Môđun cohen maculay và môđun cohen maculay suy rộng dãy

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ……… ******……… PHẠM THỊ PHƢƠNG MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY VÀ MƠĐUN COHEN–MACAULAY SUY RỘNG DÃY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Vinh, tháng năm 2010 MỤC LỤC Mở đầu Chƣơng I Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phổ giá môđun…………………………………………… 1.2 Sự phân tích ngun sơ mơđun……………………………… 1.3 Biểu diễn thứ cấp môđun…………………………………… 1.4 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m – adic…………………… 1.5 Chiều Krull môđun…………………………………………… 1.6 Hệ tham số………………………………………………………….8 1.7 Số bội……………………………………………………………….8 1.8 Bất biến kiểu đa thức …………………………………………….10 1.9 Dãy quy độ sâu………………………………………… 11 1.10 Mơđun đối đồng điều địa phương…………………………………12 1.11 Môđun Cohen- Macaulay môđun Cohen- Macaulay suy rộng 13 1.12 Phức đối ngẫu…………………………………………………… 14 1.13 Môđun giả Cohen- Macaulay môđun giả CohenMacaulay suy rộng…………………………………………… .15 Chƣơng II Môđun Cohen- Macaulay dãy môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy 2.1 Môđun Cohen- Macaulay dãy môđun CohenMacaulay suy rộng dãy……………………………… 18 2.2 Đặc trưng đồng điều môđun Cohen – Macaulay dãy môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy……… 24 Kết luận………………………………………………………………… 30 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 31 Mở đầu Trong suốt luận văn giả thiết (R,m) vành Noether, địa phương với iđêan tối đại m M R - môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d > Chúng ta biết môđun Cohen- Macaulay lớp môđun quan trọng lớp môđun nghiên cứu nhiều Đại số giao hoán Năm 1996, Stanley [5] đưa khái niệm môđun Cohen- Macaulay dãy cho trường hợp vành phân bậc Sau đó, Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [4] định nghĩa khái niệm cho trường hợp vành địa phương tương tự định nghĩa khái niệm môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy Hai lớp môđun thực chứa lớp mơđun Cohen- Macaulay Mục đích luận văn trình bày lại khái niệm số tính chất mơđun Cohen- Macaulay dãy môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy vành địa phương đưa [4] Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương Chƣơng I: Kiến thức chuẩn bị Để dễ theo dõi nội dung luận văn, chương chúng tơi trình bày kiến thức Đại số giao hoán Đại số đồng điều có liên quan đến kết chứng minh Chương I nhằm làm sở cho việc trình bày Chương II Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chƣơng II: Môđun Cohen- Macaulay dãy môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy Trong phần chúng tơi trình bày lại khái niệm số tính chất mơđun Cohen- Macaulay dãy môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy vành địa phương dựa theo [4] Luận văn hoàn thành vào tháng năm 2010 trường Đại học Vinh hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, người hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Cũng tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo khoa Tốn, khoa sau Đại học, Ban giám hiệu trường Đại học Vinh, đồng nghiệp bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng năm 2010 Tác giả CHƢƠNG I Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại số kiến thức sở Đại số giao hoán phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau 1.1 Phổ giá môđun 1.1.1 Phổ vành Iđêan p R gọi iđêan nguyên tố p  R với a,b  R , ab  p a  p b  p Ký hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi SpecR gọi phổ vành R Với iđêan I R ta ký hiệu V(I) = {p  SpecR | p  I} 1.1.2 Giá môđun Tập Supp M = { p  SpecR| Mp  0} SpecR gọi giá môđun M Ta nói SuppM catenary với cặp iđêan nguyên tố p, q  SuppM, với p  q ln tồn dãy ngun tố bão hịa xuất phát từ p kết thúc q, tất dãy nguyên tố bão hòa có chung độ dài Với x  M ta ký hiệu AnnR(x) = { a R | ax = 0} AnnR(M) = { a  R | ax = ,  x  M} Ta có AnnR(x) AnnR(M) iđêan M; AnnR(M) gọi linh hóa tử mơđun M Hơn M R – mơđun hữu hạn sinh Supp M = V(AnnRM) 1.2 Sự phân tích nguyên sơ môđun 1.2.1 Iđêan nguyên tố liên kết (i) Giả sử p  Spec(R) iđêan nguyên tố liên kết R Ta nói p iđêan nguyên tố liên kết với R- môđun M p linh hóa tử mơđun xyclic M, nghĩa tồn v M \{0} cho p= (0: R vR) Tập iđêan nguyên tố liên kết M, ký hiệu Ass R (M) ( Ass(M) không để ý đến vành R) (ii) Cho M R- môđun Phần tử x  R gọi phần tử ước không môđun M tồn m  M, m  cho xm = Tập tất ước không M ký hiệu ZD R (M) Vậy ZD R (M) = {x  R|  m  M\ {0} : xm = 0} Tập hợp NZD R (M) = R\ ZD R (M) gọi tập hợp phần tử không ước khơng mơđun M 1.2.2 Sự phân tích ngun sơ môđun Cho N môđun môđun M N gọi môđun nguyên sơ M Ass (M/N) gồm phần tử, tức tồn iđêan nguyên tố p cho Ass (M/N) = {p} Khi ta nói N môđun p - nguyên sơ Cho N mơđun mơđun M N gọi có phân tích ngun sơ tồn hữu hạn mơđun nguyên sơ Q1 , Q2 , , Qn M cho N = Q1  Q2   Qn (1) Giả sử Q i p i ngun sơ Khi phân tích (1) gọi phân tích thu gọn p i đơi khác khơng có Q i bỏ Nếu p i tối thiểu tập {p1 , , pn } mơđun Q i tương ứng gọi thành phần cô lập, trái lại Q i gọi thành phần nhúng Định lý phân tích ngun sơ Lasker nói mơđun mơđun Noether có phân tích nguyên sơ thu gọn Chú ý phân tích ngun sơ thu gọn mơđun không N = Q1  Q2   Qn phân tích nguyên sơ thu gọn môđun N, Q i p i - nguyên sơ với i = 1,…,n tập { p1 , , pn } xác định { p1 , , pn }= Ass(M/N) Các thành phần cô lập có mặt phân tích ngun sơ thu gọn môđun 1.3 Biểu diễn thứ cấp môđun Một R – môđun X gọi môđun thứ cấp với r  R phép nhân r X toàn cấu lũy linh Trong trường hợp AnnR X iđêan nguyên tố chẳng hạn p ta gọi X p – thứ cấp Một biểu diễn thứ cấp X phân tích X  X1   X n , X i mơđun p i - thứ cấp với i = 1,…, n Biểu diễn gọi biểu diễn thứ cấp tối tiểu X p i đôi khác khơng có X i thừa Khi tập { p1 , p2 , , pn } không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu X ký hiệu AttR X Với số nguyên dương j ta đặt ( AttX ) j  {p  AttX : dimR / p  j } Chú ý l ( X / mn X ) hữu hạn độc lập với n đủ lớn Vì ký hiệu Rl(X) n đủ lớn Rõ ràng x  m x  p với p  Att X\{m} l ( X / mn X ) = Rl(X) n đủ lớn 1.4 Vành địa phƣơng đầy đủ theo tôpô m – adic Cho (R,m) vành địa phương Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan m , t = 0,1,2,… Chú ý sở t lân cận phần tử tùy ý r  R gồm lớp ghép r + m với t = t  0,1,2,… Khi vành đầy đủ theo tơpơ m – adic R ký hiệu R định nghĩa cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy ( rn ) phần tử R cho với t t > 0, tồn số tự nhiên n để rn  rm  m với n, m > n Dãy ( rn ) gọi hội tụ dãy không với t > 0, tồn số t t tự nhiên n để rn   m với n, m > n m Hai dãy Cauchy ( rn ) ( sn ) gọi tương đương, ký hiệu ( rn ) : ( sn ) dãy ( rn - sn ) dãy khơng Khi quan hệ : tập dãy  Cauchy quan hệ tương đương Ta ký hiệu R tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý nếu ( rn ) ( sn ) dãy Cauchy lớp tương đương dãy ( rn + sn ), ( rn sn ) không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương đương dãy Cauchy ( rn ) ( sn ), tức ' ' ' ' ' ' ( rn ) : ( rn ) ( sn ) : ( sn ) ( rn + sn ) : ( rn + sn ) ( rn sn ) : ( rn sn ) Vì  R trang bị phép tốn hai ngơi + ; với hai phép toán ,  R lập thành vành Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành  RR r a (r ) (r ) dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử   {m M} Khi M R - môđun với phép nhân với vô hướng t    sau: Cho a  (a1 , a2 , )  R, x  ( x1 , x2 , )  M Ta có ax  (a1 x1 , a2 x2 , )  M 1.5 Chiều Krull môđun Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R p0  p1   pn gọi xích nguyên tố có độ dài n Cho p  Spec R, cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p, ký hiệu ht(p) Cho I iđêan R , ta định nghĩa ht(I) = inf{ht ( p) | p  SpecR  I} Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, ký hiệu dim R Cho M R – mơđun Khi dim( R / AnnR M ) gọi chiều Krull môđun M, ký hiệu dim M 1.6 Hệ tham số Cho M môđun hữu hạn sinh với dimM = d vành giao hoán, địa phương, Noether (R,m) Một hệ phần tử x  ( x1 , , xd ) m cho R (M / ( x1 , , xd ) M )   gọi hệ tham số M Nếu x  ( x1 , , xd ) hệ tham số M hệ phần tử ( x1 , , xi ) gọi phần hệ tham số với i = 1,…,d Iđêan q  ( x1 , , xd ) R gọi iđêan tham số M Ta có số tính chất sau hệ tham số +) dim(M / ( x1, , xd )M )  d  i với i = 1,…,d +) xi 1   với  AssR (M / ( x1 , , xd )M ) thỏa mãn dimR/ = d-i với i = 1,…,d +) Nếu x  ( x1 , , xd ) hệ tham số M n  (n1 , , nd ) gồm d số nguyên dương x(n) : ( x1n , , xdn ) hệ tham số M d +) Nếu x  ( x1 , , xd ) hệ tham số M x hệ tham số   M , M bao đầy đủ m – adic M 10 1.7 Số bội Cho R vành giao hoán, Noether, địa phương với iđêan cực đại m M R - môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d > Một hệ phần tử x  ( x1 , , xt ) m cho l (M / ( x1 , , xt )M )   gọi hệ bội môđun M; t = ta hiểu điều kiện có nghĩa l (M )   Chú ý hệ tham số hệ bội điều ngược lại không ( ta ln có t  d ) Khi ký hiệu bội e( x ;M) môđun M hệ bội x định nghĩa theo t sau: Giả sử t = tức l (M )   Khi đặt e(  ;M)= l (M ) Với t > 0, đặt :M x1  {m | mx1  0} Khi :M x1 mơđun M Vì l (M / ( x1 , , xt )M )   ta dễ dàng suy l (0 :M x1 ) / ( x2 , , xt ) (0 :M x1 )   tức ( x2 , , xt ) hệ bội môđun :M x1 Vậy theo giả thiết quy nạp e( x2 , , xt ; M / x1M ) e( x2 , , xt ;0 :M x1 ) xác định Khi ta định nghĩa: e( x1 , x2 , , xt ; M ) = e( x2 , , xt ; M / x1M ) - e( x2 , , xt ;0 :M x1 ) Sau số tính chất số bội e( x ;M)  e( x1 , x2 , , xt ; M )  biệt, tồn i l (M / (x1 , xt, M ) Đặc ) cho xin M  với n số tự nhiên e( x1 , x2 , , xt ; M ) = e( x1 , x2 , , xt ; M ) = t > d e( x1n , x2n , , xtn ; M ) = n1n2 nt e( x1 , x2 , , xt ; M ) t Tính chất cộng số bội: Cho dãy khớp ngắn R – môđun  M '  M  M ''  18 CHƢƠNG II Môđun Cohen – Macaulay dãy môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy Khái niệm môđun Cohen – Macaulay dãy giới thiệu Stanley [5] cho môđun phân bậc Trong [4], Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn giới thiệu khái niệm môđun Cohen – Macaulay dãy môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy cho trường hợp môđun vành địa phương Trong chương này, dựa vào [4] chúng tơi trình bày lại định nghĩa tính chất sở hai lớp mơđun Chúng ta thấy lớp môđun Cohen – Macaulay dãy chứa thực lớp môđun Cohen – Macaulay lại nằm lớp môđun giả Cohen – Macaulay nói chương I Tương tự lớp mơđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy chứa thực lớp môđun Cohen – Macaulay suy rộng lại nằm lớp môđun giả Cohen – Macaulay suy rộng 2.1 Môđun Cohen – Macaulay dãy môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy 2.1.1 Định nghĩa (i) Một lọc = M  M1   M t  M môđun M i M gọi lọc chiều M M i 1 môđun lớn M i có chiều nhiều dim M i  với i = 1,…,t (ii) Một lọc = N0  N1   Nt  M môđun M gọi là Cohen – Macaulay lọc nếu: (a) Mỗi môđun thương Ni / Ni 1 Cohen – Macaulay; (b) dim N1 / N0  dim N2 / N1   dim Nt / Nt 1 19 2.1.2 Định nghĩa M gọi môđun Cohen – Macaulay dãy tồn lọc Cohen – Macaulay M Một cách tương tự khái niệm môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy định nghĩa sau 2.1.3 Định nghĩa (i) Một lọc = N0  N1   Nt  M môđun M gọi là lọc Cohen – Macaulay suy rộng nếu: (a) Mỗi môđun thương Ni / Ni 1 Cohen – Macaulay suy rộng; (b) dim N1 / N0  dim N2 / N1   dim Nt / Nt 1 (ii) M gọi môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy tồn lọc Cohen – Macaulay suy rộng M 2.1.4 Bổ đề Các phát biểu sau (i) Lọc chiều M luôn tồn Gọi = M  M1   M t  M lọc chiều M với dimM i = d i Khi ta có Mi  Nj , dimR / p j  max{ di 1, i 1} với i = 1,…,t,  n j 1 N j phân tích nguyên sơ môđun M, với N j p j - nguyên sơ, j = 1,…,n (ii) Nếu M có lọc Cohen – Macaulay lọc trùng với lọc chiều M (iii) Nếu M có lọc Cohen – Macaulay suy rộng lọc xê xích thành phần m- nguyên sơ, tức = M  M1   M t  M , lọc chiều M = N0  N1   Nt  M lọc Cohen –Macaulay suy rộng t =t ' (M i / Ni ) <  với i = 1,…,t-1 Vì trường hợp lọc chiều lọc Cohen –Macaulay suy rộng Chứng minh (i) Hiển nhiên 20 (ii) Gọi = M  M1   M t  M lọc chiều M = ' N0  N1   Nt  M lọc Cohen –Macaulay M Vì dim N1 / N0  dim N2 / N1   dim Nt / Nt 1 nên ta có dim Ni 1  dim Ni , với i = 1,…,t-1 Vì ta có M t 1  Nt 1 Vì ' M / Nt 1 Cohen – Macaulay nên mơđun M / Nt 1 có chiều d mơđun Vì dim(M t 1 / Nt 1 )  d nên M t 1  Nt 1 Tương ' ' tự ta có M t 2  Nt 2 M t 3  Nt 3 ….Vì t = t ' M i  Ni với i =0, ' ' 1,…,t (iii) Vì M / Nt 1 Cohen – Macaulay suy rộng nên môđun M / Nt 1 có chiều d có độ dài hữu hạn Vì dim(M t 1 / Nt 1 )  d ' nên ta có (M i / Ni ) <  Do từ dãy khớp môđun  Nt 1 / Nt 2   M t 1 / Nt 2   M t 1 / Nt 1  0  ' ' với ý Nt 1 / Nt 2 môđun Cohen – Macaulay suy rộng, ta thu môđun M t 1 / Nt 2 phải Cohen -Macaulay suy rộng Vì ' mơđun M t 1 / Nt 2 có độ dài hữu hạn có chiều dim M t 1 ' ' Vì dim(M t 1 / Nt 2 )  dim M t 1 nên ta có (M t 2 / Nt 2 ) <  Tiếp tục trình ' ' trên, sau t bước ta nhận t ' = t ' (M i / Ni ) <  ta có M i / Ni 1 Cohen –Macaulay suy rộng với i =0, 1,…,t Với i =0, 1,…,t, từ dãy khớp ngắn  M i 1 / Ni 1   M i / Ni 2   M i / M i 1  0  với ý M i / Ni 1 Cohen –Macaulay suy rộng, ta suy M i / M i 1 Cohen –Macaulay suy rộng Vì = M  M1   M t  M lọc Cohen ' – Macaulay suy rộng Vậy bổ đề chứng minh 21 2.1.5 Ví dụ (i) Nếu M mơđun Cohen – Macaulay M môđun Cohen – Macaulay dãy (ii) Nếu M mơđun Cohen – Macaulay suy rộng M môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy Mệnh đề sau cho ta hàng loạt ví dụ mơđun Cohen – Macaulay dãy môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy 2.1.6 Mệnh đề Các phát biểu sau (i) Tổng trực tiếp hữu hạn môđun Cohen – Macaulay dãy môđun Cohen – Macaulay dãy (ii) Tổng trực tiếp hữu hạn môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy Chứng minh (i) Bằng phương pháp chứng minh quy nạp theo số hạng tử trực tiếp, ta cần chứng minh cho trường hợp tổng môđun Cohen – Macaulay dãy đủ Gọi M  M '  M '' M ' M '' môđun Cohen – Macaulay dãy Gọi dim M  d Chúng ta chứng minh quy nạp theo d M môđun Cohen – Macaulay dãy Trường hợp d  hiển nhiên Cho d >1 Gọi N, N ' N '' môđun lớn M, M ' M '' có chiều thực nhỏ d Khi đó, M ' M '' mơđun Cohen – Macaulay dãy nên theo định nghĩa ta suy M ' / N ' M '' / N '' môđun môđun Cohen – Macaulay Để chứng minh mệnh đề trước hết ta khẳng định N  N '  N '' Thật dim( N '  N '' )  d nên ta có N  N '  N '' Ngược lại , cho a  N Khi a =b +c, b  M ' c  M '' Giả sử dim Rb = d Khi tồn p  AssM ' cho d imR / p  d p = Ann(rb) với r  R Vì ta có p  Ann(ra) dimRa  d Điều vơ lý a  N Vì ta phải có dimRb < d Hồn 22 tồn tương tự ta suy dimRc < d Vì Rb  Rc  N '  N '' Điều suy a  N '  N '' N  N '  N '' Vậy khẳng định chứng minh Tiếp theo ta cần chứng minh M/N môđun Cohen – Macaulay Cho x hệ tham số M Vì dimN < d, dimN ' < d dimN '' < d nên ta có e( x; M / N )  e( x; M )  e( x; M ' )  e( x; M '' ) = e( x; M ' / N ' )  e( x; M '' / N '' ) Mặt khác ta có dãy khớp f   Ker ( f )  (M '  M '' ) / (( xM '  xM '' )  N )  (M '' / N '' ) / x( M '' / N '' )  0 đồng cấu f xác định f (b  c)  c  N '' , với b  M ' , c  M '' Vì ta có ((M '  M '' ) / (( xM '  xM '' )  N ))  (( M '' / N '' ) / x( M '' / N '' ))  ( Kerf ) Rõ ràng ta có Kerf  (M '  ( xM ''  N '' )) / (( xM '  xM '' )  N ) Hơn ta có tồn cấu p : (M ' / N ' ) / x( M ' / N ' )   (M '  ( xM ''  N '' )) / (( xM '  xM '' )  N ) , p xác định p(b  N ' )  b  với b  M ' Vì ta có (M / N ) / x( M / N ) = (M '  M '' ) / (( xM '  xM '' )  N ))  (M ' / N ' ) / x(M ' / N ' )  ((M '' / N '' ) / x( M '' / N '' )) = e( x; M ' / N ' )  e( x; M '' / N '' ) = e( x; M / N ) Suy M/N mơđun Cohen – Macaulay Vì N  N '  N '' nên ta có N 'vàN '' môđun Cohen – Macaulay Hơn ta có dimN < d Vì ta 23 áp dụng giả thiết quy nạp cho N ta nhận N môđun Cohen – Macaulay Suy M môđun Cohen – Macaulay (ii) Chứng minh hoàn toàn tương tự Khẳng định (i) 2.1.7 Mệnh đề Cho M môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy Khi SuppM tập catenary SpecR Chứng minh Ta ln có SuppM  t SuppM i / M i 1 i 1 Vì M i / M i 1 môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy nên ta suy từ [6] SuppM i / M i 1 catenary với i = 1,…,t Vậy SuppM catenary 2.1.8 Mệnh đề Các phát biểu sau (i) Nếu M môđun Cohen – Macaulay dãy M p mơđun Cohen – Macaulay dãy với p  SuppM (i)Nếu M mơđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy M p môđun Cohen – Macaulay dãy với p  SuppM \{m} Chứng minh Rõ ràng khẳng định (i) suy từ khẳng định (ii) Vì ta cần chứng minh (ii) đủ Gọi = M  M1   M t  M lọc chiều M Khi theo Mệnh đề 2.1.4, (iii) ta suy M i / M i 1 môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy với i = 1,…,t Cho p SuppM \{m} Ta khẳng định (M t 1 ) p  M p dim(M t 1 ) p  dim M p Thật vậy, giả sử (M t 1 ) p  M p Khi p  SuppM /M t 1 Vì tồn q AssM cho q  pvà dimR / q  d Vì M / M t 1 môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy nên theo Mệnh đề 2.1.7 ta có 24 dim(M t 1 ) p  dim M t 1  d imR / p < d – dimR/p = dimR/q – dimR/p = ht(p/q)  dim M p Tiếp tục lập luận ta suy (M t 1 ) p  ( M i ) p dim(M t 1 ) p  dim(M i ) p với i = 1,…,t Vậy khẳng định chứng minh Từ họ {(M i )}i 0,1, ,t môđun M p lọc lọc Cohen – Macaulay gồm môđun M p sau  ( M i0 ) p  ( M i1 ) p   ( M it ) p  M p Vậy M p môđun Cohen – Macaulay dãy 2.2 Đặc trƣng đồng điều môđun Cohen – Macaulay dãy môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy Giả sử R vành có chứa phức đối ngẫu Khi phức DR R- môđun nội xạ DRi cho môđun đối đồng điều địa phương H i ( DR ), i  ,của R - mơđun hữu hạn sinh Với R - môđun hữu hạn sinh M có chiều dimM = d, mơđun đồng điều K i (M ) : H i ( Hom( M , DR )) R - môđun hữu hạn sinh với i = 0,1,…,d Chú ý mơđun K d (M ) mơđun tắc M Với i = 0,1,…,d-1 môđun K i (M ) gọi môđun khuyết thứ i M Hơn nữa, tính chất đối ngẫu địa phương tồn đẳng cấu H mi (M )  Hom( K i (M ), E ), i , E bao nội xạ trường lớp thặng dư R/m R Định lý sau cho ta đặc trưng đối đồng điều địa phương môđun Cohen – Macaulay dãy 25 2.2.1 Định lý Cho = M  M1   M t  M lọc chiều M đặt di  dim M i với i = 1,…,t Giả sử R chứa phức đối ngẫu Khi (a) Các phát biểu sau tương đương: (i) M môđun Cohen – Macaulay dãy; (ii) M giả Cohen – Macaulay với i = 1,…,t; i (iii)Với j = 0,1,…,d, môđun K j (M ) môđun môđun Cohen – Macaulay chiều j; (iv)Với j = 0,1,…,d-1, môđun K j (M ) môđun môđun Cohen – Macaulay chiều j (b) Giả sử M thỏa mãn điều kiện tương đương Khi ta có di 1  dim M i 1  p(M i ) ; với i = 1,…,t, p(M i ) kiểu đa thức M i Chứng minh (a): (i)  (ii) Cho M mơđun Cohen – Macaulay dãy Khi theo Mệnh đề 2.1.4, (ii) M i / M i 1 Cohen –Macaulay với i = 1,…,t Vì theo Bổ đề 1.13.3, M i giả Cohen –Macaulay với i = 1,…,t Điều ngược lại suy từ Định lý 1.13.5, (i) (i)  (iii) Cho M mơđun Cohen – Macaulay dãy Khi M i / M i 1 Cohen –Macaulay với i = 1,…,t Từ dãy khớp   M t 1   M   M / M t 1  0 Ta suy K d (M )  K d (M / M t 1 ) , K j (M ) =0 với j = dt 1  1, , d  K j ( M )  K j ( M t 1 ) với j = 0, , dt 1 Vì M / M t 1 Cohen – Macaulay nên K d (M ) Cohen – Macaulay chiều d = d t Tương tự từ dãy khớp   M t 2   M t 1   M t 1 / M t 2  0 26 Và M t 1 / M t 2 Cohen – Macaulay ta có K j (M )  K j (M t 2 ) với j = dt 2  1, , dt 1  1, K d (M ) Cohen – Macaulay chiều d t 1 Vì t 1 tiếp tục trình ta nhận kết (iii)  (iv) hiển nhiên (iv)  (i) Ta chứng minh quy nạp theo d M i / M i 1 Cohen – Macaulay với i = 1,…,t Trường hợp d = hiển nhiên Cho d > Ta có M giả Cohen –Macaulay Vì M / M d 1 Cohen – Macaulay theo Định lý 1.13.5, (i) Vì từ dãy khớp   M t 1   M   M / M t 1  0 ta nhận K i (M )  K i (M t 1 ) với i = 1,…,dim M t 1 Suy M t 1 thỏa mãn giả thiết (iv) Vì dim M t 1 < d, áp dụng giả thiết quy nạp với M t 1 ta nhận M i / M i 1 Cohen –Macaulay với i = 1,…,t-1 Vì M Cohen –Macaulay dãy (b): Đặt a j  Ann( H mj (M i )) với i = 1,…,t j = 0,…, di 1 Theo chứng minh (a), (i)  (iii) ta có K j (M i ) = với j = di 1  1, , di  K d (M i ) i 1 Cohen – Macaulay chiều d i1 Vì theo ta có p(M i )  max d imR / a j  max dim K j ( M i )  di 1 j 0, , di 1 j 0, , di1 với i = 1,…,t Hệ sau cho ta cấu trúc môđun đối đồng điều địa phương môđun Cohen –Macaulay dãy Chú ý hệ không cần giả thiết R chứa phức đối ngẫu 2.2.2 Hệ Cho M môđun Cohen – Macaulay dãy = M  M1   M t  M 27 lọc chiều M Đặt di  dim M i a j  Ann( H mj (M i )) với j = 1,…,d Khi H mj (M ) = j {d1 , , dt } dim R/a j = j với j {d1 , , dt }  Chứng minh Với môđun hữu hạn sinh N, ký hiệu N môđun đầy đủ     m – adic N Khi  M  M1   M t  M rõ ràng lọc Cohen    – Macaulay M Áp dụng Định lý 2.2.1, (b) cho M ta suy H mj ( M ) = H mj (M ) = j {d1 , , dt } Mặt khác theo chứng minh (i)  (iii) Định lý 2.2.1 ta nhận H m j (M )  d d H m j (M j ) với j = 1,…,d Vì ta có dim R/a d = d j Vậy hệ chứng j minh Định lý sau cho ta đặc trưng đối đồng điều địa phương môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy 2.2.3 Định lý Cho = M  M1   M t  M lọc chiều M đặt di  dim M i với i = 1,…,t Giả sử R chứa phức đối ngẫu Khi ta có (a) Các phát biểu sau tương đương: (i) M môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy; (ii) M giả Cohen – Macaulay suy rộng với i = 1,…,t; i (iii)Với j = 0,1,…,d, môđun K j (M ) có độ dài hữu hạn mơđun Cohen – Macaulay suy rộng chiều j; (iv)Với j = 0,1,…,d-1, mơđun K j (M ) có độ dài hữu hạn môđun Cohen – Macaulay suy rộng chiều j; (b) Giả sử M thỏa mãn điều kiện tương đương Khi ta có di 1  dim M i 1  p(M i ) 28 với i = 1,…,t, p(M i ) kiểu đa thức M i Chứng minh (a) (i)  (ii) Cho M môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy Khi theo Bổ đề 2.1.4, (iii) M i / M i 1 Cohen –Macaulay suy rộng với i = 1,…,t Vì theo Bổ đề 1.13.3, (ii) M i giả Cohen – Macaulay suy rộng với i = 1,…,t Điều ngược lại suy từ Định lý 1.13.5, (ii) (i)  (iii) Giả sử M môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy Khi M i / M i 1 Cohen –Macaulay suy rộng với i = 1,…,t Ta khẳng định K d (M i / M i 1 ) Cohen –Macaulay suy rộng với i = 1,…,t Thật i cho p  SuppK di (M i / M i 1 ) \{m} Khi p  SuppK d (M i / M i 1 ) \{m} Vì ta có ( K d (M i / M i 1 )) p Cohen – i i Macaulay khẳng định suy từ [6] Tương tự chứng minh Định lý 2.2.1, (i)  (iii), ta suy từ khẳng định K j (M ) Cohen – Macaulay suy rộng chiều j với j  d1 , , dt , ( K j ( M ))   với j {d1 , , dt } (iii)  (iv) hiển nhiên (iv)  (i) Ta chứng minh quy nạp theo d M Cohen – Macaulay suy rộng dãy Trường hợp d =1 hiển nhiên Cho d > Ta suy từ mệnh đề 1.13.6 M giả Cohen – Macaulay suy rộng Suy M / M t 1 Cohen – Macaulay suy rộng theo Định lý 1.10.1, (ii) Từ dãy khớp   M t 1   M   M / M t 1  0 , ta nhận dãy khớp K j (M / M t 1 )   K j (M )   K j (M t 1 )   K mj 1(M / M t 1 ) , 29 với j  1, , d 1 Gọi N j hạt nhân ánh xạ K j (M / M t 1 )   K j (M ) Pj ảnh đồng cấu K j (M )   K j 1 (M / M t 1 ) , dãy khớp Khi N j Pj có độ dài hữu hạn Vì từ dãy khớp  K j M t 1 )   Pj  0   K j (M ) / N j  với i  1, , d 1, ta suy M t 1 thỏa mãn giả thiết (iv) Do áp dụng giả thiết quy nạp tới M t 1 ta nhận môđun M i / M i 1 Cohen – Macaulay suy rộng với i = 1,…,t-1 Vì M Cohen –Macaulay suy rộng dãy Phát biểu (b) đưa cách tương tự chứng minh Định lý 2.2.1, (b) Vậy định lý chứng minh hoàn toàn Tương tự chứng minh Hệ 2.2.2, thu hệ sau môđun đối đồng điều địa phương môđun Cohen –Macaulay suy rộng dãy 2.2.4 Hệ Cho M môđun Cohen –Macaulay suy rộng dãy = M  M1   M t  M lọc chiều M Đặt di  dim M với i = 1,…,t a j  AnnH mj (M ), với i j  0,1, , d Khi H mj (M )   j {d1 , , dt } dim R/a j = j j {d1 , , dt } Ví dụ sau Định lý 2.2.3 nhìn chung không R không chứa phức đối ngẫu 2.2.5 Ví dụ Tồn mơđun hữu hạn sinh M vành địa phương cho M không môđun Cohen –Macaulay suy rộng dãy, lọc chiều = M  M1   M t  M 30 có tính chất M giả Cohen –Macaulay với i = 1,…,t i Chứng minh Ký hiệu (A,m) miền Noether địa phương chiều xây dựng D Ferrand M Raynaud [7] cho vành đầy đủ m –  adic A A có iđêan nguyên tố nhúng q chiều Gọi R  A[[x1 , , xd ]] vành chuỗi lũy thừa hình thức biến x1 , , xd A Đặt M i  R / ( xi , , xd ) R, i  1, , d M  M  M   M d  R; Ni  M  M   M i , i  1, , d  Khi dimM = d+ = N0  N1   Nd  Nd 1  M lọc chiều M Ta có Ni / Ni 1  M i  A[[x1 , , xi 1 ]] Gọi (f,g) hệ tham số A Khi ta dễ kiểm tra z  ( f , g , x1 , , xi 1 ) hệ tham số M i nên ta có J Mi , z (n)  với n  (n f , ng , n1 , , ni 1 ) Vì M i giả Cohen –Macaulay với i = 1,…,d+1 Tuy nhiên Ni / Ni 1 không môđun Cohen –Macaulay suy rộng dãy Vì M khơng mơđun Cohen –Macaulay suy rộng dãy 31 KẾT LUẬN Khái niệm môđun Cohen – Macaulay dãy giới thiệu Stanley [5] cho mơđun phân bậc Sau đó, Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [4] giới thiệu khái niệm cho trường hợp môđun vành địa phương [4] họ đưa khái niệm môđun CohenMacaulay suy rộng dãy Dựa vào [4], chúng tơi trình bày lại kết Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn Cụ thể luận văn hồn thành việc sau Trình bày khái niệm số tính chất mơđun Cohen – Macaulay dãy môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy vành địa phương Trình bày đặc trưng đồng điều môđun Cohen – Macaulay dãy môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy vành địa phương 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Phượng (2009), Về dãy quy lọc, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [2] Ngô Sĩ Thủy (2005), Môđun giả Cohen – Macaulay môđun giả Cohen – Macaulay suy rộng, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [3] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology : an algebraic introduction with applications, Cambridge University Press [4] N T Cường and L T Nhàn (2003), Pseudo Cohen–Macaulay and Pseudo generalized Cohe –Macaulay modules, Journal of Algebra, 267 (1), 156 – 178 [5] R P Stanley, Combinatorics and Commutative algebra (1996), Second edition, Birkhauser Boston – Basel – Berlin [6] J Stackrad and W.Vogel, Buchsbaum Rings and Application (1986) ,Spinger – Verlag, Berlin- Heidelberg- New York [7] D Ferrand and M Raynaud, Fibres fomelles d , un anneau local Noetherian (1970), Ann Sci E , cole Norm Sup 3(4), 57 – 75 ... 1.13 Môđun giả Cohen- Macaulay môđun giả CohenMacaulay suy rộng? ??………………………………………… .15 Chƣơng II Môđun Cohen- Macaulay dãy môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy 2.1 Môđun Cohen- Macaulay dãy môđun CohenMacaulay... Chƣơng II: Môđun Cohen- Macaulay dãy môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy Trong phần chúng tơi trình bày lại khái niệm số tính chất môđun Cohen- Macaulay dãy môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy vành địa... tính chất mơđun Cohen – Macaulay dãy môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy vành địa phương Trình bày đặc trưng đồng điều môđun Cohen – Macaulay dãy môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy vành địa phương