Về môđun cohen macaulay suy rộng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ HUYỀN TRANG VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ HUYỀN TRANG VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ Nghệ An – 2014 3 LỜI NÓI ĐẦU Khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng được đưa ra bởi Nguyễn Tự Cường, Ngô Việt Trung và P. Schenzel (1978). Gốc rễ của nó là vấn đề của D. A. Buchsbaum, phỏng đoán rằng hiệu ( ) ( ) ( ) ; : / ;I q M M qM e q M = − l là một đại lượng không đổi với mọi iđêan tham số q của M, trong đó e(q;M) là số bội của M đối với q. Điều này nói chung là không đúng. Tuy nhiên J. Stuckrad và W. Vogel nhận thấy những môđun thỏa mãn điều trên có nhiều tính chất thú vị tương tự các tính chất của môđun Cohen-Macaulay và được đặt tên là môđun Buchsbaum ([7]). Dẫn đến [3] nghiên cứu môđun M với tính chất I(M) := sup I(q;M)< trong đó q chạy suốt trong các iđêan tham số của M, và đó chính là môđun Cohen- Macaulay suy rộng. Lý thuyết về môđun Buchsbaum phát triển nhanh bởi sự đóng góp của S. Goto, P. Schenzel, J. Stuckrad, W. Vogel. Bên cạnh đó người ta cũng thấy rằng hầu hết các tính chất của hệ tham số của môđun Buchsbaum cũng đúng với hệ tham số của môđun Cohen-Macaulay suy rộng được chứa trong lũy thừa bậc cao của iđêan cực đại. Chẳng hạn, nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng, thì tồn tại số nguyên dương n sao cho I(q; M) = I(M) với mọi iđêan tham số q được chứa trong n m của M. Mục đích chính của [6] là chứng minh rằng hệ tham số chuẩn tắc có những thông tin quan trọng trong cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Luận văn nghiên cứu và trình bày lại một cách chi tiết trong các vấn đề về môđun Cohen Macaulay suy rộng trong tài liệu [6] của Ngô Việt Trung. 4 Luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở và các kết quả cần thiết sử dụng trong luận văn như sự phân tích nguyên sơ của môđun, chiều Krull của môđun, độ dài của môđun, hệ tham số, số bội, dãy lọc chính qui (f-dãy), … Chương 2. MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG Trong chương này chúng tôi trình bày những vấn đề cơ bản, hệ tham số chuẩn tắc và iđêan chuẩn tắc trong cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Luận văn được hoàn thành tháng 09 năm 2014 tại Trường Đại học Đồng Tháp dưới sự hướng dẫn của TS. Đào Thị Thanh Hà. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cám ơn quý thầy cô giáo trong bộ môn, thầy cô giáo trong khoa toán, khoa đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý kiến và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng xin chân thành cảm ơn gia đình, tập thể lớp Đại số và Lý thuyết số khóa 20 Trường Đại học Vinh, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Trong quá trình làm luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn xin chân thành cảm ơn. Nghệ An, tháng 09 năm 2014 Tác giả 5 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1. Độ dài môđun 3 1.2. Chiều Krull 4 1.3. Hệ tham số. Số bội 5 1.4. Dãy chính qui. Dãy lọc chính qui 7 1.5. Iđêan nguyên tố liên kết 8 1.6. Môđun đối đồng đều địa phương 9 1.7. Môđun Cohen-Macaulay 11 Chương 2. MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG 13 2.1. Những vấn đề cơ bản về môđun Cohen-Macaulay suy rộng 13 2.2. Hệ tham số chuẩn tắc 18 2.3. Iđêan chuẩn tắc 26 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 6 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn, luôn kí hiệu vành là giao hoán, địa phương Noether với iđêan cực đại m và M là R-môđun hữu hạn sinh. 1.1. Độ dài môđun 1.1.1. Định nghĩa. Một R-môđun M khác môđun không được gọi là môđun đơn nếu M chỉ có đúng hai môđun con là môđun con không và chính nó. 1.1.2. Định nghĩa. Một dãy hợp thành của một R-môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu hạn các môđun con { } 0 1 0 n M M M M = ⊃ ⊃ ⊃ = sao cho 1i i M M − là một môđun đơn, với mọi 1,2, ,i n = . Khi đó số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành này. 1.1.3. Ví dụ. (a) Một không gian véctơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó có chiều hữu hạn. (b) Một không gian véctơ có dãy hợp thành với độ dài d khi và chỉ khi nó có chiều d. (c) Vành số nguyên ¢ là một ¢ -môđun không có dãy hợp thành. 1.1.4. Định lý. Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n. Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành của M. Từ Định lý 1.1.4 ta có định nghĩa sau 7 1.1.5. Định nghĩa. Độ dài của dãy hợp thành tùy ý của R-môđun M được gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là ( ) R Ml hoặc đơn giản là ( ) Ml . Nếu R-môđun M không có dãy hợp thành thì ta qui ước độ dài ( ) R M = ∞ l và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn. 1.1.6. Ví dụ. (a) Độ dài của một không gian véctơ chính là số chiều của không gian véctơ đó. (b) ( ) 1 = ¤ l ¤ . (c) ( ) = ∞ ¢ l ¢ . (d) ( ) / 6 2 = ¢ l ¢ ¢ và / 6¢ ¢ có dãy hợp thành là 2 0 6 6 ⊂ ⊂ ¢ ¢ ¢ ¢ hoặc dãy hợp thành 3 0 6 6 ⊂ ⊂ ¢ ¢ ¢ ¢ . 1.2. Chiều Krull 1.2.1. Định nghĩa. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R 1 o n p p p ⊃ ⊃ ⊃ được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n. Cho ( ) p Spec R ∈ , cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với 0 p p= được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ( ) ht p . Nghĩa là ( ) supht p = {độ dài các xích nguyên tố với 0 p p= }. 8 Cho I là một iđêan của R khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa như sau ( ) ( ) ( ) { } inf ht p / , .ht I p Spec R p I = ∈ ⊇ Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố R được gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R hay dim . K R Cho M là một R-Môđun. Khi đó dim R R Ann M được gọi là chiều Krull của môđun M, kí hiệu là dim M hay dim K M . Trong đó { } / 0 R Ann M a R aM = ∈ = { } / ax=0, x Ma R = ∈ ∀ ∈ là một iđêan của R và R Ann M được gọi là linh hóa tử của môđun M. Từ đó ta có dim dimM R ≤ . 1.2.2. Ví dụ. (a) Với K là một trường thì chiều Krull của K là 0 vì K chỉ có hai iđêan là (0) và K, và (0) là iđêan nguyên tố duy nhất của K. Vậy chiều Krull của K là dim 0.K = (Nhớ rằng nếu xem K là K-không gian véctơ thì dim K=1) (b) dim 1 = ¢ ¢ (vì mọi iđêan nguyên tố của vành các số nguyên ¢ là 0 hoặc p¢ với p là số nguyên tố. Hơn nữa mọi iđêan p¢ với p nguyên tố là iđêan cực đại. Từ đó xích nguyên tố của ¢ có độ dài lớn nhất có dạng ( ) 0 dim 1p ⊂ ⇒ = ¢ ¢ ¢ ). (c) Xét vành đa thức 3 biến [ ] , ,k x y z . Ta có: [ ] ( ) ( ) 3 2 , , dim 2 k x y z x z = I . 1.3. Hệ tham số, số bội 1.3.1. Định nghĩa. Cho ( ) ,R m là một vành địa phương Noether, M là R-môđun với dim M d = . H ệ các phần tử { } 1 , , d x x của m được gọi là hệ tham số của M nếu độ dài 1 ( /( , , ) ) d M x x M < ∞ l và khi đó iđêan ( ) 1 , , d q x x R = được gọi là iđêan tham số. 9 1.3.2. Chú ý. Hệ tham số của môđun M luôn tồn tại. 1.3.3. Mệnh đề. Cho ( ) ,R m là vành địa phương Noether và 1 , , d x x là một hệ tham số của môđun M. Khi đó ( ) 1 M dim , 1 x , , i d i i d x M = − ∀ ≤ ≤ . 1.3.4. Ví dụ. { } 1 , , d x x là một hệ tham số của vành chuỗi lũy thừa hình thức [ ] 1 , , . n K x x     1.3.5. Định nghĩa. Cho q là iđêan tham số của môđun M. Khi đó ta gọi ( ) , n q M n M H n q M ∈   =  ÷   ¢ l là hàm Hilbert-Samuel. Khi 0n ? hàm này trở thành một đa thức, kí hiệu ( ) ,q M P n . Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert-Samuel. 1.3.6. Nhận xét. Ta có ( ) , deg dim . q M P n M d = = Hơn nữa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 1 1 , , 1 , 1 d q M d d n d n P n e q M e q M e q M d d + + −     = − + + −  ÷  ÷ −     (*) trong đó ( ) ( ) ( ) 0 1 , , , , , , d e q M e q M e q M là những số nguyên và ( ) 0 , 0.e q M > Gọi 0 a là hệ số cao nhất của đa thức ( ) ,q M P n thì ( ) 0 0 ,e q M a d = ! 1.3.7. Định nghĩa. (i) Số tự nhiên ( ) 0 ,e q M trong khai triển (*) của ( ) ,q M P n được gọi là số bội của M đối với iđêan tham số q. (ii) Đặc biệt khi q m = ta kí hiệu là số bội ( ) ( ) ( ) 0 , ,e q M e q M e M = = và gọi là số bội của môđun M. 1.3.8. Ví dụ. Số bội của vành đa thức [ ] 1 , , n R k x x = là 1. 10 1.4. Dãy chính qui. Dãy lọc chính qui 1.4.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun. (i) Phần tử x R ∈ , 0x ≠ được gọi là ước của 0 đối với M nếu tồn tại phần tử , 0m M m ∈ ≠ sao cho 0xm = . (ii) Phần tử x R ∈ được gọi là M-chính qui nếu M xM ≠ và x không là ước của 0 đối với M. (iii) Một dãy { } 1 , , t x x các phần tử của R được gọi là dãy chính qui của M hay M-dãy nếu ( ) 1 0. , , t M x x M ≠ 1.4.2. Định nghĩa. Cho I R ⊆ là một iđêan. Nếu 1 , , t x x I∈ và là dãy chính qui thì dãy { } 1 , , t x x được gọi là dãy M-chính qui cực đại nếu không tồn tại y I ∈ để { } 1 , , , t x x y là một dãy M-chính qui và t được gọi là độ dài của dãy trên. Cho R là vành địa phương và I R ⊆ là một iđêan. Khi đó độ dài của hai dãy M-chính qui cực đại nằm trong iđêan I luôn như nhau. Vì vậy ta có định nghĩa sau: 1.4.3. Định nghĩa. Cho ( ) ,R m là vành địa phương Noether. Khi đó độ dài của dãy chính qui cực đại trong m kí hiệu là ( ) ,depth m M hay ( ) depth M và được gọi là độ sâu của môđun M. 1.4.4. Chú ý. Cho M là R-môđun. Ta luôn có dimdepth M M ≤ . 1.4.5. Định nghĩa. Cho { } 1 , , d x x x = là một hệ tham số của môđun M. x được gọi là dãy lọc chính qui hay f-dãy nếu ( ) ( ) 1 1 1 1 1 , , : , , : n i M i i M n x x M x x x M m ∞ − − = ⊆ U ( ) 0 1 1 0 , , : , 0, 1, ,d. n i M x x M m n i − = >> = [...]... Hầu hết trong thực tiễn thì f -môđun trùng với môđun Cohen- Macaulay suy rộng bởi kết quả như sau: 2.1.8 Bổ đề [3, (3.8)] Giả sử A là một vành thương của vành Cohen- Macaulay Khi đó M là một f -môđun khi và chỉ khi M là một môđun Cohen- Macaulay suy rộng Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Cohen- Macaulay suy rộng: 2.1.9 Bổ đề [3, (3.7)] Giả sử M là một môđun C-M suy rộng Khi đó d −1 d − 1   i... (i) M là môđun Cohen- Macaulay; (ii) Tồn tại một hệ tham số x = ( x1 , , xd ) của M để I M ( x ) = 0 ; (iii) Với mọi hệ tham số x = ( x1 , , xd ) của M thì I M ( x ) = 0 ; (iv) I ( M ) = 0 Chú ý Tồn tại những môđun mà I ( M ) = ∞ 16 Chương 2 MÔĐUN COHEN- MACAULAY SUY RỘNG 2.1 Những vấn đề cơ bản về môđun Cohen- Macaulay suy rộng 2.1.1 Định nghĩa M được gọi là môđun Cohen- Macaulay suy rộng nếu I(M) d 14 1.7 Môđun Cohen- Macaulay Khái niệm môđun Cohen- Macaulay khởi đầu được định nghĩa cho vành địa phương, sau đó được định nghĩa cho vành và môđun phân bậc 1.7.1 Định nghĩa R -môđun M được gọi là môđun Cohen- Macaulay nếu depth M = dim M Nếu vành R là môđun Cohen- Macaulay trên chính nó thì ta nói rằng R là vành Cohen- Macaulay 1.7.2... M là môđun Cohen- Macaulay suy rộng khi và chỉ khi i l ( H m ( M ) ) < ∞ , ∀ i ≠ d , ( d = dim M ) 2.1.3 Ví dụ (a) Mọi môđun có chiều bằng 1 là môđun Cohen- Macaulay suy rộng Chứng minh Do dim M = 1 nên theo Mệnh đề 2.1.2 ta chỉ cần chứng minh 0 l ( Hm ( M ) ) < ∞ Điều này luôn đúng Vì vậy, chẳng hạn k [ x, y , z ] ( x , y ) I ( x, y , z ) 3 2 4 k [ x, y , z ] -môđun là môđun Cohen- Macaulay suy rộng. .. 3 2 4 k [ x, y , z ] -môđun là môđun Cohen- Macaulay suy rộng (b) Mọi môđun Cohen- Macaulay là môđun Cohen- Macaulay suy rộng Chứng minh Theo Mệnh đề 1.7.3 và Định nghĩa 2.1.1 Môđun Cohen- Macaulay suy rộng có thể đặc trưng bằng nhiều phương pháp khác nhau: 2.1.4 Bổ đề [4, (3.3)].Các điều kiện sau là tương đương: (i) M là môđun C-M suy rộng (ii) I (M) < ∞ (iii) Tồn tại một hệ tham số a1 , , ad của M sao... M là M-chuẩn tắc 32 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại các kết quả sau: 1 Một số tính chất cơ bản của môđun Cohen- Macaulay suy rộng 2 Các tính chất của hệ tham số chuẩn tắc trong cấu trúc của môđun CohenMacaulay suy rộng 3 Những đặc trưng của iđêan chuẩn tắc trong cấu trúc của môđun CohenMacaulay suy rộng 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] M Auslander, D A Buchsbaum (1958), Codimension and multicity,... (iii) được sử dụng để kiểm tra một môđun có phải là môđun Cohen- Macaulay suy rộng hay không Để giải thích ý nghĩa của Bổ đề 2.1.4 (iv) ta cần đến khái niệm [1, (2.3)] như sau 2.1.5 Định nghĩa M được gọi là một f -môđun nếu mỗi hệ tham số a1 , , ad của M là một M-dãy lọc chính qui hay f-dãy Từ Bổ đề 2.1.4 (iv), mỗi môđun Cohen- Macaulay suy rộng là một f -môđun Tất nhiên f -môđun cũng có nhiều tính chất thú... nhưng nó cũng đưa ra các khái niệm tương tự với kết quả sau: 2.2.2 Định lý a1 , , ad là một hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chỉ khi M là một môđun C-M suy rộng với I ( M ) = I (q; M ) Nói đúng hơn, Định lý 2.2.2 là một tiêu chuẩn cho môđun Cohen- Macaulay suy rộng Để chứng minh Định lý 2.2.2 ta sẽ cần đến kết quả sau: 2.2.3 Bổ đề Giả sử a1 , , ad là một hệ tham số tùy ý của M Khi đó: n m I (a1n1 , ,... ) ÷   1.6 Môđun đối đồng đều địa phương Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck Giả sử R là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là R -môđun Ta có O : M I ⊆ O : M I 2 ⊆ ⊆ O : M I n ⊆ là dãy các môđun con lồng nhau nên UO : n∈N M I n cũng là môđun con của M và kí hiệu là ΓI ( M ) 1.6.1 Định nghĩa Môđun Γ I ( M ) xác định ở trên được gọi là môđun con I-xoắn . VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ HUYỀN TRANG VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY R NG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ HUYỀN TRANG VỀ MÔĐUN. HUYỀN TRANG VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY R NG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ng nh: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 Ng ời hư ng dẫn khoa học TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ Nghệ An – 2014 3 LỜI NÓI. nh ng môđun mà ( ) I M = ∞ . 16 Chư ng 2. MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY R NG 2.1. Nh ng vấn đề cơ bản về môđun Cohen-Macaulay suy r ng 2.1.1. Định nghĩa. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng