P tương đẳng trên nửa nhóm p chính quy

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN ĐÌNH PHƢƠNG - TƢƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHĨM - CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Nghệ An – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN ĐÌNH PHƢƠNG - TƢƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHĨM - CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên nghành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An – 2014 MỤC LỤC Trang Mục lục ………………………………………………………… …………… Mở đầu …………………………………………………………….…………….2 Chƣơng NỬA NHĨM 1.1 - hệ nửa nhóm quy ……………………………………………4 1.2 Nửa nhóm Chƣơng 2.1 - CHÍNH QUY ………………………… … …….4 - quy……………………………………………………10 - TƢƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHĨM - CHÍNH QUY…… 16 - đồng cấu nửa nhóm thƣơng nửa nhóm - quy ………….16 2.2 Định lý mô tả - tƣơng đẳng nửa nhóm - quy ………………20 KẾT LUẬN…………………………………………………………………… 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………32 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết nửa nhóm, lớp nửa nhóm ngƣợc hẹp lớp nửa nhóm quy rộng Do nhiều tác giả đặt vấn đề khảo sát lớp nửa nhóm nằm trung gian hai lớp nửa nhóm Năm 1978, T E Nordal H E Scheiblich đƣa khái niệm   nửa nhóm quy Đó nửa nhóm quy S đƣợc trang bị phép đối hợp  thỏa mãn điều kiện xx* x = x , ( x* )*  x, ( xy)*  y* x* (x, y  S ) Năm 1982 dựa kết - hệ nửa nhóm quy, M Yamada mơ tả đƣợc cấu trúc   nửa nhóm quy Năm 1987, M Yamada M K Sen đƣa khái niệm nửa nhóm - quy, lớp nửa nhóm mở rộng thực lớp   nửa nhóm quy khảo sát cấu trúc lớp nửa nhóm Một đối tƣợng cần nghiên cứu khảo sát nửa nhóm xét tƣơng đẳng nửa nhóm Vì vậy, khảo sát cấu trúc nửa - quy, vấn đề đặt tự nhiên mơ tả tƣơng đẳng nhóm nửa nhóm Dựa cơng trình - congruences on - regular semigroups M K Sen, luận văn trình bày số vấn đề liên quan đến nửa nhóm đặc biệt tập trung vào việc tìm hiểu định lý mơ tả cấu trúc nửa nhóm - quy, - tƣơng đẳng - quy, mở rộng thực định lý Prestơn cấu trúc tƣơng đẳng nửa nhóm ngƣợc Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, Luận văn gồm hai chƣơng Chương Nửa nhóm – quy Trong chƣơng này, trƣớc hết chúng tơi trình bày khái niệm - hệ nửa nhóm quy,   nửa nhóm quy mối quan hệ chúng Sau chúng tơi trình bày khái niệm nửa nhóm Chương - quy tính chất - tương đẳng nửa nhóm - quy Trong chƣơng này, trƣớc hết chúng tơi trình bày khái niệm cấu, - tƣơng đẳng nửa nhóm thƣơng nửa nhóm - đồng - quy mối liên hệ chúng Phần cuối chƣơng trình bày chứng minh chi tiết kết quả: Mỗi - tƣơng đẳng nửa chóm - quy hồn tồn đƣợc xác định hệ - hạt nhân chuẩn Luận văn đƣợc hoàn thành hoàn thành Trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn tận tình, chu đáo PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng bết ơn sâu sắc đến thầy Qua tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, giáo khoa Tốn, Phịng Sau Đại Học Trƣờng Đại học Vinh học viên cao học K20- Đại số quan tâm giúp đỡ hƣớng dẫn tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy, bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Nghệ An, tháng 05 năm 2014 Tác giả CHƢƠNG NỬA NHĨM 1.1 - CHÍNH QUY - hệ nửa nhóm quy Giả sử S nửa nhóm Phần tử a  S đƣợc gọi phần tử quy có x  S cho axa  a Nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nhóm quy phần từ S phần tử quy Với x  S , ta ký hiệu: W(a)  {a  S axa=a} Nhƣ vậy, S nửa nhóm quy W(a)   với aS Ký hiệu ES tập hợp phần tử lũy đẳng S : ES := { x Ỵ S x = x} Nếu S chớnh quy thỡ ES ặ Núi chung ES khụng phải nửa nhóm S Nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nhóm orthodox S nửa nhóm quy ES nửa nhóm S Giả sử a phần tử nửa nhóm S Khi phần tử b Ỵ S đƣợc gọi phần tử ngược a aba = a; bab = a Nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nhóm ngược phần tử S có phần tử ngƣợc Với a Ỵ S , ký hiệu: V (a): = {b Î S aba = a, bab = a} Thế S nửa nhóm ngƣợc V (a) = 1, a Ỵ S Nửa nhóm ngƣợc nửa nhóm orthodox, nửa nhóm quy 1.1.1 Định nghĩa Nửa nhóm quy S đƣợc gọi   nửa nhóm quy(regular   semigroup) S đƣợc trang bị phép tốn ngơi  : S  S thỏa mãn ba điều kiện: (1) xx* x  x, x  S ; (2) x  * *  x, x  S ; (3) ( xy)*  y* x* , x, y  S Một phần tử x Ỵ S đƣợc gọi hình chiếu x Î ES x*  x 1.1.2 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm quy Một tập FS ES đƣợc gọi - hệ S thỏa mãn điều kiện sau: 1 a  S , !a V (a) : aa , a a  F ;   a  S , a F a  F ;  3 F  F * * * S * S S S S 1.1.3 Bổ đề Trong   nửa nhóm quy, có: (i) Nếu e Ỵ FS e* = e; * (ii) " a Ỵ S: (a* ) = a; * (iii) " a , b Ỵ S: (ab) = b*a*; (iv) " a Ỵ ES , a* = a a Ỵ FS Chứng minh Trực tiếp suy từ đị * 1.1.4 Nhận xét i) Từ Bổ đề 1.1.3, trực tiếp suy FS = {a Ỵ FS a = a} ii) Nếu S   nửa nhóm quy FS tập hợp hình chiếu Thế phép tốn ngơi xác định nhƣ định nghĩa đƣợc gọi   toán tử đƣợc xác định S Ta nhắc lại S nhóm quan hệ đƣợc gọi quan hệ Grin nửa nhóm S : aL b  S 1a  S 1b aR b b aS  bS aJ b  S 1aS  S 1bS1 H  L  R ; D  L0 R ( R 0L ) sau 1.1.5 Mệnh đề Một nửa nhóm quy S   nửa nhóm quy S có - hệ FS Trong trường hợp này, FS tập hợp hình chiếu S tương thích với   tốn tử xác định FS Chứng minh Điều kiện đủ suy từ Bổ đề 1.1.3 Nhận xét 1.1.4 (i) Ta chứng minh điều kiện cần Giả sử S   nửa nhóm quy FS tập hợp hình chiếu S , nghĩa FS = {a Ỵ ES a* = a} Rõ ràng điều kiện (1)-(3) Định nghĩa 1.1.2 đƣợc thỏa mãn Giả thiết a Ỵ S , tồn a # Ỵ S cho aa # , a #a Ỵ FS a # Ỵ V (a) Thế a #aL a #a Vì phép chiếu chứa - lớp nên a #a = a*a Đối ngẫu, có aa # = aa* nên a #H a Vì có nhiều phần tử ngƣợc - lớp, nên a # = a* Từ đó, điều kiện (1) Định nghĩa 1.1.2 đƣợc thỏa mãn 1.1.6 Chú ý Giả sử I tập hợp S băng chữ nhật đƣợc xác định S: = I ´ I = {(i, j) i Î I, jÎ I} (i, j) (s,t ) = (i,t ), " (i, j), (s,t )Ỵ S Nếu y : I ® I song ánh Fy = {(i, y (i)) i Ỵ I} Đảo lại, - hệ S - hệ nửa nhóm S đƣợc xây dựng nhƣ Từ - hệ khơng S Giả sử P = {(i,i)│i Ỵ I} F = {(i, y (i)) \ i Ỵ I} , y : I ® I song ánh, - hệ S Giả sử * # *- toán tử S xác định P F tƣơng ứng Xét ánh xạ j : (S, *)® (S,#) cho j (i, j)= (i, y (i )) Thế j (i, j),(s, t )) = j (i, t )= (i, y (t )) (j (i, j))(j (s, t )) = (i, y (j))(s, y (t )) = (i, y (t )) Hơn nữa, * Mặt khác, (i, j) = (j,i) Từ đó, ( * ) ( * ) j (i, j) = ( j, y (i)) Nhƣ vậy, j (i, j) = (j (i, j))* Do đẳng cấu từ (S,*) lên (S, #) Trong trƣờng hợp j (P)= F Nhƣ ta chứng minh đƣợc kết sau 1.1.7 Mệnh đề Giả sử F1 F2 - hệ S ,  #   toán tử S xác định F1 F2 tương ứng Thế tồn đẳng cấu j : (S , *)® (S ,#) thỏa mãn  ( F1 )  F2 1.1.8 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm quy F , P - hệ S Thế F = P Chứng minh Giả sử  #   toán tử tƣơng ứng S đƣợc xác định F P Giả sử j : F ® P y : P ® F ánh xạ đƣợc xác định  (e)  ee #    e      e      ee,,  * *   f   ff * Thế   ee,,   ee,,  e,,  e  F * * Hơn nữa, * eR ee’’R (ee’’ )(ee’’ ) (ee’’ )(ee’’ ) e Ỵ F e Ỵ F Vì tồn hình chiếu (tƣơng thích với   tốn tự) - lớp S , nên * ee’’ (e’’ ) e = e Từ (y o j )(e)= e Tƣơng tự, (j o y )( f )= f , " f Ỵ P Nghĩa    iF (ánh xạ đồng F)    iP Nhƣ vậy, y song ánh nên F = P □ 1.1.9 Định lý Giả sử S nửa nhóm quy sinh lũy đẳng ES tập hợp lũy đẳng S Nếu tập F ES thỏa mãn điều kiện: (1) Với e Ỵ ES , tồn ti phn t e* ẻ V (e) ầES cho ee* , e*e Ỵ F ; 10 (2) Với e Ỵ ES , có e* Fe Í F ; (3) F Ì F Thế F - hệ S Từ S trở thành   nửa nhóm quy Chứng minh Chúng ta chứng tỏ F thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 1.1.2 S Rõ ràng, điều kiện (3) Ta chứng minh F thỏa mãn điều kiện (1) Giả sử a Ỵ ES Khi tồn a # Ỵ V (a) cho aa # , a #a Ỵ F Điều chứng minh nhƣ sau: Đối với S , giả sử a’ phần tử tùy * ý thuộc V (a) Khi aa’ Ỵ ES Mặt khác, (aa’ )(aa’ ) (trong    toán tử * ES đƣợc xác định F) Hơn nữa, a’ (aa’ ) Ỵ V (a) Do tồn a’’ Ỵ V (a) cho aa’’Ỵ F Tƣơng tự, tồn a+ Ỵ V (a) cho a+ a Ỵ F Xét tích a+ aa’’ Thế a+ aa’’ Ỵ V (a) a (a+ aa’’ )Ỵ F Từ tồn a # Ỵ V (a) cho aa # , a #a Ỵ F Giả thiết a # Ỵ V (a), a’ Ỵ V (a) cho aa # , a #a Ỵ F ; aa’ , a’a Ỵ F Thế aa*R aa’ Từ đó, aa # = aa’ Ỵ F (vì từ (1) Mệnh đề 2.1.9 suy - lớp chứa nhiều phần tử F) Tƣơng tự a #a = a’a Từ a #H a’ nên a # = a’ Nhƣ vậy, điều kiện (1) Định nghĩa 1.1.2 đƣợc thỏa * Gi s e1, e2 ,ẳ ,en ẻ F Thế (e1, e2 ,¼ ,en ) = en en ¼ e2 , e1 Trƣớc hết, rõ ràng e1* = e1 Ta chứng minh nhận xét quy nạp theo n Với n = , có (e1, e2 )(e2 , e1 )= e1e2e1 Ỵ F (theo  e2 , e1  e1, e2  F Từ  e1, e2  * (2), Định lý 2.19) Tƣơng tự,  e2e1 Giả thiết mệnh đề n  m –1 Ta xét với n  m Thế e1e2 em1emem1  e1e1e2  em  20 ii) Giả sử S  P  nửa nhóm - quy T nửa nhóm quy Giả sử  : S  P   T đồng cấu nửa nhóm Đặt   S  P    T1   P   P1 Thế T1  P1  nửa nhóm tập Hơn - quy nhận P1 làm C - đƣợc xét nhƣ - đồng cấu từ S ( P) lên T1  P1  Phần lại tiết dành cho việc trình bày tƣơng đẳng thƣơng nửa nhóm - quy 2.1.8 Định nghĩa Một tƣơng đẳng nửa nhóm - quy đƣợc gọi - tƣơng đẳng nửa nhóm Giả sử S  P  nửa nhóm - quy  tƣơng đẳng S(P) Với x  S  P  , ký hiệu x  x   lớp chứa Đặt P  { q | q P} S  { x x  S}   Với phép toán x y  xy, S P trở thành nửa nhóm đƣợc gọi nửa nhóm thương - quy - quy S  P  mod   Ta sử dụng ký hiệu S P   thay cho S P Hơn nữa, từ sau ta dùng thuật ngữ “một - tƣơng đẳng” thay cho tƣơng đẳng thông thƣờng  nửa nhóm - quy S  P  2.1.9 Định lý Giả sử  - tương đẳng nửa nhóm quy Thế ánh xạ : S  P   S  P   xác định   x   x - - tồn cấu Đảo lại Giả sử  : S  P1   T  P2  - đồng cấu  l tương đẳng hạt nhân a nghĩa l , ( x, y)    x     y  Thế S  P1   - đẳng cấu với nửa nhóm - quy   S  P1   T  P2  21 Chứng minh Phần khẳng định thứ định lý hiển nhiên Ta chứng minh phần khẳng định thứ hai Rõ ràng  : S  P1   T  P2  đƣợc xác định   x     x  đẳng cấu từ S  P1   lên   S  P1   Vì a - đẳng cấu nên  (  P1 )    P1   P2    S  P1    P2   (  S  P1   ) Do - đẳng cấu từ S  P1   lên   S  P1    2.1.10 Định nghĩa Giả sử S  #    nửa nhóm quy, P tập hợp hình chiếu S  #  Thế S  #  đƣợc xét nhƣ nửa nhóm - quy S  P  Giả sử  tƣơng đẳng S Nếu  thỏa mãn điều kiện  a,b    a * ,b*   (với a, b  S )  đƣợc gọi   tương đẳng S 2.1.11 Định lý Giả sử  tương đẳng   nửa nhóm quy S  #  Thế    tương đẳng điều kiện sau thỏa mãn:“Với q  P a S ,  q, a   kéo theo  q, a     với tất phần tử - nghịch đảo a  VP  a ” Chứng minh Trƣớc hết ta ý phần tử a   nửa nhóm quy S , phần tử - nghịch đảo a+ đƣợc xác định a* Điều kiện cần Vì  a, b   kéo theo  a  , b    Nói riêng, p  P p   p nên  p, a    kéo theo  p, a    Điều kiện đủ Giả sử  a, b   Vì ab* VP  ba*  nên  aa* , ba*    kéo theo  aa* , ab*    Mặt khác,  ab* , bb*    kéo theo  aa* , bb*    Tƣơng tự, 22  a a, b b    , * có *  ab , ba    * *  ab , b a    *  * Từ  a* a*bb*b*ab*b*ba*b*b  b* Nhƣ vậy, a* , b*      tƣơng đẳng S  #   2.2 Định lý mơ tả - tƣơng đẳng nửa nhóm - quy Giả sử  tƣơng đẳng nửa nhóm quy S hạt nhân  tập hợp tất   lớp chứa lũy đẳng S Năm 1954, G B Preston chứng minh hai tƣơng đẳng nửa nhóm quy trùng chúng có hạt nhân Đối với nửa nhóm S(P), tập hợp   lớp đƣợc gọi - quy - tƣơng đẳng  chứa phần tử P -hạt nhân  Thế hai - tƣơng đẳng nửa nhóm quy trùng chúng có - - hạt nhân Trong [1], A H Cliphơt G B Preston đƣa đặc trƣng hạt nhân nửa nhóm ngƣợc M Famada mở rộng kết cho   nửa nhóm quy Meakin đƣa mở rộng Định lý Preston từ nửa nhóm ngƣợc đến nửa nhóm orthodox Chúng ta thấy nửa nhóm orthodox   nửa nhóm quy trƣờng hợp riêng nửa nhóm nhóm - quy Tiết dành cho việc mơ tả - quy - tƣơng đẳng nửa - hạt nhân chuẩn 2.2.1 Định nghĩa Giả sử S  P  nửa nhóm B = {Bi | i Ỵ I } tập S Khi đƣợc gọi hệ chuẩn S điều kiện sau đƣợc thỏa mãn (K1) Bi Ç Bj = Ỉ i ¹ j ; - quy – hạt nhân 23 (K2) Mỗi Bi chứa phần tử P phần tử P đƣợc chứa BJ đó; (K3) Nếu a Ỵ Bj a+ Ỵ V (a), tồn B j , Bt cho a  B j  Br B j a   Bt ; (K4) Đối với a  S , a VP  a  , i1 , i2 ,, in  I , P aBi1 Bi2 Bin a    , tồn Bi cho aBi1 Bi2 Bin a   Bi ; (K5) Đối với i, j, t  I , Bi Bj Bt  Bi Bj  Bt ; (K6) Nếu a, ab Bi ab , bb  Bj b VP  b  , i, j b Bi ; (K7) Nếu a, ba Bi b a, bb B j b VP  b  , i, j b  Bi 2.2.2 Mệnh đề Giả sử  tương đẳng nửa nhóm - quy S  P  , đặt B : q q  P Giả sử B tập hợp tất phần tử phân biệt B Thế tập hợp B hệ - hạt nhân chuẩn S  P  Chứng minh Các điều kiện (K1), (K2) đƣợc kiểm tra trực tiếp (K3) Giả sử a Ỵ Bi = pr với p Ỵ P Giả sử a+ Ỵ VP (a) Thế a+ a Ỵ P Giả sử Br = (a+ a)r Khi x Ỵ Bi có xr pr a Từ a+ xr a+ a Điều chứng tỏ a+ x Î (a+ a)r = Br Từ a+ Bi Í Br Tƣơng tự ta chứng minh đƣợc Bi a+ Ỵ Bt Bt Ỵ B (K4) Gi s r ẻ aBi1 Bi2 Bin a+ ầ B Giả thiết p = abi1bi2 bin a+ Trong 24 S = S r có pr = ar bi r bi r r bi r a+ r = ar pi r pi r r pi r a+ r (1), n n Bit = pit r , t = 1,2, , n Bây giả sử x = adi1 di2 din a+ phần tử tùy ý aBi1 Bi2 Bin a+ Thế xr = ar di1 r di2 r r din r a+ r = ar pi1 r pi2 r r pin r a+ r , dit Ỵ B = pit r Do từ (1) có xr = pr tất x Î aBi1 Bi2 Bin a+ , nhƣ tồn Bi Ỵ B cho x Ỵ Bi (K5) Giả sử b Ỵ Bi B j I Bt , giả sử Bt = pt r với pt Ỵ P , giả sử a = ci c j Ỵ Bi B j ci Ỵ Bi , c j Ỵ B j Thế tồn bi Î Bi , b j Î B j cho a = bib j Khi ar = bi r b j r = ci r c j r = br = pt r Từ (a, pt )Ỵ r , nghĩa a Ỵ Bt (K6) Giả sử a, ab Ỵ Bi cho (a, ab)Ỵ r , r ổn định phải nên (ab+ b, ab)Ỵ r (ab+ , bb+ )Ỵ (ab, a)Ỵ r Từ ar = (ab+ b)r = (ab+ )r (br ) Khi B j (ab+ )r = (bb+ )r Do ar = (bb+ )r (br )= (bb+ b)r = br Điều chứng tỏ (a, b)Ỵ r Từ b Î Bi (K7) Chứng minh tƣơng tự (K6) 2.2.3 Mệnh đề Giả sử B  {Bi i I } hệ - hạt nhân chuẩn S  P  Khi (1) Mỗi Bi nửa nhóm S ; (2) Đối với a S , a  V p a  với i  I , tồn j  I cho aBi a   B j Chứng minh (1) Bi chứa phần tử p P Thế p = p Ỵ Bi Bi T ú Bi Bi ầ Ci ặ Thế từ (K5 ) có Bi Bi Í Bi 25 (2) Bi chứa phần tử p Ỵ P Ta lại có apa+ Ỵ P T ú P ầ aBi a + ặ T (K4) ta có điều phải chứng minh W 2.2.4 Định nghĩa ký hiệu Giả sử B  {Bi | i  I } hệ - hạt nhân - quy S  P  Chúng ta định nghĩa quan hệ S  P  a ~ b tồn i  I cho a, b Bi Thế hệ - hạt chuẩn nửa nhóm nhân S  P  xác định quan hệ B S nhƣ sau: B  { a, b  S  S | a  V  a  ,b V b  : ba ~ aa , b a ~ bb} Từ hết tiết này, ta xét tính chất B Từ định nghĩa trực tiếp suy B có tính phản xạ 2.2.5 Bổ đề B quan hệ đối xứng Chứng minh Giả sử (a, b)Ỵ r B Thế a+ Ỵ VP (a), b+ Ỵ VP (b) cho ab+ : aa+ b+ a : b+ b Giả sử a, Ỵ VP (a) b, Ỵ VP (b) Thế có Bi1 , Bi2 Ỵ B cho bb+ , aa+ Ỵ Bi1 b+ a, b+ b Ỵ Bi2 Khi ab, Ỵ VP (ba, ) Thế (K3), Bi1 (ab, )Ỵ Bi3 ab, = (aa+ )(ab, )Ỵ Bi1 (ab, )Í Bi2 với Mặt i3 Î I khác (ba+ )(ab, )Î Bi2 Khi Từ ab, , aa+ ab, Ỵ Bi2 Ta lại có bb, = (bb+ b)b, = b(b+ b)b, : b(b+ a)b, (Theo mệnh đề (2) (K1)) Bây b(b+ a)b' = b(b+ a)(a+ a)b' , b(b+ b)(aa+ )b' Ỵ bBi2 Bi4 b' , aa+ Î Bi4 Î B Lại có b(b+ b)(a+ a)b' = b(a+ a )b' Ỵ P Từ tồn i5 Ỵ I cho bBi2 Bi4 b' Ỵ Bi5 Do b(b+ a)b' , b(b+ b)(a+ a)b' Î Bi5 Khi từ (K1) có 26 Bi5 = Bi2 Từ ab, , b(b+ a)b' Ỵ Bi5 = Bi2 Lại có b+ b : b+ b kéo theo b(b+ b)b' : b(b+ a)b' Do ab' : b(b+ b)= bb' Tƣơng tự, chứng minh đƣợc a'b : a'a a ' Î VP (a) tùy ý Từ r B đối xứng W 2.2.6 Chú ý Trong phép chứng minh Bổ đề 2.2.6, chứng minh đƣợc a  VP  a  , b VP  b  cho ba  ~ aa  , b a ~ bb ab, ~bb, cb, ~ a, a c’b a’a b’VP  b  , a’VP  a  Bằng phƣơng pháp tƣơng tự, chứng minh đƣợc có a’VP  a  , b’VP  b  cho ab, ~ bb, , a,b ~ aa, ba  ~ aa  b a ~ bb với a  VP  a  , b, VP  b  Sử dụng nhận xét trên, ta chứng minh đƣợc kết sau 2.2.7 Bổ đề Giả sử  a, b  B ,  b, c  B Thế c  a  a  c  ~ cc  , a   cc   a ~ a  a , b  aa   b ~ bb với a  VP  a  , b VP  b  , c  VP  c  Chứng minh Vì (a, b),(b, c)Ỵ r B nên ba+ : aa+ , b+ a : b+ b , a+ b : a+ a , ab+ : bb+ , cb+ : bb+ , c+ b : c+ c , b+ c : b+ b , bc+ : cc+ a+ Î VP (a ), b+ Î VP (b) Bi1 , Bi2 , Bi3 , Bi4 , Bi5 , Bi6 , Bi7 , Bi8 Ỵ B c+ Ỵ VP (c) cho Vì ba+ , aa+ Ỵ Bi1 , tồn b+ a, b+ b Ỵ Bi2 , a+ b, a+ a Ỵ Bi3 , ab+ , bb+ Ỵ Bi4 , cb+ , bb+ Ỵ Bi5 , c+ b, cc+ Ỵ Bi6 , b+ c, b+ b Ỵ Bi7 bc+ , cc+ Ỵ Bi8 Giả thiết chứng tỏ a (c+ c)a+ : aa+ Bây a (a+ b)(b+ b)(c+ c)a+ , a (a+ b)(b+ c)(c+ a )a + , a (a + a )(b+ c )(c + b )a + Î aBi3 Bi2 Bi6 a + Vì a (a+ a)(b+ c)(c+ b)a+ = a (b+ c)(cb+ )a + Ỵ P , nên tồn i9 Ỵ I cho 27 aBi3 Bi2 Bi6 a+ Í Bi9 (3) a (c+ c)a+ = a (a+ a)(c+ c)a+ , a (a+ b)(c+ c)a + Ỵ aBi3 Bi6 a + Từ Ta lại có, a (c+ c)a+ Ỵ P Từ (K4), tồn i10 Ỵ I cho aBi3 Bi6 Í Bi10 Thế a (a+ b)(b+ b)(c+ c)a+ = a (a+ b)(c+ c )a + Ỵ Bi10 (4) Từ (3), (4) (K1) suy Bi9 = Bi10 Từ a (c+ c)a+ Ỵ Bi9 a (c+ c)a : a (a+ b)(b+ c)(c+ c)a+ Lại có a (a+ b)(b+ b)a+ , a (a+ b)(b+ c)a+ , a (a+ a)(b+ b)a+ Ỵ aBi3 Bi2 a+ Nhƣng aBi3 Bi2 a+ Ỵ Bi11 với a (a+ a)(b+ b)a+ = a (b+ b)a + Ỵ P Bi11 Î B Từ Từ đó, (K4), a (a+ b)(b+ c)(c+ c)a+ = a (a+ b)(b+ c)a+ Î Bi11 Từ (4) (5) nhận đƣợc Bi11 = Bi10 = Bi9 Từ a (c+ c)a + : a (a + b )(b+ c )a + : a (a + b )(b + b )a + = a (a + b)a + Bây a+ b : a+ a kéo theo a (a+ b)a+ : a (a+ a)a+ = aa+ Do đó, a (c+ c)a+ : a+ a Tƣơng tự ta chứng minh đƣợc kết lại W 2.2.8 Bổ đề B quan hệ có tính chất bắc cầu Chứng minh: Giả sử (a, b)Ỵ r B (b, c)Ỵ r B Theo Bổ đề 2.2.7, có a (c+ c)a+ : a+ a , c+ (a+ a)c : c+ c , c+ (aa+ )c : c+ c b+ (aa+ )b : b+ b Giả sử x = bc+ cb+ aa+ Khi (cb+ )(aa+ ), (bb+ )(ba+ ) Ỵ Bi5 Bi1 (bb+ )(ba+ ) = ba+ Ỵ Bi1 Từ suy Bi5 Bi1 ầ Bi1 ặ Th thỡ theo (K5), Bi5 Bi1 ầ Bi1 ặ T ú (cb+ )(aa+ ) Ỵ Bi1 Điều kéo theo x = (bc+ )(cb+ aa+ ) , 28 (cc+ )(cb+ aa+ ) Ỵ Bi8 Bi1 Nhƣng cb+ aa+ = (cc+ )(cb+ aa+ ) Nên Bi8 Bi1 Ç Bi1 ¹ Ỉ Thế theo (K5) ta có Bi8 Bi1 Í Bi1 Từ x Ỵ Bi1 Mặt khác aa+ Ỵ Bi1 , nên x : aa+ (5) Giả sử y = ca+ Thế theo 2.2.2, ac+ Î VP ( y) Giả sử y + = ac+ Khi a+ b : a+ a kéo theo c(a+ b)c+ : (a+ a)c+ theo (K4) Giả sử c(a+ b)c+ , c(a+ a)c+ Ỵ Bi12 Ỵ B Khi (cb+ )(aa+ ),(bb+ )(ba+ ) Ỵ Bi5 Bi1 Nhƣng (bb+ )(ba+ ) = ba+ Ỵ Bi1 T ú Bi5 Bi1 ầ Bi1 ặ Th thỡ (cb+ )(aa+ ) Ỵ Bi1 Khi c(a+ b)c+ Î Bi12 Thế (ca+ bc+ )(cb+ )(aa+ ),(ca+ ac+ )( cb+ )( aa+ ) Ỵ Bi12 Bi1 Từ 2.2.7, ca+ ac+ : cc+ Từ cc+ )(cb+ )(aa+ ) Ỵ Bi12 Bi1 Nhƣng (cc+ )(cb+ )(aa+ ) = (cb+ )(aa+ ) Ỵ Bi1 Do ú Bi12 Bi1 ặ, ú Bi12 Bi1 Bi1 Từ yx = ca+ bc+ cb+ aa + Ỵ Bi1 (6) Khi từ (5) (6) suy yx : x : aa+ (7) Giả sử ta phải chứng minh yy : yx Muốn ý a(c+ b)(c+ c)(b+ c)a+ , a(c+ b)(c+ c)(c+ a)a+ , a(c+ b)(c+ c)(b+ a)a + Ỵ aBi6 Bi6 Bi5 a+ (8) Ở a(c+ b)(c+ c)(b+ c)a+ = a(c+ (b(cc+ )b+ )c)a + Î P Từ đó, (K4), tồn Bi13 Î B cho aBi6 Bi6 Bi2 a+ Í Bi13 Lại có c+ c : c+ b Từ (K4), a(c+ c)a+ : a(c+ b)a+ Nhƣng a(c+ c)a+ , aa+ Ỵ Bi1 theo Bổ đề 2.2.7 Từ a(c+ b)a+ Ỵ Bi1 Khi a(c+ b)a+ = a(cc+ )(c+ b)(b+ b)a+ Ỵ aBi6 Bi6 Bi2 a+ Ỵ Bi13 Từ Bi1 = Bi13 Do y + x, x Ỵ Bi1 Lại có y+ y = ac+ ca+ : aa+ : c Từ y + x : y+ y (9) 29 Từ (7), (9) (K7), ta có y : x Thế ca+ : x : aa+ (10) Tiếp theo chứng tỏ ca+ : c+ c Để làm điều đó, giả sử x1 = c+ cb+ aa+ b , y1 = c+ a Khi a+ c Ỵ VP ( y1 ) Giả sử y1+ = a+ c Từ Bổ đề 2.2.7, có b+ aa+ b : b+ b Từ (c+ c)(b+ aa+ b),(c+ c)(b+ b),(c+ c)(bc+ ),(c+ b)(b+ b) Ỵ Bi6 Bi7 Nhƣng (c+ b)(b+ b) = c+ b ẻ Bi6 T ú Bi6 Bi7 ầ Bi6 ặ Th thỡ (K5) kộo theo Bi6 Bi7 Í Bi6 , suy x1 = (c+ c)(b+ aa+ b), c+ b Ỵ Bi6 Nhƣng c+ b : c+ c Từ x1 : c+ c (11) Lại có x1 y1 = (c+ cb+ a)(a+ b)(c+ a) = (c+ c)(b+ a)(a+ bc+ a) Từ a+ (bc+ )a : a+ (cc+ )a : a+ ( theo 2.2.7) Khi (c+ c)(b+ a),(c+ b)(b+ b) Ỵ Bi6 Bi2 Nhƣng (c+ b)(b+ b = c+ b Ỵ Bi6 Thế từ (K5) ta có Bi6 Bi7 Í Bi6 , (c+ c)(b+ a), c+ b Ỵ Bi6 từ x1 y1 Ỵ Bi6 Bi3 lại có (c+ c)(b+ a)(a+ a) = (c+ c)(b+ a) Ỵ Bi6 Từ x1 y1 , c+ b Ỵ Bi6 Nhƣng c+ b : c+ c Thế x1 y1 : c+ c Từ (11) (12) suy x1 y1 : x1 : c+ c (12) (13) Cuối cùng, ta phải chứng minh x1 y1+ : y1 y + Ở x1 y1+ = c+ cb+ aa+ ba+ c , (cb+ )(aa+ ),(bb+ )(ba+ ) Ỵ Bi5 Bi1 Nhƣng (bb+ )(ba+ ) = ba+ Ỵ Bi1 Ở (cb+ )(aa + ) , ba + Î Bi1 Từ cb+ aa+ ba+ = (cb+ aa+ )(ba+ ) Ỵ Bi1 Bi1 Í Bi1 Thế cb+ aa+ ba+ : aa+ Từ đó, (K4), c+ (cb+ aa+ bb+ )c : c+ (aa+ )c , nghĩa x1 y1+ : y1 y + (14) Từ (13), (14) (K6) kết luận đƣợc x1 y1 từ c+ c : c+ a Từ (a, c) Ỵ r B W 30 2.2.9 Định lý Giả sử B quan hệ nửa nhóm - quy S  P  nêu 2.2.4 Thế B quan hệ nhân chuẩn - tương đẳng; - hệ hạt - tương đẳng B Chứng minh Trƣớc hết, ta chứng minh B nhóm - tƣơng đẳng nên nửa - quy S  P  Từ Bổ đề 2.2.6 Bổ đề 2.2.8, B quan hệ tƣơng đƣơng Ta chứng minh B ổn định trái Giả sử (a, b) Ỵ r B , c Ỵ S , a+ Ỵ VP (a) , b+ Ỵ VP (b) c+ Ỵ VP (c) Thế ba+ : aa+ , b+ a : bb+ , ab+ : bb+ , a+ b : bb+ , a+ b : a+ a Do tồn Bi1 , Bi2 , Bi3 , Bi4 Ỵ B cho ab+ , aa+ Ỵ Bi1 , b+ a, b+ b Ỵ Bi2 , a+ b, a + a Ỵ Bi3 , ab+ , bb+ Ỵ Bi4 Khi ba+ : aa+ kéo theo c(ba+ )c+ : c(aa+ )c+ theo (K4) Giả sử x = b+ c+ cba+ a , y = b+ c+ ca , y+ = a+ c+ cb Ỵ VP ( y) Chú ý b+ c+ cb Ỵ P Giả sử b+ c+ cb Ỵ Bi Ỵ B Khi (b+ c+ cb) : (b+ a),(b+ c+ cb)(b+ b) Ỵ Bi Bi2 Vì (b+ c+ cb)(b+ b) = b+ c+ cb ẻ Bi nờn Bi Bi2 ầ Bi Ỉ Từ theo (k5), Bi Bi2 Í Bi Thế (b+ c+ cb)(b+ a) Ỵ Bi Lại có (b+ c+ cb)(b+ b)(a+ a),(b+ c+ cb)(b+ a)(a+ a)(b+ b) Ỵ Bi Bi3 Nhƣng (b+ c+ cb)(b+ a)(a+ a) = (b+ c+ cb)(b+ a) Ỵ Bi chứng tỏ rng Bi Bi3 ầ Bi ặ Th thỡ Bi Bi3 Í Bi (b+ c+ cb)(b+ b)(a+ a) Ỵ Bi , nghĩa x = b+ c+ cba Ỵ Bi Lại có yx = (b+ c+ ca)(b+ c+ cba+ a) = (b+ (c+ cab+ c+ c)b)(a+ a) Khi ab+ : b+ b Từ theo (K4), c+ c(ab+ )c+ c : c+ c(bb+ )c+ c Điều kéo theo b+ (c+ c(ab+ )c+ c)b : b+ (c+ c(bb+ )c+ c)b Vì b+ c+ cb Ỵ P Í ES , 31 b+ (c+ c(ab+ )c+ c)b = (b+ c+ cb)2 = b+ c+ cb b+ (c+ c(ab+ )c+ c)b Ỵ Bi Thế Khi b+ c+ cb Ỵ Ei , từ yx = (b+ c+ ca)(b+ c+ cba+ a) = (b+ (c+ cab+ c+ c)b)(a+ a) Ỵ Bi Bi3 Nhƣng Bi Bi3 Í Bi từ yx, b+ c+ cb Ỵ Bi Thế yx : x : b+ c+ cb (15) Tiếp theo chứng tỏ y + x : y + y Để làm điều đó, ý (c+ c)(bb+ )(c+ c) Ỵ P Thế tồn Bi5 Ỵ B cho (c+ c)(bb+ )(c+ c) Ỵ Bi5 Khi a+ (c+ cbb+ c+ c)(ba+ )a, a+ (c+ cb+ c+ c)(aa+ )a Ỵ a+ Bi5 Bi1 a Ở a+ (c+ cbb+ c+ c)(aa+ )a = a+ (c+ cbb+ c+ c)a Ỵ P Từ tồn Bi6 Ỵ B cho a+ Bi6 Bi1 a Í Bi6 Thế y + x : y + y (16) Từ (15), (16) (K7) suy y : x : b+ c+ cb , nghĩa b+ c+ ca : b+ c+ cb Từ r B ổn định trái Chứng minh tƣơng tự, B ổn định phải Bây giờ, ta chứng minh Giả sử hệ {Aj / j Ỵ I } - hạt nhân chuẩn - tƣơng đẳng B - hạt nhân r B Giả sử a ẻ Ai v gi s p ẻ Ai ầ P Thế tồn Bi Ỵ B cho p Ỵ Bi Khi p Ỵ VP ( p) , ( p, a) Ỵ r B , ap : pp = p a+ p : a+ a a+ Ỵ VP (a) tùy ý Từ a : p theo (K7) Điều chứng tỏ a Ỵ Bi Nhƣ Ai Í Bi Đảo lại, giả thiết b Ỵ Bi Khi Bi chứa phần tử p Ỵ P Vì Bi nửa nhóm nên pb Ỵ Bi Thế pp : pb Giả sử b+ Ỵ VP (b) Khi từ (K3), tồn Bt Ỵ B cho Bib+ Í Bi Thế bb+ Ỵ Bt pb+ Ỵ Bt Từ 32 pb+ : bb+ Từ pp : pb , pb+ : bb+ theo (K6), ta kết luận đƣợc b : p Từ Bi Í Ai Thế W Từ Định lý 2.2.9 suy đƣợc xác định hệ - tƣơng đẳng nửa nhóm - quy - hạt nhân chuẩn Ta nhận đƣợc kết mở rộng Định lý Prestơn tƣơng đẳng nửa nhóm ngƣợc 33 KẾT LUẬN Dựa cơng trình -congruences on - regular semigroups M K Sen, luận văn trình bày vấn đề sau: Khái niệm nửa nhóm - hệ nửa nhóm quy,   nửa nhóm quy, - quy tính chất chúng (Mệnh để 1.1.8, Định lý 1.1.9, Mệnh đề 1.2.5, Mệnh đề 1.2.14) Khái niệm - đồng cấu nửa nhóm - quy, khái niệm   tƣơng đẳng   nửa nhóm quy tính chất chúng (Định lý 2.1.9, Định lý 2.1.10) Chứng minh chi tiết định lý: Mỗi quy hồn tồn đƣợc xác định hệ lý 2.2.9) - tƣơng đẳng nửa nhóm - - hạt nhân chuẩn (Định 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT 1 A H Cliphơt G B Prestơn(1976), Lý thuyết nửa nhóm (tập 1,2), Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội  2 Lê Quốc Hán (2008), Lý thuyết nửa nhóm v lý thuyết nhóm, Trƣờng Đại học Vinh 3 Nguyễn Huy Trọng (2009), Về nửa nhóm - quy, Luận văn Thạc sĩ, Trƣờng Đại học Vinh TIẾNG ANH  4 T E Nordahl and H E Scheiblich (1978), Regular   semigroups, Semigoup Forum, 16, 369-377 5 M K Sen (1992), - congruences in - regular semigroups, Semigroup Forum, 44, 149-156 6 M Yamada (1982), - systems in regular semigroups, Semigroup Forum, 24, 173-187 7 M Yamada and M K Sen (1989), - regular semigroups, Semigroup Forum, 39, 157-178 8 M Zhang and Y He (1997), The structure of - regular semigroups, Semigroup Forum, 54, 278-291 9 H Zheng (1995), Strong Semigroup Forum, 51, 217-223 - congruences on - regular semigroups, ... tự P  P' Do P  P' Suy pqp  P với p, q  P Từ pp, p  P với p  P Giả sử p, q Ỵ P, p Ỵ Q (p) , q Ỵ Q( p) nên qp Ỵ Q( pq) Từ pq qp.pq = pq (pq) = pq , nghĩa pq Ỵ ES Điều kéo theo P Í ES ... T nửa nhóm quy nửa nhóm quy S Khi T đƣợc gọi nửa nhóm T ( P  ET ) nửa nhóm - - quy S  P  - quy Khi ta ký hiệu P  ET PT 1.2.12 Mệnh đề Giả sử T  PT  nửa nhóm nhóm - quy nửa - quy S  P. .. (P) , tồn   nửa nhóm quy S o đồng cấu f từ S o lên S (P) cho f (Po )= P , P o t? ?p ph? ?p chiếu S o Do đó, - nửa nhóm quy ảnh đồng cấu   nửa nhóm quy Phần cịn lại tiết trình bày nửa nhóm - quy