Bài toán 1:
Chứng minh rằng bàn cờ100×4là bàn cờ không thể phủ chắc chắn bởi các đôminô. Giải:
Hình 1.16
Trước hết bàn cờm×n được gọi là phủ chắc chắn bởi các đôminô nếu nó được phủ kín bởi các đôminô không chồng lên nhau và nếu chia bàn cờ theo bất kỳ đường giới hạn nào cũng sẽ cắt ít nhất một hình đôminô.
Trở lại bài toán 1: Ta thấy bàn cờ100×4khi được chia đôi bởi bất kỳ đường giới hạn nào thì mỗi phần cũng có một số chẵn ô.
Giả sử bàn cờ được phủ kín bởi các đôminô không chồng lên nhau thì ở mỗi phần có hai loại ô,
-loại ô bị phủ bởi đôminô không bị cắt (I), -loại ô bị phủ bởi đôminô bị cắt (II).
Ta thấy ngay số ô, của loại (I) là số chẵn, vì mỗi đôminô không bị cắt sẽ phủ hai ô của bàn cờ. Do tổng số ô của hai loại ở mỗi phần là số chẵn, do đó số ô loại (II) ở mỗi phần cũng là số chẵn. Như vậy tất cả102đường giới hạn đường nào cũng cắt đôminô
thì ít nhất trên bàn cờ phải có 102.2 = 204 dominô. Nhưng bàn cờ bị phủ kín bởi 200đôminô. Vậy ít nhất phải có đường giới hạn không cắt đôminô nào. Suy ra bàn cờ 100×4không thể phủ chắc chắn bởi các đôminô.
Bài toán 2:
Một bàn cờ vua (tức là bàn cờ8×8) bị khoét mất hai ô cùng màu thì có thể chia phần còn lại thành31quân đôminô không?
Giải:
Nhìn bàn cờ vua ta thấy ngay lời giải.
Thật vậy giả sử chia được phần còn lại thành31quân đôminô thì mỗi quân đôminô sẽ có một ô đen và một ô trắng. Điều này vô lý vì sau khi bỏ đi2ô cùng màu thì trên phần còn lại số ô đen và số ô trắng không thể bằng nhau.
Một câu hỏi đặt ra nếu khoét đi2ô khác màu thì vấn đề sẽ thế nào. Ta có bài toán sau. Bài toán 3:
Một bàn cờ vua bị khoét hai ô khác màu thì có thể chia được phần còn lại bởi31quân đôminô không?
Giải:
Đề giải bài toán này ta dùng cách sau:
Cắt bàn cờ theo những đường kẻ đậm. Ta sẽ được một băng kín mà đi theo băng này thì các ô đen trắng xen kẽ nhau.
Nếu bàn cờ khoét đi hai ô đen trắng ta có hai khả năng.
Khả năng 1: Hai ô bỏ đi là liền kề ở trên bảng và khi cắt đi hai ô này ta có được một bảng hở mất các ô đen trắng là xen kẽ nhau. Ta sẽ từ một đầu nào đó của bảng mà cắt những quân đôminô.
Khả năng 2: Hai ô bỏ đi là không kề nhau ở trên bảng. Khi cắt đi hai ô này ta có2 bảng hở. Do bỏ đi hai ô khác màu nên trên mỗi bảng hở này số các ô là chẵn mà các ô đen trắng kề và xen kề nhau. Trên mỗi bảng này ta lại thực hiện phép cắt những quân đôminô từ một đầu nào đó của bảng. Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có thể phủ kín bàn cờ đã cắt đi hai ô khác màu bởi các quân đôminô.
Bài toán 4: Một bài cờ vua có thể chia thành21hình3-minô vuông góc với một đơn minô cho trước tùy ý.
Giải:
Để giải bài toán ta lần lượt xét
1) Giải sử ta có một hình vuông kích thước 2×2Rõ ràng đơn minô ở vị trí nào thì phần còn lại cũng là một3-minô vuông góc (Hình 1.17)
Hình 1.17
2) Giả sử ta có hình vuông kích thước4×4ta chia nó thành4phần kích thước2×2. Do tính đối xứng ta giả sử vị trí đơn minô ở một trong bốn ô vuông ở phần gạch sọc theo phần1, thì phần còn lại của phần có gạch sọc là một hình3-mino vuông góc. Còn ba hần không gạch sọc ta cho đơn mino ở vị trí đánh dấu như Hình 1.18 và3đơn mino này tạo thành một hình3-mino vuông góc.
3) Đối với bàn cờ vua (kích thước8×8.) Ta chia bàn cờ thành4phần. Lập luận tương tự như phần2ta được kết quả là chia được thành21 hình3-minô vuông và1đơn minô với kích thước tùy ý.
Bài toán 5: Một hình vuông gồm8×8ô bị bỏ đi hai ô ở hai góc đối nhau. Có thể phủ phần còn lại bởi31quân đôminô1×2không.
Giải:
Tô màu hình vuông với các ô đen trắng đan xen như bàn cờ vua (Hình 1.19). Số ô đen và số ô trắng là bằng nhau (32 ô). Hai ô ở 2góc đối cùng màu nên sau khi bỏ chúng đi số ô đen khác sô ô trắng (thí dụ 32 ô đen và 30 ô trắng. Như vậy, hiệu số ô đen và ô trắng là2. Các ô đen trắng đan xen nhau) nghĩa là cạnh ô đen phải là ô trắng.
Hình 1.19
Mỗi quân đôminô phủ đúng một ô đen và một ô trắng liền kề, như thế sau khi đặt một quân đôminô thì sẽ mất đi một ô đen và một ô trắng. Vì vậy sau mỗi lần đặt một quân đôminô thì mất đi một ô đen và một ô trắng. Hay hiệu số giữa số ô đen và ô trắng luôn là một đại lượng bất biến (luôn bằng2.) Vì vậy không thể phủ kín bàn cờ bở các quân đôminô được.
Bài toán 6: Một bàn cờ vua có thể chia thành12hình chữ nhật kích thước5×1và một hình vuông kích thước2×2.Chứng tỏ vị trí của hình vuông này là duy nhất. Giải:
Ta đặt câu hỏi: Nếu chia được theo yêu cầu bài toán thì hình vuông kích thước 2×2có thể và chỉ có thể ở đâu, từ đó có thể suy ra cách chia. Ta kẻ các đường đậm liền và các đường đậm đứt như trong Hình 1.20.
Ta thấy bất kỳ một hình chữ nhật kích thước5×1cũng bị đúng1ô bị đường “đậm liền” cắt.12 hình chữ nhật kích thước5×1có12 ô bị đường “đậm liền” cắt mà bàn cờ 8×8 có đúng 14 ô bị đường “đậm liền” cắt. Lý luận tương tự ta có hình vuông 2×2có đúng2ô bị đường “đậm đứt” cắt. Như vậy hình vuông2×2chỉ có một vị trí duy nhất là ở giữa bàn cờ. Cách chia được chỉ ra trong Hình 1.20 và cách này là duy nhất.
Hình 1.20
Bài toán 7: Bàn cờ vua có thể chia thành10hình chữ nhật kích thước6×1và một hình vuông kích thước2×2. Tìm tất cả những vị trí có thể được của hình vuông này. Giải:
Ta kẻ các đường “đậm liền” và “đậm đứt” như Hình 1.20. Giả sử chia được theo yêu cầu của Bài toán thì bất kỳ hình vuông6×1nào cũng bị đường “đậm liền” cắt. Do đó có10hình chữ nhật kích thước6×1bị đường “đậm liền” cắt. Mà bàn cờ có12ô bị đường “đậm liền” cắt.
Vậy hình vuông kích thước 2× 2phải có đúng 2 ô bị đường “đậm liền” cắt. Lý luận tương tự hình vuông2×2cũng có đúng2ô bị đường “đậm đứt” cắt. Trên Hình 1.20 ta thấy có 5vị trí. 4 vị trí góc và một vị trí trung tâm. Với 4vị trí góc là bình đẳng nên ta xét1vị trí góc bất kỳ. Và ta thấy rằng ở một vị trí góc nào đó của bàn cờ
thì phần còn lại có thể chia thành10 hình chữ nhật kích thước6×1. Nhưng ở vị trí chính giữa bàn cờ của hình vuông2×2thì phần còn lại không thể chia thành10hình chữ nhật kích thước6×1.
Bài toán 8: Một bàn cờ vua có thể chia thành9hình chữ nhật kích thước7×1và một hình vuông kích thước1×1.Tìm các vị trí có thể của hình vuông này. Giải:
Kẻ đường “đậm liền” và “đậm đứt” như Hình 1.21 Nếu chia được bàn cờ theo yêu cầu Bài toán thì một hình chữ nhật kích thước7×1có đúng một ô bị đường đậm liền cắt.
Hình 1.21
Như vậy 9hình chữ nhật kích thước7×1có 9ô bị đường đậm liền cắt. Mà trên Hình 1.21 có10 ô bị đường đậm liền cắt hướng nên hình vuông kích thước1×1có ô bị đường đậm liền cắt. Lý luận tương tự đối với đường “đậm đứt” ta có hình vuông 1×1có đúng một ô bị đường “đậm đứt” cắt. Vậy hình vuông kích thước1×1phải ở vị trí ô bị cả2đường “đậm liền” và “đậm đứt” cắt. Trên Hình 1.21 có4vị trí như vậy và ta nhận thấy4vị trí trên đều thỏa mãn phép cắt thành 9hình chữ nhật kích thước 7×1.