Về môđun các thương suy rộng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN HỌC ĐỖ THỊ HỒNG PHNG MễUN CC THNG SUY RNG luận văn thạc sỹ to¸n häc Nghệ An, 2011 TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TỐN HỌC ĐỖ THỊ HỒNG PHƢỢNG VỀ MƠĐUN CÁC THNG SUY RNG luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngµnh: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An, 2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Cho R vành giao hốn, có đơn vị Trong [6], R.Y.Sharp H.Zakeri xây dựng R- môđun gọi môđun thương suy rộng Với số nguyên dƣơng k, tập tam giác Rk đƣợc định nghĩa Sharp Zakeri đóng vai trị nhƣ tập nhân đóng lý thuyết quen biết vành mơđun thƣơng Vì lý thuyết mơđun thƣơng suy rộng xem mở rộng lý thuyết địa phƣơng hố thơng thƣờng Lý thuyết mơđun thƣơng suy rộng có nhiều ứng dụng Đại số giao hoán Chẳng hạn, cho M R- môđun với dim R = n, môđun đối đồng điều địa phƣơng H mn ( M ) đƣợc xem nhƣ môđun thƣơng suy rộng môđun M ứng với tập tam giác Rn+1 ngƣời ta dùng kết để nghiên cứu Giả thuyết Đơn thức M Hochster Mục đích Luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để trình bày lại khái niệm mơđun thƣơng suy rộng tìm hiểu số ứng dụng môđun thƣơng suy rộng việc nghiên cứu số vấn đề Đại số giao hốn Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng Chƣơng I: Kiến thức chuẩn bị Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày vành môđun thƣơng để thấy đƣợc khái niệm môđun thƣơng suy rộng mở rộng khái niệm mơđun thƣơng Ngồi ra, chƣơng này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở Đại số giao hoán nhằm phục vụ cho chứng minh chƣơng sau Chƣơng II: Môđun thƣơng suy rộng Trong chƣơng này, trình bày cách xây dựng mơđun thƣơng suy rộng trình bày số ví dụ mơđun thƣơng suy rộng Chƣơng III: Một số ứng dụng lý thuyết môđun thƣơng suy rộng Môđun thƣơng suy rộng có nhiều ứng dụng Đại số giao hoán Nhiều nhà toán học giới sử dụng Lý thuyết môđun thƣơng suy rộng nhƣ cơng cụ để nghiên cứu nhiều vấn đề Đại số giao hốn Vì khn khổ có hạn Luận văn nên chƣơng này, trình bày vấn đề sau: - Cho M R- môđun với dim R = n Môđun đối đồng điều địa phƣơng H mn ( M ) đƣợc xem nhƣ mơđun thƣơng suy rộng môđun M ứng với tập tam giác Rn+1 - Mối quan hệ môđun thƣơng suy rộng với Giả thuyết Đơn thức Hochster Luận văn đƣợc hoàn thành vào tháng 10 năm 2011 trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cơ, ngƣời hƣớng dẫn nhiệt tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Cũng tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Toán khoa Sau đại học giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn anh chị, bạn lớp Cao học 17 - Đại số - Lý thuyết số giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Luận văn đƣợc hoàn thành tất nỗ lực cố gắng thân, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong tồn luận văn, vành ln đƣợc giả thiết giao hốn có đơn vị 1.1 Iđêan nguyên tố iđêan cực đại (i) Iđêan p R đƣợc gọi iđêan nguyên tố p  R x, y  R mà xy  p x  p y  p (ii) Iđêan m R đƣợc gọi iđêan cực đại m  R không tồn iđêan J  R cho J  m J  m 1.2 Vành địa phƣơng 1.2.1 Định nghĩa Vành R đƣợc gọi vành địa phương R có iđêan cực đại m 1.2.2 Ví dụ (i) Trƣờng vành địa phƣơng với iđêan cực đại 0   (ii) Vành chuỗi lũy thừa hình thức K x   xi /  K  vành địa  i 0  phƣơng với iđêan cực đại iđêan x sinh x 1.2.3 Định lí Giả sử m iđêan thực R Khi R vành địa phương với iđêan cực đại m phần tử x  R\ m khả nghịch vành R 1.3 Vành mô đun thƣơng 1.3.1 Tập nhân đóng Cho R vành S  R S đƣợc gọi tập nhân đóng vành R 1 S a, b  S ab  S Cho p iđêan nguyên tố vành R Khi S = R\ p tập nhân đóng vành R Thật vậy,  R\ p Vì  R\ p hay  p a.1 = a  p ,  a  R Khi p = R Điều mâu thuẫn Vậy  R\ p Mặt khác,  a, b  R\ p tức a, b  p ta có ab  p p iđêan nguyên tố Do ab  R\ p Suy R\ p tập nhân đóng vành R Nếu R miền nguyên R* = R\ 0 tập nhân đóng vành R 1.3.2 Xây dựng vành thƣơng Cho S tập nhân đóng vành R Trên tích Đề R x S ta xét quan hệ hai :  r, s   r , s   t  S : t  rs  sr   , , , , Dễ thấy  quan hệ tƣơng đƣơng R x S Với (r,s)  R x S, ký hiệu r/s lớp tương đương chứa (r,s) S-1R tập thương R x S theo quan hệ tƣơng đƣơng : S-1R = {r/s | r R, s S} Trên S-1R trang bị hai phép toán phép cộng phép nhân nhƣ sau: a b at  bs a b ab   ;  s t st s t st Dễ thấy quy tắc cộng nhân không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện phần tử S-1R, phép tốn S-1R Cùng với hai phép toán này, S-1R vành giao hốn, phần tử khơng 0/1, phần tử đơn vị 1/1 Vành S-1R đƣợc gọi vành thƣơng R theo tập nhân đóng S Mỗi iđêan vành S-1R có dạng S-1I = {a/s | a I, s S}, I iđêan R Ta có S-1I = S-1R  I  S   Do S-1I iđêan thực S-1R I  S   Mỗi iđêan nguyên tố vành S-1R có dạng S-1 p , p iđêan nguyên tố R không giao với S Cho p iđêan nguyên tố vành R Khi S  R \ p tập nhân đóng vành R Vành S-1R trƣờng hợp vành địa phƣơng, ký hiệu Rp , với iđêan cực đại pRp  S 1p  a / s a  p, s  R \ p nên đƣợc gọi vành địa phương hoá vành R iđêan nguyên tố p 1.3.3 Xây dựng mơđun thƣơng Cho S tập nhân đóng vành R Khi ta có vành thƣơng S-1R Trên tích Đề M x S, xét quan hệ hai :  m, s   m , s   t  S : t  ms  sm   , , , , Khi  quan hệ tƣơng đƣơng M x S Do M x S đƣợc chia thành lớp tƣơng đƣơng, ký hiệu tập thƣơng M x S theo quan hệ tƣơng đƣơng  S-1M ký hiệu lớp tƣơng đƣơng chứa (m,s) m / s Nhƣ S-1 M = { m / s | m M, s S} Trên S-1M trang bị phép cộng phép nhân với vô hƣớng: m / s  m '/ s '   s ' m  sm '  / ss ', m / s; m '/ s '  S 1M r / t.m / s  rm / ts, r / t  S 1R, m / s  S 1M Quy tắc cộng nhân không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện Khi S 1 M có cấu trúc S 1 R -môđun gọi môđun thương M theo tập nhân đóng S S 1 M xem R-mơđun với phép nhân vô hƣớng nhƣ sau: r.x / s  rx / s , với r  R, x / s  S 1 M Cho p iđêan nguyên tố vành R S  R \ p Khi mơđun S 1 M đƣợc gọi mơđun địa phương hố M iđêan ngun tố p , ký hiệu Mp Nhƣ Mp xem nhƣ Rp -mơđun R-mơđun 1.3.4 Định lí Cho S tập nhân đóng vành R Khi với dãy khớp ngắn R – môđun   M '   M   M ''  0 dãy   S1M '   S 1M   S 1M ''  0 dãy khớp S-1R – môđun 1.4 Phổ, giá, độ cao chiều Krull môđun 1.4.1 Phổ vành Ký hiệu Spec R tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi Spec R đƣợc gọi phổ vành R Với iđêan I R ta ký hiệu V (I )  p SpecR p  I  1.4.2 Độ cao iđêan Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R : p0  p1   pn đƣợc gọi xích ngun tố có độ dài n Cho p Spec R , cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p đƣợc gọi độ cao p , ký hiệu ht  p , nghĩa là: ht  p = sup {độ dài xích nguyên tố với p0  p } Cho I iđêan R, độ cao iđêan I đƣợc định nghĩa: ht  I   inf ht  p p Spec R, p  I  1.4.3 Chiều Krull môđun Cận tất độ dài xích nguyên tố R đƣợc gọi chiều Krull vành R , ký hiệu dim R Cho M R  môđun Khi linh hóa tử mơđun M: AnnR M  a  R aM  0  a  R ax  0, x  M iđêan M Chiều vành thƣơng dim  R / Ann R M  đƣợc gọi chiều Krull môđun M, ký hiệu dimRM (hoặc dim M)   1.4.4 Giá môđun Tập Supp M  p SpecR Mp  Spec R đƣợc gọi giá môđun M Nếu M R-môđun hữu hạn sinh Supp M  V (Ann R M )  p SpecR p  Ann R M 1.5 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun 1.5.1 Định nghĩa Cho M R – môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M hai điều kiện tƣơng đƣơng sau đƣợc thỏa mãn: (i) Tồn phần tử x  M cho AnnR(x) = p đó: AnnR x  a  R ax  0 ; (ii) M chứa môđun đẳng cấu với R/ p Tập iđêan nguyên tố liên kết M đƣợc kí hiệu AssRM AssM không để ý đến vành R 1.5.2 Mệnh đề AssRM  SuppRM phần tử tối tiểu SuppRM thuộc AssRM 1.5.3 Mệnh đề Nếu M R – mơđun Noether AssRM tập hợp hữu hạn 1.6 Độ dài môđun 1.6.1 Định nghĩa Một dãy hợp thành R – môđun M dãy giảm gồm số hữu hạn môđun M  M  M1   M n  0 cho Mi-1 / Mi môđun đơn với i = 1, 2, , n Khi n đƣợc gọi độ dài dãy hợp thành Mơđun M có dãy hợp thành đƣợc gọi mơđun có dãy hợp thành 1.6.2 Định lí Nếu R-mơđun M có dãy hợp thành có độ dài n, tất dãy hợp thành M có độ dài n Hơn nữa, dãy tăng giảm thực mơđun M có độ dài khơng vượt độ dài dãy hợp thành, mở rộng thành dãy hợp thành Khi độ dài dãy hợp thành M gọi độ dài môđun M kí hiệu lR ( M ) Nếu R-mơđun M khơng có dãy hợp thành ta quy ước độ dài lR ( M )   gọi mơđun có độ dài vơ hạn 1.6.3 Đặc trƣng mơđun có độ dài hữu hạn (i) Một R – mơđun M có độ dài hữu hạn M vừa môđun Noether vừa môđun Artin (ii) Cho dãy khớp ngắn R – môđun   N   M   P  0 Khi M có độ dài hữu hạn N P có độ dài hữu hạn ta ln có lR ( M ) = lR ( N ) + lR ( P ) 10 X  H a  K b  Y c  v '1, , v 'n    XH a  XK b  Y c  v '1, , v 'n  XH a   XK b  Y c  I n  v '1, , v 'n   XK b  Y c a   s1, , sn   v '1, , v 'n     a b c      s1, , sn    u1, , un   t1, , tn   (vì XHs = Xv = v’ = Inv’) (vì XKu = Xv = v’= Yt) Phần tử khơng U  n M  u1, , un  I a  In a 0 a a     n   u1, , un   u1, , un   u1, , un   u1, , un   u1, , un   u1, , un  Với a a U  n M tồn phần tử đối U  n M Thật  s1, , sn   s1, , sn  I a  I n (a ) a a   n   s1, , sn   s1, , sn   s1, , sn   s1, , sn  Giả sử H a K b a b (với  v1, ,  U H , K  Dn ( R) :    s1, , sn   u1, , un   v1, ,  Hs = v = Ku) Ta có  H a K b K b H a    v1, ,    v1 , ,   Ku  v  Ht  Suy H a K b b a    v1, ,   u1, , un   s1, , sn  Vậy 19 a b b a     s1, , sn   u1, , un  u1, , un   s1, , sn  Do U-nM với phép cộng nhóm giao hoán  Xét ánh xạ: R  U  n M  U n M   a  r ,    s1 , , sn   Với r1 , r2  R;  s1, , sn  a b , U  n M :  s1, , sn   u1, , un    H a K b a b r1     r1  v1, ,    s1 , , sn   u1, , un   (với  v1, ,  U H , K  Dn ( R) : Hs = v = Ku)    r1  r2  r1  H a  K b   v1, ,   H r1a  K rb  v1, ,  r1a rb a b   r1  r1  s1, , sn   u1, , un   s1, , sn   u1, , un  a  r  r  a  r1a  r2a   s1, , sn   s1, , sn   s1, , sn   I n r1a  I n r2a r1a r2a    s1, , sn   s1, , sn   s1, , sn  (vì Ins = s = Ins I n  1)  r1.r2   a a  r r  a  r1 (r2a)  r (r2a)  r  r   1  s1, , sn    s1, , sn    s1, , sn   s1, , sn   s1, , sn  a 1.a    s1, , sn   s1, , sn   s1, , sn  Vậy U-nM R – môđun 2.2.4 Định nghĩa Môđun U-nM đƣợc gọi môđun thương suy rộng M theo tập tam giác U 20 2.2.5 Bổ đề Cho U tập tam giác Rn, giả sử m  M (u1, ,un)  U cho un m m  U-nM Khi   u1, , un   u1, , un  Chứng minh Tồn  w1, , wn  U H   hij   Dn ( R) cho Hu = w  n1  H un m    Rwi  M Khi  i 1  n 1    n1  hij  wn   hniui m    Rwi  M  i 1    i 1  i 1 n 1  n1  Do theo [7, 2.2] h11 hn1n1wn m    Rwi  M Khi đó, theo [7, 3.3(ii)]  i 1  h11 hn1n1wn m 0  w1, , wn1, wn2  U-nM Suy h11 hn1n1wn m   H M   w1, , wn1, wn  Kết hợp với Hu = w ta có m   u1, , un  2.3 Một số ví dụ 2.3.1 Ví dụ Khi n = U  S với S tập nhân đóng vành R Khi phép toán U-1M trùng với phép toán S-1M Thật vậy:  Phép cộng: với r r ' s ' r  sr ' H r  K r ' r r' ,  S 1M ta có:    s s' ss ' u s s' với H  s ' ; K  s ; u  ss ' H s  ss '  K s '  Phép nhân với vô hƣớng: với a a  S 1M r  R ta có: r  s s s Vậy với n = U-1M  S-1M 2.3.2 Ví dụ Cho R vành giao hoán, địa phƣơng, Noether; M R – môđun, dim M = d Tập hợp 21 U(M)d+1 = {(x1, , xd,1)  Rd+1 :  j,  j  d, (x1, , xj) phần hệ tham số M xj+1 = .=xd = 1} tập tam giác Rd+1 Khi mơđun U (M )  d 1 d 1 môđun thƣơng suy rộng theo tập tam giác U 2.3.3 Ví dụ Giả sử f1, , fn n phần tử cố định R, đặt f   f1, , f n   R n , M R – môđun Cho Uf   f 1   , , f nn : i  , i  1, , n Khi U f tập tam giác Rn môđun U f n M đƣợc kí hiệu Mf mơđun thƣơng suy rộng theo tập tam giác Uf 22 CHƢƠNG III MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT MÔĐUN CÁC THƢƠNG SUY RỘNG Lý thuyết môđun thƣơng suy rộng có nhiều ứng dụng Đại số giao hốn Do khn khổ có hạn luận văn, chƣơng chúng tơi trình bày ứng dụng Lý thuyết môđun thƣơng suy rộng việc nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phƣơng Giả thuyết Đơn thức Các kết trình bày chƣơng nội dung Sharp Zakeri [8] 3.1 Mơđun thƣơng suy rộng môđun đối đồng điều địa phƣơng Cho (R, m ) vành giao hoán, địa phƣơng, Noether với dim R = n; M R-môđun Trong mục này, thấy mơđun Hnm(M) biểu diễn qua môđun thƣơng suy rộng 3.1.1 Bổ đề Giả sử R vành Noether, I iđêan R, U tập tam giác Rk cho uk  I với (u1, ,uk)  U Khi H Ij U  k M   với j  Chứng minh Cho f   f1, , f k  U , nhƣ [7, 3.4], lấy Uf   f 1   , , f1k : i  , i  1, , k Khi Uf tập tam giác Rk, U f k M đƣợc kí hiệu Mf Một hệ dễ thấy Mệnh đề 2.2.5 phép nhân fn tự đẳng cấu Mf Vì f k  I nên H Ij  M f   với j  Theo [7, 3.5] U  k M  lim M f , f U từ [8, 7, 3.2] ta có H Ij U  k M   với j  23 Ta biết với i tập hợp Ui = {(s1, , si)  Ri |  j,  j  i, cho (s1, , sj) phần hệ tham số R sj + = = si = 1} tập tam giác Ri Lấy Vi i họ tập hợp cho: (i) Vi  U i Vi tập tam giác Ri với i  ; (ii) Nếu (u1, , ui)  Vi với < i  (iii) Nếu (u1, , ui)  Vi với i  (u1, , ui-1)  Vi – 1; (u1, , ui ,1)  Vi + 1; (iv) Tồn hệ tham số y1, , yn R cho (y1, , yn)  Vn; (v) (1)  V1 V11M ei : Vi i M  Vi 1i 1M với 3.1.2 Bổ đề Tồn đồng cấu e0 : M  i > cho e ( m)  m (1) ( m  M ),   m m ei    (u1 , , ui )  (u1, , ui ,1) ( m  M , (u1, , ui ) Vi , i > 0) Hơn nữa, 1 e e e e   M   V11M   V22 M     Vi i M   Vi1i1M   i phức R-môđun R-đồng cấu Từ kí hiệu phức bổ đề C(V,M) với V họ (Vi)i1 Chú ý Vi-iM = với i> d+1 3.1.3 Bổ đề Giả sử i số nguyên cho  i  n Khi dim  ker ei / imei 1   n  i 24 Chứng minh Khi i = dễ thấy có điều cần chứng minh Vì ta giả sử i > Chúng ta cần chứng minh p  Ass(ker ei/im ei -1) dim R/ p < n – i Nhƣ p có tính chất tồn Do m  ker ei cho (u1 , , ui )   m i 1  im e :   p ( u , , u ) i   m  0, tồn H   hrs   Di1 ( R)  t1, , ti1  Vi1 cho (u1 , , ui ,1)  i  T H  u1, , ui ,1  t1, , ti , ti 1  H m    Rt j  M  j 1   i  Do đó, theo [7, 2.2], có h11 hiiti 1m    Rt j  M Theo [7, 3.3(ii)] ta có  j 1  ti 1m h h t m  11 ii i 1  im ei 1  u1, , ui   t1, , ti  Ngoài ra, với j = 1, ,i, có t jm  u1, , ui   h11 hiit j m  t1, , ti   im ei 1 Do Rt1   Rti1  p Vì t1, , ti, ti + hệ tham số R 3.1.4 Hệ (i) Với i = 0, ,n H mj  ker ei / imei 1   với j  n  i (ii) Với i = 1, ,n H mj Vi i M   Nhắc lại (R, với j  m ) vành giao hoán, địa phƣơng, Noether với dim R = n; M R-môđun Định lý sau cho thấy môđun đối đồng điều địa phƣơng H mn ( M ) đƣợc xem nhƣ môđun thƣơng suy rộng M ứng với tập tam giác Rn+1 3.1.5 Định lí Vnn11M  H mn (M ) Đặc biệt U nn11M  H mn (M ) Đồng cấu tự nhiên  n1 : Vnn11M  U nn11M 25 mà   m m     v1 , , vn1    v1, , vn1   n1  với m  M (v1, ,vn+1)  Vn+1 đẳng cấu Chứng minh Kí hiệu U họ U i i1 C(U, M) 1 d d d d   M  U11M  U 22 M    U ii M  U ii11M   i U ii M mà Với i  có đồng cấu  i : Vi i M    m m     v1 , , vi    v1, , vi   i   M ánh xạ đồng với m  M (v1, ,vi)  Vi Nếu ta lấy  : M   C(U, M)   ( )i0 : C(V, M)  phức cấu xạ Trong phần sau viết tắt C(V, M) C(V) C(U, M) C(U) Nó thuận tiện cho phép V00 M U 00 M để biểu thị M Với i = 0, , n, đặt Ki = Vi i M / ker ei , Li = U ii M / ker d i ,  i ' : co ker ei1   co ker d i 1 ,  Hi(C(U))  i* : Hi(C(V))   i : K i   Li đồng cấu cảm sinh  Do ta có biểu đồ giao hốn    K i1  Vi i M   co ker ei1  0  i 1 i  i'   Li1  Uii M   co ker d i1  0 với i = 1, , n 26 (1)   co ker ei1   K i  0  Hi(C(V)  *  i'  i (2)  co ker d i1   Li  0   Hi(C(U)  với i = 1, , n-1 Từ (1) Hệ 3.1.4 (ii) ta suy có biểu đồ giao hoán  H mni (coker ei 1 )   H mni 1 ( K i 1 ) H mni1 ( i1 ) H mni ( i ' ) (3)  H mni (coker di 1 )   H mni 1 ( Li 1 ) mà dòng đẳng cấu, với i =1, , n Tƣơng tự từ (2) Hệ 3.1.4 (i) có biểu đồ giao hốn  H mni (coker ei1 )   H mni ( K i ) H mni ( i  ) H mni ( i ' ) (4)  H mni (coker di1 )   H mni ( Li ) mà dòng đẳng cấu, với i =1, , n – Từ biểu đồ (3) (4) có biểu đồ giao hốn  H mn (coker e1 )   H m0 (coker en1 ) H mni ( 0' ) H m0 ( n ' )  H mn (coker d 1 )   H m0 (coker d n1 ) mà dòng đẳng cấu Tuy nhiên, từ 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3 ta có biểu đồ giao hốn 27 (5) n 1 n 1 e e e Vnn11M  Vn n M  Vnn11M   n1 n  n1 n n 1 (6) n 1 d d d U nn11M  U n n M  U nn11M  0 n Hơn theo [7, 3.3(ii)], phần tử Vnn11M U nn11M đƣợc linh tử hoá lũy thừa m Nhƣ từ (6) ta có biểu đồ giao hốn  H m0 (coker en1 )  Vnn11M H m0 ( n ' )  n1 (7)  H m0 (coker d n1 )  U nn11M mà dòng đẳng cấu Do   Id M I ánh xạ đồng từ M vào nó, từ (5) (7) có biểu đồ giao hoán  H mn (M )  Vnn11M H mn (id M )  n1 (8)  H mn (M )  U nn11M mà dòng đẳng cấu Định lý mô tả môđun H mn ( M ) thông qua môđun thƣơng tất hệ tham số vành R Hệ sau cho thấy mơ tả H mn ( M ) thông qua hệ tham số 3.1.6 Hệ Giả sử x =(x1, ,xn) hệ tham số vành R Khi H mn (M )  U ( x)nn11 M , với 28 U ( x)n1   x 1   , , xnn ,1 : j,0  j  n cho 1, , n  N ; j 1    n  U nn11M đẳng cấu Đặc bịêt, đồng cấu tự nhiên U ( x)nn11 M  3.2 Giả thuyết Đơn thức Giả thuyết Đơn thức đƣợc M Hochster đƣa [5] Đây giả thuyết lớn liên quan đến nhiều vấn đề Đại số Đến nay, nhà toán học giải đƣợc số trƣờng hợp đặc biệt mà chƣa đƣa đƣợc câu trả lời trọn vẹn cho giả thuyết Các kết mục cho thấy dùng thƣơng suy rộng để mô tả Giả thuyết Đơn thức Nội dung Giả thuyết đơn thức đƣợc phát biểu nhƣ sau 3.2.1 Giả thuyết Đơn thức (M Hochster [5]) Cho x1, , xn hệ tham số tùy ý vành R Khi đó, x1j .xnj  Rx1j 1   Rx nj 1 với j  3.2.2 Định lí Giả sử x1, ,xn hệ tham số vành R Khi thương suy rộng U nn11R khác x1j xnj  Rx1j 1   Rx nj 1 với  x1, , x2 ,1 j  Chứng minh (  ): Giả sử = U nn11R Khi theo [8, 3.6] ta  x1, , x2 ,1 có: = U ( x)nn11 R  x1, , x2 ,1 Theo [8, 3.1] tồn 1, , n  H’ Dn1 ( R) cho: n H’[x1, , xn, 1] =  x1 , , xn ,1 H '   Rxii T T n 1 i 1 Lấy c = max i : i  1, , n Xét ma trận đƣờng chéo diag  x1c1 , , xncn ,1 , ta thấy tồn H Dn1 ( R) cho: n H[x1, , xn, 1] =  x , , x ,1 H '   Rxic T c c n 29 T i 1 Tuy nhiên D ma trận đƣờng chéo  x1c1 , , xnc1, 1 T D[x1, , xn, 1]T =  x1c , , xnc ,1 Do E biểu thị ma trận đƣờng chéo  x1c , , xnc ,1 thì: ED  EH  Rx12c   Rxn2c n Mặt khác: EH  x x H   Rxi2c Vì c c n i 1 ED  x12c1 xn2c1  Rx12c   Rxn2c n (  ): Nếu với j  ta có: x1j xnj   Rxij 1 , theo [7,3.3] có: i 1 x1j xnj  U nn11R j 1 j 1 ( x1 , , xn ,1) Mặt khác, ma trận đƣờng chéo D = diag  x1j , , xnj 1 ,1 thỏa mãn: D  x1 , , xn ,1   x1j 1, , xnj 1,1 T T Do đó, U  n 1 n 1 x1j xnj  R : j 1 j 1 ( x1 , , xn ,1)  x1, , xn ,1 Vì  U nn11R  x1, , xn ,1 Từ định lý trên, Giả thuyết Đơn thức đƣợc phát biểu lại nhƣ sau 3.2.3 Giả thuyết Đơn thức Với hệ tham số x1, .,xn R Phần tử U nn11R khác  x1, , xn ,1 3.2.4 Hệ Cho y1, , yn hệ tham số R Khi tồn t  cho với h  t hệ tham số x1  y1h , , xn  ynh R thỏa mãn Giả thuyết Đơn thức 30 Chứng minh Theo [8, 3.6], với kí hiệu trƣớc đây, U ( y)nn11 R  H mn ( R)  Do tồn 1, , n   cho  U ( y)nn11 R n y1 , ., yn ,1 1  Do đó, theo [8, 3.6]   U nn11R n 1 y1 , ., yn ,1  Lấy t = max i : i  1, , n Áp dụng Định lí 3.2.2 ta có điều cần chứng minh 31 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình Lý thuyết mơđun thƣơng suy rộng dựa báo [6], [7], [8], [9] R.Y Sharp and H Zakeri Cụ thể hồn thành đƣợc việc sau: Trình bày việc xây dựng mơđun thƣơng suy rộng Trình bày số ứng dụng Lý thuyết môđun thƣơng suy rộng: - Cho M R-môđun với dim R = n Môđun đối đồng điều địa phƣơng H mn ( M ) đƣợc xem nhƣ môđun thƣơng suy rộng môđun M ứng với tập tam giác Rn+1 - Mối quan hệ môđun thƣơng suy rộng với Giả thuyết Đơn thức Hochster 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cƣờng (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia [2] Dƣơng Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sƣ phạm Tiếng Anh [3] M Atiyah and I.G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Addison – Wesley, Reading, Mass [4] N T Cuong and N Đ Minh (2000), Lengths of certain generalized fractions of modules having small polynomial type, Math Proc Camb Phil Soc (2) 128, 269-282 [5] M Hochster (1973), Contracted ideals from integral extensions of regular rings, Nagoya Math J., 51, 25 – 43 [6] R Y Sharp and M A Hamieh (1985), Lengths of certain generalized fractions, J Pure Appl Algebra 38, 323-336 [7] R.Y Sharp and H Zakeri (1982), Modules of generalized fractions, Mathematika 29, 32-41 [8] R.Y Sharp and H Zakeri (1982), Local cohomology and modules of generalized fraction, Mathematika 29, 296-306 [9] R.Y Sharp and H Zakeri (1982), Generalized fraction and the Monomial conjecture, Mathematika 29, 380-388 33 ... THUYẾT MÔĐUN CÁC THƢƠNG SUY RỘNG Lý thuyết môđun thƣơng suy rộng có nhiều ứng dụng Đại số giao hốn Do khn khổ có hạn luận văn, chƣơng chúng tơi trình bày ứng dụng Lý thuyết môđun thƣơng suy rộng. .. sau: - Cho M R- môđun với dim R = n Môđun đối đồng điều địa phƣơng H mn ( M ) đƣợc xem nhƣ môđun thƣơng suy rộng môđun M ứng với tập tam giác Rn+1 - Mối quan hệ môđun thƣơng suy rộng với Giả thuyết... thƣơng suy rộng Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày cách xây dựng mơđun thƣơng suy rộng trình bày số ví dụ mơđun thƣơng suy rộng Chƣơng III: Một số ứng dụng lý thuyết môđun thƣơng suy rộng Mơđun