có thơ xem bai hao [ 1.2.3],

Tính tốn:

Lập chươne trình m a\ linh đẽ tinh toán nshiộm hệ (* ):

1 Kiẻni tra mội >ô kõt CỊuã l\ thii\êt: Sir tơn lại cua niihiẻm tồn cục aiảm enereN íự lịn cùa nehiệm khơna liên tục

2 Chi mòi quan hệ eiCra đại lirựng ít> kha nãns tái tạo cua runs.

C h u o n g I H ệ đ ộn " lực cúa m hình rừ n g

trong Q x ( ,o o ) ,

trong ổ Q x ( ,o o ) , trong Q x ( ,o o ) ,

trong Q x ( ,o o ) ,

(*)

w (x ,0 ) = w0(x ) trong n

Trong Q ỉà miền hai chiều bị chặn Các hàm u ( í x ) v ( t , x) mật độ câv non già; w ( t , x ) mật độ hạt khơng khí Phương trình thứ thứ hai mô tả phát triển cây, cịn phương trình thứ ba mơ tả động học hạt ỏ tỉ lệ mâm cùa hạt; f tôc độ phát triên cùa non; h tỉ lệ chêt cùa già; a p tốc độ tạo hạt cùa già tì lệ lẳng đọng cùa hạt; d hàng số khuêch tán cùa hạt Y ( v ) lả ti lệ chết non xác định bời công thức:

y(v) = a ( v - b ) + c

Các giá trị ban đầu w0(.í), v0(,v) vv0( x ) cho trước không âm Q

1 Nghiệm địa phương:

Xét hệ phươnti trình (*) ưén khơna «ian nên X khôiiL: liian tiiá trị han đâu K xác định sau:

X = {[j - (u V u ) : II.V e ữ ( Q ) 11' e L2( Q) \ ; K = { =.(z/,1.v,).u-0 ) € X : un > v„ > > 0Ị

Gọi A toán từ sinh toan từ Laplace -CỈÁ + /ỉ trone khỏníi eian l } {Q ) với điêu kiện biên Neumann Khi đo A lã toán tử xác đinh dưonu tụ liên hợp ircn

cn

Với 6 > toán tử mũ V' cũn Si xác đinh dưorno tự liên hợp khôna sian

L2( Q ) vỏd miền xác địnli là

D(A") = <

H 2"(Cì) khi < 0 < —

2 Nghiệm toàn cục

Nghiệm toàn cục hệ phương trình (*) xây dựng cách thác triên nghiệm địa phương lên toàn miền < í < 0 0 Đầu tiên, ta cần đánh giá tiên nghiệm sau:

M ệnh đề Giả sừ U Q = (w0,v 0,w 0) e K u - ( u , v , w ) nghiệm địa phương

cùa hệ phương trình (*) ứng với giá trị ban đầu ƯQ trẽn đoạn [0, Tị j) sao cho

0 s u, V € C ( [ , Tu ); £ " ( « ) ) n c ' ( ( 0, Tu ); c ( n » , <

0 < w € C ([0,7'ơ );Z,2( Q ) ) n C l ((0 ,7 ’í );Z-2( Q ) ) n C ( ( , 7^ ) ; / / y(Q )).

Khi đó, tồi số dương c p phụ thuộc vào | 0| sao cho

ị U ( t ) \ \ < C { e ^ \ \ Ư 0\ị+ \} , 0 < í < T

Sừ dụng đánh giá tiên nghiệm trên, ta chứne minh tồn duv nhât cùa nghiệm toàn cục:

Định lý Với giá trị han đâu UqG K , hệ phương Irình (*) cỏ nhât m ộ t n g h i ệ m t o n c ụ c u = ( u , V, Ít') c ủ a n ă m ( r o n g k h ô n g g i a n

j o < // r e C ( [0 a>): r (Q )) n c ( ( , « ) ; ( Q) X

( u s u s C ’( | X ) : / ( í ì ) ) n C ' l ( ( o o ) ; A: ( Q ) ) n C ( ( ( Q ) )

Hơn nừu nghiệm I 111 HI niũn phmrníỉ trình tích phân san:

- í {;•( r(i 11+ f)(ìs Ị* - f {■•( v ( r ) l- ( \dl

u { t ) - e ÌI0 + Ịìồ I e ' u ịs ) d s 0 < t < cc.

V ( I ) - e ~ h’ v0 + / j ^ í ? - ( , _ 'T>/' w ( )£/5 , < t < X ,

\\ ịf) = t’~/An + a f )Av(s)ds. 0 < ỉ < X

( 'hứng minh:

T h e o Đ ị n h K p h n g t r ì n h ( * ) c ó d u y n h ấ t m ộ t n a h i ệ m đ ị a p h o n e Ư i r è n đ o n [ 57, - M ệ n h đ è Ị | ( r o )Ị| đ ợ c đ n h s i c h i b i L'cý D o đ ó t a c ó t h ị t h a c i r i ò n n t i h i ộ m L l ê n đ o n [ , T + r ] t r o n e đ ó T > đ ợ c x c đ ị n h bvTĨ

ị | ( r0 )Ịi t ứ c c h ỉ p h u i h u ộ c v o Ị | || T i ế p t ụ c q u t r i n h đ ó ta t h u đ ợ c n ^hi Ọ n i t o n c ụ c c u a p l n r r m t r ì n h ( * ì t r ê n m i c n [ 2C )

3 Hệ đ ộ n g lực:

T h e o n ịn h ụ 4 \ i mồi gia irị ban Jau i ' () e K . hộ phư oim trinh { ' ) ln có

d u y n h â l m ộ t n e h i ộ i n t o n c ụ c l \ t U ) = ( i < ụ ) v ụ ) w \ t ) ) \ ; i c h n e m i n h đ u o c

ràng nghiệm biến đổi liên tục theo giá trị ban đầu Do đó, ta định nghĩa một nửa nhóm { ( /) } />0 xác định K bời S(t)ƯQ = ư ( t , U ) ánh xạ ( / , ) - > S ( t ) U liên tục từ [0,co)xẢT vào K Chứng tỏ ( S ( t ) , K , X ) hệ động lực sinh hệ phương trình (*).

C h n g II D án g điệu tiệm cận nghiệm

Trong phẩn nay, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm cùa hệ phưcmg trình (*) thời gian đù lớn Đe việc đó, ta đưa ba loại tập co-

giới hạn, nghiên cứu tính chất chúng sừ dụng hàm Lyapunov tìm tư hệ động lực.

1 Hàm Lvapunov

Băng cách biến đổi, ta chứng rằng:

£ | ( / m - M + h a ĩ ( v ) + ^ - w 2 - ự a f i ỗ ) v w

= - ị ị a { y ( v ) + f + h } ( ^ ) + J J Ì Ỏ ( ^ - ) d x < 0, <t d

dt dx

dx < 0, < r <oc

Chú V

“ ị / Ì I - h v ỷ + ị V u + h o T ( v ) + ^ ở XV2 - (f a f i ổ ) Y M > c

trong dó c la hăne sơ khơnu phụ thuộc vào u. Từ chirrm minh răn” hàm số

f w , ->

-4>( ) = í ! -U f u - h \ ' Ỷ + ~ ^ i V h -|2 + / ? « r ( v ) + ^ ứ M’2 - ( dx

4:21 - ' 2 1 2 I

>-là hàm Lyapunov cùa hệ độnii lực ( S ( í ) K , X).

Sư dụnu ham I.vapunov ta chứnti minh dược kết quà sau:

Đ inh lý Với đư ờns cons nsihiệm S ụ ) U nu = U ( t ) đao hàm —^ ( ln hơi• dĩ

tụ YC theo lơ pị cua L / —> 0c

2 Các tập Cư-Ịíiói hạn:

Các lập (ư-eiói hạn định nehĩa sau:

• r - í i i i h n ( t h ò n c thrriìi):

= 1^1 \ S (t)í ; í < T < oc} (bao donii lấ\ ilico lõ pị cùa X). I 0

• W e a k * (0 -Lĩiói h a n :

\\ - 10(L, ) = P i [ S { t ) L : t < T < oc} ( b a o d ó n u lắ> t h e o W e a k * l õ p ó c u a X)

C0

• ứ - Cú -giới hạn:

L2 - co( U ) = f ' l { S (t)ư q; / < r < 00} (bao đóng lấy theo 1'} tơ pơ cùa X) t>ò

Ta chứng minh két sau:

Định lý Với Uq g K cư(ưữ) d ữ - củ( Uq)czw - co( Uq).

Đ inh lý Giả s h > Khi đó

c + f

c o ( ) = L - O J(Ư ) = w * - c o ( U ) = { ( , ) ;

với U0gK.

Đ ịn h lý G i ả s r n g a b < 3(c + f ) K h i đ ó ữ - co(ư q) = U’ - új( Uq) v i m ọ i

U g K

Định lý Với ƯQ € K , mối phần từ ữ —co(Uq) đểu nghiệm càn hăng hệ.

3 S ự ốn đ ịn h của ngh iệm thuân nhât:

Trong phân ta nahiẽn cứu tính ơn định cua ntihiệm thuân nhât cùa hộ phưcme trinh (*) Tuy thuộc váo tham sô ban dâu hệ (*) có nghiệm

t h u â n nhâl s a u :

' ÍA - ( * ) c ó hai r m h i ẽ m i h u n nhài O - (0.0.0)

a. Khi < h <

N •; n _ f o ỏ - ( c - f ) h T

VỚI D - - — - - Trona dó ah

v P + = l ị [ b + y f D } b + ^ ị [ b + y Í D ]

Ư p

p+ Ổn định cịn o khơnu n định Mọi nsihiệm cùa phươrm trinh (*) xuất phát từ uiá trị han đầu L'0 = o tiến đen p_ thời eian t —> oc

Khi faỗ < / ? < — — faổ ( * ) c ó b a n i i h i ệ m i h u ầ n n h ấ t

ủb + c - f C + J

o = (0.0.0) p , = Ị ỉ ị [ b ± ^ D ] b ± D ~ \ b ± ^ D Ỷ . Tror.ù 0 Na p ổn

V / / ’

d. c.

p = p ± =

là nghiệm ổn định toàn cục Tức nghiệm cùa phương trình (*) đêu hội tụ vê o thời gian t —»• 00

4 Đ ại lư ợng toán học đặc trư ng cho sức khỏe rừng

Có nhiều định nghĩa khác “sức khòe” rừng phụ thuộc vào lĩnh vực nghiên cứu cách tiếp cận khac Từ kết quà lý thuyết đạt được, chứng muốn đưa đại lượng toán học xác định từ những tham số ban đầu, để đặc chưng cho dáng điệu cùa rùng thời gian đủ lớn v ề m ặt n o đ ó , n ó c ũ n g phản ánh “ sức k h ỏ e '’ c ù a rừng.

Hàm <t> định nghĩa bời cơng thức sau:

ironu dó a h c f h a s tham số cùa hệ (*).

l kẽt K thuvêt vá V nuhĩa cua hệ số ta chi ran” giá trị cùa o càna lớn thi khả nãrm tôn phát tricn rime càní: lém k h i o < thì chắc chăn rừne bị triệt tiêu thời uian đu lớn Còn <t> > thi rừne tồn tại và phát triên hội tụ đén aiá trị p +

L ó p c c p h n iĩ trình tích phân kỳ dị ià d õ i t n s n e h iê n c u c bàn c ù a c c bài lồn b iên cùa hàm siâi tích Một so d n e phươne trinh đ ặ c trưnii biểu diễn nahiệm ihịns qua tốn Riemann Hâu hêt dạna phưcme trình tươnc íme đ c u k h ô n ti c ó thuật to n hữu h iệu đê iiiai Y i v ậ y V iệ c x â \ d ự n e lớ p c c toán t o n e quát c h o n s h iệ m d i đạnti tư ị iiii m in h c ó m ộ t V n a h ĩa quan trọn a C c kết quả c a b ản Theo h ỏ r ic n ảv ch ủ v ê u tập irun" v o \ iệ c k h ả o sát c c đ ặc ĩrư n a đại số cua lóp tốn tư tích phàn kv dị lỏniì qt, áp dụne đặc trimc đại số thuật toán biốT cu a K ih u v è t cac tốn b iè n c ị d iê n , la c o thê tnai đ u ợ c m ộ t số lớp p h n a trình tíc h p h ân kv dị d n e đ ầ v đu c ó ch ứ a c c Toán từ dịch c h u v ẻ n v phần đồn ỉrone hạch cua úch pli.il’.

P h n c p h áp iiiãi tích đại sị n e \ c n c d ợ c x â v d im e h o n ch in h n liư m ột lĩnh vực tốn học độc lập ló có nhfrne hiệu ]ực 10 lon tronií nhiều chuvên nuành khác cua to;in học Độc biệt, ironn K’ thm ịi 'Jìãi úch hiộn Jại số lư ợ n a c c m ị h ìn h đư a đà tài, k h ô n ” đ áp im ” d ợ c c h o nhừ nti im e d u n ” true

Q ( a , b , c , f , h , a , ỏ ) = -2 ab

K É T LL1ẠN

tiếp, mà dừng lại khuôn khổ tuý logic hình thức với cấu trúc thuật tốn định tính như: tiêu chuẩn giải chuẩn, tính ổn định ước lượng số nghiệm, việc hệ thống hố, khái qt hố thuật toán hữu hiệu đê giải tốn có cội nguồn nhu cầu thiết hoạt động thực tiễn Các phương pháp nghiên cứu cho nhiều ứng dụng việc khảo sát phương trình tích phân dạng chập kỳ dị.

v ề mặt lý thuyết, ữong năm qua nhóm tác giả có đóng góp thiết thực, mang tính thời có ý nghĩa khoa học Những kêt tơng kết dạng hồn chinh, xây dựng thiết lập nguyên lý giải tích - đại số.

v ề mặt ứng dụng: có ứng dụng ban đầu việc áp dụng mơ hình tốn h ọ c tr o n g n g h iê n c ứ u m ô i trư n g N g o i ra, v ề m ặt ứ n g d ụ n g c ũ n g c ó m ộ t số kết quan trọng, phải kể đến việc cải tiến giáo trình cho lớp sau đại học Nó cho phép với thời gian hợp lý dạy cho học viên nắm bắt được nhiều tư tưởng cùa toán học đại mà trước thường phải xé lẻ thành chuyên đề hẹp khác nhau.

TÀI LIỆU THAM K H ẢO

1 M Ya Antonovsky and M D Korzukhin, M aihemaũcaì modeling o f

economic and ecological-economic process, in Proc International Svrnp

"Integrated Global Monitoring o f Environmental Pollution" Tbilisi 1981 Leninurad: Hydromct (1983) 353—358.

2 I H C h u a n a n d A Y a ” i D y n a m ic a l syste m fo r iu /c si kinem atic model Adv Math Sci Appl 16 (2006) 393-409’

3 L H C h u a n T T s u ji k a w a a n d A Y a s i A s y m p to tic b ehavior o f solutions for

f o r e s t kinematic model. Funkcial Ekvac 49 (2006 ) 427-449

4 L H C h u a n T T s u j i k a w a a n d A Y a e i S ta tio n a ry solutions to forest equations, G l a s g o w M a t h .1 to a p p e a r

5 Yu A, Kuznetsov M, Ya, Antonovsky V N Biktashev and A Aponina A

c ro ss-d iffu sio n m o d e l o f f o r e s t b o u n d a ry d y n a m ic s. M a t h B io l ( 9 ) 219-232.

6 K Osaki and A Yaai Global existence fo r a chemnraxis-ori Will system in R2 , Adv Math Sci Appl 12 (2002) 587-606.

7 A Y a « i T M i v a c i a n d p N H o n e A m a t h e m a t i c a l m o d i ’ '!■>- m a n g r o v e

PHỤ LỤC

THE 7th g e n e r a l s e m in a r o f th e c o r e u n iv e r s it y p r o g r a m

1HE 4™ seminar

ON ENVIRONMENTAL SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSUE: RELATED TO THE SUSTAINABLE DEVELOPMENT

FOR URBAN AND COASTAL AREAS

Topic: Mathematics in Environmental Studies

Organized by

Vietnam National University - Hanoi, University of Danang and Osaka University

Contents

S u sp en d ed s e d im e n t d y n a m ics in m a n g ro v e a rea s, D o n g tr a n g E stu a ry , C an Gio m a n g ro v e fo r e st

L.T Cang, N.c Thanh, p Czemiak, K Schwarzer, K Rickiefs 1

M a th em a tic a l D e fin itio n s o f F o r e st E n er g y a n d F o rest H e a lth for F orest in em a tic M odel

L.H C hu a n , A Y a g i 13

D y n a m ics o f P red a to r -P rey P o p u la tio n w ith M odified L e slie - G ow er and H olling- T yp e II S c h e m e s

Du Nguyen H u u 21

Som e d efin itio n s for c o n v o lu tio n s an d th e co n v o lu tio n s for th e fourier tra n sfo rm s w ith g eo m etric v a ria b les

B.T G ian g, N v M a u , N M T u a n 33 On th e d y n a m ic o f th e d iscrite p o p u la tio n m od els

H u o n g D in h C o n g 48

A novel p t - b a s e d c a t h o d e c a t a l y s t d e s ig n by fir s t p r in c i p le s

H K a s a i 53

D e c r e a s i n g t h e t e n s e d u r i n g t h e p ro c e s s o f c o m p e n s a t i n g a n d c l e a r i n g a w a y on ừ r ig a tio n a l h y d ro electric w orks

N T K L o a n , T N D u n g 58

C o n tr o l la b i lit y of L i n e a r S v s t e m s w ith G e n e r a l i z e d I n v e r t i b l e O p e r a t o r s

M au N g u y e n V a n 63

C h a r a c t e r i s t i c C a u c h y p r o b le m for f i r s t - o r d e r q u a s i l i n e a r e q u a t i o n s

N goan H a T i e n 85

P s e u d o - d if f e r e n t ia l o p e r a t o r s r e l a t e d w i t h o r t h o n o r m a l e x p a n s i o n s of g e n e r a l i z e d f u n c t i o n s a n d a p p l i c a t i o n s to d u a l s e m e s e q u a t i o n s

N goc N g u y e n V a n 91 O n a n i n v e r s e s o u r c e p r o b l e m for - d i m e n s i o n a l w a v e e q u a t i o n

M athem atical D efinitions o f Forest Energy and Forest H ealth for Forest K inem atic M odel

Le Huy Chuan

Faculty of Mathematics, Mechanics and Informatics, Hanoi University of Science and Atsushi Yagi

Department of Applied Physics, Osaka University

A bstract

We are concerned with a forest kinematic model presented by Kuznetsov et a] [4], In this report, we will survey some results obtained from investigation of this model equations (see [1.2.3]) By using Lyapunov function, we can define forest energy and represent the direction of the growth of forest Moreover, on the basis of theoretical results combining with some numerical results, we will propose a m athem atical quatitv to measure the helth of forest ecosystem.

1 Introduction

In t h e s t u d v of forest c ro w th d v n a m ic s , t h e n u m e r ic a l s i m u la tio n s on t h e bai:s of s u i t a b l e m a t h c m a u c a J m o d e ls a r e b e c o m in g one of in d is p e n s a b le m e t h o d s W h e n wc coiHcrnr-d w ith d y n a m i c s of forest c c o s y s tc m , age d e p e n d e n t t r e e r e l a t i o n s h i p is more in te r e s tin g t h a n t h e in d i v id u a l of t re es By forest age s t r u c t u r e d y n a m i c s VC m e a n the s p a r e and ti m e v a r i a t i o n of tre e n u m b e r s in different age classes, c a u s e d bv various :r.:e::iaJ an d e x t e r n a l factors

equations reads ' du

o ị = - l ( v ) u - f u dv

Ệ - / U - *

dw

— = d A w - 0W + av ut

dw

in Í7 X (0, oo), in fì X (0, oo),

in n X (0, oo),

on dĩì X (0 ,oo),

in n

(1-1)

u ( x , ) = u 0( i ) , v ( x , ) = v 0( i ) , i o ( x , ) = w0{ x )

Here, ĨÌ is a c or convex, bounded domain in R2 The unknown functions u = uix.t)

and V = v{x, i) denote the tree densities of young and old age classes, respectively, at a

position I Ệ Í1 and at time í E [0, oo) The third unknown function w = w(x,t) denotes the density of seeds in the air at X € ÍÌ and Í £ [0, oc) The third equation describes the kinetics of seeds; d > is a diffusion constant of seeds, and a > and 0 > are seed production and seed deposition rates, respectively While the first and second equations describe the growth of young and old trees, respectively: < <5 ^ is an establishment rate of seeds, / > is an aging rate, h > is a mortality of old trees And j(v) > is a mortality of young trees which is allowed to depend on the old-tree density V and is expected to hit a minimum at a certain optimal value of t\ Wc assume as in the paper [4j that the function 'yịv) is given by a quadratic fu n c tio n

7(v) — a(v — br ~r c.

w h ere a, b, c > a re all p o s itiv e c o n s ta n ts

In t h e p a p e r s [1], we c o n s t r u c t e d a d y n a m i c a l s y s te m ( S ( t ) K XI d e t e r m i n e d from th e i n i t i a l - b o u n d a r y value p r o b l e m (1.1) A s t h e u n d e r ly in g sp a c c A', we set a s p a c e of th e form

A' = Ị : u e I ° ° ( f ì j V € L x ạr, U' £ L - r n 1j> (1.3)

It is n e c e ssa ry t o h a n d l e t h e first a n d second o r d i n a r y d ifferen tial e q u a t i o n s in t h e B a n a c h space L °°(Q ). Indeed, since ~f(v)u contains a nonlinear te rm like V2V. isee (1.2)) th e

B anach s p a c e to b e c ho se n m u s t en jo y a n o r m p r o p e r t y íịi,2ĩi|| < C ;|i'iỊ2!lu|j n a m e ly , t h e sp acc m u s t be a B a n a c h alg e b M oreover, even if th e in itia l fu n c tio n s U.Q. I’o a n d IL'O are s m o o t h , it s s o l u t i o n (u, V w ) ca n t e n d t o a d is c o n t i n u o u s s t a t i o n a r y s o lu t io n as í —‘ oc (see [2, S e c tio n 6j) T h a t is t h e c o n tin u o u s f u n c t i o n sp a c e C: fĩ is n o t s u ita b le T h e p h a se sp a c c K c o n s is ts of t r i p l e t s of n o n n e g a t i v c f u n c tio n s c f X 10

K = 0 < u c L X [Q). < r e L x (ũ). < li' € L : 9. Ị ( 1.41

T h e n o n lin e a r s e m i g r o u p S{t ) a c t s on K for < í < oc In '2 \vc f o u n d a L y a p u n o v f u n c tio n a n d in v e s t i g a t e d a s y m p t o t i c b e h a v io r of t r a j e c t o r i e s L'o £ K. Since

some S(t)Uo can converge to a discontinuous stationary solution even if the initial value Uo E K consists of smooth functions and since if so the trajectory S(t)ƯQ has an empty u>-limit set in X , the dynamical system (S(f), K, X ) never enjoys any compact attractor in general By this reason we introduced three kinds of w-limit sets for Uo € K, i.e., u(Uo) c L2-u(Uo) c w'-u(Uo) Í 0, here u(Uo) denotes the usual one, L2-ui(Uo) is an w-limit set with respect to the L2 topology and w*-w(t/0) is that with respect to the weak* topology of L°°(fi) And we proved by utilizing the Lyapunov function that L2-uj(Uo) consists of stationary solutions only So, roughly speaking, every trajectory S(t)Uo, Uo E K , converges asymptotically to some stationary solution of (1.1).

In the paper [3], we study the structure of stationary solutions of (11) The structure depends on th e param eter h drastically In fact, w hen < h < abể ne'+Ị • where a, and c are positive constants contained in j(u) (see (1.2)), it is shown that there exist two homogeneous stationary solutions P+ (which is non zero solution) and the zero solution

0 — (0,0,0) and that P+ is stable and o is unstable This means that in this case

any forest starting from a non zero initial state holds alive In the meantime, when

< h < oc, the zero solution o is a unique stationary solution and is globally stable,

that is, every forest is going to vanish asymptotically When aJ ° 6+f < h < te j, there exist three homogeneous stationary solutions p± (which are non zero) and the zero solution 0\ here, p+ and o are stable meanwhile is unstable This means that some forests can hold alive and others are going to vanish What is more interesting is that, in this case, there exist many inhomogeneous stationary solutions Especially when a and b

are sufficiently large, one can stru ct ail infinite num ber OÍ d isco n tin u o u s stationary s o lu t i o n s (Ũ T ITj's ũ ĩ' E L 00(ft) b e in g d i s c o n t i n u o u s an d w € Q ’l b e in g c o n t in u o u s

B y using t h i s r e s u l t s a n d c o m b in in g w ith t h e L y a p u n o v f u n c tio n (kinctic cncrg> of d y n a m i c a l s v s t c m ) we c a n re p r e s e n t t h e d ir e c tio n of t h e g r o w t h OÍ forest as in F ig u re

'P

I /

ỷ

t

I

/ ; V

() r p p f ' K

^ ^ faé

c af‘—r-TTT < c—J n < ^ c—* o

ib! h > {zj

F i g u r e G r a p h of L v a p u n o v f u n c tio n

Case ■ < h < J at'at" ~e- T T h e r e e x ists tw o h o m o e e n e o u s s t a t i o n a r y s o iu tio iii p - an d w h e re Pj. is s t a b l e a n d m i n i m a l energy: a n d o is u n s ta b le A s sh o w n in F ig u re ;a j, e v e n - t r a j e c t o r y s t a r t i n g fro m a n in itia l s t a t e L'o = a lw a y s p r o c e c d i in th e w av t h a t its e n e rg y d e c re a s e s a n d t e n d s to p

Case í % < h < oo The zero solution is a unique stationary solution and minimal energy (see Figure (b)) Therefore, every trajectory of dynamical system tends to 0.

Case aJ+ S+f < h < There exists three homogeneous stationary solutions

P+, P- and 0, where P+ and are stable and local minimal energy; and P- is unstable More precisely, as shown in Figure (c), there exists so many stationary solutions (perhaps discontinuous) which are local minimal energy It implies that some trajectory can tend to P+, or or some stationary solution depending on the initial condition.

2 M athem atical m easurem ent o f forest health

There are many definitions of "forest health” depending on the viewpoint of the user of the forest Forest health reflects many concerns about the sustainability of forest ecosystems T h e im p ortan t m ea n in g o f forest h ealth is th a t th e a b ility of a forest to recover from natural and human-caused stresses or disturbances On the basis of theoretical results, we will propose a mathematical quantity to measure the health of forest ecosystem which is described by (1.1) This definition is from the viewpoint of asymptotic behavior of solutions.

W hen < h < a0/ QlJ J , we known there e x ist tw o h om ogen eou s station ary so lu tio n s

p+ which is stable and tne zero solution 0 which is unstable In addition, there is no nonnegative stationary solution other than homogeneous ones This means that in this case an y forest s t a r t i n g from a n o n z e ro in itia l s t a t e h o ld s alive Wc can i n t e r p r e t th is fact as follows L et us c o n s id e r a re g e n e r a tio n of tre e s of old age class T h e v p r o d u c e seeds w ith r a t e a a n d t h e seed s are e s ta b lis h e d w i t h r a t e Ố a n d b e c o m e y o u n g trees, a n d t h e n som e y o u n g tre e s die w i t h r a t e an- - b)2 — c b u t o t h e r s grow to w a r d old trees w ith r a t e / ; so t h e n e t of ag in g r a t e is given by - —J- In t h i s way, on one h a n d , we see t h a t t h e r e g e n e r a t i o n r a t e o f tre e s of old ago class is ( —J. In t h e w orst case, i.e.,

V = we h a v e a r a t e CLO~ — c— / 7 O n t h e o t h e r h a n d , t h e d e a t h r a t e of old tre e s is p v e bvc h. T h e r e f o r e , if < h < J '— Ĩ, t h e n th e r e g e n e r a t i o n r a t e a lw a v s d o m i n a t e s th e d e a t h rate, n a m e lv t h e forest is n e v e r e x tin c t

In t h e m e a n t i m e , w h e n < h < DC t h e zero s o lu tio n IS a u n i q u e s t a t i o n a r y so lu tio n a n d is glo b ally s ta b le , t h a t is even- forest is goin g t o v a n ish a s y m p to tic a lly As show n ab ove, w h e n V — b w e h a v e an o p t i m a l r e g e n e r a t i o n r a t e t e ị so < h < yz m e a n s

t h a t t h e d e a t h r a t e h of old age trees IS larg e t h a n t h e o p t i m a l r e g e n e r a t i o n te T h a t is t h e forest c a n n o t b e a liv e in any form.

]n t h e case w h e n , / 0<l - < h < t e l is valid, t h e r e ex ist t h r e e h o m o g e n e o u s s t a t i o n a r y s o lu tio n s p± a n d t h e zero s o l u tio n O: here P- ar.d 0 are s t a b l e m e a n w h ile P - is u n s ta b le We know also t h d i ill t h is c a s e th e r e a re m a n } ’ s t a t i o n a r y s o lu tio n s ( s o m e tim e infinite n u m b e r o f s t a t i o n a r y s o l u t i o n s ’) T h is m e a n s t h a t so m e forest c a n ho ld lilivc a n d o th e r s are goin g to v a n is h In view ,'f th e s e facT< we a r e n a t u r a l l v :ed t o define n u m b e r Í ::: such a w av t h a t

h = — M cb-ỉ' — c — f

or

t t n

ỉ>(a, ò, c, / , h, a, Ổ) = 1*2 ( 1)

By the discussion above, if $ < then < h and the forest is going to vanish; if i> > then < h < any forest starting from a nonzero initial state holds alive; and if < $ < 1, then o J ^ + j < h < and some forests can hold alive and others are going to vanish depending on the initial states.

Then, in some sense, we can say that the quantity 4>(a, b, c, f , h, a , Ố) is a measurement for forest health In this way we have defined from the arguments of mathematical analysis But, as will be observed in the next section, such a definition can be justified by numerical results.

T h is scctio n is d ev o ted to p resen tin g som e num erical resu lts for the sy stem (1 ) T hrough­ out all num erical co m p u ta tio n s, we set n = [0,1] X [0.1], T h e coefficien ts of sv stem ( 1 ) are fixed as 0 = 1.0, Ố = a = 10 c = 0-2, d = 0.05 and = The rest coeffi­ cients Q, / , h w ill b e fixed depending on th e purpose o f calculations We co n sid e r a forest ecosystcm in which there exists the stationary state P+. It is already known that is an e x p o n e n t i a l l y s t a b l e e q u ilib r iu m of t h e d y n a m i c a l s y s t e m H c n c c if t h e r e is n o th in g to influence, fo re st can ho ld alive in th is s t a t e forever

N ow we c u t a p a r t of forest ( in c lu d e y o u n g tre e s a n d old t r e e s ; in a Q u a r t e r ::rc ic \v;:h radius r as s h o w n in F i g u r e and observe w h a t h a p p e n to t h e forest ecosvsteir h is easv to sec t h a t if w e c u t a l i t t l e p a r t , say r is sm all, t h e n fo re st c a n ev o lv e t o w a r d * rtv o v e r di] d o m a in t o s t a t i o n a r y s t a t e p _ ; if w e CUT t o o m u c h , s a y r is la rge, forest IS g o in g t o vanish, a n d in s o m e c ases, forest c a n t e n d to a d i s c o n t i n u o u s s t a t e T h e following n u m c n c a ] ex a m p le * sh o w t h i s fact

In t h e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n , t h e coefficients a re fixed a s o = 1.0 a n d f - I. b u t th e m o r t a l i t y o f old t r e e s h a n d t h e r a d iu ? r a rc v a ria b le W e c o n s id e r t w o eases b = an d

3 N um erical R esults

Figure 2: Initial f u n c tio n P i = ịUq Vq. U ' c '

b = From the theoretical results it follows that, if b ~ then ab2 < 3(c + / ) and every stationary solution is continuous, therefore we can not expect that the solution will tend to a discontinuous stationary solution Contradictorily, if b — then (lb2 > 3(c + / ) and it is possible that some solution tends to a discontinuous stationary solution.

Now for each value of h, we calculate the values of T such that forest starting from initial state /+ is going to vanish, or recover to homogeneous stationary solution p + , or tend to a inhomogeneous stationary solution We performed numerical computations for sufficiently large tim e u n til th e graph o f so lu tio n s and th e valu es of L vapunov function are sta b ilized num erically T h e relation betw een h and r is as sh ow n in Figure 3.

Case 1. = All solutions tend to homogeneous stationary so lu tio n s p or o There

are two regions R and E as shown in (a) If (h, r) € E then the forest is going to vanish; meanwhile if (h.r) e R then the forest is going to recover to p +.

Case b — There axe three regions R, D and E If (h ,r) € D then the forest tends

to a discontinuous stationary solution.

(a) = (b) b =

F i g u r e 3: R e la tio n b e tw e e n h a n d r

T h e r e f o r e we are le d t o define, for each forest e c o s v s te m t h e r e s r : T‘.:T:^r r a d iu s by R = s u p { r > 0: fo re st s t a r t i n g from P T_ is g oing to re c o v e r 'U r _ ,3.1) T h i s r a d iu s R — R{a b c d f h. Q J Ỗ d e p e n d s on ail p a r a m e t e r s of m o c e i

Now we p r e s e n t s o m e n u m e r i c a l re s u lts to show t h e r e l a tio n b e t w e e n th e r r c a ĩu r e m e n t of forest h e a l t h $ w h ic h is d e n n e d in .2.1) a n d tile r e s t i t u t i o n r.ii!;-.:.' /{ T h e H'.air id e a IS t h a t , first we fix an i n itia l f u n c tio n FỊ_ (see F ig u r e 2): s e c o n d '.VC c h a n g e vaiues of param eters of t h e s y s t e m (1 1) a n d c a lc u la te t o find if t h e s o lu tio n s t a r t i n g from p* is going t o t e n d s t o p+ o r n o t , th i r d , from th e s e c a l c u l a t i o n s , wo c a n d iv id e values of all p a r a m e t e r s in t o re g io n s R D or E XV sa iu e m e a n i n g .vs ab o v e if values wf Ỉ1 ill each region a r e s e p a r a t e d i n d e p e n d e n t of p a r a m e t e r s t h e n WP c a n sav Ộ ;s c h a r a c t e r i s t i c for r e s t i t u t i o n of forest w i t h r e s p e c t to initial f u n c tio n P T

The numerical calculation is performed in the following way The initial function Pi is fixed with r = 0.5 For simplicity of calculations, we fix all p aram eters e x c e p t tw o of them and find out the relation between the two parameters.

Case 1. Fix / = 1, b = The parameters h and a are variable In this case,

alJ2 < (c + / ) therefore all stationary solutions are tin u ou s For each valu e Q in

[0.1,1], we find the values of h such that forest starting from 5 is going to vanish, or recovers t o h om ogen eou s sta tio n a r y so lu tio n p +

Figure 4: Relation between h and a

F ig u re 4 show s n u m e r ic a l plot of h an d Q I t is easy t o see t h a t t h e r e is a linear r e la tio n b e t w e e n h an d Q and t h e lin e (h q ) s e p a r a t e s t w o r e g io n s R and E M or eove r, t h e v a lu e s of 4> in t h i s lino c a n b e a p p r o x i m a t e by a c o n s t a n t c € (0 1) H ence, if k.Q) belong to the region for t h a t > c t h e n t h e forest s t a r t i n g from p f t e n d s To h o m o g e n e o u s s t a t i o n a r y s o lu tio n p +. O n t h e c o n tr a r y , if [h a) b e lo n g to t h e region for t h a i 4> < c t h e n t h e forest s t a r t i n g from p°'5 is going to vanish

Case 2. F ix Q = 1, = T h e coefficients h and / a rc v a r ia b le Let / € 10.2.1' t h e n ab2 < (c + / ) a n d t h e r e f o r e ail s t a t i o n a r y s o lu tio n s a rc c o n tin u o u s T h e g p h uf h an d / is s h o w n in F i g u r e (a) T h e r e axe tw o regions R a n d E s e p a r a t e d by a cu rv e F ig u re (b) sh o w s t h e g r a p h of f h a n d //■ It is easy to see t h e r e IS a lin e a r re la tio n b etw een l / h a n d I f f M o re o v e r, values of $ in t h e c u rv e s e p a r a t e ? tw o regions R a n d E can be approximate by t h e s a m e c o n s t a n t c as in Case 1 H once if (ft f : b elong to th e region for t h a t $ > c t h e n t h e forest s t a r t i n g from p c t e n d s to h o m o g e n e o u s s t a t i o n a r y so lu tio n p +. O n t h e c o n tr a r y , if (h f ) b e lo n g to t h e region for t h a t $ < c : h e n t h e fore?T sta rtin g from is goin g to vanish.

T h e s e n u m e r i c a l r e s u l t s show t h a t , if t h e p a r a m e t e r s of s y s t e m arc taker, so That the r e s t i t u t i o n r a d i u s is c o n s t a n t w ith R = t h e n Q a n d h a rc p r o p o r t i o n a l arid I and :h a r e in a lin e a r r e la tio n T h e s e t h e n m e a n t h a t t h e m e a s u r e m e n t of fores: nccU;h i> also c o n s t a n t w i t h $ = c c b e i n g a s u i t a b l e c o n s t a n t , for t h e c h a r s c of p a r a m e t e r s u n d e r t h e r e s t r i c t i o n R = 0.5 S o m e o t h e r n u m e r ic a l c o m p u t a t i o n s show inverse resu lts, n a m e ly , if t h e p a r a m e t e r s ƠÍ s y s t e m are t a k e n so t h a t t h e m n a s u r c m e n : of fore?: Ikv.M: is c o n s t a n t , t h e n t h e r e s t i t u t i o n r a d i u s is c o n s t a n t T h e s e o b s e r v a t i o n s sugges: us t h a t <ỉ' a n d R a r c c o n n ectc'd in t i m a t e l y , p r o b a b l y t h e r e w o u ld e x ist a o n e - t o o n e c o r r e s p o n d e n c e a m o n g t h e m O n e c o u ld c a l c u l a t e t h e r e s t i t u t i o n r a d i u s from t h e m e a s u r e m e n t 4’ aJom

(a) Graph of (h, f ) (b) Graph of ( l/ h I / f )

Figure 5: Relation between h and /

which is determined by the ecological parameters appearing in the system And one could therefore ch aracterize th e r e stitu tio n radius from the eco lo g ica l param eters alone.

It is now very i m p o r t a n t p ro b le m t o know how t h e r e s t i t u t i o n r a d iu s is d e t e r m i n e d from the m easu rem en t $> To know this, how ever, it is needed to p erfo r m m o r e num erical c o m p u t a t i o n s a n d to a n a ly s e th e s e re su lts For th e m o m e n t it is o n ly possible to sav t h a t

R IS an in c r e a sin g f u n c t io n o f <Ị> an d th e diffusion c o e f fic ie n t d o f seeds in t h e air also c o n tr ib u te s t o th e corresp on d en ce ộ —> R a l t h o u g h d dors not a p p e a r in the d efinition of '!>

References

il' L H C h u a n a n d A Yagi Dynamical system fo r forest kinematic model. A dv M a th Sci A p p l 16 (2006), 393-409

;2i L H C h u a n , T T s u j i k a w a a n d A Vagi Asymptotic behavior of solutions for forest kinematic model F u n k c ia l E kvac (2006) 427-449

r3> L H C h u a n T T s u j i k a w a a n d A Vagi Stationary solutions to forest kinematic model. Glasg- M a t h J- t o a p p e a r

[4' Yu A K u z n e ts o v , M Ya A n t o n o v s k y V N B i k t a s h c v a n d A A o o n i n a cross- diffusion model o f forest boundary dynamics. J M a t h Biol- (199-1 219-232 15' E X ak a g u c h i a n d A Y agi Fully discrete appronm ation by Galerhĩi Runoe-Kutta

methods fo r quasilinear parabolic systems. H o k k a id o M a t h J ( 0 ' 385-429

[6] K O sa k i a n d A Yagi Global enftev.ee h r a chemotaris-growth Â

A dv M a th - Sci A p p l (20021 587-606

S O M E D E F I N I T I O N S F O R C O N V O L U T I O N S A N D T H E C O N V O L U T I O N S F O R T H E F O U R I E R T R A N S F O R M S

W I T H G E O M E T R I C V A R I A B L E S

B U I T H I G I A N G , N G U Y E N V A N M A U , A N D N G U Y E N M IN H T U A N

Ab s t r a c t T h is p a p er g iv e s so m e g en era l d efin itio n s o f c o n v o lu tio n s w ith or w ith o u t w e ig h t-e le m e n t for t h e lin ear o p e r a to r s, an d c o n str u c ts s o m e c o n v o lu tio n s w ith an d w ith o u t w e ig h t-fu n c tio n for t h e Fourier tr a n sfo r m w ith g e o m e tr ic variab les A n ew g en era lized c o n v o lu tio n w ith t h e w e ig h t-fu n c tio n for th e F o u rier-co sin e, F o u r ie r-sin e tra n sfo rm s is also c o n s tr u c te d

1 In t r o d u c t i o n

T h e th e o rv of th e convolutions of integral tra n s fo rm s h as been stu d ied for a long tim e ago and it has many applications (see Bochner Ị1] Fox [5], H o m a n d e r |7], T ic h m a rs h [1 1] and references whereas) O ne knows th at th e re are several relations, explicit or implicit, betw een th e integral tra n s­ form s of Cauchy, Fourier Hankel, Laplace Mein; see ’ 11 j : Iii recent years m an y p a p e r s devoted 10 those tran sfo rm s are given the c onvolutions, general­ ized convolutions, polvconvolutions arid theirs application? isee Brit Vina Ị2 [3], T u a n [12] an d references therein) O n th e other h a n d , a co n stru cted convolution can be regarded as a new integral transform In ou r view, the integral tr a n s f o r m s of Fourier tvpe in addition, deserve th e interest

In th is p a p e r, we present some general d efinitio ns for convolutions with, a n d w ith o u t weight-element for t h e linear o p e to rs from th e linear space t o th e c o m m u ta tiv e aieebra and to give some available convolutions for th e Fou rier tra n s fo rm with th e geom etric variables: shift, sim ilitude and inverter A usual, th e re exists some different convolutions :or the certain tran sform , and conversely, the transform can be th e co n v o lu tio n for some different tra n s fo rm s A new convolution w ith w eig h i-iu n ctio n a generalized c o nvolution axe c o n s tru c te d in Subsection and th e Fourier transform w ith linear-fractionai shift is posed at the end of Section

2000 M a th c m a U c s S u b je c t C la s sific a tio n P r i m a r y 43A32 Í1A3S S e c o n d a r v 44-9?

4 A

K e y w o rd s a n d p h r a s e s Fourier t r an s fo rm , convolu tion, pol vco n\ o i m o n generalizes

c o n v o lu tio n , fa cto riz a tio n idtvni'y

T h e se c o n d n a m e d a u th o r 15 p a n ia llv su p p o rted by N B R P N S V if.r a m T h e th ir d a u th o r IS partially supported by Central Pr oj ect - YNT \ ie: nam

2 B T GIANG, N V MAU, AND N M TUAN

2 Th e g e n e r a l d e f i n i t i o n s f o r c o n v o l u t i o n s

Let u be the linear space and let V be the commutative algebra on the field AC Let T € L(U, V) be the linear operator from u to V.

D e f in it io n A bilinear m ap * u X u :— * u is called the convolution for T, if T ( * ( / , g)) = T ( f ) T ( g ) for any f , g G u The im age * ( / , g) is denoted

by f *

-Let 7 be the elem ent in algebra V.

D e f in it io n 2 A bilinear map * u X u :— * u is called the convolution w ith the w eight-elem ent 7 for T, if T ( * ( f , g)) — 7T ( f ) T ( g ) for any / , g € Ư

The im age is den oted by f * g.

Each of the identities in Definitions 2.1, 2.2 is called the factorization identity (see B ritvina [2]) In [2], [8], the authors have dealt with the generalized convolution for two integral transforms and constructed som e convolutions for the well-known integral transforms Let U1M2M3 be the linear spaces on 1C Suppose th a t K ị € L[ Ui , V) , K e L( U2, V) K z € L ( V) are the linear o p e r a to r s from u Ư2 -1/3 to V respective!V

D e f in it io n A bilinear map * U\ X Ư2 :— ' 13 is called the convolution w ith the w eight-elem ent -> for th e o p e to rs K3 K1 K2■ if Ki {*[J g)) =

' y K \ ( f ) K2{g) for any / £ l \ g £ Ư2- T h e image ' \ f g i is d e n o ted by

/ * 0 If -V is th e u n it of V we say briefly th e convolution for K ỉ , K \ , K2

K3 K1.K2 ■

R e m a r k 2.4 F rom Definition 2.3 it follows t h a t if th e o p e r a to r K3 is injec­ tive the c o nvolution f * q is formal dertermineci uniquely, because

■ k 3.k ,.k 2

f 1 q = K l for any f € U \ g € Ư2

-t s -t s -t s ~

A 3,I\1

In n e x t sections, we onlv consider u = U\ = Í.Ọ = Ư2 = I ị Ị R 71) w ith the integral bv L eb esg u e's m ean th e aig eb of ail functions (real or complex) defined on R n For a n v I Ị / Ệ 3in , let < x , y > d e n o te th e scalar p rod u c t, and | x|2 = < x , x >

3 S o m e c o n v o l u t i o n s f o r t h e t r a n s f o r m s o f F o u r i e r t y p e

T h is section jiv es s e m e convolutions for th e tra n s fo rm s of Fourier type Namely, two c o n v o lu tio n s for each of the Fourier tra n s fo rm s w ith geom etric variabels are e^ven a n d a convolution w ith w elght-function a generalized convolution for th e Fourier-cosine and Fourier-sir.e tra n s fo rm s on entire R n are o b ta in e d

shift, denoted by Fh, is defined by

(Fhf ) ( x ) = - + - r f e~i<x+h,v> f ( y ) d y

(2n) J

R"

If h = € R", we adm it Fh = F U sing the factorization identity o f the Fourier convolution, it is easy to prove (see [11, p 59], or [7, p 163]) Theorem 3.1 I f f o r any f , g £ Li(Rn), then

(3 -1 ) ( / * g){ x) = — ỉ~ ĩ f f { X - ỵ ) g { ỵ) d y

Fh ( 2t r) J

R"

defines the convolution fo r Fh, the f actorization identity as follows

F h U * g) ( x) = (Fhf ) { x ) ( F hg) {x) rh

T h e o r e m Put 7i(x ) = e ~ ^ I f f or any f , g £ L i ( R n), then (3.2) ( / V g ) { x ) = - J j - j I f ( u ) g ( v ) e - ^ - ^ +'<h^ - ^ d u d v

R” R"

defines the convolution with the weight-junction 71 f or Fh

CONVOLUTIONS FOR FOURIER TRANSFORMS WITH GEOMETRIC VARIABLES

Proof W e have

R" R" »" R"

8 - M i l “

R" R- R"

| / ( i i ) | | S (i;)|ịp ỉ,I- “- v!í ' I<h'I - ” - t-> d u d i d z

| / ( u ) | |5(t’)l€ _ d i d v d v < -foe.

We prove th e f a c to n z a tio n identity T h e following formula holds (see i l l p 81] or Rudir [10 L e m m a 7,6])

-t<i.y-u-v>-i|v-v-v!2^ _ e~J2~ (2rr) J

We th e n have

- L * - < ■

Rr;

R"

— U r Í f Uu)g(v) [ e-'<z*-u- l>- ^ - u-'''7dye-'<z- r-u- v>dudi

B T GIANG, N V MAU, AND N M TUAN

-i|u-u-u|s+i</i,y—u—v>dudv dy

= - I I I f ( u ) g ( v ) e ~ ^ ~ u~v^ ~ i<x'v>+i<h'~u~v>dvẨỈvdy ' ’ Rn R" R"

- Ú T / e' i<I+v,> Í (2k / /

R" R" R"

= Fh{f~* g)(x). Fh

T he proof is com plete □

3.2 T h e c o n v o l u t i o n s fo r t h e F o u r ie r tr a n s fo r m w it h s im ilit u d e Let Q = ( a i , , a n ) £ Rn (a* 7^ Vi = , , n) be fixed For any X e R", we write a x = ( a i X i , : Qnx n) The Fourier transform with sim ilitude, denoted by Fa , is defined bv

( F * f ) ( x ) = - ~ r f e ~ l <a x 'y>

(2 tt) i J

R"

f ( y ) d y

-Sim ilarly to T heorem 3.1, we can prove T h e o r e m 3 If f o r any f g G L i(R n), then

(3.3) ( / * g ) ( i ) = ~ QL [ f ( z - y)g(y)>iy

F* (2tt) 7

S"

defints the convol ut i on f or Fa , and the j a c t o n z a t i o n identity I S

* a

T h e o r e m Jf f o r any f g £ Lil'R'1), ứien

( f t QJ'IQ! f r

(3.4) ( / g l ( x ) - — j J f ( u ) g { v \ p ^ dudv

Â'1 An

defijits the convolution tilth die x e i g ht - f u nc t wn -;i f o r Fa Proof- We have

n w ,

[ • ( / •' ỹ ) ( x ì ị d r = J~~‘ — / ; I j f [ u ) g { v ) e ~ 3" S" 3"

I n ajiiùỉ

< - ^ - y n— j j j -: u a v d x <

Ã" X"1 A"

CONVOLUTIONS FOR FOURIER TRANSFORMS WITH GEOMETRIC VARIABLES We now prove the factorization identity FYom the formula (*) it follows

(flttj)

1 =

( « )

Then

111 .

(2ít)5 J R"

e ~ ^ \ a \ r Í

l \ { x ) { F a ỉ ) ( x ) { F ag) ( x) = - j j Ỉ { u ) g { v ) e ~ ' < a x 'u+V'

R" Rn

n J J e~l<

Rn R"

dudv

(27T)

H n / = ’

(2jt)

’ - l < OI M> e - ' < o x v > d u d v

, — I <ơ x.u> —

m i ^R" R" ị ỉ R"r -M 2( f l Oj)

U>- , <0 -X,V>dudv = - f {u

(2?r) 7 y y v ' R" R” R"

- i | o (y-u-t')'2

'a ' ( n Qj)

v-' <nI^ >dudidy = ( - ' <al'y> - X

(2 -j: ( - r

RT‘

I J f ( n ) g ( t ) t - r a ^ - u- l )'2d u d v i d y = F J f - ff)(x).

?»1 Cn

RT1 R

T h e th e o re m is proved n

C o m m e n t , We not rest satisfied w ith th e a s s u m p tio n Q- Or = at the begining of th e subsection So the co n stru ctio n convolution? with w e ie b t-fu n c tio n tor F a in special cases of Qj Qn = is th e open problem 3.3 T h e c o n v o lu t io n for t h e F o u r ie r t r a n s f o r m w it h in v e r te r For any X t R " (x , = Vj = n ) let us write J = ( Ị — ). T h e Fourier tr a n s f o r m w ith th e inverter, d e n o te d by F , is defined bv the following

( F v f ) ( z ) = j e

RT;

W ith o u t difficulty we car prove

Theorem 3.5 If f o r any f , g € Li(Rn), then

(3.5) ( / * g ) { x ) = — [ f ( x - y ) g { y ) d y

Fv (2tt) J

R"

defines the convolution f o r the Fourier transform with inverter, the f act or­ ization identity as follows

F v U * g) ( x) = (Fv f ) ( x ) ( F vg)( x).

r V

Consider the function:

72(1 ) = e_ 2^ if Xi Ỷ Vi = , n, zero if Tị = 0. T h e o r e m I f f o r any f , g £ L i(R n), then

(3.6) ( / J g) [ x) = (2~ y Ị J f { u)9( v ) e ~ > iz~u~vị2dudv

R" R"

defines the convolution with the xueight-function 72 f o r Fy, and the factor­

ization identity IS

(3.7) Fv { f V g) ( x) = 7 2( x) ( Fvf ) ( x ) [ F vg) [ x)

Fv

Proof Obviously, if a t least one of the X, is zero (3i = n such th a t

X, = 0) (3.7) holds C onsider I , Ỷ 0- Vi = , n We have

a B T GIANG, N V MAU, AND N M TUAN

- 1 u u d u d v d x < -roc. f„

Proof Obviously, if at least one o f the X, is zero

X, = 0) ( ) holds C onsider X, Ỷ 0- Vĩ = ,

I { f ^ g ) ( t ) \ d i < Ị j Ị |/ ( t i % ( i ; ) |e

JJn 3-1 TJn jjjn

T h e formula (*) gives

( ) — U r f e - ,<^ - u- v‘*>-'ĩ*ỵ- u- v,7dy = e rz ' [2- ]5 J

T h e n

(27r Ĩ J ( - ” ) /

s n Sn

= _ L _ Ị Ị / ( u ì ọ ( l ) e - ỉ l ỉ ! 2e - << “- ĩ > e - <<''-ỉ>rftírfr Í " A”

= - ^ 1 Í e ~ i<y~ u~v' * >~ * ]v~u ~vịĩd ỳ ị e - t<:i- i >- ' <' :>đĩidv

1 " R" 3" 3”

= — / / /

^-7T^ ’ " ” Ã-1

J j f [ u ) g ( v ) e ~ I^y ~u~vr dudvịdy = F,.(f * g){x

(2')?_y H2t)"

S" 3n s

C O N V O L U T IO N S FOR FO U R IER T R A N SFO R M S W ITH G E O M E T R IC V A R IA B L E S

T h e theorem is com pletely proved □

R e ma rk 3.7 T he transform defined by (3,1) can be regarded as the convo­

lution for the transforms: F, Fh, Fv, and for Fa if |d | = 1.

3.4 Two convolutions for the Fourier-cosine and Fourier-sine trans­ forms on R n T h is subsection offers a convolution w ith w eight-function, and a new generalized convolution for the Fourier-cosine and Fourier-sine transform s on entire R n, just for the realization of our D efinition An­ other generalized convolutions and polyconvolutions will be addressed in another papers.

For any x , y , z Ễ R", write c o s x y s i m y instead of c o s < x y > sin < x j/>, and cos x ( y ± z ) , s i n x ( j / ± z) instead o f COS < X, y ± z > , sin < X y - r > respectively.

It is well-known th at the transforms

( r c/ ) ( x ) = — *-2 I c o s x y f [ y ) d y , (2ir)3 /

R”

( T, f ) { x ) = Ịsin x y f ( y ) d y ,

( 2n) J

R"

are the Fourier-cosine, Fourier-sine transforms respectively on e n tire T h e o r e m Ỉ Ị f or any f , g E L \ { x Tl).theTi

(3.8) ( f V S )(x ) = ^ L - f f f [ y ) gị V)[t- + t R'- S"

, , _ 2

+ t ’ - f t

-defines t h e convolution w i t h the weight-f u n c t i o n "V] f o r t h e Ĩ Ĩ Í Í C ' :

Tc The f actorization identity IS

Tc( f * g)(z) = ^:(x){Tcf ) { i ) ( T cg)ix). 7c

P to o Ị C h o o sin g X = 0 in the formula ('*) we also get th e icier.:: 1

(3.9)

(27T

(or see [10 L e m m a 7.6;V T hen

[ £ 2 dụ - — Ỉ-E- I e i :v' d y =

J (2jt)3 J

ir‘ nn

J l Ỵ g) \ {T) dj - < I I J \ f { u ) ] ' < g [ v ) \ e

Rn S ’- S' Ă"

+ i ^ / / /H- R'

R-■ Vi — V

- C'j

CVCJ-Ị / ( i i) CVCJ-Ị | ợ ( r ) | f d u d i c z

+ (27r)n / / / * * d u d v d x R" R" Rn

+ 4(2n ỹ I I I i / ( u ) l l ( v ) | e " L l r V ’' dudvdx

Rn Rn g n

= Ị Ị \f{u)\\g(v)\dudv

R" R"

8 T GIANG, N V MAU, AND N M TUAN

< +00, Moreover

7i(i)(7c/)(x)(7’c5)(z) = Ị — M

Rn R"

= ( í t ' ) ” / Ị f ( ui9 (v ) c os x {u + v)dudv

Rn R "

+ 4(27rj" / y ^ ( u)s(v)cosx(u - u)£fudv R" Rn

+ 4(27r j " / J f ^ (v) cos x ( u - v ) d u d v

3- R"

7 i ( x ) / [

+ 4(2T l n I I f {u) g[ v) COS x ( u + v) dudv.

A ■ By th e form ula («) we receive

4^2,J)n j J / ( u )ff(’^ )c o sx (u + v ) d u d v

R - R"

= ( ^ r / / / ( u )5(v)(e,<I-“+v> + e " <<I,u+,'>) ^ di<

R" x n

= 8(2^)3V2 / / e " <y-x>e~ỵl^ d y d u d v

K” R” 5"

+ 8 ( J i ỉ{l

S ’1 jt’’

Ẹ ^ h s ! y [ [

ỊỊn

f { u ) g{ v) I e , < y x > e JL_Ơ dy du d v

ã>

_ •

(3 ) = 4(2; <3n,2 I coszy I I f W 9(v)e - dydudf Similarly

• | ( j)

4 ( 22n)" ỵ y Ji f

Rn R"

f ( u ) g ( v ) cos:r(ii - v ) d u d v

(3.11) = \ ị2n)*n/2 j - y j J ' d y d u d v ,

Rn Rn R”

*7l (x) f f

4 ( ir ) n J J f ( u )9( v ) c o s x ( u - v ) d u d v

RnR"

CONVOLUTIONS FOR FOURIER TRANSFORMS WITH GEOMETRIC VARIABLES

e~ d y d u d v ,

(312) = 4(2 ^ / cos^ / /

Rn Rn Rn

'■ỵi (x) /

4( ) " J J ^ u ^ M c o s i { u + v ) d u d v

R" R"

(3.13) = — ^ Ị COS z y Ị Ị f ( u ) g ( v ) e ~ i* ^2L ' d y du d v.

B" Rr‘ R" Thus

7i(i)(r c/)(i)(T cg)(x) = 4 (2 * 3n/2J cosxy J J f { u) 9{v)[t~IJ^ ~

R" Rr Rn

ly + u — t ip | y - t i + u l^ Ilf —u —v |^ -Vi

+ e~ 2 + e - 2 + e~ 3 \ d u d v d y = Tc( f * g) ( x)

Tc

□

T h e o r e m I f JOT a n y / ( f t L ](R " ) i/ien

(3.14) ( f T Ị T' g ) t r l = Ị ^ J I f (u)g[v) [ - e “ ^

Rr Kn

-f 6

lx —u + v1 \x — u - I ^

+ e — e - dudv

defines the convolution with the U'eight-function 'Vi f o r the t ransf orms T c T S T S The f a c t o n z a Uo v i dent i t y ĨS

r c( / T Ỵ c} \ T' = ^i(t)(7's/)(t)(Tô5)(t).

* c ã ã> a ã J A

Proof It is sim ilar th e p ro o f of T h eo rem 3.8 we can prove / » £

T c.T ,.T ,

L i ( R " ) for any / Ợ c L j ( R r') S u S c e it to prove t h e facto riz atio n identity Using th e form ula (3.9) an d the identities (3.10), (3.11), (3.12) (3.131 we

(xìíT* n ( x ) ( r sc ^ T Ì = ~ ^ r j j f\ii)g{v)

R' R*1

= - i n * ) f f f X N / , 4(2-V- J J

-R" -R"

sin XUsin z v d u d v

f [ti ' i c ' r '1 cos r ( V T v ) d u d v

10 B T GIANG, N V MAU, AND N M TUAN

+ J Ị f { * )9{ v ) c a s x { u - v ) d u d v

RnRn

(x) f f

+ 4 ( 2n ) n j j ỉ ( u )9( v ) c o s x { u - v ) d u d v

Í*R"

— J J f { u ) g ( v ) COS x ( u + v ) d u d v R" R"

= ( ^ 3n / / C0SXy I / / ( « ) s ( « ) [ - C - J j t ± T t ^ ++ e

T h e p r o o f is co m p le te □

з.5 S o m e n o r m e d r in g s o n L i(R " ).

D e f in it io n (see Naimark [9]) A vector space V with a ring structure and a vector norm is called th e normed ring if ||uu;|| < !lu(|||u;|l, for all и, w e V.

If V has a m ultip licativ e unit element e it is also required th at '\t: ~ Let ,Y d e n o te th e linear space I i ( ! R n )

Now we define n o rm s for / € X For the convolutions defined bv '3 I 32' (3.3), (3.5), (3-6) (3.8) for Fh Fa F„,TC th e n o rm is choosed norm ally as follows

C o n c l u s i o n 1 X equipped rmứi each of s even above mt nuoned con­ volution multiplications, becomes the c om m u t a t i v e n o r m e d nrtc hai-ina no

unit.

We prove th e conclusion For briefness of o u r p ro o f (including Conclusion 3-12 b e lo w ) , le t us u se t h e co m m o n s y m b o l s H , a n d - for the transforms Fh F^ Fy, Tc a n d for th e above convolutions respectively It ;s cieariv A’ has a ring s t r u c t u r e c o m m u ta tiv e with the c o nvolution m ultiplication First, we prove t h e m u ltip lic a tiv e inequality We now prove for th e convolution (3.2), the proof for the others is similar, and easier By th e formula '3-9

il/ll = f \f{x)\ dx

(2~ ) 15"

CONVOLUTIONS FOR FOURIER TRANSFORMS WITH GEOMETRIC VARIABLES 11 we get

J If * g\(x)dx < j Ị Ị l / ( « ) ||p ( « ) ||e “ l‘ "V "1 +' <h'x- u- v >\dudvdx

R" R" Rn R"

= ( j r j " / / / | e - ' I ~ V ’' +i<h'x- u~v>\dxdudv

R" Rn R"

= 7~ T2 f [ l/(u)llff(u)Mu^v7 ~ rs / e_

(2tt) ì J J (2ir)ĩ J

R" R" R"

= 7777T [ f \ f ( u) \ \ g( v) \ dudv.

(2?r) s y y

R" R"

Hence,

77—2 / I / * p|(x)<±x < —i-5 - f |/(u)|du.—~-jT f \g{v)\dv.

{2tt)2 J (2tt)2 J (2tt) J

R" R" R"

Thus

I I / *p||<

ll/llIMI-Now it suffices to prove X has no unit elem ent Suppose that there exists an e € X such t h a t / * e = e * / = / , for any / e X T h e factorization identities im ply 70T-ifHe = Tif. where 70 = c o rresponding t o th e convolutions (3-1) (3-3), (3-5), a n d 70 = ■>] "M 72- ?1 th e convolution it of Í 3 -11 (3.8) respectively We then have ’H Ị ị ^ ũ ĩ i e - 1) — Choosing f - -fi and using th e form ulae (*) (**)■ (* * *J in th e respective case, we- conclude 7o ( x ) ( ? f e )( x ) - for alm o st every I e R n On th e o th e r side.

lim - ) i( x ) = 0, lira 2(1 ) = lim [ Ht ) { x j = 0

X—*00 Xi Ift-oc X-—QC

(see [11, T h e o r e m 1], or [10 T h e o re m 7.5J), which c o n trad ict to the ias; identity.

C o n c l u s i o n A', equipped with the convolution multiphcci-.or f3.]4

becomes the c o mmu t a t i ve noT-mec ring having divisor o f zero arid no unit.

We prove t h e conclusion For f Ễ X th e DOrm is

l i / l i = — [ / ( ) idx ( ' 12 J

R"

Bv t h e convolution m u ltip licatio n X h as a c o m m u ta tiv e ring s tru c tu re It is clearly that if f (r) = and g(x) = - q ( - t ) for all r € R" then

/ * = ■ _

Now we prove X has no unit S u p p o se t h a t th ere exists an e t X such t h a t / * e = € * / = / f o r a m / £ A' T h e fa c to rizatio n identit\- implies

(Tf f ) ( T se) — Tcf We choose V r ' i = e 2 € X O bviousiv = ! e

th e left-side of th e last ld e n titv is zero-function O n the o t h e r h a n d from

12 B T GIANG, N V MAU, AND N M TUAN

formula (*) it follows /0 = Ffo = Tcfo + iTsfa = Tcfo- It follows that Tcf is exactly the nonzero-function /0, which contradicts to the last identity.

4 Th e Fo u r i e r t r a n s f o r m w i t h l i n e a r-f r a c t i o n a l s h i f t o n R In this subsection, we discuss a transform o f Fourier type, namely, it is the Fourier transform w ith linear-fractional shift on R In the sequel, the functions d ealt w ith here are defined on R-

It is well-known th a t the linear-fractional function of the form ax + b

u { x ) = cx + d.

caries out an one-to-one mapping of the extend real axis R into itself More­ over, the set of all linear-fractional functions is a group In the next, this group will be denoted by V Group V, in general, is infinite

Tw o linear-fractional functions

r / \ _ a i x + J T t \ a x + ^2

L ^ x > = -7 ' Cl I + d\ and Li( x > = ' C2I + d2A

will be considered identical in group V if and only if Li(x) = £2 (1 ) f°r

all values of X in R For this to be so it is necessry and sufficient that the

corresponding coefficients be proportional to each other, i.e Ơ2 = Aai- =

•Mil c2 — Aci, d.2 = Adj, A Ỷ 0- Since, one usually assum es ad - be =

Denote by I the unit element of group V For any uj í V let us write

ujk {x) = ui(u /_1(x)) k - 1.2 where u

D e f i n i t i o n 4.1 A iiiiear-íracùonal function —' € V is said tu be involution of n-order if ~-n = / -•TT1 = / m = ,2 n —

T h e following is a necessary and suffucient condition for a linear-fractional function to be involution OÍ n-order

T h e o r e m ([4], or '6 p 496]) Let

a x + b

„’(x) =

cx -r a

be given and let 77 £ r> 7! > be fixed Thtri _ IS involution 0! n-order if

a n d onl y if

a -f d = cos — for some ic Ẽ { u - 1} (n fc) = l cd - be = 1.

By th e th e o re m , for any n t fixed, th e re exists an infinite set of linear- fractionaJ fu n ctio n s which are involution of n-order T h e n , each of th e n-

o rd e r in v o lu t io n fun ction s is the eenerator of a n -t e r m s cyclic group. E x a m p l e Consider n = 2.3 It easy to check that a n -o rd er involution lijiear-fractioj:.ii function is of th e following form

• n = :

CONVOLUTIONS FOR FOURIER TRANSFORMS WITH GEOMETRIC VARIABLES 13

a ax + b

- x + a, o r — —

cx - a • n = :

abx + fr2 abx + Ò2

( - a + a — l ) x + 6(1 - a ) ’ ( - a - a - l ) x - 0(1 + a ) • n = :

a&i + 62

( — a + >/2a — l ) x + 6{\/2 - a) or

a f c i + b

( — a2 — \/2a — l ) x — 6(\/2 + a)

• n = :

2aòx + 2b2

( ~ a + (\/5 + l ) a - 2)z + bị\ / + - 2a) 2abx + 2b2

( - o2 + (\/5 — l ) a — ) i + fc(\/5 - ] — 2a) 2i + 2i>2

or

Í - 2a- - t i l - \.'o)a - 2) x ■+ b( ] - V j r-(i

2abx -f 2b2

{ - a - ( \/o + )a - ) t - 0(1 + \ ỉ b T • n = 6 :

abx + Ủ2

a *

( - a2 — \^3a - ) t 4- (\/3 - a ) ’ or

abj + b

\ - a - \ 3a - l ) x - b[ v'3 — a1

I5J -L Ji

Let U.’(JTÌ = - - be given Consider th e tran sfo rm c x -r d

N ote th a t i: / € Li( R ) in general, it IS possible VT/ e Lil'R). Now t he

Fourier tra n s fo rm with I m e a i- ữ a c ú o n a l shift is defined as follows (4.1) ( ^ / H x ) : = —L= Ị f ( t ) d i ìĩ I ý — ze.-o if X =

\ / T J £ c

14 B T GIANG, N V MAU, AND N M TUAN

Remark 4.4 ( i) If / € Z-i(R), then (■?"/) (x) is determ ined for every I € R (ii) T h e Fourier transform w ith linear-fractional shift (4.1) can be consid­ ered com positions of the transform s F h, Fa , F v

(iii) T h e phase function o f transform (4.1) is w (x ,t) = 2§±§t (see (7, p 236]).

(iv) T he asym p totic behaviour of the function ( f f ) ( x ) as follows:

If / is continuous and belongs to L i(R ), then lim íT f ) [ x ) = ( F f ) ( - ). and lim (^r/ ) ( i ) = (see [10, Theorem 7.5]).

We would like to discuss th e tra n sfo rm s w, FW, an d T First, we con­ s tr u c t th e functions / e L i ( R ) such t h a t W- e L ](R )

E x a m p le Let m > be fixed C o nsider th e linear-fractional function

2 / - m

(jfx ) = —- — ——, and the function f ( x ) - < em ' ^ < m '

r _1_ m I „

It is easy to check |cj(x)| < 771 if and onlv if X > and / € Co°(R) (see (13 P- 8]) D enote by s th e space of rapidly decreasing functions (see [ Of) We th e n have / € s Moreover,

Hence, w f = € and H ' / - / ( ~ ) c £ ị (Ã Bv T h e o re m 7 in :1 we have F W f € >5 On th e o th e r han d , again bv T h e o re m 7 in 10 i there exists a function such t h a t / = f V It implies Ĩ ^ — w F s = H' T hus, th ere are th e infinite sets of liner-fractional function € V and of functions f y £ s an d such t h a t th e functions T - f F W f £ s

C o m m e n t T h e investigation for the tran sfo rm ( ) rem ains open

j 1; B o c h n cr s K C h a n d s e k h a r an F o u n e r tr a n s jo r-n s. P rin c e to n L n r-e rs r.v Press 1949

[2! B ritv in a L E G e n e r a liz e d c o n v o lu tio n s f o r th e H a n k e l :ran.ôf>r-n in c -ãia ifC ã.r.iertự o p e r a to rs. M a th N ach r V 280 (20071 Issue 9-10 O- 962-970

|3Ị B ritv in a L E - A cla ss o f :r.tecra i t r a n s fo r m s re la te d :c 'h e ,v*u~ c r c o s ir.t z a r w iiif.c r i,

In teg T n s , a n d Spec F a r e s V 16, Issue L 2005 p 379 - 569

Í4Ì C h u a n L H- T u a n N M- O n s in g u la r m ieg rxd e q u a tio n s intVi ine C arle~ nan f n i f t s :n

th e ca se o f v a n is h in g :o e r ic '.c n t. A c ta M a th \ ie tn a rr.x a \ 2003 N j l r '- ’ So i5] Fox c T h e G - a n H - h ir ,c tio n s a s s y m m e tr ic a l Fawner- k i —.e h T rar.i AM S ’•

9S (1 i N- p

[6i G ak h o v F D B o u n d a r y va lu e P ro b le m s D over P u b New Y ork 1990

j~J H õm axider L T h e A n a ly s is o f L in e a r P n rU a i ĩ r r ir ẹ e r -Y erlag 1983

Í8i K ak ich ev V A N e X T h ao V K T u an O n th e gen eralized co n v o lu tio n s for Fourier cosine a n d sin e tra n s fo rm s E as t-W es t j of M a th V (199S N i p 'S-'-K’

|9j N a jm a rk M A S o T -m a i R in a s G ro n in g e n , N e th e rla n d s : p N o o rd h o lĩ V \ 1959 [10] R u d in w , F u n c tio n a l A n a ly s is M cG raw -H ill 1991

z — - d / c

X + m 0 if I > m

X >

Re f e r e n c e s

CONVOLUTIONS FOR FOURIER TRANSFORMS WITH GEOMETRJC VARIABLES 15

[11] T ic h m a r s h E c , I n tr o d u c tio n to t h í th e o r y o f F o u r ie r in te g ls, N ew York N Y , 1986.

[12] T u a n K V , Integral transform o f F o v n e r ty p e m a n e w c la ss o ] fu n c t i o n s (in R us­ s ia n ) , D o k l A k a d N a u k B S S R V 29 (1 ), N 7, p -5

[13] V la d im ir o v V s , G e n e r a lize d F u n c tio n s i n M a th e m a tic a l P h y s i a , Mir P u b ,

M o s c o w , 1979.

B u i T h i G ia n g , D e p t, o f B a s ic S cie n ce In s t it u t e o f C r y p t o g r a p h y Scien ce 14 C h ie n T h a n g S t r , T h a n k T r i D is t Hanoi V ie tn a m

Ngu yen Van Mau, Departm ent of Mathem atical Analysis Un iver sity of

H a n o i, 334 N g u ye n T r a i S t r , H an o i V ie tn a m

E -m a U a d d re ss: m aunvCvnu e d u VE

Ngu yen Minh Tuan,1 Departm ent of Mathem atical Analysis Un iver sity of

H a n o i, 334 N g u ye n T r a i S t r , H an o i V ie tn am

E - m a i l a d d r e s s n g u y e n t u a n iv n u edu vn

O N T H E D Y N A M IC OF T H E D IS C R E T E PO PU L A T IO N M O D E L S

D IN H C O N G H U O N G

Dept, of Science and Technology, Quy Nhon University 170 An Duong Vuong, Quynhon, Binhdinh Vietnam

Ab s t r a c t T h e e x t i n c t i o n , p e r s i s t e n c e a n d g l o b a l s t a b i l i t y in m o d e l s o f p o p u l a t i o n g r o w t h

xa + 1 = G (l„,In-l I n - J , 71 = 0 1.

is in v e s tig a te d , w h e re G IS a f u n c tio n m aps to R _

1 In t r o d u c t io n

O u r m a i n m o t i v a t i o n in s t u d y i n g p r o p e r t i e s of s o lu tio n s of a dc!av n o n lin ­ e a r differen ce e q u a t i o n

I n * l = C i X n I n - l ■ ■

is t h e e x t i n c t i o n , p e rs is te n c e , global s t a b i l i t y a n d n o n triv ia l p e r io d ic ity in the model

T-n~: = Axn + F(Tn~r^]

of p o p u l a t i o n g r o w t h in [1.2] a n d th e c o n v e rg e n c e of solutions of '.he difference equation

TTĨ

i=l

in [31 In t h is p a p e r , we e x t e n d s o m e r e s u l t s w h ic h is m e n tio n e d in 3]

K e y w o r d s a n d p h r a s e s N o n lin e a r d iffe re n c e e q u a t i o n , m u ltip le i f i i v c o n v erg en ce, e q u ilib r iu m

2 DINH CONG HUONG

2 T h e r e s u l t s

Consider the nonlinear difference equation with multiple delay

đn+l , I n_ i , ã ã , x n_ m ) , ( 1 )

where n € No, X - m , X-m+1 r • ■ , Ic ar6 positive initial values and the function

ữ ( z o , i , '' ■ ,Zm) : R + X ■ ■ ■ X R + —*

B y a s o lu tio n o f (1.1) we m e a n a se q u e n c e { x n }n>_m of n o n n c e a t i v c n u m ­ b e r s w h ic h sa tisfies (1.1) for all in te g e rs n > L et a.m. a.;, DC T'< - given nonnegative numbers Then (1 ) has a unique solution

w h ic h s a tisfie s t h e in itia l c o n d itio n s

I n = a„, for n = - m , ■ ■ ■ ,

We give conditions implying that every solution of this equation is extinc­ tion, persistence or global stability First of all we have

L e m m a / / Ao + A] + Ả2 + • ' ' + Am < then there exists a number f > such that

A5 + + A25^ + • ■ ■ + Àm sm + I <

L e m m a Let {Pn}n be a sequcncc which satisfy the following

-Jo = 3- ! = • ■ ■ — 3-m — I

* J t j — ] “ ^ J n T " ^ ' - ^ n -T- ■ ■ ■ —- \ r n j i - T T i

Jf p ■- Ac - A] -Ị- A2 -Am > where A, > then X, : -■

a n d monotone increasing for n £

No-2.1 T h e e x tin c tio n A positive solution {x„}„ of (1.1) IS canec cxv.m'.w if

lim z u —0.

r. — X

T h e follow ing t h e o r e m gives a sufficient a n d n e c e s s a ry c o n d i t i o n for e x tin c tiv e populations.

T h e o r e m As s ume that G[z0. Ctt,' Íí ỵ ^L c an{t 'Hx=: ' -Then every solution of 11-1) converợes to zero.

Proof. S in c e G( z :].■■■ f°r a p o s itiv e n u m b e r c ", ■; have

P u t y n — a1" t h e n we h a v e

^ ; A0 ’ J A i j- Mm

Vn-l ^ \yri' \Vt,-V ■ ■ 'V-.-rr-.'

ON T H E DYNAMIC O F TH E DISCRETE POPULATIO N MODELS Since x„ > 0, Vn — — m, —m + 1, ■ ■ • we have yn > Hence, we have TJ = m a x {y - m, y - m+i, • • ■ , T/o} > 1- Using Lemma 1, we can prove the following estimations by introduction:

A s s u m e t h a t (1.2) h o ld s for t h e s te p s 1, 2, ■ ■ • , n, we e s t i m a t e th e so lu tio n a t s t e p n as follows:

T h i s im p lie s t h a t lira yn ^ ĩ f = I Since y n > for all n. we have lim yn =

TI—oo n —oc

1 T h i s follows t h a t Iim x n — T h e p ro o f is c o m p l e t e d

A s s u m e t h a t e q u a t i o n (1.1) has a u n iq u e p o s itiv e e q u ilib r iu m r We h a w a sufficien t c o n d i t i o n for th e global >r ab ility of rhe e q u ilib riu m

2.2 T h e S ta b ility A p o sitiv e so lu tio n | I „ } „ of (1.1} 1> giobai s t a ­

b ility if t h e r e e x is t

T h e o r e m I f G(zo- Z\ ■■ - .2m) satisfies Lipchitz condition :n eyf-rj van- able z, with Lipchitz factors L, which satisfy Q L, < then every solution

o f (1.1) is convergence to positive equilibrium X.

P r o o fWe have

Ị i n- - ĩ Ị = | G ( x n r n_ - • • ■ I n_m ) - C i ĩ X - - ■ X '

^ IG T1 —' ' ' ' Xr, _ TTj ) G' X TỊ _ ‘ - - —mi: Ị ^ ' ' ' - - T T1_rnl j C » J r X X n^2- ' - -n Ị J/n+1 ^ 7?J , n € N

For n = 0, we have

yi < [yo]A° - [ y - i ] Al ■ ■ ■\y-m]x,n ^ 7jAo+Ai+- +A™ < rr - n -0

(1.2)

lim Xr, t (0 oc)

■ X ' — G\I.

yn-t-l ^

4 DINH CONG HUONG

Applying Theorem 1, we have lim ^co yn = It means Iim^oo xn = X The proof is completed.

In converse condition, it means th at G{z0, z u - ■■ ,Zm) > then

the following theorem gives a sufficient condition for the non-convergence to zero of the solutions of (1 )

T h e o re m 0 ^* > every solution { i n} of (1 1) satisfies lim inf x n >0.

71 — oo

Proof. Similar to the above proof, we also put yn = aZn then we have

J/n+l > [t/n|A°.|i/n-)]Al ' ■ ■ [ j / n - m ] ■

let us denote 8 — m inlyo-y-i, , y-m} then 6 > We prove yn > 0^" by induction.

Clearly, J/J > [j/o]A°.|j/_ijAl ■ • ■ [y_m]Am > ổAo+Al+Aỉ+,"+A’" = ớđfl).

Assuming th at yn > 9 ^ for the steps 1,2, - - , n, we have T/n + l > [yn]A0.[yn-l]Al

Q^ì0n-ì Q^mPn-m

_ -f A I 1+ "*■ Ầ m n - TT,

= 9ỏn- [.

By Lemma wc have yn.\ ^ 0B"~' ^ Q3' - Vn e This implies that J n^i 'ỷ P. ìogQ tì > 0 Hcnce lim inf x n ^ p ](jga 6 > 0

2.3 T h e P e r s is te n c e A p o sitiv e solution { ! „ } „ of (1.1) lb called persisten t if

c < l i m i n f X n ^ l i m s u p j n < DC

T1 oe n—oc

The followins theorem gives a sufficient condition for persistent (non-exnnctive) p o D u la tio n s

T h e o re m As s ume that

G ự ũ - ?:■■■■ Im] = , x m x :r: ■ - X rr '

where

H i l o -XỊ • - ■ xm Ị/0.Ỉ/1 ' pm) ■ Ị0 oc)2(m'rl — '0 :x

i s 0 c o n t i T i v o v ? h i n c t ĩ P T ỉ ĩ n c " f O ĩ ĩ v g TTỈ T , b u t d e c r e a s i n g IT! y t a n d

H [10- - ■ ■ ■ ^ÍII' 2/0- yi ■ ■ ■ yTn) ^

ON T H E DYNAMIC O F T H E D ISCRETE POPULATION MODELS

i f X i,y i > S u p p o se fu r th e r th a t

limsup a’1’ ’Xm' ^ll ’ < 1

li.V i—>oo l o + Z l + ■ • ■ + X-m TTl - 1

lim inf ỈỈSĩ2iĩhLLL I^2i]ỉ!h}ỉh— m^ J> ^

It,V i —>0+ X o + I j + x m ĨTÌ 1

Then e v e ry sol ut i on { x n}ĨL -m o f ( , 1) is persistent.

Proof. The proof of this theorem can be obtained similarly as the proof of

Theorem in [1],

Re f e r e n c e s

|1] D a n g V u G ia n g a n d D in h C o n g H u o n g , E x t i n c t i o n , P e r s i s t e n c e a n d G lo b a l s t a b i l i t y i n m o d e l s o f p o p u l a t i o n g r o w th J M a t h A n a l A p p l , (2 0 ), 195-207

[2] D a n g V u G ia n g a n d D in h C o n g H u o n g , N o n t n v i a l p e r i o d ic it y i n d i s c r e t e d e la y m o d e ls

o f p o p u l a t i o n g r o w th, J M a t h A n a l A p p i (2 0 ), 291-295

[3] D in h C o n g H u o n g , O n th e a s y m p t o t i c b e h a v x o u r o f s o l u t i o n s o f a n o n l i n e a r d iffe r e n c e

equation w i t h bounded multiple d e la y , Vietnam Journal o f Mathematics 3 :2 (2 0 ),

Controllability of Linear Systems with Generalized

Invertible Operators

Nguyen Van Mau

Hanoi University of Science, V N U H

1 Controllability of first order linear systems

w ith right invertible operators

Let X , Y a n d Ư b e lin e a r s p a c e s (all o v e r th e s a m e field T w h e n T - A or T = C ) S u p p o s e t h a t D € R ' X ) d i m k e r D =£ F € s ? ' T ' " I ; > •( ai:

ĨÌ t t A ẽ JLq\.\ I A] t 1(1'A —’ } ] B Ẽ Lnff —• A I H — L[ Ì —■ ) (cf S e c tio n 1) B v a first o r d e r lin e a r s y s te m ( s h o r t l y i t s ' wo mere, trse s y s te m

T h e s p a c e s A a n d L are called t h e sp ace of s t a t e s and th e sp a c e of controls, re sp e c tiv e ly The e le m e n t Xo t ker D is called an initial sTaie A pajr Z-J L €

(ker£>) X u is ca lle d a n i n p u t T h e s p a r e (kerZXi X r is Called :npu* space, a n d t h e c o r r e s p o n d i n g set of ỉ/s in y th e o u t p u t s p a ; Very c h c n t h e r e a r e c o n s id e r e d lin e a r s v s t e m s w ith A: — I and B-_ — ; e With } - A a n d t h e o u t p u t V ~ X. W e shall d e n o t e such s y s te m s b y [ L Si:

T h e p r o p e r t i e s of l in e a r s v s i e m s d e p e n d on th e p r o p e r tie s of : h e r?5.;:v:r.£ o p e r a t o r s / — R A a n d I — A R resp ectiv ely In a series of p a p e r s ‘ Cl 54-56 N g u y e n D i n h Q u y e ; s t u d i e d so m e p r o p e r t i e s of l i n e a r s y s t e m s ir th e rase I — R A i n v e r t i b l e His r e s u l t s c o n c e rn in g c o n t r o l l a b i l i t y w ere g e n c r a ^ z v d bv P o g o r z e le c Ị84-85' in t h e case I - R A a n d Ị - A R e ith e r left or Tie::' e r:;b ir a n d in t h e e ase 1 — A R in v e rtib le

H e n c e , t h e r e a re SIX cases to deai w ith:

D x = A x - Bu R B U { x 0} c ( / - RA)[áonì D F x — Xq I o € k e r D.

R X + k e r (I - R A ) = { { p , x l - (3,I1 + x - /? 2/4, t/5, • • •} : p Ễ R ,

I = { i n } € X , y k = X i + - + X fc_ i ( k > ) }

Hence TịRBƯ -ệ- R X + ker(/ — RA). By Theorem 1.2, there IS

X G R X + {I q } + k e r ( / - /Ỉ.4), which is not reachable from x'0.

Let F ị ịx n} = X3{en} Then

/•4X4(ker D) = { - },

i.e /\jT4(ker D) = ker D Corollary 1.5 implies that the system (1.30) is

If we p u t = x2{eri} then Fj'T^ker D) = {0} Hence F.'T^ker D) Ỷ

k erD However, F4'(ker(/ - RA)) - kcr D, so that

FjTj(ker D) + k e r ( / - /?.4) = kẹr D B y T h e o r e m t h e s y s t e m (1 30) is /^'-co n tro llab le

E x a m p le 1.2 Suppose that X D R F are defined IS m Example 1.1 and that

-4{xn} = {0 X3 J <1 - 13 , 15 - Xj . } L’ = X E =1 It IS easy to ch e c k t h a t

(I - = {Xj X; 0 (1.33)

Hence I - RA is a projection, and so it is net -.r.v'-riblo but it is g e n e r a liz e d a lm o s t in v e rtib le T h e kernel of / — R A IS

k e r ( / - R A ; = { { X3 x , } r n £ ? £ ; ( )

Fix x'0 = {6en} € kerD Then

R L — {xó} = R X { -9} (1-35)

S ince ( / - R A } = ỉ - R A we get TA = / £ vvr _^_4 iT:C

T4R B U = R.X. f l 36)

Now (1.34) and (1.36 ' yit»id

T R B Ư = R X + k e n / - RA

Theorem 1.2 implies th a t every state I e R X + {T410} + ker(/ - RA) is (4)-reachable from Zo € ker D.

Let Fị £ T-p, ^ {X n } := Z3{en}- Then F4T4(kerD) = kerZ) Hence, by Corollary 1.5, the system (1.30) is ivcontrollable.

Suppose now th a t Tị — Ị - R A Then I - RA € Wj-nA since [I FLA)3 -1 — RA. In this case, we obtain

T 4R B U ~ { , p , , } , r ( k e r £ ) ) = { { 0, _ } : J - e l R ) FaT4{ker D) - {{5, Ị3. 0 .} 3 € R}

and F4(Tị{keT D) + ker(/ - RA)) - {{cen} : c € R} Thus F^Cker D) 2

ker D However,

F^T^ke r D) + keiự - RA)) = ker D.

Theorem 1.3 implies that the system (1.30) is F4'-controIlable for the given generalized almost inverse Tị — I - RA.

2 Controllability of general system s with right

invertible operators

Let X , Y a n d V be lin e a r spaces (all over t h e sa m e field T w here 7 - z or T = R ) Let D £ R [ X ) R € 1Zt> a n d let F be an in itial o p e r a to r c o r r e s p o n d i n g t o R W r ite

Ak ■— tlom D k Zk := ker D ' (k € -

S u p p o s e t h a t we are given Aị € Lo{X —>} ) B -E Lull — A 3_ £ Lol l' - Y )

D e f i n i t i o n A lin e a r s y s te m (sh o rtly {LSỴỊ IS any s y s te m

Q\D) - Bu FD 3! = Xj x} € Zi (j = : A/ - -V - 2 :

y — A \ X + B\U,

-wh e r e

M s

Q Ũ = Y ^ D mA mnD n.

-m =0 n=

A m„ € L { X ) A mnX s i - * - c Am (m = M: n = V - - <

M — N) Atf'X = I.

Herein we assume th at

where

R " + " B U ® {!»} c ( / + Q ) X ^ y ,

M+N-l

x ° := X / ^ X} e Zm+N, j=0

Q-= J Ỉ RM + N~mB™ iT -m=0 n=0

(2.4)

(2.5)

(2.6)

w h ere

$ m n • — M

A‘mn - £ F D ^ A l

ịẰ— m

if m = 0, o th erw ise,

.4'_= if m — M and n = N

otherwise (m = 0, M\ n = 0. .V)

T h e a s s u m p t i o n !2.4; is a n ecessary a n d sufficient c o n d itio n for th e initial value p ro b le m (2.1) to have s o lu tio n s for ev ery u € i

If 4; = J a n d B' = t h e n we shall d e n o t e Thf* S V S I P -■2 h

(LS )0

D e f i n i t i o n 2 T h e linear s y s te m (2.1 )-(2 j IS said to be we!]-defined if for every’ fixed u E V t h e c o rre s p o n d in g in itia l value p ro b le m (2 IS w el!-posP(i

If t h e r e is u € Ư such t h a t t h e in itia l v alu e p ro b le m Í2 1) IS i!l-posed th en t h e lin e a r s y s t e m IS sa id t o be ill-defined

T h e o r e m 2.1 S u p p o s e t h a t tile c o n d itio n (2.4; is satisfied T h e n tile -ivste.’ii (2 l ) - ( 2 ) IS w e ll- d e n n e d if a n d o n l y if t h e c o rre s p o n d in g resolving o p e r a t o r

I + Q 1. w h e re

M V

m=0 n=0

'9

is e i t h e r in v e r t i b l e or left in v ertib le

I n d e e d , if I - r Q 1 is e i t h e r in v e r tib le or left in v e rtib le , th e n for every u £ Ư t h e in itia l v a lu e p r o b l e m (2.1) h as a u n iq u e so lu tio n O i th e form I = G : \

where

= EQ{RSi^y Bu - I - ' S'

E c : =

I - R s Eq-Qi if / - Q IS i nvert : Di e

/ - R y Lq' Qi \f ĩ + Q' is left invertible

Eq' ự + Q') Lq> g L/+Ọ-, M N

Q i : = Y ^ Y ^ R M- mBmnDn. (2.10)

m=0 n=0

So, according to (2.2), the output y is uniquely determined by any u € Ư and x° € Zm+n, a-nd is of the form y = AiG(x°.u) + B\U. If we consider a linear system (LS)o, then y = X = G(x°,u)

D efin itio n 2.3 Write

Go := AỵEọ Gy := GữR hJ*s B + B u (2.11

where Eq is defined by (2.9) The matrix operator G° = [Go,G]) defined on

the input space Z m +m X u is said to be the transfer operator for the linear

system with the resolving operator / + Q' invertible

Therefore, to every input (x°,u) there corresponds a uniquely determined output y, which can be written as

y = Go(T^.ti) — G()J° + G\U.

C o n s i d e r now t h e lin e a r s y s te m \ L S)0 Ỉ (' t h e s y s te m (2 - 2; win Ai = I B, = 0

Q \ D ) x = B u FD>X = T j I ; € Z: (J = n M - .V - , 12

R m+nBU e- {-"} c u - V A -.- v 13

W r i t e t h is s y s t e m in an e q u iv a le n t :orn

(I ~ Q ) ! = R y - X B u - 1° ;2.14

D e n o t e by Hi {i = 1.2.3.4) th e following sets defined for a n y r c e Z Af-.v u 6 u ■

(1) If / - Q’ £ then

i í i ( T D, u ) : = - x ° ì - - - k e r i / * Ọ ì } (2 15 w h e r e

7- = ỉ — R's Rq’Qi Rq' & 7ĩz~Q ■ (2 16

Ọ i is giv en hy (21 10)

(2) I f 1 - Ợ £ ẶV) a n d x0 £ L ; - ọ th e n

where

Tĩ ■— I - Lợ Qi , Qi is defined by (2.10) (2.18)

(3) If I + Q' is invertible, then

H 3(x° ,u) : = { T 3( Rm+ " B u + x0) } , (2.19)

where

T3 -.= Ỉ - RN(I ~ Q T lQi (2.20)

(4) If / - Q' € W (X ) and WQ. € WI+S- then

/ / 4( x ° , u ) : = { r 4( ^ M- VB u + x ° ) + z : z € ker(/ + Q)} (2.21)

where

(2.22)

Note that H, (i = 1 , 2, 3, 4) are the sets of all solutions of the system (LS)o in the respective cases.

As in S e c tio n 33 wc need th e following

D e f i n i t i o n A s ta te X € X IS said to be (ĩ)-reachable (i = 1,2 4)

f r o m a n i n i t i a l S l a t e x ° t Z t i - Y i f f o r HYPTV r , ( T \ € Ĩ Ì - ĨtQ, Tị s T j =

[I + Q ) ~ \ Tị Ễ W ’j ^ q ) t h e r e e x ists a c o n tro l u £ L' such tliHi J € u In t h e following we onlv deaJ '.V; Lh th e a b o v e four ra*es W rite

Rangr i o //; = [ j u) J° € z „ v 23:

u€L’

I t is easy to see t h a t R a n g e s //; is ^ - r e a c h a b l e from X by m ^ a n s nf r-o n trd s u € I' a n d It IS c o n t a i n e d m X'\t-r,\

L e m m a 2.1 Suppose that 7", (i = 1.2,3.4) are given by (2.16) (2.18,5 (2 20' and (2.22) respectively Then

T,[RM' y BU 6 {x0}) -r kerf/ - Ợ)

= T,RM- y BƯ { r , x 0} e k e r ự - Ợ) -2.24 R e m a r k I f / - Ọ ' is e i th e r i n v e r ú b i e or left m v e m b i e m e íormLÚa (2.241 is of t h e form

T,[R-''-y BU e {zữy = T,Rst~s BU e {T-.io} C o ro lla ry 2.1.

R a n gr ^ H , = T : /?A-' v s r ~ { > 0} kor / - Ọ" : :

C o r o l l a r y 2 T h e sta te X € Xm+n is (i)-reach ab le from Xo € Zm+h if and only if

X € TxR m+sBU © {T,x0} © ker(/ + Q).

Lem m a 2.2 Write

El - T iR M+NB,

*0 := TX(RN{I + + ( / + - {x0})^ 12 26j

Then the operator £ , maps the space Ư into ^0,

T h e o re m 2.3 Let there be given a system (LS)0 described by (2.12)-(2.13) Suppose th at B e Lo{U -* A’, A" - [/'), D € L{X,X'), Tx €

Lo(Xm+n, X'm+n), I — 1,2,3,4; /Ĩ Lq(X,X'). Then the generalized

Kalman condition

k e rổ -(/? -)M+Jvr ; = {0} (2.28)

holds if and only if for every initiaJ state 1 ° e Zm+n- every state I € X +x° + k er(/ + Q) is reachable from x°.

D e f i n i t i o n Let t h e r e be given a lin e a r s y s te m ( L S)0 of th e form '2 ' (2.13) a n d let F[ € .

( T h e s t a t e X € Z m + s is s a j d t o be F - r e a c h a b l e f r o m a n i n i t i a l s : a t (

x° c Z_\í + Ạ- if t h e r e e x is ts a co n tro l V € Ư such t h a t X1 € F ' H J t ^ u ' T h e

S t a r r X1 is t h e n c a l l e d a finaJ s t a t e

(ii) T h e s y s t e m { L S)0 is said To be i r.-ro n tr o lla b lc if for ev ery in itial £ 2",\i T A

f ' 1'( R a n g t l c / A ) = Z \1~S- - 3'"' (iJij T h e s y s t e m ( L j o is said to be / ’.-c o n tro lla b le to I € Z v - V if

I € / ' t ( R a i i g r o / / I ) i'2

for every initial state 1 ° Zm-tS

L em m a 2.3 Let there be given a linear system (L S)0 of the lorm (2 12

-(2.13) and ail initial operator F' € Suppose that [LS): 1? F

-com Tollable TO zero and that

F X Z m+* = Z u - y 32

Then every final state X1 € Zm+k is F ‘ -reachable from zero.

P r o o f It IS sufficient to deal with the rase 1 = Since the system IS F l

i.e there exists Zo £ k er(/ + Q) such that F^Tị{RM+NBu' + °) + Zo) = 0, or equivalently

F : ( T 4( Rm+nBu' + 2o) = - F' T < X °

By the assumption (2.32), for every given state X1 e Zm+s we find X2 €

Zm+n such th a t - F 4T4 2 = I H ence, there are u € u and Zo € ker( I + Q) such that

F : ( T ( Rm+sBu) + z0 ) = - F 4T 4x = I

This proves that an arbitrary final state X1 is reachable from the initial state

0.

T h e o re m 2.4 Suppose that all assumptions of Lemma 2.3 are satisfied Then the linear system (LS)o is /^'-controllable.

P roo f It is sufficient to deal with the case of a generalized almost invertible reso lv in g o p e r a t o r B y t h e a s s u m p tio n , t h e r e e x ist Uo € u a n d ZQ k e r[ I+Q) such

Fị\Tị{RM^ N Buq + x°) + zq\ = (2.33)

O n th e o t h e r h a n d , bv L e m m a 2.3 for ev ery given X1 € Z vf- V th e r e exist u? € u , that z2 € ker(/ -f Q) such that

F ' \ T A R " ~ X B u 2 + 0) + z2\ = I (2.34)

If we add (2.33) and (2-34) we obtain Fị[Tị\RS Ì Bill - J r - Z: = x \ whore U] := uo + u ị € I -1 = Zq -r z 2 G k e r ( / -r Q) T h u s <'vrrv f.n.ii sTatf

X1 € z \ i * v is ^ - r e a c h a b l e f r o m t h e i n i t i a l s t a t e 1° €

N o te t h a t T h e o r e m 2.4 was given by N g u y e n D in h Q u v e t 54-561 an d P o g o rzelec 84! for s v s t c m s of th e first Older w ith in v e rtib le Ai:d in­ v e r tib le re s o lv in g o p e r a t o r s (cf S e c tio n 33) T h e o r e m can be Eeneraiized as follows:

T h e o re m 2.5 Let there be given a system (IS )o of the form I 2 :2j-(2.13) and an initial operator F[ € Fjvvt-.v- Suppose that ( 5‘0 IS fV-cemrollabie to zero and that

F [ % i Z st- s - k e r ự - Q \ = z.v/x.v- 2.35)

Then (L S)0 is / ’/-controllable.

N o te t h a t t h e c o n d i t i o n s of T h e o r e m '2 a n d 2.5 are s u i.L ie n t our not necessary

Note th at the operator F[TịRM+N B maps u into Zm+.v The following theorem shows th at this operator determines the properties of the system (LS) 0.

T h e o re m 2.7 Let a linear system (LS)0 of the form (2.12)- (2.13) and an initial operator F' Ễ T-0M+AỈ be given Suppose that B € Lo{U — X X' —•

U'), D e L( X ,X ') , R € Lo(X, X') and T, € Lo(Xm+k, Xm+k). Then (LS)n

is /-’'-controllable if and only if

T h e o re m 2.7 Suppose th at the system (LS)0 is Fj'-controllable Then it is F'-controllable for ever}’ initial operator F' €

T-pM+A-E x a m p le 2.1 Let X := C[0,1] over c Let D -.= d/dt.

Since R t V(A') the resolving operator I — Q' is inver::b'.€ Theorem I m Section 61 On t h e o t h e r h a n d It IS easy t c check thai Q = Q-_R'S ■so that bv Theorem 2.1 / — Ọ is also invertible, and

k e r ổ ’ ( / ỉ ') M+A/T,‘fF;)* = {0} (2.42)

f

: = J , (Fx)(t) := x(to), to6 [0 1]

Consider tho system

■D-v * P u iD /l * PA D.D F' - RkP2{D. / r - 3u '2 46) f ữ ’i = J\ J , € c (j = (J V - Ỉ

where F' € i — X B c LoÍA ) /c €

NY-2 47

a „ , e C i/y = , ;2.48j

As before wr \\Tiic

Ọi - • p,-.D.h.y - A'Vi- / ;

Q:= R y Q: Q' -= P o d ■ R: - R Kp2 I E

Write the svsten: i.2 46 - 2.4“' ;n the following equivalent fc V - ;

: Ĩ.U

From (2.49), we conclude th at I + Q e Lo[Xs) arid (I + Q)~lX N c X N

H ence, (2 ) h a s so lu tio n s for every u E l T h is m eans th a t th e d ition (2.13) is satisfied A unique solution of the system (2.46)- (2.47) is

X = [ I - R n (I + Ợ ) - 'Q { \( RnBu + x°) e X N. (2.51)

Thus, every state X £ [I — RN{I + Q')~lQi](RN Bu@ {x0}) is reachable from x° £ Zfụ.

Let F{, Fý € Tjyj be initial operators for DN given by

F[ := I - R ? D n , F'2 := / - R ỉ RN~lDN on dom DN

t

where R\ := f , ti Ỷ fo; ío 1 í [0, 1] Let T3 : = (/ + Q)~l. It is easy to check Í1

that F[Rn X — Zy F'2R NX Ỷ Zn, so that for every B e Lo(X). we find

F '(/ - R N(I + Q')~lQi)RNBU = F^Rn(ỉ - Ự + Ql)~lQiRN) B X ỷ Zn , i.e ker B ' { R ' ) NT ^ F2 Ỷ {0}' T h i s m e a n s that, th e s y s te m (2.46)- (2.47) IS n o t F ’2 -c o n tr o lla b le

Let B — I Since Q ‘) ~ l Q i R N IS inverubk- be'M'jse / - R s ị I —

Q’i-'-Q1 is mvprtibie we conclude that

[1 - ÍỈ -r X = X

T h i s im p lie s

F[T3R s B Ư = F!T3R ‘VX = F[{1 - R y J - R y x

= F R y ụ - < / - Q' ) ~l Q i R * ] X = F[ Ry X = Z v

H e n c e k e r f i ’ i R' ;y T3' F ! ' = {0} T h u s , by T h e o r e m th e s y s te m (2.46)-(,2-47/ iS F cont rol l abl e.

E x a m p l e Let X = [S] b e t h e sp a c e of all real sequences W r ite Ị e } := {1 V {0-,} :=■ { .} D efine t h e following Qper-UiT?

D { i ^ } • = { - -1-ri - I n } f { * •.} =

- ỈUn}- Ị/: •= Un = ! : - • • • - x „_ : ■; > -A { x n} = { x r j - r : 0 } B { x n } = { r , - X ; - n }

= { x - X }

Consider the system

(D2 - A D - D B - C)x = B u,

F x = x'o, F D x — x\ , Xg.Zj € kerD, ^2'52^

where u e u, u c X , B E Lo(U,X) Write

Qx := + z? + /ỈC, g := /?(?!, Ọ' := RA + B R + RCR. (2 53)

The system (2.52) is equivalent to the equation

( / - Q)x - R2Bu + x°, x° := x0 + R x l (2.54) It is easy to see that I - Q' is the resolving operator for the system (2-52)

and I — Q' = I — Q\R. By easy calculations, we find

R A { x n) = {0,x2,x 3, x3, ổ / ỉ { z n} = { li -X!, - I j o o

R C R { x n} = {0, 0 ,0 , } ,

so that

( / - Q'){xn} = {0, 0, 0,y4,z/5 ■ ■} (2

yk := x k - X - x3 (k = 4,5, ), ~ J°

ker / - Q " ) = { z = X X 3-3 X; - T j - Tj } ' 56

3 (7 - Ợ ) i A' J • :

T h e fo rm u la e ( 5 j - (2,57) im p ly t h a t t h e resolving o p e r a t o r ỉ - Q' IS nut o n e -s id e d jjjvcrrible However s in r e ( / — Q')( - Q' ) = / — Ọ ' we c o n r k id c t h a t I — Q' is g e n e liz ed a lm o s t in v e r tib le and / is its g e n e liz ed alm ost inverse.

B y s t r a i g h t f o r w a r d c a lc u la tio n s , we find

(ỉ - RỌ:){xn} = (I - Q){Tn} = {x1.0.Q.x:.y-:,.y6. } ' 5 ’ w h e r e y k I k - { k - 3;Xit_: - (fr - ) ( t - T: - r ; , k ^

Let Tq x', := i.e let t h e in itia l co n d itio n s of ’ he p ro b le m 'r b e Ft - F Dt — Let ư - X a n d

= {0 0, o i j r2.1 } " ? It IS ea?Y to check t h a t

B U { x 0} = -BA c ( / - Ọ ) A ? = ( / - Ọ A

H e n c e , t h e SYSTem (2 52) 1? solvable for e v e ry u € Ỉ F ro m - 54 we f.r.d

X = [ I T R Q : ) R B u = ( / - Q ì R - B l -

3 Controllability of linear systems described by generalized almost invertible operators

Let be linear spaces over the same field T (where T =■ c or T = R). Suppose that V € W (X ), w E and F^T\ F® are right and left initial operators for V corresponding to W\ A € Lq(X), Ai € L0{X —►Y), B e Lo(U - X), B l e Lo(U - Y).

By a linear system [LS) we now mean the following system:

Vx = Ax + Bu, u e u , B U c { V - A ) {domV), (3.1)

F {r)x — XQ, xq 6 k e r K (3.2)

y = A \ X + B ị U ( )

If Ai = I , Bi = 0, i.e Y = X and y - X. then we denote the system

(3.1)-(3.3) by (LS)q.

Note that the properties of linear systems depend on the properties of the resolving operators I — w A and I - A W There are eight cases to deal

1 (i) I - W A e R{X), (n) 1 - W A e ĂX), {Vn) I - W A e R ( X ) n \ { X ) , (iv) I - IV A G W{X). (vj I - A W € R(X). fvi) I - .4IV € ẶY), (vil) I - A W € R { X ) r \ { X ) (viii) I - A W € U (.Y;

I t is sufficient to c o n s id e r th e first four cases li)-(iv S ince Dulh o ne-sided

i n v e r t i b l e a n d i n v e r t i b l e o p e r a t o r s a r e g e n e r a l i z e d a l m o s t i n v o r t i b l e we r a n

reduce those cases to the case of I - w A being generalized almost invertible. S u p p o s e t h a t we a re given a lin e a r s y s t e m f i s i o T h e initial value p ro b ­ lem ( 1)- (3.2) h a s s o lu tio n s if a n d only if

W B u I -Io € '7 — W A ) x u c ( / - WA 'Mom V (3.4)

where

X. = {x £ dom V : F(l'(Ax — B u'1 = (H € I . and To = if dim ker V = 0.

So the condition

\ V B U - {Jo} c ; / - ir.-K Y , 3.5';

IS a n e c e s s a r y a n d sufficient c o n d itio n for ' h e in itial value p ro o ie m i;-(3 -2 )

to have solutions for every 11 E l

I t is easv to ch e c k t h a t th e c o n d itio n (3-5 ) is equivaier.: : : t h e following: BU c (V — 4 )dom V.

Suppose th at I — w A is generalized almost invertible. Write

G ( x0,u) =

= { * = ( / + W WaA ) ( W Bu + x0) + z : Wa £ ị € k er(I - H U ) }

(3 6) Note that G is the set of all solutions of the problem (3.1)-(3.2) There­ fore, to every fixed input (xo- u) there corresponds an output X = G(x0- u)

Write

Ra n g ư-XcG = [_J G(xo, u) Xữ G ker V (3.7)

I Ễ Ư

D e fin itio n 3.1 Suppose that we are given a linear system (LS)0 and the set G ( x 0, u) of th e form (3.6) A s ta te X € X IS said to be reachable from the initial state lo € kerV if for every WA e W j_^w there exists a control It € u such that X6 G(x0 u).

It is easy to see th at the set is reachable from th e initiaJ sta te Xo € ker V’

by means of controls u € u and this set IS contained in dom V.

L e m m a 3.1 Write

T = -r\Y\VAA \Ya e W'l-AW' W e W y i " T h e n t h " following eq u a lity holds

T { W B Ư - {i o}j - k e r ( / - W A ) = T \ v B U s { T x 0} k e r ( - U T h e o re m 3.1 Suppose that

B € L c iU - X X ' - ) V e L ' X X ' ) IV € U Í X X ' ' r -a n d T c L o ( X X ' ) w h e re T is defined by (3.S) T h e n t h e gener&iiz'rc Kalman condition

ker B ’ W ' T - = {0} :

h o ld s if a n d o n lv if for e v e n - in itia l s t a t e Xo ker \ every s t a t e I £ irV (dom Y) — {xo} keril

-is r c a c h a b i c from To

N o w we give a n o t h e r c o n d itio n for ev en - s t a t e X € H X ~ { T x c) - ker J - M’.4) to be reachable from any initial s t a t e I ( j G ker \

L e m m a 3.2 Let € H (A) H £ Lo(A) n ami let T 00 g n ’.'i: (3.8) Then

T € n-z-u-A T)\'Ả c n v t \ .3 :4

Lemma 3.2 implies that F[t)T W B maps u into w x Corollary 3.1 yields T h eorem 3.2 Consider a linear system [ LS)0 described by a generalized almost invertible operator V Suppose that w e Lq{X) n n v and T is defined by (3.8) Then a necessary and sufficient condition for every element

X (z w X + { T i n ) + ker(7 — w A ) to be reachable from any in itial sta te Xo € ker V is th a t

T W B U = w x (3.15)

D e fin itio n 3.2 Let there be given a linear system (LS)0 of the form (3.1)-(3.2) Let pỊr> be any right initial operator for V corresponding to W'l 6 Wy.

(i) A s t a t e X\ € ker V is said to be F ^ - r e a c h a b le from an in itial s t a t e lo G ker V if there exists a control u € u such that Xi € F,(rlG(io, u) The

state I i is then called a finite state.

(li) The system (LS)o is sajd to be Fịr)- controllable if for every initial state Tq 6 ker V, we have

F,(r)f R a n g r IoG) - ker V (3.16)

(iii) The svstem {LS)o is said to be F\T - controllable to Xị € ker V if

l i e F ;r>(Rangr i0G) (3.17)

for every initial state Xo £ kerV'

L e m m a 3.3 Suppose that the svstem ( I S")0 is F\r - controllable to zero and that

F r ' T i ' k e r V ) * k e r ( / - IVA;] = kc-2 V. IS)

T h e n e v e ry final s t a t e Xi € ker V IS f Ị rl- r e a c h a b le from zero

T h e o re m 3.3 Suppose that all assumptions of Lemma V3.3 are satisfied Then the linear system (LS'o is F\ - controllable.

P r o o f B v o u r a s s u m p t i o n , t h e r e exist Uo £ L a n d Co € ker.J — u .4! such that

r r [ r ( U ' j B u o - r J o ) - =0: = )

By Lemma 3.3 for every X; 6 krr V there exist Ug c I and C; £ kcr I - u A) such that

^"■’( r i r s u ó + ri)] = X ! 13.22)

Now (3.2 ) and (3.22) imply Fir)[T{W5(uo - u0 - x0 «.0

C orollary 3.4 If the system (LS)0 is F ^ - controllable to zero and Fịrìr(ker V ) kerV, then it is F ị - controllable.

T h e o re m 3.4 Let a linear system (LS)0 of the form (31)-(3.2) and an initial operator F jr> for V be given Let T be defined by (3.8) and let B €

L0(U -» X , X ' — [/'), V <E L{X,X'), A w e Lo{ X,X ’). Then {L5)o is F ^ - controllable if and only if

k e ĩ B ‘W ' T m{Fịr]y = {0} (3.23)

T h e o re m 3.5 Let there be given a linear system (LS)0 and an initial operator for V € W(X). Then the system (L S)0 is - controllable if and only if It is Fj(r) - controllable to every x ‘ E F ^ T W V{dom V).

T h e o re m 3.6 Suppose that thesvstem {LS)o is Fj -controllable Then for an arbitrary right initial operator Fịr) for V, this system is F2(r) -controllable

E x a m p le 3.1 Let X C \-\ 1] D : = d/dt, R := f , (Fx)( t) = T<0

Define (Px)(t) |[x (t) + Q I - p , x + = PX x ~ - Q.\ ■

X = £ A"- Consider the lineal system

P { D + 3 J ) i = Au, u € Ư = A " , 3.29

( / - R P D ) i = ZQ la = RQyo * -0 £ k er PD. , 30 J C k e r D , y0 € A'

where € L0(X +),

P u t t i n g V = P D , H ’ = A P we find n i T = V H V w = H Th< in itial o p e r a t o r F (r) for V c o rre s p o n d in g to w IS F ' T> - I - R P D H ence, we c a n w r i t e t h e s y s t e m (3.29)-(3.30) m t h e form

( V + p p ) x = A u F ' r I = Tc- ' 31

This system is equivalent to the equation

(I - R P )I = RPAu + x0 3.32)

Since ( / + 8 R P ) { I - P R P ) = / - 3 2R P R P = I - 2R 2Q P = / we c : : : !

that every sta te X € dom D is reachable from the initial state tq e t erc

exists u € [■’ such that

Jo Hence

G ( x , u ) = { x = ( / - 0 R P ) ( R P A u + l o ) } , ( 3 ) and since R P R P = 0 we get

Ự - R P )(R PA U + x0) = R P A U ® { { - R p ) x 0}. (3.34)

From (3.33)-(3.34) we obtain

R a n g y ^ = RPAU © {(/ - 0 R P )x o}.

Thus the system (3.29)-(3 30) is -controllable for a right initial operator r Ị r> of V if and only if

F Ír)(Rangơ,IoG) = ker (PD).

It is easy to check that ker(PD ) consists all even differentiable functions defined on [-1 ,1].

References

Ịl| Przeworska-Rolewicz D Algcbrair Analysis. Amsterdam-W arsaw

1988.

Í2] P r z e w o rs k a -R o le w ic z D Equations mt h transformed aryumtr.t al­ gebraic approach. A m s t e r d a m - W a r s a w , 1973

(3j Nguyen Van Mau On the generalized, convolution for Ị- transform Acta- Mat Vietnamica- 18(2003), 135- 145.

Nguyen Van Mau

D epartm ent of Analysis Faculty of Math Mech and Informatics University of Hanoi

334, Nguven Trai S tr., Hanoi, Vietnam

E-mail address: m aunv@ vnu.edu.v n

vảdào tạo

■ • » S'

m • «

I

Nguyễn Đức Hiền

Về số dạng phương trình h m 95

Nguyễn Thị Thanh Hoa

Một số phương pháp logic thực hành diễn giải 106

Hoàng Đức Hùng

Nhận xét mọt số bất đẳng thức hàm 113

Nguyễn Thi T hanh Hương

Một số nhận xét hàm lồi, lõm tựa lồi, tựa lõm .124

Nguyền Văn Mậu

Về lớp h m số đ n đ iệ u liên tiếp b ậ c ( , ) 130

Nguyền Văn Ngọc

Một số toán liên quan đến bất đẳng thức B ernoully n ti

P h m T h ị N h n

M ô t vài cá c h c h ứ n g m i n h b ắ t đ ẳ n g th ứ c d a n g k h ô n g đui x ứ n g iro n ự r.i:r gi.ir N

N g u y ễ n Đ ã n g P h ấ t

Bài toán điểm "cực tiểu" Fermat hệ điểm ứng dung vào Vãt !ý hoc 157

Phạm Vãn Thuản Vo Quoc Ba Can Le ViSymmetric

Cyclic Inequalities R ev isited 130

N ^ u v ề n V ăn T i ế n

Vê lớp hàm số đơn điêu liên tiếp bậc (1,2)

N g u y ễ n Văn M ậu, Trường Đ ại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đ H Q G H N

Ta s d ụ n g k ý h iệ u I { a, b) c R n h ằ m n g ẩ m đ ịn h m ộ t tTong b ốn tâp h o p (a , b ), \a,b), (ữ, b} ịa, b) với a < b. Trước hêt, nhắc lại đinh nghĩa sau đảv.

Đ ịn h n g h ĩa 1 Ta nói hàm số f ( x ) xác định đơn điệu tăng thưc sư trẽn I(a, b) nếu ứng với moi

X1'*2 £ I(a,b), ta đểu có

f { x i) < f { x 2) « ! ] < x2, và ngược lại, nếu

/ ( * 1) > / ( *2) <=> * 1 < *2; Vxi,x2 € I(a,b), thì f ( x ) hàm đơn điệu giảm thực trẽn I(a, b).

N h ữ ng hàm số đơn điêu tăng thưc sư ỉ(a,b) goi hàm đồng biến trẽn I[a,b)

và hàm số đ n đ iêu giàm thực tTẻn I(a, b) đươc gọi hàm n ghịch biến tảp đó.

Trong chương trinh giải tích, bíẽt đẽn tiêu chuẩn đê nhãn biết thi môt hàm số khà vi cho trước khoảng (a, b) hám đơn điêu khống dó Đ in h lí 1 Cho hàm số f(x) cỏ đạo hàm trẽn khoảng (a,b)

(i) N ếu f ' ( x ) > vói mọ: X € i c rb) thi hàm số f i x ) đơng bicn trãi khoảng đó. (i) N ếu f ' ( x ) < với nọ: X € [a b) thị hàn: 50 nghick Her irâr khoảng ẩó

Các định Lí sau đãv cho ta số đặc trưng đơn giàn khác hàm đon điệu Mót và] đảc trư ng qu an lóp hàm, vừa có tính đon điệu vừa có tính chất lói tính lõm Đ ị n h lí H àm f (x ) địr.h trẽr là mơi hàrr 50 đen: âiệii tảng chì vói mọ; cặp >(?

dương a-[,a2, ■ ■ ,a„ Xi,x- xr ta đêu có

ị a-jixk) ^ ( V L (T1

k=: *=] / K=ì

Đ ịn h lí Đ ẽ bất đ ẳn v thức

Ẻ ^/( Ị **)' (2Ì

t = ì Â' =

được thoả mãn với moi bó số dVỉiỊ X] , x„, điều kiện đù hầm g(x) := — - đen ẩìệu tảng

trẽn K +

f t x ) , -

Hệ q u 1 Giả sủ g(x) — là hàm đcm đỉẽu tàng trong Ịo, +ocj Khi vói dãy só dương

và g i ả m X ị , X2 , ■ ■ ■, x n, ta đâu có

n —

/ C - V l - x„) ^ V f\Xy - f i x

Nhận xét rằng, ta thấy hàm số

g(x) = + s in x , X e R +,

thoả mãn đieu kiện Tuy nhiên, hàm g(x) không hàm đơn điệu tăng R+.

Nếu bổ sung thêm điều kiện: £ ( i) := là hàm đồng biến R+ X\, xn, li

bọ so gom sô lớn 1, thi ta thu bất đẳng thức thực SỊ£

L f ( * k ) < / ( Ề

k = l vk=i '

Tương tự, ta phát biểu đặc trưng hàm đơn điệu giảm.

1 Hàm đơn điêu bâc hai (lồi, lõm)

Ta nhắc lại tiêu chuẩn đơn giản để nhận biết tính lồi (lõm) hàm số. Giả sử f ( x ) có đạo hàm cấp hai khoảng (a, b) Khi đó

(i) Điều kiện cần đủ để hàm số f ( x ) lồi (a, b) là

f" (x ) 0, Vx e (a,b).

(ii) Điêu kiện cân đủ đê hàm số f(x) lõm trẽn (a,b) là

f"(x) ^ 0, Vx G (a, b).

Tuy nhiên, ứng du n e, ta nhận thấv, có thê coi hàm lơi (lõm) lớp hàm đỏng biến (nghịch biến) bậc hai, ứng vói nó, đạo hàm bậc nhát (trong lớp hám hàm lồi khả vi)

là m ôt hàm đ ơn đ iệ u táng (giảm ).

Chú ý rằng, đơi ta chì nói tinh lồi hàm số mà khơng nói tới hàm lơi trên tãp I(a, b) m ột cách cu thê’ nêu trẽn.

N h ãn xét rằng, ti < Xz X — a.X) + j3*2 vói m ọ i cãp số dương; a, (3 có tổng a ~ ị3 =

1, đ ề u t h u ộ c (.Ti, X2) v

về sau, ta thư ờng q u an tâm \"à nói nhiều đ ến ú nh chát ham lơi I(a,b).

T ín h chất Nếu f ( x ) lồi (lõm) irẽn I{a,b) thì := cf{x) hàm lõm (lồi) ỉ(a,b) khĩ

c < (c > )

T ính chất Tổng hữu han hàm lồi I(a,b) là hằm lồi trẽn I(a,b).

T ín h chất Nếu f ( x ) hàm <ố liên tục lồi trẽn I(ữ, b) và g{x) lồi đồng biến trẽn tập giá trị f ( x ) thì <?(/(*)) là hàm lồi trẽn Ị{a, b).

Tưong tự, ta có tinh chất sau:

T inh chât (i) Nêu f ( x ) hàm số liên tục lõm I(a, b) và g(x) lồi nghịch biến trẽn tập giá trị f{ x ) g(/(x) ) hàm lồi l(a, b).

(ii) N f ( x ) hàm sổ liên tụ c lõm [a, b) g ( x ) lõm vá đồng biến trẽn tập già trị của f ( x ) g ( f (x)) là hàm lõm I(a, b).

(iii) Nêu / (x) hàm số liên tục lồi ỉ(a, b) g{x) lõm nghịch biến tập giá

trị f ( x ) g ự ( x ) ) hàm lõm I(a, b).

T inh chât Nêu f ( x ) hàm số liên tục đơn điệu (đồng biến nghich biến) ỉịa, b) nếu g(x) hàm ngược f ( x ) ta có kết luận sau:

(i) / (x) lõm, đồng biến <=> g(x) lồi, đồng biến, (ú) f ( x ) lõm, nghịch biến <=> g(x) lõm, nghịch biến, (iii) Ị{x) lồi, nghịch hiến <=> g(x) lồi, nghịch biến

T ính chât 6 Nêu f ( x ) hàm sơ khả vi trẽn lịa, b) thì f ( x ) hàm lôi ỉ(a, b) chi

khĩ f ' { x ) h m đ n đ i ệ u t ă n g t r ên I ( a , b)

Vê sau , ta thường d ù n g tính chất sau đây:

Đ inh lí Nếu f(x)khà vi bậc hai trẽn I(a,b) f (x) ỉồi (ỉõm) trẽn ỉ(a,b) chì f " (x) ^

( / rả( x) ^ ) t r é n ì ( , b )

H m lói ỉ u ó n la h a m liên t u c t r o n g k h o ả n g đ a n g xét Về s a u , ta l u ô n l u ô r t â m đ ê n các h m s ỏ lỏi liên tu c tr ê n ỉ ( c , b ) T ín h c h t s a u đ â v c h p h é p M j ỏ d a n c k iê m c h u n 1.; tin h ỈƠ1 (lõ m ) đ ỏ i \'Ĩ1 m ộ t h m s o ch o t r ó c vá n h i ê u tác già c h o n tin h c h t n é i út' đdc trưns;

cho hàm lồi.

Đ ị n h lí (Jensen) Giả s ù f ( x ) liên tục ịa, b\ Khi đú điêu kiên cán dù ác kirr >0 f íX I lủ; trên ](a, b) là

f ( ỉ i ± ĩ ì ) í / ( I | ) Ị / ( > : ) € /( « ,- m

N h â n xét Ghi sư f { x ) = const hàm lổ: trãi [a, b ] với / i a ; = • r :<j:: J, ■ X , = / l ú '

VỚI m o i X € { c , b )

T iế p t h e o , ta đ ã c b i ệ t q u a n t â m đ ê n ló p c o n c ù a lớ p h a m lõ: hũrr r đ i ê u Uí' lữ lớ p c o n c ù a l ó p h m lo i h a i lầ n k h vi Đ ã v lớ p h m t h ô n g d u p e r r ã t cua giãi tích g ắ n VÓI n h i ề u b ắ t đ â n e ; t h ú c cô đ iẽ n

Đ ị n h lí Giả ỉ f ( x ) dạo hàm cấp hai khoảng {a , b ) Kh: ẩ,: r r : d:, ár hú~. fố f [x) lơi trị: [ũ b) ỉà

f ' \ x ) 2 0, Vj: e (4

2 Biểu diễn hàm lồi lõm

Để đơn cián cách trinh bày, sau, không cỏ thích đảc biẻt ta ch’ xét lóp hàm lồi (lõm) khả vi bậc hai N h vây, hàm f { x ) đon điêu tảng ỉ r khí Vữ chi khi

'ỷ 0, V.v G l(a,b)

va ham f ( x ) loi J(a, b) khi

/" (* ) £ , V x € I(a,b).

Tư đó, ta có nhận xét, hàm f ( x ) lồi l(a, b) đạo hàm bảc cùa Là hà đơn điệu tăng.

Do vậy, ta phát biểu tính chất biểu diễn hàm lồi sau.

Đ ịn h lí Hàm f ( x ) lồi I(a,b) chi tồn hàm g(;c) đơn điêu tăng I(a,b) số c e (a, b), cho

X

f ( x ) = f ( c ) + f g ( t ) d t

c

Tiêp theo, cịn có nhiều cách tiếp cân khác đến lóp hàm lồi hàm lõm ngu

ta tưn cách b iếu d iễn ch ủ n g theo m uc tiêu khác đ ể giải q uyết to;

thưc tiễn.

Trong m u c này, ch ú n g ta đăc biệt quan tám đến m ột d an g biểu d iễn hàm lồi hàm lõ th ô n g qua hàm số bâc nhất, lớp hàm nàv đơn giản dễ tính tốn tâp giá tn C1 ch ú ng.

Đê’ V r n g , n ế u / ( : r) h m lồi liê n t ụ c [ a, b\ VỚI m ô t c p s ố d n g ( i x , /3) V

a + Ịỉ = 1 xày đẳng thức

a f íã) — Ịìf ',b' = f { oca + ị3 b) thi fix) hàm sỏ (đa thức) bậc nhcĩt

VI vâv, k h i h m s ố f ( x ) lồi k h ả VI tr ê n I ( a , b ) th i đ th i c ủ a n o l u ô n l u ô n t h u ô c rr m ậ t p h ă n í Ị t r ẽ n t a o n ê n b i tiề p t u v ẽ n m ỏ i đ i ê m tu v V c h o t r u c e c ù a đ r ;h: \ ' t ' i cá'

k h c , n ế u f ( x ) l i t r ẽ n I ( a , b ) t h i v ó i m o i c ă p .To, X C U a b ) , t a đ ê u c o

f \ x ) f ( X ù ) - / " ( - t o ) i r - ,T0 )- ' T h ậ t vậv, ta c ó ( ) t o n g đư nọ; VỚI

<: -ĩ [x] — 1 —^ , -t > .To; xủ, x £ b

X - Xo

r'(.r0) > khi T < x0; ,x0, X € ỳ.ì.r

X - A-0

Các bất đẳn g thức i.6) (7) hièn nhiên (theo Định lí Lagrange'.

D ễ n h â n t h ấ v rằrnỊ I 5) x ả v đ ả n g t h ứ c k h j XQ = X. Vây ta cc t h e :et r C -c i d a n c

f { x ) — m i n [ / 0 - r / ' ( u ) ( T - u)].

Tuoivt tu ta cũniỉ có biẽư diẻn đỏi vói ham lom.

Khi hàm số f ( x ) lõm khả VI I(a, ỉ?) thi đ è thi ửm ịc nủa n i phảng

t a o b i t i ế p t u v ẽ n tai m õ i đ i ê m t u ỳ V t h u ộ c đ o thi, tu c 1*3 \01 m o i c a p X , X - có

Dê n h ận thây (8) xảy đẳng thức Xo = X. Vậy ta c ó thể viết (8) dưói dạng

f { x ) = max Ị / ( u ) + / ' ( h ) ( i - u ) Ị (9)

Vậy, có m ột dạng biểu diễn hàm lồi hàm lõm thông qua cuc tri cùa hàm sô bậc n hât p hụ thuộc tham biến Phép biểu diễn đươc gọi (theo Bellman) biêu diên tun tính đóng vai trị quan trọng công cu hữu hiéu nhiêu toán cưc trị tối ưu.

Tưong tự, ta có biểu diễn đối VỚI lớp hàm lồi nhiều biến.

Xét hàm sõ thưc nhiêu b ié n F (*1, X " , , x „ ) Già sù, ứng vói moi bơ số ( l i - n )

-] ^ -i 'Z ỷ -V

ta đẽ u có

F(.V], x2. , x „I 'ỳ F( zi z2 - -„) V ị x; - z T—

■ Khi đó, hiển nhiên

r,

F [ \ \ , x~>, , x r ) = m a x F ( z ị , z r ) — V - : i:— dí ơ:

3 H m s ố đ n đ i ệ u l i ê n t i ê p b c (1,2)

Trone, muc nàv ta đặc biót ou.ir :,:T đén danc bã* ôar.c thức s;.~ ' đn n c, thức K a r a m a í ? ' có rã: n n i e u u n c d u n g t r o n g ih c tier

D inh lí (B ãt đ ẩ n e t n u c K n ram ataV Cỉ:r hai dãy iõ í J’C.r K = r } fii(XT

mãr điởi: kiện

V ; V ; > y z } ‘ r.

Khi dó, ứn-; VỚI mọ: hà'ĩ: 'V / ; • V.': , u

■ \'-z — • y~

Tiếp theo, ta x é t lóp hàn-! đon điéi! iién tiềp rặc và m- : •' t:nr :hẳ: b a n cụ., c h u n - Đ ó ìà l ó p h m đ n g th ị i có đao h m b c n h ấ t và b c hai k h ô n - độ: dâu trệr / r Nều hàm đ n g thịi có đạo hàm bậc nhát vã bác h a id u o n g h.noan^ ^ng V- tn: ta nc

Đ ịnh lí Cho hai dãy số {xkl y k € I(a, b), k = ,2 , , n), thũả mãn điều kiện * 1 + *2 + •■■ + *„ = yi + y2 + • • • +

y„-Khi đó, ứ ng với m ọi hàm f l i t ) , ■ , f n { t ) đồng biến liên tiếp bậc (1,2) I(a, b), ta có

+ I Ể Í Ì L , , / n ( x n) > / i ( y i ) M y ì ) / r t ( yn)

/í(yi) /2^2) /í(y-)? /í(yi) /ỉiýã) /;(ý«)‘ (

Tài liệu

[1] N guyễn Văn M ậu, Các toán nội suy áp dụng. NXBGD 2007.

[2] N guyễn Văn M ậu, Bất đằng thúc, đinh lỵ áp dụng. NXBGD 2006.

[3] N guyễn Vãn M âu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỳ. NXBGD 2004.

PHIẾU ĐẢNG KÝ

KẾT QUẢ NGHIÊN c ủ KH-CN

Tên đề tài:

Lời giải toán từ mơ hình động học rừng ngập mặn

Mã số: _QT-07-09

Cơ q u an chủ trì đề tài: Trường Đ i học K h o a học Tư nhiên

Đ ịa chỉ: 3 Nguyễn Trãi, Thanh Xiiân Hà N ộ i

Tel: (0 ) 5583001 C q u an quản lý đề tài: Đ i học Q u ố c gia Hù N ộ i

Đ ịa chỉ: 144 Xuân Thuỷ, Cầ u Giấy, Hù N ộ i

Tel: (0 ) 6

T ổ n g kinh phí thực chi: 25.000.000(1

Trong đó: - Từ ngân sách Nhà nước: 25.000.000(1 - Kinh phí trường:

- V av tín d ụ n a: - V ị n t ự c ó :

- T h u hòi: _

T h i g ia n n g h iên cứu: 12 tháng Thời gian bắl đầu: 3 /2 0 7

Thời gian kết thúc: /2 0

T ên c c cá n b ộ p h ối h op n g h iên cứu:

1.TS Lê Huy Chuẩn

2 PGS TS N suyễn Minh Tuấn

3 TS Đinh Cong Hướng 4 TS Lê Hồntì Trí 5 PGS TS La Thị Cang

6 ThS Bùi Thị Giang

Sỏ đ ã n s ký đề Số chứri!Z nhận đăng ký Bảo mật:

tài kết quà n eh iên cứu: a P hổ biên rị n s rãi: X

b Pho bión han chõ

Tóm tắt kết nghiên cứu:

V e mặt lý thuyêt có đóng góp thiết thực, mang tính thời có ý nghía khoa học Những kêt tổng kết dạng hoàn chinh, xay dựng va thiêt lập nguyên lý giải tích - đại số.

Phương pháp giải tích đại số ngày xây dựng hồn chinh nhu lĩnh vực toán học độc lập tỏ có nhũng hiệu lực to lớn nhiều chuyên ngành khac toán học Đặc biệt, ừong lý thuyết giải tích đại, số lượng mơ hình đưa q tải, không đáp ứng cho úng dụng trực tiep, mà chi dừng lại khuôn khổ tuv logic hình thức với cac câu trúc thuật tốn định tính như: tiêu chuẩn giải chuẩn, tính on đinh ước lượng sơ nghiệm, việc hệ thống hố khái qt hố thuật toán hữu hiệu đê giải toán có cội nguồn nhu cẩu thiết trong hoạt động thực tiên Các phương pháp nghiên cứu cho nhiều ứng dụng việc khảo sát phương trinh tích phân dạng chập kỳ dị.

- Đ ã có những ứng dụng ban đầu trong việc áp dụng mơ hình tốn học

nghiên cứu mơi trường Ngồi ra, mặt ứng dụng có số kết quà quan trọng, phải kê đên việc cải tiến giáo trình cho lớp sau đại học Nó cho phép với thời gian hợp lý dạy cho học viên nấm bắt được nhiêu tư tường toán học đại mà trước thưcmg phải xé lé thành các chuyên đề hẹp khác nhau.

Đã tổ chức topic riêng "Tốn học nghicn cứu mơi tnrờne" tron«j Hội nghị quôc tẻ theo dụ án nahiên cứu môi trườn" \ unt2 đới duvén hài va dã được phê duvệt thành chươnc trình thành phẩn cùa du án JSPS.

Đã tổ chức hội hội nghị khoa học Dà Nang (tronu chươne trinh hợp líic với JSPS Nhảt Bản) Hà Nội - VTnh Phúc drone chưcme trinh Semina liên trường viện TP Hả Nội).

- C ônc bố 0? cỏna trình k h o a học tai Hội nshi quốc tế. - Đ o tao: ThS

K iê n n g h ị v ể q u y m ô v đối tương áp d ụ n g n g h iên u : Kết đẻ tài sứ duns làm tài liệu tham khao

Chù nhiém dề tài Thù trưỏĩis co quan

chủ trì đé tài

Chủ lích Hói dons Ị Thủ Irưims ca quan đánh giá chinh thưi j quan l\ de lai

Họ tên N su v ền Vãn Mậu ẵ>u: [ỈLOỊ Lùi\

1

Trn ị ĩ h iiị y? ,

Hoc hàm.

hoc vi G S T S K H

ri/ý K

Kì Ị , ■ ;

í/)f ĩ < '

-

-Kí tên,

Đ óng dấu o

/ c

Kh

If, ' -' lí&ÍÍLàÍẶ.

A H - ; <

r à

t t , s

Ị ] , ; / •

\ * ; \ >ôằ*-4 ,/ ã ' /

K '- ' : < ỵ

Tự ;■-■=« T h s r &