Độ dài thương suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HONG TH NHUNG DI THNG SUY RNG Luận văn thạc sỹ toán học Ngi hng dn khoa hc TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An, 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG THỊ NHUNG DI THNG SUY RNG Chuyên ngành: I S V Lí THUYT S Mó s: 60.46.05 Luận văn thạc sỹ to¸n häc Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An, 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU……………………………………………………………… CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………………………… 1.1 Iđêan nguyên tố Iđêan cực đại Iđêan nguyên sơ……………………… 1.2 Phổ vành…………………………………………………………… 1.3 Giá môđun………………………………………………………… 1.4 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun………………………… 1.5 Độ dài môđun………………………………………………………… 1.6 Chiều Krull môđun………………………………………………… 1.7 Hệ tham số môđun…………………………………………… 1.8 Số bội………………………………………………………………… 1.9 Dãy qui………………………………………………………… 1.10 Vành môđun thƣơng………………………………………… 1.11 Vành Iđêan hóa……………………………………………………… 11 1.12 Mơđun đối đồng điều địa phƣơng…………………………………… 12 1.13 Môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen – Macaulay suy rộng 13 CHƢƠNG II: ĐỘ DÀI THƢƠNG SUY RỘNG…………………… 14 2.1 Mô đun thƣơng suy rộng………………………………………… 14 2.2 Độ dài thƣơng suy rộng……………………………………………… 16 KẾT LUẬN…………………………………………………………………30 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… 31 MỞ ĐẦU Trong suốt luận văn, giả thiết (R, m) vành Noether, địa phƣơng với iđêan tối đại m M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull d Trong [11], R.Y.Sharp Zakeri xây dựng R-môđun gọi môđun thƣơng suy rộng Với số nguyên dƣơng k , tập tam giác R k đƣợc định nghĩa Sharp Zakeri đóng vai trị nhƣ tập đóng nhân lý thuyết quen biết vành môđun thƣơng Vì lý thuyết mơđun thƣơng suy rộng xem nhƣ mở rộng lý thuyết địa phƣơng hóa thơng thƣờng Lý thuyết mơđun thƣơng suy rộng có ứng dụng rộng rãi Đại số giao hoán Chẳng hạn, Giả thuyết Đơn thức M Hochster đƣợc phát biểu lại dƣới dạng: với hệ tham số ( x1, , xd ) M độ dài thƣơng suy rộng 1/( x1 , , xd ,1) khác không Với hệ tham số ( x1, , xd ) M (n1, , nd ) gồm d số nguyên dƣơng, xem độ dài thƣơng suy rộng 1/( x1n1 , , xdnd ,1) nhƣ hàm theo biến nguyên dƣơng n1 , , nd R Y Sharp M A Hamieh [9] hỏi rằng: liệu hàm độ dài qx; M (n) = (1/( x1n1 , , xdnd ,1) ) có phải đa thức theo biến n1 , , nd với hệ số hữu tỷ n1 , , nd đủ lớn? Trong [9], R Y Sharp M A Hamieh chứng minh đƣợc qx; M (n) đa thức d  M môđun Cohen-Macaulay suy rộng Đến năm 2003, N T Cƣờng, M Morales and L T Nhàn [6] phản ví dụ cho câu hỏi R Y Sharp M A Hamieh Mục đích Luận văn trình bày lại cách tƣờng minh phản ví dụ Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo nội dung luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng Chƣơng I: Kiến thức chuẩn bị Trong chƣơng chúng tơi trình bày số khái niệm sở Đại số giao hốn có sử dụng luận văn Chƣơng II: Độ dài thƣơng suy rộng Chƣơng nội dung luận văn Trong chƣơng chúng tơi trình bày vấn đề sau: - Khái niệm độ dài thƣơng suy rộng - Câu hỏi mở R Y Sharp M A Hamieh độ dài thƣơng suy rộng - Phản ví dụ cho câu hỏi mở Luận văn đƣợc hoàn thành vào tháng 10/ 2011 Trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cơ, ngƣời hƣớng dẫn nhiệt tình, chu đáo, nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Cũng tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán Khoa Sau đại học giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn anh chị, bạn lớp Cao học 17- Đại số Lý thuyết số giúp đỡ động viên suốt trình học tập Luận văn đƣợc hoàn thành tất nỗ lực cố gắng thân song khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc để luận văn đƣợc hồn thiện Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày số khái niệm Đại số giao hốn nhằm làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chúng tơi trình bày vấn đề sau: iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ, phổ vành, giá môđun, tập iđêan nguyên tố liên kết môđun, độ dài môđun, chiều Krull môđun, hệ tham số mơđun, số bội, dãy qui, vành mơđun thƣơng, vành iđêan hóa, mơđun đối đồng điều địa phƣơng,… 1.1 Iđêan nguyên tố Iđêan cực đại Iđêan nguyên sơ (i) Iđêan I R đƣợc gọi iđêan nguyên tố I  R x, y  R mà xy  I x  I y  I (ii) Iđêan I R đƣợc gọi iđêan cực đại I  R không tồn iđêan J  R cho J  I J  I (iii) Iđêan I R đƣợc gọi iđêan nguyên sơ I  R x, y  R mà xy  I x  I tồn n cho y n  I 1.2 Phổ vành Kí hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R SpecR đƣợc gọi phổ vành R Với iđêan I R ta kí hiệu V ( I )  {P  SpecR P  I }   1.3 Giá môđun Tập Supp M= P  SpecR M p  SpecR đƣợc gọi giá môđun M Với x  M ta kí hiệu AnnR ( x)  a  R ax  0; AnnR M  a  R aM  0  a  R ax  0, x  M  Ta có AnnR ( x) AnnR M (hoặc Ann( x) AnnM không để ý đến vành R) iđêan vành R , AnnR M đƣợc gọi linh hóa tử mơđun M Hơn nữa, M R -mơđun hữu hạn sinh SuppM  V ( AnnR M )  P  Spec R AnnR M  P 1.4 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun 1.4.1 Định nghĩa Cho M R -môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M hai điều kiện tƣơng đƣơng sau đƣợc thỏa mãn: (i) Tồn phần tử x  M cho Ann(x) = p (ii) M chứa môđun đẳng cấu với R/p Tập iđêan nguyên tố liên kết M đƣợc kí hiệu AssRM (hoặc AssM không để ý đến vành R) 1.4.2 Mệnh đề AssRM  SuppRM phần tử tối tiểu SuppRM thuộc AssRM 1.4.3 Mệnh đề Nếu M R-mơđun Noether AssRM tập hợp hữu hạn 1.5 Độ dài môđun 1.5.1 Định nghĩa Một dãy hợp thành R-môđun M dãy giảm gồm số hữu hạn môđun M  M  M1   M n  0 , cho Mi-1/Mi môđun đơn với i = 1, 2, , n Khi n đƣợc gọi độ dài dãy hợp thành Mơđun M có dãy hợp thành đƣợc gọi mơđun có dãy hợp thành 1.5.2 Định nghĩa Nếu R-mơđun M có dãy hợp thành có độ dài n, tất dãy hợp thành M có độ dài n Khi độ dài chung dãy hợp thành M đƣợc gọi độ dài mơđun M kí hiệu R (M ) Nếu R-mơđun M khơng có dãy hợp thành ta quy ƣớc độ dài R ( M )   đƣợc gọi mơđun có độ dài vô hạn 1.5.3 Mệnh đề Cho M, N, P R-mơđun, ta có tính chất sau: (i) Một R-mơđun M có độ dài hữu hạn M vừa môđun Noether vừa môđun Artin (ii) Cho dãy khớp ngắn R-môđun   N   M   P  0 Khi M có độ dài hữu hạn N P có độ dài hữu hạn, ta ln có R (M ) = R (N ) + R ( P) (iii) Nếu N R-môđun R-môđun M M có độ dài hữu hạn R (M ) = R (N ) + R (M / N ) (iv) Nếu R vành Noether M R-mơđun có độ dài hữu hạn AssR(M) = SuppR(M) 1.6 Chiều Krull môđun Một dãy giảm thực iđêan nguyên tố R: p0  p1   pn đƣợc gọi xích nguyên tố có độ dài n Cho p  SpecR Chặn độ dài xích nguyên tố với p0 = p đƣợc gọi độ cao p Kí hiệu ht(p) Nghĩa là: ht(p) = Sup {độ dài xích nguyên tố với p0 = p} Cho I iđêan R Khi ta định nghĩa: ht ( I )  inf ht ( p) / p  SpecR, p  I  Chặn xích nguyên tố R đƣợc gọi chiều Krull vành R Kí hiệu là: dimR Giả sử M R-mơđun Khi dim(R/Ann(M)) đƣợc gọi chiều Krull mơđun M, kí hiệu dimM dimR M 1.7 Hệ tham số môđun Cho M môđun hữu hạn sinh với dimM = d vành giao hoán, địa phƣơng, Noether (R, m) Một hệ phần tử x   x1, , xd  m cho R (M/(x1, ,xd )M ) , đặt :M x1  {m mx1  0} Khi :M x1 mơđun M Vì ( M /( x1, ., xt ) M )   ta suy ((0 :M x1 ) / ( x2 , , xt )(0 :M x1))   , tức ( x2 , , xt ) hệ bội môđun :M x1 Vậy theo giả thiết qui nạp e( x2 , , xt ; M / x1M ) e( x2 , , xt ;0M x1 ) đƣợc xác định Khi ta định nghĩa: e( x2 , , xt ; M ) = e( x2 , , xt ; M / x1M ) - e( x2 , , xt ;0 :M x1) Sau tính chất số bội e( x; M ) : (i)  e( x2 , , xt ; M )  (M /( x2 , , xt )M ) Đặc biệt, tồn i cho xin M  với n số tự nhiên e( x1, , xt ; M ) = (ii) e( x1, , xt ; M ) = t > d (iii) e( x1n1 , , xtnt ; M ) = n1, , nt e( x1, , xt ; M ) với n1 , , nt số nguyên dƣơng (iv) Cho dãy khớp ngắn R- môđun  M '  M  M"  Ta có, x hệ bội M x hệ bội M ' M " Hơn e( x; M ) = e( x; M ' ) + e( x; M " ) 1.9 Dãy qui Một phần tử a  R đƣợc gọi phần tử qui M hay M-chính qui ax  với x  M , x  Dãy phần tử x1, , xn m đƣợc gọi dãy qui M hay gọi M -dãy điều kiện sau đƣợc thỏa mãn: (i) M / ( x1, , xn )M  (ii) xi M /( x1, , xi1 )M - quy với i=1,2,…,n Chú ý a  R phần tử quy M a  p, p  AssM Do ( x1, , xn ) dãy quy M M /( x1, , xn )M  xi  p, p  Ass(M /( x1, x2 , , xi1 )M ) với i  1, , n 2.2.3 Định nghĩa Cho L R-môđun Artin Giả sử L  C1   Ch , (h  0) biểu diễn thứ cấp tối thiểu L , với Ci pi- thứ cấp với i  1, , h Đặt L0  h  C Môđun L0 không phụ thuộc biểu diễn thứ cấp i i= pi  m tối thiểu L đƣợc gọi thặng dƣ môđun L Chú ý L0 môđun bé L cho ( L / L0 ) <  Khi ( L / L0 ) gọi độ dài thặng dư L Số nguyên không âm nhỏ s  s( L) cho ms L  L0 đƣợc gọi số ổn định L 2.2.4 Định lý Giả sử dimR =2 t  độ dài thặng dư môđun Artin H m1 ( R) , s số ổn định H m1 ( R) x1 , x2 hệ tham số R Khi với số tự nhiên n1, n2  s ta có: ( R(1/ ( x1n1 , x2n2 ,1)))  e( x1, x2 )n1n2  t  Chứng minh Luôn tồn số nguyên dƣơng t cho (0 : mt )  (0 : mt 1 ) , với i  Nếu thay vành R R / (0 : mt ) không làm thay đổi giá trị t  s Do R / (0 : mt ) có độ sâu dƣơng nên ta giả sử depth R  Chọn số tự nhiên n1 , n2 cho n1, n2  s Đặt S  AssR  ( Att ( H m1 ( R)) \ {m}) tập hữu hạn iđêan nguyên tố không cực đại R Do Rx1n1 + Rx2n2 Ë U p pỴ S Khi tồn a1 Ỵ R cho y2 = a1 x1n1 + x2 Ï U p Do y2 tất pỴ S lũy thừa dƣơng khơng ƣớc khơng R Chú ý tồn b1 Ỵ R cho y n2 = b1x1n1 + x2n2 Ta t ổ1 0ử ữ ỗỗ ữ ỗ ữ H = ỗb1 0ữ ẻ D3 ( R) ữ ỗỗ ữ ữ ữ ỗố 0 1ø Do H ( x1n1 , x2n2 ,1)T = ( x1n1 , y2n2 ,1)T theo [9, 2.5] ta có 1/( x1n1 , x2n2 ,1) = 1/( x1n1 , y2n2 ,1) = - 1/( y2n2 , x1n1 ,1) Mặt khác Rx1 + Rx2 = Ry2 + Rx1 nên e( x1, x2 ) = e( y2 , x1 ) , ( R(1/( y2n2 , x1n1 ,1)))  e( y2 , x1 )n1n2  t  Vì y2n khơng ƣớc khơng R, ta đặt R  R / Ry2n Từ [9, 2.2] ta 2 có R  đồng cấu:  : U  R  R  U  R 3 R 2 3   cho  (a /( z2 ,1))  a /( y2n z2 ,1) với a  R hệ tham số z2 R Ta ý ker  H m1 ( R) / y2n H m1 ( R) cách chọn y2 , y2n2 H m1 ( A) nên ker có độ dài hữu hạn t  Do từ [9, 2.8], [11, 3.2] [10, 3.5] ta có: s n1 ker  R(1/( x1 ,1))  R(1/( x1 ,1)) Từ có dãy khớp ngắn sau n1  ker  R(1/( x1 ,1))  R(1/( y2n2 , x1n1 ,1))  Vì R- mơđun có độ dài hữu hạn nên theo Mệnh đề 1.5.3 ta có n1 ( R(1/( x1 ,1)))  (ker )  ( R(1/( y2n2 , x1n1 ,1))) Mặt khác theo Định lý 2.2.2 , n1 R ( R(1/( x1 ,1)))  n1 ( R(1/( x1 ,1)))  eR ( x1 )n1 , R mà eR ( x1 )n1  eR ( y2n2 , x1 ) (theo [3, 7.4.2 7.4.3]) (ker )  t , nên từ [3, p.311] suy R ( R(1/( y2n2 , x1n1 ,1)))  eR ( y2 , x1 )n1n2  t , ( R(1/ ( x1n1 , x2n2 ,1)))  e( x1, x2 )n1n2  t  2.2.5 Hệ Cho R vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương có số chiều {x1 , x2} hệ tham số R Khi với số nguyên dương n1, n2  s( H m1 ( R)) ta có ( R(1/ ( x1n1 , x2n2 ,1)))  e( x1, x2 )n1n2  ( H m1 ( R)) 2.2.6 Chú ý Cho dãy khớp R- môđun N  P  Q b, c iđêan R cho bN   cQ Khi bcP  Đặc biệt, N , P, Q có độ dài hữu hạn s( P)  s( N )  s(Q) 2.2.7 Hệ Cho R vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương x1  m không ước khơng R Khi với i = 1, , d - ta có: s( H mi / Rx1 ( R / x1R)) £ s( H mi ( R)) + s( H mi+ ( R)) 2.2.8 Mệnh đề Cho R vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương x1 , , xd hệ tham số R Đặt ỉd - 1÷ i ỗỗ ữ ồi= ỗối - ữữứs( H m ( R)) d- t= Lấy r Ỵ ¥ Khi (0:U ( R )- d - R mr ) Í R(1/( x1r+ 1, , xdr+ 1,1)) d- Chứng minh Ta chứng minh phƣơng pháp qui nạp Trong trƣờng hợp d  kết đƣợc suy từ [9, 2.8], [10, 3.5] [11, 3.2] Do giả sử d  Khơng tính tổng qt giả sử depth R  Khi với x khơng ƣớc không phần hệ tham số R, từ [8, 3.3] với n , (0 :R x)  (0 :R mn )  0, từ Chú ý 2.2.6 Hệ 2.2.7 ta có R / xR vành Cohen – Macaulay suy rộng, địa phƣơng có chiều d  Lấy  U ( R)d d11 R cho mr  Theo [11, 3.6], tồn a  R số nguyên dƣơng n1 , , nd để   a /( x1n1, , xdnd ,1) Ký hiệu R  R / x1n1 R vành Cohen – Macaulay suy rộng, địa phƣơng có chiều d  : R  R đồng cấu tự nhiên Theo [8, 2.2] ta có dãy khớp d 1   H md 1 ( R) / x1n1 H md 1 ( R)  U ( R)d d R  U ( R)d d11 R ,  d 1 (b /( y2 , , yd , 1))  b /( x1n1 , y2 , , yd ,1) với b  R hệ tham số {y2 , , yd } R Đặt s  s( H md 1 ( R)) Khi ms ker d+1  mr s (a /( x2n2 , , xdnd , 1))  Do vậy, tồn a1  R cho a a ,  r  s t  r  s t  nd ( x , , xd , 1) ( x2 , , xd , 1) n2 ú t Â= ổd - 2ử ữ ỗỗ s( H mi ( R )) ữ ữ ỗ ữ i= èi - ø d- å m iđêan cực đại R Từ Hệ 2.2.7 ta có t  s  t , áp dụng  d 1 tồn a2  R cho   a2 /( x1n , x2r t , , xdr t ,1) Áp dụng hoán vị Riley ta có   a2 /( x2r t , x1n , x3r t , , xdr t ,1) Lặp lại q trình ta hồn tất bƣớc qui nạp Định lý sau cho thấy R vành Cohen-Macaulay suy rộng ta có câu trả lời cho câu hỏi Sharp Hamieh 2.2.9 Định lý Cho R vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương x1 , , xd hệ tham số R Đặt ỉd - 1÷ i ỗỗ s( H m ( R)) ữ ữ ç ÷ i è ø i= d- t= å Khi với số nguyên dương n1, , nd ³ t  d  1 ( R(1 / ( x , , x ,1)))  e( x1, , xd )n1 nd    ( H mi ( R))  i 1  i   d 1 nd d n1 Chứng minh Ta chứng minh phƣơng pháp qui nạp Khi d  d  kết đƣợc chứng minh Định lý 2.2.2 Hệ 2.2.5 Do ta giả sử d  Từ [6, 2.1] ta giả sử depth R  , với x khác không phần hệ tham số R cho R / xR vành Cohen – Macaulay suy rộng, địa phƣơng có chiều d  Chọn n1, , nd  cho ni  t , với i  1, , d Ký hiệu R  R / x1n1 R : R  R xạ ánh tự nhiên, ý x1n1 H md 1 ( R)  Khi tồn đồng cấu  d 1 : U ( R)d d R  U ( R)d d11 R, cho, với a  R ( y2 , , yd , 1) U ( R)d ,  d 1 (a /( y2 , , yd ,1))  a /( x, y2 , , yd ,1) Hơn nữa, ker d+1  H md 1 ( R) / xH md 1 ( R) Ta có dãy khớp d 1   H md 1 ( R)  U ( R)d d R  U ( R)d d11 R , ms ker d+1  0, s  s( H md 1 ( R)) Do từ Mệnh đề 2.2.8 ta có ker d+1  R(1/( x2st , , xdst ,1)) , d 2 d     với t    s( H mi ( R )) , (và m iđêan cực đại R ) Từ Hệ 2.2.7  i 1  i   ta có t  s  t , ker d+1  R (1/( x2n2 , , xdnd ,1)), từ có dãy khớp ngắn R- mơđun có độ dài hữu hạn sau  R (1/( x2n2 , , xdnd ,1))  R(1/( x1n1 , x2n2 , , xdnd ,1))  Từ giả thiết quy nạp, với n2 , , nd  t ta có d 2 d    ( R (1/( x2n2 , , xdnd ,1)))  eR ( x2 , , xd )n2 nd     i 1  i   R ( H mi ( R )) Theo [3, 7.4.2, 7.4.3] [3, p.11] , suy eR ( x2 , , xd )  eR ( x1n1 , x2, , , xd )  n1eR ( x1, x2 , , xd ) Do ta có ( R(1/( x , , x ,1)))  e( x1, , xd )n1 nd  ( H nd d n1 d 1 m  d  2 ( R))     i 1  i   d 2 R ( H mi ( R )) Từ dãy khớp ngắn n1 x1  R   R  R  0, ta có dãy khớp mơđun đối đồng điều địa phƣơng sau n1 n2 x1 x2  H m0 ( R)  H m1 ( R)   H m1 ( R)  H m1 ( R)  H m2 ( R)  H m2 ( R)  H m2 ( R)  tự đồng cấu H mi ( R) (1  i  d  1) sinh phép nhân với x1n1 khơng : điều ni  s( H mi ( R)) với i  1, , d  Do ( H mi ( R))  ( H mi ( R))  ( H mi1 ( R)) i  1, , d  Vậy (H d 1 m d 1 d   d  2   i ( R))    ( H m ( R))    ( H mi ( R))   i 1  i   i 1  i   d 2 Các bƣớc quy nạp đƣợc hoàn tất Vậy ta có với n1, , nd  t d 1 d    ( R(1 / ( x1n1 , , xdnd ,1)))  e( x1, , xd )n1 nd    ( H mi ( R))  i 1  i   Năm 2003, N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn [6] đƣa phản ví dụ chứng tỏ nhìn chung câu trả lời cho câu hỏi mở Sharp Hamieh phủ định Tiếp sau chúng tơi trình bày lại phản ví dụ cho vành R chiều d  tùy ý 2.2.10 Bổ đề Cho ( R,m) vành Noether địa phương M Rmodule hữu hạn sinh với dimM = d Cho x = ( x1, , xd ) hệ tham số M Đặt ( x1t 1, , xdt 1 )M :M x1t , , xdt Q( x; M )  t 0 Khi ta có M / Q( x; M )  M (1/( x1, , xd ,1) Chứng minh Đặt  m : M /( x1, , xd )M   M /( x1m , , xdm ) M với m  , ta biết lim( M /( x1, , xd ) M )  H md ( M )   n Xét ánh xạ f1 : M /( x1, , xd ) M  U ( M )d d11 M xác định f1 (u  ( x1, , xd )M )  u /( x1, , xd ,1) với u  M Do ta có ( x1, , xd )M  kerf1 , ta có biểu đồ sau giao hốn m M /( x1, , xd )M   M /( x1m , , xdm )M f1 fm U ( M )d d11 M Khi tồn đồng cấu f : H md (M )  U (M )d d11 M cho biểu đồ sau giao hoán  M /( x1, , xd ) M   H md ( M ) f1 f U ( M )d d11 M Từ biểu đồ ta nhân đƣợc ker f1  ker Mà ker  Q( x; M ) nên M /(1/( x1, , xd ,1))  Im f  M / ker  M / Q( x; M ) Vậy bổ đề đƣợc chứng minh Từ hết phần này, giả thiết d   v  d  số nguyên dƣơng 2.2.11 Bổ đề Kí hiệu S  K[ x1, ,x d ] vành đa thức biến x1 , , xd trường K n1 , , nd số nguyên dương Khi với số nguyên dương t  nd ta có n1 ( x1n1t n1 , , xdnd t nd )( x1  xd , x2 , , xd v )S :S x1n1t xdnd t  ( x1n1t , , xdnd t ) S Chứng minh Đặt a  ( x1n1t n1 , , xdnd t nd )( x1  xd , x2 , , xd v )S :S x1n1t xdnd t Khi ta có a  ( x1n1t n1 , , xdnd t nd ) S :S x1n1t xdnd t Vì ( x1n1t n1 , , xdnd t nd )S iđêan đơn thức nên đa thức S phần tử thuộc ( x1n1t n1 , , xdnd t nd )S từ bội đơn thức x1n1t n1 , , xdnd t nd Vì ta có ( x1n1t n1 , , xdnd t nd ) S :S x1n1t xdnd t  ( x1n1t , , xdnd t ) S Từ suy a  ( x1n1t , , xdnd t ) S Ngƣợc lại, d  v  , nên kiểm tra đƣợc xini  a , với i  Đặt b = ( x1n1t n1 , , xdnd t nd )( x1  xd , x2 , , xd v ) S Khi ta có x2n2t n2 x1n1t x3n3t xdnd t  x2n2t n2 ( x1  xd ) x1n1t 1x3n3t xdnd t  x2n2t n2 x1n1t 1x3n3t xdnd t 1 Do ta có x2n2t n2 x1n1t x3n3t xdnd t  b x2n2t n2 x1n1t 1x3n3t xdnd t 1  b Vì sau n1t bƣớc ta nhận đƣợc x2n2t n2 x1n1t x3n3t xdnd t  b x2n2t n2 x3n3t xdnd11t xdnd t n1t b Vì n1t  nd , nên ta có x2n2t n2 x3n3t xdnd11t xdnd t n1t  b Suy x2n2t n2 x1n1t x3n3t xdnd t  b x2n2  a 2.2.12 Bổ đề Kí hiệu S  K[ x1, ,x d ] vành đa thức biến x1 , , xd trường K n1 , , nd số nguyên dương Khi với số nguyên dương t  nd ta có n1 (( x1  xd )n1t n1 , x2n2t n2 , , xdnd t nd )( x1, , xd v ) S :S ( x1  xd ) n1t x2n2t xdnd t  (( x1  x2 ) n1 , x2n2 , , xdnd ) S Chứng minh Đặt a = (( x1  xd )n1t n1 , x2n2t n2 , , xdnd t nd )( x1, , xd v ) S b = a :S ( x1  xd )n1t x2n2t xdnd t Chúng ta cần b = (( x1  xd )n1 , x2n2 , , xdnd )S Rõ ràng ta có ( x1  xd )n1 , x3n3 , , xdnd  b Vì cần chứng minh x2n2  b đủ Chú ý tồn đa thức f cho x2n2t n2 ( x1  xd )n1t x3n3t xdnd t  x1x2n2t n2 x3n3t xdnd t f  x2n2t n2 x3n3t xdnd t n1t Ta có x1x2n2t n2 x3n3t xdnd t f  a Hơn nữa, n1t  nd , nên ta có x2n2t n2 x3n3t xdnd t n1t  a Suy x2n2t n2 ( x1  xd )n1t x3n3t xdnd t  a x2n2  b Ngƣợc lại, cho f ( x1, x2 , , xd ) đa thức tùy ý b Bằng cách thay x1  x1  xd ; x2  x2 ;…; xd  xd , đa thức f ( x1  xd , x2 , , xd ) phải thuộc vào iđêan ( x1n1t n1 , x2n2t n2 , , xdnd t nd )( x1  xd , x2, , xd v )S :S x1n1t x2n2t xdnd t Vì f ( x1  xd , x2 , , xd )  ( x1n1 , x2n2 , xdnd ) S theo Bổ đề 2.2.11 Lại cách thay x1  x1  xd ; x2  x2 ;…; xd  xd , ta nhận đƣợc f ( x1, x2 , , xd )  (( x1  xd )n1 , x2n2 , xdnd ) S Vậy bổ đề đƣợc chứng minh 2.2.13 Bổ đề Kí hiệu S  K[ x1, , xd ] vành đa thức biến x1 , , xd trường K Gọi m  ( x1, , xd ) S iđêan tối đại nhất R  Sm vành địa phương hóa S ứng với iđêan m Đặt M  ( x1, , xd v ) R Khi x  ( x1  xd , x2 , , xd ) hệ tham số M qx;M (n)  n1 nd  nd v1 nd 1 min{n1, nd }, với số nguyên dương n1, , nd  Đặc biệt, độ dài qx;M (n) không đa thức n đủ lớn Chứng minh Nhờ tính phẳng đồng cấu tự nhiên S  Sm nhờ kết [4, 3.H] theo Bổ đề 2.2.11 ta có Q(( x1  xd )n1 , x2n2 , , xd nd ; M )  ( x1, , xd v ) Sm  (( x1  xd ) n1 , x2 n2 , , xd nd ) Sm Từ đẳng tức theo Bổ đề 2.2.10 ta nhận đƣợc qx;M (n)  (( x1, , xd v )Sm /( x1, , xd v ) Sm  (( x1  xd ) n1 , x2n2 , , xd nd ) Sm ) = (( x1, , xd v, xdndvv11 , , xdmin{n1 ,nd } )Sm /(( x1  xd )n1 , x2 n2 , , xd nd )Sm ) = (Sm /(( x1  xd )n1 , x2 n2 , , xd nd )Sm )  (Sm /( x1, , xd v, xdndvv11 , , xdmin{n1 ,nd } ) Sm ) Vì Sm vành Cohen-Macaulay nên ta có qx;M ( n)  e(( x1  xd )n1 , x2n2 , , xd nd ; Sm )  e(( x1, , xd v , xdndvv11 , , xdmin{n1 ,nd }; Sm ) = n1 nd  nd v1 nd 1.min{n1,n d } Vậy bổ đề đƣợc chứng minh 2.2.14 Bổ đề Giả sử dim M  dim R  d Gọi x = ( x1, , xd ) hệ tham số R Các môđun Q( x; R) ; Q( x; M ) Q(( x,0); R M) xác định Bổ đề 2.2.10 Khi ta có ( R M / Q(( x;0) ; R M))= ( R / Q( x, R ))  (M / Q( x; M )) Chứng minh Với phần tử (r , m)  R M với số nguyên dƣơng t , ta kiểm tra đƣợc ( x1,0)t ( xd ,0)t (r, m)  ( x1t xdt r, x1t xdt m) Thêm ta có (( x1,0)t 1, ,( xd ,0)t 1 ) R M  ( x1t 1, , xdt 1 ) R  ( x1t 1, , xdt 1 )M với số nguyên dƣơng t  Vì ta có Q(( x,0); R M )= Q( x; R)  Q( x; M ) Từ kết ta có dãy khớp R M -mơđun    M / Q( x; M )   R M / Q(( x,0); R M )   R / Q( x; R)  , ta kí hiệu   (tƣơng ứng   ) đồng cấu cảm sinh đồng cấu  : M  R M định nghĩa  (m)  (0, m) với m  M (tƣơng ứng đồng cấu cảm sinh phép chiếu tự nhiên  ) Do ta có ( R M / Q(( x;0) ; R M))= ( R / Q( x, R ))  (M / Q( x; M )) Vậy bổ đề đƣợc chứng minh Những bổ đề công cụ để chứng minh định lý đây, câu trả lời cho câu hỏi mở Sharp Hamieh mà N T Cƣờng, M Morales L T Nhàn trình bày [6] 2.2.15 Định lý Cho d   v  d  số nguyên Gọi S  K[ x1, , xd ] vành đa thức biến x1 , , xd trường K Gọi m  ( x1, , xd ) S iđêan tối đại nhất S R  Sm vành địa phương hóa S tương ứng với m Đặt M  ( x1, , xd v ) R kí hiệu R M vành iđêan hóa M Khi ( x,0)  (( x1  xd ,0),( x2 ,0), ,( xd ,0)) hệ tham số R M q ( x ,0) ;R M (n)  2n1n2 nd  nd v1 nd 1 min{n1, nd }, với số nguyên dương n1, , nd  Vì q ( x ,0) ;R M ( n) không đa thức n  (n1, , nd ) đủ lớn Chứng minh Vì R vành Cohen-Macalay ( x1  xd )n1 , x2n2 , , xdnd hệ tham số R nên ( x1  xd )n1 , x2n2 , , xdnd phải dãy R-chính quy Vì ta có Q(( x1  xd )n1 , x2n2 , , xdnd ; R)  (( x1  xd )n1 , x2n2 , , xdnd ) R Bây ta sử dụng Bổ đề 2.2.10 ta có qx;R (n1, , nd )  n1, , nd , x  ( x1  xd , x2 , , xd ) Từ đây, định lý đƣợc suy theo Bổ đề 2.2.10, Bổ đề 2.2.13, Bổ đề 2.2.14 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày lại cách tƣờng minh kết báo [6], [9], [11] Cụ thể chúng tơi hồn thành đƣợc việc sau: Trình bày cách xây dựng mơđun thƣơng suy rộng Trình bày lại câu hỏi mở Sharp Hamieh độ dài thƣơng suy rộng câu trả lời số trƣờng hợp đặc biệt dimR  R vành Cohen-Maccaulay suy rộng Trình bày lại chứng minh chi tiết phản ví dụ L T Nhan, M Morales N T Cuong [6] cho câu hỏi mở Sharp Hamieh TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cƣờng (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia [2] Dƣơng Quốc Việt (2003), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sƣ phạm Tiếng Anh [3] D G Northcott (1968), Lessons on Rings, Module and Multiplicities, Cambridge Univ Press, Cambridge [4] H Matsumura (1980), Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin [5] M Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass [6] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2003), Length of generalized fraction, Journal of Algebra, 265(1), 100-113 [7] N T Cuong and V T Khoi (1999), Modules whose local cohomology modules have Cohen-Macaulay Matlis duals, In Proc Of Hanoi Conf on Commutative Algebra, Algebraic Geometry, and Computaional Methods (Editor D Eisenbud), Springer, 223-231 [8] P Schenzel, N V Trung and N T Cuong (1978), Verallgemeinerte Cohen- Macaulay-Moduln, Math Nachr, 85, 57-73 [9] R Y Sharp and M A Hamieh (1985), Length of certain generalized fraction, J Pure Appl, Algebra 38, 323-336 [10] R Y Sharp and H Zakeri (1982), Local cohomology and modules of generalized fraction, Mathematika 29, 32- 41 [11] R Y Sharp and H Zakeri (1982), Modules of generalized fraction, Mathematika 29, 296-306 ... Cohen-Macaulay môđun Cohen – Macaulay suy rộng 13 CHƢƠNG II: ĐỘ DÀI THƢƠNG SUY RỘNG…………………… 14 2.1 Mô đun thƣơng suy rộng? ??……………………………………… 14 2.2 Độ dài thƣơng suy rộng? ??…………………………………………… 16 KẾT LUẬN…………………………………………………………………30... Chƣơng II: Độ dài thƣơng suy rộng Chƣơng nội dung luận văn Trong chƣơng chúng tơi trình bày vấn đề sau: - Khái niệm độ dài thƣơng suy rộng - Câu hỏi mở R Y Sharp M A Hamieh độ dài thƣơng suy rộng -... (1/( x1n1 , , xdnd ,1))) Theo Sharp Hamieh, độ dài qx;M (n) đƣợc gọi độ dài thương suy rộng 1/ ( x1n1 , , xdnd ,1) Sau định nghĩa độ dài thƣơng suy rộng, Sharp Hamieh [9] đặt câu hỏi sau Câu hỏi