Các α tương đẳng trên các α nửa nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ THU HÀ  - TƢƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC  - NỬA NHĨM CÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VINH - 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ THU HÀ  - TƢƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC  - NỬA NHÓM CÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS LÊ QUỐC HÁN VINH - 2010 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tương đẳng nửa nhóm 1.2 Nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi 13 Chƣơng CÁC  - TƢƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC  - NỬA NHÓM 19 2.1 Nửa nhóm TE ( X ) 19 2.2  - tương đẳng  - nửa nhóm 28 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI NÓI ĐẦU Cùng với khái niệm iđêan, tương đẳng hai khái niệm quan trọng Lý thuyết nửa nhóm Năm 1988, Hofmann Magill xét mối quan hệ tương đẳng  - nửa nhóm T(X) T - tương đương X nhận kết Đối với tương đẳng  T(X), giả sử  ( )  ( x, y) : ( x,  y)   Thế  ( )  Teq( X ) Mặt khác, E  T(X), giả sử C ( E )  ( x,  y ) : ( x, y)  E  (T ( X )) Thế C(E) tương đẳng T(X) Ký hiệu Cong (T(X)) dàn tất tương đẳng T(X) Thế hàm  đồng cấu từ Cong (T(X)) lên Teq(X), C đồng cấu từ Teq(X) vào Cong (T(X)) Hơn nữa,  C đơn ánh,  C ánh xạ đồng Teq(X) Tóm lại, T(X) xác định dàn đầy đủ  (X) chứa  (X) X  X, mà ảnh Cong (T(X)) đồng cấu  Trong luận văn này, quan tâm tới toán đảo: Đối với dàn đầy đủ L  (X) chứa  (X) X  X, tồn hay khơng nửa nhóm T(X) thoả mãn Teq(X) = L? Hơn nữa, điều xảy T(X) có khơng? Theo 8 , tồn số  - nửa nhóm T(X) với Teq(X) = L dàn đầy đủ L cho nói chung T(X) khơng nhất, số chúng phần tử lớn xác định cách dễ dàng Năm 1993, Pei Huisheng xét lớp tương đẳng S(X) (nửa nhóm ánh xạ liên tục từ X vào X, X khơng gian tôpô), gọi  - tương đẳng Dựa vào báo Equivalences,  - Semigroups and  - Congruences Pei Huisheng đăng tạp chí Semigroup Forum số 49 năm 1994, chúng tơi tìm hiểu  - tương đẳng T(X) mối liên quan  - tương đẳng T - tương đương  - nửa nhóm T(X) tổng quát Luận văn gồm chương Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất Lý thuyết nửa nhóm: nửa nhóm, nửa nhóm quan hệ tập, tương đẳng, tương đẳng nửa nhóm, tương đẳng sinh quan hệ cho trước, nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập Chƣơng Các  - tƣơng đẳng  - nửa nhóm Đây nội dung luận văn Tiết 1, chúng tơi quan tâm đến lớp  - nửa nhóm, gọi TE(X), mà xác định quan hệ tương đương không tầm thường E Chúng chứng minh chi tiết kết biết: dàn phù hợp với TE(X) thực chất  X),E,X  X TE(X)  - nửa nhóm lớn phù hợp với E Khi đó, cách lấy giao TE(X) đó, nhận phần tử lớn T(X) với Teq(X) = L dàn đầy đủ cho L  (X) Tiết 2, chúng tơi nhắc lại định nghĩa  - nửa nhóm nửa nhóm tuỳ ý tìm hiểu số kết  - nửa nhóm tổng quát Từ nhận phân hoạch Cong (T(X)) T(X) Cuối cùng, kết tiết áp dụng để xác định  - tương đẳng thực lớn nhỏ số  - nửa nhóm Luận văn thực hướng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy, người tận tình dẫn chúng tơi học tập tập dượt nghiên cứu khoa học.Cũng này, xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học, tổ Đại số PGS TS Ngô Sỹ Tùng; PGS TS Nguyễn Thành Quang; TS Nguyễn Thị Hồng Loan quý thầy cô khoa Tốn Đại học Vinh nhiệt tình dẫn giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đóng góp quý báu thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TƢƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC NỬA NHÓM 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S tập hợp tuỳ ý khác rỗng Khi đó, ánh xạ từ tích Descartes S x S vào S gọi phép tốn hai ngơi S Nếu ánh xạ ký hiệu dấu (.) ảnh S phần từ (a,b)  S x S ký hiệu a.b hay đơn giản hơn: ab Để ký hiệu phép tốn hai ngơi ta dùng dấu “+” hay “  ” Phép tốn hai ngơi (.) S gọi kết hợp, a.(b.c) = (a.b).c với a, b, c thuộc S Tập hợp S gọi nửa nhóm, xác định phép tốn hai ngơi có tính chất kết hợp Nửa nhóm S gọi nửa nhóm giao hốn, phép tốn S có tính chất giao hoán, nghĩa a.b = b.a với a, b thuộc S 1.1.2 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm tuỳ ý Phần tử e  S gọi đơn vị trái S ex = x với x  S Phần tử e  S gọi đơn vị phải xe = x với x  S Phần tử e  S gọi phần tử đơn vị e vừa đơn vị trái, vừa đơn vị phải S Chú ý rằng: Một nửa nhóm khơng có có nhiều đơn vị trái (hay phải), có có phần tử đơn vị Nửa nhóm S gọi vị nhóm, S có đơn vị (hai phía) 1.1.3 Ví dụ 1) Tập hợp số tự nhiên vị nhóm giao hốn Tập hợp với phép cộng thông thường nửa nhóm giao hốn phép tốn hai sau đây: - Phép nhân thông thường - Phép lấy UCLN (ước chung lớn nhất) - Phép lấy BCNN (Bội chung nhỏ nhất) 2) Tập hợp P (X) tập tập hợp X vị nhóm giao hốn phép tốn hai giao hợp 3) Giả sử X tập hợp khác rỗng S tập hợp tất ánh xạ từ X vào X Khi S với phép nhân ánh xạ vị nhóm (đơn vị S ánh xạ đồng X) Nếu X có nhiều phần tử, S khơng giao hốn 1.1.4 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm tuỳ ý A tập khơng rỗng S Khi A gọi nửa nhóm S A tập ổn định S, nghĩa ab  A với cặp phần tử a, b thuộc A Tập A nửa nhóm S gọi iđêan trái (phải) S SA  A (hay AS  A) Tập A gọi iđêan S A vừa iđêan trái vừa iđêan phải S Từ định nghĩa suy iđêan kiểu S nửa nhóm Tuy nhiên, tồn nửa nhóm nửa nhóm S mà khơng phải iđêan S Chẳng hạn, Q nửa nhóm cộng số hữu tỷ tập hợp số nguyên Z nửa nhóm Q Z iđêan kiểu Q 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X tập hợp tuỳ ý khác rỗng Khi tập  tích Descartes X  X gọi quan hệ tập X Nếu (a, b)   , a, b phần tử tập X, ta viết a  b nói “a nằm quan hệ  với b” Nếu   quan hệ X, hợp thành   chúng định nghĩa sau: (a, b)    tồn phần tử x  X cho (a, x)   ( x, b)  Phép tốn hai ngơi (  ) kết hợp Thật vậy,  ,   quan hệ X, điều khẳng định (a, b)  (   )  (a, b)   (  ) tương đương với điều khẳng định tồn phần tử x, y cho (a, x)   , ( x, y)  ( y, b)  Do đó, tập B x tất quan hệ hai ngơi X nửa nhóm (  ) Nửa nhóm B x gọi nửa nhóm quan hệ tập X 1.1.6 Một số quan hệ hai đặc biệt Giả sử X tập hợp tuỳ ý Quan hệ i gọi quan hệ (hay quan hệ đường chéo) (a, b)  i a = b, với a, b  X Quan hệ  gọi quan hệ phổ dụng (a, b)   với a, b  X Dễ thấy i đơn vị  phần tử khơng nửa nhóm B x Giả sử   B x Khi đó, quan hệ ngược  -1  định nghĩa sau: (a, b)   -1 (b, a)   Thế : (  -1)-1 =  , (    )-1 =  1  1 ,  ,  B x Giả sử  ,  B x Khi     tập  , nghĩa a  b kéo theo a  b Vì B x gồm tất tập X  X nên ta thực B x phép toán Boole: hợp, giao phần bù Giả sử  quan hệ X Khi  gọi đối xứng  1   (  1   ), quan hệ  gọi phản xạ i   gọi bắc cầu      Một quan hệ  X gọi tương đương  phản xạ, đối xứng, bắc cầu Khi  luỹ đẳng nửa nhómB x 1.1.7 Phân hoạch tập hợp Giả sử  quan hệ tuỳ ý X a  X Khi đó, ta ký hiệu:  a : x  X x  a a  : x  X a  x Nếu  quan hệ tương đương, hai điều kiện say thoả mãn: i) a  a với a  X ii) a  b   suy a  b Như vậy, họ tập a , a  X phân hoạch tập X, tức tập khơng giao hợp chúng X; ký hiệu họ X/  Ta gọi a lớp tương đương tập X theo mod  chứa a Đảo lại, phân hoạch P tập X xác định quan hệ tương đương  mà P = X/  , cụ thể ab a b thuộc tập phân hoạch P Ta gọi ánh xạ a  a ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ tắc từ tập X lên X/  ký hiệu ánh xạ   Chú ý a   a với a  X , để tránh nhầm lẫn ta dùng ký hiệu khác để quan hệ tương đương  tập X ánh xạ tự nhiên từ X lên X/  1.1.8 Quan hệ tƣơng đƣơng sinh quan hệ tuỳ ý cho trƣớc Giả sử  quan hệ tuỳ ý X Ta định nghĩa bao đóng bắc cầu  t quan hệ  cách đặt  t   n               m 1 Hiển nhiên  t bắc cầu chứa quan hệ bắc cầu X, chứa  Nếu  quan hệ tuỳ ý X, quan hệ 1  0  01  i quan hệ phản xạ đối xứng bé X, chứa  Bao đóng bắc cầu    1t quan hệ 1 quan hệ tương đương X chứa  Ta gọi  quan hệ tương đương X sinh  Giao họ tuỳ ý quan hệ tương đương quan hệ tương đương Khẳng định tương tự hợp theo lý thuyết tập không Ta định nghĩa hợp    hai quan hệ tương đương   quan hệ tương đương sinh    , tức    bao đóng bắc cầu quan hệ    1.1.9 Bổ đề Nếu   quan hệ tương đương X        18 xác định bởi: g(y) = xy y  f(x) x0 y  Y1 Khi với x  X, có g  f(x) = g [f (x)] = x = 1x (x) nên g  f = 1x Đảo lại, tồn ánh xạ g : Y  X cho g  f = 1x f(x1) = f(x2) g [f(x1)] = g [f(x2)] nên (g  f)(x1) = (g  f)(x2) Do 1x(x1) = 1x(x2) hay x1 = x2 suy f đơn ánh 19 CHƢƠNG CÁC  - TƢƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC  - NỬA NHÓM 2.1 NỬA NHÓM TE(X) 2.1.1 Định nghĩa ký hiệu a) Giả sử X tập hợp có nhiều phần tử TX nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ X Một nửa nhóm T(X) TX gọi  - nửa nhóm T(X) chứa ánh xạ đồng id X  i tất ánh xạ b) Giả sử x  X Khi ánh xạ biến tất phần tử x X ký hiệu  x c) Tập hợp tất quan hệ tương đương X ký hiệu  ( X ) tập hợp tất tương đẳng X ký hiệu Cong(X) d) Một tương đương E X gọi phù hợp với T(X) ( f ( x), f ( y))  E ( x, y)  E f  T ( X ) , E gọi T – tương đương Theo [4], tập hợp tất T – tương đương dàn đầy đủ, ký hiệu Teq(X) gọi dàn phù hợp với T(X) Thế Teq(X) có phần tử tầm thường ( X ) X  X , ( X )  id X quan hệ đồng X  X  ( X ) quan hệ phổ dụng X Chúng ta biết hai quan hệ tương đương tầm thường phù hợp với  - nửa nhóm Tình hình hồn tồn khác với tương đương không tầm thường Sau thấy tương đương không tầm thường E, tồn số  - nửa nhóm mà E phù hợp với chúng quan hệ tương đương không tầm thường F  E tuỳ ý không phù hợp Thật vậy, giả sử: TE ( X )   f  TX : (a, b)  E,( f (a), f (b))  E , ta có 2.1.2 Bổ đề Đối với quan hệ tương đương E, TE ( X ) nhóm nửa nhóm lớn mà E phù hợp với  -nửa 20 Chứng minh Kiểm tra trực tiếp TE ( X ) chứa ánh xạ đồng ánh xạ Giả sử f , g  TE ( X ) Thế (a, b)  E, có ( f (a), f (b))  E nên ( g ( f (a)), g ( f (b)))  E Do g f  TE ( X ) TE ( X )  - nửa nhóm Khẳng định cịn lại suy từ định nghĩa TE ( X ) Rõ ràng E  ( X ) hay E  X  X TE ( X ) nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ TX Do không cần thiết cho E  F kéo theo TE ( X )  TF ( X ) hay TE ( X )  TF ( X ) E, F tuỳ ý thuộc  ( X ) Từ đây, quan tâm đến dàn phù hợp TE ( X ) 2.1.3 Định lý Giả sử E, F hai quan hệ tương đương không tầm thường tuỳ ý Nếu F phù hợp với TE ( X ) , F = E Do đó, dàn phù hợp TE ( X ) ( X ), E, X  X  Chứng minh Giả sử E  F Lấy (a, b)  E  F (c, d )  F , c  d định nghĩa f f (c)  a, f ( x)  b x  c Thế f  TE ( X ) Hơn nữa, (c, d )  F ( f (c), f (d ))  (a, b)  F , điều trái với giả thiết F phù hợp với TE ( X ) Từ E  F Mặt khác, giả thiết F  E Thế tồn (a, b)  F  E Lấy (c, d )  F định nghĩa g g ( x)  c ( x, a)  E g ( x)  d ( x, a)  E Thế g  TE ( X ) Nhưng (a, b)  F , ( g (a), g (b))  (c, d )  F , điều trái với giả thiết F phù hợp với TE ( X ) Từ F  E Như E = F Khẳng định lại rõ ràng Sử dụng phương pháp trên, ta kiểm tra T ( X )  TX , Teq( X )  ( X ), X  X  Các kết sau trực tiếp suy từ Định lý 2.1.3 2.1.4 Hệ Giả sử L  ( X ), E, X  X  , E quan hệ tương đương khơng tầm thường Thế TE ( X )  - nửa nhóm lớn với Teq( X )  L Hơn nữa, T ( X ) mà E phù hợp chứa TE ( X ) 21 2.1.5 Hệ Giả sử E, F tương đương khơng tầm thường tuỳ ý Thế E = F TE ( X )  TF ( X ) Kết đưa điều kiện cần đủ để TE ( X ) TF ( X ) đẳng cấu với Trước hết ta cần định nghĩa trước phát biểu 2.1.6 Định nghĩa Giả sử E F hai tương đương Nếu tồn song ánh h : X  X cho H ( E )  F , H ( E) : (h(a), h(b)) : (a, b)  E , ta nói E F đồng dạng viết E F 2.1.7 Định lý Giả sử E, F tương đương không tầm thường, E F TE ( X )  TF ( X ) Chứng minh Giả sử h : X  X song ánh thoả mãn H ( E )  F Định nghĩa  : TE ( X )  TF ( X )  ( f )  h f h1 , f  TE ( X ) Thế  đẳng cấu từ TE ( X ) lên TF ( X ) Mặt khác, giả sử  : TE ( X )  TF ( X ) đẳng cấu Thế  cảm sinh song ánh h : X  X sau h( x)  y  ( x)   y Đối với tương đẳng  TE ( X ) tuỳ ý, ký hiệu ( )  {(  f  ,   g ) : (f ,g)  } Thế ( ) tương đẳng TF ( X ) Hơn nữa,  tương đẳng thực nhỏ nhất, ( ) tương đẳng thực nhỏ  đẳng cấu Theo Hệ 2.15 [4] Định lý 2.1.3 tương đẳng thực nhỏ TE ( X ) TF ( X ) tương ứng là:   ( a, b ) : (a, b)  E  (TE ( X ))   (c, d ) : (c, d )  F   (TF ( X )) Thế thì, ( )   Do ( (a),  (b)) : (a, b)  E  (c, d ) : (c, d )  F  Điều kéo theo H ( E )  F E F 22 Tổng quát hơn, ta có kết sau mà chứng minh tương tự chứng minh 2.1.8 Định lý Giả sử T(X)  - nửa nhóm E tương đương khơng tầm thường Thế T ( X )  TE ( X ) tồn tương đương F cho F E TF ( X )  T ( X ) Kết luận nói lên nửa nhóm TE ( X ) đặc trưng S(X) X trang bị tơpơ liên quan với tương đương E 2.1.9 Định lý Đối với tương đương E tuỳ ý X, tồn tôpô    ( X ) X cho TE ( X )  S ( X ) , S(X) nửa nhóm ánh xạ liên tục từ khơng gian tơpơ ( X , ) vào Chứng minh Ký hiệu B tập hợp E - lớp Thế B sở tơpơ    ( E ) Khi không gian tôpô ( X , ) liên thông địa phương E - lớp thành phần liên thông Chú ý ảnh liên tục tập liên thông liên thông nên f(a) f(b) thuộc thành phần liên thông, nghĩa ( f (a), f (b))  E f  S ( X ) (a, b)  E tuỳ ý Như f  TE ( X ) S ( X )  TE ( X ) Đảo lại, giả sử f  TE ( X ) Chúng ta cần chứng tỏ f 1 ( B) mở BB Giả thiết a  f 1 ( B) , ký hiệu A E - lớp chứa a Đối với b  A , (a, b)  E nên ( f (a), f (b))  E Chú ý f (a)  B , từ f (b)  B b  f 1 ( B) Do A  f 1 ( B) , f 1 ( B) hợp E - lớp đó, nghĩa f 1 ( B) mở khơng gian ( X , ) , mà điều nghĩa f  S ( X ) kéo theo TE ( X )  S ( X ) Phép chứng minh kết thúc Một vài ý liên quan đến khơng gian tơpơ ( X , ) Vì BB đóng mở, nên khơng gian ( X , ) khơng gian tơpơ có chiều khơng Nó khơng gian Hausdorff khơng gian rời rạc 23 Chú ý :  - nửa nhóm T1 ( X ) T2 ( X ) , giả sử dàn phù hợp chúng L1 L2 tương ứng Thế T1 ( X )  T2 ( X ) kéo theo L1  L2 Từ Hệ 2.1.4 ta thấy dàn đầy đủ L cho trước ví dụ ( X ), E, X  X  , tìm T ( X ) cho Teq(X) thích hợp với L Sau thấy nửa nhóm không Thật vậy, giả sử: T2 ( X )   f  TE ( X ) : rank f  2  i rank f ký hiệu lực lượng hạng f, i ánh xạ đồng Từ phép chứng minh Định lý 2.1.3 suy dàn phù hợp T2 ( X ) với TE ( X ) Hơn nữa, theo lập luận phần đầu tiết này, T ( X ) tuỳ ý thoả mãn T2 ( X )  T ( X )  TE ( X ) , dàn phù hợp T ( X ) với TE ( X ) Ta thấy T2 ( X )  - nửa nhóm nhỏ với Teq( X )  ( X ), E, X  X  Ký hiệu Z(X) tập hợp chứa ánh xạ đồng tất ánh xạ Thế Z(X)  - nửa nhóm nhỏ Giả sử: T1 ( X )   f  TE ( X ) : rank f  a, b ,(a, b)  E  Z ( X ) Thế T1 ( X )  - nửa nhóm chứa TE ( X ) Hơn nữa, dàn phù hợp T1 ( X ) khác dàn phù hợp TE ( X ) 2.1.10 Định lý Giả sử F tương đương khơng tầm thường Thế F phù hợp với T1 ( X ) F  E Do đó, dàn phù hợp T1 ( X ) F   ( X ) : F  E  ( X ) Chứng minh Giả thiết F phù hợp với T1 ( X ) F  E Lấy (a, b)  E  F , (c, d )  F , c  d xác định f phép chứng minh Định lý 2.1.3 Thế nhận mâu thuẫn theo kiểu Mặt khác, giả sử F  E Thế thì, định nghĩa T1 ( X ) , (a, b)  F tuỳ ý f  T1 ( X ) , ta có 24 ( f (a), f (b))  E  F Nên F thực phù hợp với T1 ( X ) Khẳng định lại suy trực tiếp 2.1.11 Hệ Giả sử L  F   ( X ) : F  E  ( X ) , E  ( X ) tương đương giả sử T ( X )  TF ( X ) : F  L Thế T ( X )  nửa nhóm lớn với Teq( X )  L Chứng minh Kiểm tra trực tiếp L  Teq( X ) Mặt khác, từ Định lý 2.1.10 ta có T1 ( X )  TF ( X ) F  L Như T1 ( X )  T ( X ) lập luận sau Định lý 2.1.9, ta nhận Teq( X )  L Từ Teq( X )  L Khẳng định lại rõ ràng Kết L   ( X ) , có  - nửa nhóm với Teq( X )  L 2.1.12 Định lý Giả sử T ( X )  TE ( X ) : E   ( X ) Nếu X  , T ( X )  Z ( X ) Z(X)  - nửa nhóm thoả mãn Teq( X )   ( X ) Chứng minh Xin nhắc lại Z(X) bao gồm ánh xạ đồng tất ánh xạ hằng, T ( X )  Z ( X ) Chúng ta cần chứng tỏ T ( X )  Z ( X ) Giả sử f  T ( X ) không ánh xạ Lấy c, d  rank f , c  d a, b  X cho f (a)  c f (b)  d Ta khẳng định rằng: (i) (ii) a, b  c, d  f đơn ánh Thật vậy, giả thiết a, b  c, d  Giả sử E  (a, b),(b, a)  ( X ) , E   ( X ) Hơn nữa, (a, b)  E ( f (a), f (b))  (c, d )  E , điều mâu thuẫn với f  T ( X )  TE ( X ) (i) chứng minh Bây giờ, giả sử f không đơn ánh, không tính tổng quát, giả thiết f (a / )  f (a)  c a / đó, a /  a Theo (i), a / , b  c, d   a, b nên a /  a Mâu thuẫn (ii) chứng minh Bây chọn phần tử khác a, b, c  X, theo (i) ta có: 25 f a  f (a, b  a, c)  f a, b  f a, c  a, b  a, c  a Do f (a)  a với a  X Như f = i T ( X )  Z ( X ) Cuối cùng, rõ ràng T ( X )  nửa nhóm lớn với Teq( X )   ( X ) , Z ( X ) nhỏ Từ suy tính phép chứng minh hoàn thành Bây ta xét giao TE ( X ) TF ( X ) E F không tầm thường 2.1.13 Định lý Giả sử E F không tầm thường T ( X )  TE ( X )  TF ( X ) Thế E  F E  F thuộc Teq(X) Hơn nữa, R  Teq(X) khơng tầm thường, E  F  R  E  F Chứng minh Kiểm tra trực tiếp E  F Teq( X ) Giả sử (a, b)  E  F f  T ( X ) Theo Mệnh đề 5.14 [5] tồn x1 , x2 , , x2 n1  X cho (a, x1 )  E, ( x1 , x2 )  F , ( x2 , x3 )  E, , ( x2 n1 , b)  F Do ( f (a), f ( x1 ))  E, ( f ( x1 ), f ( x2 ))  F , ( f ( x2 ), f ( x3 ))  E, , ( f ( x2n1), f (b))  F ( f (a), f (b))  E  F Từ E  F Teq( X ) Tiếp theo, giả sử R  Teq( X ) không tầm thường E  F  R Lấy (a, b)  ( E  F )  R (c, d )  R, c  d Xác định f phép chứng minh Định lý 2.1.3 Thế thì, cách sử dụng phương pháp vậy, ta nhận mâu thuẫn Do E  F  R Tiếp theo, ta chứng tỏ R  E  F Giả sử trái lại, R  E  F, lấy g (a, b)  R  ( E  F ) (c, d )  R định nghĩa g g ( x)  c ( x, a)  E  F , g ( x)  d ( x, a)  E  F Dễ thấy E - lớp A, g(A) đơn lẻ A phải chứa E  F - lớp Điều kéo theo g  TE ( X ) Tương tự, ta có g  TF ( X ) g  T ( X ) Hơn nữa, (a, b)  R , ( g (a), g (b))  (c, d )  R Điều mâu thuẫn với R  Teq( X ) Theo Định lý 2.1.13, dàn phù hợp T ( X )  TE ( X )  TF ( X ) có sáu phần tử: ( X ), E  F , E, F , E  F X  X khơng có lặp lại xảy 26 Kết sau làm sáng tỏ kiện xảy 2.1.14 Định lý Giả sử E , F   ( X ) không so sánh T ( X )  TE ( X )  TF ( X ) Nếu E  F  ( X ) E  F  X  X , Teq(X) thực ( X ), E  F , E, F , E  F , X  X  Chứng minh điều cần đến bổ đề 2.1.15 Bổ đề Teq(X) không chứa R thoả mãn E  F  R  E hay E  F R  F (trong A  B nghĩa A tập thực B) Chứng minh Chúng ta cần chứng minh cho trường hợp Giả sử trái lại, lấy (a, b)  R  ( E  F ) (c, d )  E  R Thế (a, b)  E , (a, b)  F (c, d )  F Xác định f f ( x)  c ( x, a)  F f ( x)  d ( x, a)  F Thế f  TF ( X ) Hơn nữa, rank f  c, d  (c, d )  E nên f  TE ( X ) Như f  T ( X ) Hơn (a, b)  R nên ( f (a), f (b))  (c, d )  R Mâu thuẫn 2.1.16 Bổ đề Teq(X) không chứa R thoả mãn E  R  E  F hay F  R  E  F Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp Phủ nhận khẳng định lấy (a, b)  R  E , (c, d )  F  R (Từ E  R  E  F , xẩy F  R) Định nghĩa g g ( x)  c ( x, a)  E g ( x)  d ( x, a)  E Thế g  TE ( X ) g  TF ( X ) Như g  T ( X ) Lại có, (a, b)  R nên ( g (a), g (b))  (c, d )  R Mâu thuẫn 2.1.17 Bổ đề Teq(X) không chứa R thoả mãn E  F  R  E  F R  E , R  F Chứng minh Giả thiết tồn tương đương R Thế từ bổ đề trước đó, suy R  E F  R Lấy (a, b)  R  E , (c, d )  F  R định nghĩa Tương tự, nhận mâu thuẫn Chứng minh định lý 2.1.14 Theo Định lý 2.1.13, E  F E  F tương đương thực lớn nhỏ Teq(X) tương ứng Bổ đề trước chứng tỏ Teq(X) E, F, E  F E  F tương đương khác Điều hồn thành phép chứng minh định lý 27 2.1.18 Hệ Giả sử L   ( X ), E  F , E, F , E  F , X  X  T ( X )  TE ( X )  TF ( X ) , E F tương đương không so sánh Thế T(X )  TR ( X ) : R  L T(X)  - nửa nhóm lớn với Teq( X )  L 2.1.19 Hệ Giả sử L  ( X ), E, F , X  X  với ( X )  E  F  X  X T ( X )  TE ( X )  TF ( X ) Thế T ( X )  TR ( X ) : R  L T(X)  - nửa nhóm lớn với Teq( X )  L Một cách tự nhiên, kết gợi cho ta giả thuyết 2.1.20 Giả thuyết Giả sử L dàn đầy đủ tuỳ ý   X  chứa   X  X  X , giả sử T ( X )  TE ( X ) : E  L Thế T(X)  - nửa nhóm lớn với Teq( X )  L Giả thuyết đến mở, [8] đạt kết sau đây: 2.1.21 Định lý Dưới điều kiện giả thuyết trên, điều kiện sau đúng: i) Nếu E phần tử nhỏ L  ( X ) , E phần tử nhỏ Teq( X )  ( X ) ; ii) Nếu R phần tử lớn L   X  X  R phần tử lớn Teq( X )   X  X  Chứng minh Giả thiết F Teq( X ) với F  E Lấy (a, b)  E  F (c, d )  F , c  d định nghĩa f chứng minh Định lý 2.1.3 Thế f  T ( X ) Khi đó, (c, d )  F ( f (c), f (d ))  (a, b)  F , mâu thuẫn chứng minh (i) Bây giả thiết F Teq( X ) với F  R Lấy (a, b)  F  R (c, d )  F lại định nghĩa g phép chứng minh Định lý 2.1.3 Thế f  T ( X ) Lại có (a, b)  F , ( g (a), g (b))  (c, d )  F Mâu thuẫn Từ F  R (ii) chứng minh 28 2.2  -TƢƠNG ĐẲNG VÀ  - NỬA NHÓM Trong tiết này, nghiên cứu  - tương đẳng  - nửa nhóm tổng quát 2.2.1 Định nghĩa Một tương đẳng  nửa nhóm S gọi  tương đẳng (az, bz)  tất zero trái z  S kéo theo (a, b)  Đối với tương đẳng  T(X), ký hiệu  ( )  ( x, y) : ( x,  y)   , ý f  T ( X ) zero trái f ánh xạ Kết đặc trưng  - tương đẳng  - nửa nhóm T ( X ) 2.2.2 Định lý Giả sử  tương đẳng tuỳ ý T(X) Thế   - tương đẳng    đó:   ( f , g ) : x  X ,( f ( x), g ( x))   ( ) Chứng minh Giả thiết    Nếu ( f  x, g  x)  tất zero trái  x , ( f ( x),  g ( x))  ( f ( x), g ( x))   ( ) tất x Từ ( f , g )      - tương đẳng Mặt khác, giả sử   - tương đẳng Lấy ( f , g )  tuỳ ý x  X Thế ( f ( x),  g ( x))  ( f  x, g  x)  ( f ( x), g ( x))   ( ) mà điều nghĩa ( f , g )      Tiếp theo lấy ( f , g )  tuỳ ý x  X Thế ( f ( x), g ( x))   ( ) ( f ( x),  g ( x))  Nghĩa là, zero trái  x T ( X ) , có ( f  x, g  x)  ( f ( x),  g ( x))  Chú ý  - tương đẳng, suy ( f , g )     Điều hoàn thành phép chứng minh Phép chứng minh kết sau tương tự phép chứng minh định lý 2.6 [7] cách thay S(X) T ( X ) 2.2.3 Định lý Đối với tương đẳng  T ( X ) , tồn tương đẳng   ( f , g ) : x  X ,( f ( x), g ( x))   ( ) cho     ( )   ( ) 29 Nếu  - tương đẳng    Như hệ trực tiếp Hệ 2.7 [4] Định lý 2.2.3, ta có 2.2.4 Định lý Giả sử T(X)  - nửa nhóm tuỳ ý Thế  1 ( E ) : E  Teq( X ) phân hoạch Cong (T(X))  1 ( E ) dàn đầy đủ Cong (T(X)), mà phần tử nhỏ C ( E )  ( x,  y ) : ( x, y)  E  (T ( X )) phần tử lớn  - tương đẳng C ( E )  ( f , g ) : x  X , ( f ( x), g ( x))  E Ngoài ra,    1 ( E),    1 ( F ) ,     1 ( E  F )     1 ( E  F ) Ký hiệu tập hợp tất  - tương đẳng T(X)  Cong (T(X)),và cách thay      ,  có nghĩa thơng thường, kết luận     thuộc  Cong (T(X)) Hơn nữa, có kết sau đây, mà phép chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.8 [7] 2.2.5 Định lý Đối với  - nửa nhóm tuỳ ý T(X),  Cong (T(X)) tạo thành dàn đầy đủ phép toán   Hơn nữa, dàn đẳng cấu với Teq(X) 2.2.6 Hệ Giả sử T(X)  - nửa nhóm tuỳ ý E  Teq(X) Thế E tương đương thực nhỏ (lớn nhất) Teq(X) C (E )  - tương đẳng thực nhỏ (lớn nhất) T(X) Từ Định lý 2.2.5, Hệ 2.2.6 Định lý 2.1.14, ta nhận trực tiếp kết sau: 30 2.2.7 Định lý Giả sử E, F hai tương đương không so sánh T ( X )  TE ( X )  TF ( X ) Nếu E  F  ( X ) E  F  X  X , có sáu  - tương đẳng T(X) Trong số chúng,  - tương đẳng thực nhỏ C ( E  F )  - tương đẳng thực lớn C ( E  F ) Nếu áp dụng Định lý 2.1.21 Hệ 2.2.6 ta có: 2.2.8 Định lý Giả sử L dàn đầy đủ tuỳ ý (X) chứa (X) X  X giả sử T ( X )  TF ( X ) : F  L Thế khẳng định sau đúng: i) Đối với E  L, C (E )  - tương đẳng T(X); ii) Nếu E phần tử nhỏ L  ( X ) , C(E) tương đẳng thực nhỏ nhất, C (E )  - tương đẳng thực nhỏ T(X); iii) Nếu R phần tử lớn L   X  X  , C (R)  - tương đẳng thực lớn T(X) 31 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành nội dung sau: Hệ thống khái niệm tính chất Lý thuyết nửa nhóm: tương đẳng nửa nhóm, nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập Trình bày khái niệm  - nửa nhóm T(X), Teq(X) TE ( X ) Chứng minh chi tiết kết liên quan đến  - nửa nhóm TE ( X ) (Định lý 2.1.3, Định lý 2.1.7, Định lý 2.1.10, Định lý 2.1.12, Định lý 2.1.13, Định lý 2.1.14, Định lý 2.1.21) Chứng minh chi tiết số kết liên quan  - tương đẳng  - nửa nhóm ( Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3 ) 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1 A.H.Clifford G.B.Preston (1970), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội  2 Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội 3 Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Đại học Vinh Tiếng Anh  4 K.H.Hofmann, and Jr.K.D.Magill (1988), The smallest proper congruence on S(X), Glasgow Math J, 30, 301 – 313  5 J.M.Howie (1976), An introduction to semigroup theory, Academic Press, London  6 Jr.K.D.Magill (1965), Some homomorphism theorems for a class of semigroups, Proc London Math, Soc (3) 15, 517 – 526 7 PeiHuisheng (1993), The  - congruences on S(X) and the S – equivalences on X, Semigroup Forum, 47, 48 – 59 8 PeiHuisheng (1994), Equivalences ,  - semigroups and  -congruences, Semigroup Forum, 49, 49 – 58 ... thuyết nửa nhóm: nửa nhóm, nửa nhóm quan hệ tập, tương đẳng, tương đẳng nửa nhóm, tương đẳng sinh quan hệ cho trước, nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập Chƣơng Các  - tƣơng đẳng  - nửa nhóm Đây... 1.1 Tương đẳng nửa nhóm 1.2 Nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi 13 Chƣơng CÁC  - TƢƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC  - NỬA NHĨM 19 2.1 Nửa nhóm TE ( X ) 19 2.2  - tương đẳng  - nửa nhóm. .. CÁC  - TƢƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC  - NỬA NHÓM 2.1 NỬA NHÓM TE(X) 2.1.1 Định nghĩa ký hiệu a) Giả sử X tập hợp có nhiều phần tử TX nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ X Một nửa nhóm T(X) TX gọi  - nửa nhóm