Độ dài thương suy rộng của môđun có kiểu đa thức nhỏ

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGA ĐỘ DÀI CÁC THƢƠNG SUY RỘNG CỦA MƠĐUN CĨ KIỂU ĐA THỨC NHỎ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC 01 MỞ ĐẦU 02 CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phổ giá môđun 05 05 1.2 Vành Noether 06 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 06 1.4 Sự phân tích ngun sơ mơđun 07 1.5 Chiều Krull môđun 08 1.6 Hệ tham số mơđun 09 1.7 Số bội 10 1.8 Dãy qui độ sâu 12 1.9 Môđun đối đồng điều địa phƣơng 12 1.10 Phức đối ngẫu 1.11 Môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng 14 1.12 Biểu diễn thứ cấp 16 CHƢƠNG ĐỘ DÀI THƢƠNG SUY RỘNG CỦA MÔĐUN CÓ KIỂU ĐA THỨC NHỎ 2.1 Kiểu đa thức môđun 15 18 18 2.2 Hàm độ dài thƣơng suy rộng bất biến pf (M ) 22 2.3 Độ dài thƣơng suy rộng mơđun có kiểu đa thức nhỏ 25 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Cho ( R, m) vành giao hoán, địa phƣơng, Noether với iđêan cực đại m; M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull d ; x  ( x1 , , xd ) hệ tham số M ; n  (n1, , nd ) gồm d số nguyên dƣơng Xét I M (n; x)  (M /( x1n1 , , xdnd )M )  n1 nd e( x1, , xd ; M ) nhƣ hàm theo biến n  (n1, , nd ), e( x; M ) số bội M hệ tham số x Năm 1992, Nguyễn Tự Cƣờng [3] chứng minh đƣợc bậc nhỏ đa thức theo biến n1 , , nd chặn hàm I M (n; x) độc lập với việc chọn hệ tham số x Bậc bé bất biến môđun M , ký hiệu p( M ) gọi kiểu đa thức M Bất biến cho ta cách phân loại lớp môđun vành địa phƣơng Chẳng hạn, M môđun Cohen-Macaulay p(M )   ; M môđun Cohen-Macaulay suy rộng p( M )  Đặt J M  x  n    n1 nd e  x; M   qx; M  n  , qx; M (n) độ dài thương suy rộng 1/( x1n1 , , xdnd ,1) Xét J M  x  n   nhƣ hàm biến nguyên dƣơng n  (n1, , nd ) Năm 1985, R Y Sharp M A Hamieh [8] đặt câu hỏi: độ dài thƣơng suy rộng 1/( x1n1 , , xdnd ,1) (một cách tƣơng tƣơng đƣơng hàm J M  x  n   có đa thức theo n n đủ lớn? Năm 2000, chƣa trả lời đƣợc hàm J M  x  n   có phải đa thức theo n hay không nhƣng N T Cƣờng N Đ Minh [4] hàm J M  x  n   nhận giá trị không âm bị chặn đa thức bậc nhỏ đa thức theo biến n1, , nd chặn hàm J M  x  n   độc lập với việc chọn hệ tham số x Bậc bé bất biến môđun M , ký hiệu pf (M ) Bất biến cho ta cách phân loại khác lớp môđun vành địa phƣơng Chẳng hạn, M môđun giả Cohen-Macaulay pf(M) = - ; M môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng pf(M)  Năm 2003, việc ví dụ cụ thể chứng tỏ J M  x  n   đa thức theo n n đủ lớn, N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn [5] kết quả: p(M )  pf(M) > ln tồn hệ tham số x để J M  x  n   khơng đa thức theo n Mục đích luận văn trình bày lại kết nói N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn [5] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn đƣợc chia làm chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng chúng tơi trình bày số khái niệm cở sở có sử dụng luận văn nhằm làm sở cho việc trình bày Chƣơng nhƣ: phổ giá môđun, vành Noether, iđêan nguyên tố liên kết, phân tích nguyên sơ môđun, chiều Krull môđun, hệ tham số mơđun, số bội, dãy quy độ sâu, phức đối ngẫu, đối đồng điều địa phƣơng, môđun Cohen-Macaulay… Chƣơng 2: Độ dài thƣơng suy rộng mơđun có kiểu đa thức nhỏ Chƣơng trình bày khái niệm số tính chất kiểu đa thức p( M ), khái niệm môđun thƣơng suy rộng câu hỏi Sharp Hamieh [8] độ dài thƣơng suy rộng Từ chúng tơi trình bày kết N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn [5] nói rằng: p(M)  pf ( M )  ln tồn hệ tham số x để J M  x  n   không đa thức theo n Luận văn đƣợc hoàn thành trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn trân trọng đến thầy giáo, giáo khoa Tốn, khoa đào tạo Sau đại học trƣờng Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chƣơng trình bày số khái niệm sở có sử dụng luận văn nhƣ: phổ giá môđun, vành Noether, iđêan nguyên tố liên kết, phân tích ngun sơ mơđun, chiều Krull mơđun, hệ tham số mơđun, số bội, dãy quy độ sâu, phức đối ngẫu, đối đồng điều địa phƣơng, môđun Cohen-Macaulay… 1.1 Phổ giá môđun 1.1.1 Phổ vành Kí hiệu Spec R tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi Spec R đƣợc gọi phổ vành R Với iđêan I R ta kí hiệu V ( I )  P  Spec R P  I 1.1.2 Giá môđun Tập Supp M =P  Spec R M P  0 Spec R đƣợc gọi giá môđun M Với x M ta kí hiệu AnnR ( x)  a R ax  0; AnnR M  a R aM  0  a  R ax  0, x  M  Ta có AnnR ( x) AnnR M (hoặc Ann ( x) Ann M không để ý đến vành R ) iđêan vành R, AnnR M đƣợc gọi linh hóa tử môđun M Hơn nữa, M R-môđun hữu hạn sinh Supp M =V (AnnR M )  P Spec R AnnR M  P 1.2 Vành Noether 1.2.1 Định nghĩa Vành R đƣợc gọi vành Noether dãy tăng iđêan R dừng, nghĩa I  I1   I n  I n1 dãy tăng iđêan R tồn số tự nhiên n cho I n  I n1  Chú ý: Vành R vành Noether iđêan vành R hữu hạn sinh 1.2.2 Ví dụ (i) Vành số nguyên vành Noether iđêan m (m ) có nghĩa iđêan có dạng hữu hạn sinh (sinh phần tử) (ii) Mọi trƣờng X vành Noether Do trƣờng X có hai iđêan 0 X Vậy dãy tăng iđêan 0  X suy dãy dừng iđêan hữu hạn sinh 0  , X  1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3.1 Định nghĩa Cho M R-môđun Ta gọi iđêan nguyên tố P R iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x  M , x  cho P  (0 : R x)  AnnR ( x) Tập iđêan nguyên tố liên kết M đƣợc kí hiệu AssR M (hoặc Ass M không để ý đến vành R ) Ass M =P  Spec R P = Ann (x) với x  M  1.3.2 Tính chất (i) Cho M R-môđun P iđêan nguyên tố liên kết M tồn môđun Q M cho Q  R / P (ii) Gọi   Ann ( x) x  M  P phần tử tối đại  P iđêan nguyên tố liên kết M (iii) R vành Noether M R-mơđun Khi đó, Ass M   M  Hơn nữa, M R-mơđun Noether tập Ass M tập hữu hạn (iv) Cho M R-mơđun N mơđun M Ass N  Ass M (v) Cho M R-môđun Khi Ass M  Supp M Nếu P  Supp M P tối tiểu Supp M theo quan hệ bao hàm P  Ass M 1.3.3 Bổ đề Giả sử  M   M  M   dãy khớp ngắn R-mơđun Khi đó: (i) Ass M   Ass M (ii)  Ass M   Ass M ; Supp M  Supp M   Supp M  1.4 Sự phân tích ngun sơ mơđun 1.4.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán M R-môđun (i) Môđun N  M M đƣợc gọi nguyên sơ tồn iđêan nguyên tố p R cho Ass (M /N )   p Khi ta nói N p  nguyên sơ (ii) Cho N mơđun mơ đun M Một phân tích nguyên sơ N biểu diễn N  M1  M   M n M i mơđun pi  ngun sơ M Phân tích đƣợc gọi thu gọn pi đôi phân biệt khơng có M i thừa 1.4.2 Chú ý Nếu M M môđun p  nguyên sơ M M1  M môđun p  nguyên sơ M Vì phân tích ngun sơ mơđun thu gọn đƣợc Định lý sau khẳng định tồn phân tích nguyên sơ môđun môđun Noether tập iđêan nguyên tố liên kết đƣợc xác định thơng qua phân tích ngun sơ thu gọn 1.4.3 Định lý Cho M R-môđun Noether N mơđun M Khi đó: (i) N có phân tích nguyên sơ thu gọn; (ii) Nếu N  N1  N2   Nn N  N1  N2   Nn hai phân tích ngun sơ thu gọn N N i pi  nguyên sơ, i  1,2, , n N i  p1, , pn   p1, , pn  pi  nguyên sơ, i  1,2, , m n  m Vì  p1 , , pn  không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn N Hơn ta có  p1, , pn   Ass ( M / N ); (iii) Cho N  N1  N2   Nd đó, N i pi  nguyên sơ, i  1,2, , n phân tích nguyên sơ thu gọn N Nếu pi phần tử tối tiểu tập Ass ( M / N ) mơđun N i tương ứng khơng phụ thuộc vào phân tích ngun sơ thu gọn N 1.5 Chiều Krull môđun 1.5.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán Một dãy giảm iđêan nguyên tố R : P0  P1  P2   Pn đƣợc gọi xích ngun tố có độ dài n (i) Cho P  Spec R Cận tất độ dài xích nguyên tố với P0  P đƣợc gọi độ cao P, ký hiệu ht ( P) Nghĩa ht ( P)  Sup {độ dài xích nguyên tố với P0  P } Cho I iđêan R ta định nghĩa ht ( I )  inf {ht ( P) P  Spec R, P  I } 10 (ii) Cận tất độ dài xích nguyên tố R đƣợc gọi chiều Krull vành R, ký hiệu dim R Ta có dim R  sup {ht ( P) P  Spec R} (iii) Cho M R-mơđun Khi dim ( R / AnnR M ) đƣợc gọi chiều Krull môđun M , ký hiệu dimR M (hoặc dim M không để ý đến vành R ) Nhƣ vậy, dim R vơ hạn ht ( P) vơ hạn dim M  dim R 1.6 Hệ tham số môđun Cho R vành giao hoán, địa phƣơng, Noether với iđêan tối đại m; M R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M  d > (i) Một hệ gồm d phần tử x :  ( x1, , xd ) m đƣợc gọi hệ tham số M R (M /( x1, xd )M )   ( () kí hiệu độ dài R- mơđun) (ii) Nếu x :  ( x1, , xd ) hệ tham số mơđun M hệ phần tử ( x1, , xi ) đƣợc gọi phần hệ tham số với i  1,2, , d (iii) Iđêan q đƣợc sinh hệ tham số x :  ( x1, , xd ) đƣợc gọi iđêan tham số M với q  ( x1, , xd ) R Ta có số tính chất hệ tham số (i) Mọi hoán vị hệ tham số M hệ tham số M (ii) Nếu x :  ( x1, , xd ) hệ tham số M với i  1,2, , d ta có dim (M /( x1, , xi ) M )  d  i 22 2.1.5 Chú ý (i) Để thuận tiện ta xem bậc đa thức  Khi ta thấy rằng: M môđun Cohen-Macaulay p(M )   M môđun Cohen-Macaulay suy rộng p(M )  Vậy kiểu đa thức mơđun xem nhƣ độ đo tốt xem mơđun gần với tính Cohen-Macaulay (ii) Dựa vào cơng thức giới hạn Lech số bội lim (n1 nd )1 ( xnn1 , , xdnd ; M )  e( x1, , xd ; M ), min( ni )  ta dễ dàng suy bất đẳng thức p(M )  dim M 1 Kết sau có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu môđun với kiểu đa thức dƣơng Bổ đề đƣợc dùng việc chứng minh bổ đề mục 2.3 nhiều lần để giảm dần kiểu đa thức 2.1.6 Bổ đề Cho p(M) > Đặt T (M )  (Ass M d 1 i 1 Att (H mi (M ))) \ m Cho x  m phần tử cho x  p với p T (M ) Khi ta có p(M / xM )  p(M )  2.1.7 Bổ đề Cho x hệ tham số M cho (M )  Ann H mi (M ), a(M )  a0 (M ) ad 1(M ) xi  a (M /( xi1, , xd ) M ), i=1, ,d ( x1n1 , , xini11 ) M : xini  ( x1n1 , , xini11 ) M : x j j n với j  i  2.1.8 Bổ đề Giả sử R có phức đối ngẫu Khi ta có đẳng thức p(M )  r (M )  dim( R / a(M )) 23 2.2 Hàm độ dài thƣơng suy rộng bất biến pf ( M ) 2.2.1 Hàm độ dài thƣơng suy rộng Trong [8], R Y Sharp H Zakeri xây dựng R-môđun gọi môđun thƣơng suy rộng Với số nguyên dƣơng k , tập tam giác R k đóng vai trị nhƣ tập nhân đóng lý thuyết vành mơđun thƣơng Vì lý thuyết mơđun thƣơng suy rộng xem mở rộng lý thuyết địa phƣơng hóa thơng thƣờng Lý thuyết mơđun thƣơng suy rộng có ứng dụng rộng rãi Đại số giao hốn Chẳng hạn, mơđun đối đồng điều địa phƣơng cấp cao H md ( M ) xem nhƣ môđun thƣơng suy rộng M ứng với tập tam giác R d 1 ngƣời ta dùng kết để nghiên cứu Giả thuyết đơn thức M Hochster Bây ta nhắc lại số chi tiết để xây dựng môđun thƣơng suy rộng Cho k số nguyên dƣơng, kí hiệu Dk ( R) tập tất ma trận tam giác dƣới cấp k  k với hệ tử R Một tập tam giác R k tập khác rỗng U R k cho hai điều kiện sau đƣợc thỏa mãn: (i) Nếu (u1, , uk ) U  u1n1 , , uknk  U với số nguyên dƣơng n1, , nk (ii) Nếu (u1, , uk ) U (v1, , vk ) U (w1, , w k ) U H , H   Dk ( R) cho H u1, , uk    w1, , w k   H v1, , vk  T kí hiệu  T T để ma trận chuyển vị T tồn 24 Khi cho trƣớc tập tam giác U , Sharp Zakeri [8] xây dựng R-môđun U -k M họ gọi mơđun thƣơng suy rộng M ứng với tập tam giác U nhƣ sau Trên tích Đề-các M  U ta xét quan hệ hai : với b, c  M (u1, , uk ) U , (v1, , vk ) U , (b,(u1, , uk )) (c,(v1, , vk )) tồn (w1, , w k ) U H , K  Dk ( R) cho Hu  w  Kv  n1  H b  K c    wi R  M Khi quan hệ  i 1  quan hệ tƣơng đƣơng M  U Cho b  M (u1, , uk ) U , kí hiệu b /(u1, , uk ) lớp tƣơng đƣơng chứa (b,(u1, , uk )) U -k M tập thƣơng M  U theo quan hệ tƣơng đƣơng Nghĩa là: U  k M  b /(u1, , uk ) b  M , (u1, , uk ) U  Trên U -k M ta xác định đƣợc phép toán: phép cộng nhân với vô hƣớng: với a /(s1, , sk ), b /  t1, , tk  U  k M r  R ta có a /(s1, , sk )  b /  t1, , tk    H b  K a  /(u1, , uk ) với (u1, , uk ) U H , K  Dk ( R) thỏa mãn: Hs = u = Kt r  a /  s1, , sk    /  s1, , sk  Hai phép tốn khơng phụ thuộc vào việc chọn đại diện với hai phép tốn U  k M trở thành R-môđun gọi môđun thương suy rộng M theo tập tam giác U Có tập tam giác R d 1 đóng vai trị đặc biệt quan trọng, tập U  M d 1 M   y1, , yd ,1  R d 1 j,  j  d cho  y1 , , y j   d 1 phần hệ tham số M y j 1   yd  1 25 Cho x  ( x1 , , xd ) hệ tham số M n  (n1, , nd )    số nguyên dƣơng Kí hiệu M 1/ x1n1 , , xdnd ,1 m /  x , , x ,1 m  M   M 1/  x , , x ,1   nd d n1 n1 môđun U ( M )d d11 M mơđun Ta có nd d Đặt qx ; M  n    M 1/  x , , x ,1 nd d n1 Theo R Y Sharp M A Hamieh [8], độ dài qx; M  n  đƣợc gọi độ dài thương suy rộng 1/( x1n1 , , xdnd ,1) Câu hỏi mở Sharp Hamieh: Có tồn hay khơng đa thức FX  d biến X1, , X d với hệ số hữu tỷ cho qx;M  n   F  n1, , nd  n1 , , nd đủ lớn? 2.2.2 Bất biến pf (M ) Cho ( R, m) vành, địa phƣơng Noether M R-môđun hữu hạn sinh với dim M  d Cho x  ( x1 , , xd ) hệ tham số M n  (n1, , nd ) số nguyên dƣơng Đặt J M  x  n    n1 nd e  x; M   qx; M  n  , x  n    x1n1 , , xdnd  ; e  x; M  số bội M hệ tham x ;   qx; M  n  độ dài thƣơng suy rộng 1/ x1n1 , , xdnd ,1 Chúng ta xét J M  x  n   nhƣ hàm biến nguyên dƣơng n  (n1 , , nd ) Khi câu hỏi mở Sharp Hamieh [8] phát biểu lại dƣới dạng: Hàm J M  x  n   có phải đa thức theo n n đủ lớn? 26 Năm 2000, N T Cƣờng N Đ Minh [4], chƣa trả lời đƣợc câu hỏi nhƣng đƣợc hàm J M  x  n   có nhiều tính chất đáng quan tâm Chẳng hạn, J M  x  n   hàm tăng, nhận giá trị không âm bị chặn đa thức n1 nd J M  x  Đặc biệt kết sau đƣợc chứng minh [4] 2.2.2.1 Định lý Bậc nhỏ đa thức theo biến n1 , , nd chặn hàm J M  x  n   không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x 2.2.2.2 Định nghĩa Bậc nhỏ định lý bất biến mơđun M đƣợc kí hiệu pf ( M ) 2.2.2.3 Chú ý Để thuận tiện, kí hiệu bậc đa thức  Cấu trúc lớp mơđun M có pf (M )   pf (M )  đƣợc Nguyễn Tự Cƣờng Lê Thanh Nhàn nghiên cứu [5] họ gọi tên lớp môđun tƣơng ứng giả Cohen-Macaulay giả Cohen-Macaulay suy rộng Lớp môđun giả Cohen-Macaulay (là lớp môđun M mà pf (M )   ) chứa thực lớp môđun Cohen-Macaulay quen thuộc lớp môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng (là lớp môđun M mà pf (M )  ) chứa thực lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Nhƣ bất biến pf (M ) cho ta cách phân loại lớp môđun Cấu trúc lớp môđun có pf (M )  đến đƣợc biết 2.3 Độ dài thƣơng suy rộng mơđun có kiểu đa thức nhỏ Năm 1985, R Y Sharp M A Hamieh [8] chứng minh đƣợc qx; M  n  đa thức dimM  d  M môđun CohenMacaulay suy rộng 27 Năm 2003, N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn [5] xây dựng phản ví dụ cho vành R chiều d  tùy ý để chứng tỏ nhìn chung câu trả lời Sharp Hamieh phủ định Cũng báo N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn kết quả: p(M)  pf (M )  ln tồn hệ tham số x để J M  x  n   không đa thức theo n Chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết cho kết Trƣớc trình bày kết báo chúng tơi trình bày cách chứng minh ba Bổ đề sau 2.3.1 Bổ đề Cho p(M) = pf(M)>0 Khi tồn hệ tham số x M cho qx; M (n) không đa thức n đủ lớn Chứng minh Gọi T ( M )  (Ass M d 1 i 1 Att (H mi ( M ))) \ m Gọi ( x1, y2 , , yd ) hệ tham số M cho x1  p với p T (M ) Vì ( x1, y2 , , yd )  p với p T (M ) , nên theo Bổ đề 2.1.6, chọn đƣợc phần tử a  ( x1, y3 , , yd ) cho y2  a  p với p T (M ) Đặt x2  y2  a Đặt xi  yi với i  Ta có x  ( x1, , xd ) hệ tham số M Chúng ta với hệ tham số x  ( x1, , xd ) vừa chọn, qx; M  n  không đa thức n đủ lớn Khơng tính tổng qt ta giả thiết depth M > Đặt M  M / x1n1 M Theo [8, Bổ đề 2.2] ta có dãy khớp R-mơđun  d 1   H md 1 (M ) / x1n1 Hdm1 ( M )   U ( M )d d M   U(M)d d11M Trong  d 1 đƣợc xác định  d 1 (m /(u2 , , ud ,1))  m /( x1n1 , u2 , , ud ,1), với m  M (u2 , , ud ,1) U (M )d Gọi s  s( H md 1 (M )) Chú ý 28 Ker ( d 1 )  H md 1 (M ) / ms H md 1 (M ) n1  s Vì Ker ( d 1 ) có độ dài hữu hạn Do Ker ( d 1 ) hữu hạn sinh Giả sử Ker ( d 1 ) sinh f1, , fl Ta có U ( M )d d M  M (1/( x2n2 , , xdnd ,1)) n2 , ,nd 0 Hơn theo Bổ đề 2.1.7 ta có M (1/( x2m2 , , xdmd ,1))  M (1/( x2n2 , , xdnd ,1)) ni  m j với i  2, , d Vì thế, cho trƣớc n1  s, ln tồn số tự nhiên r (n1 ) (chỉ phụ thuộc vào n1 ) cho f1, , fl  M (1/( x2n2 , , xdnd ,1)) với n2 , , nd  r (n1 ) Vì dãy khớp cảm sinh dãy khớp  d 1   Ker( d 1 )   M (1/( x2n2 , , xdnd ,1))   M (1/( x1n1 , , xdnd ,1))  0, với n1  s , n2 , , nd  r (n1 ) Do ta có qx; M (n)  qx , , x (1) d;M (n2 , , nd )  R ( H md 1 (M )) Chú ý e ( x2 , , xd ; M )  n1e ( x; M ) theo Bổ đề 2.1.6 ta có M mơđun Cohen-Mancaulay suy rộng Vì theo [8, Định lý 3.7] với n1  s cho trƣớc, tồn số nguyên dƣơng s(n1 ) (chỉ phụ thuộc vào n1 ) cho (2) d 2 d    ( n , n )  n n e ( x ; M )  ( H mi ( M / x1n1 M )),  d d   d ;M i 1  i   qx , , x với n2 , , nd  s(n1 ) Bây ta giả sử phản chứng tồn đa thức f ( X ) có bậc pf (M )  d biến X1, , X d cho qx;M (n)  n1 nd e( x; M )  f (n) 29 với n đủ lớn Khi theo (1) (2), với n1  s cho trƣớc với n2 , , nd  maxr (n1 ), s(n1 ), đa thức f (n) phụ thuộc vào biến n1 Vì khơng có biến biến X , , X d xuất từ f ( X ) Theo kết [8, Hệ 2.5], với m  M ta có m /( x1n1 , x2n2 , , xdnd ,1)  m /( x2n2 , x1n1 , , xdnd ,1) Vì thế, cách lặp lại trình cho x2 , tất biến X1, X , , X d xuất từ f ( X ) Điều f ( X ) phải đa thức hằng, mâu thuẫn với giả thiết bậc f ( X ) pf (M )  □ 2.3.2 Bổ đề Cho p(M )  pf (M )  Khi tồn tham số x M cho qx; M (n) không đa thức với n đủ lớn Chứng minh Cho T ( M )  (Ass M d 1 i 1 Att (H mi (M ))) \ m Và ( x1, y2 , yd ) hệ tham số M cho x1  p với p T (M ) Kí hiệu d 2 T ( x1; M)  ( Ass ( M / x1n1 M ) n1 1 Khi đó, ta có Att ( H mi ( M / x1n1 M ))) \ {m} i 1 n1 1 Ass ( M / x1n1 M ) tập hữu hạn Mặt khác, :M x1n1 có n1 1 độ dài hữu hạn nên tƣơng tự nhƣ chứng minh Bổ đề 2.1.6 từ hai dãy khớp   :M x1n1   M   M / :M x1n1  0 n x1   :M x1n1   M   M / :M x1n1 M  0 ta nhận đƣợc dãy khớp   H mi (M ) / x1n1 H mi (M )   H mi (M / x1n1 M )   :H i 1 ( M ) x1n1   m 30 Với i  1, , d  Chú ý ( H mi (M ) / x1n1 H mi (M )   tập Att (0 :H i 1 ( M ) x1n1 ) hữu hạn Vì T ( x1; M ) tập hữu hạn Vì m n1 1 ( x1, y2 , , yd )  p với p T (M )  T ( x1; M ), nên chọn đƣợc phần tử a  ( x1, y3 , , yd ) cho y2  a  p với p T (M )  T ( x1; M ) Đặt x2  y2  a Đặt d 2 T ( x2 ; M )  ( n2 Att ( H mi ( M / x2n2 M ))) \ {m} Ass ( M / x M ) n2 0 i 1 n2 1 Ass ( M / x2n2 M ) tập hữu hạn tập Ta có n2  n2 1 Att (0 :H i 1 ( M ) x2n2 ) m hữu hạn Vì tập T ( x2`; M ) tập hữu hạn, nên chọn đƣợc phần tử b  ( x1, x2 , y4 , , yd ) cho y3  b  p với p T ( x1; M)  T ( x2 ; M) Đặt x3  y3  b Đặt x  ( x1, , xd ) xi  yi với i  Khi x hệ tham số M Đặt s  s ( H md 1 (M )) Tƣơng tự nhƣ chứng minh Bổ đề 2.3.1, với n1  s cho trƣớc, tồn số nguyên dƣơng r (n1 ) cho với n2 , , nd  r (n1 ) ta có (3) qx;M (n)  q n x2 , , xd ; M / x1 M (n2 , , nd )  Rl ( H md 1 (M )) Chú ý e( x2 , , xd ; M / x1n1 M  n1e ( x; M ) theo Bổ đề 2.1.6 ta có p(M / x1n1 M )  Đặt s(n1 )  s( H md 2 (M / x1n1 M )) Tƣơng tự nhƣ chứng minh Bổ đề 2.3.1, với n1  s cho trƣớc, với n2  max{r (n1 ), s(n1 )} , tồn số nguyên dƣơng r(n1, n2 ) cho 31 q x2 , , xd ; M n / x1 M (n2 , , nd )  n1 nd e( x; M )  Rl ( H md 2 ( M / x1n1 M ))  d  3   ( H mi ( M / ( x1n1 , x2n2 ) M )),  i 1  d   (4) d 3 với n3 , , nd  r(n1, n2 ) Bây giờ, giả sử phản chứng tồn đa thức f ( X ) biến X1, , X d có bậc pf (M )  cho qx; M (n)  n1, , nd e( x; M )  f (n) với n đủ lớn Khi theo (3) (4), tất biến X , , X d xuất từ f ( X ) Vì x3  p với p T ( x1; M ) với m  M , ta có m /( x1n1 , x2n1 , x3n3 , x4n4 , , xdnd ,1)  m /( x1n1 , x3n3 , x2n2 , x4n4 , , xdnd ,1)  m /( x2n2 , x3n3 , x1n1 , x4n4 , , xdnd ,1), theo [8, Hệ 2.5] ta lặp lại q trình hai phần tử x1 , x3 Từ suy tất biến X , X , , X d xuất từ f ( X ) Vì x2  p với p T (M ) x3  p với p T ( x2 ; M ) nên lặp lại trình cho phần tử x2 , x3 Vì tất biến X1, X , , X d xuất từ f ( X ) Điều f ( X ) phải đa thức hằng, điều vô lý với giả thiết bậc f ( X ) pf (M )  □ Bổ đề 2.3.3 Cho p(M )  pf (M )  Nếu R có chứa phức đối ngẫu tồn hệ tham số x M cho qx; M (n) không đa thức n đủ lớn Chứng minh Đặt (M )  Ann H mi (M ) với i  0, , d  Đặt a (M )  ao (M ) ad 1 (M ) 32 Vì R có chứa phức đối ngẫu nên theo Định lý 2.1.8 ta có p(M )   dim R a(M ) Vì tƣơng tự nhƣ chứng minh Bổ đề 2.3.3, chọn đƣợc hệ tham số ( x1 , x2 , x3 , y4 , , yd ) M cho ( y4 , , yd ) R  a(M ) , x1  p với p T (M ) , x2  p với p T (M )  T ( x1; M ) , p T ( x1; M )  T ( x2 ; M ) , x3  p ta định với nghĩa tập T (M ), T ( x1; M ), T ( x2 ; M ) nhƣ chứng minh Bổ đề 2.3.2 Đặt x4  y4  x1  x2  x3 xi  yi với i  Đặt x  ( x1, , xd ) Khi x hệ tham số M Đặt s  ( H md 1 (M )) Tƣơng tự nhƣ chứng minh Bổ đề 2.3.1, với n1  s cho trƣớc, tồn số nguyên dƣơng r (n1 ) cho q x ; M ( n)  q (5) n x2 , , xd ; M / x1 M (n2 , , nd )  Rl ( H md 1 (M )) , với n2 , , nd  r (n1 ) Đặt s(n1 )  s( H md 2 ( M x1n1 M )) Lại tƣơng tự nhƣ chứng minh Bổ đề 2.3.1, với n1  s cho trƣớc n2  max r (n1 ), s(n1 ) cho trƣớc, tồn số nguyên dƣơng r (n1, n2 ) cho q (6) n x2 , , xd ;M / x1 M (n2 , , nd )  q n n x3 , , xd ; M /( x1 , x2 M (n3 , , nd )  Rl ( H md 2 ( M / x1n1 M )), với n3 , , nd  r (n1, n2 ) Đặt T ( M /( x1n1 , x2n2 )M )   Ass ( M /( x1n1 , x2n2 )M  d 3 Att (H mi ( M /( x1n1 , x2n2 )M ))) \ {m} Vì i 1 ( x3 , y4 , y5 , , yd ) hệ tham số M /( x1n1 , x2n2 ) M ( y4 , y5 , , yd ) R  a(M )  Rad (a(M /( x1n1 , x2n2 )M )), 33 nên có đƣợc x3  p với p T (M /( x1n1 , x2n2 ) M ) với n1, n2  Đặt s(n1, n2 )  s( H md 3 (M /( x1n1 , x2n2 )M )) Theo Bổ đề 2.1.6 ta có p(M /( x1n1 , x2n2 )M )  Ta có e( x3 , , xd ; M /( x1n1 , x2n2 )M )  n1n2e( x; M ) Vì tƣơng tự nhƣ chứng minh Bổ đề 2.3.1, với n1  s cho trƣớc, với n2  max{r (n1 ), s(n1 )} cho trƣớc với n3  max{r (n1, n2 ), s(n1, n2 )} cho trƣớc, tồn số nguyên dƣơng r(n1, n2 , n3 ) cho q x3 , , xd ; M n / ( x1 , n x2 )M (n3 , , nd )  n1 nd e( x; M )  Rl ( H md 3 ( M / ( x1n1 , x2n2 ) M ))  d  4   ( H mi ( M /( x1n1 , x2n2 , x3n3 ) M )),  i 1  d   d 4 (7) với n4 , , nd  r(n1, n2 , n3 ) Bây ta giả sử có đa thức f ( X ) biến X1, , X d với bậc dƣơng cho qx;M (n)  n1, , nd e( x; M )  f (n) Với n đủ lớn Khi theo (5), (6) (7), tất biến X , , X d xuất từ f ( X ) Một cách tƣơng tự, ta định nghĩa tập T (M /( x1n1 , x3n3 ) M ) Vì ( x4 , y4 , y5 , , yd ) hệ tham số M /( x1n1 , x3n3 ) M ( y4 , y5 , , yd ) R  a(M )  Rad (a(M /( x1n1 , x3n3 ) M )), nên dễ dàng kiểm tra đƣợc x4  p với p T (M /( x1n1 , x3n3 ) M ) với n1, n3  Vì lặp lại q trình cho phần tử x1, x3 , x4 , suy tất biến X , X , , X d 34 xuất từ f ( X ) Bởi lí tƣơng tự, lặp lại trình cho phần tử x1, x2 , x4 tiếp tục lặp lại trình cho phần tử x2 , x3 , x4 , ta suy đƣợc tất biến X , X , , X d tất biến X1, X , , X d xuất từ f ( X ) Vì f ( X ) phải số, điều mâu thuẫn với giả thiết f ( X ) có bậc pf ( X )  □ Từ ba Bổ đề kết hợp lại đƣợc định lý sau kết báo [5] N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn Định lý cho ta kết p(M)  pf(M) > ln tồn hệ tham số x để J M  x  n   không đa thức theo n 2.3.4 Định lý (i) Nếu p(M )  pf (M )  tồn hệ tham số x M cho qx; M ( n ) không đa thức n đủ lớn (ii) Giả sử R có phức đối ngẫu Nếu p(M )  pf (M )  tồn hệ tham số x M cho qx; M ( n ) không đa thức n đủ lớn Chứng minh Định lý 2.3.4 phải sử dụng nhiều lần để giảm dần kiểu đa thức Nên sử dụng phƣơng pháp để mở rộng cho trƣờng hợp p(M )  Vì đến năm 2004 N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn [6] tìm hệ tham số M cho vừa hạ dần đƣợc kiểu đa thức, vừa làm cho tập iđêan nguyên tố liên kết gắn kết hữu hạn tìm đƣợc dãy thỏa mãn đồng thời hai yêu cầu trên, gọi f-dãy chặt Cũng báo N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn [6] chứng minh đƣợc rằng: cho pf (M )  Khi tồn f-dãy chặt ( x1, , xd ) M cho qx; M (n) không đa thức theo biến n1 , , nd n1 , , nd đủ lớn 35 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại chi tiết phần kết báo [5] N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn Cụ thể chúng tơi hồn thành đƣợc việc sau: Trình bày khái niệm số tính chất kiểu đa thức p( M ) Trình bày khái niệm mơđun thƣơng suy rộng câu hỏi Sharp Hamieh [8] độ dài thƣơng suy rộng Trình bày kết N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn [5] nói rằng: p(M)  pf(M) > ln tồn hệ tham số x để J M  x  n   không đa thức theo n Đây câu trả lời phủ định cho câu hỏi Sharp Hamieh độ dài thƣơng suy rộng 36 TÀI LIỆU KHAM KHẢO Tiếng Việt [1] Dƣơng Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sƣ phạm Tiếng Anh [2] N T Cuong (1990), On the length of the powers of systems of parameters in local ring, Nagoya Math.J 120, 77-78 [3] N T Cuong (1992), On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local rings, Nagoya Math J 125, 105-114 [4] N T Cuong and N D Minh (2000), Lengths of certain generalized fractions of modules having small polynomial type, Math Proc Camb Phil Soc 128(2), 269-282 [5] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2003), Length of generalized fraction, Journal of Algebra 265(1), 100-113 [6] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2004) the finiteness of certain sets of prime ideals anh the length of generalized fractions, joumal of Pure and Applied Algebra 189, 109-121 [7] J-L Garcia Roig and D Kirby (1986), On the Koszul homology modules for the powers of a multiplicity system, Mathematika 33, 96-101 [8] R Y Sharp and M A Hamieh (1985), Length of certain generalized fraction, J Pure Appl Algebra 38, 323-336 [9] R Y Sharp and H Zakeri (1982), Modules of generalizedfraction, Mathematika 29, 296-306 ... SUY RỘNG CỦA MƠĐUN CĨ KIỂU ĐA THỨC NHỎ 2.1 Kiểu đa thức môđun 15 18 18 2.2 Hàm độ dài thƣơng suy rộng bất biến pf (M ) 22 2.3 Độ dài thƣơng suy rộng môđun có kiểu đa thức nhỏ 25 KẾT LUẬN 34 TÀI... dãy quy độ sâu, phức đối ngẫu, đối đồng điều địa phƣơng, môđun Cohen-Macaulay… Chƣơng 2: Độ dài thƣơng suy rộng mơđun có kiểu đa thức nhỏ Chƣơng trình bày khái niệm số tính chất kiểu đa thức p(... đƣợc biết 2.3 Độ dài thƣơng suy rộng mơđun có kiểu đa thức nhỏ Năm 1985, R Y Sharp M A Hamieh [8] chứng minh đƣợc qx; M  n  đa thức dimM  d  M môđun CohenMacaulay suy rộng 27 Năm 2003, N T Cƣờng,