Môđun đối cohen macaulay suy rộng

2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN HỒNG VÂN MÔĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY SUY RỘNG luËn văn thạc sỹ toán học Ngh An 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN HỒNG VÂN MÔĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 luận văn thạc sỹ toán học Ngi hng dn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An – 2012 MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………… …… Mở đầu……………… ………………………………………………… Chƣơng Kiến thức chuẩn bị………………………………………… 1.1.Giá môđun 1.2.Chiểu Krull, hệ tham số số bội môđun Noether 1.3.Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 1.5 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng … 1.6 Môđun Artin 10 1.7 Biểu diễn thứ cấp … 12 1.8 Đồng điều địa phương … 13 1.9 Chiều Noether, hệ tham số hệ bội môđun Artin 14 Chƣơng Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng ……………………… 19 2.1 Môđun đối Cohen-Macaulay 19 2.2 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng vành địa phương … 20 2.3 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng vành không thiết địa phương … 32 Kết luận………………………………………………………………… 35 Tài liệu tham khảo…………………………….………………………… 36 MỞ ĐẦU Trong phạm trù môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trị trung tâm cấu trúc chúng biết đến cách trọn vẹn thông qua nhiều lí thuyết quan trọng Đại số giao hốn như: Phân tích ngun sơ, đối đồng điều địa phương,… Đã có nhiều hướng mở rộng lớp mơđun Cohen-Macaulay ta lớp môđun mới, chứa thực cịn có nhiều tính chất tương tự lớp mơđun CohenMacaulay lớp mơđun Buchsbaum, lớp mơđun Cohen-Macaulay suy rộng, lớp môđun Cohen-Macaulay dãy, lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Những lớp môđun trở thành lớp mơđun quen biết có nhiều ứng dụng Đại số giao hốn Hình học đại số Trong phạm trù mơđun Artin, lớp mơđun đóng vai trị quan trọng lớp môđun Cohen-Macaulay nhiều nhà Tốn học nghiên cứu lớp mơđun đối Cohen-Macaulay Cho (R, m) vành Noether, địa phương với iđêan tối đại m A R-môđun Artin với chiều Noether N-dim A độ rộng Width A Ta ln có N-dim A  WidthA A gọi môđun đối Cohen –Macaulay bất đẳng thức trở thành đẳng thức Cấu trúc môđun đối Cohen-Macaulay biết đến thơng qua tính chất hệ tham số, dãy đối qui, tập iđêan nguyên tố gắn kết, đồng điều địa phương… Trong [4], Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn nghiên cứu lớp môđun mở rộng lớp môđun đối CohenMacaulay họ gọi môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng Nội dung Luận văn tìm hiểu mơđun đối CohenMacaulay suy rộng dựa vào kết nghiên cứu Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn [4] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm Đại số giao hoán nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng Trong chương chúng tơi trình bày vấn đề sau 2.1 Môđun đối Cohen-Macaulay 2.2 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng vành địa phương 2.3 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng vành không thiết địa phương Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn trân trọng đến thầy giáo, giáo khoa Tốn, phịng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, Sở giáo dục Đào tạo Tỉnh Đồng Tháp, Trường Đại học Đồng Tháp, Ban giám hiệu trường THPT Lấp Vò 2, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tác giả Trần Hồng Vân CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số khái niệm Đại số giao hốn nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau 1.1 Giá môđun Cho p iđêan nguyên tố vành R Ký hiệu Rp Mp tương ứng địa phương hóa R M p Gọi SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi tập   Supp M  p SpecR Mp  Spec R gọi giá M Khi M R- môđun hữu hạn sinh   Supp M  V (Ann R M )  p SpecR p  Ann R M 1.2 Chiều Krull, hệ tham số số bội môđun Noether 1.2.1 Chiều Krull Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R : p0  p1   pn gọi xích ngun tố có độ dài n Cho p iđêan nguyên tố vành R, cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p , ký hiệu ht  p Nghĩa là: ht  p = sup {độ dài xích nguyên tố với p0  p } Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, ký hiệu dim R Cho M R  mơđun Khi dim  R / Ann R M  gọi chiều Krull môđun M, ký hiệu dim M 1.2.2 Hệ tham số Cho R vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan tối đại m; M R -mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M  d > Một hệ gồm d phần tử x :  ( x1, , xd ) m gọi hệ tham số M độ dài R -môđun) R (M /( x1, xd )M )   ( () kí hiệu Sau số tính chất hệ tham số (i) Mọi hoán vị hệ tham số M hệ tham số M x :  ( x1, , xd ) hệ tham số M với (ii) Nếu i  1,2, , d ta có dim (M /( x1, , xi ) M )  d  i (iii) xi 1 p với p Ass (M / ( x1, , xi )M ) thỏa mãn dim R / p  d  i với  i  1, , d (iv) Nếu x :  ( x1, , xd ) hệ tham số môđun M n:  (n1, , nd ) gồm d số nguyên dương x(n):  ( x1n1 , , xdnd ) hệ tham số môđun M 1.2.3 Số bội Cho R vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m; M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M  d  Một hệ phần tử x :  ( x1, x2 , , xt ) m cho (M /( x1, , xt )M )   gọi hệ bội M ; t  ta hiểu điều kiện có nghĩa (M )   Chú ý hệ tham số hệ bội điều ngược lại nói chung khơng Ta ln có t  d Khi ký hiệu bội e( x; M ) môđun M hệ bội x định nghĩa qui nạp theo t sau: Giả sử t  , đặt e(; M )  (M ) Với t  , đặt :M x1  {m M mx1  0} Khi :M x1 mơđun M Vì (M /( x1, , xt )M )   ta dễ dàng suy ((0 :M x1 ) /( x2 , , xt )(0 :M x1))  , tức ( x2 , , xt ) hệ bội môđun :M x1 Vậy theo giả thiết qui nạp e( x2 , , xt ; M / x1M ) e( x2 , , xt ; 0M x1 ) xác định Khi ta định nghĩa: e( x2 , , xt ; M )  e( x2 , , xt ; M / x1M )  e( x2 , , xt ; 0:M x1) Sau tính chất số bội e( x; M ) (i)  e ( x1, , xt ; M )  (M /( x1, , xt )M ) Đặc biệt, tồn i cho xin M  với n số tự nhiên e( x1, , xt ; M )  (ii) Cho dãy khớp ngắn R -môđun  M'  M  M" 0 Ta có, x hệ bội M x hệ bội M ' M " Hơn e ( x; M )  e ( x; M ' )  e ( x; M " ) (iii) e ( x1, , xt ; M )  t  d (iv) e ( x1n1 , , xtnt ; M )  n1, , nt e ( x1, , xt ; M ) với n1, , nt số nguyên dương (v) Giả sử q  ( x1, , xt ) R iđêan sinh bội ( x1, , xt ) Khi Fq (n)  ( M / qn1M ) hàm theo biến n, hàm gọi hàm Hilbert-Samuel 1.3 Vành địa phƣơng đầy đủ theo tôpô m- adic Cho  R, m vành địa phương Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý sở lân cận phần tử tuỳ ý r  R gồm lớp ghép r  mt với t = 0, 1,2 Khi vành đầy đủ theo tôpô m  adic R ký hiệu R định nghĩa cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy  rn  phần tử R cho với t t > 0, tồn số tự nhiên n0 để rn  rm  m với n, m  n0 Dãy  rn  gọi hội tụ dãy không với t > tồn số t tự nhiên n0 để rn   rn  m với n  n0 Hai dãy Cauchy  rn   sn  gọi hai dãy tương đương, ký hiệu  rn   sn  dãy  rn  sn  dãy khơng Khi quan hệ  10 tập dãy Cauchy quan hệ tương đương Ta ký hiệu R tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý  rn   sn  dãy Cauchy dãy  rn  sn  ,  rn sn  dãy Cauchy lớp tương đương dãy  rn  sn  ,  rn sn  không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương đương dãy  rn   sn  , tức  rn   rn  sn  r , n  sn,   rn sn  r  , n  sn  s  , n  r s  Vì R trang bị hai phép toán , , n n hai + đồng thời với hai phép toàn này, R lập thành vành Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành R  R  r , r  r  dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho mơđun M với sở lân cận phần tử m M  Khi t M R -môđun với phép nhân vô hướng sau: cho a   a1 , a2 ,   R , x   x1 , x2 ,   M Ta có ax   a1 x1 , a2 x2 ,   M 1.4 Môđun đối đồng điều địa phƣơng 1.4.1 Định nghĩa Giả thiết R vành Noether địa phương, m iđêan tối đại R M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M  d (i) Đối đồng điều địa phương lần định nghĩa A.Grothendick Cho I iđêan R Với R-môđun M, đặt  I ( M):  nN   (0: M I n )  x  M  n  N, xI n  11 Ta có  I ( M) môđun M Với R-đồng cấu f : M  N, ta có f ( I ( M))   I (N) Do tồn :  I ( f ):  I ( M )   I (N) x  I ( f )( x )  f ( x ),  x   I ( M ) Khi  I hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù Rmôđun vào phạm trù R-môđun  I gọi hàm tử xoắn Với số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i  I kí hiệu H Ii gọi hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá I Với R-môđun M, ta kí hiệu HIi ( M ) “ảnh” môđun M qua tác động hàm tử H Ii Khi đó, HIi ( M ) gọi môđun đối đồng điều địa phương thứ i môđun M với giá I (ii) Người ta gọi Hmd ( M ) (với dim M  d ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao môđun M 1.4.2 Mệnh đề (i) Hmi ( M ) môđun Artin với i  (ii) HIdim M ( M) môđun Artin với iđêan I R (iii) Hmi ( M )  với i  dim M i  depth M Đặc biệt, Hmdim M ( M)  Hmdim M ( M ) môđun Artin 1.5 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ta biết rằng, với hệ tham số x M (M / xM )  e( x; M ) Kí hiệu: I ( x; M )  (M / xM )  e( x; M ) Khi I ( x; M )  với hệ tham số x Năm 1985, D A Buschbaum đặt giả thuyết: I ( x; M ) số với hệ tham số x M Tuy nhiên tám năm sau, W.Vogel J Stiickrad đưa loạt ví dụ 24 ta thu dãy khớp dài với i >  1  H im(A )   H im(A )   H im1(0 :A x 1)  H im1(A )   H im1(A ) (3) x x Từ dãy khớp (3) suy (H im(0 :A x 1))  (H im(A ))  (H im1(A ))   với i  0, , d  Đặt A '  :A x x '  (x 2, , x d ) Vì ( A / x1 A)   nên N  dim A / x1 A  Theo Mệnh đề 1.9.7, (iii) ta có: (0 :A xR )  e(x ; A )  (0 :A x 'R )  e(x '; A ')  e(x '; A / x 1A )  (0 :A ' x 'R )  e(x '; A ') Áp dụng giả thiết qui nạp cho môđun A' ta có: R (0 :A xR )  e(x ; A )  R (0 :A ' x 'R )  e(x '; A ') d   m   R (H i (A '))    i 0  i  d 2  d   m    R (H i (A '))    i 0  i  d 2  d   m    R (H i (A ))   i 0  i   d 2 R (H im1(A )) Mặt khác xét dãy khớp (3) x  p , phép nhân x1 đồng cấu không đó: (H im(0 :A x 1))  (H im(A ))  (H im1(A )) với  i  d  Hơn từ dãy khớp (3) ta có dãy khớp  Im i  H im1(0 :A x 1)  (0 :H m ( A ) x  i 1 với i  0, i  d Vì 25 H im1(0 :A x )  : H m ( A ) x  H im1(A ) i 1 Im 1 Do pH im1(A )  nên pH im1(0 :A x  Im i ) Suy p2H im1(0 :A x 1)  p Im 1  1( pH im(A ))  với i  0, ,d  Áp dụng giả thiết qui nạp cho môđun : A x1 lặp lại chứng minh trên, với ( x1 , ,xd )  p ta có đẳng thức 2d (0 :A xR )  e(x ; A )  R d    (    i 0  i  d 1 R (H im(A )) bổ đề chứng minh Cho x :  (x1 , , xd ) hệ tham số A n  (n1 , ,nd ) dsố nguyên không âm Đặt x (n )  {x 1 , , x d d } Khi theo tính chất số n n bội ta có: I (x (n ); A )  R (0 :A xR )  n n de(x ; A ) Bổ đề sau cho thấy I (x (n ); A ) hàm tăng theo biến n 2.2.3 Bổ đề Với hệ tham số x  ( x1 , , xd ) A d-số nguyên không âm: n  (n1 , ,nd ) ; m  (m1 , ,md ) cho ni  mi , với i  1, ,d ta có I (x (n ), A )  I (x (m ), A ) Chứng minh Trước hết ta chứng minh I ( x1 , ,xd 1 , xdn ; A)  I ( x1 , ,xd 1 , xdm , A) với n  m  26 Đặt q i  : A ( x1 , ,xi 1 ) R, i  1, ,d áp dụng Bổ đề 1.9.8 ta có I (x , , x d 1, x dn ; A )   1i d 1 e(x i 1, , x dn ; qi q )  ( nd ) x iqi x d qd Tương tự ta có I (x , , x d 1, x dn ; A )   1i d 1 e(x i 1, , x dm ; qi q )  ( nd ) x iqi x d qd Áp dụng tính chất số bội Mệnh đề 1.9.7 (i) ta có Lại n  m nên ( e(x i 1, , x dn ; qi q )  ne(x i 1, , x d ; i ), x iqi x iqi e(x i 1, , x dm ; qi q )  me(x i 1, , x d ; i ) x iqi x iqi qd q )  ( m d ) Do suy n xd qd xd qd I (x , , x d 1, x dn ; A )  I (x , , x d 1, x dm ; A ), n  m  Khi ni  mi với i, I ( x(n); A) khơng phụ thuộc vào thứ tự phần tử hệ tham số nên ta có I ( x1n1 , ,xdnd ; A)  I ( x1m1 , x2n2 , ,xdnd ; A)  I (x 1 , x 2 , x 3 , , x d d ; A)   I( x1 1, x 2, , x d d; A) m m n n m m m Vậy ta có điều phải chứng minh Khái niệm dãy yếu dùng để đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng Để đặc trưng cho môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng, cần đến khái niệm đối dãy yếu 27 2.2.4 Định nghĩa Cho q iđêan m -nguyên sơ R Một dãy phần tử ( x1 , ,xr ) m gọi q -đối dãy yếu A xi (0:A ( x1, , xi1)R) q(0:A ( x1, , xi1)R) , với i  1, , r Ở ta viết x1 A  qA i  Một dãy phần tử  x1, , xr  gọi đối dãy yếu m -đối dãy yếu A Rõ ràng đối dãy yếu phần hệ tham số, điều ngược lại nhìn chung khơng Khi hệ tham số đối dãy yếu, ta có bổ đề sau 2.2.5 Bổ đề Cho q iđêan m- nguyên sơ R Nếu tồn hệ tham số x  ( x1 , ,xd ) A chứa mq cho x q đối dãy yếu q H im ( A)  với i  d Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo d Cho d = Ta chứng minh qH 0m(A )  Vì x  mq nên x 1A  mqA Do x1 q đối dãy yếu nên qA  x 1A  mqA  m( mqA )   mn qA, với n Mặt khác hiển nhiên mn qA  qA nên suy mn qA  qA , với n Do q m-nguyên sơ nên tồn số nguyên k để mk  q  m Vì ta có qA  mn qA  mn mk A  mn k A  mn k qA  qA Vậy suy qA  mn k A với n Do qA  mt A Vì t 0 A A q  t qA mA qH 0mA  q t 0 Với d >1, theo ta có x 1A  qA  mt A Vì thế: t 0 (A / x 1A )  (A / mt A )   t 0 28 Do N  dim A / x1 A  , ta có H im(A / x 1A )  với i > Tương tự ta có dãy khớp dài  i  H im(A )   H im(A )   H im1(0 :A x 1)  H im1(A )  x với i > Do Ker i  Im x  xH im(A ) nên ta có H im(A ) H im(A ) Im i   Ker i x 1H im(A ) Vì x2 , ,xd q-đối dãy yếu : A x1 chứa mq, theo giả thiết qui nạp suy qH im(0 :A x 1)  0, i  0, , d  Vì ta có : qH im(A )  x 1H im(A ), i  0, , d  Mặt khác x  mq nên ta có qH im(A )  x 1H im(A )  mqH im(A )  m( mqH im(A ))   mn qH im(A )  qH im(A ) i  d  với n > Do theo tính chất m-tách đồng điều địa phương ta có qH im(A )  t 0 mt H im(A )  0, i  1, , d  Bổ đề chứng minh Khái niệm hệ tham số chuẩn tắc đưa Ngô Việt Trung, công cụ để nghiên cứu lớp môđun Macaulay suy rộng Khái niệm đối ngẫu cho môđun Artin Nguyễn Tự Cường Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn đưa [4] sau 2.2.6 Định nghĩa Một hệ tham số x  ( x1 , ,xd ) A gọi đối chuẩn tắc I ( x; A)  I ( x1 , ,xd ; A) 2 Tương tự hệ tham số chuẩn tắc, hệ tham số đối chuẩn tắc có tính chất sau 2.2.7 Bổ đề Cho x  ( x1 , ,xd ) hệ tham số đối chuẩn tắc A 29 Khi I ( x , ,x ; A)  I ( x; A) với n  n n d Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo n Với n = 1, đẳng thức hiển nhiên Giả sử n  , theo giả thiết qui nạp, ta có: I (x 1n 1, , x dn 1; A )  I (x , x , , x d ; A ) Đặt qin1  : A ( x1n1 , ,xin11 ) R Vì n   nên theo Mệnh đề 1.9.7.(i), Bổ đề 1.9.8 Bổ đề 2.2.3 ta có  I (x1n 1, , x n 1 ; A )  I (x1n 1, , x n 1 , x n 2; A ) d 1 d 1 d n  qn 1 qi d 1 n 1 n  n  d   e(x i 1 , , x ,x ; ) ( ) d  d n  n  n  i 1 x i qi x 1qn 1 d d n  n  q qi d 1 d   e(x in11, , x n 1 , x n 2; ) ( ) d  d n  n  n  i 1 x i qi x 2qn 1 d d n  qi qin 1 d 1 n 1 d 1 n 1 n  n   (n  1)(  e(x i 1 , , x ,x ; )  (n  2)(  e(x i 1 , , x ,x ; ) d 1 d x n 1qn 1 d 1 d x n 1qn 1 i 1 i 1 i i i i n  n  x q d ))  ( d n  x qn 1 d d x n 1qn 1 qin 1 d 1 n 1 n  d )   e(x i 1 , , x ,x ; ) ( d d  d n  n  n  i 1 x i qi x qn 1 d d xdn1qdn1 Vì ( n2 n1 )  Suy xdn1qdn1  xdn2 qdn1 xd qd x dnqdn 1  x d (x dn 1qdn 1 )  x d (x dn 2qdn 1 )  x dn 1qdn 1 Do ta có I ( x1n1 , ,x dn11 , xdn ; A)  I ( x1n1 , ,x dn11 , xdn1 ; A) Vì I (x ; A )  I (x 1n 1, , x nd 11 , x dn 1; A )  I (x 1n 1, , x nd 11 , x dn ; A )  I (x 1n 1, , x d n1 , x dn ; A )  I (x 1n , , x d n1 , x dn ; A ) 30 Như trình bày Chương (xem Mục 1.5) lớp môđun CohenMacaulay suy rộng có đặc trưng qua đối đồng điều địa phương qua số dãy đặc biệt Định lí sau kết chương cho ta đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng qua đối dãy yếu, hệ tham số đối chuẩn tắc đồng điều địa phương 2.2.8 Định lí Các mệnh đề sau tương đương: (i) (ii) A môđun đối Cohen Macaulay suy rộng; R (H im(A ))   với i  d  ; (iii) Tồn hệ tham số A đối chuẩn tắc; (iv) Tồn hệ tham số x  ( x1 , ,xd ) A iđêan m- nguyên sơ q cho ( x1n , ,xdn ) q-đối dãy yếu với n > 0; (v) Tồn iđêan m-nguyên sơ q cho hệ tham số x A q-đối dãy yếu; (vi) Tồn số nguyên s hệ tham số x A cho với n  1, ta có I ( x1 , ,xd ); A  s n n Nếu A thoả mãn điều kiện I (A )  d 1  i 0 d  1   i    R (H im(A )) Chứng minh Các mệnh đề (iv)  (ii) , (ii)  (i) , (v )  (iv ), (i )  (vi ) hiển nhiên Ta chứng minh (vi )  (iv ) Lấy n > tuỳ ý Cho ( x1 , ,xd ) hệ tham số A thoả mãn (vi) Cho n   i  d Đặt B  : A ( x1n , ,xin1 ) R Cm  :B ( xim1 , ,xdm ) R với m  n Để chứng minh ( x1n , ,xdn ) q-đối dãy yếu, ta cần chứng minh 31 x in (0 :A (x 1n , , x in1)R )  q(0 :A (x 1n , , x in1)R ) hay x in B  qB Thật theo Bổ đề 1.9.8 giả thiết (vi), ta có (Cm / xin Cm )  I ( x1m , ,xdm ; A)  s với m  n Do ms (0 :B (x im1, , x dm )R )  m n x in (0 :B (x im1, , x dm )R ) m n Vì ta có ms B  x in B Bây ta chọn q  ms Khi ( x1n , ,xdn ) qđối dãy yếu với n (i)  (ii) : Theo mệnh đề (i)  (vi), (vi)  (iv), (iv)  (ii) (i)  (v) : Tương tự chứng minh (vi)  (iv) (i)  (iii) : Theo mệnh đề (i)  (ii) , ta có (H im(A ))  ,  i  d Khi tồn hệ tham số x  ( x1 , ,xd ) A cho I (x ; A )  d 1  i 0 d  1 m 2   (H i (A ))  I (x , , x d ; A )  I (x ; A ) i    Vì I ( x12 , ,xd2 ; A)  I ( x; A) hay x đối chuẩn tắc (iii)  (i) : Cho ( x1, , xd ) hệ tham số đối chuẩn tắc A Theo Bổ đề 2.2.7 I ( x1n , ,xdn ; A)  I ( x; A) với n  Do A mơđun đối Cohen-Macaulay suy rộng theo (vi)  (i) Khi A thoả mãn điều kiện tương đương trên, ta tính I (A) Như Định lý chứng minh hồn tồn Từ Định lí 2.2.8 ta có hệ sau 32 2.2.9 Hệ Cho A môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng x phần tử tham số A Khi : A x môđun đối CohenMacaulay suy rộng Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo d Trường hợp d = hiển nhiên Cho d  x'  ( x2 , ,xd ) hệ tham số mơđun : A x Vì A mơđun đối Cohen-Macaulay suy rộng nên ta có R (H im(A ))   , với i  d  Vì x phần tử tham số A nên theo Bổ đề 1.9.6 Mệnh đề 1.9.9, x  p với p  A tt R (A ) \ {m} Do  R ( A / xA)   e( x'; A / xA)  theo Mệnh đề 1.9.7 (iii) Vì I ( x';0 : A x)  I ( x, x2 , ,xd ; A) ta có điều cần chứng minh Nói chung điều ngược lại hệ không Chẳng hạn cho A R-môđun với N-dimA = Cho x phần tử tham số A Vì mơđun đồng điều địa phương H 0m(0 :A x ) ln có độ dài hữu hạn, nên theo Định lí 2.2.8, : A x ln mơđun đối Cohen-Macaulay suy rộng, A không thiết môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng Hệ sau Định lý 2.2.8 giúp ta dễ dàng xây dựng nhiều ví dụ mơđun đối Cohen-Macaulay suy rộng 2.2.10 Hệ Cho M R-môđun hữu hạn sinh Các phát biểu sau (i) Nếu M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng đối ngẫu Matlis D(M) = Hom( M;E) M môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng (ii) Nếu M môđun Cohen-Macaulay suy rộng với dim M = d H md (M ) môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng (iii) A R-môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng A Rˆ -môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng 33 Chứng minh (i) Chú ý x hệ tham số D(M) x hệ tham số M Vì I ( x; D(M ))  (M / xM )  e( x; M ) với hệ tham số x D(M) Vì M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng nên ta có kết (ii) Nếu M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng đối ngẫu Matlis D(H md (M )) H md (M ) Rˆ -mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Vì x hệ tham số R-mơđun H md (M ) , x hệ tham số Rˆ môđun D(H md (M )) I (x ; H md (M ))  (D(H md (M )) / D(H md (M ))  e(x ; D(H md (M )) Do theo giả thiết ta có điều phải chứng minh (iii) Rõ ràng A Rˆ -mơđun đối Cohen-Macaulay suy rộng A R-môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng Ngược lại cho x  ( x2 , ,xd ) hệ tham số R-mơđun A Khi x hệ tham số Rˆ -môđun A  Rˆ (0 : A ( x1n , ,xdn ) Rˆ )  n d eRˆ ( x; A)   R (0 : A ( x1n , ,xdn ) R  n d eR ( x; A) với n > Do từ Định lí 2.2.8 ta có điều phải chứng minh 2.3 Mơđun đối Cohen-Macaulay suy rộng vành không thiết địa phƣơng Trong phần chúng tơi quan tâm đến tính đối Cohen-Macaulay suy rộng mơđun Artin vành giao hốn, Noether R (khơng thiết địa phương) Các kết trình bày dựa theo [4] Khái niệm môđun đối Cohen-Macaulay đưa M Inoue Sau Z Tang H Zakeri giới thiệu khái niệm vành địa phương đặc trưng chúng thông qua dãy đối qui mơđun thương suy rộng Việc mở rộng khái niệm lên vành giao hoán bất 34 kì thuộc I H Denzler R.Y Sharp Nhắc lại R-môđun Artin A gọi đối Cohen-Macaulay A m R m -môđun đối CohenMacaulay, với iđêan m  SuppA Khái niệm môđun đối CohenMacaulay suy rộng vành không địa phương N T Cường, N T Dung L T Nhàn [4] định nghĩa sau 2.3.1 Định nghĩa Một R-môđun Artin A gọi môđun đối CohenMacaulay suy rộng A m R m -môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng với iđêan cực đại m Supp A Rõ ràng rằng, A môđun đối Cohen-Macaulay A mơđun đối Cohen-Macaulay suy rộng Cho J A giao tất iđêan cực đại thuộc tập SuppA , với hệ tham số x  J A Đặt I ( x; A)   R (0 : A xR)  e( x; A) I ( A)  sup I ( x; A) x cận lấy tất hệ tham số x A J A Khi câu hỏi đặt là: Liệu tính đối Cohen-Macaulay suy rộng A có tương đương với tính hữu hạn I (A) , với hệ tham số x A hay không? Câu trả lời khơng Ví dụ sau minh chứng cho điều 2.3.2 Ví dụ Kí hiệu R  nguyên x  vành đa thức biến x vành số m1  (2, x ); m2  (3, x ) iđêan cực đại hiệu A1  E R (R / m1) bao nội xạ R / m1 A2  đa thức ngược với hệ số 3 x  Kí [x 1 ] mơđun Đặt A  A1  A2 Rõ ràng rằng, Supp A  {m1, m2 } nên J A  (6, x) Ta kiểm tra dễ dàng A m  A1 A m  A2 Hơn nữa, A1 , A2 môđun đối Cohen-Macaulay N  dim A1  2, N  dim A2  35 Vì A mơđun đối Cohen- Macaulay Suy A môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng Mặt khác ta có (6, x n ) hệ tham số A J A với số nguyên n >0 Do I ( A)  I ( A1 )  (0 : A2 (6, x n ) R)  I ( A1 )  (0 : A2 x n )  I ( A1 )  n với n > Vì I (A) không hữu hạn Mệnh đề sau cho ta lớp môđun Artin thoả mãn câu trả lời khẳng định cho câu hỏi 2.3.3 Mệnh đề Giả sử Supp A  {m1, , mr } A  A1   Ar A j  n 0 (0 :A mnj ) với j  1, ,r Khi I (A)   A môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng N  dim A j  d với j  r Đặc biệt I ( A)  A môđun đối Cohen-Macaulay N  dim A j  d với j  r Chứng minh Giả sử I (A)   x  ( x1 , ,xd ) hệ tham số tùy ý A Cho j  r Rõ ràng N  dim A j  d Am  A j Nếu j N  dim A j  d x hệ tham số A j Do I ( A j )  I ( A)   A m mơđun đối Cohen-Macaulay suy rộng Trường hợp j N  dim A j  d , theo tính chất số bội ta có e( x; A j )  Vì ( A j )   I ( x; A)   Do N  dim A j  A m hiển nhiên j môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng hay A môđun đối CohenMacaulay suy rộng Ngược lại, cho x hệ tham số A Khi x hệ tham số A j với j thoả mãn N  dim A j  d Vì I ( A j )   N  dim A j  d N  dim A j  với j  r ta có 36 I ( x; A)   I ( Aj )  N dim A j  d  ( A j )   N dim A j 0 Đặc biệt I ( A)  với j  r , A m R m - môđun j j đối Cohen-Macaulay với N  dim A m  d j Chú ý rằng, điều ngược lại mệnh đề không ta bỏ qua điều kiện chiều môđun A j với j  r Ví dụ 2.3.2 minh chứng cho điều KẾT LUẬN Nội dung luận văn tìm hiểu mơđun đối CohenMacaulay suy rộng dựa vào kết nghiên cứu Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn [4] Cụ thể chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất lớp mơđun sau Mơđun Cohen-Macaulay suy rộng mơđun đối Cohen-Macaulay (trình bày kết không chứng minh: Mục 1.5 Mục 2.1) Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng vành địa phương (trình bày kết có chứng minh: Mục 2.2) Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng vành khơng thiết địa phương (trình bày kết có chứng minh: Mục 2.3) 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sư phạm Tiếng Anh [3] M P Brodman and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge university press [4] N T Cuong, N T Dung and L T Nhan (2007), On generalized co Cohen-Macaulay and co-Buchsbaum modules, Algebra Colloquium, 14:2 265-278 38 [5] N T Cuong and T T Nam (2001), The I-adic completion and homology for Artinian modules, Math Proc Camb Phil Soc 131 (1), 61-72 [6] I H Denizler and R Y Sharp (1996), Co-Cohen-Macaulay modules over commutative rings, Glasgow Math J 38, 359-366 [7] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11, 23-43 [8] J Stückrad and W Vogel (1986), Buchsbaum rings and Applications, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, NewYork [9] Ngo Viet Trung (1986), Toward a theory of generalized CohenMacaulay modules, Nagoya Math J.Vol 102, 1-49 ... mơđun Cohen- Macaulay suy rộng đối ngẫu Matlis D(M) = Hom( M;E) M môđun đối Cohen- Macaulay suy rộng (ii) Nếu M môđun Cohen- Macaulay suy rộng với dim M = d H md (M ) môđun đối Cohen- Macaulay suy rộng. .. Môđun đối Cohen- Macaulay suy rộng Trong chương chúng tơi trình bày vấn đề sau 2.1 Môđun đối Cohen- Macaulay 2.2 Môđun đối Cohen- Macaulay suy rộng vành địa phương 2.3 Môđun đối Cohen- Macaulay suy. .. R -môđun Artin A gọi môđun đối CohenMacaulay suy rộng A m R m -môđun đối Cohen- Macaulay suy rộng với iđêan cực đại m Supp A Rõ ràng rằng, A môđun đối Cohen- Macaulay A mơđun đối Cohen- Macaulay suy