Về tiêu chuẩn baer đối với tác động trên nửa nhóm

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Phạm trù hàm tử …………………………………………… 1.2 Tích đối tích ………………………………………………… 11 1.3 Tiêu chuẩn Baer môđun nội xạ ………………………… 17 Chương Tiêu chuẩn Baer tác động nửa nhóm 18 2.1 Định nghĩa tác động …………………………………………… 18 2.2 Tác động đầy đủ Côsi ………………………………………… 23 2.3 Tiêu chuẩn Baer ……………………………………………… 24 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Một S - tác động (phải) hay S - hệ thống tập hợp A với hàm  : A  S  A , gọi tác động A S , cho x  A s, t  S (bằng cách ký hiệu  ( x, s) xs ), có x(st )  ( xs)t Nếu S vị nhóm với đơn vị e cần thỏa mãn điều kiện xe  e Một hàm f : A  B S tác động A, B gọi ánh xạ S tác động (hay đơn giản: ánh xạ tác động) đồng cấu x  A , s  S có f ( xs)  f ( x)s Vì ánh xạ đồng hợp thành ánh xạ tác động ánh xạ tác động, nên có phạm trù, Act - S , tất S - tác động (phải) ánh xạ tác động chúng Một khái niệm hữu ích chuyên ngành toán học khoa học tính tốn tác động nửa nhóm hay vị nhóm tập Mục đích luận văn dựa báo “On the baer criterion for acts over semigroups” đăng tạp chí Communications in Algebra năm 2007 xem tài liệu [8] để tìm hiểu tiêu chuẩn Baer tính nội xạ mơđun vành giao hốn với đơn vị, không với tác động vị nhóm tùy ý Sau dựa khái niệm tính chất đầy đủ đưa Giuli, chúng tơi tiếp tục tìm hiểu số lớp vị nhóm cho tiêu chuẩn Baer tác động chúng Luận văn chia thành chương Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phạm trù hàm tử Trước hết, chúng tơi trình bày khái niệm phạm trù số phạm trù cụ thể phạm trù vật, phạm trù nhóm, phạm trù vành, phạm trù R -mơđun phạm trù mơđun Sau chúng tơi trình bày khái niệm hàm tử hiệp biến hàm tử phản biến số hàm tử đặc biệt hàm tử quên, hàm tử biểu diễn 1.2 Tích đối tích Trước hết, chúng tơi trình bày khái niệm tích đối tích, nêu số phạm trù mà chúng tồn tích đối tích Sau chúng tơi trình bày khái niệm vật đẩy kéo phổ dụng vật kéo phổ dụng một phạm trù khái niệm liên quan 1.3 Tiêu chuẩn Baer môđun nội xạ Trình bày khái niệm tính chất modun nội xạ Chương VỀ TIÊU CHUẨN BAER ĐỐI VỚI TÁC ĐỘNG TRÊN NỬA NHÓM 2.1 Định nghĩa tác động Trước hết, chúng tơi trình bày khái niệm S- tác động, co rút co rút tuyệt đối, chứng minh rằng: phạm trù S- tác động, tính nội xạ tính co rút tuyệt đối trùng Sau chúng tơi trình bày khái niệm I nội xạ nội xạ yếu phạm trù S- tác động 2.2 Tác dụng đầy đủ Cơsi Trình bày khái niệm dãy Côsi dãy Côsi đầy đủ S- tác động 2.4 Tiêu chuẩn Baer tác động nửa nhóm Trình bày lớp nhóm cho nó, tính nội xạ trùng với tính đầy đủ, e từ nhận số lớp vị nhóm   S mà tác động chúng thoả mãn tiêu chuẩn Baer Luận văn thực hoàn thành Đại học vinh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng biêt ơn sâu sắc kính trọng đến PGS.TS Lê Quốc Hán với thầy cô giáo tổ Đại số tạo điều kiện giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thiện luận văn Mặc dầu cố gắng, song luận văn khơng thể tránh thiếu sót, mong nhận đóng góp quý báu thầy, cô bạn Xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phạm trù hàm tử 1.1.1 Định nghĩa Một phạm trù A bao gồm lớp vật Ob(A ) ; hai vật tùy ý A, B  Ob(A ) , tập Mor( A, B) gọi tập cấu xạ từ A đến B ; ba vật A, B, C  Ob(A ) luật hợp thành (tức ánh xạ) Mor  B, C   Mor  A, B   Mor  A, B  đồng thời tiên đề sau phải thỏa mãn: PT1 Hai tập Mor  A, B  Mor  A ', B ' không giao nhau, trừ trường hợp A  A ' B  B ' , trường hợp chúng PT2 Đối với vật A  Ob(A ) có cấu xạ id A  Mor  A, B  mà vật B  Ob(A ) , tác dụng bên trái bên phải lên phần tử thuộc tập Mor  B, A Mor  A, B  tương ứng cách đồng PT3 Luật hợp thành có tính kết hợp (trong trường hợp xác định), nghĩa f  Mor  A, B  , g  Mor  B, C  h  Mor  C, D  h g f  h g f  vật A, B, C, D  Ob(A ) 1.1.2 Chú ý Lớp tất cấu xạ phạm trù ký hiệu Ar(A ) (Từ chữ "arrows of A "-"các mũi tên A ") Đôi khi, ta dùng cách viết " f  Ar A  " để biểu thị f cấu xạ A , nghĩa phần tử thuộc tập hợp Mor  A, B  đó, A, B  Ob(A ) Ta gọi lớp vật phạm trù, trường hợp mà ta hiểu rõ ràng cấu xạ phạm trù đối tượng Phần tử f  Mor  A, B  viết dạng f : A  B f A  B Cấu xạ f gọi đẳng cấu, tồn cấu xạ g : B  A cho g f  id A f g  id B Nếu A  B ta gọi đẳng cấu tự đẳng cấu Các cấu xạ từ vật A đến gọi tự đồng cấu Tập tự đồng cấu vật A ký hiệu End( A) Từ tiên đề suy End( A) vị nhóm Giả sử A  Ob(A ) Ký hiệu Aut( A) tập tự đẳng cấu A Khi Aut( A) với phép hợp thành cấu xạ nhóm 1.1.3 Ví dụ a/ Giả sử S phạm trù mà vật tập cấu xạ ánh xạ tập Khi S gọi phạm trù tập Ba tiên đề P1, P2, P3 thỏa mãn cách tầm thường b/ Giả sử Grp phạm trù nhóm, nghĩa phạm trù mà vật nhóm cịn cấu xạ đồng cấu nhóm Ba tiên đề phạm trù thỏa mãn Tương tự, ta có phạm trù vị nhóm ký hiệu Mon; phạm trù nhóm Aben ký hiệu Ab c/ Ngồi cịn có phạm trù khác phạm trù vành ký hiệu Ring, phạm trù R -môđun, ký hiệu R -MOD, phạm trù môđun ký hiệu MOD, 1.1.4 Chú ý Giả sử A phạm trù Ta lấy cấu xạ thuộc A làm vật thuộc phạm trù C Nếu f : A  B g : A '  B ' hai cấu xạ A (do vật thuộc C ), ta định nghĩa cấu xạ f  f ' (trong C ) cặp cấu xạ  ,   A cho biểu đồ sau giao hoán: nghĩa  f g  Rõ ràng C phạm trù Cũng trường hợp ánh xạ tập, nên trang bị cho  ,   số f f ' , thực hành ta bỏ việc số hóa Về đề tài này, có nhiều cách trình bày Chẳng hạn, ta tập trung ý vào cấu xạ A mà vật xuất phát cố định, vào cấu xạ mà vật cuối cố định Chẳng hạn, giả sử A vật A giả sử AA phạm trù mà vật cấu xạ f :X A A A vật cuối Cấu xạ AA từ f : X  A đến g : Y  A cấu xạ h : X Y A cho biểu đồ sau giao hoán nghĩa h f  g 1.1.5 Định nghĩa Giả sử C phạm trù Vật P  Ob(C ) gọi vật khởi đầu hay vật đẩy phổ dụng với vật X tùy ý thuộc C , Mor  P, X  có phần tử Vật P  Ob(C ) gọi vật tận hay vật kéo phổ dụng với X  Ob(C ) , tập Mor  P, X  có phần tử Vật khởi đầu hay vật cuối phạm trù gọi chung vật phổ dụng Chú ý vật phổ dụng có cấu xạ đồng vào nó, nên P, P ' vật phổ dụng thuộc C chúng tồn đẳng cấu xác định 1.1.6 Ví dụ Giả sử f : S  F ánh xạ từ tập S vào nhóm F đó, g : S  G ánh xạ khác Nếu f ( S ) sinh F , tồn nhiều đồng cấu  từ nhóm F vào nhóm G cho biểu đồ sau giao hoán Bây ta xét phạm trù C mà vật ánh xạ từ tập S vào nhóm Nếu f : S  G f ': S  G ' vật thuộc phạm trù ta hiểu cấu xạ từ f đến f ' đồng cấu  : G  G ' cho  f  f ' , nghĩa biểu đồ sau giao hoán Gọi ( F , f ) nhóm tự tập S Thế ( F , f ) vật khởi đầu phạm trù C Bây ta chuyển sang khái niệm hàm tử 1.1.7 Định nghĩa Giả sử A, B phạm trù Hàm tử hiệp biến F từ A vào B quy tắc đặt vật A  Ob(A ) ứng với vật F ( A) thuộc B cấu xạ f : A  B ứng với cấu xạ F  f  : F  A  F  B  cho điều kiện sau thỏa mãn: HT1 Đối với A  Ob(A ) , có F  id A   id F  A HT2 Đối với f : A  B, g : B  C hai cấu xạ thuộc A F g f   F g F  f  Khái niệm hàm tử phản biến định nghĩa tương tự, khác cấu xạ f : A  B thuộc A F  f  : F  B   F  A B cho f : A  B, g : B  C F  g f   F  f  F  g  Đôi khi, để ký hiệu hàm tử, ta viết f* thay cho F ( f ) trường hợp hàm tử hiệp biến, f * trường hợp hàm tử phản biến Chú ý rằng, hàm tử biến đẳng cấu thành đẳng cấu, f g  id kéo theo F  f  F  g   id* 1.1.8 Ví dụ a/ Đối với nhóm G ứng với tập (cất cấu trúc nhóm khỏi nó) đồng cấu nhóm ứng với đồng cấu ấy, xem quan điểm lý thuyết tập, ta hàm tử phạm trù nhóm vào phạm trù tập Hàm tử gọi hàm tử quên 10 b/ Xét tương ứng F : S  Grp tập S ứng với nhóm tự F ( S ) sinh S ánh xạ f : S  T ứng với đồng cấu nhóm F  f  : F  S   F T  (sự tồn đồng cấu nhóm F ( f ) F (T ) nhóm tự do) Dễ kiểm tra hàm tử hiệp biến Tương tự ta có hàm tử từ S  Ab biến tập hợp thành nhóm Aben sinh tập biến ánh xạ tập hợp thành đồng cấu nhóm cảm sinh từ ánh xạ c/ Giả sử A phạm trù A vật cố định A Ta hàm tử hiệp biến M A :A  S cách đặt M A  X   Mor  A, X  với vật X thuộc A Nếu  : X  X ' cấu xạ ta lấy M A   : Mor  A, X   Mor  A, X '  ánh xạ cho quy tắc g  g g  Mor  A, X  , g  A   X   X ' Các tiên đề HT1 HT2 thử cách tầm thường Tương tự, vật B thuộc A , ta có hàm tử phản biến M B :A  S cho M B Y   Mor Y , B  Nếu  : Y '  Y cấu xạ ta lấy M B   : Mor Y , B   Mor Y ', B  ánh xạ cho quy tắc f f  đối  f Y  B với f  Mor Y , B  , Y '  Hai hàm tử gọi hàm tử biểu diễn 1.1.9 Chú ý Giả sử G G ' hai nhóm, tập cấu xạ Mor  G, G ' phạm trù nhóm chẳng qua tập đồng cấu từ G vào G ' ; ký hiệu Hom(G, G ') Chú ý Hom(G, G ') nói chung khơng phải nhóm G ' nhóm khơng Aben 18 Chương VỀ TIÊU CHUẨN BAER ĐỐI VỚI TÁC ĐỘNG TRÊN NỬA NHÓM 2.1 Định nghĩa tác động Một S - tác động (phải) hay S - hệ thống tập hợp A với hàm  : A  S  A , gọi tác động A S , cho x  A s, t  S (bằng cách ký hiệu   x, s  xs ), có x  st    xs  t Nếu S vị nhóm với đơn vị e , cần thỏa mãn điều kiện xe  x Một hàm f : A  B S - tác động A, B gọi ánh xạ S tác động (hay đơn giản: ánh xạ tác động) đồng cấu x  A, s  S có f  xs   f  x  s Vì ánh xạ đồng hợp thành ánh xạ tác động ánh xạ tác động, nên có phạm trù, Act - S, tất S - tác động (phải) ánh xạ tác động chúng Chú ý theo định nghĩa tác động, tập rỗng S tác động Bây xem lớp S - tác động lớp tương đương, phạm trù Act - S đầy đủ (complete), (có tất tích bù) đối đầy đủ (có tất đối tích đối bù) Thực ra, giới hạn đối giới hạn phạm trù tính tốn tập hợp Cũng vậy, đơn cấu xạ phạm trù ánh xạ tác động – 2.1.1 Định nghĩa Một S - tác động B gọi mở rộng (extension) tác động A tồn đơn cấu xạ h : A  B Trong trường hợp này, 19 ý trên, đơn cấu xạ thực chất ánh xạ tác động – một, nên ta xem A tác động - B Một S - tác động A gọi co rút (retract) mở rộng B với đơn cấu xạ h : A  B , tồn đồng cấu f : B  A cho f h  id A , trường hợp f gọi co rút Một S - tác động A gọi co rút tuyệt đối (absolute retract) co rút mở rộng Một phần tử a S - tác động A gọi phần tử cố định (fixed) hay phần tử không (zero) as  a tất s  S Một S - tác động A gọi nội xạ S - đơn cấu xạ h : B  C S - ảnh xạ f : B  A tồn S - ảnh xạ g : C  A cho g h  f Chú ý tác động nội xạ vị nhóm thiết phải có phần tử khơng (xem [6]) điều chứng minh tương tự với tác động nhóm Hơn nữa, S - tác động nội xạ co rút tuyệt đối Một phương pháp để dẫn tới kết dựa vào việc chứng minh Bổ đề sau 2.1.2 Bổ đề Đối với nửa nhóm S , phạm trù S - tác động buông (push-out) đơn cấu đơn cấu Chứng minh Lấy hình vuông buông S - tác động sau: 20 f A g B k C h D Ta biết D (đẳng cấu) với S - tác động  B C  /  , B C hợp rời B C với tác động tự nhiên ánh xạ đơn ánh tự nhiên iB : B  B C , iC : C  B C ,  tương đẳng bé sinh quan hệ R  iB f  a  , iC g  a  : a  A Cũng vậy, k h ánh xạ hợp thành iB , iC với ánh xạ tự nhiên  : B C   B C  /  tương ứng Bây giờ, giả sử f đơn cấu Chúng ta chứng tỏ h đơn cấu Giả sử c, c '  C với h  c   h  c ' Thế  c, c '  , nghĩa c c ' quan hệ với theo quan hệ tương đương sinh  xs, ys  :  x, y   R, s  S  Do e c  c ' kết phải chứng minh tồn a1 , a2 , , an  A , s1 , s2 , , sn  S cho c  g  a1s1  , g  ancn   c ' , f  a1s1   f  a2 s2  , , f  an1sn1   f  an sn  , g  a2 s2   g  a3s3   Và f đơn cấu nên ta nhận a3s3  a4 s4 , , an1sn1  an sn Do ®ã g  a1 , s1   g  a2 s2   g  a3s3    g  an sn  a1s1  a2 s2 , 21 từ c  c ' 2.1.3 Mệnh đề Trong phạm trù S - tác động, tính nội xạ tính co rút tuyết đối trùng Chứng minh Rõ ràng tính nội xạ kéo theo tính co rút tuyệt đối Để chứng minh khẳng định ngược lại, giả sử A S - tác động co rút tuyệt đối, h : B  C đơn cấu f : B  A đồng cấu Thiết lập buông h f f h f C f' A h' D' Và ta nhận h ' đơn cấu theo Bổ đề Bây ta sử dụng giả thiết A co rút tuyệt đối, tồn đồng cấu k : D  A cho k h '  id A Thế g : k f ' thỏa mãn g k  k f ' h  k h ' f  iA f  f Chúng ta kết thúc tiết cách nhắc lại định nghĩa sau 2.1.4 Định nghĩa Giả sử I la idean phải S (một tập S mà phép nhân phải phần tử S : IS  I ) Một S - tác động A gọi I - nội xạ ánh xạ tác động f : I  A mở rộng thành tác động từ S đến A Nếu A gọi I - nội xạ, iđêan phi I ca S , th thỡ A c gọi nội xạ yếu (weaking injective) Điều kiện nội xạ yếu tương đương với điều kiện nội xạ biết Tiêu chuẩn Baer tính nội xạ phạm trù môđun vành R 22 với đơn vị Tuy nhiên, nói chung khơng tính nội xạ M tác động, vị nhóm M tùy ý, chẳng hạn M   ,max  (xem [6]) Để tìm đặc trưng vị nhóm M mà Tiêu chuẩn Baer M - tác động, M M Ebrahimi Mahmoudi chứng tỏ   ,min  vị nhóm (xem [3] [4]) Ở chúng tơi tìm hiểu số lớp rộng nửa nhóm vị nhóm thỏa mãn điều kiện 2.2 Tác động đầy đủ Côsi (Cauchy complete acts) Trong tiết này, chúng tơi giới thiệu khái niệm tính đầy đủ S - tác động Khái niệm đóng vai trò quan trọng để nhận Tiêu chuẩn Baer Thực tế, trường hợp đơn vị e bổ sung vào nửa nhóm S , người ta nhận c v nhúm S e ú S l iđêan phi tối đại nht ca S e Th S - nội xạ khái niệm S e - tác động mà yếu tính nội xạ yếu Và tính đầy đủ thể tác động nửa nhóm S , theo nghĩa A đầy đủ ánh xạ S tác động S  A mở rộng thành ánh xạ S - tác động S e  A , S e xem S - tác động với phép tốn hai ngơi tác động Khái niệm tính đầy đủ, nói "dãy Côsi hội tụ", áp dụng đại số chiếu (projection algebras) (xem [5]), mà chúng tác động vị nhóm   ,min  2.2.1 Định nghĩa Một dãy Côsi (Cauchy sequence) S - tác động A họ  as sS phần tử A thỏa mãn ast  ast tất s, t  S 23 Giới hạn (limit) dãy Côsi  as sS A mở rộng B A phần tử b  B cho bs  as tất s  S Dễ dàng chứng minh Bổ đề sau 2.2.2 Bổ đề Một dãy  as sS S - tác động A có giới hạn mở rộng B A dãy Côsi Chú ý giới hạn dãy Côsi tác động A mở rộng B A khơng thiết nhất, B tách (separated), theo nghĩa bs  b ' s tất s  S , b  b ' 2.2.3 Định nghĩa Một S - tác động A gọi đầy đủ (complete) dãy Cơsi A có giới hạn 2.2.4 Chú ý Chú ý dãy Côsi A - tác động cách phát biểu khác tác động từ S đến A Và theo quan điểm này, dãy Cơsi f : S  A có giới hạn mở rộng thành ánh xạ tác động f : S e  A Như vậy, A S - tác động đầy đủ A S - nội xạ S e - tác động 2.3 Tiêu chuẩn Baer tác động nửa nhóm Ở xét số lớp nửa nhóm cho tác động chúng tính nội xạ trùng với tính đầy đủ từ đó, theo lập luận cho phần đầu tiết trước, nhận số lớp vị nhóm M  S e mà tác động chúng thỏa mãn Tiêu chuẩn Baer Trước hết, xét định lý sau 2.3.1 Định lý Mỗi S - tác động nội xạ đầy đủ 24 Chứng minh Áp dụng Chú ý 2.2.4 chứng minh trực tiếp sau: Giả a  sử A nội xạ, s sS dãy Côsi A Xét mở rộng B  A   as sS  A tác động  as sS t  at t  S Vì A nội xạ nên tồn ánh xạ tác động f : B  A cho f |A  id Giả sử f   as sS   a Thế at  f   as sS  t  f   as sS , t   f  at   at đối tất t  S từ a giới hạn  at tS 2.3.2 Chú ý Chú ý điều đảo lại Định lý khơng Chẳng hạn, nửa nhóm S có đơn vị trái đầy đủ S - tác động (và tác động khác nó) khơng cần phải có phần tử khơng khơng nội xạ Như việc đặt câu hỏi tác động đầy đủ với zero nội xạ hợp lý Ví dụ sau chứng tỏ câu trả lời phủ định 2.3.3 Ví dụ Xét nửa nhóm S  2,3,4, ,. S - tác động A  0,1,2,3,  với tích lÊy lµm tác động Thế dãy Cơsi A có dạng  ms sS , m  N , m  Các dãy đưa dạng rõ ràng dãy Côsi Đảo lại, giả sử a  s sS dãy Côsi A , tất t , s  S , at s  ast  as t Do a2 chẵn, a2  2k  với k  a2  a3 , ta có 3 2k  1  2a3 : mâu thuẫn Giả sử a2  2m , m  Thế đẳng thức a2 s  as cho ta as  ms , tất s  S địi hỏi Bây A đầy đủ dãy mssS hội tụ tới m  A Nhưng A khơng nội xạ, xét mở rộng B A gồm tất phần tử A tất bội 1.5, khơng tồn đồng cấu f : B  A với f |A  id A Điều vì, 25 f đồng cấu f 1.5  n phải có  f  3  f 1.5  2n điều khơng thể Sau bàn luận trên, tìm nửa nhóm cho tác động chúng có phần tử zero, tính đầy đủ kéo theo tính nội xạ chúng trùng Ở đây, ta ký hiệu Id r  S  poset tất iđêan phải S (được thứ tự phận quan hệ bao hàm) 2.3.4 Định lý Giả sử S nửa nhóm cho  Id r  S  , ,  đại số Bun Thế S - tác động A với phần tử zero đầy đủ nội xạ Chứng minh Bằng cách sử dụng Mệnh đề 2.1.3 Định lý 2.3.1, chứng tỏ S - tác động A đầy đủ, co rút tuyệt đối Giả sử B mở rộng A Định nghĩa ánh xạ g : B  A g |A  id b  B  A a0 nÕu bs  B  A g b ab ngược lại ú a0 phần tử zero A , ab giới hạn dãy Cơsi  as sS as  bs với bs  A as  a0 bs  A Thế g ánh xạ tác động, s  S b  B , I b  s  S : bs  A iđêan phải S  I b iđêan phải theo giả thiết Nếu s  I b , ta có bsS  A g  bs   bs  ab s  g  b s s  S  I ta có bsS  B  A nên g  bs   a0  a0 s  g  b  s 26 2.3.5 Hệ Nếu S nửa nhóm cho  Id r  S  , ,  đại số Bun, Tiêu chuẩn Baer tất S e - tác động với phần tử zero Lớp tất nửa nhóm zero trái (phải) ví dụ thoả mãn giả thiết Định lý Thực ra, nửa nhóm zero trái S , Id r  S   P  S  , nửa nhóm zero phải, Id r  S   , S  2.3.6 Hệ Giả sử S nửa nhóm thoả mãn điều kiện: cặp phần tử s, t  S , st  s (hay st  t ) Thế S - tác động với phần tử zero đầy đủ nội xạ Có nhiều ví dụ khác nửa nhóm thoả mãn Id r  S  đại số Bun Xét ví dụ nửa nhóm S cho Id r  S  đại số Bun Id r  S  khác  , S  khác P  S  sau 2.3.7 Ví dụ st  sp  t  tt  , Giả sử S  s, t , p, r ps  pr  r  rs  rr , với ss  sr  s  ts  tr , pt  pp  p  rt  rp Thế Id r  S  đại số Bun  = , S , s, t,  p, r Lớp nửa nhóm khác thoả mãn Tiêu chuẩn Baer lớp nửa nhóm xyclic 2.3.8 Định lý Giả sử S nửa nhóm xyclic vơ hạn Thế S - tác động A với phần tử zero đầy đủ nội xạ Chứng minh Trước nửa nhóm xyclic vô hạn đẳng cấu với  * ,  (xem [6]) Do đó, chứng minh kết tác động S   ,  27 Giả sử A S - tác động với phần tử zero mà đầy đủ Để chứng minh A co rút tuyệt đối, giả sử B mở rộng A Đối với b  B  A , lấy S1b S 2b hai tập S cho bS1b  A , bS2b  B  A S1b  S2b  S Ánh xạ thu hẹp g : B  A xác định A ánh xạ đồng nhất, b  B  A với bS  B  A , cho g  b   a0 a0 phần tử zero A Để xác định g phần tử b khác B  A , trước S 2b hữu hạn S1b   Điều vì, lấy m  S1b , thấy n, n  m, bn  b  m   n  m    A Thực ra, n phần tử nhỏ cho bn  A , S1b  n, n  1, n  2,  S2b  1, 2, , n  1 Do đó, tập B  A gồm tất phần tử b với bs Ú B  A , hợp tập rời Bn , n  B  A , Bn  b  B  A : card  S2b   n Do đó, định nghĩa ánh xạ gn : Bn  A , n  , ánh xạ co rút g phần tử b thuộc B  A với bS Ú B  A cho n ,n0 g n Họ gn , n  xác định theo quy nạp n sau: Bước 1: g0  b  , b  B0 giới hạn dãy Côsi  b.n n Bước quy nạp Giả thiết g0 , , gk 1 xác định, định nghĩa g k  b  b  Bk giới hạn dãy Côsi  g b.1 , g b.2 , , g b.k  , b. k  1, b. k  ,  k 1 k 2 (1) Bây giờ, đủ chứng minh ánh xạ g định nghĩa ánh xạ tác động Lấy b  B, n  Nếu b  A hay b  B  A 28 với bS  B  A rõ ràng có g  bn   g  b  n Do đó, giả sử b  Bk k  Nếu n  k , bn  Bk n Do đó, g  bn   gk n  bn  , g  b  n  g k  b  n thành phần thứ n dãy Côsi (1), mà nõ g k n  bn  Cuối cùng, n  k , bn  A Do g  bn   bn g  b  n thành phần thứ n dãy Cơsi (1) mà bn 2.3.9 Định lý Giả sử S nửa nhóm xyclic hữu hạn Thế S - tác động A với phần tử zero đầy đủ nội xạ Chứng minh Giả sử S  s0  s0 , s02 , , s0m , s0m1 , , s0mr 1 m số s0 r chu kỳ s0 Thế theo cải biên phép chứng minh Định lý trên, cách thay bn bs0n ,  n  m  r  1, nhận kết 2.3.10 Hệ Giả sử S nửa nhóm xyclic Thế Tiêu chuẩn Baer S e - tác động với phần tử zero Lớp nửa nhóm cuối có kết lớp nửa nhóm Zero, nửa nhóm có phép tốn hai ngơi 2.3.11 Định lý Giả sử S nửa nhóm thoả mãn st  s0 , tất s, t  S phần tử s0 thuộc S Thế S - tác động A đầy đủ nội xạ Chứng minh Trước rằng, nửa nhóm Zero S , S - tác động A có phần tử zero Thực ra, a  A , as0 phần tử zero A Điều vì, s  S ta có  as0  s  a  s0 s   as0 Bây giờ, giả sử A S - tác động đầy đủ Để chứng minh A co rút tuyệt đối, giả sử B mở rộng A a0 phần tử zero 29 A Chú ý b  B  A ta có bs0  B  A bS  B  A , bs  A kéo theo bs0  b  ss0    bs  s0  A Định nghĩa f : B  A f |A  id b  B  A , ab neáu bS Ú B  A f b   , a neá u bS  B  A  a0 phần tử zero A , ab phần tử A nhận sau Giả sử bS Ú B  A Thế tồn tập khác rỗng S1 S cho S1  S2  S , bS1  A bS2  B  A Bây cách thay tất bs , s  S , bs0 dãy Côsi  bs sS , ta nhận dãy Côsi A Nếu dãy dãy hằng, nghĩa tất s  S , bs  bs0 , ta đặt ab  bs0 , ngược lại ta lấy ab giới hạn dãy Côsi này, tồn tính đầy đủ A Trong trường hợp này, ta có s  S1, ab s  b , s  S2 , ab s  bs0 Bây thầy f đồng cấu, giả sử b  B  A s  S Nếu bs  B  A bsS  B  A f  bs   a0  a0 s  f  b  s Nếu bs Ú B  A , hai trường hợp xuất hiện: (1) s  S1 (2) s  S2 Trong trường hợp thứ nhất, ta có ab s  bs f  bs   f  ab s   ab s  f  b  s Trong trường hợp thứ hai, bs  B  A tất s  S , ta có bst  bs0 abs  bs0 Từ f  bs   bs0  bs0 s  f  b  s 2.3.12 Hệ Giả sử S nửa nhóm zero Thế Tiêu chuẩn Baer S e - tác động 30 KẾT LUẬN Dựa vào báo “On the baer criterion for acts over semigroups” đăng Tạp chí Communications in Algebra năm 2007, Luận văn hoàn thành việc sau: Nhắc lại định nghĩa phạm trù, hàm tử số khái niệm liên quan, nêu ví dụ khái niệm Nhắc lại định nghĩa tích, đối tích, khái niệm đối ngẫu khái niệm liên quan Trình bày định nghĩa S – tác động chứng minh kết quả: Trong phạm trù S – tác động, tính nội xạ tính co rút tuyệt đối trùng (Mệnh đề 2.1.3) Trình bày khái niệm dãy Cơsi dãy Côsi đầy đủ S – tác động chứng minh kết quả: Mỗi S – tác động nội xạ đầy đủ (Định lý 2.3.1) Tìm hiểu lớp nửa nhóm cho tác động chúng tính nội xạ trùng với tính đầy đủ (Định lý 2.3.4, Hệ 2.3.6, Định lý 2.3.8, Định lý 2.3.11) Từ nhận số lớp vị nhóm M  S e mà tác động chúng thoả mãn Tiêu chuẩn Baer (Hệ 2.3.5, Hệ 2.3.10, Hệ 2.3.12) 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphớt G.B Prestơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2009), Giáo trình Lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết nhóm, Đại học Vinh [3] Ngô Sĩ Tùng (1996), Lý thuyết phạm trù, Tr-êng Đại học Sư phạm Vinh Tiếng Anh [4] B Banaschewski, (1970), Injectivity and essential extensions in equational classes of algebras Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics 25, 131 − 147 [5] M M Ebrahimi, (1982), Algebra in a topos of sheaves: injectivity in quasi-equational classes J Pure and Apple Alg 26(10), 269 − 280 [6] M M Ebrahimi, M Mahmoudi, (2001), The category of M-Sets Ital J Pure Appl Math 9, 123 − 132 [7] M M Ebrahimi, M Mahmoudi, (2005), Baer criterion and injectiviry of projection algebras Semigroup Forum 71, 332 − 335 [8] M M Ebrahimi, M.Mahmoudi, Gh M Angizan, (2007), On the Baer criterion for acts over semigroups, Commmunications in Algebra, 35, 3912 − 3918 [9] E Giuli, (1994) “On m-separated projection spaces” Appl Categ Stru' ctures 2, 91 − 99 32 [10] K Kilp, U Knauer, and A Mikhalev, (2000) Monoids, Acts and Categories, Walter De Gruyter: Berlin, New York [11] P Normak, (1980) Purity in the category of M-sets Semigroup Forum 20(3), 157 − 170 Tiếng Đức [12] F Kasch (1977), Modul and ringe, G B Teubner Stutgart ... ánh xạ tác động f : S e  A Như vậy, A S - tác động đầy đủ A S - nội xạ S e - tác động 2.3 Tiêu chuẩn Baer tác động nửa nhóm Ở xét số lớp nửa nhóm cho tác động chúng tính nội xạ trùng với tính... khái niệm liên quan 1.3 Tiêu chuẩn Baer mơđun nội xạ Trình bày khái niệm tính chất modun nội xạ Chương VỀ TIÊU CHUẨN BAER ĐỐI VỚI TÁC ĐỘNG TRÊN NỬA NHÓM 2.1 Định nghĩa tác động Trước hết, chúng... 18 Chương VỀ TIÊU CHUẨN BAER ĐỐI VỚI TÁC ĐỘNG TRÊN NỬA NHÓM 2.1 Định nghĩa tác động Một S - tác động (phải) hay S - hệ thống tập hợp A với hàm  : A  S  A , gọi tác động A S , cho x  A s,