Vê môđun cohen macaulay suy rộng chính tắc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THU TRANG VỀ MƠĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THU TRANG VỀ MƠĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giá, iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố gắn kết 1.2 Độ cao chiều Krull 1.3 Hệ tham số số bội 10 1.4 Dãy quy dãy lọc quy 12 1.5 Môđun đối đồng điều địa phương môđun mở rộng 14 1.6 Môđun Cohen Macaulay môđun Cohen Macaulay suy rộng 1.7 Đối ngẫu Matlis 16 17 Đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc qua f-dãy chặt 19 2.1 Mơđun tắc 19 2.2 f -dãy chặt 24 2.3 Mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc 29 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Như biết môđun Cohen-Macaulay lớp môđun quan trọng Đại số giao hốn chúng có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học Đại số đồng điều, Hình học đại số, Tổ hợp, Lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng mở rộng thực lớp môđun CohenMacaulay, chúng quan tâm có nhiều ứng dụng Đại số giao hốn Khái niệm mơđun tắc vành địa phương Noether đưa Grothendieck (Lect Notes Math., 1967) ơng gọi mơđun vi phân đối ngẫu Thuật ngữ “mơđun tắc" đưa Herzog-Kunz et al (Lect Notes Math., 1971), họ định nghĩa khái niệm mơđun tắc cho vành địa phương tổng qt Sau đó, Schenzel [13] đưa khái niệm mơđun tắc mơđun Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether vành thương vành Gorenstein địa phương (R , m ) chiều n Ký hiệu K i (M ) = Extn−i R (M, R ) Khi K i (M ) R-môđun hữu hạn sinh với số nguyên i Theo Schenzel [14], [15], K i (M ) gọi môđun khuyết thứ i M với i = 0, , d − 1, K(M ) := K d (M ) với d = dim M gọi mơđun tắc M Trong [15], Schenzel nghiên cứu lớp môđun M thỏa mãn K(M ) Cohen-Macaulay ông gọi tên mơđun Cohen-Macaulay tắc Tính Cohen-Macaulay tắc liên quan đến nhiều vấn đề quan trọng Đại số giao hốn Chẳng hạn, M mơđun Cohen-Macaulay tắc Giả thuyết Đơn thức đưa Hochster [8] thỏa mãn vành thương R/AnnR M Hơn nữa, R miền nguyên R Cohen-Macaulay tắc R có Macaulay hóa song hữu tỷ R1 , tức có mở rộng vành R ⊆ R1 ⊆ Q (ở Q trường thương) cho R1 R-môđun hữu hạn sinh R1 vành Cohen-Macaulay (xem [15, Theorem 1.1]) Năm 2004, trình tìm câu trả lời cho câu hỏi mở R.Y Sharp Hamieh [12] tính đa thức hàm độ dài thương suy rộng, N.T Cường M Morales L.T Nhàn [5] đưa khái niệm f-dãy chặt sử dụng khái niệm f-dãy chặt cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố gắn kết mơđun đối đồng điều địa phương; nghiên cứu tính chất đa thức hàm độ dài thương suy rộng định nghĩa [12]; đặc trưng môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng định nghĩa [4] Trong [10], khái niệm f-dãy chặt sử dụng để nghiên cứu Giả thuyết Đơn thức Như ta biết môđun Cohen-Macaulay đặc trưng thơng qua khái niệm dãy quy Tương tự vậy, L T Nhàn [10] sử dụng khái niệm f-dãy chặt để đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay tắc (xem [10, Theorem 4.1]) Năm 2013, N T H Loan L T Nhàn [9] nghiên cứu lớp mơđun M mà mơđun tắc K(M ) Cohen-Macaulay suy rộng họ gọi chúng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Trong [9], N T H Loan L T Nhàn đưa đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc thơng qua f-dãy chặt Nội dung luận văn trình bày lại cách chi tiết kết mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc đưa [9] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày (khơng chứng minh) số kiến thức Đại số giao hoán làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Chương 2: Đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc qua f-dãy chặt Nội dung chương trình bày lại kết báo [9], gồm nội dung sau: - Mơđun tắc; - f-dãy chặt; - Đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc qua f-dãy chặt Luận văn hoàn thành vào tháng năm 2016 trường Đại học Vinh dự hướng dẫn tận tình cô TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến cô người tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập làm đề tài Hơn cịn người giúp tơi có thái độ nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu trình bày chặt chẽ vấn đề tốn học Cũng này, tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy giáo Khoa Tốn trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại số Lý thuyết số K22 Đại học Vinh; Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa, thầy cô giáo Khoa Tốn, Phịng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh tạo điều kiện tốt cho suốt q trình học tập nghiên cứu Tơi xin gửi lởi cảm ơn sâu sắc tới gia đình, Ban Giám hiệu toàn thể giáo viên trường THPT Nam Yên Thành bạn lớp cao học Đại số Lý thuyết số K22 Vinh động viên, tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa học Nghệ An, tháng 07 năm 2016 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở Đại số giao hoán liên quan đến kết trình bày chương 1.1 Giá, iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố gắn kết 1.1.1 Giá môđun Ký hiệu SpecR tập iđêan nguyên tố vành R Cho p iđêan nguyên tố vành R Tập hợp SuppR M = { p ∈ SpecR| Mp = 0} gọi giá môđun M Với x ∈ M , kí hiệu AnnR (x) = {a ∈ R | ax = 0}; AnnR M = {a ∈ R | aM = 0} = {a ∈ R | ax = 0, ∀x ∈ M } AnnR (x) AnnR M iđêan vành R; iđêan AnnR M gọi linh hóa tử mơđun M 1.1.2 Iđêan nguyến tố liên kết Cho M R− môđun p iđêan nguyên tố vành R p gọi iđêan nguyên tố liên kết môđun M tồn phần tử x ∈ M, x = cho p = AnnR (x) Tập hợp tất nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR M (hoặc AssM ta không cần tập trung ý đến vành R) 1.1.3 Phân tích nguyên sơ iđêan nguyên tố liên kết Giả sử R vành Noether, p iđêan nguyên tố vành R Cho M R-môđun N môđun M cho AssR (M/N ) = {p} Khi N gọi môđun p-nguyên sơ M Một phân tích nguyên sơ M phân tích M = N1 ∩ N2 ∩ ∩ Nn , Ni mơđun pi -nguyên sơ với i = 1, 2, , n Phân tích gọi Phân tích nguyên sơ thu gọn M pi đơi khác khơng có Ni thừa Theo Định lý phân tích nguyên sơ Noether-Lasker mơđun mơđun Noether M có phân tích ngun sơ thu gọn Giả sử = N1 ∩ N2 ∩ ∩ Nn , Ni mơđun pi -ngun sơ với i = 1, 2, , n phân tích nguyên sơ thu gọn mơđun M Khi tập {p1 , p2 , , pn } xác định tập iđêan nguyên tố liên kết AssR M môđun M Nếu R vành Noether M = R-mơđun có độ dài hữu hạn AssR (M ) = SuppR (M ) = {m} Hơn nữa, 0→M →M →M →0 dãy khớp ngắn R-mơđun AssR (M ) ⊆ Ass(M ) ⊆ AssR (M ) ∪ Ass( M ) SuppR (M ) = SuppR (M ) ∪ SuppR (M ) 1.1.4 Biểu diễn thứ cấp iđêan nguyên tố gắn kết Một R-môđun X gọi môđun thứ cấp với r ∈ R phép nhân r X √ toàn cấu lũy linh Trong trường hơp AnnR X iđêan nguyên tố chẳng hạn p ta gọi X p- thứ cấp Một biểu diễn thứ cấp X phân tích X = X1 + X2 + + Xn , Xi mơđun pi -thứ cấp với i = 1, 2, , n Biểu diễn gọi Biểu diễn thứ cấp tối tiểu X pi đôi khác khơng có Xi thừa Khi tập {p1 , p2 , , pn } xác định gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết mơđun X kí hiệu AttR X (hoặc AttX không ý đến R) Với R-mơđun Artin A có biểu diễn thứ cấp tối tiểu A A = A1 + A2 + + An Ai pi thứ cấp Khi tập hợp {p1 , p2 , , pn } độc lập không phụ thuộc vào Ai , kí hiệu AttR A Nếu < (A) < ∞ Att(A) = {m} Giả sử 0→A →A→A →0 dãy khớp ngắn mơđun Artin Att(A ) ⊆ Att(A) ⊆ Att(A ) ∪ Att(A ) 1.2 Độ cao chiều Krull 1.2.1 Định nghĩa Một dãy iđêan nguyên tố vành R: p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pn gọi xích nguyên tố có độ dài n 1.2.2 Định nghĩa Cho p iđêan nguyên tố vành R Cận tất độ dài xích nguyên tố với p0 = p gọi độ cao p, kí hiệu ht(p) Giả sử I iđêan R ht(I) = inf{ht(p)|p ∈ SpecR, p ⊇ I} 1.2.3 Định nghĩa (i) Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dim R Như dim R = sup {ht(p) | p ∈ SpecR} 10 (ii) Cho M R-môđun dim(R/AnnR (M )) gọi chiều Krull mơđun M , kí hiệu dimR (M ) (hoặc dim M ) 1.3 Hệ tham số số bội 1.3.1 Hệ tham số Cho (R, m) vành giao hoán, địa phương Noether với iđêan cực đại m, M R-môđun hữu hạn sinh Từ sau ta ln kí hiệu chiều Krull dim M = d Khi d số nguyên nhỏ cho tồn hệ gồm d phần tử x = (x1 , , xd ) m cho R (M/(x1 , xd )M ) < +∞ Hệ phần tử x1 , , xd ∈ m gọi hệ tham số mơđun M Sau số tính chất hệ tham số (1) dim(M/(x1 , , xi )M ) = d − i với i = 1, , d (2) xi+1 ∈ / p với p ∈ Ass(M/(x1 , , xi )M ) thỏa mãn dim R/p = d − i, với i = 1, , d − (3) Nếu x = (x1 , , xd ) hệ tham số M n = (n1 , , nd ) gồm d só ngun dương x(n) = (xn1 , , xnd d ) hệ tham số M 1.3.2 Số bội Một hệ phần tử x = {x1 , , xt } m cho (M/(x1 , , xt )M ) < +∞ gọi hệ bội M ; t = ta hiểu điều kiện có nghĩa (M ) < ∞ Chú ý hệ tham số hệ bội điều ngược lại nói chung khơng (ta ln có t ≥ d = dim M ) Khi kí hiệu bội e(x1 , , xt | M ) môđun M hệ bội x = {x1 , , xt } (viết gọn e(x | M )) định nghĩa qui nạp theo t sau: 26 d > x f -phần tử chặt M x phần tử quy K(M ) (0:K i (M ) x) < ∞ với i < d Chứng minh Theo Định lý đối ngẫu địa phương [3, 11.2.6] ta có đẳng cấu Hmi (M ) ∼ = HomR (K i (M ), E(R/m)), đây, E (R/m) bao nội xạ R/m Như trình bày phần đối ngẫu Matlis (Chương 1) ta có AttR (D(N )) = AssR (N ), D := HomR (., E) hàm tử đối ngẫu Matlis N R-môđun Noether Khi đó, thay N K i (M ) ta thu AssR K i (M ) = AttR Hmi (M ) với i Vì bổ đề chứng minh 2.2.5 Bổ đề Giả sử x ∈ m f -phần tử chặt môđun M Khi với số nguyên i ≥ ta có dãy khớp → K i+1 (M )/xK i+1 (M ) → K i (M/xM ) → (0:K i (M ) x) → Đặc biệt, Hmi (K(M )/xK(M )) ∼ = Hmi (K(M/xM )) với i ≥ i (M/0:M x) ∼ Chứng minh Vì (0:M x) < ∞ Bổ đề 2.2.3 nên ta có Hm = i (M ) với i ≥ Do từ dãy khớp Hm x → M/(0:M x) → − M → M/xM → ta nhận dãy khớp sau với i ≥ → Hmi (M )/xHmi (M ) → Hmi (M/xM ) → (0:Hmi+1 (M ) x) → Từ tính đối ngẫu địa phương [3, 11.2.6], ta có dãy khớp sau với i ≥ → K i+1 (M )/xK i+1 (M ) → K i (M/xM ) → (0:K i (M ) x) → Đặc biệt, với i = d − , ta có dãy khớp sau → K(M )/xK(M ) → K(M/xM ) → (0:K d−1 (M ) x) → 27 Theo Bổ đề 2.2.4 (0:K d−1 (M ) x) mơđun có độ dài hữu hạn nên với i ≥ ta có Hmi (K(M )/xK(M )) ∼ = Hmi (K(M/xM )) 2.2.6 Chú ý Giả sử d ≥ x ∈ m f -phần tử chặt mơđun M Khi theo Bổ đề 2.2.4 x K(M )-chính qui Vì ta có dãy khớp x → K(M ) → − K(M ) → K(M )/xK(M ) → Dãy khớp cảm sinh dãy khớp sau → Hmi (K(M ))/xHmi (K(M )) → Hmi (K(M )/xK(M )) → (0:Hmi+1 (K(M )) x) → với số nguyên i ≥ 2.2.7 Định nghĩa Cho A R-môđun Artin (i) Chỉ số ổn định A, kí hiệu s(A) số nguyên dương s nhỏ cho ms A = mn A với n ≥ s (ii)Kí hiệu Rl(A) độ dài A/ms(A) A Khi Rl(A) hữu hạn, gọi chiều dài dư A Rõ ràng Rl(A) = m ∈ / AttR A Hơn nữa, x ∈ m phần tử cho x ∈ / p với p ∈ AttR A\ {m} (A/xA) ≤ Rl(A) trường hợp (A/xn A) = Rl(A) với n ≥ s(A) 2.2.8 Bổ đề Cho i ≥ số nguyên x f -phần tử chặt môđun M Khi với n >> ta có Rl(Hmi (M )) = (Hm0 (Kmi (M ))) = (0:K i (M ) xn ) Chứng minh Chú ý xn f -phần tử chặt M với số nguyên n > Do theo Bổ đề 2.2.4 ta có (0:K i (M ) xn ) < ∞ Do 28 Hm0 (Kmi (M )) môđun lớn K i (M ) có độ dài hữu hạn Với n >> ta có Hm0 (Kmi (M )) = (0:K i (M ) mn ) ⊆ (0:K i (M ) xn ) ⊆ Hm0 (Kmi (M )) Do (Hm0 (K i (M ))) = (0:K i (M ) xn ) với n >> Chú ý theo [3, 11.2.6] ta có Hmi (M ) ∼ = D(K i (M )), D (−) hàm tử đối ngẫu Matlis Do (0:K i (M ) xn ) < ∞ nên ta có (0:K i (M ) xn ) = (D(0:K i (M ) xn )) = (D(K i (M ))/xn D(K i (M ))) = (Hmi (M )/xn Hmi (M )) Vì x ∈ / p với p ∈ AttR Hmi (M )\ {m}, nên ta có (Hmi (M )/xn Hmi (M )) = Rl(Hmi (M )) cho n >> Vì vậy, bổ đề chứng minh Trong [10], L T Nhàn đưa đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay tắc qua f-dãy chặt sau 2.2.9 Định lí [10, Theorem 4.1] Giả sử R vành có phức đối ngẫu Khi điều kiện sau tương đương: (i) M mơđun Cohen-Macaulay tắc; (ii) Với hệ tham số x = {x1 , , xd } M f -dãy chặt ta có d−3 Rl Hmd−k−1 (M/(x1 , , xk )M ) = 0; k=0 (iii) Tồn hệ tham số x = {x1 , , xd } M f -dãy chặt cho d−3 Rl Hmd−k−1 (M/(x1 , , xk )M ) = k=0 29 2.3 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Trong tiết ta ln kí hiệu (R, m) vành thương vành địa phương Gorenstein (R , m ) với dim R = n M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Khái niệm mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc đưa N T H Loan L T Nhàn [9] Sau ta nhắc lại khái niệm 2.3.1 Định nghĩa M gọi mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc mơđun tắc K(M ) M Cohen-Macaulay suy rộng 2.3.2 Ví dụ (1) Rõ ràng mơđun Cohen-Macaulay tắc mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Do đó, mơđun Ví dụ 2.1.10 mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc (2) Nếu dim M ≤ M Cohen-Macaulay suy rộng M Cohen-Macaulay suy rộng tắc (3) Nếu M/UM (0) Cohen-Macaulay suy rộng, với UM (0) môđun lớn M có chiều bé dim M M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Đặc biệt, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng đưa [4] môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Tiếp theo, chúng tơi trình bày số bổ đề dùng để chứng minh kết chính, đồng thời tính chất mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc 2.3.3 Bổ đề Nếu M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc x f -phần tử chặt M M/xM mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Chứng minh Nếu d ≤ 2, phát biểu Bổ đề hiển nhiên Giả sử d ≥ Khi dim(M/xM ) ≥ Suy depth(K(M/xM )) ≥ 30 Hmi (K(M/xM )) = với i = 0, Theo Bổ đề 2.2.5 ta có Hmi (K(M/xM )) ∼ = Hmi (K(M )/xK(M )) với i ≥ Do x K(M )-chính qui K(M ) môđun Cohen-Macaulay suy rộng nên K(M )/xK(M ) mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Do (Hmi (K(M )/xK(M ))) < ∞ với i < d − Vì vậy, Hmi (K(M/xM )) có độ dài hữu hạn với i < d−1 Suy ra, mơđun tắc K(M/xM ) M/xM Cohen-Macaulay suy rộng Như M/xM Cohen-Macaulay suy rộng tắc 2.3.4 Bổ đề Giả sử d ≥ Nếu M Cohen-Macaulay suy rộng tắc Rl(Hmd−2 (M/xM )) ≤ (Hm2 (K(M ))) + (Hm3 (K(M ))) với f -phần tử chặt x M Đẳng thức xảy x ∈ mr , r = t ∈ N|mt Hmi (K(M )) = 0, ∀i < d Chứng minh Giả sử x f -phần tử chặt môđun M Đặt N = M/xM Vì dim M = d nên dim N = d − Giả sử n ∈ N y f -phần tử chặt mơđun N Khi y n f -phần tử chặt mơđun N Vì vậy, áp dụng Bổ đề 2.2.5 cho môđun N với f -phần tử chặt y n số nguyên i = d − 2, ta có dãy khớp sau: → K(N )/y n K(N ) → K(N/y n N ) → (0:K d−2 (N ) y n ) → Chú ý dim(N/y n N ) = d−2 ≥ Vì vậy, depth(K(N/y n N )) ≥ Suy Hmi (K(N/y n N )) = với i = 0, Theo Bổ đề 2.2.4 ta có (0:K d−2 (N ) y n ) < ∞ Vì vậy, từ dãy khớp ta nhận (0:K d−2 (N ) y n ) = Hm0 (0:K d−2 (N ) y n ) ∼ = Hm1 (K(N )/y n K(N )) 31 Theo Bổ đề 2.2.8, Rl(Hmd−2 (N )) = (Hm0 (K d−2 (N ))) = (0:K d−2 (N ) y n ) với n >> Do Rl(Hmd−2 (N )) = (Hm1 (K(N )/y n K(N ))) (1) Từ dim N = d − ≥ 3, ta có depthK(N ) ≥ Do Hm1 (K(N )) = Cho nên áp dụng Chú ý 2.2.6 cho môđun N với f -phần tử chặt y n số nguyên i = ta thu đẳng cấu Hm1 (K(N )/y n K(N )) ∼ = (0:Hm2 K(N ) y n ) Theo Bổ đề 2.3.3 ta có K(N ) Cohen-Macaulay suy rộng có số chiều d − ≥ Vì vậy, (Hm2 (K(N )) < ∞ Do (0:Hm2 (K(N )) y n ) = Hm2 (K(N )) với n >> 0, suy (Hm1 (K(N )/y n K(N ))) = (Hm (K(N )) (2) Từ theo Bổ đề 2.2.5 ta có Hm2 (K(N )) ∼ (K(M )/xK(M ))) = Hm (3) Theo Chú ý 2.2.6, nhận dãy khớp sau: → Hm2 (K(M ))/xHm2 (K(M )) → Hm2 (K(M )/xK(M )) → (0:Hm3 (K(M )) x) → Từ d ≥ 4, cách chọn r ta có (0:Hm3 (K(M )) x) = Hm3 (K(M )) xHm2 (K(M )) = với x ∈ mr Vì vậy, từ dãy khớp ta nhận (Hm2 K(M )/xK(M ))) ≤ (Hm2 (K(M ))) + (Hm3 (K(M ))) dấu đẳng thức xảy x ∈ mr Kết hợp (1) (4) ta có Rl(Hmd−2 (N )) = (Hm1 (K(N )/y n K(N ))) = (Hm2 (K(N ))) = (Hm2 K(M )/xK(M ))) ≤ (Hm2 (K(M ))) + (Hm3 (K(M ))), dấu đẳng thức xảy x ∈ mr (4) 32 Với hệ tham số x = {x1 , , xd } M , đặt Mx,k = M/(x1 , , xk )M với k = 1, , d − 2.3.5 Bổ đề Giả sử M Cohen-Macaulay suy rộng tắc Cho k số nguyên cho ≤ k ≤ d − Khi k Rl(Hmd−k−1 (Mx,k )) Cki (Hmi+2 K(M ))) ≤ i=0 với hệ tham số x = {x1 , , xd } M f -dãy chặt Đẳng thức xảy k−1 (x1 , , xd ) ⊆ m2 r , r = t ∈ N|mt Hmi (K(M )) = 0, ∀i < d Chứng minh Nếu d ≤ 3, phát biểu bổ đề hiển nhiên Cho nên ta xét d ≥ Giả sử x = {x1 , , xd } hệ tham số M f -dãy chặt Khi ta chứng minh quy nạp theo d k Rl(Hmd−k−1 (Mx,k )) Cki (Hmi+2 K(M ))) ≤ i=0 k−1 với k = 1, , d − 3, đẳng thức đạt x1 , , xk ∈ m2 r Trong trường hợp d = ta suy cách trực tiếp từ Bổ đề 2.3.4 Giả sử d>4 giả thiết kết cho d − Đặt N = M/x1 M Khi theo Bổ đề 2.3.3 N Cohen-Macaulay suy rộng tắc có số chiều d − Chú ý {x2 , , xd } f -dãy chặt hệ tham số N , theo giả thiết pháp quy nạp có k−1 Rl(Hm(d−1)−(k−1)−1 (N/(x2 , , xk )N )) i Ck−1 (Hmi+2 K(N ))) ≤ (5) i=0 với k = 2, , d − 3, đẳng thức đạt x2 , , xk ∈ m2 s = t ∈ N|mt Hmi (K(N )) = 0, ∀i < d − k−2 s , 33 Chú ý N/(x2 , , xk) N ∼ = Mx,k với k = 2, , d − Mặt khác, theo Bổ đề 2.2.5, ta có đẳng cấu Hmi (K(N )) ∼ = Hmi (K(M )/x1 K(M )) với i ≥ Do từ dãy khớp Chú ý 2.2.6 → Hmi (K(M ))/x1 Hmi (K(M )) → Hmi (K(M )/x1 K(M )) → (0:Hmi+1 (K(M )) x1 ) → ta có i (Hmi (K(N ))) = (Hmi K(M )/x1 K(M ))) ≤ (Hm (K(M )))+ (Hmi+1 (K(M ))) i−1 i + Ck−1 = Cki Cho nên, từ (5) suy với i = 2, , d − Chú ý Ck−1 k−1 Rl(Hmd−k−1 (Mx,k )) i Ck−1 (Hmi+2 K(N ))) ≤ i=0 k−1 i Ck−1 ≤ (Hmi+2 (K(M ))) + (Hmi+3 (K(M ))) i=0 k Cki (Hmi+2 K(M ))) = i=0 với k = 2, , d − Trường hợp k = áp dụng Bổ đề 2.3.4 Từ dãy khớp Chú ý 2.2.6 → Hmi (K(M ))/xHmi (K(M )) → Hmi (K(M )/xK(M )) → (0:Hmi+1 (K(M )) x) → 0, lựa chọn r ta có m2r Hmi (K(M )/xK(M ))) = với i < d − Do dimN ≥ suy depthK(N ) ≥ Vì vậy, Hmi (K(N )) = với i = 0, Theo Bổ đề 2.2.5 ta có H i (K(N )) ∼ = H i (K(M )/x1 K(M )) với i ≥ 2, m 2r suy m Hmi (K(N )) m = với i = 2, , d − Do s ≤ 2r Vì vậy, 34 x1 , , xk ∈ m2 k−1 r , ta có k Rl(Hmd−k−1 (Mx,k )) Cki (Hmi+2 K(M ))) = i=0 2.3.6 Bổ đề Giả sử x = {x1 , , xd } hệ tham số M f -dãy chặt Cho c, k số nguyên cho ≤ k ≤ d−3 (Hmk+2 (K(M ))) > c Khi tồn số nguyên dương n1 , , nk cho Rl(Hmd−k−1 (M/(xn1 , , xnk k )M )) > c Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phương pháp quy nạp theo k = 1, , d − Giả sử k = Khi (Hm3 (K(M ))) > c Chú ý 0:Hm3 (K(M )) mn Do ta Hm3 (K(M )) m-xoắn, tức Hm3 (K(M )) = chọn số nguyên n1 cho n≥0 (0:Hm3 (K(M )) xn1 ) > c Theo Chú ý 2.2.6, có dãy khớp → Hm2 (K(M ))/xn1 Hm2 (K(M )) → Hm2 (K(M )/xn1 K(M ) → (0:Hm3 (K(M )) xn1 ) → Suy Hm2 (K(M )/xn1 K(M )) > c Đặt M1 = M/xn1 M Khi đó, theo Bổ đề 2.2.5, ta có đẳng cấu Hm2 (K(M )/xn1 K(M )) ∼ = Hm2 (K(M1 ) Vì vậy, Hm2 (K(M1 )) > c Cho nên, tồn n2 ∈ N cho (0:Hm2 (K(M1 )) xn2 ) > c Theo Bổ đề 2.2.2 ta có xn2 f-phần tử chặt M1 nên theo Chú ý 2.2.6 có dãy khớp → Hm1 (K(M1 ))/xn2 Hm1 (K(M1 )) → Hm1 (K(M1 )/xn2 K(M1 )) → (0:Hm2 (K(M1 )) xn2 ) → 35 Suy Hm1 (K(M1 )/xn2 K(M1 )) > c Theo Bổ đề 2.2.5 ta lại có dãy khớp → K(M1 )/xn2 K(M1 ) → K(M1 /xn2 M1 ) → (0:K d−2 (M1 ) xn2 ) → Từ d ≥ , ta có dim(M1 /xn2 M1 ) ≥ Vì vậy, depth(K(M1 /xn2 M1 )) ≥ Vì (0:K d−2 (M1 ) xn2 ) có độ dài hữu hạn, nên từ dãy khớp có Hm1 (K(M1 )/xn2 K(M1 )) ∼ = Hm0 (0:K d−2 (M1 ) xn2 ) = (0:K d−2 (M1 ) xn2 ) Suy (0:K d−2 (M1 ) xn2 ) > c, theo Bổ đề 2.2.8 ta có Rl(Hmd−2 (M/xn1 M )) > c Như vậy, kết với k = Giả sử ≤ k ≤ d − Từ Hmk+2 (K(M )) > c, ta chọn số nguyên dương n1 cho (0:Hmk+2 (K(M )) xn1 ) > c Theo Bổ đề 2.2.5, có dãy khớp → Hmk+1 (K(M ))/xn1 Hmk+1 (K(M )) → Hmk+1 (K(M )/xn1 K(M )) → (0:Hmk+2 (K(M )) xn1 ) → Suy Hmk+1 (K(M )/xn1 K(M )) > c Vì k ≥ , theo Bổ đề 2.2.5 có đẳng cấu Hmk+1 (K(M )/xn1 K(M )) ∼ = Hmk+1 (K(M/xn1 M )) Đặt N = M/xn1 M Khi (k−1)+2 Hm (K(N )) > c, ≤ k − ≤ dim N − Cho nên, áp dụng giả thiết quy nạp số nguyên k − môđun N ta có Rl(Hmdim N −(k−1)−1 (N/(xn2 , , xnk k )N )) > c với số nguyên dương n2 , , nk Điều có nghĩa Rl(Hmd−k−1 (M/(xn1 , , xnk k )M )) > c Như Bổ đề chứng minh 36 Theo Ví dụ 2.3.2, dim M M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Trong trường hợp dim M ≥ 4, định lý sau kết [9], đưa đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc thơng qua khái niệm f-dãy chặt Kết khái quát hóa kết tương tự [10] mơđun Cohen-Macaulay tắc (xem Định lý 2.2.9) 2.3.7 Định lí Giả sử d ≥ Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc; d−3 (ii) Tồn số c(M ) cho Rl(Hmd−k−1 (Mx,k )) ≤ c(M ) với k=1 hệ tham số x = {x1 , , xd } M f-dãy chặt; (iii) Tồn hệ tham số x = {x1 , , xd } M f -dãy chặt d−3 số c(x, M ) cho n1 , , nd−3 ∈ N k=1 Rl(Hmd−k−1 (M/(xn1 , , xnk k )M )) ≤ c(x, M ) với Hơn nữa, (i), (ii), (iii) thỏa mãn d−3 d−3 Rl(Hmd−k−1 (Mx,k )) k k i ≤ (Hmi+2 (K(M ))) k=1 i=0 k=1 với hệ tham số x = {x1 , , xd } M f-dãy chặt Đẳng thức xảy d−4 x ⊆ m2 r , r = t ∈ N| mt Hmi (K(M )) = , ∀i < d Chứng minh Khẳng định (i) ⇒ (ii) suy trực tiếp từ Bổ đề 2.3.5 Khẳng định (ii) ⇒ (iii) hiển nhiên Bây chứng minh (iii) ⇒ (i) Giả sử {x1 , , xd } hệ tham số M f-dãy chặt, c(x, M ) số cho d−3 Rl(Hmd−k−1 (M/(xn1 , , xnk k )M )) ≤ c(x, M ) k=1 37 với n1 , , nd ∈ N Giả sử M Cohen-Macaulay suy rộng tắc Do K(M ) thỏa mãn điều kiện Serre (S2 ) K(M ) đẳng chiều nên từ [13, Lemma 3.2.1] ta suy (Hm1 (K(M ))) < ∞ với i ≤ Vì thế, tồn số nguyên k cho ≤ k ≤ d − Hmk+2 (K(M )) có độ dài vô hạn Điều kéo theo (Hmk+2 (K(M ))) > c(x, M ) với số nguyên ≤ k ≤ d − Do đó, theo Bổ đề 2.3.6 tồn số nguyên n1 , , nk cho Rl(Hmd−k−1 (M/(xn1 , , xnk k )M )) > c(x, M ) Điều mâu thuẫn Vì ta có điều phải chứng minh 38 KẾT LUẬN Với mục đích trình bày kết [9] đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc qua f-dãy chặt, luận văn hồn thành việc trình bày nội dung sau Một số kiến thức sở Đại số giao hoán liên quan đến việc trình bày nội dung luận văn (Chương 1) Mơđun tắc mơđun Cohen-Macaulay tắc (Mục 2.1) f-dãy chặt kết của [10] đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay tắc qua f-dãy chặt (Mục 2.2) Chứng minh chi tiết kết [9] đặc trưng môđun CohenMacaulay suy rộng tắc qua f-dãy chặt (Mục 2.3) 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phan Thị Thanh Hải (2010), Về f-dãy chặt, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường ĐH Vinh Tiếng Anh [2] M Brodmann and L T Nhan (2012), On Cohen-Macaulay canonical modules, J Algebra, 371, 480-491 [3] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [4] N T Cuong and L T Nhan (2003), On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules, J Algebra, 267, 156-177 [5] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2004), The finiteness of certain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions, J Pure Appl Algebra, 189: 109-121 [6] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2003), On the length of generalized fractions, J Algebra 265, no 1, 100-113 [7] S Goto (2016), Homological methods in commutative algebra, Lecture notes at the international schools held in 2016 at Thai Nguyen University 40 [8] M Hochster (1973), Contraced ideals from integral extensions of regular rings, Nagoya Math J., 51, 25-43 [9] N T H Loan and L T Nhan (2013), On generalized Cohen-Macaulay canonical modules, Comm Algebra, 41, no 12, 4453-4462 [10] L T Nhan (2006), A remark on the monomial conjecture and CohenMacaulay canonical modules, Pro AMS., 134, no 10, 2785-2794 [11] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11 [12] R Y Sharp and M A Hamieh (1985), Lengths of certain generalized fractions, J Pure Appl Algebra, 38, 323-336 [13] P Schenzel (1982), Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum Ringe, Lecture Notes in Math 907, Berlin- Heidelberg- New York, Springer- Verlag [14] P Schenzel (1996), On the use of local cohomology in algebra and geometry, in: Lectures at the Summmer School of Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Ballaterra, Birkhăauser, Basel [15] P Schenzel (2004), On birational Macaulayfications and CohenMacaulay canonical modules, J Algebra, 275, 751-770 ... mơđun Cohen- Macaulay tắc mơđun Cohen- Macaulay suy rộng tắc Do đó, mơđun Ví dụ 2.1.10 mơđun Cohen- Macaulay suy rộng tắc (2) Nếu dim M ≤ M Cohen- Macaulay suy rộng M Cohen- Macaulay suy rộng tắc (3)... (0) Cohen- Macaulay suy rộng, với UM (0) môđun lớn M có chiều bé dim M M mơđun Cohen- Macaulay suy rộng tắc Đặc biệt, môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy môđun giả Cohen- Macaulay suy rộng đưa [4] môđun. .. trưng môđun Cohen- Macaulay môđun CohenMacaulay suy rộng 1.6.2 Mệnh đề (i) M môđun Cohen- Macaulay depthR (M ) = dimR (M ) (ii) M môđun Cohen- Macaulay Hmi (M ) = với i = dim M (ii) M môđun Cohen- Macaulay