Tương đẳng trên AG phỏng nhóm ngược hoàn toàn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐOÀN THỊ TRÀ MY TƯƠNG ĐẲNG TRÊN AG**-PHỎNG NHÓM NGƯỢC HOÀN TOÀN ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN-2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐOÀN THỊ TRÀ MY TƯƠNG ĐẲNG TRÊN AG**-PHỎNG NHÓM NGƯỢC HOÀN TOÀN ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyênngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mãsố: 60460104 Cánbộhướngdẫnkhoahọc PGS.TS LÊ QUỐC HÁN NGHỆ AN-2015 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU .4 CHƯƠNG DÀN CÁC TƯƠNG ĐẲNG TRÊN MỘT NỬA NHÓM 1.1 1.3 Dàn tương đẳng nửa nhóm 12 CHƯƠNG TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM NGƯỢC .15 1.2 2.1 Nửa nhóm quy Nửa nhóm ngược 15 1.3 2.2 Tương đẳng nửa nhóm ngược 19 1.4 2.3 Sự phân loại tương đẳng nửa nhóm ngược theo vết chúng 21 CHƯƠNG TƯƠNG ĐẲNG TRÊN PHỎNG NHÓM 26 1.5 3.1 Dàn tương đẳng nhóm ngược hoàn toàn 27 1.6 3.2 Nửa dàn nhóm 33 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Bài toán mô tả tương đẳng nửa nhóm toán trung tâm lý thuyết nửa nhóm Trong trường hợp đặc biệt S nhóm tương đẳng S hoàn toàn xác định lớp tương đẳng chứa đơn vị Tuy nhiên, S nửa nhóm tùy ý, toán mô tả cấu trúc tương đẳng S nói chung phức tạp Độc lập với nhau, Vacne (1953) Preston (1954) mô tả cấu trúc tương đẳng nửa nhóm ngược dựa vào hệ hạt nhân chuẩn Hơn 30 năm sau (1986), Francis Pastijn Mario Petrich mô tả cấu trúc tương đẳng nửa nhóm quy dựa vào hạt nhân vết Dựa ý tưởng đó, cấu trúc tương đẳng nhiều nửa nhóm liên quan với nửa nhóm quy (Nửa nhóm E-ngược, E-nửa nhóm, nửa nhóm orthodox, nửa nhóm quy suy rộng…) mô tả cách tường minh Những năm đầu kỷ này, tác giả chuyển sang nghiên cứu tương đẳng nhóm với tính chất đặc trưng Bản luận văn dựa báo Completely inverse AG ** − groupoids hai tác giả Wieslaw A.Dudek Roman S.Gigan đăng tạp chí Semigroup Forum năm 2013 ([5]) để tìm hiểu tương đẳng AG ** − nhóm ngược hoàn toàn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1.Dàn tương đẳng nửa nhóm Trong chương trình bày khái niệm tính chất tập thứ tự, nửa dàn dàn, nửa nhóm quan hệ tập, dàn tương đẳng nửa nhóm để làm sở cho việc trình bày chương sau Chương Tương đẳng nửa nhóm ngược Trong chương trình bày nửa nhóm ngược, tương đẳng nửa nhóm ngược phân loại tương đẳng nửa nhóm ngược Chương Tương đẳng AG ** − nhóm ngược hoàn toàn Trước hết trình bày AG − nhóm AG ** − nhóm ngược Tiếp theo trình bày dàn tương đẳng AG ** − nhóm nhóm ngược hoàn toàn Sau đó, trình bày nửa dàn AG − nhóm Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo Khoa Sư phạm Toán học anh, chị, bạn học viên khóa 21- Đại số Lý thuyết số quan tâm, giúp đỡ hướng dẫn tận tình tác giả trình học hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! CHƯƠNG DÀN CÁC TƯƠNG ĐẲNG TRÊN MỘT NỬA NHÓM 1.1 Các tập thứ tự Nửa dàn dàn 1.1.1 Định nghĩa Một quan hệ hai ρ tập hợp X (nghĩa là, tập ρ tích Đề-các X × X ) gọi thứ tự (bộ phận) nếu: i) ( x, x ) ∈ ρ tất x ∈ X , nghĩa ρ phản xạ; ii) ( ∀x, y ∈ X ) , ( x, y ) ∈ ρ ( y, x ) ∈ ρ kéo theo x = y , nghĩa ρ phản đối xứng; iii) ( ∀x, y, z ∈ X ) , ( x, y ) ∈ ρ ( y, z ) ∈ ρ kéo theo ( x, z ) ∈ ρ , nghĩa ρ bắc cầu Theo truyền thống, người ta viết x ≤ y nhiều ( x, y ) ∈ ρ Từ ta viết x ≤ y thay cho ( x, y ) ∈ ρ Ta viết x ≥ y , x < y hay x > y để tương ứng ( y, x ) ∈ ρ , ( x, y ) ∈ ρ x ≠ y Một quan hệ thứ tự phận có tính chất iv) ( ∀x, y ∈ X ) , x ≤ y y ≤ x gọi thứ tự toàn phần Ta nói X tập hợp thứ tự phận (hay thứ tự toàn phần) X xác định thứ tự phận (tương ứng, thứ tự toàn phần) 1.1.2 Định nghĩa Giả sử X tập hợp thứ tự phận Y tập X i)Phần tử a ∈ Y gọi cực tiểu phần tử Y thực nhỏ a , nghĩa ( ∀y ∈ Y ) , y ≤ a ⇒ y = a ii) Phần tử b ∈ Y gọi bé ( ∀y ∈ Y ) , b ≤ y Một phần tử nhỏ phần tử cực tiểu, khẳng định ngược lại không tập thứ tự Thực ta có: 1.1.3.Mệnh đề ([6]).Giả sử Y tập khác rỗng tập thứ tự phận X Thế thì: i) Y có phần tử nhỏ nhất; ii) Nếu Y thứ tự toàn phần, thuật ngữ “cực tiểu” “nhỏ nhất” tương đương 1.1.4 Định nghĩa.Tập thứ tự phận ( X , ≤ ) gọi thỏa mãn điều kiện cực tiểu tập khác rỗng X có phần tử cực tiểu Một tập hợp thứ tự toàn phần thỏa mãn điều kiện cực tiểu gọi tập thứ tự tốt Các khái niệm cực đại, lớn điều kiện cực đại hiểu cách đối ngẫu 1.1.5 Định nghĩa.Giả sử Y tập khác rỗng tập thứ tự ( X , ≤ ) Phần tử c ∈ X gọi cận Y c ≤ y y ∈ Y Nếu tập hợp tất cận Y khác rỗng phần tử lớn d , d gọi cận lớn hay giao Y Phần tử d tồn tại, viết: d = ∧ { y | y ∈ Y } Nếu Y = { a, b} ta viết d = a ∧ b 1.1.6 Định nghĩa Nếu ( X ,≤) tập thứ tự cho a ∧ b tồn với a, b ∈ X ( X , ≤ ) gọi nửa dàn Nếu có tính chất mạnh ∧ { y | y ∈ Y } tồn với tập khác rỗng Y X , ta nói ( X , ≤ ) nửa dàn đầy đủ Trong nửa dàn ( X , ≤ ) , với a, b ∈ X , a ≤ b a ∧b = a Tương tự, ta định nghĩa cận nhỏ hay hợp ∨ { y | y ∈ Y } , a ∨ b ,nửa dàn hay nửa dàn đầy đủ Nếu ( X , ≤ ) vừa nửa dàn (đầy đủ) vừa nửa dàn (đầy đủ) X gọi dàn đầy đủ Trong trường hợp ta viết ( X , ≤ , ∧, ∨ ) 1.1.7 Định nghĩa Giả sử Y tập khác rỗng dàn ( X , ≤ , ∧, ∨ ) Thế Y gọi dàn X thỏa mãn điều kiện a, b ∈ Y ⇒ a ∧ b ∈ Y , a ∨ b ∈ Y Giả sử ( E , ≤ ) nửa dàn Thế a, b, c ∈ E hai ( a ∧ b ) ∧ c a ∧ ( b ∧ c ) cận lớn { a, b, c} , ( a ∧ b) ∧ c = a ∧ ( b ∧ c) Như ( E , ≤ ) nửa nhóm Hơn nữa, a ∧ a = a a ∈ A , a ∧ b = b ∧ a tất a, b ∈ E Do đó, ta chứng minh phần kết sau: 1.1.8 Mệnh đề.Giả sử ( E , ≤ ) nửa dàn Thế ( E , ∧ ) nửa nhóm giao hoán bao gồm toàn phần tử lũy đẳng, ( ∀a, b ∈ E ) a ≤ b a ∧ b = a Đảo lại, giả sử ( E ,.) nửa nhóm giao hoán gồm tất phần tử lũy đẳng Thế quan hệ ≤ E xác định a ≤ b ab = a quan hệ thứ tự phận E , với quan hệ ( E , ≤ ) trở thành nửa dàn Trong ( E , ≤ ) , giao a b tích ab chúng Chứng minh Giả sử ( E ,.) nửa nhóm giao hoán lũy đẳng ≤ xác định a ≤ b ab = a Thế a = a nên a ≤ a Giả sử a ≤ b b ≤ a Thế ab = a ba = b nên a = b Bây a ≤ b b ≤ c ab = a bc = b nên ac = ( ab ) c = a ( bc ) = ab = a Do đó, a ≤ c Như ≤ quan hệ thứ tự phận E 2 Vì a ( ab ) = a b = ab b ( ab ) = ab = ab (Do ( E ,.) giao hoán) nên ab ≤ a, ab ≤ b Nếu c ≤ a, c ≤ b ac = c, bc = c nên c ( ab ) = ( ca ) b = cb = c , c ≤ ab Từ đó, ab = a ∧ b W 1.2 Nửa nhóm quan hệ tập Ta nhắc lại rằng, quan hệ hai ρ tập hợp X tập tích Đề-các X × X = { ( a, b ) | a, b ∈ X } Nếu ( a, b ) ∈ ρ ta nói a có quan hệ ρ với b viết a ρ b Tập rỗng∅ quan hệ hai X chứa quan hệ hai khác X Ngoài ra, ta quan tâm đến hai quan hệ hai đặc biệt sau đây: Quan hệ phổ dụng ωX cho ω X = { ( x, y ) | x, y ∈ X } = X × X quan hệ (hay quan hệ đường chéo) 1X cho 1X = { ( x, x ) | x ∈ X } Tập hợp tất quan hệ hai X kí hiệu B X Trong B X ta đưa vào phép toán hai o theo quy tắc: tất ρ ,σ ∈ B X , ( x, y ) ∈ ρ o σ tồn z ∈ X cho ( x, z ) ∈ ρ , ( z , y ) ∈ σ Thế với ρ ,σ ,τ ∈B X có ρ ⊂ σ ⇒ ρ oτ ⊆ σ o τ τ o ρ ⊆ τ o σ ; ( ρ o σ ) oτ = ρ o ( σ oτ ) Nói cách khác ( B X , o) nửa nhóm 1.2.1 Định nghĩa Nửa nhóm ( B X , o) gọi nửa nhóm quan hệ hai X Nửa nhóm ( B X , o) có đơn vị 1X , vị nhóm 1.2.2 Định nghĩa Giả sử ρ quan hệ hai X i) Miền xác định ρ tập X cho domρ := { x ∈ X | ( ∃y ∈ X ) ( x, y ) ∈ ρ } ii) Ảnh ρ tập X cho imρ := { y ∈ X | ( ∃x ∈ X ) ( x, y ) ∈ ρ } Dễ thấy với ρ ,σ ∈B X , ρ ⊆ σ ⇒ domρ ⊆ domσ , imρ ⊆ imσ Đối với x ∈ X , ρ ∈B X ta định nghĩa tập x ρ X cho x ρ := { y ∈ X | ( x, y ) ∈ ρ } Như x ρ ≠ ∅ x ∈ domρ Nếu A tập X ta định nghĩa Aρ := ∪ { a ρ | a ∈ A} 10 −1 Đối với ρ ∈B X ta định nghĩa quan hệ ngược ρ −1 cho ( x, y ) ∈ ρ ( y, x ) ∈ ρ Giả sử ρ , ρ1 , , ρn ∈B X Thế kiểm tra (ρ ) −1 −1 ( ρ1 o ρ o o ρ n ) −1 =ρ; = ρ n−1 o o ρ 2−1 o ρ1−1 ; ρ ⊆ σ ⇒ ρ − ⊆ σ −1 ; dom ( ρ −1 ) = imρ , im ( ρ −1 ) = domρ ; Hơn nữa, x ρ −1 ≠ ∅ x ∈ imρ 1.2.3 Định nghĩa Một phần tử φ ∈B X gọi ánh xạ phận X xφ = tất x ∈ domφ , nghĩa tất x, y1 , y2 ∈ X , ( x, y1 ) ∈ φ ( x, y2 ) ∈ φ  ⇒ y1 = y2 Nếu φ ,ψ ánh xạ X cho φ ⊆ ψ φ gọi thu hẹp ψ ψ gọi mở rộng φ Trong trường hợp này, domφ =A ⊆ domψ ta kí hiệu φ ψ A Tập hợp tất ánh xạ phận X kí hiệu P X 1.2.4 Mệnh đề P X nửa nhóm ( B X , o) Chứng minh Giả sử φ ,ψ ∈P X giả thiết ( x, y1 ) , ( x, y2 ) ∈ φ oψ Thế thì, tồn z1 , z2 ∈ X cho ( x, z1 ) ∈ φ , ( z1, y1 ) ∈ψ , ( x, z2 ) ∈ φ , ( z2 , y2 ) ∈ψ Vì φ ánh xạ phận X nên z1 = z2 Tương tự, ψ ánh xạ phận X z1 = z2 nên y1 = y2 Vậy φ oψ ∈ P X W 1.2.5 Mệnh đề ([6]) Nếu φ ,ψ ∈P X , dom ( φ oψ ) = ( imφ ∩ domψ ) φ −1, im ( φ oψ ) = ( imφ ∩ domψ ) φ , 26 2.3.11 Mệnh đề(Định lý Munn).Trong nửa nhóm ngược S , xσ S y ⇔ ∃e ∈ ES : xe = ye Chứng minh Vì σ S = σ nên xσ S y ⇔ ∃e ∈ ES : xe = ye, x −1 xσ S e, y −1 yσ S e , x −1 x, y −1 y ∈ ES kết luận Mệnh đề 2.3.11 chứng minh W 2.3.12 Định nghĩa Một tương đẳng ρ S gọi tương đẳng tách lũy đẳng ρ _ lớp có không lũy đẳng S , nghĩa eρ f ( e, f ∈ ES ) ⇒ e = f Từ Định nghĩa 2.3.12, trực tiếp suy 2.3.13 Bổ đề.Nếu ρ tương đẳng tách lũy đẳng S tr ( ρ ) = iE = { ( e, e ) | e ∈ ES } 2.3.14 Chú ý Từ Định lý 2.3.6 suy nửa nhóm ngược S , tồn tương đẳng tách lũy đẳnglớn nhất, ký hiệu µS 2.3.15 Mệnh đề.Với nửa nhóm ngược S tùy ý, xµ S y ⇔ ∃e ∈ ES : x −1ex = y −1ey Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lý 2.3.6, tr ( µ S ) = iE CHƯƠNG TƯƠNG ĐẲNG TRÊN AG ** − PHỎNG NHÓM NGƯỢC HOÀN TOÀN 27 3.1 Dàn tương đẳng AG ** − nhóm ngược hoàn toàn Ta nhắc lại tập hợp khác rỗng A với phép toán hai gọi nhóm 3.1.1 Định nghĩa Giả sử A nhóm (i) A gọi AG − nhóm A đồng thức ( xy ) z = ( zy ) x thỏa mãn; (ii) A gọi AG ** − nhóm A AG-phỏng nhóm A đồng thức x ( yz ) = y ( xz ) thỏa mãn; (iii) A gọi AG ** − nhóm ngược A AG ** − nhóm phần tử a ∈ A có phần tử ngược cho ( aa ) a = a, ( a a ) a −1 −1 −1 = a −1 ; (iv) A gọi AG ** − nhóm ngược hoàn toàn A AG ** − nhóm ngược A thỏa mãn đồng thức xx −1 = x −1 x thỏa mãn Các khái niệm tương đẳng dàn tương đẳng nhóm hiểu 1.3 Giả sử C ( A ) dàn đầy đủ tất tương đẳng nhóm A Khi L = { α ∈C ( A ) | αβ = βα } dàn C ( A ) dàn modular Giả sử A AG ** − nhóm ngược hoàn toàn Chúng ta tìm hiểu dàn đầy đủ [ 1A , µ ] tất tương đẳng tách lũy đẳng A Giả sử ρ1 , ρ 2∈ [ 1A , µ ] ( a, b ) ∈ ρ1.ρ Thế tồn c ∈ A cho a ρ1c, c ρ2b Nhớ rằng, ( a, b ) ∈ µ ⇔ aa −1 = bb −1 ρ1 , ρ ⊆ µ nên aa −1 = cc −1 = bb −1 28 Từ đó, a = aa −1.a = cc −1.a ρ 2bc −1.a = ac −1.b ρ1cc −1.b = bb −1.b = b , ( a, b ) ∈ ρ2 ρ1 Như ρ1ρ ⊆ ρ2 ρ1 Bằng đối xứng, ρ2 ρ1 ⊆ ρ1ρ2 Như vậy, ta trình bày kết sau (Xem thêm Mệnh đề 1.3.9) 3.1.2 Định lý.Giả sử A AG ** − nhóm ngược hoàn toàn µ −1 −1 tương đẳng tách lũy tối đại A cho ( a, b ) ∈ µ ⇔ aa = bb Thế đoạn [ 1A , µ ] gồm tất tương đẳng tách lũy đẳng A dàn modular Một AG − nhóm với đơn vị trái phần tử khả nghịch bên trái gọi AG − nhóm Nếu A AG − nhóm A AG ** − nhóm ngược hoàn toàn Hơn nữa, tương đẳng A tương đẳng tách lũy đẳng tương đẳng A giao hoán với (Xem thêm Mệnh đề 1.3.9) Do từ Định lý 3.1.2 trực tiếp nhận 3.1.3 Hệ Dàn tương đẳng AG − nhóm dàn modular 3.1.4 Ký hiệu Một AG ** − nhóm ngược hoàn toàn nửa dàn E A AG − nhóm Ge ( e ∈ E A ) , Ge = { a ∈ A | aa −1 = e} Quan hệ ≤ xác định nửa dàn E A e ≤ f ⇔ ef = e quan hệ thứ tự gọi thứ tự phận tự nhiên E A Giả sử e ≥ f ae ∈ Ge Thế fae ∈ G f Ge = G fe = G f Từ định nghĩa ánh xạ φe, f : Ge → G f aeφe , f = fae ( ae ∈ Ge ) Ở đây, aeφe , f = φe, f ( as ) theo cách viết thông thường Hơn nữa, tất ae , be ∈ Ge , có ( fae ) ( fbe ) = ( ff ( aebe ) ) = f ( aebe ) , nên ( aeφe , f ) ( beφe , f ) = ( aebe ) φe , f (1) 29 Nghĩa φe , f đồng cấu từ AG − nhóm Ge vào AG − nhóm G f Đặc biệt eφe, f = f (Điều suy từ điều kiện e ≥ f ) Quan sát thấy φe,e tự đẳng cấu đồng nhóm AG − nhóm Ge Giả thiết e ≥ f ≥ g Thế ae ∈ Ge , có ( a φ )φ e e, f f ,g = g ( fae ) = ( gg ) ( fae ) = ( gf ) ( gae ) = g ( gae ) = gae = aeφe, g (Vì age ∈ Gg Ge ⊆ Gge = Gg ), nghĩa φe, f φ f , g = φe , g (2) Đối với e, f , g ∈ E A cho e ≥ f ≥ g Cuối cùng, giả sử ae ∈ Ge a f ∈ G f (và ae a f ∈ Gef ; e ≥ ef , f ≥ ef ) Thế nhận a e a f = ( ef ) ( a e a f ) = ( ef ef ) ( a e a f ) = ( ( ef ) a e ) ( ( ef ) a f ) , nghĩa ae a f = ( aeφe ,ef ) ( a f φ f ,ef ) (3) Chú ý sử dụng luật trung tâm ( ab ) ( cd ) = ( ac ) ( bd ) chứng minh đẳng thức (1), (2), (3) Do AG- nhóm A nửa dàn E A AGe − nhóm e ∈ E A đẳng thức 3.1.5 Ký hiệu Giả sử Y nửa dàn, F = { Aα | α ∈ Y } họ AG − nhóm rời có dạng T , đánh số Y (F họ AG- nhóm rời nhau) Cũng giả sử cặp ( α , β ) ∈Y × Y cho α ≥ β tồn đồng cấu φα ,β : Aα → Aβ thỏa mãn: (i) φα ,α tự đẳng cấu đồng Aα với α ∈ Y ; (ii) φα ,β φβ ,γ = φα ,γ tất α , β , γ ∈ Y cho α ≥ β ≥ γ 30 Đặt A = ∪{ Aα : α ∈ Y } định nghĩa phép toán A quy tắc: aα ∈ Aα aβ ∈ Aβ aα aβ = ( aαφα ,β ) ( aβ φβ ,αβ ) , phép nhân vế phải thực AG- nhóm Aαβ Kiểm tra ( A,.) AG − nhóm Nếu bổ sung thêm điều kiện AG − nhóm Aα AG ** − nhóm (đặc biệt, AG − nhóm) ( A,.) AG ** − nhóm Cuối cùng, từ điều kiện (1) phép nhân trùng với phép nhân cho Aα , nên A nửa dàn AG − nhóm Chúng ta ký hiệu tích A phép nhân ghép viết A = Y ; Aα ;φα ,β  Ta gọi AG − nhóm Y ; Aα ;φα ,β  nửa dàn mạnh AG − nhóm Aα Thực tế, chứng minh kết sau (Xem (1), (2), (3)) 3.1.6 Định lý.Giả sử AG − nhóm A nửa dàn A ρ AG − nhóm Thế A nửa dàn mạnh AG − nhóm Cụ thể A =  E A ; Ge ;φe , f  , e, f ∈ E A , Ge = eρ ; φe, f : Ge → G f cho aeφe , f = fae ae a f = ( aeφe,ef ) ( a f φ f ,ef (ae ∈ Ge ) ) Nói riêng, A AG ** − nhóm Chứng minh ( a ∈G , a e e f ∈G f ) 31 Giả sử A nửa dàn A ρ AG − nhóm, ρ tách lũy đẳng Từ E A ≅ A ρ , E A nửa dàn Như A nửa dàn E A AG − nhóm Ge = eρ , ( e ∈ E A ) Điều suy kết luận định lý W Giả sử ρ tương đẳng AG ** − nhóm ngược hoàn toàn { ( ) } A Ta nhắc lại hạt nhân ρ tập con: Ker ( ρ ) = a ∈ A | a, a ∈ ρ Thế Ker ( ρ ) = { a ∈ A | ∃e ∈ E A : ( a, e ) ∈ ρ } = U{ eρ | e ∈ E A } Vết ρ thu hẹp ρ E A , ký hiệu tr ( ρ ) Thế tr ( ρ ) tương đẳng nửa dàn E A 3.1.7 Mệnh đề.Giả sử A =  E A ; Ge ;φe , f  AG ** − nhóm ngược hoàn toàn a, b ∈ A cho ab ∈ E A Thế ab = ba Chứng minh Đặt ab = e ∈ E A −1 −1 −1 Thế ba = b ( aa a ) = ( aa ) ( ba ) = ( ab ) ( a a ) ∈ E A Vì ab, ba ∈ Ge nên ab = ba (bởi Ge có lũy đẳng Ge AG − nhóm) W Định lý sau nói tương đẳng AG ** − nhóm ngược hoàn toàn xác định hạt nhân vết 3.1.8 Định lý.Nếu ρ tương đẳng AG ** − nhóm −1 −1 −1 ngược hoàn toàn A , ( a, b ) ∈ ρ ⇔ ( aa , bb ) ∈ tr ( ρ ) ab ∈ ker ( ρ ) Như vậy, ρ1 , ρ ∈C ( A ) , ρ1 ⊆ ρ ⇔ tr ( ρ1 ) ⊆ tr ( ρ ) ker ( ρ1 ) ⊆ ker ( ρ ) Do đó, tương đẳng AG ** − nhóm ngược hoàn toàn xác định hạt nhân vết 32 Chứng minh −1 −1 −1 −1 −1 −1 Giả sử ( a, b ) ∈ ρ Thế ( a , b ) , ( ab , bb ) ∈ ρ nên ( aa , bb ) ∈ tr ( ρ ) −1 (vì aa −1 , bb −1 ∈ E A ) ab ∈ ker ( ρ ) Đảo lại, giả sử , µA ( aa −1 , bb −1 ) ∈ tr ( ρ ) , ab −1 ∈ ker ( ρ ) Thế ( a ρ , bρ ) ∈ µA ρ A ρ tương đẳng tách lũy đẳng lớn ρ (Định lý 3.4 [5]) Do ( ( ab ) ρ , ( bb ) ρ ) ∈ µ −1 −1 A −1 ab −1 ) ρ = ( bb −1 ) ρ ab ∈ ker ρ Vì ( ) nên ( ρ (theo Định lý 3.4(c) [5]) −1 −1 −1 −1 Như a ρ = ( aa a ) ρ = ( bb a ) ρ = ( ab b ) ρ = ( bb b ) ρ = bρ ( a, b ) ∈ ρ W 3.1.9 Chú ý Chú ý phần đầu Định lý 3.1.8 nửa nhóm Cliphơt tùy ý, nửa nhóm với phép toán a a a −1 thỏa mãn đồng thức: (a ) −1 −1 = a, aa −1a = a, aa −1 = a −1a, ( a.a −1 ) ( bb −1 ) = ( bb −1 ) ( a.a −1 ) −1 −1 −1 −1 Thật vậy, ab ∈ ker ( ρ ) ( ab ) ρ = ( b a ) ρ = ( b b ) ρ , −1 −1 −1 −1 Do a ρ = ( aa a ) ρ = ( bb a ) ρ = ( b.b a ) ρ = ( b.b b ) ρ = b ρ −1 Rõ ràng điều kiện ab ∈ ker ( ρ ) Định lý 3.1.8 tương đương với điều kiện a −1b ∈ ker ( ρ ) từ Mệnh đề 3.1.7, tương đương với điều kiện b −1a ∈ ker ( ρ ) 3.1.10 Định lý.Giả sử ρ1 , ρ tương đẳng AG ** − nhóm A Thế hai điều kiện sau tương đương: (i) eρ1 ⊆ eρ e ∈ E A ; 33 (ii) ρ1 ⊆ ρ2 −1 −1 −1 Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử a ∈ bρ1 Thế aa ∈ ( bb ) ρ1 ⊆ ( bb ) ρ2 (vì −1 −1 −1 bb −1 ∈ E A )và ab ∈ ( bb ) ρ1 ⊆ ( bb ) ρ2 Do theo Định lý 3.1.8, a ∈ bρ2 nghĩa ρ1 ⊆ ρ2 (ii) ⇒ (i) hiển nhiên W 3.2 Nửa dàn AG − nhóm Chúng ta biết nửa nhóm S nửa dàn nhóm, lũy đẳng phần tử trung tâm, nghĩa se = es , tất s ∈ S , e ∈ ES Mệnh đề sau chứng tỏ AG − nhóm không kết hợp mà nửa dàn AG − nhóm lũy đẳng phần tử trung tâm 3.2.1 Mệnh đề.Giả sử A AG − nhóm mà nửa dàn AG − nhóm Nếu lũy đẳng A phần tử trung tâm, A nửa dàn mạnh nhóm Abel Nói riêng, A nửa nhóm giao hoán Chứng minh Giả sử A =  E A ; Ge ;φe , f  Nếu lũy đẳng A phần tử trung tâm, e ∈ E A , có ae = ea a ∈ Ge Điều kéo theo Ge nhóm giao hoán, A nửa dàn mạnh nhóm Abel Từ định nghĩa phép nhân  E A ; Ge ;φe, f  Ge nhóm Abel suy A nửa nhóm giao hoán W 3.2.2 Chú ý Giả sử A AG ** − nhóm ngược hoàn toàn Thế ae = ea với a ∈ A, e ∈ E A a = a ( a −1a ) a ∈ A 34 ( ) −1 −1 −1 −1 Thật vậy, ea = e ( aa a ) = ( e.aa ) a = ( a.aa ) e = a ( a a ) e −1 Điều kéo theo a = a ( a a ) , lũy đẳng a phần tử trung tâm Khẳng định ngược lại rõ ràng W 2 Trong chứng minh Định lý 3.2 [6], chứng tỏ a = a ( xa ) a ∈ A , x ∈V ( a ) ( 2) Mặt khác, A := { a | a ∈ A} AG ** − nhóm, a 2b = ( ab ) ( ) ( ) tất a, b ∈ A Hơn nữa, a −1 ∈ V a a ∈ A Từ E A ⊆ A( ) Suy A( 2) AG ** − nhóm ngược hoàn toàn mà lũy đẳng phần tử trung tâm Từ Mệnh đề 3.2.1 nhận 3.2.3 Định lý.Nếu A AG ** − nhóm ngược hoàn toàn, A( 2) nửa dàn mạnh nhóm Abel với nửa dàn E A lũy đẳng Tiếp theo ta trình bày điều kiện cần đủ để AG − nhóm AG ** − nhóm ngược hoàn toàn 3.2.4 Định lý.Giả sử A AG − nhóm Thế điều kiện sau tương đương: (i) A AG ** − nhóm ngược hoàn toàn; (ii) A nửa dàn AG − nhóm; (iii) A nửa dàn mạnh AG − nhóm Chứng minh (i) ⇒ (ii) Theo Định lý 3.4 [5] (ii) ⇒ (iii) Theo Định lý 3.1.6 (iii) ⇒ (i) Trong trường hợp này, A AG ** − nhóm (Xem Định lý 3.1.6) Giả sử a ∈ A Thế a thuộc vào AG − nhóm Ge đó, 35 e đơn vị trái Ge Bây giờ, xét phần tử ngược a −1 a Ge Thế a = ( aa −1 ) a, a −1 = ( a −1a ) a −1 aa −1 = a −1a = e Do A AG ** − nhóm ngược hoàn toàn W 3.2.5 Chú ý Dựa vào Định lý 3.2.4, xây dựng AG ** − nhóm ngược hoàn toàn 3.2.6 Định nghĩa Giả sử A AG ** − nhóm ngược hoàn toàn Thế quan hệ ≤ A xác định A a ≤ A b a ∈ E Ab thứ tự phận tự nhiên A Chú ý thu hẹp ≤ A A thứ tự tự nhiên E A , viết ≤ thay cho ≤ A 3.2.7 Bổ đề.Trong AG ** − nhóm A tùy ý, quan hệ ≤ thứ tự tương thích Hơn nữa, a ≤ b kéo theo a −1 ≤ b −1 tất a, b ∈ A Chứng minh Rõ ràng ≤ phản xạ bảo toàn phép toán ngược Giả sử a ≤ b b ≤ a , nghĩa a = eb b = fa với e, f ∈ E A Thế theo Mệnh đề 2.1 [6], ea = a Bằng cách sử dụng lại Mệnh đề 2.1 [6], a = eb = e ( fa ) = ( ef ) a = ( fe ) a = f ( ea ) = fa = b Từ ≤ phản đối xứng Từ Mệnh đề 2.1 [6] suy ≤ bắc cầu Cuối cùng, a ≤ b c ≤ d , nghĩa a = eb c = fd với e, f ∈ E A đó, ac = ( eb ) ( fd ) = ( ef ) ( bd ) với ef ∈ E A Như vậy, ac ≤ bd ≤ tương thích W 3.2.8 Mệnh đề.Giả sử A AG ** − nhóm ngược hoàn toàn, 1A quan hệ đồng A µ tương đẳng tách lũy đẳng tối đại A , ≤ ∩µ = 1A Chứng minh Giả sử ( a, b ) ∈ ( ≤ ∩ µ ) Thế ( a, b ) ∈ ( ≤ ) ( a, b ) ∈ ( µ ) Từ a = eb với e ∈ E A aa −1 = bb −1 36 −1 −1 −1 −1 −1 −1 Thế a.a = ( eb ) ( eb ) = ( ee ) ( bb ) = e ( bb ) = ( eb ) b = ab −1 −1 −1 −1 −1 Do a = ( aa ) a = ( bb ) a = ( ab ) b = ( aa ) b = ( bb ) b = b W Mệnh đề 3.2.8 phát biểu sau 3.2.9 Hệ quả.Giả sử A =  E A ; Ge ;φe, f  AG ** − nhóm ngược hoàn toàn Thế thu hẹp ≤ AG- nhóm Ge quan hệ đồng Ge với e ∈ E A 3.2.10 Định nghĩa Giả sử B tập khác rỗng AG**- nhóm ngược hoàn toàn Thế tập Bω := { a ∈ A | ∃ ( b ∈ B ) b ≤ a} gọi bao đóng B A Nếu B = Bω B gọi đóng A Từ định nghĩa suy Bω đóng A với tập B 3.2.11 Định nghĩa Giả sử B tập khác rỗng AG ** − nhóm ngược hoàn toàn A (i) B gọi nhóm A a, b ∈ A a.b ∈ B (ii) B gọi AG ** − nhóm ngược hoàn toàn A B nhóm A thỏa mãn điều kiện: với b ∈ B b −1 ∈ B Từ định nghĩa suy thân B AG ** − nhóm ngược với phép toán A cảm sinh B Sử dụng Bổ đề 3.2.7, ta nhận kết sau 3.2.12 Mệnh đề ([6]) Nếu B AG ** − nhóm ngược hoàn toàn AG ** − nhóm ngược hoàn toàn A , Bω AG ** − nhóm ngược hoàn toàn đóng A 37 Nói riêng, E Aω AG ** − nhóm ngược hoàn toàn đóng A Hơn E Aω = { a ∈ A | ∃e ∈ E A : ea ∈ E A } 3.2.13 Định nghĩa (i) Một tập khác rỗng B nhóm A gọi đơn nguyên trái (phải) ba ∈ B (tương ứng, ab ∈ B ) kéo theo a ∈ B b ∈ B, a ∈ A (ii) B gọi đơn nguyên B vừa đơn nguyên trái vừa đơn nguyên phải (iii) Phỏng nhóm A gọi E - đơn nguyên E A đơn nguyên 3.2.14 Mệnh đề.Giả sử E A tập đơn nguyên trái AG − nhóm A Thế E A đơn nguyên phải Nếu bổ sung thêm điều kiện A AG ** − nhóm, điều kiện sau tương đương: (i) A E - đơn nguyên (ii) E A đơn nguyên trái (iii) E A đơn nguyên phải Chứng minh (i) ⇒ (ii), (iii) rõ ràng (ii) ⇒ (i) Giả sử a ∈ A, e ∈ E A giả sử ae = f ∈ E A Thế ( ae ) f ∈ E A nên ( fe ) a ∈ E A Như a ∈ EA , fe ∈ E A E A đơn nguyên trái (iii) ⇒ (i) Giả sử a ∈ A, e ∈ E A ea = f ∈ E A Thế cách sử dụng Mệnh đề 2.1 [6], có : f = f ( ea ) = ( fe ) a = ( ae ) f 38 Từ ae ∈ E A Như a ∈ E A E A đơn nguyên phải W KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày vấn đề sau: Hệ thống kiến thức tập thứ tự, nửa dàn dàn, nửa nhóm quan hệ tập, dàn tương đẳng nửa nhóm Khái niệm, ví dụ tính chất nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược AG ** − nhóm Chứng minh tương đẳng nửa nhóm ngược AG ** − nhóm ngược hoàn toàn xác định hạt nhân vết ( Định lý 2.2.7, Định lý 3.1.8) Tìm hiểu phân loại tương đẳng nửa nhóm ngược tính chất nửa dàn AG − nhóm 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A.H.Cliphơt G.B Preston (1970), Lý thuyết nửa nhóm, dịch Tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [3] M Bozinovic, P V Protic, N Stevanovic (2008), Kernel nomal system of inverse AG ** − groupoids, Quasigr Relat Syst 17, 1-8 [4] W A Dudek, R S Gigon (2012), Congruences on completely inverse AG ** − groupoids, Quasigr Relat Syst 20 (In print) [5] W A Dudek, R S Gigon (2013), Completely inverse AG ** − groupoids, Semigroup Forum, 87, 201-229 [6] J M Howie (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford University press [7] Q Mushtaq, A Bano (2004), Embedding of an AG ** − groupoids in a commutative monoid, Quasigr Relat Syst 12, 75-78 [8] Q Mushtaq, M Khan (2009), Semilattice decomposition of locally associative AG ** − groupoids, Algebra colloq, 16, 17-22 40 [9] P V Protic (2009), Congruences on an inverse AG ** − groupoids via the natural partical order Quasigr Relat Syst 17, 283-290 [10] P V Protic, M Bozinovic (1995), Some congruences on an AG ** − groupoid Filomat (Nis), 9, 879-886 [...]... phi c thc hin trong AG- phng nhúm A Kim tra c rng ( A,.) l mt AG phng nhúm Nu b sung thờm iu kin mi AG phng nhúm A l mt AG ** phng nhúm (c bit, l mt AG nhúm) th thỡ ( A,.) l mt AG ** phng nhúm Cui cựng, t iu kin (1) thỡ phộp nhõn mi trựng vi phộp nhõn ó cho trờn mi A , nờn A l mt na dn cỏc AG phng nhúm Chỳng ta ký hiu tớch trong A bi phộp nhõn ghộp v vit A = Y ; A ; , Ta gi AG phng nhúm Y ;... nhúm ngc hon ton 3.2.4 nh lý.Gi s A l mt AG phng nhúm Th thỡ cỏc iu kin sau õy tng ng: (i) A l mt AG ** phng nhúm ngc hon ton; (ii) A l mt na dn cỏc AG nhúm; (iii) A l mt na dn mnh cỏc AG nhúm Chng minh (i) (ii) Theo nh lý 3.4 [5] (ii) (iii) Theo nh lý 3.1.6 (iii) (i) Trong trng hp ny, A l mt AG ** phng nhúm (Xem nh lý 3.1.6) Gi s a A Th thỡ a thuc vo AG phng nhúm Ge no ú, trong 35 ú e l n... tr ( à S ) = iE CHNG 3 TNG NG TRấN AG ** PHNG NHểM NGC HON TON 27 3.1 Dn cỏc tng ng trờn mt AG ** phng nhúm ngc hon ton Ta nhc li rng mt tp hp khỏc rng A cựng vi mt phộp toỏn hai ngụi trờn nú c gi l mt phng nhúm 3.1.1 nh ngha Gi s A l mt phng nhúm (i) A c gi l AG phng nhúm nu trong A ng nht thc ( xy ) z = ( zy ) x c tha món; (ii) A c gi l AG ** phng nhúm nu A l AG- phng nhúm v trong A ng nht thc... Y ; A ; , l mt na dn mnh cỏc AG phng nhúm A Thc t, chỳng ta ó chng minh c kt qu sau õy (Xem (1), (2), (3)) 3.1.6 nh lý.Gi s mt AG phng nhúm A l mt na dn A cỏc AG nhúm Th thỡ A l mt na dn mnh cỏc AG nhúm C th A = E A ; Ge ;e , f , trong ú e, f E A , Ge = e ; e, f : Ge G f c cho bi aee , f = fae ae a f = ( aee,ef ) ( a f f ,ef v (ae Ge ) ) Núi riờng, A l mt AG ** phng nhúm Chng minh ( a... mt AG ** phng nhúm, vỡ a 2b 2 = ( ab ) ( ) 2 ( ) i vi tt c a, b A Hn na, a 1 V a 2 i vi mi a A 2 T ú E A A( ) Suy ra A( 2) l mt AG ** phng nhúm ngc hon ton m trong ú cỏc ly ng u l phn t trung tõm T Mnh 3.2.1 nhn c 3.2.3 nh lý.Nu A l mt AG ** phng nhúm ngc hon ton, th thỡ A( 2) l mt na dn mnh cỏc nhúm Abel vi na dn E A cỏc ly ng Tip theo ta trỡnh by cỏc iu kin cn v mt AG phng nhúm l mt AG. .. by kt qu sau (Xem thờm Mnh 1.3.9) 3.1.2 nh lý.Gi s A l mt AG ** phng nhúm ngc hon ton v à 1 1 l tng ng tỏch ly ti i trờn A cho bi ( a, b ) à aa = bb Th thỡ on [ 1A , à ] gm tt c cỏc tng ng tỏch ly ng trờn A l mt dn modular Mt AG phng nhúm vi mt n v trỏi v mi phn t ca nú u kh nghch bờn trỏi c gi l mt AG nhúm Nu A l mt AG nhúm thỡ A l mt AG ** phng nhúm ngc hon ton Hn na, mi tng ng trờn A u l... a, b A thỡ a.b B (ii) B c gi l AG ** phng nhúm con ngc hon ton ca A nu B l mt phng nhúm con ca A tha món iu kin: vi mi b B thỡ b 1 B T nh ngha suy ra bn thõn B l mt AG ** phng nhúm ngc vi phộp toỏn ca A cm sinh trờn B S dng B 3.2.7, ta nhn c kt qu sau 3.2.12 Mnh ([6]) Nu B l AG ** phng nhúm con ngc hon ton ca AG ** phng nhúm ngc hon ton A , th thỡ B l mt AG ** phng nhúm ngc hon ton úng... f l mt AG ** phng nhúm ngc hon ton v a, b A sao cho ab E A Th thỡ ab = ba Chng minh t ab = e E A 1 1 1 Th thỡ ba = b ( aa a ) = ( aa ) ( ba ) = ( ab ) ( a a ) E A Vỡ ab, ba Ge nờn ab = ba (bi trong Ge cú mt ly ng duy nht do Ge l AG nhúm) W nh lý sau õy núi rng mi tng ng trờn mt AG ** phng nhúm ngc hon ton c xỏc nh duy nht bi ht nhõn v vt ca nú 3.1.8 nh lý.Nu l mt tng ng trờn mt AG ** ... nhúm, th thỡ cỏc ly ng ca nú l cỏc phn t trung tõm, ngha l se = es , i vi tt c s S , e ES Mnh sau õy chng t rng khụng cú mt AG phng nhúm khụng kt hp no m nú l mt na dn cỏc AG nhúm v cỏc ly ng ca nú l cỏc phn t trung tõm 3.2.1 Mnh .Gi s A l mt AG phng nhúm m nú l mt na dn cỏc AG nhúm Nu cỏc ly ng ca A l cỏc phn t trung tõm, th thỡ A l mt na dn mnh cỏc nhúm Abel Núi riờng, A l na nhúm giao hoỏn Chng... lut trung tõm ( ab ) ( cd ) = ( ac ) ( bd ) khi chng minh cỏc ng thc (1), (2), (3) Do ú nu mt AG- phng nhúm A l mt na dn E A cỏc AGe phng nhúm e E A th thỡ cỏc ng thc trờn ỳng 3.1.5 Ký hiu Gi s Y l mt na dn, F = { A | Y } l mt h cỏc AG phng nhúm ri nhau cú cựng dng T , c ỏnh s bi Y (F cú th l mt h cỏc AG- nhúm ri nhau) Cng gi s rng i vi mi cp ( , ) Y ì Y sao cho tn ti mt ng cu , : A A tha ... phi c thc hin AG- phng nhúm A Kim tra c rng ( A,.) l mt AG phng nhúm Nu b sung thờm iu kin mi AG phng nhúm A l mt AG ** phng nhúm (c bit, l mt AG nhúm) th thỡ ( A,.) l mt AG ** phng nhúm... A c gi l AG phng nhúm nu A ng nht thc ( xy ) z = ( zy ) x c tha món; (ii) A c gi l AG ** phng nhúm nu A l AG- phng nhúm v A ng nht thc x ( yz ) = y ( xz ) c tha món; (iii) A c gi l AG ** phng... 5 Chng Tng ng trờn AG ** phng nhúm ngc hon ton Trc ht chỳng tụi trỡnh by cỏc AG phng nhúm v cỏc AG ** phng nhúm ngc Tip theo chỳng tụi trỡnh by dn cỏc tng ng trờn mt AG ** phng nhúm nhúm