Tương đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh

1 Mục lục Trang Lời nói đầu Ch-ơng I Các khái niệm nửa nhóm 1.1 Nửa nhóm quan hệ tập.4 1.2 Băng nửa dàn Ch-ơng II T-ơng đẳng nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh 11 2.1 Một số kết nửa nhóm giao hoán 11 2.2 T-ơng đẳng nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh13 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo.28 Lời nói đầu T-ơng đẳng khái niệm lý thuyết nửa nhóm Thông qua việc mô tả t-ơng đẳng lớp nửa nhóm hiểu đ-ợc sâu sắc cấu trúc lớp nửa nhóm Một số t-ơng đẳng lớp nửa nhóm đà đ-ợc khảo sát nh- t-ơng đẳng nửa nhóm ng-ợc (Vagner & Preston), nửa nhóm quy (Pertric), nửa nhóm phép biến đổi (Mantsev) Khóa luận nhằm mô tả t-ơng đẳng lớp nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh thông qua việc chứng minh cách chi tiết Định lý Rédéi nói rằng: Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh nửa nhóm xác định hữu hạn Khóa luận gồm hai ch-ơng Ch-ơng I Các khái niệm nửa nhóm Trong ch-ơng này, trình bày khái niệm, tính chất liên quan đến nửa nhóm quan hệ tập, t-ơng đẳng nửa nhóm th-ơng, băng nửa dàn để làm sở cho việc trình bày ch-ơng sau 1.1 Nửa nhóm quan hệ tập 1.2 Băng nửa dàn Ch-ơng II T-ơng đẳng nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh Đây phần khóa luận Trong ch-ơng này, tr-ớc hết trình bày lại số kết nửa nhóm giao hoán để làm sở cho việc trình bày nội dung khóa luận: T-ơng đẳng nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh 2.1 Một số kết nửa nhóm giao hoán Trình bày cách chi tiết kết T Tamura N Kimura chứng tỏ nửa nhóm giao hoán biểu diễn đ-ợc cách d-ới dạng dàn nửa nhóm Archimede (Định lý 2.1.5) 2.2 T-ơng đẳng nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh Trong tiết này, tr-ớc hết trình bày lại cách t-ờng minh Định lý mô tả t-ơng đẳng nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh sở chứng minh chi tiết Định lý Rédéi: Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh nửa nhóm xác định hữu hạn (Định lý 2.2.22) Việc xây dựng tính chất t-ơng đẳng nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh vấn đề tiếp tục nghiên cứu Khóa luận đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn thầy PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy đà có nhiều bảo, giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực cho tác giả trình hoàn thành khóa luận Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số; thầy giáo, cô giáo khoa Toán tr-ờng Đại Học Vinh tập thể lớp 47B Toán đà động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khoá luận Do trình độ thời gian có hạn nên khóa luận chắn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận đ-ợc góp ý, bảo bạn đọc để khóa luận đ-ợc hoàn thiện Vinh, tháng 05 năm 2010 Tác giả Ch-ơng I Các khái niệm t-ơng đẳng nửa nhóm 1.1 Nửa nhóm quan hệ tập Trong ch-ơng này, trình bày số khái niệm tính chất mở đầu lý thuyết nửa nhóm quan hệ tập 1.1.1 Định nghĩa i) Giả sử đ-ợc gọi quan hệ tập tích Descartes Giả sử Nếu ta viết ii) Nếu tập hợp tuỳ ý khác rỗng Khi tập , phần tử thuộc tập nói nằm quan hệ với quan hệ , hợp thành định nghĩa nh- sau: tồn phần tử chúng đ-ợc cho Do Phép toán hai ( ) kết hợp Thật vậy, điều khẳng định ) quan hệ , t-ơng đ-ơng với điều khẳng định: tồn phần tử Do đó, tập nửa nhóm phép toán ( ) Nưa x x cho: tÊt c¶ quan hƯ hai đ-ợc gọi nửa nhóm quan hệ tập 1.1.2 Một số quan hệ hai đặc biệt 1) Giả sử tập hợp tuỳ ý Quan hệ đ-ợc gọi quan hệ (hay quan hƯ ®-êng chÐo) nÕu 2) Quan hƯ Dễ thấy , với đ-ợc gäi lµ quan hƯ phỉ dơng nÕu x víi mäi phần tử đơn vị phần tử không cđa nưa nhãm 3) Gi¶ sư sau: x Khi đó, quan hệ ng-ợc Dễ thấy: x đ-ợc định nghĩa nh- ; 4) Giả sử kÐo theo x x V× x x Khi tập gồm tất tập , nghĩa , nên ta thực phép toán Boole: hợp, giao phần bù 5) Giả sử quan hệ (và Khi ; quan hệ gọi bắc cầu đ-ợc gọi phản xạ Một quan hệ phản xạ, đối xứng, bắc cầu Khi đ-ợc gọi đối xứng đ-ợc gọi t-ơng đ-ơng luỹ đẳng nửa nhóm 1.1.3 Phân hoạch tập hợp Giả sử đ-ợc quan hệ tuỳ ý x Khi đó, ta ký hiệu Nếu quan hệ t-ơng đ-ơng hai điều kiện sau đ-ợc thoả mÃn: i) với mäi ii) Nh- vËy, hä c¸c tËp , phân hoạch tập , tức tập không giao hợp chúng Ta ký hiệu họ gọi lớp t-ơng đ-ơng tập tập theo mod chứa Đảo lại, phân hoạch xác định quan hệ t-ơng đ-ơng xạ tự nhiên hay ánh xạ tắc từ tập 1.1.4 Bổ đề Nếu với 1.1.5 Định nghĩa Giả sử Ta gọi ánh xạ ánh ký hiệu ánh xạ nửa nhóm gọi ổn định bên phải (trái) lên tập , cụ thể quan hệ t-ơng đ-ơng quan hệ t-ơng đ-ơng mà thuộc tập phân hoạch Chú ý Ta = quan hệ Khi kéo theo (hay đ-ợc , với Quan hệ đ-ợc gọi t-ơng đẳng phải (trái) ổn định phải (trái), nghĩa với Quan hệ quan hệ t-ơng đ-ơng đ-ợc gọi t-ơng đẳng (hay vừa t-ơng đẳng phải vừa t-ơng đẳng trái 1.1.6 Bổ đề [5] Một quan hệ t-ơng đ-ơng với nửa nhóm t-ơng đẳng có: 1.1.7 Định nghĩa Giả sử t-ơng đẳng giả sử tập hợp tất lớp t-ơng đẳng Khi t-ơng ứng phép toán hai với phép toán đ-ợc gọi nửa nhóm th-ơng (của trở thành nửa nhóm modun ) Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.7 hợp lý, cần chứng tỏ phép toán hai xác định nh- có tính chÊt kÕt hỵp ThËt vËy, víi mäi : 1.1.8 MƯnh đề [5] i) Nếu họ đẳng , t-ơng đẳng ii) Giả sử đẳng quan hệ Thế t-ơng đẳng bé 1.1.9 Định nghĩa Giả sử cho t-ơng chứa t-ơng đẳng Khi ánh xạ toàn cấu đ-ợc gọi toàn cấu tắc Vì chứng minh toàn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.9 hợp lý ta cần ®ång cÊu ThËt vËy, víi mäi , ta cã: lµ đồng cấu 1.1.10 Định nghĩa Giả sử đồng cấu nửa nhóm Khi quan hệ xác định bởi: hạt nhân t-ơng đẳng , đ-ợc gọi đ-ợc kí hiệu Chúng ta viết: , đ-ợc hình dung nh- tích quan hệ (thực từ trái qua phải) Chú ý t-ơng đẳng đ-ợc suy trực tiếp từ đồng cấu nửa nhóm cách xác định Nếu t-ơng đẳng 1.1.11 Hệ Mỗi t-ơng đẳng hạt nhân đồng cấu 1.1.12 Định lý Giả sử đồng cấu nửa nhóm t ý Tån t¹i nhÊt phÐp nhóng cho biểu đồ sau giao hoán: nghĩa 1.1.13 Định lý (định lý đồng cấu nửa nhóm) [2].Giả sử cấu nửa nhóm đồng t-ơng đẳng Thế tồn đồng cấu cho , toàn cấu tắc Hơn nữa, đồng cấu thoả mÃn 1.1.14 Định lý (định lý đẳng cấu) [2] Giả sử 1.1.15 Bổ đề (định lý đồng cấu cảm sinh) [2] đồng cấu Thế Giả sử đồng cấu nửa nhóm cho (tức Khi tồn đồng cấu 1.1.16 Định nghĩa Nửa nhóm toàn cấu gọi ảnh đồng cấu nửa nhóm tồn 1.1.17 Hệ [2] Nếu cho t-ơng đẳng nửa nhóm ảnh đồng cấu cho 1.2 Băng nửa dàn Tr-ớc hết ta nhắc lại quan hệ thứ tự đ-ợc gọi thứ tập tự phận phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Ta dùng kí hiệu ch v 1.2.1 B [5] Giả sử tập hợp tất t-ơng đẳng nửa nhóm Khi quan hệ bởi: xác định (vi E ) nu thứ tự phận Chứng minh Vì nên Hơn nữa, Do quan hệ v , nên quan hệ v phản xạ nên phản đối xứng Ta lại có v v nên Do 1.2.2 Chú ý Quan hệ nên quan hệ bắc cầu xác định Bổ đề 1.2.1 đ-ợc gọi thứ tự phận tự nhiên 2.1.3 Định nghĩa Giả sử i) Phần tử thứ tự phận tập đ-ợc gọi cận nu tËp cđa víi mäi ; ii) CËn đ-ợc gọi cận bé hay hợp cđa tËp cđa víi mäi cËn trªn cđa (nÕu , nu có hợp , rõ ràng hợp nhất); đ-ợc gọi cận d-ới iii) Phần tử iv) Cận d-ới với ; đ-ợc gäi lµ cËn d-íi lín nhÊt hay giao cđa cđa víi mäi cËn d-íi cđa (nÕu nÕu cã mét giao , rõ ràng giao nhất); đ-ợc gọi nửa dàn (hay d-ới), tập v) Tập thứ tự phận gồm hai phần tử tập hữu hạn đ-ợc kí hiệu có hợp (hay giao) ; tr-ờng hợp có hợp (hay giao) (hay Hợp (giao) ); vi) Một dàn tập thứ tự phận, đồng thời nửa dàn nửa dàn d-ới; vii) Dàn đ-ợc gọi dàn đầy đủ, tập có hợp giao 1.2.4 Định nghĩa Nửa nhóm đ-ợc gọi băng phần tử luỹ đẳng Giả sử ( băng Khi đó, với và đ-ợc thứ tự phận tự nhiên ) 1.2.5 Mệnh đề Một băng giao hoán nửa dàn d-ới ®èi víi thø tù bé phËn tù nhiªn trªn Giao hai phần tử trùng với tích chúng Đảo lại, nửa dàn d-ới băng giao hoán phép giao Chứng minh Theo Bỉ ®Ị 1.2.1, quan hƯ chøng tá r»ng tÝch cđa thứ tự phận hai phần tư Ta trïng víi cËn d-íi lín nhÊt Từ (do v suy băng) 10 Giả sử băng giao hoán Khi đó, đặt nửa dàn Từ sau, ta dùng nửa dàn nh- đồng nghĩa với từ băng giao hoán Hơn nữa, từ nửa dàn đ-ợc hiểu nửa dàn d-ới, không nói thêm 1.2.6 Định nghĩa Nếu nửa nhóm rời đ-ợc phân chia thành hợp nửa nhóm ( tập hợp số đó) ta nói đ-ợc thành nửa nhóm phân tích Chú ý phân tích chØ cã ý nghÜa nÕu c¸c nưa nhãm thc vào lớp nửa nhóm hẹp Giả sử cặp phân tích nửa nhóm , tồn cách đặt ánh xạ nhóm , trở thành băng đối hợp băng nửa nhóm xác định toàn cấu nửa lớp t-ơng đẳng hạt nhân Ker Đảo lại, từ nửa nhóm lên băng nửa nhóm Ta định nghĩa phép toán đại số với phép toán Ta nói cho với ảnh ng-ợc hợp nửa dàn l toàn cấu phần tử nửa nhóm 16 T-ơng tự ta có Đặt Thế , Theo tính chất bắc cầu , từ Suy Do nghĩa Từ 2.2.4 Định nghĩa (i) Giả sử iđêan nhóm tuỳ ý ánh xạ từ vào tập thoả mÃn tính chất (i) (iii) Bổ đề 2.2.3 Khi cặp đ-ợc gọi cặp ánh xạ - nhóm (ii) Một cặp ánh xạ - nhóm tuỳ ý xác định quan hệ cho (3) 2.2.5 Bổ đề Nếu cặp ánh xạ - nhóm quan hệ xác định (3) t-ơng đẳng Chøng minh NÕu th× v× theo (i) VËy cã tính chất phản xạ T-ơng tự, tính chất (ii) bảo đảm tính đối xứng Giả thiết Thế Do nên ta có Suy nên Để chứng minh tính chất bắc cầu , giả sử Khi iđêan kéo theo ; mà từ suy Do ổn định 17 áp dụng (iii), ta đ-ợc Nghĩa Nh- Và luận nên ta kết Do nên Ta đà chứng minh t-ơng đẳng xác định ánh xạ - nhóm đảo lại cặp ánh xạ - nhóm đẳng có tính chất bắc cầu xác định t-ơng Thực tế t-ơng ứng t-ơng đẳng cặp ánh xạ - nhóm là hàm hạt nhân liên kết với t-ơng ứng Ta gọi 2.2.6 Định lý ánh xạ xác định (1) (2) ánh xạ t-ơng ứng - từ tập tất t-ơng đẳng lên tập tất cặp ánh xạ - nhóm liên kết với ánh xạ ng-ợc ánh xạ ánh xạ: xác định (3) Chứng minh Giả sử minh t-ơng đẳng Đặt Ta chứng Vì điều kiện kéo theo nên ta cần chứng tỏ phần tử chØ , nghÜa lµ vµ chØ Nh-ng điều kiện đ-ợc thoả mÃn Đảo lại, giả sử cặp ánh xạ - nhóm tuỳ ý liên kết với Đặt Ta chứng minh Tr-ớc hết ta giả sử tử cho Nh- Giả sử Khi ®ã theo (1) ta cã Nh-ng theo (3) tõ Chọn Thế thì: phần suy 18 Do theo (2) có có Nh- Nếu nghĩa , nên theo (1) , nghĩa lµ nh- vËy TiÕp theo chóng ta chøng minh định lý Rédéi nói t-ơng đẳng hữu hạn sinh 2.2.7.Định nghĩa Giả sử tối tiểu 2.2.8 Định lý Giả sử tiểu tập Khi , từ đ-ợc gọi phần tử suy tập Thế tập tập hữu hạn Ngoài tất phần tử tối tồn cho Chứng minh Quy nạp theo số phần tử sinh nhóm Định lý hiển nhiên Giả sử mệnh đề thoả mÃn nửa nhóm giao hoán tự với phần tử sinh Xét tập số nguyên có mặt thành phần thứ thuộc giả sử thuộc mà thành phần thứ Theo giả thiết quy nạp, tập tử tối tiểu số bé tập Kí hiệu tập tất phần tử tối tiểu bé với thành phần thứ theo giả thiết quy nạp tập Đặt Thế thành phần Khi phần tử thuộc thoả mÃn hệ thức tất phần Giả sử thứ lớn phần tử thuộc tập (hữu hạn) Kí hiệu tập tất phần tử hữu hạn Đặt Đặt phần tử hữu hạn tập hữu hạn Hơn tập tất phần tử tối tiểu Thật vậy, giả sử với phần tử tối tiểu tuỳ ý Vì theo định nghĩa Nếu ta có 19 Nh- phần tử thuộc bé , trái với giả thiết phần tử tối tiểu Khẳng định cuối Định lý 2.2.8 suy từ chỗ chuỗi giảm thực phần tử hữu hạn 2.2.9 Định nghĩa Tập tất phần tử tối tiểu tập đ-ợc gọi sở tập 2.2.10 Hệ Giả sử nhóm phần tử khác không Thế sở tập và Nh- Thế tồn cho cho Do tồn Từ lại lập luận nh- trên, Quá trình phải kết thúc sau số hữu hạn b-ớc ta đ-ợc , điều chứng tỏ 2.2.11.Hệ Quả sử nửa nhóm hữu hạn Chẳng hạn sở tập Do chứa tập sinh hữu hạn nửa nhóm Chứng minh Giả sử sinh iđêan sở Thế iđêan Ngoài ra, tập sinh tuỳ ý iđêan Nh- iđêan tuỳ ý Chứng minh Giả sử phải chứa chứa tập sinh hữu hạn tối tiểu Thế tồn phần tử Giả sử tập sinh Vì thuộc iđêan Vì sinh tập tập sinh tuỳ ý iđêan Thế phần tử thuộc viết d-ới dạng Đặc biệt , tổng, nh- lớn phần tử thuộc phần tử tối tiểu tổng (khác nên nên phần tử thuộc Từ suy khác tham gia tổng Vì 20 2.2.12 Định nghĩa Hai phần tử đ-ợc gọi t-ơng thích với thuộc bất đẳng thức t-ơng đ-ơng đ-ợc gọi tập Tập phần tử đôi t-ơng thích với thuộc t-ơng thích 2.2.13 Bổ đề Giả sử t-ơng thích phần tử thuộc Thế Chứng minh Bổ đề đ-ợc suy từ nhận xét: với phần tử đ-ợc thu từ cách bỏ thành phần âm Ta ký hiệu đẳng cấu , phần tử nhóm nhóm tự đẳng cấu nhóm gồm tất đổi dấu số thành phần phần tử thuộc Giả sử ( dÃy số xác định Nhóm , tự đẳng cấu 2.2.14 Bổ đề Giả sử hạn ), chứa phần tử Với phép biến đổi đồng nhóm cho phần tử thuộc Thế tồn tập hữu biểu diễn đ-ợc d-ới dạng tổng bội không âm phần tử thc mét tËp t-¬ng thÝch cđa Chøng minh Giả sử Kí hiệu Khi tập Nếu nhóm nhóm có sở hữu hạn ta đặt 21 Ký hiệu Thế phần tử thuộc hữu hạn tập t-ơng thích thuộc Đặt Thế hữu hạn Rõ ràng Bây ta xét phần tử hữu hạn cho Thế với áp dụng Hệ 2.2.10 ta đ-ợc phần tử thuộc ta có tổng không âm Nh- vì nên □ NhËn xÐt Nh- mét hƯ qu¶ trùc tiÕp Bổ đề 2.2.14, ta thu đ-ợc kết quả: nhóm nhóm Aben tự hữu hạn sinh nhóm hữu hạn sinh; từ suy nhóm nhóm Aben hữu hạn sinh nhóm hữu hạn sinh 2.2.15 Bổ đề Giả sử t-ơng đẳng tập t-ơng thích , Khi Chøng minh Tr-íc hÕt ta chøng minh mƯnh ®Ị với k=1 Ta cần chứng tỏ với số nguyên không âm m Tiến hành quy nạp theo m Rõ ràng ta có bao hàm thức Giả sử Giả thiết xảy với nghĩa , nghĩa Theo giả thiết quy nạp, , Nh-ng Do ( Theo tính ổn định , có (( Nghĩa (( Ta lại có (( hay ®ã 22 VËy kÐo theo víi mäi số nguyên Bây giả sử Do bao hàm thức xảy hai phần tử t-ơng thích Thế kéo theo 2.2.13 nhớ , áp dụng Bổ đề t-ơng thích ta nhận đ-ợc: Nh- vËy B©y giê ta cã thĨ tiÕn hành quy nạp theo Bổ đề đà đ-ợc chứng minh Giả thiết thoả mÃn với tập t-ơng thích gồm Thế phần tử Đặt theo điều vừa chứng minh ta có t-ơng thích Theo giả thiết quy nạp k ta có: Tr-ờng hợp , có Do 2.2.16 Định nghĩa Giả sử t-ơng đẳng cặp ánh xạ - nhóm liên kết với 2.2.17 Định lý Lõi iđêan nủa nhóm t-ơng đẳng khác rỗng 2.2.18 Định nghĩa.a/ Giả sử A iđêan tuỳ ý sở Ta định nghĩa chuẩn chuẩn đ-ợc gọi lõi t-ơng đẳng Khi tập Nếu phần tử iđêan đ-ợc xác định bởi: b/ Lõi t-ơng đẳng (hay ) t-ơng đẳng iđêan (hay cặp t-ơng đẳng Ta định nghĩa chuẩn ) bởi: 23 Giả sử M nhóm G Thế M xác định t-ơng đẳng : = T-ơng đẳng thu hẹp t-ơng đẳng G xác định -ớc chuẩn M Ta chứng minh t-ơng đẳng F hữu hạn sinh cách quy nạp hai lần theo chuẩn t-ơng đẳng theo số phần tử sinh nhóm Ta tr-ờng hợp chuẩn không, t-ơng đẳng nh- đ-ợc mô tả Bổ đề sau đây: 2.2.19 Bổ đề Giả sử t-ơng đẳng Thế mệnh đề sau t-ơng đ-ơng i) nhóm M G ii) iii) Khi nhóm M nêu điều kiện (i) trïng víi Chøng minh Râ rµng Do (ii) (iii) t-ơng đ-ơng Giả sử Giả sử , từ định nghĩa Thế Vì nên nghĩa từ (i) suy (ii) (iii) Giả thiết Do điều kiện (iii) biệt, , thoả mÃn Giả sử theo định nghĩa M ta có Đảo lại, giả thiết Đặc Nếu suy Vì suy nên tõ ®ã suy , nghÜa Tõ ®ã Nh- vËy (iii) kÐo theo (i) □ 24 2.2.20 Bæ đề Giả sử t-ơng đẳng hữu hạn sinh Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.19 có tập hữu hạn với Theo Bổ đề 2.2.14, cho phần tử thuộc có biểu diễn đ-ợc d-ới dạng tổng bội không âm phần tử thuộc tập t-ơng thích Nh- ,nếu số nguyên không âm, tập t-ơng thích Khi theo Bổ đề 2.2.13, có Vì và suy thuộc , nên thu đ-ợc từ phép - chuyển sơ cấp liên tiếp, phép - chuyển thay Đặt Thế với thuộc , nghĩa hữu hạn, , ta đà chứng tỏ Bây giả sử Đặt Vì Từ Từ biểu thức Thế , nên Do phần tử tuỳ ý , nên Nh- hữu hạn sinh Để tiến hành quy nạp, tr-ớc hết ta phải xét tr-ờng hợp n=1, nghĩa là nửa nhóm giao hoán tự với phần tử sinh ta thử trực tiếp t-ơng đẳng hữu hạn sinh, t-ơng đẳng tồn tập gồm phần tử sinh Một b-ớc chứng minh xuất phát từ t-ơng đẳng phải xây dựng đ-ợc t-ơng đẳng khác có chuẩn bé 2.2.21 Bổ đề Giả sử sở lõi t-ơng đẳng cho phần tử thuộc có thành phần khác không Ta kí hiệu phần tử 25 Định nghĩa quan hệ nh- sau : Thế t-ơng đẳng Chứng minh Rõ ràng đ-ợc thừa kế tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu ổn định Nh- Ta kí hiệu tập là t-ơng đẳng Hơn nữa, rõ ràng Tr-íc hÕt, ta chøng tá vµ , nghÜa lµ Thật vậy, với , , nghĩa ®ã Do ®ã víi , tõ MƯnh đề thứ hai chứng minh t-ơng tự Sau ta dùng hai hệ thức mà không nói thêm Giả sử sở lõi Giả thiết phần tử sở có thành phần thứ d-ơng Theo giả thiết với sở lõi thành phần khác thuộc Thật vậy, tr-ớc hết Hơn , nghĩa từ Nh-ng phần tử thuộc sở lõi , từ Thế thuộc sở lõi , cho thành phần thuộc thành phần thứ phần tử , , nghĩa ta đà chứng tỏ tuỳ ý thuộc sở lõi tồn phần tử Nh-ng Bây ta xét phần tử Nếu Từ phần tử thuộc sở lõi NÕu ThËt vËy , víi mäi ThÕ th× Đặt phần tử tối thiểu vËy 26 Nh- vËy ta ®· chøng minh sở lõi Một tập gồm phần tử thuộc sở lõi phân tích thành hai tập ứng với phần tử Tập khác rỗng , với j Một tập khác rỗng, gồm phần tử thuộc lõi sở lõi phần tử thuộc sở lõi , mà Bây ta có Bổ đề 2.3.21 đ-ợc chứng minh B©y giê ta cã thĨ kÕt thóc chøng minh định lý Rédéi Nh- ta đà chứng tỏ, t-ơng đẳng 2.2.20) số phần tử sinh nửa nhóm 2.2.20) Giả thiết hữu hạn sinh (Bổ đề (nhận xét sau Bổ đề bổ đề đà với t-ơng đẳng có chuẩn bé t-ơng đẳng nửa nhóm giao hoán tự có số phần tử sinh bé Vì nên tồn phần tử khác không sở lõi Không làm tính tổng quát, giả thiết sở lõi có chứa phần tử với thành phần thứ khác không Thế cách xây dựng Bổ đề 2.2.21 cho ta t-ơng đẳng hữu hạn sinh Giả sử mà Theo giả thiết quy nạp, tập hữu hạn sinh t-ơng đẳng Đặt có Theo định nghĩa t-ơng đẳng , Kí hiệu Thế tập phần tử thuộc có thành phần thứ không nửa nhóm đẳng cấu với nửa nhóm giao hoán tự có phần tử sinh Rõ ràng t-ơng đẳng Theo giả thiết quy nạp, nhóm sinh nhóm hữu hạn Bây ta xét tập (có thể rỗng) gồm tất cặp Kí hiệu tập mà 27 Đặt = phần tử tối tiểu Theo Định lý 2.2.8 tập tất hữu hạn Giả sử Chọn phần tử phần tử tối tiểu cho đặt Bây ta chứng minh Giả sử Nếu lại, (a) Đối với cặp có thành phần thứ d-ơng, nghĩa ; (b) (c) thc Ta xÐt tõng tr-êng hỵp mét (a) ë thu đ-ợc từ thêm thuộc ) dÃy hữu hạn phép vào nơi ta suy thu đ-ợc từ Do - chuyển sơ cấp Nếu dÃy phép - chuyển sơ cấp Nh- nên (b) Do nên (c) Ta cần xét tr-ờng hợp , cho Thế ta đ-ợc Giả sử Thêm vào hai phần tử cặp , Theo điều kiện có phần tử tối tiểu nên theo tr-ờng hợp (a), Do Cuối ta ý t-ơng đẳng nửa nhóm t-ơng đẳng hữu hạn sinh hữu hạn sinh Nh- ta đà chứng minh đ-ợc định lý Rédéi (1963) 2.2.22 Định lí Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh nửa nhóm xác định hữu hạn 28 Chú ý Nửa nhóm đ-ợc gọi nửa nhóm xác định hữu hạn tìm đ-ợc tập hữu hạn quan hệ hữu hạn cho vị nhóm tự sinh t-ơng đẳng sinh Kết luận Khóa luận đà thu đ-ợc kết sau *Hệ thống hóa số khái niệm tính chất nửa nhóm quan hệ tập *Hệ thống hóa khái niệm sở tính chất băng nửa dàn *Hệ thống số kết nửa nhóm giao hoán *Xây dựng khái niệm t-ơng đẳng nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh khảo sát mét sè tÝnh chÊt cđa chóng 29 Tµi liƯu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự C-ờng (2003), Giáo trình đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Việt H-ng (1998), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục Hà Nội [4] Hoàng Xuân Sính (1992), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục Hà Nội Tiếng Anh [5] A.H Cliford and G.B Preston (1961-1967), The Algebraic theory of semirowps Vol I&II, Mathematical surveuys of the Amer Math Soc.7 [6] P M Higgins (1992), Techniques of semigroup theory, Oxford Univesity Prees [7] J M Howie (1995), Fundamntals of semigroup theory, Academi Prees [8] M Petrich (1984), Letures in semigroups, Wiley 30 ... t-ơng đẳng nửa nhóm t-ơng đẳng hữu hạn sinh hữu hạn sinh Nh- ta đà chứng minh đ-ợc định lý Rédéi (1963) 2.2.22 Định lí Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh nửa nhóm xác định hữu hạn 28 Chú ý Nửa nhóm. .. tiếp nửa nhóm xyclic vô hạn ghép thêm đơn vị Nó đẳng cấu với vị nhóm biểu diễn chứng tỏ nửa nhóm giao hoán tự hữu hạn sinh nửa nhóm xác định hữu hạn Ta ký hiệu vị nhóm giao hoán tự xác định hữu hạn. .. nhằm mô tả t-ơng đẳng lớp nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh thông qua việc chứng minh cách chi tiết Định lý Rédéi nói rằng: Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh nửa nhóm xác định hữu hạn Khóa luận gồm