Tích chất mở rộng tương đẳng đối với các nửa nhóm iđêan

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH LẠI THỊ HƢƠNG LAN TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƢƠNG ĐẲNG ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHÓM IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An 2011 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tương đẳng nửa nhóm thương 1.2 Nửa nhóm xyclic 1.3 Băng nửa dàn Nửa nhóm giao hốn 10 Chƣơng Nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng mở rộng iđêan 2.1 Nửa nhóm giao hốn với tính chất mở rộng iđêan 18 18 2.2 Nửa nhóm giao hốn iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng 22 2.3 Nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng iđêan 29 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 LỜI NĨI ĐẦU Khái niệm nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng đưa A R Stralka năm 1972 Nửa nhóm S gọi có tính chất mở rộng tương đẳng (CEP) thoả mãn điều kiện: với nửa nhóm T S tương đẳng  T, tồn tương đẳng  S cho   (T  T )   Từ đến nay, nhiều lớp nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng nghiên cứu: nửa nhóm xyclic, nửa nhóm giao hốn Luận văn chúng tơi dựa báo The congruence extention property for algebraic semigroups tác giả I J Garcia đăng tạp chí Semigroup Forum số 43 năm 1991 (xem [7]) để tìm hiểu lớp nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng, lớp nửa nhóm thoả mãn định nghĩa sau: Nửa nhóm S gọi nửa nhóm iđêan với tương đẳng  S tồn iđêan I S cho   ( I  I )   S ,  S tương đẳng đồng S: (a, b)   S  a  b Ngồi ra, chúng tơi tìm hiểu lớp nửa nhóm có tính chất mở rộng iđêan nghĩa lớp nửa nhóm thoả mãn định nghĩa : Nửa nhóm S gọi có tính chất mở rộng iđêan (IEP) với nửa nhóm T S iđêan I T tồn iđêan J S cho I  J  T Luận văn chia làm hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm lý thuyết nửa nhóm: tương đẳng nửa nhóm thương, nửa nhóm xyclic, băng nửa dàn để làm sở cho việc trình bày chương sau Chương Nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng tính chất mở rộng iđêan Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày nửa nhóm giao hốn nửa nhóm giao hốn iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng Sau chúng tơi trình bày nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng iđêan Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán người thầy hướng dẫn, dạy tận tình để tơi hồn thành luận văn Trong trình học tập viết luận văn, tơi nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo, cô giáo Bộ môn Đại số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh Khoa Đào Tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh bạn lớp cao học 17 chuyên ngành Đại số lý thuyết số Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục Đào tạo Thanh Hoá, Ban giám hiệu, tổ toán đồng nghiệp trường THPT Trần Phú, gia đình người thân chia sẻ, giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập luận văn tốt nghiệp cuối khoá Cuối cùng, khả hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy giáo, cô giáo tất bạn để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tƣơng đẳng nửa nhóm thƣơng 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm  quan hệ S Khi  gọi ổn định bên phải (trái) a  b (a,b S) kéo theo ac  bc (ca  cb), với c S Quan hệ  gọi tương đẳng phải (trái)  quan hệ tương đương ổn định phải (trái) Quan hệ  gọi tương đẳng S  vừa tương đẳng phải, vừa tương đẳng trái 1.1.2 Nửa nhóm thƣơng Giả sử  tương đẳng nửa nhóm S Khi  quan hệ tương đương S, xét tập thương S /  , tức tập lớp tương đương S theo mod  Giả sử A, B hai phần tử tuỳ ý S /  Nếu a ,a  A b ,b  B Khi từ a  a suy a b  a b (vì  ổn định bên phải) Từ b  b suy a b  (vì  ổn định bên trái) Theo tính chất bắc cầu  suy a b  a b Do đó, tích AB lớp A B chứa lớp tương đương C Định nghĩa phép nhân (  ) S /  cách đặt A  B = C Từ tính chất kết hợp S suy tính kết hợp S /  , S /  trở thành nửa nhóm Nửa nhóm S /  gọi nửa nhóm thương S theo mod  Nếu S nửa nhóm giao hốn S /  nửa nhóm giao hốn Nếu S vị nhóm với đơn vị e S /  vị nhóm với đơn vị e  Ta ký hiệu a  (a  S) lớp tương đương theo mod  chứa a Điều nói định nghĩa phép tốn (  ) có nghĩa đơn giản a   b  = (ab)  với a,b  S 1.1.3 Đồng cấu Giả sử  : S  S’ ánh xạ từ nửa nhóm S vào nửa nhóm S’ Khi  gọi đồng cấu nửa nhóm  (ab)   (a). (b) , với a, b  S Giả sử  tương đẳng nửa nhóm S Khi ánh xạ tự nhiên   từ S lên S /  xác định   (a) = a  đồng cấu nửa nhóm, gọi đồng cấu tự nhiên (hay tắc) từ nửa nhóm S lên nửa nhóm S / Như vậy, nửa nhóm thương nửa nhóm S ảnh đồng cấu Định lý sau chứng tỏ rằng, đảo lại, ảnh đồng cấu nửa nhóm S đẳng cấu với nửa nhóm thương Như vậy, ta khơng phân biệt nửa nhóm đẳng cấu với nhau, tốn bên ngồi việc tìm tất ảnh đồng cấu nửa nhóm S cho chuyển tốn bên tìm tất tương đẳng S 1.1.4 Định lý (Định lý đồng cấu) Giả sử  đồng cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm S’ giả sử    1   , nghĩa a  b (a,b S)  (a)   (b) Thế  tương đẳng S tồn đẳng cấu  từ nửa nhóm S /  lên S’ cho         đồng cấu tự nhiên từ S lên S /  Chứng minh Nếu a  b c S  (ac)   (a) (c)   (b) (c)   (bc) , từ ac  bc Tương tự, ca  cb Vì  hiển nhiên quan hệ tương đương S, nên tương đẳng Đối với phần tử A thuộc nửa nhóm S /  , ta đặt  (a)   (a1 ) , a1  A Để chứng tỏ  ánh xạ (từ S /  vào S’), ta ý a2  A a  a  (a1 )   (a2 ) Vì  ánh xạ từ S lên S’ nên  ánh xạ từ S /  lên S’ Ta chứng tỏ  đồng cấu Giả sử A, B  S /  a  A b  B Thế ab AB, nên  ( AB)   (ab)   (a) (b) Mặt khác  (a)   (b)   (a) =  (b) Từ a  b A = B Như vậy đẳng cấu từ S /  lên S’ Nếu a  A  S/    (a)  A Thành thử  (a)   (a)   (   (a))      (a) Vì điều với a  S nên ta kết luận       □ 1.1.5 Chú ý Giả sử H nhóm nhóm G, quan hệ  G, xác định a  b (a,b  G) ab 1  H, tương đẳng phải G, tương đẳng phải G thu cách Các lớp tương đương  tập Ha với a  G Quan hệ  tương đẳng H chuẩn tắc G Trong trường hợp S nửa nhóm tuỳ ý, tương đẳng nói chung khơng xác định lớp lớp (hoặc “hạt nhân”) nhóm Tuy nhiên, có số loại tương đẳng xác định Chẳng hạn, tương đẳng  mà S /  nhóm (hoặc nhóm với phần tử không) xác định lớp phần tử đơn vị nhóm (hoặc nhóm với phần tử không) 1.1.6 Định lý (Định lý đồng cấu cảm sinh) Giả sử 1  đồng cấu từ nửa nhóm S tương ứng lên nửa nhóm S1 S cho 11  1  2 1  2 Thế tồn đồng cấu  từ S1 lên S cho   1  2 Chứng minh Giả sử a1  S1 a phần tử thuộc nửa nhóm S cho 1 (a)  a1 Đặt  (a1 )  2 (a1 ) Nếu 1 (b)  a1 (b  S) (a,b) 11  1  2 1  2 , từ 2 (a)  2 (b)  ánh xạ (đơn trị) Hiển nhiên   1  2 Ta chứng tỏ  đồng cấu Ta có  1 (a).1 (b)   1 (ab)  2 (ab) = 2 (a).2 (b)   1 (a). 1 (b) Tính  hiển nhiên Thật vậy,  thoả mãn hệ thức   1  2 bắt buộc phải xác định làm trên.□ 1.1.7 Hệ Nếu 1  tương đẳng nửa nhóm S cho 1   S /  ảnh đồng cấu S / 1 Chứng minh Giả sử 1  1 , 2  2 , S1  S / 1 , S2  S / 2 Vì 1  11  1 2  2 1  2 nên từ 1   suy 11  1  2 1  2 Theo Định lý 1.1.6, tồn đồng cấu  từ nửa nhóm S1 lên nửa nhóm S □ 1.1.8 Nguyên tắc ảnh đồng cấu tối đại kiểu cho Dễ thấy giao họ tuỳ ý tương đẳng nửa nhóm S tương đẳng S Nguyên tắc sau Tamura Kimura nêu lên năm 1954 1.1.8.1 Mệnh đề Giả sử c tính chất trừu tượng nửa nhóm, tức tính chất cho hai nửa nhóm đẳng cấu với có tính chất c nửa nhóm có tính chất Ta nói tương đẳng  nửa nhóm S có kiểu c S /  có tính chất c Giả thiết giao  tất tương đẳng  S có kiểu c có kiểu c Thế S/  ảnh đồng cấu tối đại S có tính chất c ảnh đồng cấu nửa nhóm S có tính chất c ảnh đồng cấu nửa nhóm S /  Chứng minh Nếu T ảnh đồng cấu nửa nhóm S có tính chất c , theo Định lý đồng cấu nửa nhóm, có T  S /  , với tương đẳng  S Vì theo giả thiết, S /  có tính chất c tính chất trừu tượng, nên c Do  có kiểu c, từ    theo định nghĩa  Theo Hệ Định lý 1.1.6, ta có S /  ảnh đồng cấu S /  T ảnh đồng cấu S /  □ 1.1.8.2 Chú ý Xem ví dụ áp dụng nguyên tắc trên, ta ý tới kiện sau: (1) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu nửa nhóm tối đại (2) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu giao hốn tối đại Có thể thay (2) từ “giao hoán “ từ “luỹ đẳng “với luật giản ước” tổ hợp tuỳ ý ba tính chất Cho đến việc khảo sát thành cơng trường hợp “giao hốn luỹ đẳng” Đó kiểu thứ Tamura Kimura xét năm 1954 Tuy nhiên, cần lưu ý khơng phải nửa nhóm có ảnh đồng cấu nhóm tối đại (Kimura điều báo vào năm 1958) 1.1.9 Tƣơng đẳng sinh quan hệ cho trƣớc Vì tương đẳng có vai trị quan trọng lý thuyết nửa nhóm, người ta thường quan tâm đến việc xây dựng tương đẳng thoả mãn số tính chất Sau ta nêu lên cách xây dựng tương đẳng sinh quan hệ cho trước Giả sử 0 quan hệ tuỳ ý nửa nhóm S, tồn tương đẳng S chứa 0 , quan hệ phổ dụng   SxS Do đó, tồn giao  tất tương đẳng S chứa 0 , ta gọi  tương đẳng sinh quan hệ 0 Ta mô tả  cách chi tiết Giả sử 1  0  0 1  i Đặt a  b (a,b  S) a = xcy, b = xdy c1d với c, d thuộc S x, y thuộc S  S  1 Ta gọi việc chuyển từ a đến b ngược lại 0 - bắc cầu sơ cấp Rõ ràng quan hệ  phản xạ, đối xứng ổn định, 0  1  2   Cuối cùng, bao đóng bắc cầu  2t quan hệ  tương đẳng S chứa   Như vậy, a  b tồn phần tử c1, c2, , cn  S cho a2c1 , c12c2 , , cn  2b Ta tóm tắt điều nói vào định lý sau 1.1.10 Định lý Giả sử 0 quan hệ nửa nhóm S  tương đẳng S, sinh 0 Thế a  b (a,b  S) b thu từ a dãy hữu hạn 0 - bắc cầu sơ cấp 1.2 Nửa nhóm xyclic 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm a phần tử tuỳ ý S Khi nửa nhóm  a  S gồm tất luỹ thừa nguyên dương a  a  = { a, a , a , }, gọi nửa nhóm xyclic S sinh a Trong trường hợp S =  a  S gọi nửa nhóm xyclic sinh a a gọi phần tử sinh Cấp a định nghĩa cấp nửa nhóm xyclic  a  Với a  S có hai khả xảy i) Hoặc luỹ thừa a khác nhau, a có cấp vơ hạn (đếm được) ii) Hoặc tồn số nguyên r s với r < s cho a r  a s Khi a có cấp hữu hạn Giả sử s số nguyên dương bé cho a S luỹ thừa phần tử a luỹ thừa bé phần tử Thế a r  a s , với r bé s (r số ngun dương có tính chất này) Đặt m = s - r, a r  a m  r Trong trường hợp m gọi chu kỳ, r số phần tử a hay nửa nhóm xyclic hữu hạn  a  1.2.2 Mệnh đề Giả sử a phần tử nửa nhóm S  a  nửa nhóm xyclic sinh a Nếu  a  nửa nhóm xyclic vơ hạn luỹ thừa phần tử a khác Nếu  a  nửa nhóm xyclic hữu 26 lại cho (3), áp dụng Bổ đề 2.1.3 để thấy S có CEP Mỗi hai khả cịn lại C(0) có cấp nhỏ nên C(0) có CEP Bây điều kiện (3) MƯnh ®Ị 2.1.8 S, rõ ràng C(0) nửa nhóm zero cấp hai S thoả mãn điều kiện cịn lại Bổ đề 2.1.3 Từ trường hợp S có CEP Cuối cùng, C(0) nửa nhóm xyclic cấp ba với luỹ đẳng zero, giả sử c  E \ 0 Do điều kiện (3) MÖnh ®Ò 2.1.8, ex = x ex = x  C (0)  y, y ,0 Khi e.y = y e.y2 =(e.y).y = y.y = y2 e.y = e.y2 = 0.y = Điều chứng tỏ điều kiện cuối Bổ đề 2.2.3 thoả mãn S có CEP tất trường hợp Như vậy, (3) kéo theo (2).□ Nói chung, tính chất “là nửa nhóm iđêan” khơng di truyền Bằng cách sử dụng kết đạt chứng minh rằng: Một nửa nhóm iđêan giao hốn S có CEP nhóm S nửa nhóm iđêan Giả sử S nửa nhóm mà  H thứ tự phận Đối với cặp H - so sánh tuỳ ý phần tử a, b  S , ký hiệu [a,b] = {x  S:a  Hx  Hb} Độ dài chuỗi từ a đến b bao gồm k phần tử định nghĩa k -1 Nếu tồn chuỗi với độ dài n từ a đến b khơng cịn chuỗi có độ dài lớn n nữa, ta nói đoạn [a,b] có độ dài n ký hiệu l [a,b] = n Nếu S có phần tử zero, x  S cho l0, x  n   , ký hiệu độ cao h ( x)  l0, x  n Chúng ta sử dụng ký hiệu độ cao độ dài để đưa mô tả chi tiết nưả nhóm iđêan với tính chất mở rộng iđêan tính chất mở rộng tương đẳng tương ứng hai kết sau 2.2.5 Định lý Giả sử S nửa nhóm Thế S nửa nhóm 27 iđêan với tính chất mở rng iđêan nu v ch nu cỏc iu kin sau thoả mãn:  (a) S  C (0) E \ 0 (b) S H - quạt cho độ cao h( x)  tất x  C (0) (c) Mỗi e  E \ 0 phần tử H - cực đại phần tử H cực đại S luỹ đẳng Chứng minh Giả sử S nửa nhóm iđêan với IEP Chúng ta chứng tỏ (a) - (c) Bằng cách áp dụng MƯnh ®Ị 2.1.9, cần chứng minh độ cao h ( x)  tất x  C (0) Theo Mệnh đề 2.2.1,  H x  tất x  C (0) Từ độ cao h ( x)  3, x  C(0) Đảo lại, giả thiết (a) - (c) thoả mãn Chúng ta chứng tỏ điều kiện MƯnh ®Ị 2.1.9 thoả mãn để kết luận S nửa nhóm iđêan Chúng ta cần chứng minh x║H y, x  He y  He với e  E \ 0 Theo (b), H - chuỗi C(0) (và S) hữu hạn Do ta chọn phần tử H - tối đại phân biệt phần tử H - song song x y Do (c), phần tử luỹ đẳng Từ tồn luỹ đẳng H - tối đại e cho e  Hx e  Hy Như S nửa nhóm iđêan Để chứng tỏ S có IEP, chứng minh  x có ba dạng cho Mệnh đề 2.2.1 x  C (0) Giả sử x  C (0) Theo giả thiết, độ cao h ( x)  Nếu độ cao h(x) =  x  0 Nếu độ cao h(x) =  x  0, x nửa nhóm zero với cấp hai x khơng phải luỹ đẳng Cuối cùng, giả thiết độ cao h(x) = Trong trường hợp này, ta ký hiệu  x  0, y, x < H y < H x Áp dụng Hệ 2.1.4 (3) ta nhận yx = = y2 Như vậy, tất tích cách loại trừ x2 số phần tử  H x zero 28 Ta lại có x  x x2 = 0, nhận xét trước, S nửa nhóm Zero với cấp ba nên khơng phải nửa nhóm iđêan Từ kết luận x2 = y, 0, x, x2 phần tử phân biệt  H x nửa nhóm xyclic cấp ba với luỹ đẳng zero Điều hoàn thành việc chứng minh S có IEP Do đó, S nửa nhóm iđêan với IEP □ 2.2.6 Định lý Giả sử S nửa nhóm giao hốn Thế S nửa nhóm iđêan với tÝnh chÊt më rộng t-ơng đẳng nu v ch nu cỏc iu kin sau thoả mãn:  (a) S  C (0) E \ 0 (b) S H - quạt cho C(0) H - chuỗi với độ dài (C(0))  (c) Mỗi e  E \ 0 phần tử H - tối đại phần tử H - tối đại không luỹ đẳng Chứng minh Giả sử S nửa nhóm iđêan với CEP Chúng ta chứng tỏ (a) - (c) thoả mãn Bằng cách áp dụng MƯnh ®Ị 2.1.9 , cần chứng tỏ C(0) H- chuỗi với độ dài (C(0))  Theo Hệ 2.1.4, C(0) H - chuỗi C (0)  Từ đó, độ dài (C(0))  (a) (c) phải Đảo lại, giả thiết (a) - (c) S Vì C(0) H - chuỗi với độ dài (C(0))  nên độ cao h ( x)  với x  C (0) Từ đó, điều kiện (a) - (c) MƯnh ®Ị 2.1.5 thoả mãn nên S nửa nhóm iđêan với IEP Hơn nữa, C(0) H - chuỗi, nên áp dụng Hệ 2.2.4 để kết luận S có CEP Do đó, S nửa nhóm iđêan với CEP □ 2.3 Nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng iđêan Ta nhắc lại rằng: Nửa nhóm S gọi có tính chất mở rộng iđêan (IEP) thoả mãn điều kiện: nửa nhóm T S iđêan I T tồn iđêan J S cho J  T  I 29 2.3.1 Mệnh đề Một nửa nhóm S có tính chất mở rộng iđêan nửa nhóm S có tính chất mở rộng iđêan Chứng minh Nếu nửa nhóm S có IEP rõ ràng S có IEP Giả thiết S có IEP T nửa nhóm S Giả sử K nửa nhóm T I iđêan K Vì K nửa nhóm S S có IEP, nên tồn iđêan J S cho J  K  I Khi J  T iđêan T J  T  K  J  K  I Suy T có IEP.□ 2.3.2 Ví dụ Để thấy nửa nhóm (,) khơng có tính chất mở rộng iđêan (IEP), giả sử T = {2,3, } I = {2,4,5, } Thế T nửa nhóm N I iđêan T Giả thiết tồn iđêan J N cho J  T  I Thế  I  J 1 N Như    J Chúng ta nhận  J  T  I Mâu thuẫn chứng tỏ (,) IEP Như hệ Mệnh đề 2.1.2, ta thấy nửa nhóm cộng H  0,  khơng có tính chất mở rộng iđêan, ( ,) nửa nhóm H (,) khơng có tính chất iđêan mở rộng 2.3.3 Mệnh đề Ảnh đồng cấu nửa nhóm với tính chất mở rộng iđêan (IEP) có tính chất mở rộng iđêan Chứng minh Giả sử  : S  S  đồng cấu từ nửa nhóm S với IEP lên nửa nhóm S* Giả sử T* nửa nhóm S* giả sử I* iđêan T* Thế T   1 (T * ) nửa nhóm S I   1 ( I * ) iđêan T Vì S có IEP nên tồn iđêan J S cho J  T  I Giả sử J *   ( J ) Thế  tồn cấu nên J iđêan * S* Để hoàn thành phép chứng minh, ta cần chứng tỏ J   T *  I  30 Giả sử x  J* T Thế  1 ( x)  J  1 ( x)  T Do đó,  1 ( x)  J  T  I Suy x   ( I )  I  Giả sử y  I * Thế  1 ( y)  I  J  T Như y  ( J  T )   ( J )   (T ) (vì  tồn ánh) = J * T  Vậy J   T *  I  từ S* có IEP □ 2.3.4 Định nghĩa ký hiệu a) Giả sử S nửa nhóm T nửa nhóm S Với a  T , ta ký hiệu JT(a) iđêan T sinh a, nghĩa JT (a)  T 1aT  a aT  Ta  TaT b) Nửa nhóm S gọi có tính chất mở rộng iđêan (PIEP) thoả mãn điều kiện: với nửa nhóm T S a  T có J T (a)  J S ( a)  T 2.3.6 Định lý Giả sử S nửa nhóm Thế S có tính chất mở rộng iđêan (IEP) S có tính chất mở rộng iđêan (PIEP) Chứng minh Giả thiết S có tính chất iđêan chính, giả sử T nửa nhóm S I iđêan T Giả sử J   JS (a) Thế J aI iđêan S J  T  ( JS (a))  T   ( J S (a)  T )   J T (a)  I aI aT aI Vậy S có tính chất mở rộng iđêan Mặt khác, giả thiết S có tính chất mở rộng iđêan, giả sử T nửa nhóm S a  T Thế thì, JT(a) iđêan T nên tồn iđêan I S cho I  T  JT (a) Vì a  I nên JS (a)  I , từ J S (a)  T  I  T  JT (a) Ta lại có JT (a)  T 1aT  S 1aS1  J S (a) nên JT (a)  J S (a)  T Từ JT (a)  J S (a)  T S có tính chất mở rộng iđêan □ 31 Ta nhắc lại S tập hợp tuỳ ý  S ký hiệu quan hệ S, nghĩa (a, b)   S a = b ( a, b  S ) 2.3.7 Định nghĩa a) Một tương đẳng  nửa nhóm gọi tương đẳng iđêan tồn iđêan I S cho   ( I  I )   S b) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm iđêan tương đẳng S tương đẳng iđêan 2.3.8 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm iđêan Khi đó: (1) S có phần tử (2) Nếu  tương đẳng S,   ( I  I )   S , I  x  S : ( x,0)   Chứng minh Để chứng minh (1), ta nhận thấy  S  (s, s) : s  S tương đẳng S Vì S nửa nhóm iđêan, nên tồn iđêan I S cho  S  ( I  I )   S Như I  I  S I  I  (0,0) Ta kết luận I  0 S có phần tử zero Để chứng minh (2), giả sử  tương đẳng S Thế thì, S nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan I S cho   ( I  I )   S Giả sử J  x  S : ( x,0)   Thế J iđêan S J  I Để hoàn thành phép chứng minh, chứng tỏ I  J Giả sử x  I Thế ( x,0)  I  I   Do x  J □ 2.3.9 Mệnh đề Ảnh đồng cấu nửa nhóm iđêan nửa nhóm iđêan Chứng minh Giả sử S nửa nhóm iđêan,  : S  T đồng cấu từ S lên nửa nhóm T  tương đẳng T Định nghĩa   ( x, y)  S  S : ( ( x), ( y))   Thế  tương đẳng S Vì S 32 nửa nhóm iđêan nên   ( I  I )   S iđêan I S Giả sử J   (I ) Thế J iđêan T Chúng ta khẳng định   ( J  J )  T Giả thiết ( ( x), ( y))  Thế ( x, y)   Nếu x = y, ( x, y)  T Nếu x  y , ( x, y)  I  I ( ( x), ( y))  J  J Suy   ( J  J )  T Mặt khác, giả sử (a, b)  J  J Thế a   (x) b   ( y) ( x, y)  ( I  I ) Như ( x, y)   (a, b)   Suy   ( J  J )  T T nửa nhóm iđêan □ *B©y giê ta xÐt tính chất mở rộng tương đẳng nửa nhóm iđêan 2.3.10 Mệnh đề Mỗi nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng có tính chất mở rộng iđêan Chứng minh Giả sử S nửa nhóm iđêan với CEP, T nửa nhóm S I iđêan T Thế   ( I  I )  T tương đẳng T Vì S có CEP nên tồn mở rộng   S Vì S nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan J S cho   ( J  J )   S Vì     (T  T ) nên I  J  T , từ suy S có IEP □ 2.3.11 Ví dụ Ta đưa ví dụ nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng iđêan khơng có tính chất mở rộng tương đẳng Giả sử S  1,2,3,4,5 nửa nhóm với bảng nhân Cayley 1 1 1 1 1 1 1 1 33 Giả sử T  1,2,3 Thế T nửa nhóm S, quan hệ  xác định   (2,3), (3,2) T tương đẳng T, tương đẳng S sinh  chứa cặp (2,1) = (5,5)(2,3) Như thu hẹp T khơng phải  2.3.12 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm iđêan Thế S có tính chất mở rộng tương đẳng nửa nhóm S nửa nhóm iđêan Chứng minh Giả sử S có tính chất mở rộng iđêan nửa nhóm S nửa nhóm iđêan Chúng ta khẳng định S có tính chất mở rộng tương đẳng Thật vậy, giả sử T nửa nhóm S  tương đẳng T Thế T nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan I T cho   ( I  I )  T Vì S có tính chất mở rộng iđêan nên tồn iđêan J S cho J  T  I Giả sử   ( J  J )   S Thế  mở rộng tương đẳng  lên S, từ S có tính chất mở rộng tương đẳng Giả thiết S có tính chất mở rộng tương đẳng Thế S có tính chất mở rộng iđêan theo Mệnh đề 2.1.10 Giả sử T nửa nhóm S  tương đẳng T Thế S có tính chất mở rộng tương đẳng nên tồn mở rộng  lên S Vì S nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan J S cho   ( J  J )  S Giả sử I  J  T Thế I iđêan T   ( I  I )  T Từ T nửa nhóm iđêan.□ 2.3.13 Ví dụ Ví dụ sau chứng tỏ tồn nửa nhóm thoả mãn điều kiện nửa nhóm nửa nhóm iđêan nửa nhóm cho khơng có tính chất mở rộng tương đẳng Giả sử S  1,2,3,4,5 nửa nhóm với bảng nhân 1 1 34 1 3 1 1 5 1 Bằng tính tốn cụ thể chứng tỏ nửa nhóm S nửa nhóm iđêan Nửa nhóm S khơng có tính chất mở rộng tương đẳng S khơng có tính chất mở rộng iđêan Thật vậy, xét nửa nhóm T  1,2,3   1,5, 5,1 T Thế  tương đẳng T Vì 2,2   S 1,5   nên 2.1,2.5  hay 1,3    tương đẳng S sinh  Như vậy, 1,3   T  T  , 1,3   Suy  khơng mở rộng tới S, S khơng có tính chất mở rộng tương đẳng Ta nhắc lại rằng: nửa nhóm S gọi nửa nhóm - đơn S có phần tử zero S có hai iđêan {0 } S 2.3.14 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm iđêan Thế S có hai tương đẳng (  S S  S ) S - đơn Chứng minh Trước hết giả thiết S nửa nhóm - đơn  tương đẳng S Vì S nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan S cho   ( I  I )   S Vì S - đơn nên I  0 I = S Nếu I  0    S Nếu I = S   S  S Đảo lại, giả thiết S có hai tương đẳng  S S  S Giả sử I iđêan S Thế   I  I   S tương đẳng S Vì S có hai tương đẳng  S S  S , nên   S   S  S Nếu   S I  0 Nếu   S  S I = S 35 Do S nửa nhóm - đơn □ 2.3.15 Định nghĩa Một phần tử a nửa nhóm S gọi phần tử nhiễu xạ tồn nửa nhóm T S chứa a JT (a)  J S (a)  T (chứa thực sự), JT (a)  T 1aT Từ Mệnh đề 2.1.6 định nghĩa 2.1.15 suy 2.3.16 Hệ Ba điều kiện sau nửa nhóm S tương đương: i) S có tính chất mở rộng iđêan ii) S có tính chất mở rộng iđêan iii) S khơng có phần tử nhiễu xạ 2.3.17 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm giao hốn T nửa nhóm S Thế khơng có phần tử quy T phần tử nhiễu xạ T Chứng minh Giả sử r phần tử quy T giả sử t  T cho rtr = r Giả sử p  J S (r )  T Thế p = sr với s  S p  T Do đó, p t r = s r t r = s r = p Vì p, t  T nên p  JT (r ) từ JT (r )  J S  T Do r khơng phải phần tử nhiễu xạ T □ Vì phần tử luỹ đẳng phần tử quy (e2 = e suy e.e.e = e ) nên từ Mệnh đề 2.1.17 trực tiếp suy 2.3.18 Hệ Khơng có phần tử luỹ đẳng nửa nhóm giao hốn phần tử nhiễu xạ nửa nhóm 2.3.19 Mệnh đề Một nửa nhóm giao hốn với tính chất mở rộng tương đẳng có tính chất mở rộng iđêan Chứng minh Giả thiết S khơng có tính chất mở rộng iđêan Khi S chứa phần tử nhiễu xạ a nên theo Hệ 2.1.16 tồn nửa nhóm T S cho JT (a) chứa thực J S a   T 36 Giả sử s  S cho sa  T sa  ta, t  T Vì a nhiễu xạ nên theo Hệ 2.1.18, a phần tử luỹ đẳng a, a  T  T Khi sa  T sa2  (sa)a  T nên sa, sa2  S a, a   T  T  ,  S a,a  tương đẳng S sinh cặp (a,a2) Theo đặc trưng  T a,a  điều kiện sa  ta, t  T sa  sa2 nên  - bắc cầu T với sa với sa2 Suy sa, sa  a, a  T  S a, a   T  T    T a, a  Mâu thuẫn với giả thiết S có tính chất mở rộng tương đẳng Vậy S phải có tính chất mở rộng iđêan □ 2.3.20 Ví dụ a) Ví dụ sau chứng tỏ nửa nhóm iđêan chứa nửa nhóm khơng phải nửa nhóm iđêan Giả sử S  1,2,3,4,5 nửa nhóm với bảng nhân 1 1 1 1 1 1 1 Khi S nửa nhóm iđêan (Xem ví dụ 2.1.11) Giả sử T  1,2,3 nửa nhóm S Thế iđêan T phải chứa Giả sử   2,3, 3,2 T Thế  tương đẳng T   I  I   T iđêan tuỳ ý I T Do T khơng phải nửa nhóm iđêan b) Ví dụ sau chứng tỏ tính bắc cầu “lớp nửa nhóm iđêan khơng đóng kín phép lấy tích trực tiếp “ Giả sử T1  1,2 nửa nhóm với bảng nhân 1 37 T2  1,2,3 với bảng nhân S  T1  T2 Giả sử 1 1 2 a  1,1, b  1,2, c  1,3, d  2,1, e  2,2, f  2,3 Thế bảng nhân S a a a a a a a a b a a b a b c a b c a a a a a a a a b a a b a b c a b c Mỗi nửa nhóm T1 T2 nửa nhóm iđêan Xét  S e, f  nhận xét với iđêan K S chứa a Nói riêng, e  K a, e K  K  Hơn nữa, a, e S e, f  Do S khơng phải nửa nhóm iđêan c) Ví dụ sau minh hoạ rằng: lớp nửa nhóm với tính chất mở rộng iđêan khơng khép kín tích trực tiếp Giả sử S  1,2 nửa nhóm với bảng nhân T  1,2,3 nửa nhóm với bảng nhân 1 1 1 1 1 Khi S T có tính chất mở rộng iđêan Trong S  T ký hiệu a = (1, 1), b = (1, 2), c = (1, 3), d = (2, 1), e = (2, 2), f = (2, 3) 38 Bảng nhân S  T cho a a a a a a a a a a a a a b c a b c a a a a a a a a a a a a a b c a b c Xét nửa nhóm U  a, b, d , e S T I  a, e Thế I iđêan U Giả sử J iđêan tuỳ ý S T J  I Thế e  J c  S  T nên c.e  b  J Do b  J  U với b  I , mâu thuẫn với J  I Chứng tỏ S T khơng có tính chất mở rộng iđêan d) Sau ví dụ nửa nhóm xyclic khơng phải nửa nhóm iđêan Cho nửa nhóm xyclic S  a, a  M (S )   Khi index (S )  Giả sử    a ,a  Thế   a , a , a , a , a , a , a , a     I  I    M ( S )  a3  a , a , a5 , a S 6 S S Do S khơng phải nửa nhóm iđêan S với iđêan I 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Hệ thống khái niệm tính chất tương đẳng nửa nhóm thương, nửa nhóm xyclic, băng nửa dàn, nửa nhóm giao hốn Trình bày khái niệm nửa nhóm với tính chất mở rộng iđêan chứng minh kết mơ tả cấu trúc nửa nhóm giao hốn với tính chất mở rộng iđêan (Mệnh đề 2.1.10) Trình bày khái niệm nửa nhóm với tính chất mở rng tng ng Chứng minh kết mô tả cÊu tróc cđa nưa nhãm giao ho¸n với tính chất mở rộng tương đẳng (Hệ 2.2.4, §ịnh lý 2.2.5, §ịnh lý 2.2.6) Trình bày số tính chất nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng iđêan (Mệnh đề 2.3.10, Mệnh đề 2.3.12, Mệnh đề 2.3.19) 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT 1 A H Cliphớt G B Prestơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội 2 Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội 3 Lê Quốc Hán (2009), Lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết nhóm, Đại học Vinh TIẾNG ANH 4 K D Aucoin (1995), The structure of commutative ideal semigroups, Semigroup Forum 50, 295-300 5 K D Aucoin (1999), The structure of commutative semigroups with the ideal extention property, Semigroup Forum 58, 175-189 6 A H Clifford (1950), Extentions of semigroups, Trans Amer Math Soc 68, 165-173 7 I J Garcia (1991), The congruence extention property for algebraic semigroups, Semigroup Forum 43, 1-18 8 A R Stralka (1972), Extending congruences on Semigroups, Trans Amer Math Soc 166, 147-161 ... Tương đẳng nửa nhóm thương 1.2 Nửa nhóm xyclic 1.3 Băng nửa dàn Nửa nhóm giao hốn 10 Chƣơng Nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng mở rộng iđêan 2.1 Nửa nhóm giao hốn với tính chất mở. ..  J )  T T nửa nhóm iđêan □ *B©y giê ta xÐt tính chất mở rộng tương đẳng nửa nhóm iđêan 2.3.10 Mệnh đề Mỗi nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng có tính chất mở rộng iđêan Chứng minh... nên  tương đẳng S mở rộng  Như ta kết luận S có CEP □ Theo [4], nửa nhóm giao hốn với tính chất mở rộng tương đẳng có tính chất mở rộng iđêan nửa nhóm iđêan S có tính chất mở réng tương đẳng